1. [2014] [EXT-A] a) Compruebe que la matriz A = 1 1
-2 -3 es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa. b) Resuelva la ecuación matricial AXA = B, siendo A la matriz anterior y B = 5 -2
3 -1 .
2. [2014] [EXT-B] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: ax +2z = 0ay-z = a x-y+z = 0
. b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.
3. [2014] [JUN-A] Sabiendo que x y z1 1 1 0 2 4
= 4, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.
a) 3x 3y 3z1 1 1 0 1 2
b) 3x 3y+2 3z+4x y z x+2 y+2 z+2
.
4. [2014] [JUN-B] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: ax+3y+z = ax+ay+az = 1 x+y-z = 1 b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = -1.
5. [2013] [EXT-A] Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones: 2x+3y+z = 12x+2y+z = 1 4x+5y+2z = 2
.
6. [2013] [EXT-B] Sabiendo que 6 0 3a b c 1 1 1
= 2, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes está utilizando.
a) 2 0 11 1 1 3a 3b 3c . b) 2a+6 2b 2c+3a b c a+1 b+1 c+1 .
7. [2013] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: x-ay+z = 1x+y+z = 1 ax+y+z = 4
. No hay que resolverlo en ningún caso.
8. [2013] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz A = 4 1
-3 -1 es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa. b) Resuelva la ecuación matricial AX + A2 = B, siendo A la matriz anterior y B = 1 2
3 4 .
9. [2012] [EXT-B] a) Dada la matriz A = 0 3 41 -4 -5 -1 3 4
, calcule las potencias A2, A3 y A4. b) Calcule A2012.
10. [2012] [JUN-A] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
x+y+z = 2 x+ay+a2z = -1 ax+a2y+a3z = 2
. b) Resuelva el sistema cuando sea compatible.
11. [2012] [JUN-B] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At·A = I, donde I denota la matriz identidad y At es la traspuesta de A.
Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal: A = a -a ba a 0 0 b -1
.
12. [2011] [EXT-A] Sabiendo que 1 1 1a b c x y z
= 6, sin utilizar la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante, indicando en cada
caso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando:
5 5 5
a b c
x
2+3a y2+3b z2+3c .
13. [2011] [EXT-B] a) Determine para qué valor del parámetro a la matriz A =
a2 a a a a2 1 a 1 a2
es regular. b) Estudie el rango de la matriz A en los casos en los que no sea regular.
14. [2011] [JUN-A] Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila y/o columna que x x+1 x+2
x x+3 x+4 x x+5 x+6
= 0.
Indique en cada caso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes está utilizando.
15. [2011] [JUN-B] Discuta, en función de los parámetroa a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. No hay que resolverlo: x+ay+2z = 3
x-3y-z = -1 -x+8y+4z = b
16. [2010] [EXT-A] Definición de rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz A =
1 1 -1 0 2 1 1 3 0 1 1 k
en función del parámetro k.
17. [2010] [EXT-B] Discutir y resolver el sistema siguiente en función de los posibles valores del parámetro k x+2y+4z = 0-2x-4z = 0 x-y+z = k
.
18. [2010] [JUN-A] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = 1 2 01 1 1 -1 0 -1
.
19. [2010] [JUN-B] Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius. Aplicar dicho teorema para discutir si el sistema siguiente tiene solución y si la solución es única en función de los posibles valores del parámetro k (no es necesario resolver el sistema):
x-y+z = k 3x-3y = 0 x+ky+3z = 1
.
20. [2009] [EXT] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = -1 2 11 0 -1 2 1 -1 .
21. [2009] [EXT] Clasificar el sisguiente sistema según los valores del parámetro: 3x+2y+z = 0ax+y-z = 0 -3x+z = 0 .
22. [2009] [JUN] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro. A = 1 2 1 a1 -2 3 1 0 4 -2 1
23. [2009] [JUN] Estudiar si el siguiente sistema tiene solución y, en ese caso, resolver por Cramer: x-y+z = -3-x-y = 1 x-2z = -1
.
24. [2008] [EXT] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro a: A = 2 0 -4 21 -1 -2 0 -3 4 6 a .
25. [2008] [EXT] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones lineales siguiente: -x+3y+2z = 2-2x+y-z = 1 x-y-2z = 3
26. [2008] [JUN] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = -1 3 -11 2 -2 0 -2 1
.
27. [2008] [JUN] Calsificar el siguiente sistema, según los valores de los parámetros a y b: x-y-z = b-x+y = 2 x+ay+2z = -2
.
28. [2007] [EXT] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudiar y resolver, cuando sea posible, el sistema siguiente: ax+by = 0 x+y = a .
29. [2007] [EXT] Calcule, si es posible, la inversa de la matriz A = 1 0 -11 1 -1 2 1 0 .
30. [2007] [JUN] i) Definiciñon de rango de una matriz.
ii) Calcular el rango de A según los valores del parámetro k: A = 1 3 3 1k k 3 -1 -1 3 3 0 .
iii) Estudiar si podemos formar una base de 3 con las columnas de A según los valores del parámetro k. Indique con qué columnas.
31. [2007] [JUN] i) Clasificar el siguiente sistema según los valores del parámetro k: kx+y-2z = 0-x-y+kz = 1 x+y+z = k
. ii) Resolver el sistema por Cramer para k = 2.
32. [2006] [EXT] i) Definición de rango de una matriz.
ii) Calcule el rango de la matriz A en función de los valores del parámetro k: A = 2 0 -1 11 k 1 2 -1 1 1 0 .
iii) ¿Podemos formar una base de 3 usando los vectores formados con las columnas de A? ¿Con cuáles?
33. [2006] [EXT] i) Definición de matriz inversa de una matriz cuadrada. ii) Calcule la inversa de la matriz B = 1 2 21 0 1
-1 1 -1 .
34. [2006] [JUN] i) Enuncie el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudie, según los valores del parámetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente: x-y+az = aax+ay = a x+2y+3z = a
.
35. [2005] [EXT] (a) Enunciado del terorema de Rouche-Fröbenius. (b) Los sistemas bx + ay + cz = -9ax + y + bz = -4
cx + by + az = -11
y x - 2y + 3z = 1x + z = -1 x - z = 3
son equivalentes. Hallar a, b y c.
36. [2005] [JUN] Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
ay + z = a-1
-ax + (a+1)y = a
ax - y + (2a-1)z = 2a+1
37. [2005] [JUN] (a) Para qué valores del parámetro k admite inversa la matriaz A = -1 1 k1 2 0 0 1 2 . (b) Calcular A-1 en función de k.
38. [2004] [EXT] a) Definición de rango de una matriz.
b) Discutir, según los valores del parámetro a, el rango de la matriz 0 1 a 11 a 1 a 1 a 0 1 .
c) Una matriz de tres filas y cuatro columnas verifica que su segunda columna es toda ceros y la tercera columna es igual a la primera más la cuarta. ¿Cuál es el rango máximo que puede tener?
39. [2004] [JUN] a) Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x+ay - z= a
2ax - y+az= 1 3x - y+ z=0 b) Resolverlo, si es posible, utilizando la regla de Cramer, para a = -1.
2x + ay + z = 5
x + ay + z = 1
2x + (a+1)y + (a+1)z = 0
b) Resuélvalo para a = 2, utilizando la regla de Cramer. 41. [2003] [JUN] a) Enuncie el teorema de Rouche-Fröbenius.
b) Discuta, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + ay + az = 1x + ay + z = a x + y + az = 1
Soluciones 1. a) 3 1
-2 -1 b) 68 25-49 -18 2. a) a=3: inc; a=0: c.i.; a{0,3}: c.d. b) (k,k,0) 3. -12, 8 4. a) a{-1,2}: c.i.; a{-1,2}: c.d. b) (k+1,0,k) 5. c.i. 1-k2,0,k 6. a) -2 b) 2 7. a=1: inc; a=-1:c.i.; a{-1,1}:c.d. 8. a) 1 1
-3 -4 b) 0-12 -215 9. a) -1 0 1
1 4 4 -1 -3 -3
; -I; -A b) A2 10. a) a-2: inc; a=-2: c.i. b) (1-2k,1+k,k) 11. 2
2 , 0 12. 15 13. a{-1,0,1} b) a = 1: 1; a = 0: 2 15. a = 2, b = 5, c.i; a = 2, b 5: inc; a 2: c.d. 16. k=-1: 2; k-1: 3 17. k=0: c.i. (-2,-,); k0: inc. 18. 0 1 11 -2 -2
-1 2 1 19. k=-1: inc; k-1: c.d. 20. -1 2 1 3 -2 -1 -1 0 1 5 -2
21. a=6: c.i; a6: c.d. 22. a=2: 2; a2: 3 23. -9
5,45,-25 24. a = 1: 2; a 1: 3. 25. 17 10, 510,-1910 26. -1 -2 -4 -1 -1 -3 -2 -2 -5 27. a = -1: b = -2: comp.ind; b -2: inc. a -1: comp. det. 28. b) a=b: a{-1,1}: c.i. (a-k,k) ; a{-1,1}: inc. ; ab: c.d. ab
b-a, a 2 a-b 29. 1 2 1 -1 1 -2 2 0 -1 -1 1 30. b) rg(A) = 3, k c) k = -3: 1ª,2ª,3ª ; k -3: 1ª,3ª,4ª. 31. a) k = 1: inc ; k = -1: c.i. ; k {-1,1}: c.d. b) (1,0,1) 32. ii) k =3: 2; k 3: 3 iii) k 3; 1ª,2ª,3ª 33. ii) -1 4 20 1 1
- -3 -2
34. ii) a = -6: inc. ; a = 0: c.i. ; a{-6,0}: c.d. 35. (b) 3, 2, 1. 36. a = 1: incomp; a = 0: comp. ind.; a {0,1}: comp.det. 37. (a) k6 (b) 1
6-k
2-k -4 2k 2 2 -k -1 -1 3
38. b) a = 0: 2; a 0: 3 c) 2 39. a) a {-4,1}: incomp; a {-4,1}: comp. det. b) -2
