REPASO DE LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REPASO DE LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

POLINOMIO IRREDUCIBLE O PRIMO.-

Un polinomio P

( )

x se llama irreducible o primo, si P

( )

x no se puede expresar como producto de dos

o más polinomios con grado 1≥ .

Según esta definición:

o Todos los polinomios de grado 1 son irreducibles

o Algunos polinomios de grado >1 son también irreducibles, entre ellos algunos polinomios de

grado 2 (aquellos cuya ecuación asociada no tiene ninguna solución)

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS EN FACTORES IRREDUCIBLES.-

Un polinomio se puede descomponer en factores de muchas formas:

Ejemplo.-

( )

= 3− 2− +1

x x x x

P , se puede expresar:

( )

3 2

(

2

)

(

) (

)

(

2

)

(

) (

)

2

1 1 1

2 1

1 1

1= − ⋅ − = + ⋅ − + = + ⋅ −

+ − −

=x x x x x x x x x x

x P

De todas ellas hay una sola forma de descomponerlo en factores irreducibles: P

( ) (

x = x+1

) ( )

⋅ x−12

Esta factorización es la que vamos buscando siempre.

En general, para factorizar un polinomio seguiremos las siguientes pautas:

1º.- Intentamos sacar factor común todo lo que se pueda:

Ejemplo:

( )

= 3−2 2 + = ⋅

(

2−2 +1

)

x x x x x x x

P con lo que hemos conseguido una

primera factorización de P

( )

x , en la que los factores: x es irreducible (por ser de grado 1), y

(

x2−2x+1

)

, aún no sabemos si es o no irreducible; así que intentamos seguir factorizándolo.

2º.- Intentamos identificar el polinomio que queda, con alguna identidad notable:

Ejemplo: ¿Es

(

x2 −2x+1

)

el desarrollo de alguna identidad notable?, sí, es

(

x−1

)

2.

Luego: P

( )

x =x3−2x2 +x=x⋅

(

x2−2x+1

)

= x⋅

(

x−1

)

2

Con esto el polinomio queda factorizado en producto de polinomios primos: x y

( )

x−1 doble (ambos

de grado1).

3º.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DE 2º GRADO:

Si el polinomio que quedaba sin factorizar no se puede identificar con una de las identidades notables

Una vez resuelta, puede ocurrir que:

a) Tenga dos soluciones reales y distintas: x=

{ }

r,s . En este caso se demuestra que el polinomio de 2º grado se descompone en factores de la siguiente forma:

( )

x coeficiente principal

(

x r

) (

x s

)

P = ⋅ − ⋅ −

Ejemplo: Factorizar en polinomios irreducibles: P

( )

x =6x2 −x−2 (polinomio de 2º grado)

Su ecuación asociada:

      − = + ± = ⇔ = − − 2 1 , 3 2 12 48 1 1 0 2

6x2 x x

Luego la factorización de este polinomio es: P

( )

x = 

     + ⋅       − ⋅ 2 1 3 2

6 x x

b) Tenga una sola solución real: x=s (solución doble). En este caso se demuestra que el

polinomio de 2º grado se descompone en factores de la forma:

( )

(

) (

)

(

)

2

s x principal e coeficient s x s x principal e coeficient x

P = ⋅ − ⋅ − = ⋅ −

Ejemplo: Factorizar en polinomios irreducibles: P

( )

x =4x2−4x+1 (polinomio de 2º grado)

Su ecuación asociada:

2 1 8 4 8 0 4 8 16 16 4 0 1 4

4x2− x+ = ⇔x= ± − = ± = = (solución doble)

Luego la factorización de este polinomio es: P

( )

x = =

     − ⋅       − ⋅ 2 1 2 1

4 x x

2 2 1 4       − ⋅ x

c) No tenga soluciones reales: En este caso P

( )

x no se puede descomponer en factores,

con lo que P

( )

x es primo o irreducible (y se habría terminado la factorización).

Ejemplo: Factorizar en polinomios irreducibles: P

( )

x =4x2+1 (polinomio de 2º grado)

Su ecuación asociada: + = ⇔ =− ⇔ =± − ∉

4 1 4 1 0 1

4x2 x2 x R _{no tiene}

solución⇒P

( )

x esirreducible(no se puede factorizar).

4º.-Si no podemos usar las técnicas de factorización anteriores, se utiliza el método de factorización

que se estudia a continuación, basado en los conceptos siguientes:

TEOREMA DEL RESTO.-

El resto, r, de la división de un polinomio P

( )

x entre otro de la forma

(

x−a

)

coincide con el valor numérico de P

( )

x para x=a, P

( )

a : r_{P( ) (x: x−a)} =P

( )

a

6

=

r

Por otro lado: P

( )

−1 =

( )

−13−4⋅

( )

−1 +3=−1+4+3=6 .

Observamos que ambos resultados coinciden.

Este teorema permite:

•Calcular el resto de la división sin realizarla (calculando P

( )

a )

•Calcular P

( )

a sin sustituir en P

( )

x la x por a (buscando el resto de la división P

( )

x :

(

x−a

)

).

Ejercicio: Dado el polinomio P

( )

x =x3−3x2+4. Calcula:

a) El resto de la división de P

( ) (

x : x+2

)

, sin efectuar la división.

b) El valor numérico de P

( )

x para x=3, sin sustituir la x por 3.

RAÍZ DE UN POLINOMIO.-

Un número real a es una raíz de un polinomio P

( )

x , si el valor numérico de P

( )

x para x=a vale 0.

( )

⇔

( )

=0

=aesraíz deP x P a x

Ejemplo: 2 es una raíz del polinomio x2−4, porque: P

( )

2 =22−4=0

Dado un polinomio P

( )

x , su ecuación asociada es: P

( )

x =0.

La ecuación asociada al polinomio P

( )

x : P

( )

x =0, tiene como soluciones todas las raíces de P

( )

x .

( )

x ⇔x=aes soluciónde P

( )

x =0 P

de raíz es a

Ejemplo: Para calcular todas las raíces del polinomio:

( )

= 2+ −6

x x x

P :

Se resuelve su ecuación asociada:

( )

_{

_}

2 , 3 2

5 1 2

25 1 2

6 1 4 1 1 0

6

2+ − = ⇔ =− ± − ⋅ ⋅ − = − ± = − ± = − x

x x

TEOREMA DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE.-

Las raíces enteras ( Z∈ ) de un polinomio P

( )

x , se encuentran entre los divisores de su término

independiente.

Ejemplo.- P

( )

x =6x3+11x2−4x−4 tiene como término independiente -4.

Los div

( ) {

−4 = ±1,±2,±4

}

son las posibles raíces enteras de P

( )

x .

( )

1 =6+11−4−4=9≠0

P P

( )

−1 =−6+11−4−4=−3≠0 P

( )

2 =6⋅8+11⋅4−4⋅2−4=80≠0

( )

−2 =6⋅

( )

−8 +11⋅4−4⋅

( )

−2 −4=0

P P

( )

4 ≠0 P

( )

−4 ≠0

La única raíz entera de P

( )

x es -2.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.-

Un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces reales (entre enteras y no enteras)

Teniendo en cuenta todo esto, usemos un ejemplo para estudiar el método de factorización que nos

falta:

Ejemplo: P

( )

x =6x4−x3−8x2+x+2

Utilizamos el teorema del resto y la división de polinomios por la regla de Ruffini para calcular todas

las raíces enteras del polinomio (dichas raíces se encuentran entre los divisores enteros del término

independiente, por el teorema del término independiente):

o Buscamos la primera raíz entera (1), probando (en orden) entre los divisores enteros,

{

±1,±2

}

,

del término independiente (2), el primero de ellos que haga que el resto sea 0 (pues por el

teorema del resto: P

( )

1 =r_{P( ) ( )x : x−1} =0⇒1esraíz deP

( )

x ).

Y como el resto de la división de P

( ) ( )

x : x−1 es 0, la división es exacta y se cumple que:

( ) ( )

x = x−1 ⋅

(

6x3+5x2−3x−2

)

P , en el que el primer factor es primo y el segundo factor no se

sabe aún si lo es, o no.

o Repetimos el proceso con el siguiente factor (6x3+5x2−3x−2), teniendo en cuenta que el

divisor del término independiente del polinomio inicial que ha sido raíz antes, puede volver a

ser raíz del factor que intentamos factorizar, pero los divisores del término independiente del

polinomio inicial que no han sido raíces anteriores, tampoco pueden ser raíces del factor:

(

₊

)

_⋅

(

_{− −}

)

⇒

= − −

+5 3 2 1 6 2

o Repetimos el proceso hasta conseguir que el último cociente sea de grado1 (si se puede) o de

grado 2 (si no conseguimos llegar a un cociente de grado1), como ocurre en nuestro ejemplo:

El polinomio 6x2−x−2 (de 2º grado), que es el último cociente que hemos obtenido, no tiene raíces

enteras; pero puede que tenga raíces reales no enteras, así que intentamos factorizarlo con el criterio de

los polinomios de 2º grado( punto 3º):

( )

x =6x2−x−2

P (polinomio de 2º grado)

Su ecuación asociada:

      − = + ± = ⇔ = − − 2 1 , 3 2 12 48 1 1 0 2

6x2 x x

La factorización de este polinomio es: 6x2−x−2= 

     + ⋅       − ⋅ 2 1 3 2

6 x x

Luego la factorización completa de P

( )

x es:

( ) ( ) (

)

      + ⋅       − ⋅ ⋅ + ⋅ − = 2 1 3 2 6 1

1 x x x

x x P

que también se puede expresar con todos sus coeficientes enteros de la forma:

( ) ( ) (

)

( ) (

)

=      + ⋅       − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − =       + ⋅       − ⋅ ⋅ + ⋅ − = 2 1 3 2 3 2 1 1 2 1 3 2 6 1

1 x x x x x x x

x x P

( ) (

x−1 ⋅ x+1

) (

⋅ 3x−2

) (

⋅ 2x+1

)

, en la que todos los factores son irreducibles (por ser de grado 1) y

tienen sus coeficientes enteros.

CÁLCULO DEL POLINOMIO UTILIZANDO SUS

RAÍCES.-Para calcular un polinomio de grado n, cuyas raíces reales son: r1,r2,...,rn, y que tenga a a como

coeficiente principal, se procede de la misma forma que con los polinomios de 2º grado.

El polinomio factorizado es:

( )

x coeficienteprincipal

(

x r

) (

x r

)

(

x rn

)

P = ⋅ − ₁ ⋅ − ₂ ⋅...⋅ −

Es decir: P

( )

x =a⋅

(

x−r1

) (

⋅ x−r2

)

⋅...⋅

(

x−rn

)

gr 4 6 -1 -8 1 2 div(2)=

{

±1 ,±2

}

1 6 5 -3 -2

gr 3 6 5 -3 -2 0=R div(-2)=

{

±1 ,±2

}

-1 -6 1 2

Ejemplo.- El polinomio de grado 3, cuyas raíces son: 3, y -2 (doble) que tiene como coeficiente

principal al 5, es:

( ) (

x =5⋅ x−3

) (

⋅ x+2

)

2 =5⋅

(

x−3

)

⋅

(

x2+4x+4

) (

=5⋅ x3+4x2 +4x−3x2 −12x−12

)

=

P

(

8 12

)

5 5 40 60

5⋅ 3+ 2 − − = 3+ 2− −

= x x x x x x

( )

x =5x3+5x2 −40x−60

P

Ejercicios:

1) Factorizar en polinomios irreducibles con coeficientes enteros:

a) 2x4 +3x3 −8x2 −12x ( Sol: x·(x−2)·(x+2)·(2x−3) )

b) 6x5 −25x4 +26x3 +4x2 −8x ( Sol: x·(x−2)2·(2x+1)·(3x−2) )

c) 4x4 −4x3 −35x2 +36x−9 ( Sol: 2

) 1 2 )·( 3 )·( 3

(x− x+ x− )

d) x4 +2x3 +5x2 +8x+4 ( Sol: (x+1)2·(x2 +4) )

e) 4x4 −15x2 −5x+6 ( Sol: (x+1)·(x−2)·(2x−1)·(2x+3) )

f) 9x5 −15x4 −2x3 +8x2 ( Sol: x2·(x−1)·(3x+2)·(3x−4) )

g) 6x5 −13x4 −11x3 +13x2 +5x ( Sol: x·(x−1)·(x+1)·(3x+1)·(2x−5) )

h) 10x4 +9x3 −18x2 −23x−6 ( Sol: (x+1)2·(2x−3)·(5x+2) )

i) 9x5 +21x4 +16x3 +4x2 ( Sol: 2 2

) 2 3 )·( 1 ·(x+ x+

x )

j) 4x5 −3x3 −x ( Sol: x·(x−1)·(x+1)·(4x2 +1) )

2) a) Resolver las ecuaciones asociadas a los polinomios anteriores.