Números irracionales  

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1.1. Números racionales. Los números reales.

1.1.1. Sucesivas ampliaciones el campo numérico.

LOS NÚMEROS NATURALES.

N= {1,2,3,4,...}

LOS NÚMEROS ENTEROS.

Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

LOS NÚMEROS RACIONALES.

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1.1.2. Expresión decimal de los números racionales

Todos los números racionales admiten una expresión decimal, que se obtiene al realizar la operación indicada. Pueden ser de tres tipos:

Números decimales exactos: cuando el número de cifras decimales es finito. Por ejemplo: 0,5.

Números decimales periódicos puros: cuando el número de cifras decimales es

infinito y existe un conjunto de cifras decimales que se repite infinitamente (periodo). Por ejemplo: 0,33333...

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1.1. Números racionales. Los números reales.

1.1.3. Fracción generatriz de números decimales exactos y

periódicos

Sea x=E,D un número decimal exacto, donde E son las cifras de la

parte entera, y D las cifras de la parte decimal, siendo n el número de

cifras de D, entonces

ceros n

ED x

0 0

1 

Sea x=E,P un número decimal periódico puro, donde E son las cifras

de la parte entera, y P las cifras de la parte periódica, siendo n el número

de cifras de P, entonces

nueves n

E EP x

9 9

 

Sea x=E,AP un número decimal periódico mixto, donde E son las cifras

de la parte entera, A las cifras del anteperiodo y P las cifras de la parte

periódica, siendo m el número de cifras de A y n el número de cifras de P,

entonces

  ceros m nueves n

EA EAP x

0 0 9

9 

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1.1. Números racionales. Los números reales.

1.1.4. Densidad de los números racionales

1.1.5. Los números irracionales

Consideremos dos números racionales cualesquiera p y q, es claro que el número

2

q

p también es racional y está situado entre p y q. Si ahora consideramos el número

2 2 q

q p

este número estará situado entre 2

q

p y q. Repitiendo este proceso

indefinidamente podríamos conseguir infinitos números racionales entre p y q.

Dados dos números racionales p y q cualesquiera, existen infinitos

números racionales entre p y q. Esta característica define la densidad

de Q, y por eso decimos que Q es un conjunto DENSO.

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1.1. Números racionales. Los números reales.

1.1.6. Los números reales. La recta real

El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se denomina conjunto de los números reales y se representa mediante la letra R.

...

6180339887

'

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1.1. EJERCICIOS

1. Determinar si los siguientes números son o no números racionales:

a) 7’555555.... b) 3’034035036037... c) 1’03034444444.... d) 34,350350350351

2. Efectuar las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal:

a) 6 0 ' 0

2 ' 1 6 ' 0

 

 b)

5 ' 1

6 ' 0 3 ' 0

4   c)

0'40'5

0'132

3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:

a) 1’23234234523456....b) 1’23232323.... c) 1’234235236237... d) 1’23

4. Representar en la recta real los siguientes radicales cuadráticos: a) 34 b) 21

5. Calcula la fracción irreducible correspondientes a

a. 1,2222222… b) 0,1262626…. c) 0,08755555… d) 38,01343434…

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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos

• 1.2.1. Orden en R

1.2.2. Propiedades de las desigualdades de números reales

Dados dos números reales a y b, diremos que ab si y solo si en la

representación de dichos números, b queda situado a la derecha de a o bien b coincide con a.

Dados dos números reales a y b, diremos que ab si y solo si b-a es positivo o

cero.

ab “a es mayor o igual que b”  ba

ab “a es menor que b”  ab,ab

ab “a es mayor que b”  ba

 Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces se verifica que si

c

b

c

a

b

a

.

 Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real positivo entonces si

a

b

a

c

b

c

.

 Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real negativo si

c

b

c

a

b

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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones

1.2.3. Intervalos y semirrectas.

Intervalo cerrado de extremos a,b: se designa por [a,b] y esta definido por [a,b]{xR/axb}, son los números reales

comprendidos entre a y b incluidos los extremos.

Intervalo abierto de extremos a,b: se designa por (a,b) y esta definido por: (a,b) {xR/axb}, son los números reales

comprendidos entre a y b excluyendo los extremos.

Intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b) están definidos por:

} /

{ ] ,

(a bxR axb [a,b) {xR/axb}

Semirrectas

} /

{ ) ,

( axR xa (,a]{xR/ xa} }

/ {

) ,

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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con

intervalos

1.2.4. Entornos

1.2.5. Operaciones con intervalos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se representa por E(a,r) al intervalo abierto (a-r,a+r).

Se llama entorno reducido de centro a y radio r, y se representa por E*(a,r) al intervalo (a-r,a+r)\{a}

Dados dos intervalos I1,I2 se definen la operaciones unión e intersección

como:

1 2

1 I {x R/ x I

I     ó xI2} 1

2

1 I {x R/ x I

I     y xI2}

Ejemplos:

a) (2,4)[4,7)

b) [2,)(0,4)

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1.2. Ejercicios

1. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordenarlos de menor a mayor: a.

2 7 , 12

1 , 4 3 , 3

2 y

6 1

b. ,,1'67,1'678 y 1'698

c. 3'4,3'38,3'38,3'388 y 3'401

2. Intercalar tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes: a) 1'02,1'031 b) 3'02,3'032.

3. Realizar las siguientes operaciones con intervalos y representar el resultado obtenido: a) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6)

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1.3. Potencias y Radicales

1.3.1. Potenciación de números reales. Propiedades

Sea a un número real (aR) , y sea n un número entero (nZ) se define la potencia de

base a y exponente n como:

a a a a veces n n

si n>0 y n n

a

a  1 si n>0 .

Propiedades de las potencias:

a

n

a

m

a

mn (producto de potencias de la misma base)

n m m n

a a

a :   (cociente de potencias de la misma base)

n n n

b a b

a  (  ) (producto de potencias del mismo exponente)

n n n

b a b

a : ( : ) (cociente de potencias del mismo exponente)

m n mn

a a )  

( (potencia de una potencia)

Ejemplos:

5

3

5

5

5

125

;

27

1

3

1

3

3

3

;

4 9 2 3 2 3 2 3 3

2 2 2

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1.3. Potencias y Radicales

1.3.2. Raíz n-ésima de un número real

Sea a un número real, y n un número natural diremos que x es la raíz n-ésima de a y se escribe xn a n

x a

.

A la expresión n

a se le llama radical y se puede expresar como potencia de exponente fraccionario n

a1/ . En el caso n amam/n .

El valor numérico de un radical es el resultado de efectuar la raíz n-ésima que indica, así:

3

9   ya que 32  9 y (3)2  9, 3 27 3 ya que 33 27,

3 27

3    ya que

27 )

3

( 3   ,4 625  5 pues 54 625 y

625 )

5

( 4  , 32 no existe en los reales, 0

0

6  ,

2=1’414213... , 3=1’7320..

Como podemos observar el valor numérico de un radical depende del radicando y del índice, así:

Si a>0: si el índice n es impar el resultado es una raíz n-ésima positiva si el índice n es par existirán dos raíces una positiva y otra negativa Si a=0: el resultado es siempre 0

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1.3. Potencias y Radicales

1.3.3. Radicales equivalentes.

1.3.4. Reducción de radicales a índice común

Dos radicales diremos que son equivalentes si tienen el mismo valor numérico.

Ejemplo: Los radicales 6 27 y 3 son equivalentes pues su valor numérico es 1’73200508...

2 / 1 6

/ 3 6

/ 1 6

3

3

27

27

p

n m p

n m

a

a

 

Una utilidad de la propiedad anterior consiste en la construcción de varios radicales con el índice común. Para ello basta considerar el m.c.m. de los índices de los radicales y aplicar la propiedad.

Por ejemplo, consideremos los siguientes radicales 3 4,1225,4 33 ,

p m

n p

n m

a

a

a

a

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1.3. Potencias y Radicales

1.3.5. Operaciones con radicales.

Producto de radicales. Si tienen el mismo índice se cumple n m n p n m p

b a b

a   

Cociente de radicales Si tienen el mismo índice se cumple n m n p n m p

b a b

a :  :

Potencia de radicales

 

n a mn am

Esta propiedad sólo es válida cuando existen los radicales n

a y n am . Ejemplo:

 

36  (3)6 ya que 3

 no existe.

Raíz m-ésima de un radical m n apmn ap

Extracción e introducción de factores de un radical. n nr p r n p

a a

a    

Suma y diferencia de radicales. Solamente podemos sumar o restar dos radicales si estos son

semejantes, por ejemplo: 3 25 27 25 2.

Puede ocurrir que inicialmente los radicales no sean semejantes, pero extrayendo o introduciendo factores se pueden convertir en semejantes y podemos realizar la operación.

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1.3. Potencias y Radicales

1.3.6. Simplificación de radicales.

1.3.7. Racionalización de denominadores.

Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente que tenga el índice menor,

y extraer de la raíz todos los factores posibles.

Por ejemplo, simplificar el radical 4

64

.

El procedimiento por el cual transformamos una expresión algebraica que contiene radicales en el denominador en otra expresión algebraica equivalente sin radicales en el denominador se denomina racionalización de denominadores.

Para racionalizar utilizamos varios procedimientos:

a) Cuando en el denominador hay un único sumando que contiene un radical de índice 2 del tipo a. Entonces multiplicamos numerador y denominador por a.

Por ejemplo:

2 6 3 2 2

2 3 3 2

3

3

 

 .

b) Cuando en el denominador aparece un único sumando que contiene un radical del tipo m p

a

con p<m. En ese caso multiplicamos numerador y denominador por el radical m q

a donde p+q=m.

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1.3. Potencias y Radicales. EJERCICIOS.

1. Realizar las siguientes operaciones con potencias:

a) (34 54:4333(3/8)2 b) 1 4 3 3 5 4 3    z y y z x z y x

2. Ordenar de mayor a menor los siguientes radicales: a) 8

16, 125, 4

49 b) 3 4

16 , 345 , 34

3. Efectua y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario:

a)

5 5 5

5  b) 3 4

3 5

15 3 2

c) 3

3 5 3 5  

d) 216 1503 29415 24 e)

4 6 5 2 5 5 3 5 5

3

 

4. Racionaliza los denominadores de:

a) 7 5 7 5   b) 5 3 2 7 3 5  

c) 3 5 49 2 5 7 5. Simplifica las siguientes expresiones:

a) 4 2

3 5 125 4 a a

b) x 3 yx4 x3y3 c)

4 5 4 8 4

2 2

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1.4. Logaritmos

1.4.1. Concepto de logaritmo

1.4.2. Logaritmos decimales y logaritmos neperianos

Sea a>0 y a 1 y consideremos y  0. El logaritmo en base a de y es el exponente al

que debemos elevar a para obtener y. Se representa mediante loga y :

y

a

x

y

x

a

log

OBSERVACION

Para obtener loga y es necesario que y sea positivo, pues toda potencias ax  0, es decir, no es posible calcular log2(7) pues no existe ningún número real que verifique que

7 2x  

Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales y se escriben sin indicar en el subíndice la base.

Así por ejemplo, log5  log105..

De la misma forma los logaritmos con base el número e, se denominan logaritmos neperianos en honor a John Neper y se escribe mediante la abreviatura ln.

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1.4. Logaritmos

1.4.3. Propiedades de los logaritmos.

1.

log

a

1

0

para cualquier a>0,

a

1

2.

log

a

a

1

para cualquier a>0,

a

1

3.

log

a

(

M

N

)

log

a

M

log

a

N

.

4.

log

a

(

M

/

N

)

log

a

M

log

a

N

5.

log

a

(

M

)

N

N

log

a

M

6. CAMBIO DE BASE:

a

M

M

b b a

log

log

log

Ejemplos: 1) 7 3

3 5

3

27

log

1

/

25

log

49

log

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1.4. EJERCICIOS: Logaritmos

1. Calcular por definición, sin el uso de la calculadora: a) log0'01 b)

1000 1

log c) log(100)

d) log327 e) log5625 f) log1/232 g) log0'22/50

2. Sabiendo que ln(x)0'25, lny0'15 y ln102'30, utiliza las propiedades de los logaritmos y la definición

para obtener el resultado de:

y x x x x y e ln 1 ' 0 log 3

3. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener: a) 5 625 log 3 27 log 256 log 5 3 2 3 3

2   b) 7 2 5 3

10 001 ' 0 log 225 1 log 1

ln  

e

c)

2ln(5 )

16 8 log 6

36

log 2 6 7 5

6    e d)

001 ' 0 10 log ln 5 3 e e

Figure

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