Ejercicios Resueltos

1

VECTORES

Ejercicio nº 1.-

Ejercicio nº 2.-

b) Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de



3?

Ejercicio nº 3.-

a) ¿Son linealmente independientes?

b) ¿Forman una base de

ℝ

3?

Ejercicio nº 4.-

B = {(2, 1, 0), (1, 0, −2), (0, 0, 3)}.

Ejercicio nº 5.-

a) ¿Forman una base de 3_?

PRODUCTO ESCALAR

Ejercicio nº 1.-

Ejercicio nº 2.-

(

)

(

)

(

)

 

 

3

Consideramos la base de formada por los vectores a 2, 1, 3 , b 0, 2, 1 y c 3, 0, 1 .

− −

(

4 7 14

)

respectodelabaseanterior. u

de s coordenada las

Halla

a)  ,− ,

(

2 0 3

) (

v 1 2 0

)

u

siendo , 0 w v u que tales , , de valores los

Halla

a) x y z x+y+z =  , ,− ,  ,− ,

(

3,2, 6

)

. w

y  −

(

2, 1,0

)

y v

(

3,2, 1

)

: u

vectores los

Dados  −  −

. v 2 1 w 3 u 2 que tal , w vector, un Halla

c)  +  = 

es u que asegurar ¿Podemos

es. dependient e

linealment son

w y v , u que sabe Se

a)    

respuesta. tu

Justifica ?

w y v de lineal n

combinació  

(

4 3 7

)

respectodelabase a

vector del s coordenada las

Halla

b)  , ,

(

1,2,3

) (

, b1,1,1

) (

, c1,0,5

)

y d

(

1,1,3

)

:

a vectores los

Dados     −

.

c y b , a de lineal n combinació como

d vector el posible, es

si Expresa,

b)    

(

1, 1,0

) (

, b0,1, 1

)

y c a b:

a vectores los

Dados  −  − =m−

lares. perpendicu sean

c y a que para de valor el Halla

a) m  

.

c y b forman que

ángulo el

halla , 2 Para

b) m=  

sea j i c que forma de e halla k j 2 i b j i 2 a vectores los

Dados = −; =+ −; x y =x+y

.

a que módulo mismo

el tenga y b a lar

perpendicu  

. u y b , a de lineal n combinació como

c vector el posible, es

si Expresa,

2

Ejercicio nº 3.-

Ejercicio nº 4.-

perpendicular a (1, 0, 0).

Ejercicio nº 5.-

PRODUCTO VECTORIAL

Ejercicio nº 1.-

Ejercicio nº 2.-

a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, −1, 1) y a (1, −2, 0).

Ejercicio nº 3.-

Ejercicio nº 4.-

Ejercicio nº 5.-

módulo, mismo

el tienen que y 45 de ángulo un

forman que

vectores dos

v y u

Sean   o

. 2 v u =  =

? v u de el ¿Y ? v u de módulo el

es ¿Cuál

a) + −

lares. perpendicu son

v u y v u que Demuestra

b) + −

(

1,0,0

)

y v

(

1,1,0

)

: u

vectores los

Dados  

. v y u forman que

ángulo el como así , v sobre u de proyección la

Halla

a)    

(

) (

0 0 0

)

queseacombinaciónlinealde u y v, yquesea

vector un Encuentra

b) x,y,z ≠ , , ,  

(

)

(

)

(

)

Dados los vectores u 2, −1, 3 , v 4, 2, −2 y w 1, 2, x :

. , v yelánguloqueforman u y v u

Halla

a)    

. 60 de ángulo un

formen w y u que para de valor el Obtén

b) x   o

(

1,3,0

)

y v

(

2,1,1

)

: u

vectores los

Dados  

. v a y u a lar perpendicu sea

que 1, módulo de

, w vector, un Halla

a)   

? v y u por o determinad amo

paralelogr del

área el es ¿Cuál

b)  

siendo:

, w u y v u vectores los

por o determinad amo

paralelogr un

de área el

Halla × ×

(

2 1 1

) (

v 0 1 1

)

y w

(

1,0,1

)

u ,− , ,  , ,− 

(

u v

)

w u

(

v w

)

?Ponunejemplo.

que cierto ¿Es

b) × ×  =× ×

que: tiene se ra, cualesquie vectores

dos son v y u si que, Demuestra

a)  

(

u−v

) (

× u+v

) (

=2u×v

)

(

2, 1,1

)

ya v

(

3,0, 1

)

. u

a lar perpendicu vector

un Halla

b)  −  −

(

2 0 1

)

u por o determinad amo

paralelogr del

área el que para de valor el

Halla m  , ,

(

0 1

)

sea2. v

3

PRODUCTO MIXTO

Ejercicio nº 1.-

independientes, cualquiera que sea el valor de k.

Ejercicio nº 2.-

b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?:

Ejercicio nº 3.-

sean linealmente independientes.

Ejercicio nº 4.-

a) Determinen un paralelepípedo de volumen 10.

b) Sean linealmente dependientes.

Ejercicio nº 5.-

a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.

(

, 3 2

) (

, v 3 2

)

y w

(

1,0,0

)

sonlinealmente u

vectores los

que Demuestra

a)  k − ,  k, , 

? w y v , u por o determinad pedo

paralelepí del

volumen el

es ¿Cuál

b)   

(

2 1 1

)

, u

vectores los

por o determinad pedo

paralelepí del

volumen el

Calcula

a)  ,− ,

(

3 0 2

)

y w

(

2 3 0

)

. v , ,−  ,− ,

[

2u,v,w

] [

; u,v,u+v

]

(

0,1,1

) (

v 2 0 1

)

y w

(

11

)

u vectores los

que para de valores los

Halla

a) m  ,  − , ,  m,m− ,

(

2,1,0

)

dependelinealmentede u, v y w paraelcaso 3.

vector el si Estudia

b)    m=

(

1,2,3

) (

, v 1,1,1

)

y w

(

1, ,5

)

; hallaelvalorde paraque: u

vectores los

Dados    λ λ

(

1,0, 1

) (

, v 0,2, 1

)

y w

(

2 2 1

)

, sepide: u

vectores los

Dados  −  −  ,− ,

(

6

)

sepuedaexpresar como a

vector el que para de valor el existe, si Halla,

b) α  α,α,−

. v y u de lineal n

4

SOLUCIONES EJERCICIOS

VECTORES

Ejercicio nº 1.-

Solución:

a) Tenemos que encontrar tres números

x

,

y

,

z

, tales que:

(4, 7, 14) =

x

(2, 1, 3),

y

(0, 2,1),

z

(3, 0, 1)

(4, 7, 14) = (2

x

, 3

z

,

x

, 2

y

, 3

x

,

y

,

z

)

b) De la igualdad obtenida en a), tenemos que:

Ejercicio nº 2.-

b) Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de



3?

Solución:

a)

x

(2, 0, -3) +

y

(1, -2, 0) +

z

(3, 2, -6) = (0, 0, 0)

(

)

(

)

(

)

 

 

3

Consideramos la base de formada por los vectores a 2, 1, 3 , b 0, 2, 1 y c 3, 0, 1 .

− −

(

4 7 14

)

respectodelabaseanterior. u

de s coordenada las

Halla

a)  ,− ,

: decir es , c b a

u=x+y+z

11 1 1 3

0 2 1

3 0 2 :

Cramer de

regla la aplicando resolvemos

Lo 14 3

7 2

4 3 2

− = − − = 

   

= + −

− = +

−

= +

A z

y x

y x

z x

; 1 11 11 11

1 14 3

0 7 1

3 4 2

; 5 11 55 11

1 1 14

0 2 7

3 0 4

− = − = −

− −

= = − − = −

− −

= y

x

2 , 1 , 5 : .

2 11 22 11

14 1 3

7 2 1

4 0 2

− = − = = −

= − = −

− − −

= Solución x y z

z

(

5, 1, 2

)

, esdecir:

son dada base la de respecto

u de s coordenada las

tanto,

Por  − −

c 2 b a 5

u= −− 

u 2 1 b 2 1 a 2 5 c u b a 5 c 2 c 2 b a 5

u= −−  → = −− → = − − 

(

2 0 3

) (

v 1 2 0

)

u

siendo , 0 w v u que tales , , de valores los

Halla

a) x y z x+y+z =  , ,− ,  ,− ,

(

3,2, 6

)

. w

y  −

. u y b , a de lineal n combinació como

c vector el posible, es

si Expresa,

5

(2x + y + 3z, −2y + 2z, −3x − 6z) = (0, 0, 0)

Para resolver el sistema, podemos prescindir de la 1a ecuación y pasar la

z

al 2o miembro:

b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes.

Por tanto, no son base.

Ejercicio nº 3.-

a) ¿Son linealmente independientes?

b) ¿Forman una base de

ℝ

3?

Solución:

a) Sí son linealmente independientes, puesto que si escribimos:

x(2, −1, 0) + y(3, 2, −1) = (0, 0, 0), es decir:

este sistema solo tiene la solución trivial:

x = y = 0

b) No forman una base de 3_{, pues para obtener una base de} 3 _{necesitamos tres vectores (linealmente} independientes).

Por tanto:

Ejercicio nº 4.-

B = {(2, 1, 0), (1, 0, −2), (0, 0, 3)}.

0 6 0 3

2 0 0 6 2 0 3

2 0

3 1 2

0 6 3

0 2 2

0 3 2

≠ − = −

− =

− −

− =

    

= − −

= + −

= + +

A z

x

z y

z y x

λ = λ = λ − = 

  − = =    = −

− = −

z y x

Solucione z

x z y z x

z y

, , 2 : s 2

6 3

2 2

(

2, 1,0

)

y v

(

3,2, 1

)

: u

vectores los

Dados  −  −

. v 2 1 w 3 u 2 que tal , w vector, un Halla

c)  +  = 

    

= −

= + −

= +

0 0 2

0 3 2

y y x

y x

u 3 2 v 6 1 w u

2 v 2 1 w 3 v 2 1 w 3 u 2

c) +  =  →  = −  →  = − 

(

)

(

)



  



− −

= − − − =

6 1 , 1 , 6

5 0 , 1 , 2 3 2 1 , 2 , 3 6 1 w

es u que asegurar ¿Podemos

es. dependient e

linealment son

w y v , u que sabe Se

a)    

respuesta. tu

Justifica ?

w y v de lineal n

combinació  

(

4 3 7

)

respectodelabase a

vector del s coordenada las

Halla

6

Solución:

encontrar tres números, x, y, z, tales que:

Es decir:

(4, 3, 7) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, −2) + z(0, 0, 3)

(4, 3, 7) = (2x + y, x, −2y + 3z)

Ejercicio nº 5.-

a) ¿Forman una base de 3_?

Solución:

a) No forman una base, pues cuatro vectores en 3 _{siempre son linealmente dependientes.}

b) Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que:

Es decir:

(−1, 1, 3) = x(1, 2, 3) + y(1, 1, 1) + z(1, 0, 5)

(−1, 1, 3) = (x + y + z, 2x + y, 3x + y + 5z)

(

1,0,0

) (

, v 0,1,0

)

, y w

(

0,2,0

)

: u

tomamos si

ejemplo, Por

No.

a)   

. v 2 w pues es, dependient e

linealment

Son  = 

−

. w y v de lineal n combinació es

no u embargo,

Sin   

−

(

2,1,0

) (

, c 1,0, 2

) (

, d0,0,3

)

alosvectoresdelabase . Tenemosque b

Llamamos

b)   −  B

d c b

a=x+y+z

1 3

2 7 2

7 3

2 2 4 3

7 3 2

3 4 2

= + = → + =

− = − = =

  

  

 

= + −

= = +

y z

y z

x y

x

z y

x y x

(

3, 2,1

)

, esdecir: son

base la de respecto a

de s coordenada

Las  B −

d c 2 b 3

a= − +

(

1,2,3

) (

, b1,1,1

) (

, c1,0,5

)

y d

(

1,1,3

)

:

a vectores los

Dados     −

.

c y b , a de lineal n combinació como

d vector el posible, es

si Expresa,

b)    

c b a

d=x+y+z

: Cramer de

regla la aplicando resolvemos

Lo 3 5 3

1 2

1

    

= + +

= +

− = + +

z y x

y x

7

Por tanto: x = 2, y = −3, z = 0

PRODUCTO ESCALAR

Ejercicio nº 1.-

Solución:

tenemos que:

Ejercicio nº 2.-

Solución:

6 5 1 3

0 1 2

1 1 1

− = =

A

0 6 0 6

3 1 3

1 1 2

1 1 1

; 3 6 18 6

5 3 3

0 1 2

1 1 1

; 2 6 12 6

5 1 3

0 1 1

1 1 1

= − = −

−

= −

= − = −

−

= =

− − = − −

= y z

x

c 0 b 3 a 2 d así:

Y = − + 

(

1, 1,0

) (

, b0,1, 1

)

y c a b:

a vectores los

Dados  −  − =m−

lares. perpendicu sean

c y a que para de valor el Halla

a) m  

.

c y b forman que

ángulo el

halla , 2 Para

b) m=  

(

1, 1,0

) (

0,1, 1

) (

, 1,1

)

b a c

a) =m−=m − − − = m −m−

(

) (

)

2 1 0

1 2 1 1

, 1 , 0 , 1 , 1 c a c

a⊥→·= − · m −m− =m+m+ = m+ = → m=−

(

2, 3,1

)

. Sillamamos alánguloqueforman b y c, c

queda , 2 Para

b) m=  − α  

' ' 51 ' 27 139 76

, 0 28

4 14 · 2

4 c

b c

b ₌ − ₌ − _{≈ → α=} o

= α _ _



·

cos ·

sea j i c que forma de e halla k j 2 i b j i 2 a vectores los

Dados = −; =+ −; x y =x+y

.

a que módulo mismo

el tenga y b a lar

perpendicu  

(

2, 1,0

)

b

(

1,2, 1

)

c

(

, ,0

)

a −  −  x y

5 4

2 5

5 a

c

0 2 0

b c b c

2 2 2

2 2

2

= + − =

   

= + → =

+ → =

= + → = →

⊥

y y

y x

y x y

x

y x 



   

8

Hay dos soluciones:

Ejercicio nº 3.-

Solución:

Ejercicio nº 4.-

perpendicular a (1, 0, 0).

  

− = → =

= → − = → = → =

2 1

2 1

1 5

5 2 2

x y

x y

y y

(

2, 1,0

)

. c

a e correspond que

, 1 ,

2 =− −

=

• x y 

(

2,1,0

)

. c

a e correspond que

, 1 ,

2 = −

− =

• x y 

módulo, mismo

el tienen que y 45 de ángulo un

forman que

vectores dos

v y u

Sean   o

. 2 v u =  =

? v u de el ¿Y ? v u de módulo el

es ¿Cuál

a) + −

lares. perpendicu son

v u y v u que Demuestra

b) + −

(

+

) (

+

)

= + + + = + + =

=

+ 2 2 2

v v u · 2 u v v u v v u u u v u v u v u

a)     ·   · ·  ·  ·  · 

( )

+ = + + = + →

+

= 4 8 4 2

2 2 · 8 4 4 v , u · v u · 2

4  ·  cos  

70 , 3 2 4 8 v

u+ = + ≈

→  

(

u v

) (

u v

)

u 2u v v 4 2· u v · 45 4 8 4 2

v

u₋ 2₌ ₋ _· ₋ ₌  2₋ _·₊  2 _{= −}  _·  _cos o_{+ = −}

53 , 1 2 4 8 v

u− = − ≈

(

u v

) (

u v

)

u u u v v u v v u v 4 4 0

b) + · − =·−·+·− ·=  2−  2= − =

(

u+v

) (

⊥ u−v

)

(

1,0,0

)

y v

(

1,1,0

)

: u

vectores los

Dados  

. v y u forman que

ángulo el como así , v sobre u de proyección la

Halla

a)    

(

) (

0 0 0

)

queseacombinaciónlinealde u y v, yquesea

vector un Encuentra

9

Solución:

Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero:

(a + b, b, 0) · (1, 0, 0) = 0 → a + b = 0 → b = −a

Por tanto, cualquier vector de la forma:

(0, b, 0), con b ≠ 0 cumple las condiciones exigidas.

Ejercicio nº 5.-

Solución:

b) Ha de cumplirse que:

2 2 2 1 v

v u v u

a) =  = =

  

 ·

sobre de Proyección

: que tenemos ,

v y u forman que ángulo al llamamos

Si α  

o

45 2

2 2 1 2 · 1

1 v u

v

u _{= = = → α=}

= α _ _

·

cos ·

: decir es , v u forma la de es v y u de lineal n combinació sea

que vector Un

b)   a+b

(

1,0,0

) (

1,1,0

) (

, ,0

)

v

u b a b a b b

a+  = + = +

(

)

(

)

(

)

Dados los vectores u 2, −1, 3 , v 4, 2, −2 y w 1, 2, x :

. , v yelánguloqueforman u y v u

Halla

a)    

. 60 de ángulo un

formen w y u que para de valor el Obtén

b) x   o

( )

1 3 14 3,74 2

u

a)  ₌ 2_{+ −} 2₊ 2 _{= ≈}

( )

2 24 4,90 2

4

v ₌ 2₊ 2_{+ −} 2 _{= ≈}

: que tenemos

, v y u forman que ángulo al llamamos

Si α  

. 90 decir, es lares, perpendicu son

v y u 0 v u

6 2 8 v u

v

u ₌ − − _{= → α=} o

=

α _ _{  }  

· ·

cos ·

: decir es , w u

w u 60o

 

 

·

10

PRODUCTO VECTORIAL

Ejercicio nº 1.-

Solución:

Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1:

Ejercicio nº 2.-

Solución:

2 2

14 70

3 2

1 5

· 14

3 2 2 2 1

x x x

x

+ = → + + − =

2 2

2 2

22 70 36

14 70 6

14

70+ x = x → + x = x → = x

      

=

> = −

= =

=

11 35

) 0 3 v u pues vale, (no 11 35

11 35 22 70

2

x

x x

x

 

·

(

1,3,0

)

y v

(

2,1,1

)

: u

vectores los

Dados  

. v a y u a lar perpendicu sea

que 1, módulo de

, w vector, un Halla

a)   

? v y u por o determinad amo

paralelogr del

área el es ¿Cuál

b)  

: es v a y u a lar perpendicu vector

Un

a)  

(

1,3,0

) (

2,1,1

) (

3, 1, 5

)

v

u×= × = − −

   



 − −

= × × =

35 5 , 35

1 , 35 3 v u

v u w  

  

   

  − 

  



 − −

35 5 , 35 1 , 35

3 y 35

5 , 35

1 , 35 3 : soluciones dos

Hay

2

u 92 , 5 35 v u Área

b) = × = ≈

siendo:

, w u y v u vectores los

por o determinad amo

paralelogr un

de área el

Halla × ×

(

2 1 1

) (

v 0 1 1

)

y w

(

1,0,1

)

u ,− , ,  , ,− 

: w u y v u

Calculamos × × •

(

0,2,2

)

11

vectorial:

a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, −1, 1) y a (1, −2, 0).

Ejercicio nº 3.-

Solución:

a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3, −1, 1) × (1, −2, 0) = (2, 1, −5)

Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1:

También cumple las condiciones su opuesto:

b) En general, no es cierto. Por ejemplo:

Ejercicio nº 4.-

Solución:

(

1 11

)

w u

b=× = − ,− ,

producto su

de módulo al

igual es b y a por o determinad amo

paralelogr del

área

El  

•

(

0 2 2

) (

1, 1,1

) (

4, 2,2

)

b

a×= , , × − − = −

( )

2 2 2

2 _{2 2 16 4 4 24 4,90u}

4 + − + = + + = ≈

= Área

(

u v

)

w u

(

v w

)

?Ponunejemplo.

que cierto ¿Es

b) × ×  =× ×

   



 −

30 5 , 30 1 , 30 2

   



 − −

30 5 , 30

1 , 30

2

(

1,0,0

)

v

(

1,0,0

)

w

(

0,1,0

)

u= =  =

(

)

(

)

(

) (

) (

) (

)



   − = ×

= ×

= × ×

= × = × ×

0 , 1 , 0 1 , 0 , 0 0 , 0 , 1 1 , 0 , 0 u w v u

0 w 0 w v u

   

     

(

u v

)

w u

(

v w

)

.

tanto,

Por × ×  ≠ × × 

que: tiene se ra, cualesquie vectores

dos son v y u si que, Demuestra

a)  

(

u−v

) (

× u+v

) (

=2u×v

)

(

2, 1,1

)

ya v

(

3,0, 1

)

. u

a lar perpendicu vector

un Halla

b)  −  −

(

u v

) (

u v

)

u u u v v u v v 0 u v u v 0 2

(

u v

)

12

Ejercicio nº 5.-

Solución:

•

Igualamos a 2:

PRODUCTO MIXTO

Ejercicio nº 1.-

independientes, cualquiera que sea el valor de k.

Solución:

a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor

de

k

.

b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto:

Volumen

= 12 u3

. u v v u que y 0 u u que cuenta en Tenemos )

*

( ×= ×=−×

(

2, 1,1

) (

3,0, 1

) (

1,5,3

)

v u

b) × = − × − =

(

2 0 1

)

u por o determinad amo

paralelogr del

área el que para de valor el

Halla m  , ,

(

0 1

)

sea2. v

y  ,m,

. v u a igual es v y u por o determinad amo

paralelogr del

área

El   ×

•

: módulo su

hallamos y

v u Calculamos × •

(

2,0,1

) (

0,m,1

) (

m, 2,2m

)

v

u×= × = − −

( ) ( ) ( )

2 2 4 4 5 4

v

u× = −m 2+ − 2+ m 2 = m2+ + m2 = m2+

0 0

5 4 4 5 2 4

5 2_{+ = →} 2_{+ = →} 2_{= → =}

= m m m m

Área

(

, 3 2

) (

, v 3 2

)

y w

(

1,0,0

)

sonlinealmente u

vectores los

que Demuestra

a)  k − ,  k, , 

? w y v , u por o determinad pedo

paralelepí del

volumen el

es ¿Cuál

b)   

[

]

12 0 paratodo . 0

0 1

2 3

2 3 w

, v ,

u k k

k

≠ − = −

13

Ejercicio nº 2.-

b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?:

Solución:

de su producto mixto:

b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:

Ejercicio nº 3.-

sean linealmente independientes.

Solución:

a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero:

Ha de ser

m

= 4.

base de

ℝ

3. Por tanto, cualquier vector de

ℝ

3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos.

Ejercicio nº 4.-

a) Determinen un paralelepípedo de volumen 10.

b) Sean linealmente dependientes.

(

2 1 1

)

, u

vectores los

por o determinad pedo

paralelepí del

volumen el

Calcula

a)  ,− ,

(

3 0 2

)

y w

(

2 3 0

)

. v , ,−  ,− ,

[

2u,v,w

] [

; u,v,u+v

]

absoluto valor

al igual es w y v , u por o determinad pedo

paralelepí del

volumen El

a)   

[

]

3

u 17 17

0 3 2

2 0 3

1 1 2 w , v ,

u =− → =

− − −

= Volumen

  

[

2u,v,w

] [

=2u,v,w

]

=2⋅

(

−17

)

=−34

[

u,v,u+v

]

=0 (eltercervectordependelinealmentedelosdosprimeros).

(

0,1,1

) (

v 2 0 1

)

y w

(

11

)

u vectores los

que para de valores los

Halla

a) m  ,  − , ,  m,m− ,

(

2,1,0

)

dependelinealmentede u, v y w paraelcaso 3.

vector el si Estudia

b)    m=

[

]

4 0 4

1 1

1 0 2

1 1 0 w , v ,

u = − = → =

− −

= m m

m m   

una forman y ntes, independie e

linealment son

w y v , u vectores los

, 3 Para

b) m=   

(

1,2,3

) (

, v 1,1,1

)

y w

(

1, ,5

)

; hallaelvalorde paraque: u

vectores los

14

Solución:

de su producto mixto:

b) Su producto mixto ha de ser cero:

Ejercicio nº 5.-

a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.

Solución:

a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto:

independientes); por tanto, su producto mixto ha de ser cero:

absoluto valor

al igual es w y v , u por o determinad pedo

paralelepí del

volumen El

a)   

[

]

2 6

5 1

1 1 1

3 2 1 w , v ,

u = λ−

λ =   

  

− = λ → − = λ → − = − λ

= λ → = λ → = − λ = − λ =

2 4

2 10 6 2

8 16

2 10 6 2 10 6 2 Volumen

2 ,

8 : soluciones dos

Hay λ1= λ2 =−

[

u, v, w

]

=2λ−6=0 → λ=3

(

1,0, 1

) (

, v 0,2, 1

)

y w

(

2 2 1

)

, sepide: u

vectores los

Dados  −  −  ,− ,

(

6

)

sepuedaexpresar como a

vector el que para de valor el existe, si Halla,

b) α  α,α,−

. v y u de lineal n

combinació  

[

]

3

u 4 4

1 2 2

1 2 0

1 0 1 w , v ,

u = → =

− − −

= Volumen

  

e linealment son

v y u ( es dependient e

linealment ser

de han a y v , u vectores Los

b)     

[

]

3 12 0 4

6 1 2 0

1 0 1 a , v ,

u = α− = → α=

− α α

− − =