• No se han encontrado resultados

2 010

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "2 010"

Copied!
104
0
0

Texto completo

(1)

2 Actas do Seminario de Iniciación á Investigación 0 1 0

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

A s mat emát i cas do veci ño

M. Domí ngue z Vá z que z A. Ma r t í ne z Ca l v o

J . S e oa ne Ba s c oy

E DI T ORE S

(2)
(3)

ACTAS DO S EMINARIO DE

I NICIACI ´ ON ´ A I NVESTIGACI ´ ON

ANO 2010

Editores:

Miguel Dom´ınguez V´azquez Adela Mart´ınez Calvo Javier Seoane Bascoy

(4)

2011 Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on.c

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Coordina:

Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII) seminarios3c@gmail.com

Edita:

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria Pavill´on de Servizos, s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela

ISSN: 2171-6536 Dep´osito Legal:C 485-2011

(5)

Todo saber ten de ciencia o que ten de matem´atica.

Jules Henri Poincar´e

Non hai rama da matem´atica, por abstracta que sexa, que non poida aplicarse alg´un d´ıa aos fen´omenos do mundo real.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

iii

(6)
(7)

Prefacio

Un aspecto fundamental da investigaci´on ´e a transmisi´on dos novos avances no co˜necemento cient´ıfico, tanto en ´ambitos especializados como noutros m´ais xerais.

A mi´udo estamos afeitos a presentar as nosas contribuci´ons cient´ıficas en forma de traballos escritos ou conferencias dirixidos a outros investigadores especializados no noso campo de traballo. Sen embargo, a comunicaci´on en ´ambitos non especializados ou ´a sociedade xeral presentan unha grande dificultade engadida da que, na maior´ıa dos casos, non conseguimos sa´ır con ´exito. O Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on pretende ser, dende a s´ua posta en marcha no ano 2005, unha ferramenta de axuda en ´ambalas d´uas cuesti´ons anteriores para os nosos estudantes de posgrao.

Cando os primeiros organizadores do Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on me presentaron a idea de levar a cabo un seminario entre estudantes de doutorado co fin de dar a co˜necer os distintos problemas nos que estaban a traballar, pareceume una iniciativa de grande interese. O feito de nos atopar ante as actas correspon- dentes ao sexto ano de dito seminario ´e a demostraci´on clara de que tal iniciativa sorteou con ´exito t´odolos atrancos que, sen d´ubida, se foron atopando. Dende o seu inicio fun consciente das dificultades e satisfacci´ons derivadas da organizaci´on do Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on, quizais pola cercan´ıa cos seus impulsores e os continuadores do mesmo.

Como docente considero que o SII ´e unha das actividades m´ais salientables nas que participan os nosos estudantes de posgrao: non s´o polo esforzo de presentar o seu traballo ante os seus compa˜neiros (o que sup´on un foro de investigadores cun alto esp´ırito cr´ıtico e unha grande diversidade de intereses cient´ıficos), sen´on tam´en polo que sup´on a organizaci´on e edici´on das actas do mesmo. Non podo deixar de felicitar aos organizadores desta sexta Edici´on do SII e facela extensiva aos participantes no mesmo. Non ´e doado valorar o traballo realizado sen unha ollada ´as actas dos anos anteriores, tanto no referente ´a sua elaboraci´on como aos contidos dos distintos seminarios. Estas actas son a demostraci´on clara e contundente de c´omo en moitas ocasi´ons as capacidades dos alumnos superan ´as dos seus profesores.

O futuro ´e voso.

Santiago de Compostela, 9 de febreiro de 2011.

Eduardo Garc´ıa R´ıo

v

(8)

vi

(9)

´ Indice xeral

Introduci´on 1

Eduardo Conde Pena

“Mec´anica Cu´antica en poucas palabras. Formulaci´on mediante integrais de

cami˜no” 3

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga

“Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C” 17 Javier Tarr´ıo Barreiro

“Comentarios sobre teor´ıa cu´antica de campos” 27 Ricardo Couso Santamar´ıa

“Introducci´on a una formulaci´on matem´atica de las teor´ıas gauge” 37 Xi´an Otero Camanho

“Gravitaci´on e Teor´ıa de Cordas, cara a gravidade cu´antica” 47 Wafaa Batat

“On the geometry of Egorov spaces” 59

Miguel Dom´ınguez V´azquez

“Hipersuperficies isoparam´etricas nas esferas” 63

Ib´an Constenla Rozados

“Estudio do aproveitamento enerx´etico de biomasa” 67 Mar´ıa P´erez Fern´andez de C´ordoba

“Percolaci´on relativa” 71

Miguel Vaquero Vallina

“Geometr´ıa de Poisson, reducci´on de Lie-Poisson y Euler-Poincar´e” 75 Silvia Su´arez Crespo

“Unha perspectiva da inferencia estat´ıstica tipo n´ucleo” 79 vii

(10)

Mar´ıa Jos´e Pereira S´aez

“Un punto de corte entre la Topolog´ıa Algebraica y el An´alisis Matem´atico” 83 Eduardo Dorrego L´opez

“Variedades algebraicas con propiedades especiales” 87 Carlos Meni˜no Cot´on

“Cohomolox´ıa medible” 91

viii

(11)

Introduci´ on

O presente volume cont´en os resumos das charlas que se impartiron ´o longo do ano 2010 no Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII). Tal seminario, organizado por alumnos de doutoramento, ten lugar na Facultade de Matem´aticas da Univer- sidade de Santiago de Compostela e enc´adrase dentro das actividades do Instituto de Matem´aticas.

O SII ten a s´ua orixe a comezos do ano 2005, como unha iniciativa dos alumnos de Terceiro Ciclo da Facultade e como resposta ´as necesidades de crear un seminario que cumprise, cando menos, os seguintes obxectivos:

1. Fomentar o intercambio de co˜necemento.

2. Proporcionar un lugar onde dar a co˜necer os campos nos que cada un centra as s´uas investigaci´ons.

3. Facilitar a pr´actica de falar en p´ublico, m´ais en concreto dar charlas e afacerse a escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.

4. Proporcionar un marco onde se poidan levar a cabo as actividades necesarias para que cada quen saiba explicar as ideas fundamentais dos seus traballos incluso a persoas non especialistas no seu campo.

Por sexto ano consecutivo o SII acadou estes obxectivos b´asicos e ademais pro- porcionou un marco de intercambio de co˜necemento entre alumnos dos distintos de- partamentos da Facultade. As charlas desenvolv´eronse, salvo algunhas excepci´ons, de forma semanal ´o longo de dous per´ıodos: un primeiro desde marzo ata xu˜no, e un segundo en novembro.

Este ano o SII colaborou na organizaci´on do Curso de F´ısica Te´orica para Ma- tem´aticos, encadrado tam´en como actividade do Instituto de Matem´aticas, e que foi impartido por cinco alumnos de doutoramento da Facultade de F´ısica desta mesma universidade, en cinco sesi´ons de d´uas horas cada unha. O enfoque deste curso foi m´ais ben introdutorio, e os seus contidos centr´aronse en temas de grande relevancia na F´ısica Te´orica moderna: desde a Mec´anica Cu´antica ata a Teor´ıa de Cordas, pasando pola Teor´ıa Cu´antica de Campos e as Teor´ıas Gauge. Dada a elevada asis- tencia que tivo este minicurso por parte de alumnos e de profesores da Facultade, e co obxectivo de servir de referencia introdutoria nos temas anteriores, decidiuse incorporar nestas actas os resumos das cinco charlas deste curso.

1

(12)

No referente ´a organizaci´on do SII, en 2010 continuou o comit´e organizador do ano anterior, formado por tres estudantes de doutoramento, que se encargaron tanto da coordinaci´on do evento en si: calendario de charlas, anuncio das mesmas, reserva de aula, proporcionar o material necesario ao po˜nente, etc.; como da publicaci´on deste anuario, onde se recolle un resumo de cada unha das charlas impartidas. Este mesmo comit´e organizador encargouse da confecci´on deste volume e figura nel como comit´e editorial. Ademais ´e importante salientar que cada un dos resumos aqu´ı recollidos pasou un proceso de revisi´on por parte dun alumno de Terceiro Ciclo, polo xeral dun departamento distinto ´o do autor, co obxectivo de que as´ı os resumos sexan comprensibles por aqueles que non son expertos no campo correspondente.

Agradecementos

Quixeramos mencionar neste apartado que a organizaci´on do seminario ter´ıa sido, sen d´ubida, moito m´ais dif´ıcil de non contarmos coa colaboraci´on desinteresada de moita xente.

Por este motivo, desexamos dar as grazas a todos os que participaron no SII como o´ıntes, e moi especialmente ´os po˜nentes e ´os compa˜neiros que participaron no proceso de arbitraxe: Wafaa Batat, Ib´an Constenla Rozados, Mar´ıa P´erez Fern´andez de C´ordoba, Miguel Vaquero Vallina, Silvia Su´arez Crespo, Mar´ıa Jos´e Pereira S´aez, Eduardo Dorrego L´opez, Carlos Meni˜no Cot´on, Eduardo Conde Pena, Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga, Javier Tarr´ıo Barreiro, Ricardo Couso Santamar´ıa, Xi´an Otero Camanho, Esteban Calvi˜no Louzao e Rub´en Figueroa Sestelo.

Agradec´emoslle de xeito moi especial a Eduardo Garc´ıa R´ıo, director do Insti- tuto de Matem´aticas, a s´ua desinteresada colaboraci´on na elaboraci´on destas actas mediante a redacci´on do prefacio.

Finalmente, queremos comentar que o comit´e organizador do SII vai ser renovado para este ano 2011. Estamos convencidos de que a xente nova que asume a organi- zaci´on vai darlle ao SII o pulo que precisa para seguir sendo un marco formidable onde p´or en com´un os nosos co˜necementos e compartir a beleza das Matem´aticas.

Gustar´ıanos aproveitar a ocasi´on, polo tanto, para desexarlle ao novo comit´e moita sorte na s´ua tarefa de seguir levando adiante este Seminario.

Santiago de Compostela, febreiro de 2011.

O Comit´e Editorial.

2

(13)

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Mec´ anica Cu´ antica en poucas palabras. Formulaci´ on mediante integrais de cami˜ no

Eduardo Conde Pena

Departamento de F´ısica de Part´ıculas 15 de marzo de 2010

Introduci´ on

Esta charla ´e a primeira da serie “Minicurso de F´ısica Te´orica”. Nela presentamos

´

a unha audiencia matem´atica a Mec´anica Cu´antica `a la Feynman, isto ´e, mediante o uso da chamada integral de cami˜no; dende o punto de vista dun f´ısico te´orico.

Non faremos intento alg´un de incorporar rigor, sendo o obxectivo principal a intro- duci´on de conceptos que os f´ısicos usamos a diario (tales como part´ıcula, funci´on de onda, proceso de cuantizaci´on, etc...) do xeito m´ais intuitivo pos´ıbel. A formulaci´on mediante integrais de cami˜no ´e especialmente adaptada a este fin, dado que permite visualizar un proceso cu´antico a partir de procesos cl´asicos. A outra formulaci´on da Mec´anica Cu´antica co˜necida ´a d´ıa de hoxe, a formulaci´on de operadores, m´ais escura conceptualmente a´ında que m´ais potente para c´alculos m´ais pr´acticos, ser´a abordada na segunda charla da serie.

Motivaci´ on. Por que Mec´ anica Cu´ antica?

O obxectivo de todos os membros da comunidade f´ısica ´e explicar por que as cousas se moven como se moven. Esta meta ´e demasiado grandiosa, polo que hai que proceder por pasi˜nos. O primeiro paso ser´ıa describir os sistemas m´ais simples, que son aqueles formados polas part´ıculas m´ais simples (fundamentais) do universo.

Este ´e o campo de estudo da F´ısica de Part´ıculas, que se ocupa ent´on de describir as distintas interacci´ons existentes entre as part´ıculas fundamentais1.

A d´ıa de hoxe, co˜necemos catro interacci´ons fundamentais. Aparecen listadas na figura 1 nunha escala que d´a idea do rango de distancias nas que estas interacci´ons son as m´ais relevantes. Polo 1900 xa eran co˜necidas a interacci´on gravitatoria, des- crita pola teor´ıa de Newton, e o electromagnetismo (EM), descrito pola teor´ıa de Maxwell. A forza feble (respons´abel das desintegraci´ons radioactivas, por exemplo) e a forza nuclear (respons´abel entre outras cousas da formaci´on dos n´ucleos at´o- micos) descubr´ıronse m´ais adiante (1920-1930-1940) dado que son interacci´ons de

Palabras Clave:F´ısica Te´orica, Mec´anica Cu´antica, integrais de cami˜no.

1As part´ıculas fundamentais son aquelas que non est´an formadas de part´ıculas m´ais pequenas, e que saibamos (non hai feitos experimentais que demostren o contrario) te˜nen todas tama˜no nulo, i.e: son puntuais.

3

(14)

4 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

curto alcance. EM e gravitaci´on eran relativamente ben descritas por teor´ıas cl´asicas ata o 1900. Mais se un comeza a explorar distancias moi pequenas (∼ 10−10 m) ou campos gravitatorios moi intensos, as teor´ıas cl´asicas fallan e ´e preciso incorporar o comportamento cu´antico e relativista respectivamente.

rango típico de interación forza

gravitatoria

10

6

m 10

−2

m

1015m

10

18

m

electricidade, magnetismo

teoría que a describía en Física Clásica Teoría da

gravitación de Newton EM

forza nuclear radioactividade

?

?

Figura 1: F´ısica Te´orica a principios do s´eculo XX.

Cando se realizan estas incorporaci´ons, a figura 1 vese actualizada ´a figura 2, onde as interacci´ons seguen a ser as mesmas, pero as teor´ıas que as describen son as chamadas teor´ıas cu´anticas de campos (teor´ıas gauge sendo m´ais concretos) no caso da interacci´on feble, forte e electromagn´etica, e a teor´ıa da Relatividade Xeral (GR) de Einstein no caso da gravidade. Todas estas teor´ıas son relativistas (´e dicir, son compat´ıbeis coa teor´ıa da Relatividade), e s´o GR non ´e cu´antica2 (isto ´e, non

´e compat´ıbel coa Mec´anica Cu´antica). O grande obxectivo da F´ısica Te´orica hoxe en d´ıa ´e unificar as catro interacci´ons fundamentais (i.e: describilas como distintas manifestaci´ons dunha mesma interacci´on). Queda f´ora de toda d´ubida en calquera caso a crucial importancia do papel que xoga a Mec´anica Cu´antica na descrici´on das forzas da Natureza.

rango típico de interacción interacción

gravitatoria

10

6

m 10

−2

m

1015m

10

18

m

interacción electromagnética

teoría que a describe a día

de hoxe GR:

General Relativity QED:

Quantum Electrodynamics interacción

forte interacción

feble

QCD:

Quantum Chromodynamics V-A

EW: ElectroWeak Theory

Figura 2: F´ısica Te´orica hoxe en d´ıa.

2A teor´ıa de cordas ´e unha teor´ıa cu´antica da gravidade, a´ında que non est´a claro que describa o mundo no que vivimos.

(15)

Eduardo Conde Pena SII 5

Moi breve resumo de Mec´ anica Cl´ asica

Antes de nada, c´ompre aclarar que ´e o que entendemos por Mec´anica Cl´asica.

Remont´emonos ´a f´ısica que aprendiamos na escola. Basicamente todo se reduc´ıa ´a segunda lei de Newton:

F = m ~a .~

O membro esquerdo desta ecuaci´on proporci´onanos a informaci´on relativa ´as in- teracci´ons, o porqu´e se moven as cousas. ´E o que poderiamos chamar din´amica. O membro dereito, pola contra, d´anos a cin´ematica, i.e: dinos como se moven as cousas unha vez co˜necemos as forzas que act´uan no problema. ´E o que se chama mec´anica.

Ent´on, a F´ısica Cl´asica ´e a suma da Mec´anica Cl´asica, que nos d´a cinem´atica, e a teor´ıa cl´asica de campos, que se encarga de darnos as interacci´ons. Cando miramos o mundo microsc´opico, a Mec´anica Cl´asica debe ser substitu´ıda por unha nova me- c´anica, a cu´antica; mentres que a teor´ıa cl´asica de campos conv´ırtese nunha teor´ıa cu´antica de campos3. Esta situaci´on repres´entase esquematicamente na figura 3.

Mecánica Clásica

DINÁMICA CINEMÁTICA

Teoría Clásica de Campos

Mecánica Cuántica

Mecánica Relativista

Mecánica Cuántica Relativista

Teoría Cuántica de Campos

distancias cativas velocidades grandes

Figura 3: Evoluci´on do marco conceptual da F´ısica Te´orica. Marcado en azul est´a o tema do que nos ocupamos nesta charla.

Como funcionaba a Mec´anica Cl´asica ent´on? Pois dada unha part´ıcula mov´en- dose ao influxo de certas interacci´ons, o movemento desta queda completamente caracterizado a trav´es da acci´on S. Esta acci´on4 ´e un “funcional”, que v´en sendo

3Cando miramos o mundo de velocidades pr´oximas ´a da luz, a Mec´anica Cl´asica debe ser tam´en substitu´ıda por outra Mec´anica, a Mec´anica Relativista. Este l´ımite tratarase na quinta charla da serie. Ambos l´ımites poden ser combinados na chamada Mec´anica Cu´antica Relativista, a´ında que o falaremos aqu´ı da non-relativista. A teor´ıa cu´antica de campos ´e relativista de por si.

4Esta acci´on non ten nada que ver coa acci´on dun grupo.

(16)

6 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

unha aplicaci´on que asigna a cada pos´ıbel traxectoria un n´umero real. Esta asigna- ci´on cont´en a informaci´on da F´ısica que goberna o movemento desta part´ıcula.

x t

(x0,0)

(x1,1)

Figura 4: Proceso cl´asi- co.

S : {traxectorias} −→ R

η = (q, ˙q) : [0, 1] → T X 7→ S [η] =R1

0 dt L (q, ˙q) A acci´on ´e a integral do Lagranxiano L, que non ´e m´ais ca unha funci´on escalar definida sobre o fibrado tanxente

´

a variedade onde se move a part´ıcula. (q, ˙q) son as coorde- nadas deste fibrado tanxente, inform´andonos da posici´on da part´ıcula e da s´ua velocidade. O Lagranxiano propor- ciona o contido f´ısico.

A traxectoria que describe a part´ıcula ´e aquela que extremiza a acci´on. Se tra- ballamos localmente na variedade T X con coordenadas qi, ˙qi

, ´e doado obter as ecuaci´ons de movemento, que non son m´ais c´as ecuaci´ons de Euler-Lagrange:

d dt

∂L

∂ ˙qi



= ∂L

∂qi.

As ecuaci´ons de movemento son toda a informaci´on que precisamos para describir o movemento da nosa part´ıcula. As ecuaci´ons resultantes poden ser m´ais f´aciles ou m´ais dif´ıciles de resolver, pero o movemento da part´ıcula est´a completamente deter- minado por elas. En certo modo, podemos dicir que a Mec´anica Cl´asica “acabouse aqu´ı”.

Noci´ ons b´ asicas de Mec´ anica Cu´ antica. Formalismo de integrais de cami˜ no

A´ında que a teor´ıa final non ´e nada intuitiva, a idea de por que un precisa a Mec´anica Cu´antica ´e moi l´oxica. A medida que baixamos na escala de distancias que queremos explorar, chega un momento no que o feito de medir afecta ao proceso f´ısico que queremos caracterizar. Por exemplo, se queremos medir a posici´on dun electr´on temos que usar luz dunha lonxitude de onda moi curta (tan curta como a precisi´on que desexemos), e canto m´ais curta ´e esta lonxitude, m´ais enerx´ıa te˜nen os fot´ons que compo˜nen a luz, o que far´a que alteremos en gran medida o momento (pensemos no momento como o produto da masa pola velocidade) do noso electr´on.

Deste xeito, canto m´ais precisemos a posici´on do electr´on, m´ais aleatorio ser´a o momento deste. A formulaci´on cuantitativa deste feito ´e o chamado principio de incerteza de Heisenberg:

∆x ∆p ≥ ~ 2 = h

4π,

onde ∆x (∆p) representa a incerteza coa que medimos a posici´on (momento) dunha part´ıcula, e h ´e a constante de Planck: h ∼ 10−34 kg·ms 2. Cando se pode considerar

(17)

Eduardo Conde Pena SII 7

a ) b )

!{k}

ei(k·x−ω·t)

"

−∞

dk ei(k·x−ω·t)∝ δ(x)e·t

e

i(k·x−ω·t)

Figura 5: A onda da figura a) ´e un obxecto cun momento perfectamente definido (deix´andoa vibrar no tempo semellara algo que se move cunha velocidade propor- cional a k), pero completamente deslocalizado. A onda da figura b) ´e un obxecto ben localizado no espazo, pero que se obtivo sumando ondas de todos os momentos, de xeito que non ten un momento ben definido. Esta ´e precisamente a imaxe de part´ıcula que debuxou Heisenberg.

que h = 0 ´e cando estamos no r´exime cl´asico5.

A vista deste principio de incerteza, est´´ a claro que o modelo de part´ıculas pun- tuais ´e un tanto enganoso, posto que d´a a idea dunha part´ıcula que segue unha traxectoria concreta cunha velocidade determinada. Un xeito de modelar o novo comportamento son as ondas, como se amosa na figura 5.

Ent´on, o que facemos ´e promocionar as part´ıculas a ondas. Por´en, esta non ´e a fin da historia, porque as ondas son obxectos deslocalizados no espazo-tempo, mais cando medimos cousas no laboratorio, como por exemplo a carga dun electr´on, o que vemos ´e algo localizado. Poderiamos dicir ent´on que cuanticamente as part´ıculas se comportan do seguinte xeito:

Cando non a miras (non mides) → ´e unha onda Cando a miras (mides) → ´e unha part´ıcula

O xeito de implementar esta observaci´on experimental na teor´ıa ´e a chamada in- tegral de cami˜no de Feynman. Imaxinemos que medimos unha part´ıcula nun punto (x1, t1) e posteriormente noutro punto (x2, t2). Este ´ultimo punto pode ser calque-

5Por exemplo se queremos medir a posici´on e o momento dunha pelota de 200 gramos mov´endose a unha velocidade de 50 km/h, e digamos que fosemos quen de caracterizar a posici´on e a s´ua velocidade con precisi´ons irrealistas (impos´ıbeis de acadar na pr´actica) como 106 m e 1010 km/h respectivamente; o producto destas imprecisi´ons ser´ıa a´ında moit´ısimo m´ais grande c´o l´ımite imposto polo principio de incerteza: ∆x ∆p ∼ 3·1017 kg·ms 2 h. Neste caso h poder´ıa considerarse nulo a efectos pr´acticos.

(18)

8 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

ra e xa non ten sentido preguntarse por onde circula a part´ıcula, sen´on s´o pola probabilidade de que chegue a un punto ou a outro.

O que Feynman pensou ´e que dado que s´o sabemos onde est´a a part´ıcula nos puntos (x1, t1) e (x2, t2), polo medio percorre todos os cami˜nos (traxectorias) pos´ı- beis, e todas estas posibilidades interfiren entre si, dando lugar ao comportamento de onda. Deste xeito ´e pos´ıbel constru´ır unha onda a partir de procesos cl´asicos, respectando as propiedades de part´ıcula nos puntos onde realizamos medidas.

x t

(x1, t1)

(x2, t2)

Figura 6: Proceso cu´antico pen- sado `a la Feynman.

A (x1, t1; x2, t2) = Z

Dη ei~S[η]

O que calculamos agora en Mec´anica cu´antica ´e a amplitude de probabilidade A dun proceso. Cal- quera proceso ´e pos´ıbel, s´o que alg´uns son m´ais prob´abeis ca outros. Esta amplitude de probabi- lidade ´e un n´umero complexo (isto permite que haxa interferencia entre distintos procesos). O seu m´odulo ao cadrado est´a asociado a unha probabi- lidade.

A acci´on S ´e o mesmo funcional do que se falou na secci´on anterior, e Dη ´e unha medida no espazo de traxectorias. Definir esta medida de xeito rigoroso ´e algo que non se sabe facer para Lagranxianos xen´ericos (si para alg´uns casos particulares).

Ademais, en xeral a natureza oscilatoria do integrando fai que as propiedades de converxencia da integral non sexan boas; o que adoitamos facer en F´ısica para salvar este escollo ´e unha rotaci´on de Wick6.

Con este formalismo ´e pos´ıbel obter todos os conceptos tradicionais da Mec´anica Cu´antica (que historicamente non se comezou pensando as´ı), como a reduci´on ´a Mec´anica Cl´asica cando7 h → 0, ou a ecuaci´on de ondas de Schr¨odinger. Vexamos como se poder´ıa obter esta ´ultima:

Imaxinemos que por alg´un casual co˜necemos a un tempo dado t0 a amplitude de probabilidade de que a part´ıcula estea en calquera punto do espazo. Cham´emoslle a esta amplitude ψ(x, t0), cuxo m´odulo ao cadrado representa a funci´on densidade da distribuci´on de probabilidade de atopar ´a part´ıcula nun punto dado. A evoluci´on temporal desta amplitude ´e claramente:

ψ(x, t) = Z

dx0A(x0, t0; x, t)ψ(x0, t0) ,

6Na rotaci´on de Wick o xogo ´e calcular a integral de cami˜no para tempos complexos, onde as propiedades de converxencia son mellores, e logo estender analiticamente o resultado para voltar a tempos reais.

7Neste l´ımite todos os cami˜nos infinitamente pr´oximos interfiren destrutivamente pois o inte- grando e~iS da integral de cami˜no ´e moi oscilatorio, ag´as aqueles que extremizan a acci´on, para os que cami˜nos pr´oximos dan a mesma contribuci´on e non interfiren e por tanto son os ´unicos que sobreviven; estes son precisamente as traxectorias escollidas pola Mec´anica Cl´asica.

(19)

Eduardo Conde Pena SII 9

onde A(x0, t0; x, t) calc´ulase mediante a integral de cami˜no escrita m´ais arriba.

ψ(x, t) ´e a chamada funci´on de ondas da part´ıcula. Comparando ψ(x, t + dt) e ψ(x, t) e usando a ecuaci´on de arriba, un pode chegar a que a evoluci´on tempo- ral desta funci´on de ondas, para un Lagranxiano (nunha soa dimensi´on espacial) L =m22( ˙x)2− V (x), v´en dada pola seguinte EDP:

i~∂ψ

∂t(x, t) = −~2 2m

2ψ

∂x2(x, t) + V (x)ψ(x, t) ,

que na literatura co˜necemos como ecuaci´on de ondas de Schr¨odinger. O significado f´ısico da funci´on de ondas ded´ucese da construci´on anterior: o seu m´odulo ao ca- drado proporciona a funci´on densidade da distribuci´on de probabilidade de atopar a part´ıcula nun punto do espazo-tempo.

Como moralexa final pod´emonos quedar coa seguinte idea de cuantizaci´on. Un sistema f´ısico, a nivel cl´asico, est´a caracterizado por unha acci´on, que pred´ı unha evoluci´on completamente determinista, aquela que extremiza a acci´on. Cando “cuan- tizamos” este sistema, i.e: cando o consideramos a nivel cu´antico, a acci´on segue a caracterizalo, pero xa non de xeito determinista. Agora todas as evoluci´ons son pos´ıbeis, e s´o podemos falar de probabilidades de facer certas medici´ons finais, sen- do esa toda a informaci´on que podemos extraer do sistema. Estas probabilidades calc´ulanse mediante a integral de cami˜no.

Cando cuantizamos unha part´ıcula, o obxecto resultante pode interpretarse en certo modo como unha onda ou campo (un obxecto deslocalizado). Deste xeito, cada part´ıcula leva asociado un campo.

Se cuantizaramos un campo, o obxecto que resultar´ıa ser´ıa un ente que crea e destr´ue part´ıculas. Destoutra perspectiva, voltamos ´a visi´on de part´ıculas; e cada campo crea e destr´ue un tipo de part´ıculas concretas. As´ı por exemplo, o campo electromagn´etico crea e destr´ue fot´ons, o campo de Higgs crea e destr´ue bos´ons de Higgs, etc.

Ent´on, cuantizando a part´ıcula obtemos o campo, e cuantizando o campo obtemos a part´ıcula. Logo non ten sentido facer distinci´on entre ambas visi´ons. A teor´ıa que as combina ´e a chamada Teor´ıa Cu´antica de Campos, que abordaremos na terceira charla da serie.

Un par de exemplos

Amosamos nesta secci´on un par de exemplos de uso da integral de cami˜no en Mec´anica Cu´antica. O primeiro ilustra de xeito cualitativo como a integral de cami-

˜

no ´e o marco axeitado para interpretar fen´omenos cu´anticos que desaf´ıan ´a l´oxica cl´asica. O segundo exemplo ´e m´ais cuantitativo, e ilustra un pos´ıbel xeito de calcu- lar explicitamente unha integral de cami˜no no caso m´ais sinxelo pos´ıbel, aquel da part´ıcula libre.

(20)

10 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

O experimento da dobre fenda

O experimento da dobre fenda ´e un dos m´ais famosos experimentos ilustrando a estra˜na l´oxica cu´antica. A s´ua confirmaci´on experimental contin´ua a fascinar hoxe en d´ıa a milleiros de estudantes que se atopan por primeira vez coa Mec´anica Cu´antica.

Figura 7: O experimento da dobre fenda.

A configuraci´on experimental ´e a que se amosa na figura 7 a). Dispo˜nemos unha fonte que emite electr´ons que se dirixen contra unha dobre fenda, que s´o permite o paso dos electr´ons a trav´es de d´uas pequenas aberturas8. Detr´as desta dobre fenda, colocamos unha pantalla sens´ıbel aos impactos dos electr´ons e na que ao final do experimento podemos observar o perfil da cantidade de impactos.

O que un esperar´ıa atopar na pantalla, a priori, ser´ıa unha distribuci´on como a da figura 7 b). ´E dicir, que a maior´ıa dos electr´ons impactasen detr´as das fendas.

Agardariamos que aqueles electr´ons que foron desviados rebotando nas fendas sexan a minor´ıa. Non obstante, a situaci´on coa que nos atopamos ´e coa da figura 7 a), na que observamos un claro patr´on de difracci´on. Se en vez de electr´ons a nosa fonte emitise luz, non nos levariamos unha sorpresa ao ver este patr´on, xa que sabemos que a luz pasar´ıa polas d´uas fendas, onde se difractar´ıa, e logo interferir´ıa dando lugar ao cl´asico patr´on de franxas.

Un poder´ıa dar un pequeno salto e pensar que ao disparar todos eses electr´ons, temos unha nube de part´ıculas que impacta na dobre fenda, e que logo uns electr´ons chocar´an cos outros dando lugar a que a nube te˜na un comportamento de onda. Mais

8O tama˜no das aberturas ha de ser dun tama˜no compar´abel ´a lonxitude de onda de De Broglie dos electr´ons para que observemos os efectos cu´anticos. Asemade, a distancia entre dobre fenda e pantalla ha de ser moito m´ais grande ca esta lonxitude de onda, para que recuperemos os resultados cl´asicos no experimento 7 b).

(21)

Eduardo Conde Pena SII 11

´e aqu´ı que chega a nosa primeira gran sorpresa: se disparamos os electr´ons un a un, sen posibilidade de que interfiran un co outro, veremos que cada un impacta nun lugar arbitrario da pantalla. E se logo de disparar uns cantos facemos o c´omputo total, observamos que o patr´on volta a ser o mesmo que cando disparabamos a nube de electr´ons. Isto quere dicir que non ´e que o conxunto de electr´ons se comporte como unha onda, sen´on que cada electr´on por separado o fai!

A´ında que isto xa desaf´ıa totalmente a nosa l´oxica, se estamos dispostos a crer que o electr´on realmente ´e unha onda, seriamos quen de comprender o resultado.

Mais o experimento a´ında pode sorprendernos m´ais. Unha onda non se pode dicir que pase por ningunha das d´uas fendas. Que ocorre se colocamos un detector de electr´ons na dobre fenda como na figura 7 b)? Pois o que vemos ´e que cada electr´on pasa por unha e s´o por unha das fendas, como esperariamos dunha part´ıcula e non dunha onda. Pero o curioso ´e que o feito de observar o electr´on neste punto interme- dio ten o efecto de destru´ır completamente o patr´on de difracci´on. As´ı recup´erase o patr´on que esperariamos atopar cl´asicamente. Este ´e un claro exemplo de como o feito de observar (medir) afecta ao fen´omeno f´ısico que estamos medindo.

A nosa intuici´on estea probabelmente navegando sen rumbo neste punto, sen saber como casar estes resultados e interpretar o experimento. A integral de cami-

˜

no perm´ıtenos entender que ´e o que est´a a pasar. A figura 8 amosa un esquema ilustrativo.

Figura 8: Un xeito de definir a integral de cami˜no.

No caso a), a integral de cami˜no dinos que o electr´on percorre todas as traxecto- rias pos´ıbeis ata impactar nun punto da pantalla: as que pasan por unha das fendas, as que pasan pola outra, as que dan marcha atr´as... e finalmente a probabilidade de que o electr´on impacte no punto no que nos estamos fixando ´e a interferencia entre todas estas posibilidades. As´ı se o punto est´a xusto detr´as do medio das d´uas

(22)

12 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

fendas os cami˜nos que van por arriba e por abaixo son sim´etricos e te˜nen unha interferencia construtiva. Haber´a tam´en outros puntos nos que a interferencia sexa construtiva, e ao final obteremos o patr´on de franxas da figura 7 a) que se observa experimentalmente.

No caso b), a historia cambia un pouco, dado que puxemos un detector na dobre fenda. Isto significa que a´ı medimos e sabemos que est´a part´ıcula, e polo tanto a integral de cami˜no haber´a que propagala dende ese punto ata a pantalla, e non dende a fonte de electr´ons inicial. Medindo na dobre fenda separamos o proceso cu´antico da propagaci´on do electr´on dende a fonte ata a pantalla en dous procesos cu´anticos independentes. O patr´on que observaremos na pantalla logo ´e aquel que se obt´en calculando a integral de cami˜no dende a dobre fenda ata a pantalla. Como esta distancia ´e macrosc´opica, a integral de cami˜no reproducir´a os resultados cl´asicos, e daranos o patr´on cl´asico que observabamos na figura 7 b).

Pequenas sutilezas como a anchura das distribuci´ons en 7 b) poder´ıan ser enten- didas mediante a integral de cami˜no e o principio de incerteza, pero conform´amonos aqu´ı con entender o resultado m´ais importante do experimento.

A part´ıcula libre

Unha part´ıcula libre ´e aquela que se move libremente, sen a influencia de forza algunha. En M´ecanica Cl´asica estas part´ıculas describen movementos rectil´ıneos e uniformes9 (a velocidade constante). Evidentemente a cousa cambia en M´ecanica Cu´antica. Este exemplo ´e suficientemente simple como para que a integral de cami˜no sexa calcul´abel exactamente e constit´ue un exemplo ben representativo de como a F´ısica cambia ao dar o salto cu´antico.

O Lagranxiano da part´ıcula libre non-relativista ´e:

L = 1 2m ˙x2.

O c´alculo da integral de cami˜no para este Lagranxiano pode facerse imitando un pouco ´a integral de Riemann. A idea ser´ıa dividir o cami˜no que ten que percorrer a part´ıcula en cami˜nos cada vez m´ais pequenos, percorridos en tempos infinitesi- mais. Calquera cami˜no pode ser tan ben aproximado como se queira por un cami˜no poligonal regular a trozos. Deste xeito, variando os puntos intermedios polos que vai pasando a part´ıcula varreriamos todos os cami˜nos pos´ıbeis. E as´ı ser´ıa pos´ıbel definir a integral de cami˜no. Esta idea pres´entase esquematicamente na figura 9.

En cada tramo rectil´ıneo do cami˜no poligonal, ´e doado calcular R

dxje~iS[ηj], e ent´on p´odese completar o c´alculo da integral de cami˜no enteira. Os detalles do c´alculo e a discusi´on deste exemplo poden atoparse na secci´on 3-1 do libro orixinal de Feynman [1], onde explica a s´ua concepci´on da Mec´anica Cu´antica mediante integrais de cami˜no (a´ında que o libro est´a escrito para unha audiencia f´ısica, o

9Nunha variedade curva, as part´ıculas libres viaxan ao longo de xeod´esicas, mais para que unha variedade se curve precisamos gravidade e aqu´ı estamos asumindo ausencia de forzas de calquera tipo.

(23)

Eduardo Conde Pena SII 13

estilo de Feynman pr´estase a unha audiencia m´ais ampla, e constit´ue sempre unha lectura interesante dada a s´ua orixinalidade).

Figura 9: Un xeito de definir a integral de cami˜no.

O resultado final ´e:

A(x1, t1; x2, t2) =

r m

2πi~(t2− t1)ei

m(x2−x1)2 2~(t2−t1) .

E interesante amosar este resultado final porque vemos como a natureza oscilato-´ ria na propagaci´on da part´ıcula xurdiu a partir de conceptos cl´asicos a trav´es da integral de cami˜no. A onda asociada ´a part´ıcula libre pode lerse deste resultado.

Marabillosamente, cando un analiza esta onda para intervalos temporais e cami˜nos

“longos” (onde ~ fixa a escala coa que debemos comparar), vese que se reduce a unha onda plana con lonxitude de onda λ e frecuencia ω caracterizadas por:

λ = h

m(x2−x1) t2−t1

= h

p, ω = m

2~

x2− x1

t2− t1

2

= E

~ ,

onde p e E representan o momento e a enerx´ıa da part´ıcula respectivamente. Estas non son m´ais c´as misteriosas relaci´ons de De Broglie, que xorden de xeito natural neste marco da integral de cami˜no.

Un m´ etodo m´ ais xeral para calcular integrais de cami˜ no

O obxectivo desta secci´on final ´e debuxar moi brevemente d´uas pinceladas sobre como se poder´ıa abordar o c´alculo de integrais de cami˜no nun exemplo concreto da Mec´anica Cu´antica, que ilustra t´ecnicas xeneraliz´abeis ´a teor´ıa cu´antica de campos, e adivi˜nar as´ı como xorden os conceptos de propagador, funci´on de Green..., voc´abulos

(24)

14 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

habituais na xerga da comunidade de f´ısica te´orica. A presentaci´on desta secci´on ser´a moi relaxada, obviando moitos detalles intermedios, sendo a idea principal programar a ponte que conecta coa charla de Teor´ıa Cu´antica de Campos.

Centr´emonos no exemplo por excelencia da Mec´anica Cu´antica, que non ´e ou- tro c´o oscilador harm´onico (nunha dimensi´on). Podemos chamar a unha part´ıcula oscilador harm´onico cando o seu Lagranxiano ´e:

L = 1 2˙x2−1

2x2.

Queremos calcular a integral de cami˜no para este sistema:

A (x1, t1; x2, t2) = Z

Dη ei~S[η].

Unha idea de como facelo ´e a seguinte (tomamos x1 = 0, x2 = 0 por simplicidade.

A esencia do m´etodo ´e capturada por este exemplo):

Integrando por partes con respecto ao tempo no Lagranxiano do oscilador har- m´onico, e desprezando a derivada total, obtemos un Lagranxiano equivalente10:

L = −1 2x¨x −1

2x2 ⇒ S[η] = Z t2

t1

dt x



−1 2

d2 dt2 − 1

2

 x . Chamemos A =

12dtd2212ω2

ao operador actuando na acci´on. A teor´ıa de Sturm- Liouville d´anos unha serie de autofunci´ons xn, soluci´ons do problema A xn= λnxn coas condici´ons de contorno xn(t1) = 0, xn(t2) = 0, que son base do espazo de funci´ons x(t), t1 ≤ t ≤ t2 tales que verifican as condici´ons de contorno previas.

As funci´ons deste espazo son precisamente todas as traxectorias que interve˜nen no c´alculo da integral de cami˜no de m´ais arriba. Isto significa que unha traxectoria arbitraria poder´ıa escribirse como x =P

n=0anxn, e as´ı temos un candidato obvio para a medida no espazo de traxectorias:

Dη = 1 N

Y n=0

dan,

onde N ´e unha constante de normalizaci´on que haber´ıa que fixar mediante criterios f´ısicos. Unha vez identificada a medida, p´odese abordar o c´alculo da integral de cami˜no, que neste caso p´odese levar a cabo explicitamente. Para o c´alculo da mesma,

´e conveniente facer unha rotaci´on de Wick como paso intermedio. Basta definir a versi´on Euclidiana do operador A, con autovalores positivos, que far´a que a acci´on sexa definida positiva:

AEucl=



−1 2

d2 dt2 +1

2



, SEucl[x] = X n=0

λEucln (an)2.

10Dous Lagranxianos son equivalentes cando d´an lugar ´as mesmas ecuaci´ons de movemento. No caso en que difiren nunha derivada (con respecto ao tempo) total, para unhas condici´ons de contorno dadas, isto significa que as acci´ons correspondentes diferir´an nunha constante, e polo tanto buscar os extremos dunha ´e o mesmo que buscar os da outra.

(25)

Eduardo Conde Pena SII 15

A integral de cami˜no Euclidiana calc´ulase como segue:

Z

Dη e1~SEucl[η] = Z 1

N Y n=0

dane1~λEucln (an)2 = 1 N

Y n=0

( ~

λEucln )12 ∼ det(GEucl)12 , onde estamos denotando por GEuclao inverso do operador AEucl: AEuclGEucl(t−t) = δ(t − t), sendo δ(t − t) a funci´on delta de Dirac. Na s´ua versi´on non Euclidiana, que se define de maneira obvia, este operador inverso G ´e o que se denomina funci´on de Green. No caso do oscilador harm´onico, a funci´on de Green p´odese calcular facil- mente (facendo unha transformada de Fourier), ao igual que a integral de cami˜no, dado que os autovalores do problema de Sturm-Liouville son co˜necidos. Desfacendo a rotaci´on de Wick11, o produto a avaliar para obter a integral de cami˜no do noso problema ser´ıa:

1 N

Y n=0

 ~ λn

12

= ω N

Y n=1

√2~t2− t1 πn

Y n=1

1 −ω2(t2− t1)22n2

!12 .

Isto ´e basicamente a expansi´on de Weierstrass de sen

(t1−t2 2

, se escollemos N tal que cancele ao primeiro produto infinito: N =Q

n=1 πn

2~(t2−t1). Fix´emonos que este N ´e infinito. A aparici´on de infinitos ´e habitual nos c´alculos en Teor´ıa Cu´antica de Campos, as´ı como o truco de absorbelos nas constantes de integraci´on. A d´ıa de hoxe non se co˜nece unha formulaci´on desta teor´ıa que os elimine rigorosamente.

Tanto en Mec´anica Cu´antica como en Teor´ıa Cu´antica de Campos, o tipo de obxectos que estamos interesados en calcular son amplitudes de probablidade de certos sucesos. Agora ben, como na segunda teor´ıa o concepto de part´ıcula ´e un tanto distinto ao que temos na primeira (xa mencionamos que en Teor´ıa Cu´antica de Campos as part´ıculas son excitaci´ons de certos campos), o xeito de calcular amplitudes de probabilidade ´e un pouco distinto tam´en. ´E as´ı que no que estamos interesados son nuns obxectos chamados funci´ons de correlaci´on de campos. No caso do oscilador harm´onico, o que nos interesar´ıa calcular ser´ıan as funci´ons de correlaci´on do campo posici´on X:

hx1, t1 | X(t)X(t) | x2, t2i = Z

Dη X(t)X(t)e~iS[η],

onde t1 < t < t < t2. En Mec´anica Cu´antica este obxecto dar´ıa unha especie de promedio do produto das posici´ons da part´ıcula a tempo t e a tempo t cando se propaga dende x1 a tempo t1 ata x2 a tempo t2. En Teor´ıa Cu´antica de Campos, pola contra, tomando un certo l´ımite e normalizando convenientemente, este obxecto proporci´onanos a amplitude de probabilidade de que o campo X cree unha part´ıcula a tempo t, e que esta se propague ata un tempo t, onde se destr´ue. ´E as´ı que este

11que neste caso ´e simplemente substitu´ır λEucln polos orixinais λn.

(26)

16 SII Mec´anica Cu´antica en poucas palabras

obxecto ch´amase propagador, e o seu c´alculo ´e de importancia capital na Teor´ıa Cu´antica de Campos.

Para rematar, argumentamos fugazmente como pode calcularse o propagador coas t´ecnicas anunciadas m´ais arriba, baseadas no c´omputo de determinantes de certos operadores. O que se adoita facer ´e definir unha funci´on xeratriz, e tomar derivadas nesta. Para o caso concreto do anterior propagador no oscilador harm´o- nico, engadiriamos unha fonte J ao Lagranxiano, segundo L → LJ = L + ~Jx, e teriamos:

W [J] = Z

Dη e~iSJ[η] ; hx1, t1 | X(t)X(t) | x2, t2i = 1 i2

δ2

δJ(t) δJ(t)W [J] . Para o c´alculo da funci´on xeratriz usar´ıanse as t´ecnicas anteriores e finalmente, logo de tomar as derivadas, atopar´ıase unha estreita relaci´on entre o propagador e a funci´on de Green. Este c´alculo tende a ponte operativa que leva da Mec´anica Cu´antica ´a Teor´ıa Cu´antica de Campos, e poden atoparse os detalles do mesmo en calquera libro de introduci´on ´a ´ultima, como por exemplo [2].

Bibliograf´ıa

[1] R. P. Feynman, A. R. Hibbs; Quantum mechanics and path integrals, McGraw- Hill, 1965.

[2] S. Pokorski; Gauge field theories, Cambridge University Press, 1987.

(27)

Seminario de Iniciaci´ on ´ a Investigaci´ on

Instituto de Matem´aticas

Mec´ anica Cu´ antica en el formalismo de las ´ algebras C

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga

Departamento de F´ısica de Part´ıculas 22 de marzo de 2010

En este trabajo se pretende hacer una somera presentaci´on de la Mec´anica Cu´an- tica (MC) en el formalismo de las ´algebras C, de tal forma que la estructura mate- m´atica de la MC (espacios de Hilbert, operadores autoadjuntos como observables, vectores como estados f´ısicos...) surjan de forma m´as o menos natural. Adem´as pro- porciona un esquema sencillo para establecer el paso de la Mec´anica Cl´asica a la MC pasando de ´algebras C abelianas en el caso de la Mec´anica Cl´asica a ´algebras C no abelianas en el caso de la MC, justificando las relaciones de incertidumbre de Heisenberg que constituyen uno de los portulados de la teor´ıa.

Mec´ anica Cl´ asica

Introducci´on

En esta secci´on haremos un peque˜no repaso a nociones b´asicas de la mec´anica cl´asica, empezando por la descripci´on de un sistema f´ısico:

{q, p} : variables can´onicas q = (q1, q2, ..., qn) , p = (p1, p2, ..., pn)

Entonces {q, p} ∈ Γ, donde Γ es la variedad de espacio de fases. Los observables son funciones f ∈ CC(Γ):

f : Γ −→ C (q, p) 7−→ f(q, p)

La din´amica de un sistema est´a dada por las ecuaciones de Hamilton q 7−→ qt(t, q, p) p 7−→ pt(t, q, p) ft(q, p) ≡ f(qt, pt)

dq dt = ∂H

∂p

dp

dt = −∂H

∂q

Palabras Clave:Mec´anica Cu´antica, ´algebras C, operadores acotados, espacios de Hilbert

17

(28)

18 SII Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C

Propiedades algebraicas de los observables cl´asicos. C–´algebras.

Los observables asociados a un sistema cl´asico generan un ´algebra abeliana ∆ de funciones complejas continuas en el espacio de fases. Esta ´algebra tiene elemento identidad dado por la funci´on f = 1, y una involuci´on natural ∗ definida por la conjugaci´on ordinaria, f(x) = ¯f (x), tal que ∆ es una ∗–´algebra con identidad. A cada elemento f ∈ ∆ se le puede asignar una norma kfk, dada por

kfk = supx∈Γ|f(x)|

y se tendr´a que ∆ es un espacio de Banach respecto a esta norma. El producto es continuo respecto a la topolog´ıa dada por la norma, esto es,

kfgk ≤ kfkkgk

y entonces ∆ es una ∗–´algebra de Banach. Finalmente, tenemos la condici´on C kff k = kfk2.

Al ´algebra presentada antes se le denomina ´algebra C. En esta secci´on descri- biremos propiedades b´asicas sobre esta estructura.

Definici´on 1. Un conjunto no vac´ıo ∆ se dice que tiene estructura de C–´algebra si satisface las siguientes propiedades:

i) Tiene estructura de ´algebra lineal asociativa sobre el cuerpo C de los complejos.

ii) Es un espacio normado, esto es, existe una aplicaci´on k·k : ∆ −→ R que satisface

kAk ≥ 0 para todo A ∈ ∆, y kAk = 0 ⇔ A = 0, kλAk = |λ|kAk, para todo A ∈ ∆ y λ ∈ C, kA + Bk ≤ kAk + kBk, para todo A, B ∈ ∆, con respecto a la cual el producto es continuo:

kABk ≤ kAkkBk

y ∆ es un espacio completo con respecto a la topolog´ıa definida por la norma (luego ∆ es un ´algebra de Banach).

iii) Existe una involuci´on ∗ : ∆ −→ ∆ tal que

(A + B) = A+ B, (λA)= ¯λA, (AB)= BA, (A) = A para todo A, B ∈ ∆ y λ ∈ C. Esta involuci´on adem´as satisface la propiedad (C-condici´on)

kAAk = kAk2, para todo A ∈ ∆.

Esta condici´on implica que kAk = kAk para todo A ∈ ∆.

Definici´on 2. Un funcional lineal multiplicativo m en un ´algebra conmutativa ∆ con identidad es un homomorfismo m : ∆ → C, es decir, satisface que m(AB) = m(A)m(B), m(A + B) = m(A) + m(B) para todo A, B ∈ ∆, y m(1) = 1 si m 6= 0.

(29)

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga SII 19

Estados como funcionales lineales

Sabemos que no son posibles medidas con precisi´on infinita debido a la impreci- si´on intr´ınseca de los dispositivos f´ısicos. El m´etodo experimental usual de asociar un valor de un observable f a un estado ω es realizar medidas repetidas de f , m(ω)1 , m(ω)2 , ..., m(ω)n , sobre el sistema en el estado ω o, m´as generalmente, r´eplicas de ´el, para computar el valor medio

< f >≡ 1

n{m(ω)1 (f ) + m(ω)2 + ... + m(ω)n }.

Entonces el valor esperado de f en el estado ω ser´a ω(f ) ≡ l´ımn→∞ < f >(ω)n y la anchura de la medida de f est´a dada por

(∆ωf ) ≡ ω((f − ω(f))2).

Ya que ω(f ) tiene una interpretaci´on de promedio de los resultados de las me- didas de f en un estado dado ω, se sigue que:

ω(λf1+ µf2) = λω(f1) + µω(f2), para todo f1, f2∈ ∆, µ, λ ∈ C, y la condici´on de positividad

ω(ff ) ≥ 0, para todo f ∈ ∆.

La condici´on de positividad implica la validez de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|ω(AB)| ≤ ω(AA)1/2ω(BB)1/2.

Entonces ω(1) > 0 (excepto para el estado trivial). Por lo cual, sin p´erdida de generalidad, dado un estado (no trivial) ω siempre puede ser normalizado: ω −→

ωnorm= ω(1)−1ω, y entonces ωnorm(1) = 1.

En conclusi´on, un sistema cl´asico est´a definido por una C–´algebra ∆ de sus observables y un estado es un funcional lineal normalizado ω en ∆. Un estado ω en una C–´algebra de funciones continuas C(Γ) en un espacio compacto Hausdorff Γ, es autom´aticamente continuo, y por el teorema de representaci´on de Riesz–Markov define una ´unica medida (Borel regular) µω en Γ tal que

ω(f ) = Z

Γ

f dµω, µω(Γ) = ω(1) = 1, as´ı que los valores esperados tienen interpretaci´on probabil´ıstica.

Mec´ anica cu´ antica

Relaciones de incertidumbre de Heisenberg

En la descripci´on anterior de los sistemas cl´asicos, los estados libres de dispersi´on en la medida son considerados una idealizaci´on. Sin embargo, podemos admitir en

(30)

20 SII Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C

base a la experiencia que en los sistemas cl´asicos macrosc´opicos podremos reducir es- ta dispersi´on en la medida tanto como queramos, para cualquier par de observables, simplemente repitiendo mediciones. En contraposici´on, como Heisenberg mostr´o en un contexto cu´antico, esto es imposible, y se ha de verificar:

(∆ωqj)(∆ωpj) ≥ ~ 2

Podemos investigar las implicaciones de las relaciones de incertidumbre de Heisen- berg en el contexto de las C–´algebras . Dado un estado ω y un par de observables A = A, B = B, que por simplicidad ser´an tomados de media cero, tendremos:

ω(A) ∆ω(B) = ω(A2)1/2(B2)1/2, (A − iλB)(A + iλB) ≥ 0 para todo λ ∈ R, ω(A2) + |λ|2ω(B2) + iλω([A, B]) ≥ 0,

donde [A, B] = AB − BA. El hecho de que la forma cuadr´atica sea definida positiva requiere que 4ω(A2)ω(B2) ≥ |ω([A, B])|2, i.e.

ω(A)∆ω(B) ≥ 1

2|ω([A, B])|.

Entonces las relaciones de incertidumbre de Heisenberg entre dos observables est´an dadas por la relaci´on de conmutaci´on entre ellos:

[qj, pk] = qjpk− pkqj = i~δjk1.

En conclusi´on, en Mec´anica Cu´antica necesitamos un ´algebra de observables no abeliana.

Construcci´on de Gelfand–Naimark–Segal

Definici´on 3. Un ∗–homomorfismo entre dos ∗–´algebras ∆ y Λ es una aplicaci´on π : ∆ → Λ que preserva todas las relaciones algebraicas, incluyendo la involuci´on ∗.

Definici´on 4. Una representaci´on π de una C–´algebra ∆ en un espacio de Hilbert H, es un ∗–homomorfismo de ∆ en la C–´algebra B(H) de operadores lineales acotados en H. Una representaci´on se dice irreducible si 0 y H son los ´unicos subespacios cerrados invariantes bajo π.

Teorema 5. Si π es un ∗–homomorfismo entre ∆ y Λ, entonces se tiene que para todo A ∈ ∆

kπ(A)kΓ≤ kAk.

Teorema 6. Dada una C–´algebra ∆ y un estado ω, existen un espacio de Hilbert Hω y una representaci´on πω : ∆ → B(Hω) tales que

i) Hω contiene un vector c´ıclico Ψω (i.e. π(∆)Ψ es denso en Hω),

(31)

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga SII 21

ii) ω(A) = (Ψω, πωΨω),

iii) cualquier otra representaci´on π en un espacio de Hilbert Hπ con un vector c´ıclico Ψ tal que

ω(A) = (Ψ, π(A)Ψ)

es unitariamente equivalente a πω, i.e. existe una isometr´ıa U : Hπ → Hω tal que

U π(A)U−1= πω(A) y U Ψ = Ψω. La simetr´ıa U est´a definida por

U−1πω(A)Ψω = π(A)Ψ.

El teorema anterior constituye la construcci´on GNS. La construcci´on GNS es importante por su implicaci´on en la descripci´on de los sistemas f´ısicos, dado que explica el conjunto de valores esperados en t´erminos de:

i) una representaci´on de observables como operadores en un espacio de Hilbert, ii) la descripci´on de un estado en t´erminos de elementos de matriz de un vector

en un espacio de Hilbert.

Por lo tanto, se puede concluir que la estructura matem´atica de la Mec´anica Cu´antica no necesita ser postulada (como la axiomatizaci´on de Dirac–von Neu- mann).

El siguiente teorema nos ser´a ´util m´as adelante:

Teorema 7. (Gelfand–Naimark) Toda C–´algebra es isomorfa a un ´algebra de ope- radores acotados en un espacio de Hilbert.

Consideremos dos operadores (denominados operadores de Weyl) definidos de la siguiente manera:

U (α) = eiαq, V (β) = eiβp, α, β ∈ Rs.

En t´erminos de estos operadores, las relaciones de Heisenberg adquieren la forma U (α)V (β) = V (β)U (α)eiαβ, U (α)U (β) = U (α + β), V (α)V (β) = V (α + β).

Adem´as, estos operadores tienen las siguientes propiedades:

U (α)= U (−α), V (β) = V (−β), U (α)U (α) = U (α)U (α) = 1, y U , V y U V tienen la misma norma, igual a 1.

Una estructura con las propiedades descritas arriba se denomina C -´algebra de Weyl.

El teorema de von Neumann ser´a fundamental en lo que sigue:

Teorema 8. (von Neumann) Todas las representaciones regulares irreducibles de una C–´algebra de Weyl son unitariamente equivalentes.

(32)

22 SII Mec´anica Cu´antica en el formalismo de las ´algebras C

Por el teorema de von Neumann todas las representaciones regulares irreducibles de una C–´algebra de Weyl son unitariamente equivalentes, luego basta encontrar una. Ahora mostraremos la representaci´on de Schr¨odinger πS. El espacio de Hilbert es

H = L2(Rs, dsx) Para todo ψ ∈ H se tiene que:

(U (α)ψ)(x) = eiαx, (V (β)ψ)(x) = ψ(x + β) = ψβ(x),

donde U (α) y V (β) son operadores unitarios en H y definen una representaci´on del C–´algebra de Weyl

(U (α)V (β)ψ)(x) = (U (α)ψβ)(x) = eiαxψ(x + β), (V (β)U (α)ψ)(x) = eiα(x+β)ψ(x + η),

U (α)U (β)ψ = U (α + β)ψ , V (α)V (β)ψ = V (α + β)ψ.

(Quedar´ıa probar que la representaci´on de Schr¨odinger es irreducible).

Como consecuencia f´ısica se tiene que los estados de una part´ıcula cu´antica est´an representados por vectores en L2(Rs) , i.e. por elementos de L2. Podemos ver que:

(qψ)(x) = xψ(x), ψǫDq= {ψǫL2, xψǫL2}, (pψ)(x) = −i

 d dxψ(x)



, ψǫDp = {ψǫL2,dψ dxǫL2}.

Un observable se representa por un operador acotado autoadjunto A en H y para cada ψ ∈ H los valores medios ωψ(A) est´an dados por

ωψ(A) = Z

dx ¯ψ(Aψ)(x).

Ecuaci´on de Schr¨odinger

Un fen´omeno t´ıpico de la descripci´on de la Mec´anica Cu´antica es que dados dos estados representados por ψ1, ψ2∈ L2, se tiene que

ψ(x) = ψ1(x) + ψ2(x)

tambi´en es un estado, que es denominado la superposici´on de los estados ψ1 y ψ2. Por ejemplo, la distribuci´on de probabilidad asociada a un observable F (q) definido por ψ(x), no es la suma de las distribuciones de probabilidad |ψ1(x)|2 y |ψ2(x)|2, sino que contiene un t´ermino de interferencias ¯ψ1(x)ψ2(x) + ¯ψ2(x)ψ1(x).

Nuestro objetivo es encontrar una ecuaci´on de evoluci´on en la Mec´anica Cu´an- tica. Para ello hagamos las siguientes suposiciones:

El ´algebra ∆ de observables es la misma en cualquier instante de tiempo, y la traslaci´on temporal de cada operador A → At ≡ αt(A) preserva todas las pro- piedades algebraicas. Por lo tanto, es claro que αt1t2(A)) = αt1+t2(A). En una

(33)

Jos´e Manuel Fern´andez Queiruga SII 23

representaci´on irreducible π supondremos que αt est´a implementado por un opera- dor unitario U (t):

π(αt(A)) = U (t)−1π(A)U (t), para todo A ∈ ∆,

y por el teorema de Stone, podemos escribir para un operador autoadjunto H la siguiente expresi´on:

U (t) = exp(−itH), para todo t ∈ R, y entonces

t→0l´ımit−1(U (t) − 1)Ψ = HΨ.

U (t) puede ser expresado por su serie de potencias

U (t)Ψ = X n=0

(it)n n! HnΨ, y poniendo Ψ(t) ≡ U(t)Ψ, tenemos

id

dtΨ(t) = HΨ(t).

Esta es la ecuaci´on de evoluci´on temporal de Schr¨odinger, y H es denominado Hamiltoniano cu´antico.

Para acabar esta secci´on, resumiremos todo lo encontrado hasta ahora en la denominada estructura axiom´atica de la Mec´anica Cu´antica de Dirac-von Neumann:

i) Los estados de un sistema f´ısico est´an descritos por rayos en un espacio de Hilbert separable H.

ii) Los observables de un sistema f´ısico est´an descritos por el conjunto de los operadores acotados autoadjuntos en H.

iii) Si un estado ω est´a descrito por un vector Ψω ∈ H, para cada observable A, el valor esperado ω(A) est´a dado por el elemento de matriz ω(A) = (Ψω, AΨω).

iv) Las variables can´onicas satisfacen las siguientes relaciones de conmutaci´on:

[qi, qj] = 0 = [pi, pj], [qi, pj] = i~δij, i, j = 1, ..., s.

v) Las anteriores relaciones de conmutaci´on est´an representadas por operadores en H = L2(Rs, dsx):

qiψ(x) = xiψ(x), pjψ(x) = −i~∂ψ

∂xj

(x).

Referencias

Documento similar

O Campus do Mar, proxecto liderado pola Universidade de Vigo e no cal tamén participan as da Coruña e Santiago, xunto co CSIC, o Instituto Español de Oceanografía e outras

o esperar la resolución expresa&#34; (artículo 94 de la Ley de procedimiento administrativo). Luego si opta por esperar la resolución expresa, todo queda supeditado a que se

- Un curso formativo para los técnicos de laboratorio de la UPV sobre la prevención de los residuos en los laboratorios, que se llevará a cabo los días 23, 24, 25, 26 y 27

Volviendo a la jurisprudencia del Tribunal de Justicia, conviene recor- dar que, con el tiempo, este órgano se vio en la necesidad de determinar si los actos de los Estados

23 Aqui, entre aspas, para não deixar de registrar nossa repulsa ao “essencialismo”.. Ao contrário, para os que se inserem no universo dialético, a liberdade começa a

La heterogeneidad clínica de esta patolo- gía hizo que se considerasen a numerosos genes de pro- teínas de la matriz extracelular (elastina, fibronectina, genes de los colágenos de

Establecer un arancel de 98% para la importación de leche y nata (crema) clasificada por la partida arancelaria 04.02, por tal motivo estos productos no estarán sujetos al mecanismo

Reglamento (CE) nº 1069/2009 del parlamento Europeo y del Consejo de 21 de octubre de 2009 por el que se establecen las normas sanitarias apli- cables a los subproductos animales y