2 010

2 Actas do Seminario de Iniciación á Investigación ^{0 1 0}

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

A ^{s mat emát i cas do veci ño}

M. Domí ngue z Vá z que z A. Ma r t í ne z Ca l v o

J . S e oa ne Ba s c oy

E DI T ORE S

ACTAS DO S EMINARIO DE

I NICIACI ´ ON ´ A I NVESTIGACI ´ ON

ANO 2010

Editores:

Miguel Dom´ınguez V´azquez Adela Mart´ınez Calvo Javier Seoane Bascoy

2011 Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on.c

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII) [email protected]

Edita:

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria Pavill´on de Servizos, s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela

ISSN: 2171-6536 Dep´osito Legal:C 485-2011

Todo saber ten de ciencia o que ten de matem´atica.

Jules Henri Poincar´e

Non hai rama da matem´atica, por abstracta que sexa, que non poida aplicarse alg´un d´ıa aos fen´omenos do mundo real.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

iii

Prefacio

Un aspecto fundamental da investigaci´on ´e a transmisi´on dos novos avances no co˜necemento cient´ıfico, tanto en ´ambitos especializados como noutros m´ais xerais.

A mi´udo estamos afeitos a presentar as nosas contribuci´ons cient´ıficas en forma de traballos escritos ou conferencias dirixidos a outros investigadores especializados no noso campo de traballo. Sen embargo, a comunicaci´on en ´ambitos non especializados ou ´a sociedade xeral presentan unha grande dificultade engadida da que, na maior´ıa dos casos, non conseguimos sa´ır con ´exito. O Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on pretende ser, dende a s´ua posta en marcha no ano 2005, unha ferramenta de axuda en ´ambalas d´uas cuesti´ons anteriores para os nosos estudantes de posgrao.

Cando os primeiros organizadores do Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on me presentaron a idea de levar a cabo un seminario entre estudantes de doutorado co fin de dar a co˜necer os distintos problemas nos que estaban a traballar, pareceume una iniciativa de grande interese. O feito de nos atopar ante as actas correspon- dentes ao sexto ano de dito seminario ´e a demostraci´on clara de que tal iniciativa sorteou con ´exito t´odolos atrancos que, sen d´ubida, se foron atopando. Dende o seu inicio fun consciente das dificultades e satisfacci´ons derivadas da organizaci´on do Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on, quizais pola cercan´ıa cos seus impulsores e os continuadores do mesmo.

Como docente considero que o SII ´e unha das actividades m´ais salientables nas que participan os nosos estudantes de posgrao: non s´o polo esforzo de presentar o seu traballo ante os seus compa˜neiros (o que sup´on un foro de investigadores cun alto esp´ırito cr´ıtico e unha grande diversidade de intereses cient´ıficos), sen´on tam´en polo que sup´on a organizaci´on e edici´on das actas do mesmo. Non podo deixar de felicitar aos organizadores desta sexta Edici´on do SII e facela extensiva aos participantes no mesmo. Non ´e doado valorar o traballo realizado sen unha ollada ´as actas dos anos anteriores, tanto no referente ´a sua elaboraci´on como aos contidos dos distintos seminarios. Estas actas son a demostraci´on clara e contundente de c´omo en moitas ocasi´ons as capacidades dos alumnos superan ´as dos seus profesores.

O futuro ´e voso.

Santiago de Compostela, 9 de febreiro de 2011.

Eduardo Garc´ıa R´ıo

v

vi

´ Indice xeral

Introduci´on 1

Eduardo Conde Pena

“Mec´anica Cu´antica en poucas palabras. Formulaci´on mediante integrais de

cami˜no” 3

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga

“Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C^∗” 17 Javier Tarr´ıo Barreiro

“Comentarios sobre teor´ıa cu´antica de campos” 27 Ricardo Couso Santamar´ıa

“Introducci´on a una formulaci´on matem´atica de las teor´ıas gauge” 37 Xi´an Otero Camanho

“Gravitaci´on e Teor´ıa de Cordas, cara a gravidade cu´antica” 47 Wafaa Batat

“On the geometry of Egorov spaces” 59

Miguel Dom´ınguez V´azquez

“Hipersuperficies isoparam´etricas nas esferas” 63

Ib´an Constenla Rozados

“Estudio do aproveitamento enerx´etico de biomasa” 67 Mar´ıa P´erez Fern´andez de C´ordoba

“Percolaci´on relativa” 71

Miguel Vaquero Vallina

“Geometr´ıa de Poisson, reducci´on de Lie-Poisson y Euler-Poincar´e” 75 Silvia Su´arez Crespo

“Unha perspectiva da inferencia estat´ıstica tipo n´ucleo” 79 vii

Mar´ıa Jos´e Pereira S´aez

“Un punto de corte entre la Topolog´ıa Algebraica y el An´alisis Matem´atico” 83 Eduardo Dorrego L´opez

“Variedades algebraicas con propiedades especiales” 87 Carlos Meni˜no Cot´on

“Cohomolox´ıa medible” 91

viii

Introduci´ on

O presente volume cont´en os resumos das charlas que se impartiron ´o longo do ano 2010 no Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII). Tal seminario, organizado por alumnos de doutoramento, ten lugar na Facultade de Matem´aticas da Univer- sidade de Santiago de Compostela e enc´adrase dentro das actividades do Instituto de Matem´aticas.

O SII ten a s´ua orixe a comezos do ano 2005, como unha iniciativa dos alumnos de Terceiro Ciclo da Facultade e como resposta ´as necesidades de crear un seminario que cumprise, cando menos, os seguintes obxectivos:

1. Fomentar o intercambio de co˜necemento.

2. Proporcionar un lugar onde dar a co˜necer os campos nos que cada un centra as s´uas investigaci´ons.

3. Facilitar a pr´actica de falar en p´ublico, m´ais en concreto dar charlas e afacerse a escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.

4. Proporcionar un marco onde se poidan levar a cabo as actividades necesarias para que cada quen saiba explicar as ideas fundamentais dos seus traballos incluso a persoas non especialistas no seu campo.

Por sexto ano consecutivo o SII acadou estes obxectivos b´asicos e ademais pro- porcionou un marco de intercambio de co˜necemento entre alumnos dos distintos de- partamentos da Facultade. As charlas desenvolv´eronse, salvo algunhas excepci´ons, de forma semanal ´o longo de dous per´ıodos: un primeiro desde marzo ata xu˜no, e un segundo en novembro.

Este ano o SII colaborou na organizaci´on do Curso de F´ısica Te´orica para Ma- tem´aticos, encadrado tam´en como actividade do Instituto de Matem´aticas, e que foi impartido por cinco alumnos de doutoramento da Facultade de F´ısica desta mesma universidade, en cinco sesi´ons de d´uas horas cada unha. O enfoque deste curso foi m´ais ben introdutorio, e os seus contidos centr´aronse en temas de grande relevancia na F´ısica Te´orica moderna: desde a Mec´anica Cu´antica ata a Teor´ıa de Cordas, pasando pola Teor´ıa Cu´antica de Campos e as Teor´ıas Gauge. Dada a elevada asis- tencia que tivo este minicurso por parte de alumnos e de profesores da Facultade, e co obxectivo de servir de referencia introdutoria nos temas anteriores, decidiuse incorporar nestas actas os resumos das cinco charlas deste curso.

1

No referente ´a organizaci´on do SII, en 2010 continuou o comit´e organizador do ano anterior, formado por tres estudantes de doutoramento, que se encargaron tanto da coordinaci´on do evento en si: calendario de charlas, anuncio das mesmas, reserva de aula, proporcionar o material necesario ao po˜nente, etc.; como da publicaci´on deste anuario, onde se recolle un resumo de cada unha das charlas impartidas. Este mesmo comit´e organizador encargouse da confecci´on deste volume e figura nel como comit´e editorial. Ademais ´e importante salientar que cada un dos resumos aqu´ı recollidos pasou un proceso de revisi´on por parte dun alumno de Terceiro Ciclo, polo xeral dun departamento distinto ´o do autor, co obxectivo de que as´ı os resumos sexan comprensibles por aqueles que non son expertos no campo correspondente.

Agradecementos

Quixeramos mencionar neste apartado que a organizaci´on do seminario ter´ıa sido, sen d´ubida, moito m´ais dif´ıcil de non contarmos coa colaboraci´on desinteresada de moita xente.

Por este motivo, desexamos dar as grazas a todos os que participaron no SII como o´ıntes, e moi especialmente ´os po˜nentes e ´os compa˜neiros que participaron no proceso de arbitraxe: Wafaa Batat, Ib´an Constenla Rozados, Mar´ıa P´erez Fern´andez de C´ordoba, Miguel Vaquero Vallina, Silvia Su´arez Crespo, Mar´ıa Jos´e Pereira S´aez, Eduardo Dorrego L´opez, Carlos Meni˜no Cot´on, Eduardo Conde Pena, Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga, Javier Tarr´ıo Barreiro, Ricardo Couso Santamar´ıa, Xi´an Otero Camanho, Esteban Calvi˜no Louzao e Rub´en Figueroa Sestelo.

Agradec´emoslle de xeito moi especial a Eduardo Garc´ıa R´ıo, director do Insti- tuto de Matem´aticas, a s´ua desinteresada colaboraci´on na elaboraci´on destas actas mediante a redacci´on do prefacio.

Finalmente, queremos comentar que o comit´e organizador do SII vai ser renovado para este ano 2011. Estamos convencidos de que a xente nova que asume a organi- zaci´on vai darlle ao SII o pulo que precisa para seguir sendo un marco formidable onde p´or en com´un os nosos co˜necementos e compartir a beleza das Matem´aticas.

Gustar´ıanos aproveitar a ocasi´on, polo tanto, para desexarlle ao novo comit´e moita sorte na s´ua tarefa de seguir levando adiante este Seminario.

Santiago de Compostela, febreiro de 2011.

O Comit´e Editorial.

2

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Mec´ anica Cu´ antica en poucas palabras. Formulaci´ on mediante integrais de cami˜ no

Eduardo Conde Pena

Departamento de F´ısica de Part´ıculas 15 de marzo de 2010

Introduci´ on

Esta charla ´e a primeira da serie “Minicurso de F´ısica Te´orica”. Nela presentamos

´

a unha audiencia matem´atica a Mec´anica Cu´antica `a la Feynman, isto ´e, mediante o uso da chamada integral de cami˜no; dende o punto de vista dun f´ısico te´orico.

Non faremos intento alg´un de incorporar rigor, sendo o obxectivo principal a intro- duci´on de conceptos que os f´ısicos usamos a diario (tales como part´ıcula, funci´on de onda, proceso de cuantizaci´on, etc...) do xeito m´ais intuitivo pos´ıbel. A formulaci´on mediante integrais de cami˜no ´e especialmente adaptada a este fin, dado que permite visualizar un proceso cu´antico a partir de procesos cl´asicos. A outra formulaci´on da Mec´anica Cu´antica co˜necida ´a d´ıa de hoxe, a formulaci´on de operadores, m´ais escura conceptualmente a´ında que m´ais potente para c´alculos m´ais pr´acticos, ser´a abordada na segunda charla da serie.

Motivaci´ on. Por que Mec´ anica Cu´ antica?

O obxectivo de todos os membros da comunidade f´ısica ´e explicar por que as cousas se moven como se moven. Esta meta ´e demasiado grandiosa, polo que hai que proceder por pasi˜nos. O primeiro paso ser´ıa describir os sistemas m´ais simples, que son aqueles formados polas part´ıculas m´ais simples (fundamentais) do universo.

Este ´e o campo de estudo da F´ısica de Part´ıculas, que se ocupa ent´on de describir as distintas interacci´ons existentes entre as part´ıculas fundamentais¹.

A d´ıa de hoxe, co˜necemos catro interacci´ons fundamentais. Aparecen listadas na figura 1 nunha escala que d´a idea do rango de distancias nas que estas interacci´ons son as m´ais relevantes. Polo 1900 xa eran co˜necidas a interacci´on gravitatoria, des- crita pola teor´ıa de Newton, e o electromagnetismo (EM), descrito pola teor´ıa de Maxwell. A forza feble (respons´abel das desintegraci´ons radioactivas, por exemplo) e a forza nuclear (respons´abel entre outras cousas da formaci´on dos n´ucleos at´o- micos) descubr´ıronse m´ais adiante (1920-1930-1940) dado que son interacci´ons de

Palabras Clave:F´ısica Te´orica, Mec´anica Cu´antica, integrais de cami˜no.

1As part´ıculas fundamentais son aquelas que non est´an formadas de part´ıculas m´ais pequenas, e que saibamos (non hai feitos experimentais que demostren o contrario) te˜nen todas tama˜no nulo, i.e: son puntuais.

3

4 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

curto alcance. EM e gravitaci´on eran relativamente ben descritas por teor´ıas cl´asicas ata o 1900. Mais se un comeza a explorar distancias moi pequenas (∼ 10⁻¹⁰ m) ou campos gravitatorios moi intensos, as teor´ıas cl´asicas fallan e ´e preciso incorporar o comportamento cu´antico e relativista respectivamente.

rango típico de interación forza

gravitatoria

10

m 10

m

10⁻¹⁵m

10

m

electricidade, magnetismo

teoría que a describía en Física Clásica Teoría da

gravitación de Newton EM

forza nuclear radioactividade

?

?

Figura 1: F´ısica Te´orica a principios do s´eculo XX.

Cando se realizan estas incorporaci´ons, a figura 1 vese actualizada ´a figura 2, onde as interacci´ons seguen a ser as mesmas, pero as teor´ıas que as describen son as chamadas teor´ıas cu´anticas de campos (teor´ıas gauge sendo m´ais concretos) no caso da interacci´on feble, forte e electromagn´etica, e a teor´ıa da Relatividade Xeral (GR) de Einstein no caso da gravidade. Todas estas teor´ıas son relativistas (´e dicir, son compat´ıbeis coa teor´ıa da Relatividade), e s´o GR non ´e cu´antica² (isto ´e, non

´e compat´ıbel coa Mec´anica Cu´antica). O grande obxectivo da F´ısica Te´orica hoxe en d´ıa ´e unificar as catro interacci´ons fundamentais (i.e: describilas como distintas manifestaci´ons dunha mesma interacci´on). Queda f´ora de toda d´ubida en calquera caso a crucial importancia do papel que xoga a Mec´anica Cu´antica na descrici´on das forzas da Natureza.

rango típico de interacción interacción

gravitatoria

10

m 10

m

10⁻¹⁵m

10

m

interacción electromagnética

teoría que a describe a día

de hoxe GR:

General Relativity QED:

Quantum Electrodynamics interacción

forte interacción

feble

QCD:

Quantum Chromodynamics V-A

EW: ElectroWeak Theory

Figura 2: F´ısica Te´orica hoxe en d´ıa.

2A teor´ıa de cordas ´e unha teor´ıa cu´antica da gravidade, a´ında que non est´a claro que describa o mundo no que vivimos.

Eduardo Conde Pena SII 5

Moi breve resumo de Mec´ anica Cl´ asica

Antes de nada, c´ompre aclarar que ´e o que entendemos por Mec´anica Cl´asica.

Remont´emonos ´a f´ısica que aprendiamos na escola. Basicamente todo se reduc´ıa ´a segunda lei de Newton:

F = m ~a .~

O membro esquerdo desta ecuaci´on proporci´onanos a informaci´on relativa ´as in- teracci´ons, o porqu´e se moven as cousas. ´E o que poderiamos chamar din´amica. O membro dereito, pola contra, d´anos a cin´ematica, i.e: dinos como se moven as cousas unha vez co˜necemos as forzas que act´uan no problema. ´E o que se chama mec´anica.

Ent´on, a F´ısica Cl´asica ´e a suma da Mec´anica Cl´asica, que nos d´a cinem´atica, e a teor´ıa cl´asica de campos, que se encarga de darnos as interacci´ons. Cando miramos o mundo microsc´opico, a Mec´anica Cl´asica debe ser substitu´ıda por unha nova me- c´anica, a cu´antica; mentres que a teor´ıa cl´asica de campos conv´ırtese nunha teor´ıa cu´antica de campos³. Esta situaci´on repres´entase esquematicamente na figura 3.

Mecánica Clásica

DINÁMICA CINEMÁTICA

Teoría Clásica de Campos

Mecánica Cuántica

Mecánica Relativista

Mecánica Cuántica Relativista

Teoría Cuántica de Campos

distancias cativas velocidades grandes

Figura 3: Evoluci´on do marco conceptual da F´ısica Te´orica. Marcado en azul est´a o tema do que nos ocupamos nesta charla.

Como funcionaba a Mec´anica Cl´asica ent´on? Pois dada unha part´ıcula mov´en- dose ao influxo de certas interacci´ons, o movemento desta queda completamente caracterizado a trav´es da acci´on S. Esta acci´on⁴ ´e un “funcional”, que v´en sendo

3Cando miramos o mundo de velocidades pr´oximas ´a da luz, a Mec´anica Cl´asica debe ser tam´en substitu´ıda por outra Mec´anica, a Mec´anica Relativista. Este l´ımite tratarase na quinta charla da serie. Ambos l´ımites poden ser combinados na chamada Mec´anica Cu´antica Relativista, a´ında que s´o falaremos aqu´ı da non-relativista. A teor´ıa cu´antica de campos ´e relativista de por si.

4Esta acci´on non ten nada que ver coa acci´on dun grupo.

6 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

unha aplicaci´on que asigna a cada pos´ıbel traxectoria un n´umero real. Esta asigna- ci´on cont´en a informaci´on da F´ısica que goberna o movemento desta part´ıcula.

x t

(x0,0)

(x1,1)

Figura 4: Proceso cl´asi- co.

S : {traxectorias} −→ R

η = (q, ˙q) : [0, 1] → T X 7→ S [η] =R1

0 dt L (q, ˙q) A acci´on ´e a integral do Lagranxiano L, que non ´e m´ais ca unha funci´on escalar definida sobre o fibrado tanxente

´

a variedade onde se move a part´ıcula. (q, ˙q) son as coorde- nadas deste fibrado tanxente, inform´andonos da posici´on da part´ıcula e da s´ua velocidade. O Lagranxiano propor- ciona o contido f´ısico.

A traxectoria que describe a part´ıcula ´e aquela que extremiza a acci´on. Se tra- ballamos localmente na variedade T X con coordenadas qⁱ, ˙qⁱ

, ´e doado obter as ecuaci´ons de movemento, que non son m´ais c´as ecuaci´ons de Euler-Lagrange:

d dt

∂L

∂ ˙qⁱ



= ∂L

∂qⁱ.

As ecuaci´ons de movemento son toda a informaci´on que precisamos para describir o movemento da nosa part´ıcula. As ecuaci´ons resultantes poden ser m´ais f´aciles ou m´ais dif´ıciles de resolver, pero o movemento da part´ıcula est´a completamente deter- minado por elas. En certo modo, podemos dicir que a Mec´anica Cl´asica “acabouse aqu´ı”.

Noci´ ons b´ asicas de Mec´ anica Cu´ antica. Formalismo de integrais de cami˜ no

A´ında que a teor´ıa final non ´e nada intuitiva, a idea de por que un precisa a Mec´anica Cu´antica ´e moi l´oxica. A medida que baixamos na escala de distancias que queremos explorar, chega un momento no que o feito de medir afecta ao proceso f´ısico que queremos caracterizar. Por exemplo, se queremos medir a posici´on dun electr´on temos que usar luz dunha lonxitude de onda moi curta (tan curta como a precisi´on que desexemos), e canto m´ais curta ´e esta lonxitude, m´ais enerx´ıa te˜nen os fot´ons que compo˜nen a luz, o que far´a que alteremos en gran medida o momento (pensemos no momento como o produto da masa pola velocidade) do noso electr´on.

Deste xeito, canto m´ais precisemos a posici´on do electr´on, m´ais aleatorio ser´a o momento deste. A formulaci´on cuantitativa deste feito ´e o chamado principio de incerteza de Heisenberg:

∆x ∆p ≥ ~ 2 = h

4π,

onde ∆x (∆p) representa a incerteza coa que medimos a posici´on (momento) dunha part´ıcula, e h ´e a constante de Planck: h ∼ 10^{−34 kg·m}_s ². Cando se pode considerar

Eduardo Conde Pena SII 7

a ) b )

!{k}

e^{i(k·x−ω·t)}→

" ∞

−∞

dk e^{i(k·x−ω·t)}∝ δ(x)e^−iω·t

e

Figura 5: A onda da figura a) ´e un obxecto cun momento perfectamente definido (deix´andoa vibrar no tempo semellara algo que se move cunha velocidade propor- cional a k), pero completamente deslocalizado. A onda da figura b) ´e un obxecto ben localizado no espazo, pero que se obtivo sumando ondas de todos os momentos, de xeito que non ten un momento ben definido. Esta ´e precisamente a imaxe de part´ıcula que debuxou Heisenberg.

que h = 0 ´e cando estamos no r´exime cl´asico⁵.

A vista deste principio de incerteza, est´´ a claro que o modelo de part´ıculas pun- tuais ´e un tanto enganoso, posto que d´a a idea dunha part´ıcula que segue unha traxectoria concreta cunha velocidade determinada. Un xeito de modelar o novo comportamento son as ondas, como se amosa na figura 5.

Ent´on, o que facemos ´e promocionar as part´ıculas a ondas. Por´en, esta non ´e a fin da historia, porque as ondas son obxectos deslocalizados no espazo-tempo, mais cando medimos cousas no laboratorio, como por exemplo a carga dun electr´on, o que vemos ´e algo localizado. Poderiamos dicir ent´on que cuanticamente as part´ıculas se comportan do seguinte xeito:

Cando non a miras (non mides) → ´e unha onda Cando a miras (mides) → ´e unha part´ıcula

O xeito de implementar esta observaci´on experimental na teor´ıa ´e a chamada in- tegral de cami˜no de Feynman. Imaxinemos que medimos unha part´ıcula nun punto (x₁, t₁) e posteriormente noutro punto (x₂, t₂). Este ´ultimo punto pode ser calque-

5Por exemplo se queremos medir a posici´on e o momento dunha pelota de 200 gramos mov´endose a unha velocidade de 50 km/h, e digamos que fosemos quen de caracterizar a posici´on e a s´ua velocidade con precisi´ons irrealistas (impos´ıbeis de acadar na pr´actica) como 10⁻⁶ m e 10⁻¹⁰ km/h respectivamente; o producto destas imprecisi´ons ser´ıa a´ında moit´ısimo m´ais grande c´o l´ımite imposto polo principio de incerteza: ∆x ∆p ∼ 3·10^{−17 kg·m}_s ² ≫ _4π^h. Neste caso h poder´ıa considerarse nulo a efectos pr´acticos.

8 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

ra e xa non ten sentido preguntarse por onde circula a part´ıcula, sen´on s´o pola probabilidade de que chegue a un punto ou a outro.

O que Feynman pensou ´e que dado que s´o sabemos onde est´a a part´ıcula nos puntos (x1, t1) e (x2, t2), polo medio percorre todos os cami˜nos (traxectorias) pos´ı- beis, e todas estas posibilidades interfiren entre si, dando lugar ao comportamento de onda. Deste xeito ´e pos´ıbel constru´ır unha onda a partir de procesos cl´asicos, respectando as propiedades de part´ıcula nos puntos onde realizamos medidas.

x t

(x1, t₁)

(x₂, t₂)

Figura 6: Proceso cu´antico pen- sado `a la Feynman.

A (x1, t₁; x₂, t₂) = Z

Dη e^i~S[η]

O que calculamos agora en Mec´anica cu´antica ´e a amplitude de probabilidade A dun proceso. Cal- quera proceso ´e pos´ıbel, s´o que alg´uns son m´ais prob´abeis ca outros. Esta amplitude de probabi- lidade ´e un n´umero complexo (isto permite que haxa interferencia entre distintos procesos). O seu m´odulo ao cadrado est´a asociado a unha probabi- lidade.

A acci´on S ´e o mesmo funcional do que se falou na secci´on anterior, e Dη ´e unha medida no espazo de traxectorias. Definir esta medida de xeito rigoroso ´e algo que non se sabe facer para Lagranxianos xen´ericos (si para alg´uns casos particulares).

Ademais, en xeral a natureza oscilatoria do integrando fai que as propiedades de converxencia da integral non sexan boas; o que adoitamos facer en F´ısica para salvar este escollo ´e unha rotaci´on de Wick⁶.

Con este formalismo ´e pos´ıbel obter todos os conceptos tradicionais da Mec´anica Cu´antica (que historicamente non se comezou pensando as´ı), como a reduci´on ´a Mec´anica Cl´asica cando⁷ h → 0, ou a ecuaci´on de ondas de Schr¨odinger. Vexamos como se poder´ıa obter esta ´ultima:

Imaxinemos que por alg´un casual co˜necemos a un tempo dado t₀ a amplitude de probabilidade de que a part´ıcula estea en calquera punto do espazo. Cham´emoslle a esta amplitude ψ(x, t₀), cuxo m´odulo ao cadrado representa a funci´on densidade da distribuci´on de probabilidade de atopar ´a part´ıcula nun punto dado. A evoluci´on temporal desta amplitude ´e claramente:

ψ(x, t) = Z

dx₀A(x0, t₀; x, t)ψ(x₀, t₀) ,

6Na rotaci´on de Wick o xogo ´e calcular a integral de cami˜no para tempos complexos, onde as propiedades de converxencia son mellores, e logo estender analiticamente o resultado para voltar a tempos reais.

7Neste l´ımite todos os cami˜nos infinitamente pr´oximos interfiren destrutivamente pois o inte- grando e^~iS da integral de cami˜no ´e moi oscilatorio, ag´as aqueles que extremizan a acci´on, para os que cami˜nos pr´oximos dan a mesma contribuci´on e non interfiren e por tanto son os ´unicos que sobreviven; estes son precisamente as traxectorias escollidas pola Mec´anica Cl´asica.

Eduardo Conde Pena SII 9

onde A(x⁰, t0; x, t) calc´ulase mediante a integral de cami˜no escrita m´ais arriba.

ψ(x, t) ´e a chamada funci´on de ondas da part´ıcula. Comparando ψ(x, t + dt) e ψ(x, t) e usando a ecuaci´on de arriba, un pode chegar a que a evoluci´on tempo- ral desta funci´on de ondas, para un Lagranxiano (nunha soa dimensi´on espacial) L =^m₂²( ˙x)²− V (x), v´en dada pola seguinte EDP:

i~∂ψ

∂t(x, t) = −~² 2m

∂²ψ

∂x²(x, t) + V (x)ψ(x, t) ,

que na literatura co˜necemos como ecuaci´on de ondas de Schr¨odinger. O significado f´ısico da funci´on de ondas ded´ucese da construci´on anterior: o seu m´odulo ao ca- drado proporciona a funci´on densidade da distribuci´on de probabilidade de atopar a part´ıcula nun punto do espazo-tempo.

Como moralexa final pod´emonos quedar coa seguinte idea de cuantizaci´on. Un sistema f´ısico, a nivel cl´asico, est´a caracterizado por unha acci´on, que pred´ı unha evoluci´on completamente determinista, aquela que extremiza a acci´on. Cando “cuan- tizamos” este sistema, i.e: cando o consideramos a nivel cu´antico, a acci´on segue a caracterizalo, pero xa non de xeito determinista. Agora todas as evoluci´ons son pos´ıbeis, e s´o podemos falar de probabilidades de facer certas medici´ons finais, sen- do esa toda a informaci´on que podemos extraer do sistema. Estas probabilidades calc´ulanse mediante a integral de cami˜no.

Cando cuantizamos unha part´ıcula, o obxecto resultante pode interpretarse en certo modo como unha onda ou campo (un obxecto deslocalizado). Deste xeito, cada part´ıcula leva asociado un campo.

Se cuantizaramos un campo, o obxecto que resultar´ıa ser´ıa un ente que crea e destr´ue part´ıculas. Destoutra perspectiva, voltamos ´a visi´on de part´ıculas; e cada campo crea e destr´ue un tipo de part´ıculas concretas. As´ı por exemplo, o campo electromagn´etico crea e destr´ue fot´ons, o campo de Higgs crea e destr´ue bos´ons de Higgs, etc.

Ent´on, cuantizando a part´ıcula obtemos o campo, e cuantizando o campo obtemos a part´ıcula. Logo non ten sentido facer distinci´on entre ambas visi´ons. A teor´ıa que as combina ´e a chamada Teor´ıa Cu´antica de Campos, que abordaremos na terceira charla da serie.

Un par de exemplos

Amosamos nesta secci´on un par de exemplos de uso da integral de cami˜no en Mec´anica Cu´antica. O primeiro ilustra de xeito cualitativo como a integral de cami-

˜

no ´e o marco axeitado para interpretar fen´omenos cu´anticos que desaf´ıan ´a l´oxica cl´asica. O segundo exemplo ´e m´ais cuantitativo, e ilustra un pos´ıbel xeito de calcu- lar explicitamente unha integral de cami˜no no caso m´ais sinxelo pos´ıbel, aquel da part´ıcula libre.

10 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

O experimento da dobre fenda

O experimento da dobre fenda ´e un dos m´ais famosos experimentos ilustrando a estra˜na l´oxica cu´antica. A s´ua confirmaci´on experimental contin´ua a fascinar hoxe en d´ıa a milleiros de estudantes que se atopan por primeira vez coa Mec´anica Cu´antica.

Figura 7: O experimento da dobre fenda.

A configuraci´on experimental ´e a que se amosa na figura 7 a). Dispo˜nemos unha fonte que emite electr´ons que se dirixen contra unha dobre fenda, que s´o permite o paso dos electr´ons a trav´es de d´uas pequenas aberturas⁸. Detr´as desta dobre fenda, colocamos unha pantalla sens´ıbel aos impactos dos electr´ons e na que ao final do experimento podemos observar o perfil da cantidade de impactos.

O que un esperar´ıa atopar na pantalla, a priori, ser´ıa unha distribuci´on como a da figura 7 b). ´E dicir, que a maior´ıa dos electr´ons impactasen detr´as das fendas.

Agardariamos que aqueles electr´ons que foron desviados rebotando nas fendas sexan a minor´ıa. Non obstante, a situaci´on coa que nos atopamos ´e coa da figura 7 a), na que observamos un claro patr´on de difracci´on. Se en vez de electr´ons a nosa fonte emitise luz, non nos levariamos unha sorpresa ao ver este patr´on, xa que sabemos que a luz pasar´ıa polas d´uas fendas, onde se difractar´ıa, e logo interferir´ıa dando lugar ao cl´asico patr´on de franxas.

Un poder´ıa dar un pequeno salto e pensar que ao disparar todos eses electr´ons, temos unha nube de part´ıculas que impacta na dobre fenda, e que logo uns electr´ons chocar´an cos outros dando lugar a que a nube te˜na un comportamento de onda. Mais

8O tama˜no das aberturas ha de ser dun tama˜no compar´abel ´a lonxitude de onda de De Broglie dos electr´ons para que observemos os efectos cu´anticos. Asemade, a distancia entre dobre fenda e pantalla ha de ser moito m´ais grande ca esta lonxitude de onda, para que recuperemos os resultados cl´asicos no experimento 7 b).

Eduardo Conde Pena SII 11

´e aqu´ı que chega a nosa primeira gran sorpresa: se disparamos os electr´ons un a un, sen posibilidade de que interfiran un co outro, veremos que cada un impacta nun lugar arbitrario da pantalla. E se logo de disparar uns cantos facemos o c´omputo total, observamos que o patr´on volta a ser o mesmo que cando disparabamos a nube de electr´ons. Isto quere dicir que non ´e que o conxunto de electr´ons se comporte como unha onda, sen´on que cada electr´on por separado o fai!

A´ında que isto xa desaf´ıa totalmente a nosa l´oxica, se estamos dispostos a crer que o electr´on realmente ´e unha onda, seriamos quen de comprender o resultado.

Mais o experimento a´ında pode sorprendernos m´ais. Unha onda non se pode dicir que pase por ningunha das d´uas fendas. Que ocorre se colocamos un detector de electr´ons na dobre fenda como na figura 7 b)? Pois o que vemos ´e que cada electr´on pasa por unha e s´o por unha das fendas, como esperariamos dunha part´ıcula e non dunha onda. Pero o curioso ´e que o feito de observar o electr´on neste punto interme- dio ten o efecto de destru´ır completamente o patr´on de difracci´on. As´ı recup´erase o patr´on que esperariamos atopar cl´asicamente. Este ´e un claro exemplo de como o feito de observar (medir) afecta ao fen´omeno f´ısico que estamos medindo.

A nosa intuici´on estea probabelmente navegando sen rumbo neste punto, sen saber como casar estes resultados e interpretar o experimento. A integral de cami-

˜

no perm´ıtenos entender que ´e o que est´a a pasar. A figura 8 amosa un esquema ilustrativo.

Figura 8: Un xeito de definir a integral de cami˜no.

No caso a), a integral de cami˜no dinos que o electr´on percorre todas as traxecto- rias pos´ıbeis ata impactar nun punto da pantalla: as que pasan por unha das fendas, as que pasan pola outra, as que dan marcha atr´as... e finalmente a probabilidade de que o electr´on impacte no punto no que nos estamos fixando ´e a interferencia entre todas estas posibilidades. As´ı se o punto est´a xusto detr´as do medio das d´uas

12 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

fendas os cami˜nos que van por arriba e por abaixo son sim´etricos e te˜nen unha interferencia construtiva. Haber´a tam´en outros puntos nos que a interferencia sexa construtiva, e ao final obteremos o patr´on de franxas da figura 7 a) que se observa experimentalmente.

No caso b), a historia cambia un pouco, dado que puxemos un detector na dobre fenda. Isto significa que a´ı medimos e sabemos que est´a part´ıcula, e polo tanto a integral de cami˜no haber´a que propagala dende ese punto ata a pantalla, e non dende a fonte de electr´ons inicial. Medindo na dobre fenda separamos o proceso cu´antico da propagaci´on do electr´on dende a fonte ata a pantalla en dous procesos cu´anticos independentes. O patr´on que observaremos na pantalla logo ´e aquel que se obt´en calculando a integral de cami˜no dende a dobre fenda ata a pantalla. Como esta distancia ´e macrosc´opica, a integral de cami˜no reproducir´a os resultados cl´asicos, e daranos o patr´on cl´asico que observabamos na figura 7 b).

Pequenas sutilezas como a anchura das distribuci´ons en 7 b) poder´ıan ser enten- didas mediante a integral de cami˜no e o principio de incerteza, pero conform´amonos aqu´ı con entender o resultado m´ais importante do experimento.

A part´ıcula libre

Unha part´ıcula libre ´e aquela que se move libremente, sen a influencia de forza algunha. En M´ecanica Cl´asica estas part´ıculas describen movementos rectil´ıneos e uniformes⁹ (a velocidade constante). Evidentemente a cousa cambia en M´ecanica Cu´antica. Este exemplo ´e suficientemente simple como para que a integral de cami˜no sexa calcul´abel exactamente e constit´ue un exemplo ben representativo de como a F´ısica cambia ao dar o salto cu´antico.

O Lagranxiano da part´ıcula libre non-relativista ´e:

L = 1 2m ˙x².

O c´alculo da integral de cami˜no para este Lagranxiano pode facerse imitando un pouco ´a integral de Riemann. A idea ser´ıa dividir o cami˜no que ten que percorrer a part´ıcula en cami˜nos cada vez m´ais pequenos, percorridos en tempos infinitesi- mais. Calquera cami˜no pode ser tan ben aproximado como se queira por un cami˜no poligonal regular a trozos. Deste xeito, variando os puntos intermedios polos que vai pasando a part´ıcula varreriamos todos os cami˜nos pos´ıbeis. E as´ı ser´ıa pos´ıbel definir a integral de cami˜no. Esta idea pres´entase esquematicamente na figura 9.

En cada tramo rectil´ıneo do cami˜no poligonal, ´e doado calcular R

dxje^~iS[ηj], e ent´on p´odese completar o c´alculo da integral de cami˜no enteira. Os detalles do c´alculo e a discusi´on deste exemplo poden atoparse na secci´on 3-1 do libro orixinal de Feynman [1], onde explica a s´ua concepci´on da Mec´anica Cu´antica mediante integrais de cami˜no (a´ında que o libro est´a escrito para unha audiencia f´ısica, o

9Nunha variedade curva, as part´ıculas libres viaxan ao longo de xeod´esicas, mais para que unha variedade se curve precisamos gravidade e aqu´ı estamos asumindo ausencia de forzas de calquera tipo.

Eduardo Conde Pena SII 13

estilo de Feynman pr´estase a unha audiencia m´ais ampla, e constit´ue sempre unha lectura interesante dada a s´ua orixinalidade).

Figura 9: Un xeito de definir a integral de cami˜no.

O resultado final ´e:

A(x1, t₁; x₂, t₂) =

r m

2πi~(t2− t¹)eⁱ

m(x2−x1)2 2~(t2−t1) .

E interesante amosar este resultado final porque vemos como a natureza oscilato-´ ria na propagaci´on da part´ıcula xurdiu a partir de conceptos cl´asicos a trav´es da integral de cami˜no. A onda asociada ´a part´ıcula libre pode lerse deste resultado.

Marabillosamente, cando un analiza esta onda para intervalos temporais e cami˜nos

“longos” (onde ~ fixa a escala coa que debemos comparar), vese que se reduce a unha onda plana con lonxitude de onda λ e frecuencia ω caracterizadas por:

λ = h

m(x2−x1) t2−t¹

= h

p, ω = m

2~

x₂− x1

t2− t¹

2

= E

~ ,

onde p e E representan o momento e a enerx´ıa da part´ıcula respectivamente. Estas non son m´ais c´as misteriosas relaci´ons de De Broglie, que xorden de xeito natural neste marco da integral de cami˜no.

Un m´ etodo m´ ais xeral para calcular integrais de cami˜ no

O obxectivo desta secci´on final ´e debuxar moi brevemente d´uas pinceladas sobre como se poder´ıa abordar o c´alculo de integrais de cami˜no nun exemplo concreto da Mec´anica Cu´antica, que ilustra t´ecnicas xeneraliz´abeis ´a teor´ıa cu´antica de campos, e adivi˜nar as´ı como xorden os conceptos de propagador, funci´on de Green..., voc´abulos

14 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

habituais na xerga da comunidade de f´ısica te´orica. A presentaci´on desta secci´on ser´a moi relaxada, obviando moitos detalles intermedios, sendo a idea principal programar a ponte que conecta coa charla de Teor´ıa Cu´antica de Campos.

Centr´emonos no exemplo por excelencia da Mec´anica Cu´antica, que non ´e ou- tro c´o oscilador harm´onico (nunha dimensi´on). Podemos chamar a unha part´ıcula oscilador harm´onico cando o seu Lagranxiano ´e:

L = 1 2˙x²−1

2ω²x².

Queremos calcular a integral de cami˜no para este sistema:

A (x¹, t1; x2, t2) = Z

Dη e^i~S[η].

Unha idea de como facelo ´e a seguinte (tomamos x₁ = 0, x₂ = 0 por simplicidade.

A esencia do m´etodo ´e capturada por este exemplo):

Integrando por partes con respecto ao tempo no Lagranxiano do oscilador har- m´onico, e desprezando a derivada total, obtemos un Lagranxiano equivalente¹⁰:

L = −1 2x¨x −1

2ω²x² ⇒ S[η] = Z t2

t1

dt x



−1 2

d² dt² − 1

2ω²

 x . Chamemos A =

−¹_2dt^d22 −¹₂ω²

ao operador actuando na acci´on. A teor´ıa de Sturm- Liouville d´anos unha serie de autofunci´ons x_n, soluci´ons do problema A x_n= λ_nx_n coas condici´ons de contorno x_n(t₁) = 0, x_n(t₂) = 0, que son base do espazo de funci´ons x(t), t1 ≤ t ≤ t² tales que verifican as condici´ons de contorno previas.

As funci´ons deste espazo son precisamente todas as traxectorias que interve˜nen no c´alculo da integral de cami˜no de m´ais arriba. Isto significa que unha traxectoria arbitraria poder´ıa escribirse como x =P_∞

n=0anxn, e as´ı temos un candidato obvio para a medida no espazo de traxectorias:

Dη = 1 N

Y∞ n=0

da_n,

onde N ´e unha constante de normalizaci´on que haber´ıa que fixar mediante criterios f´ısicos. Unha vez identificada a medida, p´odese abordar o c´alculo da integral de cami˜no, que neste caso p´odese levar a cabo explicitamente. Para o c´alculo da mesma,

´e conveniente facer unha rotaci´on de Wick como paso intermedio. Basta definir a versi´on Euclidiana do operador A, con autovalores positivos, que far´a que a acci´on sexa definida positiva:

A^Eucl=



−1 2

d² dt² +1

2ω²



, S^Eucl[x] = X∞ n=0

λ^Eucl_n (a_n)².

10Dous Lagranxianos son equivalentes cando d´an lugar ´as mesmas ecuaci´ons de movemento. No caso en que difiren nunha derivada (con respecto ao tempo) total, para unhas condici´ons de contorno dadas, isto significa que as acci´ons correspondentes diferir´an nunha constante, e polo tanto buscar os extremos dunha ´e o mesmo que buscar os da outra.

Eduardo Conde Pena SII 15

A integral de cami˜no Euclidiana calc´ulase como segue:

Z

Dη e^{−1~SEucl[η]} = Z 1

N Y∞ n=0

da_ne^{−1~λEucln (an)2} = 1 N

Y∞ n=0

( ~

λ^Eucl_n )¹² ∼ det(G^Eucl)¹² , onde estamos denotando por G^Euclao inverso do operador A^Eucl: A^EuclG^Eucl(t−t^′) = δ(t − t^′), sendo δ(t − t^′) a funci´on delta de Dirac. Na s´ua versi´on non Euclidiana, que se define de maneira obvia, este operador inverso G ´e o que se denomina funci´on de Green. No caso do oscilador harm´onico, a funci´on de Green p´odese calcular facil- mente (facendo unha transformada de Fourier), ao igual que a integral de cami˜no, dado que os autovalores do problema de Sturm-Liouville son co˜necidos. Desfacendo a rotaci´on de Wick¹¹, o produto a avaliar para obter a integral de cami˜no do noso problema ser´ıa:

1 N

Y∞ n=0

 ~ λ_n

¹₂

= ω N

Y∞ n=1

√2~t2− t¹ πn

Y∞ n=1

1 −ω²(t2− t¹)² 2π²n²

!₋¹₂ .

Isto ´e basicamente a expansi´on de Weierstrass de sen

(t1−t2)ω 2

, se escollemos N tal que cancele ao primeiro produto infinito: N =Q_∞

n=1√ πn

2~(t2−t1). Fix´emonos que este N ´e infinito. A aparici´on de infinitos ´e habitual nos c´alculos en Teor´ıa Cu´antica de Campos, as´ı como o truco de absorbelos nas constantes de integraci´on. A d´ıa de hoxe non se co˜nece unha formulaci´on desta teor´ıa que os elimine rigorosamente.

Tanto en Mec´anica Cu´antica como en Teor´ıa Cu´antica de Campos, o tipo de obxectos que estamos interesados en calcular son amplitudes de probablidade de certos sucesos. Agora ben, como na segunda teor´ıa o concepto de part´ıcula ´e un tanto distinto ao que temos na primeira (xa mencionamos que en Teor´ıa Cu´antica de Campos as part´ıculas son excitaci´ons de certos campos), o xeito de calcular amplitudes de probabilidade ´e un pouco distinto tam´en. ´E as´ı que no que estamos interesados son nuns obxectos chamados funci´ons de correlaci´on de campos. No caso do oscilador harm´onico, o que nos interesar´ıa calcular ser´ıan as funci´ons de correlaci´on do campo posici´on X:

hx1, t₁ | X(t)X(t^′) | x2, t₂i = Z

Dη X(t)X(t^′)e^~iS[η],

onde t₁ < t < t^′ < t₂. En Mec´anica Cu´antica este obxecto dar´ıa unha especie de promedio do produto das posici´ons da part´ıcula a tempo t e a tempo t^′ cando se propaga dende x₁ a tempo t₁ ata x₂ a tempo t₂. En Teor´ıa Cu´antica de Campos, pola contra, tomando un certo l´ımite e normalizando convenientemente, este obxecto proporci´onanos a amplitude de probabilidade de que o campo X cree unha part´ıcula a tempo t, e que esta se propague ata un tempo t^′, onde se destr´ue. ´E as´ı que este

11que neste caso ´e simplemente substitu´ır λ^Eucln polos orixinais λn.

16 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

obxecto ch´amase propagador, e o seu c´alculo ´e de importancia capital na Teor´ıa Cu´antica de Campos.

Para rematar, argumentamos fugazmente como pode calcularse o propagador coas t´ecnicas anunciadas m´ais arriba, baseadas no c´omputo de determinantes de certos operadores. O que se adoita facer ´e definir unha funci´on xeratriz, e tomar derivadas nesta. Para o caso concreto do anterior propagador no oscilador harm´o- nico, engadiriamos unha fonte J ao Lagranxiano, segundo L → L^J = L + ~Jx, e teriamos:

W [J] = Z

Dη e^~iSJ[η] ; hx1, t₁ | X(t)X(t^′) | x2, t₂i = 1 i²

δ²

δJ(t) δJ(t^′)W [J] . Para o c´alculo da funci´on xeratriz usar´ıanse as t´ecnicas anteriores e finalmente, logo de tomar as derivadas, atopar´ıase unha estreita relaci´on entre o propagador e a funci´on de Green. Este c´alculo tende a ponte operativa que leva da Mec´anica Cu´antica ´a Teor´ıa Cu´antica de Campos, e poden atoparse os detalles do mesmo en calquera libro de introduci´on ´a ´ultima, como por exemplo [2].

Bibliograf´ıa

[1] R. P. Feynman, A. R. Hibbs; Quantum mechanics and path integrals, McGraw- Hill, 1965.

[2] S. Pokorski; Gauge field theories, Cambridge University Press, 1987.

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Mec´ anica Cu´ antica en el formalismo de las ´ algebras C

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga

Departamento de F´ısica de Part´ıculas 22 de marzo de 2010

En este trabajo se pretende hacer una somera presentaci´on de la Mec´anica Cu´an- tica (MC) en el formalismo de las ´algebras C^∗, de tal forma que la estructura mate- m´atica de la MC (espacios de Hilbert, operadores autoadjuntos como observables, vectores como estados f´ısicos...) surjan de forma m´as o menos natural. Adem´as pro- porciona un esquema sencillo para establecer el paso de la Mec´anica Cl´asica a la MC pasando de ´algebras C^∗ abelianas en el caso de la Mec´anica Cl´asica a ´algebras C^∗ no abelianas en el caso de la MC, justificando las relaciones de incertidumbre de Heisenberg que constituyen uno de los portulados de la teor´ıa.

Mec´ anica Cl´ asica

Introducci´on

En esta secci´on haremos un peque˜no repaso a nociones b´asicas de la mec´anica cl´asica, empezando por la descripci´on de un sistema f´ısico:

{q, p} : variables can´onicas q = (q1, q2, ..., qn) , p = (p1, p2, ..., pn)

Entonces {q, p} ∈ Γ, donde Γ es la variedad de espacio de fases. Los observables son funciones f ∈ C^C(Γ):

f : Γ −→ C (q, p) 7−→ f(q, p)

La din´amica de un sistema est´a dada por las ecuaciones de Hamilton q 7−→ q^t(t, q, p) p 7−→ p^t(t, q, p) ft(q, p) ≡ f(q^t, pt)

dq dt = ∂H

∂p

dp

dt = −∂H

∂q

Palabras Clave:Mec´anica Cu´antica, ´algebras C^∗, operadores acotados, espacios de Hilbert

17

18 SII Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C^∗

Propiedades algebraicas de los observables cl´asicos. C^∗–´algebras.

Los observables asociados a un sistema cl´asico generan un ´algebra abeliana ∆ de funciones complejas continuas en el espacio de fases. Esta ´algebra tiene elemento identidad dado por la funci´on f = 1, y una involuci´on natural ∗ definida por la conjugaci´on ordinaria, f^∗(x) = ¯f (x), tal que ∆ es una ∗–´algebra con identidad. A cada elemento f ∈ ∆ se le puede asignar una norma kfk, dada por

kfk = sup_x∈Γ|f(x)|

y se tendr´a que ∆ es un espacio de Banach respecto a esta norma. El producto es continuo respecto a la topolog´ıa dada por la norma, esto es,

kfgk ≤ kfkkgk

y entonces ∆ es una ∗–´algebra de Banach. Finalmente, tenemos la condici´on C^∗ kf^∗f k = kfk².

Al ´algebra presentada antes se le denomina ´algebra C^∗. En esta secci´on descri- biremos propiedades b´asicas sobre esta estructura.

Definici´on 1. Un conjunto no vac´ıo ∆ se dice que tiene estructura de C^∗–´algebra si satisface las siguientes propiedades:

i) Tiene estructura de ´algebra lineal asociativa sobre el cuerpo C de los complejos.

ii) Es un espacio normado, esto es, existe una aplicaci´on k·k : ∆ −→ R que satisface

kAk ≥ 0 para todo A ∈ ∆, y kAk = 0 ⇔ A = 0, kλAk = |λ|kAk, para todo A ∈ ∆ y λ ∈ C, kA + Bk ≤ kAk + kBk, para todo A, B ∈ ∆, con respecto a la cual el producto es continuo:

kABk ≤ kAkkBk

y ∆ es un espacio completo con respecto a la topolog´ıa definida por la norma (luego ∆ es un ´algebra de Banach).

iii) Existe una involuci´on ∗ : ∆ −→ ∆ tal que

(A + B)^∗ = A^∗+ B^∗, (λA)^∗= ¯λA^∗, (AB)^∗= B^∗A^∗, (A^∗)^∗ = A para todo A, B ∈ ∆ y λ ∈ C. Esta involuci´on adem´as satisface la propiedad (C^∗-condici´on)

kA^∗Ak = kAk², para todo A ∈ ∆.

Esta condici´on implica que kA^∗k = kAk para todo A ∈ ∆.

Definici´on 2. Un funcional lineal multiplicativo m en un ´algebra conmutativa ∆ con identidad es un homomorfismo m : ∆ → C, es decir, satisface que m(AB) = m(A)m(B), m(A + B) = m(A) + m(B) para todo A, B ∈ ∆, y m(1) = 1 si m 6= 0.

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga SII 19

Estados como funcionales lineales

Sabemos que no son posibles medidas con precisi´on infinita debido a la impreci- si´on intr´ınseca de los dispositivos f´ısicos. El m´etodo experimental usual de asociar un valor de un observable f a un estado ω es realizar medidas repetidas de f , m^(ω)₁ , m^(ω)₂ , ..., m^(ω)_n , sobre el sistema en el estado ω o, m´as generalmente, r´eplicas de ´el, para computar el valor medio

< f >≡ 1

n{m^(ω)1 (f ) + m^(ω)₂ + ... + m^(ω)_n }.

Entonces el valor esperado de f en el estado ω ser´a ω(f ) ≡ l´ımn→∞ < f >^(ω)_n y la anchura de la medida de f est´a dada por

(∆ωf ) ≡ ω((f − ω(f))²).

Ya que ω(f ) tiene una interpretaci´on de promedio de los resultados de las me- didas de f en un estado dado ω, se sigue que:

ω(λf1+ µf2) = λω(f1) + µω(f2), para todo f1, f2∈ ∆, µ, λ ∈ C, y la condici´on de positividad

ω(f^∗f ) ≥ 0, para todo f ∈ ∆.

La condici´on de positividad implica la validez de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|ω(A^∗B)| ≤ ω(A^∗A)^1/2ω(B^∗B)^1/2.

Entonces ω(1) > 0 (excepto para el estado trivial). Por lo cual, sin p´erdida de generalidad, dado un estado (no trivial) ω siempre puede ser normalizado: ω −→

ω_norm= ω(1)⁻¹ω, y entonces ω_norm(1) = 1.

En conclusi´on, un sistema cl´asico est´a definido por una C^∗–´algebra ∆ de sus observables y un estado es un funcional lineal normalizado ω en ∆. Un estado ω en una C^∗–´algebra de funciones continuas C(Γ) en un espacio compacto Hausdorff Γ, es autom´aticamente continuo, y por el teorema de representaci´on de Riesz–Markov define una ´unica medida (Borel regular) µ_ω en Γ tal que

ω(f ) = Z

Γ

f dµ_ω, µ_ω(Γ) = ω(1) = 1, as´ı que los valores esperados tienen interpretaci´on probabil´ıstica.

Mec´ anica cu´ antica

Relaciones de incertidumbre de Heisenberg

En la descripci´on anterior de los sistemas cl´asicos, los estados libres de dispersi´on en la medida son considerados una idealizaci´on. Sin embargo, podemos admitir en

20 SII Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C^∗

base a la experiencia que en los sistemas cl´asicos macrosc´opicos podremos reducir es- ta dispersi´on en la medida tanto como queramos, para cualquier par de observables, simplemente repitiendo mediciones. En contraposici´on, como Heisenberg mostr´o en un contexto cu´antico, esto es imposible, y se ha de verificar:

(∆ωqj)(∆ωpj) ≥ ~ 2

Podemos investigar las implicaciones de las relaciones de incertidumbre de Heisen- berg en el contexto de las C^∗–´algebras . Dado un estado ω y un par de observables A = A^∗, B = B^∗, que por simplicidad ser´an tomados de media cero, tendremos:

∆_ω(A) ∆_ω(B) = ω(A²)^1/2(B²)^1/2, (A − iλB)(A + iλB) ≥ 0 para todo λ ∈ R, ω(A²) + |λ|²ω(B²) + iλω([A, B]) ≥ 0,

donde [A, B] = AB − BA. El hecho de que la forma cuadr´atica sea definida positiva requiere que 4ω(A²)ω(B²) ≥ |ω([A, B])|², i.e.

∆_ω(A)∆_ω(B) ≥ 1

2|ω([A, B])|.

Entonces las relaciones de incertidumbre de Heisenberg entre dos observables est´an dadas por la relaci´on de conmutaci´on entre ellos:

[qj, pk] = qjpk− p^kqj = i~δjk1.

En conclusi´on, en Mec´anica Cu´antica necesitamos un ´algebra de observables no abeliana.

Construcci´on de Gelfand–Naimark–Segal

Definici´on 3. Un ∗–homomorfismo entre dos ∗–´algebras ∆ y Λ es una aplicaci´on π : ∆ → Λ que preserva todas las relaciones algebraicas, incluyendo la involuci´on ∗.

Definici´on 4. Una representaci´on π de una C^∗–´algebra ∆ en un espacio de Hilbert H, es un ∗–homomorfismo de ∆ en la C^∗–´algebra B(H) de operadores lineales acotados en H. Una representaci´on se dice irreducible si 0 y H son los ´unicos subespacios cerrados invariantes bajo π.

Teorema 5. Si π es un ∗–homomorfismo entre ∆ y Λ, entonces se tiene que para todo A ∈ ∆

kπ(A)kΓ≤ kAk∆.

Teorema 6. Dada una C^∗–´algebra ∆ y un estado ω, existen un espacio de Hilbert H_ω y una representaci´on π_ω : ∆ → B(Hω) tales que

i) H_ω contiene un vector c´ıclico Ψ_ω (i.e. π(∆)Ψ es denso en H_ω),

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga SII 21

ii) ω(A) = (Ψω, πωΨω),

iii) cualquier otra representaci´on π en un espacio de Hilbert H_π con un vector c´ıclico Ψ tal que

ω(A) = (Ψ, π(A)Ψ)

es unitariamente equivalente a π_ω, i.e. existe una isometr´ıa U : H_π → Hω tal que

U π(A)U⁻¹= πω(A) y U Ψ = Ψω. La simetr´ıa U est´a definida por

U⁻¹π_ω(A)Ψ_ω = π(A)Ψ.

El teorema anterior constituye la construcci´on GNS. La construcci´on GNS es importante por su implicaci´on en la descripci´on de los sistemas f´ısicos, dado que explica el conjunto de valores esperados en t´erminos de:

i) una representaci´on de observables como operadores en un espacio de Hilbert, ii) la descripci´on de un estado en t´erminos de elementos de matriz de un vector

en un espacio de Hilbert.

Por lo tanto, se puede concluir que la estructura matem´atica de la Mec´anica Cu´antica no necesita ser postulada (como la axiomatizaci´on de Dirac–von Neu- mann).

El siguiente teorema nos ser´a ´util m´as adelante:

Teorema 7. (Gelfand–Naimark) Toda C^∗–´algebra es isomorfa a un ´algebra de ope- radores acotados en un espacio de Hilbert.

Consideremos dos operadores (denominados operadores de Weyl) definidos de la siguiente manera:

U (α) = e^iαq, V (β) = e^iβp, α, β ∈ R^s.

En t´erminos de estos operadores, las relaciones de Heisenberg adquieren la forma U (α)V (β) = V (β)U (α)e^iαβ, U (α)U (β) = U (α + β), V (α)V (β) = V (α + β).

Adem´as, estos operadores tienen las siguientes propiedades:

U (α)^∗= U (−α), V (β)^∗ = V (−β), U (α)^∗U (α) = U (α)U (α)^∗ = 1, y U , V y U V tienen la misma norma, igual a 1.

Una estructura con las propiedades descritas arriba se denomina C^∗ -´algebra de Weyl.

El teorema de von Neumann ser´a fundamental en lo que sigue:

Teorema 8. (von Neumann) Todas las representaciones regulares irreducibles de una C^∗–´algebra de Weyl son unitariamente equivalentes.

22 SII Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C^∗

Por el teorema de von Neumann todas las representaciones regulares irreducibles de una C^∗–´algebra de Weyl son unitariamente equivalentes, luego basta encontrar una. Ahora mostraremos la representaci´on de Schr¨odinger πS. El espacio de Hilbert es

H = L²(R^s, d^sx) Para todo ψ ∈ H se tiene que:

(U (α)ψ)(x) = e^iαx, (V (β)ψ)(x) = ψ(x + β) = ψ_β(x),

donde U (α) y V (β) son operadores unitarios en H y definen una representaci´on del C^∗–´algebra de Weyl

(U (α)V (β)ψ)(x) = (U (α)ψβ)(x) = e^iαxψ(x + β), (V (β)U (α)ψ)(x) = e^iα(x+β)ψ(x + η),

U (α)U (β)ψ = U (α + β)ψ , V (α)V (β)ψ = V (α + β)ψ.

(Quedar´ıa probar que la representaci´on de Schr¨odinger es irreducible).

Como consecuencia f´ısica se tiene que los estados de una part´ıcula cu´antica est´an representados por vectores en L²(R^s) , i.e. por elementos de L². Podemos ver que:

(qψ)(x) = xψ(x), ψǫD_q= {ψǫL², xψǫL²}, (pψ)(x) = −i

 d dxψ(x)



, ψǫDp = {ψǫL²,dψ dxǫL²}.

Un observable se representa por un operador acotado autoadjunto A en H y para cada ψ ∈ H los valores medios ωψ(A) est´an dados por

ω_ψ(A) = Z

dx ¯ψ(Aψ)(x).

Ecuaci´on de Schr¨odinger

Un fen´omeno t´ıpico de la descripci´on de la Mec´anica Cu´antica es que dados dos estados representados por ψ₁, ψ₂∈ L², se tiene que

ψ(x) = ψ1(x) + ψ2(x)

tambi´en es un estado, que es denominado la superposici´on de los estados ψ₁ y ψ₂. Por ejemplo, la distribuci´on de probabilidad asociada a un observable F (q) definido por ψ(x), no es la suma de las distribuciones de probabilidad |ψ1(x)|² y |ψ2(x)|², sino que contiene un t´ermino de interferencias ¯ψ₁(x)ψ₂(x) + ¯ψ₂(x)ψ₁(x).

Nuestro objetivo es encontrar una ecuaci´on de evoluci´on en la Mec´anica Cu´an- tica. Para ello hagamos las siguientes suposiciones:

El ´algebra ∆ de observables es la misma en cualquier instante de tiempo, y la traslaci´on temporal de cada operador A → At ≡ αt(A) preserva todas las pro- piedades algebraicas. Por lo tanto, es claro que α_t1(α_t2(A)) = α_t1+t2(A). En una

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga SII 23

representaci´on irreducible π supondremos que αt est´a implementado por un opera- dor unitario U (t):

π(αt(A)) = U (t)⁻¹π(A)U (t), para todo A ∈ ∆,

y por el teorema de Stone, podemos escribir para un operador autoadjunto H la siguiente expresi´on:

U (t) = exp(−itH), para todo t ∈ R, y entonces

t→0l´ımit⁻¹(U (t) − 1)Ψ = HΨ.

U (t) puede ser expresado por su serie de potencias

U (t)Ψ = X∞ n=0

(it)ⁿ n! HⁿΨ, y poniendo Ψ(t) ≡ U(t)Ψ, tenemos

id

dtΨ(t) = HΨ(t).

Esta es la ecuaci´on de evoluci´on temporal de Schr¨odinger, y H es denominado Hamiltoniano cu´antico.

Para acabar esta secci´on, resumiremos todo lo encontrado hasta ahora en la denominada estructura axiom´atica de la Mec´anica Cu´antica de Dirac-von Neumann:

i) Los estados de un sistema f´ısico est´an descritos por rayos en un espacio de Hilbert separable H.

ii) Los observables de un sistema f´ısico est´an descritos por el conjunto de los operadores acotados autoadjuntos en H.

iii) Si un estado ω est´a descrito por un vector Ψ_ω ∈ H, para cada observable A, el valor esperado ω(A) est´a dado por el elemento de matriz ω(A) = (Ψ_ω, AΨ_ω).

iv) Las variables can´onicas satisfacen las siguientes relaciones de conmutaci´on:

[q_i, q_j] = 0 = [p_i, p_j], [q_i, p_j] = i~δ_ij, i, j = 1, ..., s.

v) Las anteriores relaciones de conmutaci´on est´an representadas por operadores en H = L²(R^s, d^sx):

q_iψ(x) = x_iψ(x), p_jψ(x) = −i~∂ψ

∂xj

(x).