Tema 2

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Politécnica Territorial del Oeste de Sucre “Clodosbaldo Russián” Cumaná – Estado Sucre

Programa Nacional de Formación en Informática

Unidad Curricular:

Investigación de Operaciones

Facilitador:

MSc. Leonardo Javier Malavé Quijada

Investigación de Operaciones – Tema # 2

• Método Gráfico

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

• Se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión.

• El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de

coordenadas X₁, X₂ para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).

• La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Pasos:

1. Dibuja un plano cartesiano. Utiliza una escala adecuada en la que puedas identificar visualmente el conjunto de ecuaciones.

2. Grafica en el plano el sistema de restricciones.

• Recuerda incluir las restricciones de no negatividad.

• Aunque las restricciones sean desigualdades, deberás graficarlas como

si fueran igualdades.

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

4. Para determinar los valores óptimos, lo primero que tienes que hacer es buscar los valores que se localizan en los vértices de las intersecciones de las ecuaciones; son los puntos en los que se cruzan dos ecuaciones.

• Todos los vértices de la región factible son candidatos a ser una posible

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

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Problema: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Auditorias

Liquidaciones

Horas-Trabajo

Trabajo

Directo

40

8

800

Revisión

10

5

320

Ingresos

300

100

a.- Variables de Decisión:

X

₁

:

Cantidad de Auditorías a realizar mensualmente

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

b.- Función Objetivo:

Max Z = 300X

₁

+ 100X

₂

c.- Restricciones:

1) 40X

₁

+ 8X

₂

<= 800

2) 10X

₁

+ 5X

₂

<= 320

3) X

₂

<= 60

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 1

Restricción # 1: 40X₁+ 8X₂<= 800 se transforma en igualdad quedando: 40X₁+ 8X₂= 800, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

40X₁+ 8X₂= 800 40X₁+8X₂= 800 40(0)+8X₂= 800

8X₂= 800 X₂= 800 / 8

X₂= 100

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

40X₁+ 8X₂= 800 40X₁+8(0)= 800

40X₁= 800 40X₁= 800 X₁= 800 / 40

X₁= 20

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 1

40X₁+ 8X₂<= 800

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 2

Restricción # 2: 10X₁+5X₂<= 320 se transforma en igualdad quedando: 10X₁+ 5X₂= 320, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

10X₁+ 5X₂= 320 10X₁+5X₂= 320 10(0)+5X₂= 320

5X₂= 320 X₂= 320 / 5

X₂= 64

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

10X₁+ 5X₂= 320 10X₁+5(0)= 320

10X₁= 320 X₁= 320 / 10

X₁= 32

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 2

10X₁+ 5X₂<= 320

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 3

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 3

X₂<= 60

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Puntos:

A= (0,0) ; B= (20,0); C=Intersección entre la R1 y R2; D= Intersección entre R2 y R3 y E= (0,60)

C

D

E

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Punto C:

Restricción # 1: 40X₁+ 8X₂<= 800 se transforma en igualdad quedando: 40X₁+ 8X₂= 800, despejando X₁:

40X₁+ 8X₂= 800 40X₁= 800- 8X₂

X₁=

Introduciendo el valor de X₁ (obtenido en la Restricción # 1) en la Restricción # 2 : 10X₁+ 5X₂<= 320 convirtiéndola primeramente en la igualdad queda: 10X₁+ 5X₂= 320

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

12 X 40 480 X 40 320 -800 X 40 8(40) -800 X 40 8X -800 X 1 1 1 1 2 1     

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Puntos:

A= (0,0) ; B= (20,0); C=(12,40); D= Intersección entre R2 y R3 y E= (0,60)

C

D

E

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Punto D:

Restricción # 3: X₂<= 60 transformándola en igualdad queda X₂= 60 , ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 2 y obtenemos X₁

10X₁+ 5X₂= 320 10X₁+ 5(60)= 320

10X₁+ 300= 320 10X₁= 320 - 300

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

C

D

E

B

A

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Ahora sustituimos los cinco (5) puntos en la Función Objetivo y en nuestro caso el punto factible más alto es el punto óptimo y solución del problema

Vértices Región Factible Z = 300 X₁ + 100X₂ Valor Obtenido

A= (0,0) Z=300(0)+100(0) 0

B= (20,0) Z=300(20)+100(0) 6000

C= (12,40) Z=300(12)+100(40) 7600

D= (2,60) Z=300(2)+100(60) 6600

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Min Z = 3X₁ + 8X₂

s.a:

1) X₁ + X₂ >= 8

2) 2X₁ - 3X₂ <= 0

3) X₁ + 2X₂ <= 30

4) 3X₁ - X₂ >= 0

5) X₁ <= 10

6) X₂ >= 9

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 1

Restricción # 1: X₁+ X₂>= 8 se transforma en igualdad quedando: X₁+ X₂= 8, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

X₁+ X₂= 8 (0)+X₂= 8 (0)+X₂= 8

X₂= 8

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

X₁+ X₂= 8 X₁+8(0)= 8

X₁= 8

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 1

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 2

Restricción # 2: 2X₁-3X₂<= 0 se transforma en igualdad quedando: 2X₁-3X₂= 0, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂: 2X₁-3X₂= 0

(0)-3X₂= 0 X₂= 0

Haciendo lo mismo ahora con X₂= 0 para obtener el valor de X₁ 2X₁-3X₂= 0

2X₁-3(0)= 0

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 2

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 3: X₁+ 2X₂<= 30 se transforma en igualdad quedando: X₁+ 2X₂= 30, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

X₁+2X₂= 30 (0)+2X₂= 30

X₂= 30 / 2 X₂= 15

Haciendo lo mismo ahora con X₂= 0 para obtener el valor de X₁ X₁+2X₂= 30

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 3

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 4: X₁-X₂>=0 se transforma en igualdad quedando: 3X₁-X₂=0, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

3X₁-X₂= 0 (0)-X₂= 0

X₂= 0

Haciendo lo mismo ahora con X₂= 0 para obtener el valor de X₁ 3X₁-X₂= 0

3X₁-(0)= 0

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 4

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 4

3X₁ -X₂ >= 0

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 6

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 6

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

A

B

C

D

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Punto A: Restricción # 6: X₂>= 9 transformándola en igualdad queda X₂= 9 , ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 4 y obtenemos X₁

3X₁- X₂= 0 3X₁- 9= 0

3X₁= 9 X₁= 9 _/ 3

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

A

B

C

D

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Punto D:

Restricción # 3: X₁+ 2X₂ <= 30 transformándola en igualdad queda X₁+ 2X₂= 30 y

Restricción 4: 3X₁- X₂ >= 0 transformándola en igualdad queda 3X₁- X₂ = 0 X₁+ 2X₂= 30

3X₁- X₂ = 0

Multiplicando X₁+ 2X₂= 30 por -3 queda -3X₁- 6X₂= -90 -3X₁- 6X₂= -90

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

- 7X₂= -90

Despejando X₂ ; queda X₂= -90 / -7 por tanto el valor de X₂ es 12,85; sustituyendo este valor en 3X₁- X₂ = 0 queda

3X₁- 12,85= 0 3X₁= 12,85 X₁= 12,85 / 3

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

A

B

C

D

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Ahora sustituimos los cuatro (4) puntos en la Función Objetivo y en nuestro caso el punto factible más bajo es el punto óptimo y solución del problema

Vértices Región Factible Z = 3X₁ + 8X₂ Valor Obtenido

A= (3,9) Z=3(3)+8(9) 81

B= (10,9) Z=3(10)+8(9) 102

C= (10,10) Z=3(10)+8(10) 110

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

A

B

C

D

Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Max Z = 400X

₁

+ 300X

₂

s.a:

1) 0,4X

₁

+ 0,5X

₂

<= 20

2) 0,2X

₂

<= 5

3) 0,6X

₁

+0,3X

₂

<= 21

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 1

Restricción # 1: 0,4X₁+ 0,5X₂ <= 20 se transforma en igualdad quedando: 0,4X₁+ 0,5X₂= 20, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

0,4X₁+ 0,5X₂= 20 0,4(0)+0,5X₂= 20

(0)+0,5X₂= 20 X₂= 20 / 0,5

X₂= 40

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

0,4X₁+ 0,5X₂= 20 0,4X₁+0,5(0)= 20

0,4X₁= 20 X₁= 20 / 0,4

X₁= 50

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 2

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Cálculos para Graficar la Restricción # 3. 0,6X₁+ 0,3X₂ <= 21 se transforma en igualdad quedando: 0,6X₁+ 0,3X₂= 21, se iguala X₁ a 0 y se obtiene X₂:

0,6X₁+ 0,3X₂= 21 0,6(0)+0,3X₂= 21

(0)+0,3X₂= 21 X₂= 21 / 0,3

X₂= 70

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

0,6X₁+ 0,3X₂= 21 0,6X₁+0,3(0)= 21

0,6X₁= 21 X₁= 21 / 0,6

X₁= 35

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Restricción # 3

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

B

A

E

D

C

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Punto C: Restricción # 1: 0,4X₁+ 0,5X₂ <= 20 se transforma en igualdad quedando: 0,4X₁+ 0,5X₂= 20, despejando X₁:

0,4X₁+ 0,5X₂= 20 0,4X₁= 20- 0,5X₂

X₁=

Introduciendo el valor de X₁ (obtenido en la Restricción # 1) en la Restricción # 3 : 0,6X₁+ 0,3X₂<= 21 convirtiéndola primeramente en la igualdad queda: 0,6X₁+ 0,3X₂= 21

0,4 X 5 , 0

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

21 4 , 0 X 12 , 0 X 3 , 0 12 21 4 , 0 ) X 3 , 0 ( 4 , 0 X 3 , 0 12 21 X 3 , 0 0,4 X 3 , 0 12 : ndo Simplifica 21 X 3 , 0 ) 4 , 0 X 5 , 0 20 ( 6 , 0 2 2 2 2 2 2 2 2             20 X 18 , 0 6 , 3 X 12 4 , 8 X 18 , 0 4 , 8 X 12 , 0 X 3 , 0 12 ) 21 ( 4 , 0 X 12 , 0 X 3 , 0 12 2 2 2 2 2 2 2             

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Sustituyendo el valor obtenido de X₂ en la Restricción # 1 se obtiene el valor de X₁

25 X 40 480 X 0,4 10 -20 X 0,4 0,5(20) -20 X 0,4 0,5X -20 X 1 1 1 1 2 1     

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

B

A

E

D

C

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Punto D: Restricción # 2: 0,2X₂<=5 transformándola en igualdad queda X₂= 25, ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 1 y obtenemos X₁

0,4X₁+ 0,5X₂= 20 0,4X₁+ 0,5(25)= 20

0,4X₁+ 12,5= 20 0,4X₁= 20-12,5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

B

A

E

D

C

Puntos:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

Ahora sustituimos los cinco (5) puntos en la Función Objetivo y en nuestro caso el punto factible más alto es el punto óptimo y solución del problema

Vértices Región Factible Z = 400 X₁ + 300X₂ Valor Obtenido

A= (0;0) Z=400(0)+300(0) 0

B= (0;3,5) Z=400(0)+300(3,5) 1050

C= (2,5;2,0) Z=400(2,5)+300(2) 1600

D= (1,87;2,5) Z=400(1,87)+300(2,5) 1498

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Gráfico

B

A

E

D

C

Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

• Procedimiento general para resolver problemas de programación lineal.

• Desarrollado por George Dantzig en 1947.

• Es un procedimiento algebraico aunque sus conceptos fundamentales son

geométricos.

• Está basado en un algoritmo o series de pasos donde se evalúan los criterios de

Optimalidad y Factibilidad

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Pasos:

1. Transformar la función Z y las restricciones a igualdades e introducir las variables de holgura o de exceso de acuerdo al caso de la restricción, estas variables también denominadas no básicas se determinan en función del número de restricciones presentes en el modelo:

• En el caso de las restricciones si son <= se convierten en = pero se

introducen variables de holgura o variables básicas con signo positivo

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

pero se introducen variables de exceso o variables básicas con signo negativo

2. Construir la tabla original de partida del Método Simplex

3. Identificar que Variable sale y cual entra utilizando los criterios de optimalidad y de factibilidad respectivamente

• Criterio de Optimalidad: Si el problema es de Maximización la

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Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

renglón Z. En el caso de que hubiese empates se rompen en forma arbitraria. Se llega al óptimo en la iteración en la que todos los coeficientes de las variables no básicas son positivas (si el problema es Maximización) o son negativas (si el problema es Minimización).

• Criterio de Factibilidad: Independientemente si el problema es de

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Ejemplo:

Max Z = 5X₁ + 4X₂

s.a:

1. 6X₁ + 4X₂ <= 24 2. X₁ + 2X₂ <= 6 3. -X₁ + X₂ <= 1 4. X₂ <= 2

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

1.- Z - 5X₁ - 4X₂+ 0X₃+ 0X₄+ 0X₅+ 0X₆= 0 6X₁ + 4X₂+X₃+ 0X₄+ 0X₅ + 0X₆ = 24

X₁ + 2X₂+0X₃+ X₄+ 0X₅ + 0X₆ = 6

-X₁ + X₂+0X₃+ 0X₄+ X₅ + 0X₆ = 1

0X₁+X₂+0X₃+ 0X₄+ 0X₅ + X₆ = 2

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z

X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3

X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4

X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5

X6 0 0 1 0 0 0 0 2 X6

Variables no básicas (X₁, X₂)

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

3.- Criterios de Optimalidad y Factibilidad

Básica

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

X

6

Solución Renglón

Z

1

-5

-4

0

0

0

0

0

Z

X

3

0

6

4

1

0

0

0

24

X

3

X

4

0

1

2

0

1

0

0

6

X

4

X

5

0

-1

1

0

0

1

0

1

X

5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna X₁ por ser la variable que entra en este momento por tanto

Básicas Solución X1 Nueva Solución

X3 24 6

4 6 24 _

X4 6 1

6 1 6 _

X5 1 -1

1 1

1 _{ }



X6 2 0 _{ }

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Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Pasos:

En función de este cálculo se desecha los valores negativos y los indeterminados por no cumplir el criterio de factibilidad, por tanto queda X₃ con 3 y X₄ con 6 para aplicar dicho criterio, por tanto se toma X₃ con 3 por ser el valor más pequeño.

Columna Pivote (X₁) Variable que entra (X₁) Fila Pivote (X₃) Variable que sale (X₃) Elemento

Pivote: 6

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 Z

X3 0 6 4 1 0 0 0 24 X3

X4 0 1 2 0 1 0 0 6 X4

X5 0 -1 1 0 0 1 0 1 X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Pasos:

Iteración # 1: Aplicando el Método de Gauss – Jordan para obtener la nueva solución básica

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z

X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4

X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Iteración # 1:

Nueva Fila Pivote (NFP) X₁ = Fila Pivote X₃/ Elemento Pivote

Básica

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

X

6

Solución

X

1

0/6

6/6

4/6

1/6

0/6

0/6

0/6

24/6

Básica

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

X

6

Solución

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z

anterior

1 -5 -4 0 0 0 0 0

NFP X1 0*5 1*5 (2/3) *5 (1/6)*5 0*5 0*5 0*5 4*5

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z

anterior

1 -5 -4 0 0 0 0 0

+

NFP X1 0 5 10/3 5/6 0 0 0 20

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva X₄ = X₄ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁ )

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X4

anterior

0 1 2 0 1 0 0 6

NFP X1 0*-1 1*-1 (2/3) *-1 (1/6)*-1 0*-1 0*-1 0*-1 4*-1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X4

anterior

0 1 2 0 1 0 0 6

+

NFP X1 0 -1 -2/3 -1/6 0 0 0 -4

Nueva

X4

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva X₅ = X₅ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X5

anterior

0 -1 1 0 0 1 0 1

NFP X1 0*1 1*1 (2/3) *1 (1/6)*1 0*1 0*1 0*1 4*1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X5

anterior

0 -1 1 0 0 1 0 1

+

NFP X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

Nueva

X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva X₆ = X₆ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁ )

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

NFP X1 0*0 1*0 (2/3) *0 (1/6)*0 0*0 0*0 0*0 4*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

+

NFP X1 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva

X6

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Iteración # 2: Aplicando los criterios de optimalidad y factibilidad

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z

X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4

X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna X₂ por ser la variable que entra en este momento por tanto

Básicas Solución X2 Nueva Solución

X1 4 2/3

6 2 12 3 2 1 4  

X4 2 4/3

5 , 1 4 6 3 4 1 2  

X5 5 5/3

3 5 15 3 5 1 5  

X6 2 1

2 1

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

En función de este cálculo queda X₄ con 1,5 por ser el valor más pequeño.

Columna Pivote (X₂) Variable que entra (X₂) Fila Pivote (X₄) Variable que sale

(X₄) Elemento Pivote: 4/3

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 Z

X1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 X1

X4 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 X4

X5 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21 Z

X1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3 X1

X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2

X5 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2 X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva Fila Pivote (NFP) X₂ = Fila Pivote X₄/ Elemento Pivote

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X2 3 4 1 0 3 4 1 0 3 4 3 4 3 4 6 1  3 4 1 1 3 4 1 0 3 4 1 0 3 4 1 2

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z

anterior

1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

NFP X2 0* 2/3 0* 2/3 1* 2/3 -1/8* 2/3 3/4* 2/3 0* 2/3 0* 2/3 3/2* 2/3

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

Z

anterior

1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

+

NFP X2 0 0 2/3 -1/12 1/2 0 0 1

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva X₁ = X₁ Anterior + ((NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X1

anterior

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

NFP X2 0* -2/3 0* -2/3 1* -2/3 -1/8* -2/3 3/4* -2/3 0* -2/3 0* -2/3 3/2* -2/3

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X1

anterior

0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

+

NFP X2 0 0 -2/3 1/12 -1/2 0 0 -1

Nueva

X1

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva X₅ = X₅ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X5

anterior

0 0 5/3 1/6 0 1 0 1

NFP X2 0* -5/3 0* -5/3 1* -5/3 -1/8* -5/3 3/4* -5/3 0* -5/3 0* -5/3 3/2* -5/3

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X5

anterior

0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

+

NFP X2 0 0 -5/3 5/24 -5/4 0 0 -5/2

Nueva

X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Nueva X₆ = X₆ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂ )

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

NFP X2 0* -1 0* -1 1* -1 -1/8* -1 3/4* -1 0* -1 0* -1 3/2* -1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución

X6

anterior

0 0 1 0 0 0 0 2

+

NFP X2 0 0 -1 1/8 -3/4 0 0 -3/2

Nueva

X6

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex

Como no hay más valores negativos o en otras palabras hay solamente valores positivos en la fila de Z se detiene el algoritmo simplex quedando Z con 21, X₁ con 3 y X₂ con 1,5.

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solución Renglón

Z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21 Z

X1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3 X1

X2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2 X2

X5 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2 X5

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex-Caso Minimización

Pasos:

1. Transformar la función Z y las restricciones a igualdades e introducir las variables de holgura o de exceso de acuerdo al caso de la restricción, estas variables también denominadas no básicas se determinan en función del número de restricciones presentes en el modelo:

• En el caso de las restricciones si son <= se convierten en = pero se

introducen variables de holgura o variables básicas con signo positivo

pero se introducen variables de exceso o variables básicas con signo negativo

2. Construir la tabla original de partida del Método Simplex

3. Identificar que Variable sale y cual entra utilizando los criterios de optimalidad y de factibilidad respectivamente

• Criterio de Optimalidad: Si el problema es de Maximización la

variable no básica que entra es la que tiene el coeficiente más negativo en el renglón Z, si el problema es Minimización la variable no básica que entra es la que tiene el coeficiente más positivo en el

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renglón Z. En el caso de que hubiese empates se rompen en forma arbitraria. Se llega al óptimo en la iteración en la que todos los coeficientes de las variables no básicas son positivas (si el problema es Maximización) o son negativas (si el problema es Minimización).

• Criterio de Factibilidad: Independientemente si el problema es de

maximización y minimización, la variable de salida es la variable básica asociada con la mínima razón no negativa (con denominador estrictamente positivo). Los empates se rompen en forma arbitraria.

Ejemplo:

Min Z = 15X₁ + 12X₂ + 10X₃

s.a:

1. X₁ + X₂ + X₃ = 1000 2. X₁ >= 600

3. X₂ + X₃ <= 500 4. X₁ <= 800 5. X₂ <= 100 6. X₃ <= 400 7. X₁ ,X₂ >= 0

Investigación de Operaciones – Tema # 2 –

Método Simplex-Caso Minimización

Partiendo del criterio que Min Z = Max (-Z)

Variables Artificiales: X₄, X₅ Variable Exceso: X₆ Variables de Holgura: X₇, X₈, X₉, X₁₀

Z - 15X₁ - 12X₂-10X₃+ X₄+ X₅+ 0X₆+ 0X₇ + 0X₈ + 0X₉ + 0X₁₀ = 0

X₁ + X₂+ X₃+ X₄+ 0X₅ + 0X₆ + 0X₇ + 0X₈ + 0X₉ + 0X₁₀ = 1000

X₁ + 0X₂+ 0X₃+ 0X₄+ X₅ - X₆ + 0X₇ + 0X₈ + 0X₉ + 0X₁₀ = 600

0X₁ + X₂+ X₃+ 0X₄+ 0X₅ + 0X₆ + X₇ + 0X₈ + 0X₉ + 0X₁₀ = 500

X₁ + 0X₂+ 0X₃+ 0X₄+ 0X₅ + 0X₆ + 0X₇ + X₈ + 0X₉ + 0X₁₀ = 800

0X₁ + X₂+ 0X₃+ 0X₄+ 0X₅ + 0X₆ + 0X₇ + 0X₈ + X₉ + 0X₁₀ = 100

0X₁ + 0X₂+ X₃+ 0X₄+ 0X₅ + 0X₆ + 0X₇ + 0X₈ + 0X₉ + X₁₀ = 400

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 -15 -12 -10 1 1 0 0 0 0 0 0 Z

X4 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1000 X4

X5 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X5

X7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500 X7

X8 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 800 X8

X9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X9

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400 X10

Variables no básicas (X₁, X₂ y X₃)

Variables básicas (X₄,X₅ ,X₆,X₇ ,X₈,X₉ ,X₁₀)

3.- Criterios de Optimalidad y Factibilidad

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 -15 -12 -10 1 1 0 0 0 0 0 0 Z

X4 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1000 X4

X5 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X5

X7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500 X7

X8 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 800 X8

X9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X9

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400 X10

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna X₁ por ser la variable que entra en este momento por tanto

Básicas Solución X1 Nueva Solución

X4 1000 1 1000

X5 600 1 600

X7 500 0 Indeterminado

X8 800 1 800

X9 100 0 Indeterminado

X10 400 0 Indeterminado

3.- Criterios de Optimalidad y Factibilidad

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 -15 -12 -10 1 1 0 0 0 0 0 0 Z

X4 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1000 X4

X5 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X5

X7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500 X7

X8 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 800 X8

X9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X9

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400 X10

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 -12 -10 1 16 -15 0 0 0 0 9000 Z

X4 _{0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 0 400} X4

X1 _{0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600} X1

X7 _{0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500} X7

X8 _{0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200} X8

X9 _{0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100} X9

X10 _{0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400} X10

Nueva Fila Pivote (NFP) X₁ = Fila Pivote X₅/ Elemento Pivote

B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X1 0/1 1/1 0/1 0/1 0/1 1/1 -1/1 0/1 0/1 0/1 0/1 600/1

B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁) Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

Z anterior 1 -15 -12 -10 1 1 0 0 0 0 0 0

NFP X1 0*15 1*15 0*15 0*15 0*15 1*15 -1*15 0*15 0*15 0*15 0*15 600*15

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

Z anterior 1 -15 -12 -10 1 1 0 0 0 0 0 0

X1 0 15 0 0 0 15 15 0 0 0 0 9000

NuevaZ 1 0 -12 -10 1 16 15 0 0 0 0 9000

Nueva X₄ = X₄ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X4 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1000

NFP X1 0*-1 1*-1 0*-1 0*-1 0*-1 1*-1 -1*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 600*-1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X4 anterior 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1000

X1 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -600

Nueva X4 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 0 400

Nueva X₇ = X₇ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500

NFP X1 0*0 1*0 0*0 0*0 0*0 1*0 -1*0 0*0 0*0 0*0 0*0 600*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500

X1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500

Nueva X₈ = X₈ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁) Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X8 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 800

NFP X1 0*-1 1*-1 0*-1 0*-1 0*-1 1*-1 -1*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 600*-1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X8 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 800

X1 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -600

Nueva X8 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200

Nueva X₉ = X₉ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100

NFP X1 0*0 1*0 0*0 0*0 0*0 1*0 -1*0 0*0 0*0 0*0 0*0 600*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100

X1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100

Nueva X₁₀ = X₁₀ Anterior + (NFP X₁* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₁)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400

NFP X1 0*0 1*0 0*0 0*0 0*0 1*0 -1*0 0*0 0*0 0*0 0*0 600*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400

X1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 -12 -10 1 16 -15 0 0 0 0 9000 Z

X4 _{0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 0 400} X4

X1 _{0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600} X1

X7 _{0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500} X7

X8 _{0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200} X8

X9 _{0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100} X9

X10 _{0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400} X10

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna X₂ por ser la variable que entra en este momento por tanto

Básicas Solución X2 Nueva Solución

X4 _{400 1} 400

X1 _{600 0} Indeterminado

X7 _{500 1} 500

X8 _{200 0} Indeterminado

X9 _{100 1} 100

X10 _{400 0} Indeterminado

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 -12 -10 1 16 -15 0 0 0 0 9000 Z

X4 _{0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 0 400} X4

X1 _{0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600} X1

X7 _{0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500} X7

X8 _{0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200} X8

X9 _{0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100} X9

X10 _{0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400} X10

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 0 -10 1 16 -15 0 0 12 0 10200 Z

X4 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 -1 0 300 X4

X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X1

X7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 400 X7

X8 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200 X8

X2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X2

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400 X10

Nueva Fila Pivote (NFP) X₂ = Fila Pivote X₉/ Elemento Pivote

B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X2 0/1 0/1 1/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 0/1 1/1 0/1 100/1

B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

Z anterior 1 0 -12 -10 1 16 -15 0 0 0 0 9000

NFP X2 0*12 0*12 1*12 0*12 0*12 0*12 0*12 0*12 0*12 1*12 0*12 100*12

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

Z anterior 1 0 -12 -10 1 16 -15 0 0 0 0 9000

X2 0 0 12 0 0 0 0 0 0 12 0 1200

NuevaZ 1 0 0 -10 1 16 -15 0 0 12 0 10200

Nueva X₄ = X₄ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X4 anterior 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 0 400

NFP X2 0*-1 0*-1 1*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 1*-1 0*-1 100*-1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X4 anterior 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 0 400

X2 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -100

Nueva X4 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 -1 0 300

Nueva X₁ = X₁ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X1 anterior 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600

NFP X2 0*0 0*0 1*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 1*0 0*0 100*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X1 anterior 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600

X2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600

Nueva X₇ = X₇ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X7 anterior 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500

NFP X2 0*-1 0*-1 1*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 0*-1 1*-1 0*-1 100*-1

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X7 anterior 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 500

X2 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -100

Nueva X7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 400

Nueva X₈ = X₈ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X8 anterior 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200

NFP X2 0*0 0*0 1*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 1*0 0*0 100*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X8 anterior 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200

X2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X8 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200

Nueva X₁₀ = X₁₀ Anterior + (NFP X₂* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₂)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X10 anterior 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400

NFP X2 0*0 0*0 1*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 1*0 0*0 100*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X8 anterior 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400

X2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 0 -10 1 16 -15 0 0 12 0 10200 Z

X4 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 -1 0 300 X4

X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X1

X7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 400 X7

X8 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200 X8

X2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X2

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400 X10

Por tanto se divide la Solución entre cada coeficiente de la Columna X₃ por ser la variable que entra en este momento por tanto

Básicas Solución X3 Nueva Solución

X4 300 1 300

X1 600 0 Indeterminado

X7 400 1 400

X8 200 0 Indeterminado

X2 100 0 Indeterminado

X10 400 1 400

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 0 -10 1 16 -15 0 0 12 0 10200 Z

X4 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 -1 0 300 X4

X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X1

X7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 400 X7

X8 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200 X8

X2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X2

X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 400 X10

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución Renglón

Z 1 0 0 0 11 6 -5 0 0 2 0 13200 Z

X3 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 -1 0 300 X3

X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600 X1

X7 0 0 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 100 X7

X8 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 200 X8

X2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 100 X2

X10 0 0 0 0 -1 1 -1 0 0 1 1 100 X10

Nueva Fila Pivote (NFP) X₃ = Fila Pivote X₄/ Elemento Pivote

B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X3 0/1 0/1 0/1 1/1 1/1 -1/1 1/1 0/1 0/1 -1/1 0/1 300/1

B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X3 0 0 0 1 1 -1 1 0 0 -1 0 300

Nueva Z = Z Anterior + (NFP X₃* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₃)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

Z anterior 1 0 0 -10 1 16 -15 0 0 12 0 10200

NFP X3 0*10 0*10 0*10 1*10 1*10 -1*10 1*10 0*10 0*10 -1*10 0*10 300*10

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

Z anterior 1 0 0 -10 1 16 -15 0 0 12 0 10200

X3 0 0 0 10 10 -10 10 0 0 -10 0 3000

NuevaZ 1 0 0 0 11 6 -5 0 0 2 0 13200

Nueva X₁ = X₁ + (NFP X₃* (-)Coeficiente de la Columna Pivote X₃)

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X1 anterior 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600

NFP X3 0*0 0*0 0*0 1*0 1*0 -1*0 1*0 0*0 0*0 -1*0 0*0 300*0

Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Solución

X1 anterior 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600

X3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nueva X1 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 600