DETERMINANTES DE ORDEN 1, 2 y 3

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(1)

DETERMINANTES

DETERMINANTES DE ORDEN 1, 2 y 3

El determinante de una matriz cuadrada A es un número real asociado a dicha matriz que se obtiene a partir de sus elementos. Lo denotamos como det (A) o |A|.

Llamamos orden del determinante al orden de la matriz cuadrada asociada.

Veamos ahora como se calculan los determinantes de orden 1, 2 y 3 para luego encontrar un método general para determinantes de orden n

Determinantes de orden 1

Coincide con el único elemento que contiene la matriz: |A| = a11

Ejemplos

A = (3) , |A| = 3 B = (–4) , |B| = –4

Determinantes de orden 2

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 entonces:

Ejemplo:

Determinantes de orden 3

Sea A una matriz cuadrada de orden 3:

Para recordar este desarrollo se utiliza la llamada regla de Sarrus.

Productos con signo positivo Productos con signo negativo

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

11 12

11 22 12 21 21 22

a

a

A

A

a a

a a

a

a

=

=

+

4

3

4· 2 3·5

8 15

7

5

2

A

=

A

=

= −

= −

11 12 13 21 22 23 31 32 33

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11 31 32 33

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a

a

a

= ⎜

(2)

Otra forma de recordar este desarrollo es repetir las dos primeras columnas al lado del determinante y considerar la “diagonales” de izquierda a derecha con signo + y las de derecha a izquierda con signo –

Ejemplo: Calcular el determinante de

2

0

3

5

2

1

1 4

6

A

= ⎜

( )

( ) ( ) ( )

2

0

3

5

2

1

2· 2·6 0·1·

1

5· 4·

3

3 · 2·

1

0·5·6 1· 4· 2

1 4

6

24 0 60 6 0 8

50

A

=

=

+

− +

− − −

− −

=

=

+ −

− − − = −

DETERMINANTES DE ORDEN n

Vamos a encontrar un método para calcular determinantes de cualquier orden que nos será útil cuando éste es superior a tres. Antes tendremos que dar algunas definiciones:

Menor complementario de aij

Sea A una matriz cuadrada de orden n y aij uno cualquiera de sus elementos. Llamamos matriz complementaria del elemento aij, a la matriz que resulta de suprimir la fila i y la columna j en A. La

designaremos como Mij y será una matriz cuadrada de orden n – 1. Al determinante de Mijlo llamamos MENOR COMPLEMENTARIO DE aij.

Ejemplo: Consideremos el elemento a23 de la matriz A que en este caso vale 2:

Adjunto del elemento aij

Denominamos ADJUNTO del elemento aij y lo denotamos por Aij, al menor complementario de a ij afectado

del signo + o según la suma de i + j sea par o impar respectivamente:

En el ejemplo anterior:

11

12

13

11

12

21

22

23

21

22

31

32

33

31

32

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Diagonales de izquierda a derecha con signo +

Diagonales de derecha a izquierda con signo –

23 23

23

3

1

4

3

1

0

1

2

; Matriz complementaria de

:

5

2

5

2

1

3

1

Menor complementario

6 5

11

5

2

A

a

M

M

=

= ⎜

=

= − − = −

( )

1

i j

·

ij ij

A

= −

+

M

( )

2 3

( ) (

5

)

(3)

Desarrollo de un determinante por una fila o por una columna:

Consideremos la expresión de un determinante de orden 3:

Es decir, hemos obtenido una expresión para el determinante de A como la suma de los elementos de una fila multiplicados por sus adjuntos correspondientes.

Este resultado se puede generalizar para cualquier fila o columna de una matriz cuadrada de cualquier orden.

El determinante de una matriz es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados, cada uno de ellos, por sus adjuntos correspondientes.

Nos permite por ejemplo obtener el determinante de una matriz de orden 4 en función de 4 determinantes de orden 3.

Para evitar muchos cálculos conviene que la fila o la columna por la que desarrollemos tenga el mayor número de ceros posibles. Veamos un ejemplo donde desarrollaremos por la tercera columna:

hemos aplicado la regla de Sarrus para los determinantes de orden 3, pero podríamos haberlos calculado siguiendo con el desarrollo por filas o columnas.

(

)

11 11 11 1 12 12

21 22 23 22 33 23 31 21 32 22 31 21 33 23 32 31 13 1 12 12 3 13 32 33

22 33 23

1 32 23 3

Sacamos factor común en la expresión los elementos, por ejemplo, de la primera fila:

a

a

a

a

A

a

a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a a

a

a

a

a

a a

=

=

+

+

+

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

1 23 31

21 32 22 31

22 33 23 32 21 32 22 31

1 1 22 23 1 2 21 23 1 3 21 22

32 33 31 33 3

21 33 2 12 13 1 11 11 1 33 1 32 11 12 3 13 1 12

12 3 1

11 3

·

1

·( 1)

·

·

1

·

·

·

·

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

A

A

a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a

+ + + − + +

+

=

=

+

=

=

+

+

=

=

+

+

( )

( )

( )

( )

(

) (

)

(

)

13 23 33 43

1 3 2 3 3 3 4 3

1

2

3

2

1 4

0

1

1

0

2

3

2

1

0

2

1 4

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

· 1

0

3

1

· 1

0

3

1

· 1 4

1

1

· 1 4

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

0

3

1 4

1

1

2

2

3· 1

0

3

0 2· 1 4

1

0

3 0 24 1 0 3 8

2 8 4 2 16 1 4

2

1

2

2

1

2

34

2·33

3

A

A

A

A

+ + + +

=

+

+

+

=

=

− +

− +

+

=

=

− + +

+ =

+ − − − +

+ + +

− +

=

=

+

= −

6

1 1 2 2 1 1 2 2

...

Desarrollo por la fila

...

Desarrollo por la columna

i i i i in in

j j j j nj nj

A

a A

a A

a A

i

A

a A

a A

a A

j

=

+

+ +

(4)

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

(1).- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

|A| = |At

|

Ejemplos:

esta propiedad implica que todo lo que pudiéramos decir para filas sería también válido para columnas. En las propiedades que vienen a continuación lo tendremos en cuenta.

(2).- Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) por un mismo

número el determinante queda multiplicado por dicho número

.

Esta propiedad nos permite sacar fuera del determinante factores comunes, si los hay, de todos los elementos de una fila o columna:

(3).- Si cada elemento de una fila (o columna) de una matriz se descompone en dos

sumandos, el determinante es igual a la suma de dos determinantes que coinciden

con el de partida excepto en la fila (o columna) que es suma de dos números, que

aparece desdoblada en cada uno de los determinantes:

2

3

2

4

14 12

2

;

14 12

2

4

7

3

7

1

2

3

1

0

3

0

2

1

0 6 0 18 2 0

26

;

2

2

2

0 0 6 18 0 2

26

3

2

0

3

1

0

t

t

A

A

A

A

=

=

=

=

=

=

=

− = − + − − − = −

=

− = + − − − − = −

1

2

3

0

2

1

0 6 0 18 2 0

26

; Multiplicamos la tercera columna por

2 :

3

2

0

1

2

6

0

2

2

0 12 0 36 0 4

52 ;

3

2

0

A

B

B

A

=

− = − + − − − = −

=

= +

+ +

− + =

= −

1

4

3

1

4

3

1

2

3

1

2

3

1

2

1

2

2

0

· 2

2

0

3· · 2

1

0

3·2· · 2

1

0

18· 2

1

0

3

6

9

1

2

3

1

2

1 3

1

1 3

3

1

1

3

1

=

=

=

=

33 12 21

'

'

'

'

;

Ejemplo :

'

'

3

1

0

1+2

1

0

1

1

0

2

1

0

2

1 3

1 1

1 3

1

1 3

1

1 3

5

2

6

2 3

2

6

2

2

6

3

2

6

a

a

b

c

a

b

c

a

b

c

d

d

e

f

d

e

f

d

e

f

g

g

h

i

g

h

i

g

h

i

=− =− =−

+

+

=

+

+

= +

=

+

+

(5)

(4).- Si en un determinante se intercambian dos filas (o dos columnas), el

determinante cambia de signo:

Ejemplo:

(5).- Si un determinante tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su

determinante es cero:

Ejemplo:

(6).- Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales su determinante es cero:

Lo cual es evidente por la propiedad anterior puesto que una fila (o columna) es proporcional a sí misma Ejemplo:

(7).- Si una matriz tiene una fila (o columna) con todos sus elementos cero, su

determinante es nulo:

Evidente por la propiedad (5) ya que podemos considerar un factor de proporcionalidad cero con cualquier fila (o columna). Además, si desarrollamos el determinante por esa fila (o columna) todos los adjuntos se verían afectados por un factor cero.

(8).- Si una fila (o columna) es combinación lineal de otras filas (o columnas) su

determinante es cero.

Ejemplo:

1

1

2

2

1

1

3

2

1

8 1 0 4 12 0 1

;

1

2

3

4 12 0 8 1 0

1

1

0

4

4

0

1

= + + + − − =

= − +

+ − − − = −

3 1

1

1 2

:

5

1

3

6 9 30 6 30 9

0

3

3

6

F

F

=

= − −

− +

+ =

1

1 1

5

4

5

4 5 10 4 5 10

0

1

2

1

= − +

− + −

=

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

(pdad.3)

Nulo por pdad. (5) Nulo por pdad. (5)

0

0

0

a

b

c

a

b

c

a

b

c

k a

k d

k b

k e

k c

k f

k a

k b

k c

k d

k e

k f

d

e

f

d

e

f

d

e

f

+

+

+

=

+

= + =

3

2

1 2

1

2

0

3

1 7

3 28 0 0 7 18

0

2

1

3

C

=

C

C

(6)

(9).- Si a una fila (o columna) se le suma una combinación lineal de otras filas (o columnas), su determinante no varía.

Ejemplo:

(10).- El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal

La forma más sencilla de obtener el determinante de una matriz triangular es aplicar el desarrollo por la primera columna o la última fila si es triangular superior, o última columna o primera fila si es triangular inferior, ya que tienen todos sus elemetos nulos salvo uno de ellos:

Ejemplo:

(11).- Si una matriz C es producto de dos matrices cuadradas A y B, entonces el

determinante de C es el producto de los determinantes de A y B:

Ejemplo:

Aplicación de las propiedades al cálculo de determinantes

Las propiedades de los determinantes son de gran ayuda para su cálculo. Especialmente, la propiedad (9) aplicada de forma sistemática nos permite conseguir triangular el determinante, con lo cual su cálculo es inmediato. Esta triangulación del determinante se conoce como método de Gauss:

Ejemplo:

2 2 1 3

1

1 2

0

3

4

3 12 0 18 0 4

23 ; Efectuamos la operación:

2

:

3

1 1

1

1 2

1

2

7

2 21 2 12 1 7

23

3

1 1

A

F

F

F

F

=

= − + − − + = −

+

= −

+ − − + = −

( )

( )

3

1

0

5

2

1

1

0

2

1

1

1 4

3· 0

1 4

3·2·

3·2·

1 · 1

3·2·

1 ·1

0

0

1 4

0

1

0

0

1

0

0

0

1

A

=

=

=

=

=

Si ·

C

=

A B

C

=

A B

·

o

A B

·

=

A B

·

1

2

3

0

2

1

7

2

1

·

1 4

0 · 2

3

1

8

10

5

0

1

3

1

2

0

5

3 1

12

0

3 0

6

0

15

0

2

4

3 0

0

9

·

15·9

135

70

50

24

50 16 105 135

C

A B

A

B

C

A B

C

⎞ ⎛

⎞ ⎛

⎟ ⎜

⎟ ⎜

=

= −

⎟ ⎜

⎟ ⎜

=

⎟ ⎜

⎟ ⎜

⎠ ⎝

⎠ ⎝

=

+ − − + − =

= + + + − − =

=

=

=

=

+

+

=

2

1

1

2

0

2

1

1

Intentaremos dejar el determinante triangular superior. Para facilitar los

2

2

0

1

cálculos intercambiamos la primera y cuarta fila (introducimos un signo menos)

1

1

1

1

A

=

(7)

Evidentemente puede ser más práctico hacer el mayor número posible de ceros en una fila o columna y desarrollar el determinante por adjuntos de esa fila o columna:

Ejemplos:

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES

Vimos en el tema de matrices como hallar el rango y la inversa de una matriz por el método de Gauss. Veremos ahora como podemos hacerlo mediante determinantes.

Rango de una matriz

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para hallarlo por determinantes necesitamos dar una definición previa:

Menor de orden k

Dada una matriz A de dimensión m x n llamaremos menor de orden k ( 1 k mínimo {m , n } ) al

determinante de cualquier matriz cuadrada de orden k que se pueda formar suprimiendo m – k filas

y n – k columnas de la matriz A.

Ejemplo:

( ) ( )

1 4 3 3 1 2 4 3 3 2

4 4 1 4 4 2

4 4 3

2 4

2 2

3 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

2

1

1

0

2

1

1

0

1

1

4

2

2

0

1

0

4

2

1

0

4

2

1

2

1

1

2

0

1

1

4

0

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

4

0

1

1

4

27

1 ·

2 ·

27

0

0

2

15

0

0

2 15

2

27

0

0

3

9

0

0

0

2

F F F F F F F F F F F F F F F F

F F F

A

↔ → + ↔ → +

→ − → +

→ −

= −

=

= +

=

=

=

=

= −

( )

( )

2 2 3

2 2 1

3 3 33 33

2

1

2 1 21 21

3

1

5

3

0

1

5

3

0

1

5

3

1

0

1

2

1

2

7

0

1

1

· 2

7

1

1

4

1

1

1

4

1

1

2

1

2

2

1 0

2

2

1 0

2

70

6

2 14 12

5

31

2

1

3

2

5

3

5

3

1

3

0

1 0

0

·

1

·

25

21

46

7

5

2

1

5

2

7

5

F F F

C C C

A

a A

B

a

A

+ → −

+

+ → +

+

=

=

=

=

=

= − + + +

+

+ = −

= −

=

=

= − −

= − −

= −

1

2

3

1

2

0

1

4

Podemos formar menores de orden 1, 2 y 3:

0

2 1

3

Algunos menores de orden 1: 1 ; 2 ; 0

1

2

1

3

1

3

1

1

Algunos menores de orden 2:

;

;

;

2

0

2 1

0 1

0

3

A

= ⎜

(8)

El rango de una matriz A será k, si contiene un menor de orden k no nulo y todo los menores de orden superior son nulos.

Dicho de otra forma, el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podamos formar en A.

Para calcular el rango de una matriz seguiremos los siguientes pasos:

1. Se observa si a simple vista existen filas o columnas linealmente dependientes, en cuyo caso se suprimen.

2. Si no es la matriz nula (la única que tiene rango 0), es decir, existe al menos un elemento no nulo en la matriz, el rango es ≥1 y:

3. Buscamos un menor de orden 2 que contenga al elemento no nulo del paso anterior. Si todos son cero el rango es 1. En caso contrario el rango es ≥ 2 y:

4. Buscamos los menores de orden 3 que contengan al menor de orden 2 no nulo del paso anterior, añadiendo las filas y columnas restantes (orlamos). Si todos son nulos el rango es 2. En caso contrario el rango es ≥ 3 y seguimos el proceso hasta llegar a los menores de mayor orden posible.

Veamos algunos ejemplos:

1

2

3

1

2

1

1

3

1

2

3

1

Todos los menores de orden 3: 2

0

1 ; 2

0

4

;

2 1

4

;

0

1

4

0

2 1

0

2

3

0 1

3

2 1

3

( )

1

0

0

k

k

M

rg A

k

M

+

= ⇔ ⎨

=

11

1

2

1

0

3

0

1

1

)

( )

1 puesto que hay elementos no nulos, por ejemplo el

1

0

2

0

1

2

4

2

3

3

Consideramos el menor de orden 2 que se obtiene orlando con la segunda fila y segunda columna:

1

a A

rg A

a

=

=

= ≠

( )

4 4 1

1 2

2

6

0

( )

2. Orlamos con la 3ªfila y la 3ª columna:

3

0

1

2

1

3

0

1

0

4

0

0

6

0

2

0

( )

3. Orlamos con la 4ªfila y 4ªcolumna:

2

0

1

1

2

1

0

1

2

1

0

3

1

1

3

0

1

1

3

0

1

1

1

·

2

1

2

2

0

1

2

2

0

1

2

5

2

4

2

3

3

5

0

2

3

F F F

rg A

rg A

+ → +

= − ≠ ⇒

= + + + − + = − ≠ ⇒

=

=

0 ya que la tercera fila es la suma de la 1ª y 2ª

0

( )

3

3

rg A

=

(9)

Por tanto el rango es 2.

c) Determinar según los valores de m el rango de la matriz:

d) Determina, según los valores de a el rango de la matriz:

2

0

1

1

6

5

)

( )

1

1

3

1

2

3

2

4

2

2

0

( )

2

Posibles orlados con la 2ªcolumna:

2

0

1

6

6

12

0 12

6

0

6

0

;

1

3

1

12

6

3 3 6 12

0

3

3

Posibles orlados con la 4ªcol

4

1

1

1

4

1

1

1

4

umna

2

1

1

5

1

4

1

1

1

1

1

4

1

b B

rg B

rg B

=

= − = ≠ ⇒

=

+ −

+ + − =

− =

− + − − −

=

5

4

5

4 1 8 10

0

;

1

1

2

8

4

2

1

1

1

1

5 5

2 8

2

1

2

0

= − + − + −

=

= + + − − −

=

(

)

(

)

2 2 2 2

1

1

1

;

4

4

1

0

4

0

0

1

0

1

0

Si ( )

3

1

1 1

Si

0

podemos encontrar un menor:

1

0

( )

2

1 0

1 1

Si

1 podemos encontrar un menor:

1

0

( )

2

0 1

m

A

m

m

A

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

A

m

m

m

m

rang A

m

m

rang A

m

rang A

=

=

+ −

= −

=

=

= ⇒

= ⇒ ⎨

=

=

⎨ ≠

=

= − ≠ ⇒

=

=

= ≠ ⇒

=

1

1

1

1

1

1

1

2 Consideramos el menor

2 1

0

( )

2

1

2

1

1

1

El rango como máximo es 3. Miramos los posibles orlados de este menor para ver si

encontramos un menor de orden 3 no nul

a

A

a

rango A

a

=

= − + ≠ ⇒

(

)

(

)

2 2

o:

1

1

1

0

1

2

1 2

1

2

3

3

;

3

0

3

1

1

a

a

a

a

a

a

a

a a

a a

(10)

INVERSA DE UNA MATRIZ

Dada una matriz A cuadrada de orden n decimos que B es matriz inversa de A si verifica que: A · B = B · A = In

Cuando una matriz tiene inversa decimos que es regular (o inversible) y cuando no, decimos que es singular.

La matriz inversa, si existe, es única:

A la matriz inversa de A la denotamos A–1:

A · A–1 = A–1 · A = In Si A tiene inversa su determinante tiene que ser distinto de cero:

Se puede demostrar que si: 1

0

A

≠ ⇒ ∃

A

Por tanto es condición necesaria y suficiente para la existencia de la matriz inversa de A que su determinante sea distinto de cero.

Propiedades:

Cálculo de la matriz inversa por determinantes

Vimos como calcular la matriz inversa por el método de Gauss. Con la ayuda de los determinantes también podemos hallar la matriz inversa, pero antes definimos:

Matriz de adjuntos o matriz adjunta

Llamamos matriz de adjuntos o matriz adjunta de A, a la matriz que se obtiene sustituyendo cada elemento de A por su adjunto correspondiente. La denotamos Adj A.

2 2 2

1

1

1

1

2

2

1 1 2

2

;

2

0

0

1

1

Si

0

Todos los menores de orden 3 son nulos

2

Si

0

3

(En el caso de

3 hay un menor de orden 3 no nulo, el que acabamos de hallar)

a

a

a

a

a

a

a

a

a

rango

a

rango

a

= − − + + −

= −

= ⇒ =

= ⇒

=

≠ ⇒

=

=

( )

(

)

( ) ( )

1

1 1

1 1 1

1 1

)

)

)

·

·

, matrices de orden n /

0,

0

)

t t

a I

I

b

A

A

c

A B

B

A

A B

A

B

d

A

A

− − −

=

=

=

=

(

) (

)

Supongamos que B y C son matrices inversas de A. Entonces:

·

·

;

·

·

Por la propiedad asociativa: ·

·

·

·

I I

A B

B A

I

A C

C A

I

C

A B

C A B

C

B

=

=

=

=

=

⇒ =

1 1 1

1

0

Como: ·

·

·

1

0

A

A A

I

A A

I

A A

A

− − −

= ⇒

=

= ⇒ ⎨

(11)

Se puede demostrar que la matriz inversa se puede hallar mediante la siguiente expresión:

Observamos que la matriz no tiene inversa (es singular) si |A| = 0 El proceso para calcular la matriz inversa será:

1. Hallar el determinante de A. Si es cero la matriz no tiene inversa 2. Hallar la matriz de adjuntos

3. Trasponer la matriz

4. Dividir cada elemento de la matriz obtenida tras el paso 3 por el det (A)

Ejemplos:

(

)

1

t

Adj A

A

A

=

( )

( )

( )

( )

(

)

1

1 1 1 2

11 12

1 2 2 2

12 22

1

4

)

;

5 8

3

0

; hallamos los adjuntos:

2

5

1

5

5

1

2

2

1

4

4

1

1

1

5

2

Matriz de adjuntos:

4

1

5

4

Trasponemos la matriz de adjuntos:

2

1

t

a A

A

A

A

A

A

A

Adj A

Adj A

+ +

+ +

=

= − + = ≠ ⇒ ∃

= −

− = −

= −

− =

= −

= −

= −

=

= ⎜

= ⎜

1

5

4

3

3

Por último dividimos por

:

2

1

3

3

A

A

= ⎜

(

)

1

4

0

)

2

5

1

4 1

5

1

1 0

5

1

2

1

2

5

1 0

1

0

1

1

1

1

7

1

0

4

4

0

1 0

1

4

0

0

5

;

1

0

1

1 0

1 0

1

1

4

1 3

7

5

3

4

0

1

0

1

4

5

1

2

1

2

5

t

b A

A

Adj A

Adj A

= −

= + =

⎛ −

− ⎞

+

+

⎟ ⎛

⎟ ⎜

= −

+

=

=

⎟ ⎜

+

+

1

1

4

0

5

5

1

1

0

5

5

7

3

1

5

5

A

=

(12)

Figure

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Referencias

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