Estimación de una ecuación explícita derivada de un Nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal Rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS. RO. PE. CU AR I. INGENIERÍA AGRÍCOLA. AS. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE. “ESTIMACIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPLÍCITA DERIVADA DE UN. AG. NOMOGRAMA, PARA EL CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL DE UN CANAL RECTANGULAR Y EVALUACIÓN DE SU GRADO DE INTERRELACIÓN. DE. MEDIANTE HOJA DE CÁLCULO DE EXCEL”. TESIS. PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE. IO. AUTOR. TE C. A. INGENIERO AGRÍCOLA. BI. BL. ASESOR. : Br. Jhon Edgar Rodriguez Aguirre. : M. Sc. Jorge Arturo Villanueva Sánchez. TRUJILLO- PERÚ 2017. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. CU AR I. AS. PRESENTACIÓN. SEÑORES MIEMBROS DEL JURADO DICTAMINADOR:. PE. En cumplimiento con las normas y disposiciones establecidas en el. Reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Ciencias Agropecuarias,. RO. Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola de la Universidad Nacional de Trujillo, cumpliendo con presentar ante ustedes el presente trabajo. AG. titulado:. DE. “ESTIMACIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPLÍCITA DERIVADA DE UN NOMOGRAMA, PARA EL CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL DE UN. A. CANAL RECTANGULAR Y EVALUACIÓN DE SU GRADO DE. TE C. INTERRELACIÓN MEDIANTE HOJA DE CÁLCULO DE EXCEL”. IO. Con el objetivo de obtener el Título Profesional de INGENIERO AGRÍCOLA. Es mi deseo, Señores Miembros del Jurado, que el presente trabajo producto de su aprobación.. BI. BL. un arduo y constante estudio y dedicación, alcance sus expectativas y merezca. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. CU AR I. AS. CARTA DE APROBACIÓN DEL JURADO. -----------------------------------------------------------Dr. Anselmo Humberto Carrasco Silva. AG. RO. PE. PRESIDENTE. --------------------------------------------------. M. Sc. Pavel Ovidio Arteaga Caro. Ing. Juan Emilio Paz Vergara Pérez. SECRETARIO. VOCAL. -----------------------------------------------------------M. Sc. Jorge Arturo Villanueva Sánchez ASESOR. BI. BL. IO. TE C. A. DE. --------------------------------------------------. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. PE CU AR IA S. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. DEDICATORIA. Esta tesis la dedico a mi madre, la señora Julia Aguirre Muñoz, que con tanto amor me motivo para seguir. adelante y me brindo el apoyo suficiente. RO. para lograr mis objetivos.. A mi padre el señor Juan Rodríguez Juárez, quien me brindo el soporte y la. AG. fortaleza. para. seguir. adelante. y. ambicionar cada vez más nuevas. A mis hermanas Yessica, Janet, Karen y mis sobrinas Flavia y Camila que son mis motivos de realización, pues ellas me ven como su fuerza y ejemplo para seguir adelante.. BI BL. IO. TE. CA. DE. metas.. Jhon E. Rodríguez Aguirre. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. I. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. PE CU AR IA S. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. AGRADECIMIENTOS. A la UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO, en especial a la Escuela. Académica Profesional de Ingeniería. Agrícola, a mis profesores, compañeros. RO. y amigos.. A mis grandes amigos el Mg. Eco. Carlos Alexis Romero Rodríguez y al. AG. Ing. Juan Julio Obeso Rodríguez por ser un ejemplo a seguir a nivel profesional y. BI BL. IO. TE. CA. DE. personal. A mi gran amiga la Adm. Olinda Alexandra. Espinoza. incentivarme. a. profesionalmente. Ramírez,. realizarme y. creer. por como. en. mis. capacidades. A mi asesor el M. Sc. Jorge Arturo Villanueva Sánchez, por brindarme su asesoría y apoyo para presentar esta tesis.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. II. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. RESUMEN En la ingeniería agrícola cuando evaluamos el tirante normal de un canal. PE CU AR IA S. rectangular se requiere utilizar métodos numéricos para la solución de los problemas reales que se presentan. Por esto se vio la necesidad de crear un método explicito e implementarlo a una hoja de cálculo Excel para su rápida ejecución.. En base a esto proponemos estimar seis ecuaciones explicitas basándonos en el nomograma de curvas para determinar la profundidad normal de Ven Te Chow, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular.. Se digitalizara la curva correspondiente al tirante normal para canales. RO. rectangulares del nomograma de Ven Te Chow, con la ayuda del programa AutoCAD. Obtendremos así una entidad vectorizada de la curva a la cual. AG. quebraremos simultáneamente para obtener una cantidad representativa de vértices de los cuales podremos extraer sus coordenadas, las cuales estarán en una escala lineal, luego generaremos una base de datos la cual se convertirá a. DE. escala logarítmica, dividimos este grupo de datos en seis cuadrantes logarítmicos y procedemos a realizar las regresiones polinómicas que nos brindaran las seis ecuaciones explicitas para calcular el tirante normal de un. CA. canal rectangular.. TE. Las seis ecuaciones explicitas estimadas nos brindan resultados muy significativos para canales con 0.45 metros de tirante normal como máximo, para. BI BL. IO. tirantes normales mayores es recomendable aplicar un valor de corrección.. Palabras Claves: Tirante Normal, Canal Rectangular, Ecuaciones Explicitas. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. III. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. ABSTRACT In agricultural engineering when evaluating the normal strap of a rectangle. PE CU AR IA S. channel requires the use of numerical methods to solve the real problems that arise. This is why it was necessary to create an explicit method and implement it to an Excel spreadsheet for quick execution.. On the basis of this we propose to estimate six explicit equations based on the. nomogram of curves to determine the normal depth of Ven Te Chow, for the calculation of the normal rod of a rectangle channel.. The curve corresponding to the normal rod for rectangle channels of the Ven Te Chow nomogram will be digitized with the help of the AutoCAD program. We will. RO. thus obtain a vectorized entity of the curve to which we will simultaneously break to obtain a representative number of vertices from which we can extract its. AG. coordinates, which will be in a linear scale, then we will generate a database which will be converted to logarithmic scale, We divided this group of data into six logarithmic quadrants and proceeded to perform the polynomial regressions rectangle channel.. DE. that would give us the six explicit equations to calculate the normal rod of a. CA. The six explicit explicit equations give us very significant results for channels with 0.45 meters of maximum normal strut, for larger normal struts it is advisable to. BI BL. IO. TE. apply a correction value.. Keywords: Normal Bracket, Rectangular Channel, Explicit Equations. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. IV. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. INDICE DEDICATORIA ................................................................................................................................. I. PE CU AR IA S. AGRADECIMIENTOS....................................................................................................................... II RESUMEN ..................................................................................................................................... III ABSTRACT ..................................................................................................................................... IV. INDICE............................................................................................................................................ V I.. CAPÍTULO PRIMERO: INTRODUCCIÓN .................................................................................. 1 1.1.. Realidad Problemática y Marco Teórico ....................................................................... 1. 1.2.. Enunciado del Problema ............................................................................................... 4. 1.3.. Hipótesis ........................................................................................................................ 4. 1.4.. Justificación ................................................................................................................... 5. 1.5.. Objetivos ....................................................................................................................... 6. Objetivo General ................................................................................................... 6. 1.5.2.. Objetivos Específicos ............................................................................................. 6. RO. II.. 1.5.1.. CAPÍTULO SEGUNDO: GENERALIDADES Y CONCEPTOS RELACIONADOS .............................. 7 Regresión Polinomial..................................................................................................... 7. 2.2.. Eliminación de Gauss..................................................................................................... 9. 2.2.1.. AG. 2.1.. Determinantes y La Regla de Cramer .................................................................... 9. DE. Determinantes: ................................................................................................................. 9 Regla de Cramer: ............................................................................................................. 11 2.2.2.. Eliminación de Gauss Simple ............................................................................... 11. CA. Eliminación hacia adelante de incógnitas: ...................................................................... 12 Sustitución hacia atrás: ................................................................................................... 15 2.3.. Desarrollo del Flujo Uniforme y de sus Ecuaciones .................................................... 16 Flujo Uniforme: ................................................................................................... 16. 2.3.2.. Ecuaciones del Flujo Uniforme: ........................................................................... 17. TE. 2.3.1.. Sección Típica de un Canal Rectangular ...................................................... 17. 2.3.2.2.. Parámetros de Diseño de Canales Rectangulares ....................................... 18. 2.3.2.3.. Criterios de Diseño de Canales Rectangulares ............................................ 25. BI BL. IO. 2.3.2.1.. 2.3.3.. III.. Calculo del Tirante Normal .................................................................................. 28. 2.3.3.1.. Método Algebraico (Solución por tanteos) ................................................. 28. 2.3.3.2.. Calculo del Flujo Uniforme .......................................................................... 30. CAPÍTULO TERCERO: MATERIALES Y MÉTODOS.............................................................. 33. 3.1.. Materiales ................................................................................................................... 33. 3.2.. Método ........................................................................................................................ 33. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. V. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. 3.2.1.. Diseño de Investigación....................................................................................... 34. 3.2.2.. Diseño No Experimental ...................................................................................... 34. 3.3.. Técnicas ....................................................................................................................... 35 Recolección de la Información ............................................................................ 35. 3.3.2.. Técnicas a ser utilizadas ...................................................................................... 35. 3.4.. PE CU AR IA S. 3.3.1.. 3.3.2.1.. Evaluación de Hipótesis en Campo ............................................................. 35. 3.3.2.2.. Criterios de evaluación visual en campo ..................................................... 37. Procedimiento ............................................................................................................. 37. 3.4.1.. Evaluación de las escalas. .................................................................................... 37. 3.4.2.. Digitalización del Nomograma ............................................................................ 46. 3.4.3.. Escalado y extracción de coordenadas ............................................................... 50. IV.. CAPITULO CUARTO: RESULTADOS .................................................................................. 80. 4.1.. Determinación de los límites de los cuadrantes logarítmicos. ................................... 80. Cuadrante Logarítmico 1: .................................................................................... 80. 4.1.2.. Cuadrante Logarítmico 2: .................................................................................... 80. 4.1.3.. Cuadrante Logarítmico 3: .................................................................................... 80. 4.1.4.. Cuadrante Logarítmico 4: .................................................................................... 80. 4.1.5.. Cuadrante Logarítmico 5: .................................................................................... 80. 4.1.6.. Cuadrante Logarítmico 6: .................................................................................... 80. AG. RO. 4.1.1.. CONVERSIÓN DE DATOS DE ESCALA LINEAL A ESCALA LOGARÍTMICA ....................... 81. 4.3.. REGRESIÓNES POLINÓMICAS ...................................................................................... 97. DE. 4.2.. REGRESIÓN POLINÓMICA DEL PRIMER CUADRANTE LOGARÍTMICO ................. 98. 4.3.2.. REGRESIÓN POLINÓMICA DEL SEGUNDO CUADRANTE LOGARÍTMICO ............ 104. 4.3.3.. REGRESIÓN POLINÓMICA DEL TERCER CUADRANTE LOGARÍTMICO ................ 109. 4.3.4.. REGRESIÓN POLINÓMICA DEL CUARTO CUADRANTE LOGARÍTMICO .............. 115. 4.3.5.. REGRESIÓN POLINÓMICA DEL QUINTO CUADRANTE LOGARÍTMICO ............... 121. 4.3.6.. REGRESIÓN POLINÓMICA DEL SEXTO CUADRANTE LOGARÍTMICO .................. 126. TE. Determinación de los rangos de los cuadrantes logarítmicos. ................................. 134. IO. 4.4.. CA. 4.3.1.. Rango para la Ecuación 1 .................................................................................. 134. 4.4.2.. Rango para la Ecuación 2 .................................................................................. 134. 4.4.3.. Rango para la Ecuación 3 .................................................................................. 134. BI BL. 4.4.1.. 4.4.3.1.. Determinación de la abscisa entre la ecuación 2 y la ecuación 3 ............. 135. 4.4.4.. Rango para la Ecuación 4 .................................................................................. 136. 4.4.5.. Rango para la Ecuación 5 .................................................................................. 136. 4.4.5.1.. Determinación de la abscisa entre la ecuación 4 y la ecuación 5 ............. 137. 4.4.6.. Rango para la Ecuación 6 .................................................................................. 138 Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante VI normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. 4.5.. Rangos de aplicación para cada ecuación estimada ................................................. 138. 4.6.. Definición de las ecuaciones según sus límites. ........................................................ 139 Ecuación 1: Para valores de (x) >= 0.0015 y (x) < 0.01 ...................................... 139. 4.6.2.. Ecuación 2: Para valores de (x) >= 0.01 y (x) < 0.02 .......................................... 139. 4.6.3.. Ecuación 3: Para valores de (x) >= 0.02 y (x) < 0.1 ............................................ 139. 4.6.4.. Ecuación 4: Para valores de (x) >= 0.1 y (x) < 0.48 ............................................ 139. 4.6.5.. Ecuación 5: Para valores de (x) >= 0.48 y (x) < 1.0 ............................................ 140. 4.6.6.. Ecuación 6: Para valores de (x) >= 1.0 y (x) < 2.5 .............................................. 140. 4.7.. PE CU AR IA S. 4.6.1.. Definición de las funciones lógicas para Excel. ......................................................... 140 Función Lógica 1: Para valores de (x) >= 0.0015 y (x) < 0.01 ............................. 140. 4.7.2.. Función Lógica 2: Para valores de (x) >= 0.01 y (x) < 0.02 ................................. 140. 4.7.3.. Función Lógica 3: Para valores de (x) >= 0.02 y (x) < 0.1 ................................... 141. 4.7.4.. Función Lógica 4: Para valores de (x) >= 0.1 y (x) < 0.48 ................................... 141. 4.7.5.. Función Lógica 5: Para valores de (x) >= 0.48 y (x) < 1.0 ................................... 141. 4.7.6.. Función Lógica 6: Para valores de (x) >= 1.0 y (x) < 2.5 ..................................... 141. RO. 4.7.1.. Implementación de las Ecuaciones Diseñadas. ......................................................... 142. 4.9.. Evaluación e Implementación de las Ecuaciones Diseñadas ..................................... 145. AG. 4.8.. 4.9.1.. Evaluación de las Ecuaciones Diseñadas ........................................................... 145. 4.9.2.. Formato Aplicando el Método de las 6 Ecuaciones Explicitas (6EE) ................. 148 Calculo Demostrativo ............................................................................................ 149. 4.10.1.. DE. 4.10.. Diseño Hidráulico con El Programa HCANALES – Canal Ojo de Pescado .......... 149. 4.10.1.1.. Diseño Hidráulico con el formato 6EE– Canal Ojo de Pescado ........................ 157. 4.10.3.. Diferencia entre Tirantes (HCANALES vs 6 Ecuaciones Explicitas) .................... 158. CA. 4.10.2.. CAPÍTULO QUINTO: CONCLUSIONES ................................................................................. 159 5.1.. VI. VII.. Conclusión Final ........................................................................................................ 160. CAPÍTULO SEXTO: BIBLIOGRAFÍA .................................................................................. 161. IO. 5.2.. Conclusiones Específicas ........................................................................................... 159. TE. V.. Tabla resumen de los cálculos con el programa HACANALES ................... 156. CAPÍTULO SÉPTIMO: ANEXOS ....................................................................................... 162 Nomograma para Determinar el Tirante Normal (Ve Te Chow) ............................... 162. 7.2.. Nomograma para Determinar el Tirante Normal (Jhon E.R.A.) ................................ 164. 7.3.. Planos Canal Ojos de Pescado – Planta y Perfil ......................................................... 166. BI BL. 7.1.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. VII. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. I.. CAPÍTULO PRIMERO: INTRODUCCIÓN Realidad Problemática y Marco Teórico. PE CU AR IA S. 1.1.. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. En el inicio de la ingeniería no se contaba con los recursos técnicos ni tecnológicos con los que cuenta la ingeniería en la actualidad; hubo épocas en. la historia de la ingeniería para las cuales el desarrollo de un cálculo matemático. con un nivel considerable o el cálculo y diseño de alguna estructura involucraba el gasto de varias horas para su ejecución, en aquellos días era común el uso de tablas y nomogramas en los cuales se resumía información relevante.. El proceso de cálculo se efectuaba generalmente con reglas de cálculo y calculadoras de bolsillo; donde el uso continuo y prolongado de estos elementos. RO. probablemente conllevaba a errores que el diseñador obviaba no por omisión repetitivos y desgastantes.. AG. propia sino muy seguramente por cansancio o fatiga al efectuar procesos tan. En la actualidad se cuenta con poderosas maquinas cuyos hardware permiten la. DE. implementación de software especializados para cada tipo de necesidades donde la función del ingeniero; no será la de realizar cálculos tediosos, sino por el contrario es la de interpretar resultados, y decidir si los resultados que le son. CA. arrojados por el software tienen sentido dentro del marco referencial de la ingeniería, el cual corresponde a las leyes y planteamientos teóricos que son. TE. aceptados por la comunidad educativa y profesional.. IO. El ingeniero con los resultados que ha analizado en forma responsable, debe de poder formular respuestas y soluciones según sean las necesidades o. BI BL. condiciones que le imponga el rigor del ejercicio de la profesión y así lograr el bienestar de la comunidad y por ende de la humanidad misma. Bien es reconocido y aceptado que esta es la era de la información y que el desarrollo de un proyecto depende de gran manera en la forma en se distribuyan y utilicen los recursos disponibles, como es el tiempo. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. El software en la ingeniería se remontan a el inicio propio de la era de los computadores pues el desarrollo de estos sistemas siempre tiene el mismo fin, el cual es la solución de problemas de la vida cotidiana bajo modelos. PE CU AR IA S. matemáticos que modelen y/o predigan el comportamiento de las variables que se estén tratando.. Barragan Mendoza J., Reyes Carrillo A., Acosta Velásquez L. (2007). En el diseño hidráulico de canales rectangulares y en el cálculo de perfiles. hidráulicos es indispensable la determinación del “tirante normal” para lo cual se dispone de tablas y/o gráficos que tienen problemas de error asociados a, la interpolación, la precisión de la escala o la lectura.. RO. También es posible tratar el problema por medio de métodos numéricos para la solución de ecuaciones no lineales, estos son, métodos cerrados (bisección y. AG. regla falsa) y métodos abiertos (Newton-Raphson, secante e iteración de punto fijo); se sabe que estos métodos heredan al problema las ventajas y desventajas. DE. propias de su formulación.. Recientemente en la literatura especializada de hidráulica de canales “representada en textos de alto nivel, artículos y memorias de eventos” han definidos. CA. surgido nuevos métodos de cálculo explícito basados en una serie de pasos bien que. implementados. correctamente. conducen. a. resultados. TE. satisfactorios en relación al orden de precisión requerido en la mayoría de. IO. estudios de ingeniería. También han incursionado propuestas de fórmulas iterativas para la. BI BL. determinación del tirante normal en canales rectangulares; como es propio de este tipo de fórmulas cabe la posibilidad de manipularlas y reformularlas para crear nuevas que superen las deficiencias y aceleren la convergencia.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 2. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Esta alternativa se convierte en un campo de investigación en donde los métodos numéricos toman un papel importante para el avance hacia nuevas propuestas.. PE CU AR IA S. Pallares Muñoz M., Rodríguez Calderón W., (2015). La profundidad crítica y normal juega un papel importante en el diseño, operación. y mantenimiento de canales abiertos. La profundidad crítica es un parámetro fundamental para entender las características del flujo en canales abiertos.. Si la profundidad real es menos de la profundidad crítica, el flujo es considerado. supercrítico, este flujo presenta velocidades altas y es determinado por pendientes pronunciadas en el terreno. Si la profundidad real es mayor que la. profundidad crítica, el flujo es considerado subcrítico, este flujo presenta. RO. velocidades bajas y es determinado por pendientes bajas en el terreno.. AG. La profundidad normal se da en un flujo constante y uniforme para una geometría dada de un canal, pendiente y rugosidad y un valor especificado de la descarga. La profundidad normal es un parámetro importante para el diseño hidráulico de. DE. canales abiertos y tiene ramificaciones para la predicción de la inundación. Es también importante para controlar y hacer uso eficiente de tales canales.. CA. Para sección circular, trapezoidal, y canales de la herradura, las ecuaciones gobernantes para las profundidades críticas y normales son implícitas y ninguna. TE. de las soluciones analíticas existe. Para estos canales las profundidades críticas y normales son actualmente obtenidas por procedimientos de prueba, numérico. IO. y los métodos gráficos, o las explícitas ecuaciones basadas en regresiones. Específicamente para la profundidad crítica, las ecuaciones explícitas están. BI BL. disponibles sólo para canales trapezoidales y circulares, pero no para canales de herradura. Para la profundidad normal, las ecuaciones explícitas están disponibles sólo para canales rectangulares y de herradura, pero no para canales trapezoidales o circulares. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Este estudio presenta soluciones explícitas para las profundidades críticas y normales. para. secciones. trapezoidales,. circulares. y. de. herradura. implementando el método de adaptación de curvas. Las ecuaciones propuestas. PE CU AR IA S. satisfacen los cálculos actuales o mejoran ecuaciones existentes en términos de la exactitud y la simplicidad. Una comparación de la exactitud de las soluciones. propuestas y existentes se plantea también. Antes de presentar la derivación de estas ecuaciones explícitas, hay que describir las propiedades geométricas de la sección del canal.. Ali R. Vatankhah (2011). En los canales de sección triangular es posible obtener una ecuación directa para calcular el tirante normal; en otras geometrías, como la rectangular y. RO. trapecial, no sucede lo mismo, las ecuaciones son implícitas y es común el uso. de métodos de prueba y error, numéricos y gráficos. Las ecuaciones explícitas. AG. tienen la ventaja de facilitar el cálculo de dichos tirantes, sin embargo, el nivel de precisión algunas veces no es el deseado.. Enunciado del Problema. CA. 1.2.. DE. Guerrero Angulo J., Arreguín Cortés F., Moreno Trujillo M. (2005). ¿Cómo estimar una ecuación explicita basándonos en el nomograma para el. TE. cálculo del tirante normal de un canal rectangular, con un grado de interrelación. IO. significante?. Hipótesis. BI BL. 1.3.. Con la estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel, se simplificara el cálculo de los parámetros hidráulicos de un canal rectangular.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 4. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. 1.4.. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Justificación. En base a la los estudios mencionados en los antecedentes, podemos considerar. PE CU AR IA S. justificado el tema del proyecto de investigación, ya que desde tiempos. inmemoriales el Perú y en especial el valle de moche ha sido netamente agrícola, esto se ve resaltado en las diversas obras hidráulicas que elaboraron nuestros antepasados como el. canal inter valle Chicama – Moche, este canal fue. construido por los Chimús, llamado también canal la cumbre, tiene un recorrido. de más de 70 km entre Sausal hasta Chan chan este canal alimento al rio moche.. Hasta la actualidad el método de cálculo del tirante normal se sigue realizando por métodos numéricos, los cuales nos brindan soluciones funcionales, pero lo. cual ha conllevado al conformismo con esta metodología y se ha dejo de lado el. RO. estudio del comportamiento del flujo uniforme, por buen tiempo no se ha buscado. AG. nuevas alternativas para el cálculo de este parámetro. Satisfactoriamente los últimos cinco años han aparecido sendos estudios que proponen ecuaciones linealisadas, para el cálculo del tirante normal de canales. DE. con una correlación muy significante, de las cuales vale rescatar la ecuación de Ali R. Vatankhah (2011), esta ecuación nos brinda una solución explicita con un. BI BL. IO. TE. CA. error menor de 0.25%.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. 1.5.. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Objetivos. . PE CU AR IA S. 1.5.1. Objetivo General Estimar una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel. 1.5.2. Objetivos Específicos . Simplificar el cálculo del tirante normal en canales rectangulares.. . Automatizar el cálculo de los parámetros hidráulicos de un canal rectangular implementando la ecuación explicita estimada en una hoja de. . RO. cálculo Excel.. Calculo del tirante normal con el programa HCANALES y nuestra. AG. ecuación explicita para evaluar la correlación entre ambas listas de resultados. . Diseñar un formato editable, de memoria de cálculo para características. . DE. hidráulicas de un canal rectangular.. Los agricultores se beneficiaran indirectamente ya que mediante la hoja de cálculo se ahorrara cierto tiempo en la elaboración del proyecto, del. BI BL. IO. TE. CA. cual depende la ejecución del mismo.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 6. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. II.. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. CAPÍTULO SEGUNDO: GENERALIDADES Y CONCEPTOS. 2.1.. Regresión Polinomial. PE CU AR IA S. RELACIONADOS. En la ingeniería, aunque algunos datos exhiben un patrón marcado, son. pobremente representados por una línea recta, entonces, una curva puede ser más adecuada para ajustarse a los datos.. Para lograr esto se puede utilizar transformaciones, u otra alternativa es ajustar polinomios a los datos mediante regresión polinomial.. El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste. RO. de datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que. AG. ajustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑒. 𝐸𝑐. (1). DE. En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es: 𝑛. 𝐸𝑐. (2). CA. 𝑆𝑟 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎2 𝑥𝑖2 )2 𝑖=1. TE. Al seguir el procedimiento de la sección anterior, obtenemos la derivada de la ecuación anterior con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del. BI BL. IO. polinomio.. 𝜕𝑆𝑟 = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎2 𝑥𝑖2 ) 𝜕𝑎0. 𝐸𝑐. (3). 𝜕𝑆𝑟 = −2 ∑ 𝑥𝑖 (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎2 𝑥𝑖2 ) 𝜕𝑎1. 𝐸𝑐. (4). 𝜕𝑆𝑟 = −2 ∑ 𝑥𝑖2 (𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎2 𝑥𝑖2 ) 𝜕𝑎2. 𝐸𝑐. (5). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para desarrollar el siguiente. PE CU AR IA S. conjunto de ecuaciones normales:. (𝑛)𝑎0 + (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑎1 + (∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑎2 = ∑ 𝑦𝑖. 𝐸𝑐. (6). (∑ 𝑥𝑖 ) 𝑎0 + (∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑎1 + (∑ 𝑥𝑖3 ) 𝑎2 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖. 𝐸𝑐. (7). (∑ 𝑥𝑖2 ) 𝑎0 + (∑ 𝑥𝑖3 ) 𝑎1 + (∑ 𝑥𝑖4 ) 𝑎2 = ∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖. 𝐸𝑐. (8). Donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Observe que las tres ecuaciones anteriores son lineales y tienen tres incógnitas: a 0, a1 y a2. Los coeficientes de las incógnitas se evalúan de manera directa, a partir de los datos. RO. observados.. En este caso, observamos que el problema de determinar un polinomio de. AG. segundo grado por mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales simultáneas.. DE. El caso bidimensional se extiende con facilidad a un polinomio de m-ésimo grado como sigue:. 𝐸𝑐. (9). CA. 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑒. El análisis anterior se puede extender fácilmente a este caso más general. Así,. TE. se reconoce que la determinación de los coeficientes de un polinomio de mésimo grado es equivalente a resolver un sistema de m + 1 ecuaciones lineales. IO. simultáneas.. La eliminación de Gauss se aplica para analizar las ecuaciones algebraicas. BI BL. lineales simultáneas que en general se representan como: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1. 𝐸𝑐. (10). 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2. 𝐸𝑐. (11). ⋮ 𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛. 𝐸𝑐. (12). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 8. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Donde las “a” son los coeficientes constantes y las “b” son los términos independientes constantes.. PE CU AR IA S. La técnica que se describe es la conocida como la eliminación de Gauss, ya que implica una combinación de ecuaciones para eliminar las incógnitas.. Aunque éste es uno de los métodos más antiguos para resolver ecuaciones. lineales simultáneas, continúa siendo uno de los algoritmos de mayor. importancia, y es la base para resolver ecuaciones lineales en muchos paquetes de software populares.. 2.2.. Eliminación de Gauss. AG. Determinantes y La Regla de Cramer. RO. Antes de evaluar el método de Eliminación por Gauss recordemos el método de. 2.2.1. Determinantes y La Regla de Cramer. DE. La regla de Cramer es otra técnica de solución adecuada para un sistema pequeño de ecuaciones.. CA. Antes de hacer una descripción de tal método, se mencionará en forma breve el. TE. concepto de determinante que se utiliza en la regla de Cramer Además, el determinante tiene relevancia en la evaluación del mal. IO. condicionamiento de una matriz.. BI BL. Determinantes:. El determinante se puede ilustrar para un sistema de tres ecuaciones simultáneas: [𝐴]{𝑋} = {𝐵}. 𝐸𝑐. (13). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 9. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Donde [A] es la matriz de coeficientes: 𝑎12 𝑎22 𝑎32. 𝑎13 𝑎23 | 𝑎33. 𝐸𝑐. (14). PE CU AR IA S. 𝑎11 [𝐴] = |𝑎21 𝑎31. El determinante D de este sistema se forma, a partir de los coeficientes del sistema, de la siguiente manera: 𝑎11 𝐷 = |𝑎21 𝑎31. 𝑎12 𝑎22 𝑎32. 𝑎13 𝑎23 | 𝑎33. 𝐸𝑐. (15). Aunque el determinante D y la matriz de coeficientes [A] se componen de los. RO. mismos elementos, son conceptos matemáticos completamente diferentes. Por. esto, para distinguirlos visualmente se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el determinante. En contraste con una matriz, el. AG. determinante es un simple número. Por ejemplo, el valor del determinante de segundo orden. CA. Se calcula como:. DE. 𝑎11 𝐷 = [𝑎 21. 𝑎12 𝑎22 ]. 𝐸𝑐. (16). 𝐸𝑐. (17). TE. 𝐷 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21. En el caso del determinante de tercer orden, el determinante, que es un simple. BI BL. IO. valor numérico, se calcula así: 𝑎22 𝐷 = 𝑎11 |𝑎 32. 𝑎23 𝑎21 | − 𝑎 | 12 𝑎33 𝑎31. 𝑎23 𝑎21 | + 𝑎 | 13 𝑎33 𝑎31. 𝑎22 𝑎32 |. 𝐸𝑐. (18). Donde a los determinantes de 2 por 2 se les llama menores.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Regla de Cramer: Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales. PE CU AR IA S. algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la. columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b 1, b2,…, bn. Por ejemplo, x1 se calcula como:. 𝑥1 =. 𝑏1 |𝑏2 𝑏3. 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝐷. 𝑎13 𝑎23 | 𝑎33. RO. 2.2.2. Eliminación de Gauss Simple. 𝐸𝑐. (19). La eliminación de Gauss simple es el más básico de los métodos para solucionar. AG. un sistema de ecuaciones lineales y despejar las incógnitas. La eliminación gaussiana simple comprende técnicas sistemáticas para la. DE. eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás. Aunque tales técnicas son muy adecuadas para utilizarlas en computadoras, se requiere de algunas modificaciones para obtener un algoritmo confiable. En particular, el programa. CA. debe evitar la división entre cero. Al método siguiente se le llama eliminación gaussiana “simple”, ya que no evita este problema. En las siguientes secciones. TE. se verán algunas características adicionales necesarias para obtener un programa de cómputo efectivo.. BI BL. IO. El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1. 𝐸𝑐. (20). 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2. 𝐸𝑐. (21). ⋮ 𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + 𝑎𝑛3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛. 𝐸𝑐. (22). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver n ecuaciones consiste en dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante. Eliminación hacia adelante de incógnitas:. PE CU AR IA S. sustitución hacia atrás.. La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial será eliminar la primera incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello, se multiplica la ecuación 𝐷 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21. RO. Por. 𝐸𝑐. (24). AG. 𝑎21 𝑎11. 𝐸𝑐. (23). DE. Para obtener. 𝑎21 𝑥1 +. 𝑎21 𝑎21 𝑎21 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 𝑎11 𝑎11 𝑎11. 𝐸𝑐. (25). TE. CA. Ahora, esta ecuación se resta de la ecuación 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2. 𝐸𝑐. (26). BI BL. IO. Para dar. (𝑎22 −. 𝑎21 𝑎21 𝑎21 𝑎12 ) 𝑥2 + ⋯ + (𝑎2𝑛 − 𝑎1𝑛 ) 𝑥𝑛 = 𝑏2 − 𝑏 … 𝐸𝑐. (27) 𝑎11 𝑎11 𝑎11 1. O. ′ ′ 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2′. 𝐸𝑐. (28). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Donde el superíndice prima indica que los elementos han cambiado sus valores originales. Las dos fases de la eliminación de Gauss: eliminación hacia adelante y. PE CU AR IA S. sustitución hacia atrás. Los superíndices prima indican el número de veces que. AG. RO. se han modificado los coeficientes y constantes.. DE. El procedimiento se repite después con las ecuaciones restantes. Por ejemplo, la ecuación (9.12a) se puede multiplicar por a31/a11 y el resultado se resta de la tercera ecuación. Se repite el procedimiento con las ecuaciones restantes y da. CA. como resultado el siguiente sistema modificado: 𝐸𝑐. (29𝑎). ′ ′ ′ 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2′. 𝐸𝑐. (30𝑎). ′ ′ ′ 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3′. 𝐸𝑐. (31𝑎). BI BL. IO. TE. 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1. ⋮ ′ ′ ′ 𝑎𝑛2 𝑥2 + 𝑎𝑛3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛′. 𝐸𝑐. (32𝑎). En los pasos anteriores, la ecuación (9.12a) se llama la ecuación pivote, y a11 se denomina el coeficiente o elemento pivote. Observe que el proceso de multiplicación del primer renglón por a21/a11 es equivalente a dividirla entre a11 y multiplicarla por a21. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Algunas veces la operación de división es referida a la normalización. Se hace esta distinción porque un elemento pivote cero llega a interferir con la normalización al causar una división entre cero. Más adelante se regresará a. PE CU AR IA S. este punto importante, una vez que se complete la descripción de la eliminación de Gauss simple.. Ahora se repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segunda. incógnita en las ecuaciones (9.14c) hasta (9.14d). Para realizar esto, multiplique. la ecuación (9.14b) por a′32/a′22 y reste el resultado de la ecuación (9.14c). Se realiza la eliminación en forma similar en las ecuaciones restantes para obtener. 𝐸𝑐. (29𝑏). ′ ′ ′ 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2′ 𝑎22. 𝐸𝑐. (30𝑏). RO. 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1. ′′ ′′ 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3′′. 𝐸𝑐. (31𝑏). ⋮. ′′ ′′ 𝑎𝑛3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛′′. AG. 𝐸𝑐. (32𝑏). Donde el superíndice biprima indica que los elementos se han modificado dos. DE. veces. El procedimiento puede continuar usando las ecuaciones pivote restantes. La última manipulación en esta secuencia es el uso de la (n–1) ésima ecuación para eliminar el término xn-1 de la n-ésima ecuación. Aquí el sistema se. CA. habrá transformado en un sistema triangular superior: 𝐸𝑐. (29𝑐). ′ ′ ′ 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2′. 𝐸𝑐. (30𝑐). ′′ ′′ 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3′′. 𝐸𝑐. (31𝑐). BI BL. IO. TE. 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1. ⋮ (𝑛−1). 𝑎𝑛𝑛. (𝑛−1). 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛. 𝐸𝑐. (32𝑐). El seudocódigo para implementar la eliminación hacia adelante se presenta en la figura 9.4a. Observe que tres ciclos anidados proporcionan una representación concisa del proceso. El ciclo externo mueve hacia abajo de la matriz el renglón pivote. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. El siguiente ciclo mueve hacia abajo el renglón pivote a cada renglón subsecuente, donde la eliminación se llevará a cabo. Finalmente, el ciclo más elementos de un renglón determinado. Sustitución hacia atrás: De la ecuación (9.15d) ahora se despeja xn: (𝑛−1). 𝑥𝑛 =. 𝑏𝑛. (𝑛−1). 𝑎𝑛𝑛. PE CU AR IA S. interno avanza a través de las columnas para eliminar o transformar los. 𝐸𝑐. (33). RO. Este resultado se puede sustituir hacia atrás en la (n–1) ésima ecuación y despegar xn-1. El procedimiento, que se repite para evaluar las x restantes, se. AG. representa mediante la fórmula: (𝑖−1). (𝑖−1). 𝑎𝑖𝑖. 𝑥𝑗. 𝐸𝑐. (34). BI BL. IO. TE. CA. Para i=n-1, n-2,…, 1. (𝑖−1). − ∑𝑛(𝑗=𝑖+1) 𝑎𝑖𝑗. DE. 𝑥𝑖 =. 𝑏𝑖. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. 2.3.. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Desarrollo del Flujo Uniforme y de sus Ecuaciones. PE CU AR IA S. 2.3.1. Flujo Uniforme: Se considera que el flujo uniforme tiene las siguientes características principales: 1. La profundidad, el área mojada, la velocidad y el caudal en cada sección del canal son constantes; y. 2. La línea de energía, la superficie del agua y el fondo del canal son. paralelos; es decir, sus pendientes son todas iguales, o Sf = Sw = So = S. Para propósitos prácticos, el requerimiento de una velocidad constante puede. interpretarse libremente como el requerimiento de que el flujo posea una. RO. velocidad media constante. Sin embargo, en rigor, esto significaría que el flujo posee una velocidad constante en cada punto de la sección del canal dentro del. AG. tramo del flujo uniforme. En otras palabras, la distribución de velocidades a través de la sección del canal no se altera dentro del tramo. Este patrón estable de la distribución de velocidades puede obtenerse cuando la llamada "capa. DE. límite" se encuentra desarrollada por completo. Se considera que el flujo uniforme es sólo permanente, debido a que el flujo uniforme no permanente prácticamente no existe. En corrientes naturales, aun el flujo uniforme. CA. permanente es raro, debido a que en ríos y corrientes en estado natural casi nunca se experimenta una condición estricta de flujo uniforme. A pesar de esta. TE. desviación de la realidad, a menudo se supone una condición de flujo uniforme para el cálculo de flujo en corrientes naturales. Los resultados obtenidos a partir de esta suposición son aproximados y generales, pero ofrecen una solución. IO. relativamente simple y satisfactoria para muchos problemas prácticos. Nótese. BI BL. que el flujo uniforme no puede ocurrir a velocidades muy altas, a menudo descritas como ultra rápidas. Esto se debe a que, cuando el flujo uniforme alcanza una cierta velocidad alta, se vuelve muy inestable. A velocidades más altas el flujo eventualmente atrapará aire y se volverá inestable.. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. 2.3.2. Ecuaciones del Flujo Uniforme: Sección Típica de un Canal Rectangular. e. C. T. PE CU AR IA S. 2.3.2.1.. e. C. 1. Zc. BL. 1. H. Zr. A. CR P. y. e. RO. CSR. AG. b. Dónde:. Profundidad Hidráulica o Tirante.. b=. Ancho de Solera o Base.. T=. Espejo de Agua.. C=. Ancho de Corona.. BL =. Borde Libre.. CA. TE. Área Hidráulica.. IO. A=. DE. y=. Perímetro Mojado.. e=. Espesor del Revestimiento.. H=. Profundidad Total del Canal.. Zr =. Talud de Relleno.. Zc =. Talud de Corte.. BI BL. P=. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. 2.3.2.2.. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. Parámetros de Diseño de Canales Rectangulares. Se debe tener en cuenta ciertos factores, tales como: tipo de material del cuerpo. PE CU AR IA S. del canal, coeficiente de rugosidad, velocidad máxima y mínima permitida, pendiente del canal, taludes, etc. Los cuales se describen a continuación:. a. Profundidad Hidráulica (y):. Es la profundidad del flujo, generalmente representada con la letra “y”, es la distancia vertical del punto más bajo de la sección del canal a la superficie libre. RO. del agua. También se le conoce como calado o tirante.. AG. y. DE. b. Ancho de Solera (b):. Es el ancho de la base del canal, también se le conoce como ancho de plantilla. BI BL. IO. TE. de agua.. CA. o plantilla. En el caso de los canales rectangulares este valor es igual al espejo. b. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. c. Espejo de Agua (T): Es el ancho de la superficie libre del agua, también se le conoce como ancho de solera.. RO. T. PE CU AR IA S. superficial. En el caso de los canales rectangulares este valor es igual al ancho. d. Ancho de Corona (C):. AG. El ancho de corona, de los bordos de los canales en su parte superior, depende esencialmente del servicio que estos habrán de prestar.. DE. En canales grandes se hacen suficientemente anchos, 6.50 m como mínimo, para permitir el tránsito de vehículos y equipos de conservación, a fin de facilitar. CA. los trabajos de inspección y distribución de agua. En canales más pequeños, el ancho superior de la corona puede diseñarse. TE. aproximadamente igual al tirante del canal. En función del caudal, se puede considerar un ancho de corona de 0.60 m. Para caudales menores de 0.50 m3/s. BI BL. IO. y 1.00 m para caudales mayores.. C. C. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. e. Borde Libre (BL): Es el espacio entre la cota de la corona y el espejo de agua, no existe ninguna. PE CU AR IA S. regla fija que se pueda aceptar universalmente para el cálculo del borde libre, debido a que las fluctuaciones de la superficie del agua en un canal, se puede originar por causas incontrolables.. RO. BL. La U.S. BUREAU OF RECLAMATION recomienda estimar el borde libre con la. AG. siguiente fórmula:. 𝐵𝐿 = √𝐶𝑌. DE. Donde:. 𝐸𝑐. (35). C = 1.5 para caudales menores a 20 pies3/seg., y hasta 2.5 para caudales del orden de los 3000 pies3/seg.. CA. Y = Tirante del canal en pies.. La secretaría de Recursos Hidráulicos de México, recomienda los siguientes valores en. TE. función del caudal:. Caudal m3/seg. Revestido (cm). Sin revestir (cm). ≤ 0.05. 7.5. 10. 0.05 – 0.25. 10. 20. 0.25 – 0.50. 20. 40. 0.50 – 1.00. 25. 50. > 1.00. 30. 60. IO BI BL. Tabla Nº 11: Borde libre en función del caudal. Fuente: Ministerio de Agricultura y Alimentación, Boletín Técnico N- 7 “Consideraciones Generales sobre Canales Trapezoidales” Lima 1978. Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. f. Profundidad Total del Canal (H): La profundidad total del canal se encuentra una vez conocida el tirante de agua. PE CU AR IA S. y el borde libre, por lo general para el proceso de construcción este valor se redondea.. RO. H. g. Área Hidráulica (A):. 𝐸𝑐. (36). AG. 𝐻 = 𝑦 + 𝐵𝐿. DE. En un canal rectangular, el área mojada, se entiende como la superficie que ocupa el agua en una sección perpendicular al flujo. Esta sección está definida,. BI BL. IO. TE. CA. en la parte superior por la línea de agua, y en la parte inferior por el canal mismo.. A. y. b 𝐴 = 𝑏𝑦. 𝐸𝑐. (37). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias Agropecuarias. Jhon Edgar Rodríguez Aguirre Escuela Académico Profesional de Ingeniería Agrícola. h. Perímetro Mojado (P):. en contacto con el agua.. PE CU AR IA S. En un canal rectangular, el perímetro mojado es el contorno del canal que está. y. P. b. RO. 𝑃 = 𝑏 + 2𝑦. AG. i. Radio Hidráulico (R):. 𝐸𝑐. (38). Es la dimensión característica de la sección transversal, hace las funciones de. 𝐴 𝑃. 𝐸𝑐. (39). 𝑏𝑦 𝑏 + 2𝑦. 𝐸𝑐. (40). 𝑅=. 𝑅=. TE. CA. DE. diámetro en las tuberías, se obtiene de la siguiente relación.. IO. j. Numero de Froude (F):. BI BL. Es un número adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido. El número de Froude en canales abiertos nos informa del estado del flujo hidráulico. El número de Froude en un canal se define como:. 𝐹=. 𝑣 √𝑔𝐿. 𝐸𝑐. (41). Tesis: “Estimación de una ecuación explícita derivada de un nomograma, para el cálculo del tirante normal de un canal rectangular y evaluación de su grado de interrelación mediante hoja de cálculo de Excel”. 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.