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Los números enteros
Con los números naturalesno era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.
Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo
conjunto numérico llamado números enteros.
El conjunto de los números enteros está formado por:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
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Representación de los números enteros
1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero. 2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...
3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...
Orden en los números enteros
Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor al que él
está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
2. Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 >− 10 |−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7 |10| > |7|
Suma de números enteros
1 . S i l o s s u m a n d o s s o n d e l m i s m o s i g n o , s e s u m a n l o s v a l o r e s a b s o l u t o s y a l r e s u l t a d o s e l e p o n e e l s i g n o c o m ú n .
3 + 5 = 8
( − 3 ) + ( − 5 ) = − 8
2 . S i l o s s u m a n d o s s o n d e d i s t i n t o s i g n o , s e r e s t a n l o s v a l o r e s a b s o l u t o s ( a l m a y o r l e r e s t a m o s e l m e n o r ) y a l r e s u l t a d o s e l e p o n e e l s i g n o d e l n ú m e r o d e m a y o r v a l o r a b s o l u t o .
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Propiedades de la suma de números enteros
1 . I n t e r n a:
E l r e s u l t a d o d e s u m a r d o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t r o n ú m e r o e n t e r o .
a + b
3 + ( − 5 )
2 . A s o c i a t i v a:
E l m o d o d e a g r u p a r l o s s u m a n d o s n o v a r í a e l r e s u l t a d o . (a + b ) + c = a + ( b + c ) ·
( 2 + 3 ) + ( − 5 ) = 2 + [ 3 + ( − 5 ) ] 5 − 5 = 2 + ( − 2 )
0 = 0
3 . C o n m u t a t i v a:
E l o r d e n d e l o s s u m a n d o s n o v a r í a l a s u m a .
a + b = b + a
2 + ( − 5 ) = ( − 5 ) + 2 − 3 = − 3
4 . E l e m e n t o n e u t r o:
E l 0 e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a s u m a p o r q u e t o d o n ú m e r o s u m a d o c o n é l d a e l m i s m o n ú m e r o .
a + 0 = a
( − 5 ) + 0 = − 5
5 . E l e m e n t o o p u e s t o
D o s n ú m e r o s s o n o p u e s t o s s i a l s u m a r l o s o b t e n e m o s c o m o r e s u l t a d o e l c e r o.
a + ( - a ) = 0
5 + ( − 5 ) = 0
E l o p u e s t o d e l o p u e s t o d e u n n ú m e r o e s i g u a l a l m i s m o n ú m e r o .
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Resta de números enteros
L a r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s s e o b t i e n e s u m a n d o a l m i n u e n d o e l o p u e s t o d e l s u s t r a e n d o .
a - b = a + ( - b ) 7 − 5 = 2
7 − ( − 5 ) = 7 + 5 = 1 2
Propiedades de la resta de números enteros
1 .I n t e r n a:
L a r e s t a d o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t r o n ú m e r o e n t e r o.
a − b
1 0 − ( − 5 )
2 . N o e s C o n m u t a t i v a:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
L a m u l t i p l i c a c i ó n d e v a r i o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t r o n ú m e r o e n t e r o, q u e t i e n e c o m o
v a l o r a b s o l u t o e l p r o d u c t o d e l o s v a l o r e s a b s o l u t o s y , c o m o s i g n o, e l q u e s e o b t i e n e d e l a a p l i c a c i ó n d e l a r e g l a d e l o s s i g n o s.
R e g l a d e l o s s i g n o s
5
( − 2 ) · 5 = − 1 0
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1 . I n t e r n a:
E l r e s u l t a d o d e m u l t i p l i c a r d o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t r o n ú m e r o e n t e r o.
a · b
2 · ( − 5 )
2 . A s o c i a t i v a :
E l m o d o d e a g r u p a r l o s f a c t o r e s n o v a r í a e l r e s u l t a d o . S i a , b y c s o n n ú m e r o s e n t e r o s c u a l e s q u i e r a , s e c u m p l e q u e :
( a · b ) · c = a · ( b · c )
( 2 · 3 ) · ( − 5 ) = 2 · [ ( 3 · ( − 5 ) ] 6 · ( − 5 ) = 2 · ( − 1 5 )
- 3 0 = - 3 0 3 . C o n m u t a t i v a :
E l o r d e n d e l o s f a c t o r e s n o v a r í a e l p r o d u c t o .
a · b = b · a
2 · ( − 5 ) = ( − 5 ) · 2 - 1 0 = - 1 0
4 . E l e m e n t o n e u t r o:
E l 1 e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n p o r q u e t o d o n ú m e r o m u l t i p l i c a d o p o r é l d a e l m i s m o n ú m e r o .
a · 1 = a
( − 5 ) · 1 = ( − 5 )
5.
Distributiva
:
E l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n a s u m a e s i g u a l a l a s u m a d e l o s p r o d u c t o s d e d i c h o n ú m e r o p o r c a d a u n o d e l o s s u m a n d o s .
a · ( b + c ) = a · b + a · c
( − 2 ) · ( 3 + 5 ) = ( − 2 ) · 3 + ( − 2 ) · 5 ( − 2 ) · 8 = - 6 - 1 0
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6 . S a c a r f a c t o r c o m ú n :
E s e l p r o c e s o i n v e r s o a l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a .
S i v a r i o s s u m a n d o s t i e n e n u n f a c t o r c o m ú n , p o d e m o s t r a n s f o r m a r l a s u m a e n p r o d u c t o e x t r a y e n d o d i c h o f a c t o r .
a · b + a · c = a · ( b + c )
( − 2 ) · 3 + ( − 2 ) · 5 = ( − 2 ) · ( 3 + 5 )
División de números enteros
L a d i v i s i ó n d e d o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t r o n ú m e r o e n t e r o, q u e t i e n e c o m o v a l o r a b s o l u t o e l c o c i e n t e d e l o s v a l o r e s a b s o l u t o s y , c o m o s i g n o, e l q u e s e o b t i e n e d e l a a p l i c a c i ó n d e l a r e g l a d e l o s s i g n o s.
R e g l a d e l o s s i g n o s
1 0 : 5 = 2 ( − 1 0 ) : ( − 5 ) = 2 1 0 : ( − 5 ) = − 2 ( − 1 0 ) : 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1 . N o e s u n a o p e r a c i ó n i n t e r n a:
E l r e s u l t a d o d e d i v i d i r d o s n ú m e r o s e n t e r o s n o s i e m p r e e s o t r o n ú m e r o e n t e r o. ( − 2 ) : 6
2 . N o e s C o n m u t a t i v o:
a : b ≠ b : a
6 : ( − 2 ) ≠ ( − 2 ) : 6
Potencia de números enteros
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1 . L a s p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e p a r s o n s i e m p r e p o s i t i v a s .
2 . L a s p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e i m p a r t i e n e n e l m i s m o s i g n o d e l a b a s e .
Propiedades
1 . a0 = 1 · 2 . a1 = a
3 . P r o d u c t o d e p o t e n c i a s c o n l a m i s m a b a s e:
E s o t r a p o t e n c i a c o n l a m i s m a b a s e y c u y o e x p o n e n t e e s l a s u m a d e l o s e x p o n e n t e s.
am · a n = am + n
( − 2 )5 · ( − 2 )2 = ( − 2 )5 + 2 = ( − 2 )7 = − 1 2 8
4 . D i v i s i ó n d e p o t e n c i a s c o n l a m i s m a b a s e:
E s o t r a p o t e n c i a c o n l a m i s m a b a s e y c u y o e x p o n e n t e e s l a d i f e r e n c i a d e l o s e x p o n e n t e s.
am : a n = am - n
( − 2 )5
: ( − 2 )2 = ( − 2 )5 - 2 = ( − 2 )3 = − 8 5 . P o t e n c i a d e u n a p o t e n c i a:
E s o t r a p o t e n c i a c o n la m i s m a b a s e y c u y o e x p o n e n t e e s e l p r o d u c t o d e l o s e x p o n e n t e s.
( am)n = am · n
[ ( − 2 )3
]2 = ( − 2 )6 = 6 4
6 . P r o d u c t o d e p o t e n c i a s c o n e l m i s m o e x p o n e n t e:
E s o t r a p o t e n c i a c o n e l m i s m o e x p o n e n t e y c u y a b a s e e s e l p r o d u c t o d e l a s b a s e s an · b n = ( a · b ) n
( − 2 )3
8
7 . C o c i e n t e d e p o t e n c i a s c o n e l m i s m o e x p o n e n t e:
E s o t r a p o t e n c i a c o n e l m i s m o e x p o n e n t e y c u y a b a s e e s e l c o c i e n t e d e l a s b a s e s .
an : b n = ( a : b ) n ( − 6 )3
: 3 3 = ( − 2 )3 = − 8
Potencias de exponente entero negativo
Operaciones combinadas
Jerarquía de las operaciones
1 º . E f e c t u a r l a s o p e r a c i o n e s e n t r e p a r é n t e s i s , c o r c h e t e s y l l a v e s .
9
Operaciones combinadas
1. Sin paréntesis
1 . 1 S u m a s y d i f e r e n c i a s .
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
C o m e n z a n d o p o r l a i z q u i e r d a , v a m o s e f e c t u a n d o l a s o p e r a c i o n e s s e g ú n a p a r e c e n . = 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1 . 2 S u m a s , r e s t a s y p r o d u c t o s .
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
R e a l i z a m o s p r i m e r o l o s p r o d u c t o s p o r t e n e r m a y o r p r i o r i d a d. = 6 − 5 + 1 2 − 8 + 1 0 =
E f e c t u a m o s l a s s u m a s y r e s t a s. = 6 − 5 + 1 2 − 8 + 1 0 = 1 5
1 . 3 S u m a s , r e s t a s , p r o d u c t o s y d i v i s i o n e s.
1 0 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 1 6 : 4 =
R e a l i z a m o s l o s p r o d u c t o s y c o c i e n t e s e n e l o r d e n e n e l q u e l o s e n c o n t r a m o s p o r q u e l a s d o s o p e r a c i o n e s t i e n e n l a m i s m a p r i o r i d a d.
= 5 + 1 5 + 4 − 1 0 − 8 + 8 − 4 = E f e c t u a m o s l a s s u m a s y r e s t a s. = 5 + 1 5 + 4 − 1 0 − 8 + 8 − 4 = 1 0
1 . 4 S u m a s , r e s t a s , p r o d u c t o s , d i v i s i o n e s y p o t e n c i a s.
23 + 1 0 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 1 6 : 4 =
R e a l i z a m o s e n p r i m e r l u g a r l a s p o t e n c i a s p o r t e n e r m a y o r p r i o r i d a d. = 8 + 1 0 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 1 6 : 4 =
10
= 2 6
2. Con paréntesis
( 1 5 − 4 ) + 3 − ( 1 2 − 5 · 2 ) + ( 5 + 1 6 : 4 ) − 5 + ( 1 0 − 23
) =
R e a l i z a m o s e n p r i m e r l u g a r l a s o p e r a c i o n e s c o n t e n i d a s e n e l l o s. = ( 1 5 − 4 ) + 3 − ( 1 2 − 1 0 ) + ( 5 + 4 ) − 5 + ( 1 0 − 8 ) =
Q u i t a m o s p a r é n t e s i s r e a l i z a n d o l a s o p e r a c i o n e s . = 1 1 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 1 8
3.Con paréntesis y corchetes
[ 1 5 − ( 23 − 1 0 : 2 ) ] · [ 5 + ( 3 · 2 − 4 ) ] − 3 + ( 8 − 2 · 3 ) =
P r i m e r o o p e r a m o s c o n l a s p o t e n c i a s , p r o d u c t o s y c o c i e n t e s d e l o s p a r é n t e s i s. = [ 1 5 − ( 8 − 5 ) ] · [ 5 + ( 6 − 4 ) ] − 3 + ( 8 − 6 ) =
R e a l i z a m o s l a s s u m a s y r e s t a s d e l o s p a r é n t e s i s. = [ 1 5 − 3 ] · [ 5 + 2 ] − 3 + 2 =
E n v e z d e p o n e r c o r c h e t e s p o n d r e m o s p a r é n t e s i s d i r e c t a m e n t e : = ( 1 5 − 3 ) · ( 5 + 2 ) − 3 + 2 =
O p e r a m o s e n l o s c o r c h e t e s. = 12 · 7 − 3 + 2
M u l t i p l i c a m o s. = 8 4 − 3 + 2 =
R e s t a m o s y s u m a m o s. = 8 3
4.Con fracciones
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O p e r a m o s e n e l p r i m e r p a r é n t e s i s, q u i t a m o s e l s e g u n d o , s i m p l i f i c a m o s e n e l t e r c e r o y o p e r a m o s e n e l ú l t i m o .
R e a l i z a m o s e l p r o d u c t o y l o s i m p l i f i c a m o s.
R e a l i z a m o s l a s o p e r a c i o n e s d e l p a r é n t e s i s.
H a c e m o s l a s o p e r a c i o n e s d e l n u m e r a d o r, d i v i d i m o s y s i m p l i f i c a m o s e l r e s u l t a d o .
Ejercicio de operaciones combinadas
1 4 − { 7 + 4 · 3 - [ ( - 2 )2
· 2 - 6 ) ] } + ( 22 + 6 - 5 · 3 ) + 3 - ( 5 - 23 : 2 ) =
P r i m e r o o p e r a m o s c o n l a s p o t e n c i a s , p r o d u c t o s y c o c i e n t e s d e l o s p a r é n t e s i s .
1 4 − [ 7 + 4 · 3 - ( 4 · 2 - 6 ) ] + ( 4 + 6 - 5 · 3 ) + 3 - ( 5 - 8 : 2 ) =
O p e r a m o s c o n l o s p r o d u c t o s y c o c i e n t e s d e l o s p a r é n t e s i s .
1 4 − [ 7 + 1 2 - ( 8 - 6 ) ] + ( 4 + 6 - 1 5 ) + 3 - ( 5 - 4 ) =
R e a l i z a m o s l a s s u m a s y d i f e r e n c i a s d e l o s p a r é n t e s i s .
1 4 − ( 7 + 1 2 - 2 ) + ( - 5 ) + 3 - ( 1 ) = 1 4 − ( 1 7 ) + ( - 5 ) + 3 - ( 1 ) =
L a s u p r e s i ó n d e p a r é n t e s i s h a d e r e a l i z a r s e c o n s i d e r a n d o q u e :
S i e l p a r é n t e s i s v a p r e c e d i d o d e l s i g n o + , s e s u p r i m i r á m a n t e n i e n d o s u s i g n o l o s t é r m i n o s q u e c o n t e n g a .
S i e l p a r é n t e s i s v a p r e c e d i d o d e l s i g n o − , a l s u p r i m i r e l p a r é n t e s i s h a y q u e c a m b i a r d e s i g n o a t o d o l o s t é r m i n o s q u e c o n t e n g a .
