Andalucía - Junio 2013 – Opción A – Reserva 1 13- Considera las rectas

(1)

32 GEOMETRÍA

1- Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0). a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pase por C(-2,3,2). b) Calcula la distancia entre r y s.

Andalucía - Junio 2014 – Opción A - Oficial 2- Sea r la recta definida por ₂ 2 3₁

a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (1,1,0).

Andalucía - Junio 2014 – Opción B - Oficial

3- Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta r dada por

a) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y B.

b) Halla el punto de la recta r que está a la mínima distancia de A y B. Andalucía - Septiembre 2014 – Opción A - Oficial

4- Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r.

b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas.

5- Sean los vectores u = (1,-1,3), v = (1,0,-1) y w = (λ,1,0).

a) Calcula los valores de λ que hacen que u, v y w sean ortogonales.

b) Calcula los valores de λ que hacen que u, v y w sean linealmente independientes. c) Para λ = 1 escribe el vector r = (3,0,2) como combinación lineal de u, v y w. Andalucía - Junio 2014 – Opción A – Reserva 1

6- Sea r la recta dada por 1 y sea s la recta dada por ₃ 3 0_{6 0} a) Determina la posición relativa de r y s.

(2)

33 7- Sean los vectores u =(1,-1,0), v = (0,1,2) y w = (1+α,2α,2-3α). Halla los valores de α en cada

uno de los siguientes casos:

a) u, v y w están en el mismo plano. b) W es perpendicular a u y v.

c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores u, v y w es 1/6. Andalucía - Junio 2014 – Opción A – Reserva 2

8- Considera el punto P(2,-2,0) y la recta r dada por 2 0_{1 0}

a) Determina la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. b) Calcula la distancia de P a r.

Andalucía - Junio 2014 – Opción B – Reserva 2

9- Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector director (a,2ª,1) y sea s la recta dada por

2 2

0 a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. b) Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s.

Andalucía - Junio 2013 – Opción A – Oficial 10- Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1).

a) Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos. b) Calcula la distancia de P a π.

Andalucía - Junio 2013 – Opción B – Oficial 11- Considera el plano π de ecuación 2x+y+3z-6=0

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados.

b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.

Andalucía - Septiembre 2013 – Opción B – Oficial 12- Calcula la distancia entre las rectas

≡ ≡ !

Andalucía - Junio 2013 – Opción A – Reserva 1 13- Considera las rectas

" ≡ # ≡ 2_{1 $ ≡} 1 2% 3% 1 % Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.

(3)

34 14- Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1,0,3), B(2,-1,1) y C(3,2,-3).

a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo. c) Calcula las coordenadas del vértice D.

Andalucía - Junio 2013 – Opción A – Reserva 2 15- Considera los puntos A(1,2,3) y B(-1,0,4).

a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento AB.

16- Considera los puntos A(1,2,1), B(-1,0,2) y C(3,2,0) y el plano π determinado por ellos. a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m.

b) Discute el sistema AX=B según los valores del parámetro m. c) Resolver el sistema AX=B para m = 1.

Andalucía – Septiembre 2013 – Opción B – Reserva 3

17- Determina el punto de la recta " ≡ & 1 que equidista de los planos:

' ≡ 3 2 0 ' ≡ 4 % 3)1 %

)

Andalucía – Septiembre 2013 – Opción A – Reserva 4 18- Considera los puntos A(0,5,3), B(-1,4,3), C(1,2,1) y D(2,3,1).

a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo. b) Calcula el área de dicho rectángulo.

19- De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2,-1,0), B(-2,1,0) y C(0,1,2).

a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.

b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D.

(4)

35 20- Sean r y s las rectas dadas por

" ≡ _{3 # ≡}6 ₁1 ₆ 1 ₂

a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene. Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Oficial

21- Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0).

a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

c) Calcula la distancia del punto D al plano π. Andalucía – Septiembre 2012 – Opción A – Oficial

22- Halla el punto simétrico de P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por 0

2 0

Andalucía – Septiembre 2012 – Opción B – Oficial

23- El punto M(1,-1,0) es el centro de un paralelogramo y A(2,1,-1) y B(0,-2,3) son dos vértices consecutivos del mismo.

a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo. Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Reserva 1

24- Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones

2 3 4

2 3 0

Andalucía – Junio 2012 – Opción B – Reserva 1 25- Dadas las rectas " ≡

* & +

,

-, # ≡

& +

-a) Determina la posición relativa de las rectas r y s. b) Calcula la distancia entre r y s.

Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Reserva 2

26- Los puntos A(1,1,5) y B(1,1,2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, consecutivo a B, está en la recta & * . Determina los vértices C y D.

(5)

36 27- Se consideran los vectores u = (k,1,1), v = (2,1,-2) y w = (1,1,k), donde k es un número real.

a) Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes. b) Determina los valores de k para los que v + w y v – w son ortogonales.

c) Para k = -1, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo 1.

28- Encuentra los puntos de la recta " ≡ _, & 3 cuya distancia al plano ' ≡ 2 2 1 vale cuatro unidades.

Andalucía – Junio 2012 – Opción B – Reserva 3

29- Determina el punto P de la recta " ≡ & . , que equidista del origen de coordenadas y del punto A(3,2,1).

30- Considera el punto P(1,0,2) y la recta r dada por las ecuaciones 2 ₂ 4 0_{8 0} a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. Andalucía – Junio 2012 – Opción B – Reserva 4

31- Determina el punto simétrico del punto A(-3,1,6) respecto de la recta r de ecuaciones

1 & .

Andalucía – Junio 2011 – Opción A – Oficial

32- Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,2), C(1,2,0) y D(2,0,1).

a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores 01222223, 15222223 56222223 sean linealmente dependientes?

b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción A – Oficial

33- Dados el plano π de ecuación 2 0 y la recta r de ecuaciones

3 5

4 13

a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.

(6)

37 34- Considera los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1).

a) Halla un punto C de la recta de ecuación & que verifica que el triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.

b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación 2x – y + 3z = 6 con el eje OX.

35- Considera los planos ' , ' ' dados respectivamente por las ecuaciones

3 4 0, 2 1 0 4 0

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1), es paralela al plano ' y corta a la recta intersección de los planos ' y ' .

36- Dados los puntos A(1,0,0), B(0,0,1) y P(1,-1,1) y la recta 2 0 0

a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. b) Calcula el área del triángulo ABP.

37- Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r de ecuaciones 1₀ a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P.

b) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es perpendicular a r y pasa por P.

38- Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones 12% % a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P.

b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción A – Reserva 3

39- Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones

8 , , 9 8 2,0,79 %81, 2,09 )80,1, 19 2 5 0

Determina los puntos de la recta r definida por 1 que equidistan de π1 y π2.

(7)

38 40- Dada la recta r definida por & 3 y la recta s definida por 1

2 2

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. Andalucía – Septiembre 2011 – Opción A – Reserva 4

41- Dada la recta r definida por ; & ; y la recta s definida por 25 % a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas. b) Calcula la distancia entre r y s.

Andalucía – Septiembre 2011 – Opción B – Reserva 4 42- Considera las rectas r y s de ecuaciones

1 1 2 ₁1

a) Determina su punto de corte. b) Halla el ángulo que forman r y s.

c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. Andalucía – Junio 2010 – Opción A – Oficial

43- Los puntos P(2,0,0) y Q(-1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación

4 3 33

0

a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S.

b) Comprueba si el triángulo es rectángulo. Andalucía – Junio 2010 – Opción B – Oficial

44- Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones ₂ 2 11 0_{19 0} y

que contiene a la recta s definida por 1 5%2 3%

2 2% .

45- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectiivamente por las ecuaciones

1, 0 81 9 1

a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? b) Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.

(8)

39 46- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano

6x+3y+2z=6 con los ejes coordenados.

Andalucía – Junio 2010 – Opción A – Reserva 1 47- Sean los puntos A(1,1,1), B(-1,2,0), C(2,1,2) y D(t,-2,2)

a) Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano.

b) Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C.

48- Considera los puntos A(1,0,2), B(-1,2,4) y la recta r definida por 2

2 1 3 1

a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B. b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.

49- Considera los puntos A(1,1,1), B(0,-2,2), C(-1,0,2) y D(2,-1,2). a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C.

Andalucía – Junio 2010 – Opción B – Reserva 2 50- Considera los puntos A(1,2,1) y B(-1,0,3).

a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

b) Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. Andalucía – Septiembre 2010 – Opción A – Reserva 3

51- Considera el plano π definido por 2x – y + nz = 0 y la recta dada por 1

= 4 21

a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π. Andalucía – Septiembre 2010 – Opción B – Reserva 3

52- Halla el punto simétrico de P(1,1,1) respecto de la recta r de ecuación 1

2 3 11

(9)

40 53- Sean los puntos A(2,λ,λ), B(-λ,2,0) y C(0,λ,λ-1).

a) ¿Existe algún valor de % ∈ ? para el que los puntos A, B y C estén alineados? Justifica la respuesta.

b) Para λ=1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

54- Se considera la recta r definida por 11

% 2 y la recta s definida por @

) ) 1

1 . Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.

Andalucía - Junio 2009 – Opción A - Oficial

55- Considera la recta definida por ₀2 y la recta s que pasa por los puntos A(2,1,0) y B(1,0,-1)

a) Estudia la posición relativa de ambas rectas.

b) Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos 50 y 51 sean perpendiculares.

56- Considera el punto P(1,0,0), la recta r definida por 3 & y la recta s definida por (x,y,z) = (1,1,0) + λ(-1,2,0).

a) Estudia la posición relativa de r y s.

b) Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s. Andalucía - Septiembre 2009 – Opción A - Oficial

57- Considera la recta definida por

3 0 1 0 Y la recta s definida por

2 1 0

2 3 0

a) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

b) ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la respuesta. Andalucía - Septiembre 2009 – Opción B - Oficial

58- Considera el punto A(1,-2,1) y la recta definida por las ecuaciones ₂ 2 ₇ a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.

(10)

41 59- Considera la recta r definida por

1

2 2

Y la recta s definida por

4 3% 3 % 5 4%

Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. Andalucía - Junio 2009 – Opción B – Reserva 1

60- Considera el punto P(1,0,-2), la recta r definida por 2 _{2 0}1 0 y el plano π de ecuación 2x+y+3z-1=0.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π. b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π.

Andalucía - Junio 2009 – Opción A – Reserva 2

61- Considera el plano π de ecuación 3x -2y -2z = 7 y la recta r definida por 2

2 1 1 2 2

a) Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r. b) Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r. Andalucía - Junio 2009 – Opción B – Reserva 2

62- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,1,-1), es paralela al plano de ecuación x-y+z=1 y corta al eje Z.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción A – Reserva 3 63- Sea la recta r definida por 3 2 0

3 0

a) Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1,1,1). b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción B – Reserva 3 64- Sean la recta r definida por 2

3 y la recta s definida por 2 1 2 a) Estudia la posición relativa de r y s.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. Andalucía - Septiembre 2009 – Opción A – Reserva 4

65- Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r definida por ₂ 2₄ 1₁ a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. b) Halla el punto de r que está más cerca de P.

(11)

42 66- Dada la recta r definida por

1

2 3 1 1 2

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. Andalucía - Junio 2008 – Opción A – Oficial

67- Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.

Andalucía - Junio 2008 – Opción B – Oficial 68- Sea la recta s dada por ₂ ₃1

a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a la recta s y que contiene a la recta r,

dada por x-1=-y+2=z-3.

b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano π2 de ecuación x+y=3 y deduce la

distancia entre ambos.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción A – Oficial 69- Dados los puntos A(1,1,0), B(1,1,2) y C(1,-1,1).

a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan. b) Halla la ecuación del plano que contiene a A y es perpendicular a la recta determinada

por B y C.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción B – Oficial

70- Los puntos A(-2,3,1), B(2,-1,3) y C(0,1,-2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.

a) Halla las coordenadas del vértice D.

b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC. c) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

71- Sea r la recta dada por 2 = ₌2 y el plano definido por x + my –z = 1. a) ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos?

b) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? c) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0? Andalucía - Junio 2008 – Opción B – Reserva 1

72- Considera la recta r definida por ₃ 0 ₃ y la recta s definida por 2 ₀ 3 a) Estudia la posición relativa de r y s.

(12)

43 73- Sea la recta r definida por 1

0 y sean los planos π1, de ecuación x+y+z=0, y π2, de

ecuación y+z=0. Halla la recta contenida en el plano π1, que es paralela al plano π2 y que

corta a la recta r.

74- Se sabe que los planos de ecuaciones x+2y+bz = 1, 2x+y+bz=0, 3x+3y-2z=1 se cortan en una recta r.

a) Calcula el valor de b.

b) Halla unas ecuaciones paramétricas de r.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción A – Reserva 3

75- Dados los puntos A(2,1,-1) y B(-2,3,1) y la recta r definida por las ecuaciones 1

3 2 5

Halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos A y B. Andalucía - Septiembre 2008 – Opción B – Reserva 3

76- Se considera la recta r definida por mx = y = z+2 (m≠0) y la recta s definida por 4

4 1 2

a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.

b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas. Andalucía - Septiembre 2008 – Opción A – Reserva 4

77- Considera los puntos A(2,0,1), B(-1,1,2), C(2,2,1) y D(3,1,0).

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción B – Reserva 4

78- Considera los planos de ecuaciones x – y +z = 0 y x + y – z = 2.

a) Determina la recta que pasa por el punto A(1,2,3) y no corta a ninguno de los planos dados.

b) Determina los puntos que equidistan de A(1,2,3) y B(2,1,0) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados.

(13)

44 79- Considera los puntos A(0,3,-1) y B(0,1,5).

a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A(0,3,-1), B(0,1,5) y C(x,4,3) tiene un ángulo recto en C.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,5) y (3,4,3) y es paralelo a la recta definida por las ecuaciones ₂ ₃0.

Andalucía - Junio 2007 – Opción B – Oficial

80- a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1,2,1) y B(-1,0,3) en tres partes iguales.

b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.

81- Considera los vectores A23 81,1, =9, B3 80, =, 19 C223 81,2=, 09. a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = -2.

82- Sea r la recta definida por & D_, _. y s la recta definida por & . a) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto.

b) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. Andalucía - Junio 2007 – Opción A – Reserva 1

83- Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación x + 2y + 3z – 1 = 0 que corta perpendicularmente a la recta definida por 2₂ 4₃ en el punto (2,1,-1).

84- Considera la recta r definida por _E &_, y el plano π de ecuación 2x-y+βz=0. Determina α y β en cada uno de los siguientes casos.

a) La recta r es perpendicular al plano π. b) La recta r está contenida en el plano π. Andalucía - Junio 2007 – Opción A – Reserva 2

85- Calcula la distancia del punto P(1,-3,7) a su punto simétrico respecto de la recta definida por 3 _{6 0}2 0.

(14)

45 86- a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela

a los planos π1 de ecuación 3√3 y π2 de ecuación –x+y+z=2.

b) Halla la distancia de la recta r al plano π1.

87- Considera el punto P(1,0,-2) y la recta r definida por 2 5

2 4 7

a) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P.

b) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r. Andalucía - Septiembre 2007 – Opción B – Reserva 3

88- Considera el plano π de ecuación 2x+2y-z+6=0 y el punto P(1,0,-1).

a) Calcula los valores de λ para los que el determinante de A – 2I es cero. b) Calcula la matriz inversa de A – 2I para λ=-2.

89- Considera el plano π de ecuación 2x+2y-z-6=0 y la recta r definida por 1

2 11 2

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas.

b) Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π. Andalucía - Septiembre 2007 – Opción B – Reserva 4

90- Considera el plano π de ecuación 2x+y-z+2=0 y la recta r de ecuación . _G*. a) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.

b) Para m = -3 halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

c) Para m = -3 halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.

Andalucía - Junio 2006 – Opción A – Oficial

91- Considera el punto P(3,2,0) y la recta r de ecuaciones 3 0

2 1 0

a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r.

b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. Andalucía - Junio 2006 – Opción B – Oficial

92- Determina los puntos de la recta r de ecuaciones @ ₁ 0 que equidistan del plano π de ecuación x+z=1 y del plano π’ de ecuación y-z=3.

(15)

46 93- Considera los puntos A(1,0,-2) y B(-2,3,1).

a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de

ecuación –x=y-1=z. ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto C? Andalucía - Septiembre 2006 – Opción B – Oficial

94- Sean u=(x,2,0), v=(x,-2,1) y w=(2,-x,-4x) tres vectores de ? .

a) Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. b) Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.

95- Sea r la recta r de ecuación 1 2$$

4 $ y s la recta de ecuación

&

a) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. b) Calcula el punto de corte.

96- Halla un punto A de la recta r de ecuación x=y=z y un punto B de la recta s de ecuación

& _{de forma que la distancia entre A y B sea mínima.}

97- Sea r la ecuación . & _, y s la recta dada por 3 ₂2 ₃ 2₂ a) Determina la posición relativa de ambas rectas.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. Andalucía - Junio 2006 – Opción A – Reserva 2

98- Considera la recta r de ecuaciones ₂ ₃ 1₀

a) Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ. b) Calcula la proyección ortogonal del punto A(1,2,1) sobre la recta r.

99- Considera los puntos A(2,1,2) y B(0,4,1) y la recta r de ecuación 2 a) Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B. b) Calcula el área del triángulo de vértices ABC.

100- Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π ecuación x+y+z=1 y forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 18√3.

(16)

47 101- Sea la recta r de ecuación & y el plano π de ecuación x-y+z+1=0. Calcula

el área del triángulo, de vértices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r y el plano π, B el punto (2,1,2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B sobre el plano π. Andalucía - Septiembre 2006 – Opción A – Reserva 4

102- Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de ecuación x = y = z, es paralela al plano π de ecuación 3x+2y-z=4 y pasa por el punto A(1,2,-1).

Andalucía - Septiembre 2006 – Opción B – Reserva 4 103- Considera el punto P(2,0,1) y la recta " ≡ 2 6

2 a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. Andalucía - Junio 2006 – Opción A – Oficial

104- Sean los vectores

B3 80,1,09, B3 82,1, 19 B3 82,3, 19

a) ¿Son los vectores B3 , B3 y B3 linealmente dependientes?

b) ¿Para qué valores de a el vector (4,a+3,-2) puede expresarse como combinación lineal de los vectores B3 , B3 y B3 ?

c) Calcula un vector unitario y perpendicular a B3 y B3 . Andalucía - Junio 2005 – Opción B - Oficial

105- Considera un plano ' ≡ = 3 y la recta " ≡ 1 . a) Halla m para que r y π sean paralelos.

b) Halla m para que r y π sean perpendiculares.

c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π? Andalucía – Septiembre 2005 – Opción A- Oficial

106- Sean los planos ' ≡ 2 5 0 y ' ≡ 2 2 0.

a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π1 y que su

proyección ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1,0,-3).

b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano π2.

Andalucía – Septiembre 2005 – Opción B- Oficial 107- Sea el punto P(1,0,-3) y la recta " ≡ 2 1 0

0

(17)

48 108- Se sabe que los puntos A(m,o,1), B(0,1,2), C(1,2,3) y D(7,2,1) están en un mismo plano.

a) Halla m y calcula la ecuación de dicho plano. b) ¿Están los puntos B, C y D alineados? Andalucía – Junio 2005 – Opción B - Reserva 1 109- Se sabe que las rectas

" ≡ ₂ _{2 0 # ≡}3 0 ₂6 _{2 0}6 0

Son paralelas. a) Calcula a.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. Andalucía – Junio 2005 – Opción A - Reserva 2

110- Considera las rectas " ≡ 2 0_{1 0 # ≡} 1 . a) Halla la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. b) Calcula la distancia de la recta r al plano π.

Andalucía – Junio 2005 – Opción B - Reserva 2

111- Considera el punto A(0,-3,1), el plano ' ≡ 2 2 3 0 y la recta

" ≡ 3

a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. Andalucía – Septiembre 2005 – Opción A - Reserva 3

112- Se sabe que las rectas

" ≡ 1 $1 $

H $ # ≡

3

6 2 2

Están contenidas en un mismo plano. a) Calcula b.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. Andalucía – Septiembre 2005 – Opción B - Reserva 3

113- Calcula la distancia entre las rectas " ≡ 1 2%6 %

5 7% # ≡ 2

3 1 0

3 2 0

114- Sean A(-3,4,0), B(3,6,3) y C(-1,2,1) los vértices de un triángulo. a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo.

b) Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas.

c) Calcula el área del triángulo ABC.

(18)

49 115- Sean los puntos A(1,2,1), B(2,3,1), C(0,5,3) y D(-1,4,3).

a) Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano.

b) Demuestra que el polígono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo. c) Calcula el área de dicho rectángulo.

Andalucía – Junio 2004 – Opción A - Oficial

116- Dados los vectores A23 82,1,09 B3 8 1,0,19, halla un vector unitario C223 que sea coplanario con A23 y B3 y ortogonal a B3.

Andalucía – Junio 2004 – Opción B - Oficial

117- Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta intersección de los planos y+z=1 e y-3z+3=0. Y que sus otros dos vértices son A(2,0,1) y B(0,-3,0). Halla C y el área del triángulo ABC.

Andalucía – Septiembre 2004 – Opción A - Oficial 118- Halla la perpendicular común a las rectas

" ≡ 11

I # ≡

J J 1

1 Andalucía – Septiembre 2004 – Opción B - Oficial

119- Considera las rectas

" ≡ _{2 # ≡} ₃ 1

Halla la ecuación de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z=0. Andalucía – Junio 2004 – Opción A – Reserva 1

120- Sean los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3).

a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B. b) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo que la

recta determinada por los vértices C y D pasa por el origen de coordenadas. Andalucía – Junio 2004 – Opción B – Reserva 1

121- Halla la distancia entre las rectas

" ≡ ₁ 0 2

3 # ≡

1 1 0

(19)

50 122- Considera los puntos P(6,-1,-10), Q(0,2,2) y R, que es el punto de intersección del plano

' ≡ 2 % 2 0 y la recta

" ≡ ₁1 0

Determina λ sabiendo que los puntos P, Q y R están alineados. Andalucía – Junio 2004 – Opción B – Reserva 2

123- Considera el plano ' ≡ 2 7 0 y la recta # ≡ 1 %1 %

1 3%.

a) Halla la ecuación de un plano perpendicular a π y que contenga a la recta r.

b) ¿Hay algún plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo determina sus ecuaciones.

Andalucía – Septiembre 2004 – Opción A – Reserva 3 124- Las rectas

" ≡ ₂ ₂ 2 0_{4 0 # ≡} 6 0_{6 0}

Contienen dos lados de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado.

b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado. Andalucía – Septiembre 2004 – Opción B – Reserva 3

125- Calcula el área del triángulo de vértices A(0,0,1), B(0,1,0) y C, siendo C la proyección ortogonal del punto A(1,1,1) sobre el plano x+y+z=1.

Andalucía – Septiembre 2004 – Opción A – Reserva 4 126- Considera el punto A(0,1,-1), la recta " ≡ 2 0

2 4 y el plano

' ≡ 2 2

Halla la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.

127- Considera los vectores A23 81,1,19, B3 82,2, 9 C223 82,0,09.

a) Halla los valores de a para los que los vectores A23, B3 C223 son linealmente independientes.

(20)

51 128- Sabiendo que las rectas

≡ # ≡ 1 )3 )

)

Se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mínima distancia.

Andalucía – Junio 2004 – Opción A – Oficial

129- Determina el punto P de la recta " ≡ & que equidista de los planos

' ≡ 3 0 ' ≡ 3 %% )

6 ) Andalucía – Junio 2004 – Opción B – Oficial

130- Se sabe que los puntos A(1,0,-1), B(3,2,1) y C(-7,1,5) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.

a) Calcula las coordenadas del punto D. b) Halla el área del paralelogramo.

131- Los puntos A(1,1,0) y B(2,2,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.

Andalucía – Septiembre 2003 – Opción B – Oficial

132- Considera el plano ' ≡ 2 1 0 y la recta " ≡ 3 _{2 0}0 . a) Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano.

b) Calcula el ángulo formado por el plano π y la recta # ≡ 3 _{2 0}0 . Andalucía – Septiembre 2003 – Opción A – Reserva 1

133- Halla la ecuación de una circunferencia que pase por el punto (-1,-8) y sea tangente a los ejes coordenados.

134- Considera el punto P(-2,3,0) y la recta " ≡ ₂ ₂ 2 0_{1 0}. a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a la recta r. b) Determina el punto de r más próximo a P.

(21)

52 135- Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente:

$ $

0 8$ ∈ ?9 I I

J 8I, J ∈ ?9 a) Estudia la posición relativa de la recta y el plano.

b) Dados los puntos B(4,4,4) y C(0,0,0), halla un punto A en la recta r de manera que el triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.

136- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1,-1), es paralela al plano 3 4 y corta a la recta intersección de los planos:

4 2 1

Andalucía – Septiembre 2003 – Opción A – Reserva 3

137- Considera la recta " ≡ ₂ 1 y el plano ' ≡ 2 0. a) Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.

b) Halla el plano que contiene a r y corta al plano π en una recta paralela al plano z=0. Andalucía – Septiembre 2003 – Opción B – Reserva 3

138- Se sabe que el plano π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas.

a) Halla la ecuación del plano π. b) Calcula el área del triángulo ABC.

c) Obtén un plano paralelo al plano π que diste 4 unidades del origen de coordenadas. Andalucía – Septiembre 2003 – Opción A – Reserva 4

139- Halla la perpendicular común a las rectas

" ≡ 1 II

I # ≡

J 2 2J

0 Andalucía – Septiembre 2003 – Opción B – Reserva 4

140- Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano ' ≡ 2 1 y es paralela a la recta " ≡ ₄ 3 ₃ 4 0_{1 0}.

Andalucía - Junio 2002 – Opción A – Oficial

(22)

53 142- Los puntos A(1,0,2) y B(-1,0,-2) son vértices opuestos de un cuadrado.

a) Calcula el área del cuadrado.

b) Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos A y B que pasa por su punto medio.

143- Considera el plano ' ≡ 2 3 y el punto A(-1,-4,2). a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A. b) Halla el punto simétrico de A respecto de π.

Andalucía – Septiembre 2002 – Opción B – Oficial 144- Considera los puntos A(1,-3,2), B(1,1,2) y C(1,1,-1).

a) ¿Pueden ser A, B y C vértices consecutivos de un rectángulo? Justifica la respuesta. b) Halla, si es posible, las coordenadas de un punto D para que el paralelogramo ABCD

sea un rectángulo.

145- Considera los puntos A(1,1,1), B(2,2,2), C(1,1,0) y D(1,0,0)

a) Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A y B y no corta a la recta determinada por C y D.

b) Halla las ecuaciones de la recta determinada por los puntos medios de los segmentos AB y CD.

146- Considera los puntos A(1,-1,2), B(1,3,0) y C(0,0,1). Halla el punto simétrico de A respecto de la recta que pasa por B y C.

Andalucía – Junio 2002 – Opción A – Reserva 2 147- Sea π el plano de ecuación 3x-y+2z-4=0

a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a π y pasa por el punto P(1,-2,2).

b) Halla la ecuación del plano π2 perpendicular a ambos que contiene a la recta

" ≡ ₂ ₄ 1₁

148- Halla el punto de la recta " ≡ 3 ₁1 que está más cercano al punto P(1,-1,0) Andalucía – Junio 2002 – Opción A – Reserva 3

149- Considera la recta r y el plano π siguientes

" ≡ _{1 0 ' ≡ 2}0 H

a) Determina a y b sabiendo que r está contenida en π.

(23)

54 Andalucía – Septiembre 2002 – Opción B – Reserva 3

150- Determina la recta que no corta al plano de ecuación x-y+z=7 y cuyo punto más cercano al origen es (1,2,3).

Andalucía – Septiembre 2002 – Opción A – Reserva 4 151- Sabiendo que las rectas

" ≡ _{2 # ≡}1 ₂2

Se cortan, determina a y el punto de corte.