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Departamento de Física y Química
OPCIÓN A
1.
a) Establece una clasificación de los movimientos ondulatorios según la dirección de propagación respecto a la dirección de perturbación. Por dos ejemplos de cada uno de los tipos de ondas descritas. (CE 3.2)Según la dirección de propagación frente a la de la perturbación los movimientos ondulatorios se pueden clasificar en:
→ Ondas longitudinales: movimiento ondulatorio en el que la dirección de propagación coincide con la dirección de la perturbación. Ejemplos: sonido, compresión de un muelle. Se producen en cualquier medio y dependen de la compresibilidad del mismo.
→ Ondas transversales: movimiento ondulatorio en el que la dirección de la propagación es perpendicular a la dirección de la perturbación. Ejemplos: ondas en una cuerda (guitarra, piano, …), ondas en la superficie del agua, ondas electromagnéticas. Sólo se producen en medios cuyas partículas están “fuertemente” ligadas: en sólidos o en la superficie de los líquidos (tensión superficial). b) Un resorte vertical se alarga 2 cm cuando se cuelga de su extremo inferior un cuerpo de 10 kg. Se desplaza dicho cuerpo hacia abajo y se suelta, de forma que el sistema comienza a oscilar con una amplitud de 3 cm. Escribe la ecuación del movimiento y calcula el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el desplazamiento es de 1,3 cm. (CE 3.1)
g = 10 m s-2
Estrategia de resolución. La ecuación del movimiento de una partícula que oscila unida a un resorte corresponde a un movimiento armónico simple, que se escribe en general como:
x(t) = A cos(ω t + φ) x(t) = A sen(ω t + φ)
De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener A, y φ:
- La frecuencia angular, , se obtiene a partir de la constante elástica y la masa que oscila, ω = √k
m.
La constante elástica podemos hallarla realizando un dibujo y un diagrama de fuerzas (derecha), y aplicando al objeto de 10 kg cuando produce un alargamiento en el muelle de 2 cm (0,02 m) tanto el principio fundamental de la
dinámica, ∑ F⃗ = m · a⃗ , como la ley de Hooke, F⃗⃗⃗⃗ = −k · ∆x⃗ e :
∑ F⃗ = m · a⃗
P
⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗ = m · a⃗ = 0⃗ e
|P⃗⃗ | − |F⃗⃗⃗⃗ | = 0e
m · g − k · ∆x = 0
k =m · g ∆x =
10 kg · 10 m · s−2
0,02 m = 5 · 103 N · m−1
De este modo, la frecuencia angular ω:
ω = √k m= √
5 · 103 N · m−1
10 kg = 22,4 rad · s
−1
- La amplitud o posición o elongación máxima es 3 cm, A = 0,03 m.
- La constante de fase, φ, se obtiene a partir de las condiciones iniciales. Si inicia el movimiento en su posición máxima negativa, debemos considerar que para t = 0, x = – A = – 0,03 m. Por tanto:
- para la función seno: x(t) = A sen(ωt + φ)
x(0) = −A = A sen φ ⇒ sen φ = −1 ⇒ φ =3π 2 rad
- para la función coseno: x(t) = A cos(ωt + φ)
x(0) = −A = A cos φ ⇒ cos φ = −1 ⇒ φ = π rad
Así la ecuación del movimiento se puede expresar como:
𝐱(𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟑 𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝟐, 𝟒 𝐭 +𝟑𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
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También podríamos llegar a las mismas conclusiones a partir de las gráficas de la elongación en función del tiempo o del conocimiento de la circunferencia del movimiento circular uniforme que se relaciona con el movimiento armónico simple.
Podemos representar gráficamente la ecuación del movimiento:
Para calcular las energías cinética y potencial elástica cuando el desplazamiento es de 1,3 cm (0,013 m) podemos relacionarlas con la energía total, Em=1
2 k · A
2, y la energía potencial elástica, E
p=
1 2 k · x
2, de tal modo que como sabemos la energía total del
sistema es la suma de las energías cinética y potencial:
Em= Ep+ Ec⇒ Ec= Em− Ep
Así:
Ec= Em− Ep=
1 2 k · A
2−1
2 k · x
2
Ec=
1 2 k · (A
2− x2)
De este modo para x = 0,013 m: - la energía potencial, Ep=12 k · x2:
Ep(x = 0,013 m) =1
2 5000 N · m−1· (0,013 m)2= 0,42 J
- la energía cinética, Ec=1
2 k · (A
2− x2):
Ec(x = 0,013 m) =1
2 5000 N · m
−1· ((0,03 m)2− (0,013 m)2) = 0,36 J
Por tanto, la energía potencial solicitada es 5,25 J.
2.
a) Escribe una expresión y aplícala para explicar por qué el pitido de un tren se escucha de forma diferente cuando se acerca que cuando se aleja de nosotros. (CE 3.10)El fenómeno que se está produciendo se denomina efecto Doppler. Es un fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido. Esta propiedad de los movimientos ondulatorios explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido del tren pasa a nuestro lado y luego se aleja.
La expresión de dicho efecto Doppler es la siguiente:
f′=vS− vO
vS− vE
f
donde f’ es la frecuencia que percibe el observador, f la frecuencia que emite el emisor, vS e la velocidad del sonido, vO es la
velocidad del observador y vE es la velocidad del emisor.
De este modo el pitido emitido por el tren con una frecuencia f se escuchará con mayor frecuencia, f1 > f cuando se acerque a
nosotros, mientras que se percibirá con menor frecuencia, f2 < f, cuando se aleje.
A
-A
T/2 T
x
t
-0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05
0,00 0,04 0,07 0,11 0,14 0,18 0,21 0,25 0,28 0,32 0,35 0,39 0,42 0,46 0,49 0,53 0,56 0,60
x
(
m
)
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En este caso, los módulos (tamaño del vector, valores positivos o sin signo) de las velocidades son c (velocidad del sonido), vO
(velocidad del observador) = 0 y V (velocidad del emisor, vE). De este modo:
f′= c
c − vE f
La frecuencia que percibimos es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f1 > f) si se acerca el emisor, el tren, puesto que
vE= V > 0 ⇒ c − vE= c − V < c ⇒ c
c − V> 1 ⇒ f2= c
c − Vf ⇒ f2> f
La frecuencia será menor, sonido más grave, (f2 < f) si el emisor, el ferrocarril, se aleja del observador, nosotros:
vE= −V < 0 ⇒ c − vE= c + V > c ⇒
c
c + V< 1 ⇒ f1= c
c + Vf ⇒ f1< f
b) Una onda armónica que se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje X tiene una longitud de onda de 25 cm. El foco emisor vibra con una frecuencia de 50 Hz y una amplitud de 5 cm. i) Escribe la ecuación de la onda sabiendo que en t = 0 el foco se haya en el máximo positivo. ii) Determina la velocidad de propagación de la onda y la aceleración máxima de un punto de la cuerda. (CE 3.3 – 3.4)
i) Estrategia de resolución. La expresión de la ecuación o función de onda que se propaga por la cuerda sería:
y(x, t) = A sen (ω t + k x + φ) y(x, t) = A cos (ω t + k x + φ)
Hemos escrito “+” porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el del eje OX negativo. De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener la amplitud A, la frecuencia angular , el número onda k y la constante de fase o fase inicial φ:
- La amplitud es A = 0,05 m.
- La frecuencia angular es ω = 2π · f, donde la frecuencia f es de 50 Hz. Así:
ω = 2π · f = 2π · 50 Hz = 100 π rad · s−1
- El número de onda k se puede hallar a partir de la longitud de onda λ = 25 cm = 0,25 m, k =2π
λ:
k =2π λ =
2 π
0,25 m= 8 π m−1
- La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es máximo e igual a A = 0,05 m:
y(0,0) = A cos φ = A = 0,05 m → cos φ = 1 → φ = 0 y(0,0) = A sen φ = A = 0,05 m → sen φ = 1 → φ =π
2 rad
Por tanto, la función o ecuación de la onda es:
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟎𝟎 𝛑 𝐭 + 𝟖 𝛑 𝐱) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟎𝟓 𝐬𝐞𝐧 (𝟏𝟎𝟎 𝛑 𝐭 + 𝟖 𝛑 𝐱 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
ii) Estrategia de resolución. Para determinar la velocidad de propagación de la onda haremos uso de la frecuencia y de la longitud de onda, v = λ · f:
v = λ · f = 0,25 m · 50 Hz = 12,5 m · s−1
Luego la velocidad de propagación de la onda es de 𝟏𝟐, 𝟓 𝐦 · 𝐬−𝟏.
Para hallar la aceleración máxima de un punto de la cuerda podemos derivar dos veces la función de la onda o hacer uso de la expresión directa de dicha aceleración máxima, amáx = ω2· A, correspondiente a un movimiento armónico simple con el que oscilan los puntos de la cuerda por los que pasa la onda armónica.
Siguiendo la primera estrategia:
vP(x, t) =dy(x, t) dt =
d
dt[0,05 cos (100 π t + 8 π x)] = 0,05 · [−sen (100 π t + 8 π x)] · 100 π (SI)
vP(x, t) = −5 π · sen (100 π t + 8 π x) (SI)
aP(x, t) =dvP(x, t) dt =
d
dt[−5 π · sen (100 π t + 8 π x)] = −5 π · [cos (100 π t + 8 π x)] · 100 π (SI)
aP(x, t) = −500 π2· [cos (100 π t + 8 π x)] (SI)
Luego la aceleración máxima es 𝟓𝟎𝟎 𝛑𝟐 𝐦 · 𝐬−𝟐= 𝟒, 𝟗 · 𝟏𝟎𝟑 𝐦 · 𝐬−𝟐. Con la segunda estrategia:
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3.
a) Explica qué es la reflexión y la reflexión total de los movimientos ondulatorios y deduce a partir de qué ángulo de incidencia se produce el fenómeno de reflexión. (CE 3.8 – 3.9)La reflexión y la refracción aparecen siempre que una onda alcanza la superficie de separación de dos medios distintos (interfase). La reflexión aparece cuando un frente de onda llega a interfase (límite de medios) y consiste en una inversión parcial de la dirección de propagación de una onda y regreso al medio inicial: onda reflejada.
La reflexión total aparece cuando la velocidad de propagación en el primer medio, v, es menor que la velocidad de propagación en el segundo medio, v’, y, por tanto, según la ley de Snell î < r̂.
De este modo, para cierto ángulo incidente, î, el ángulo refractado, r̂, es igual a 90º: el rayo refractado sale paralelo a la superficie de separación. Este ángulo se denomina ángulo límite; îlímite, y se obtiene a partir de la ley de Snell, sen îsen r̂=vv′:
sen î sen r̂=
v v′
sen îlímite sen 90o =
v v′
sen îlímite=
v v′
Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite sólo se produce reflexión, no refracción y eso corresponde a la denominada reflexión total.
b) En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se ha generado una onda de ecuación:
y(x, t) = 0,02 sen(πx) cos(8πt) (SI)
i) Indica de qué tipo de onda se trata y halla la frecuencia de oscilación de los puntos de la cuerda y la velocidad con que se propaga la onda en la misma. ii) Determina razonadamente la distancia entre dos puntos consecutivos de amplitud cero y el número de nodos que hay en la cuerda si su longitud es de 3 m y tiene los extremos fijos. (CE 3.7)
i) Estrategia de resolución. Las características de la onda las extraeremos de la función o ecuación de la misma. Podemos afirmar primero como dice el enunciado que se trata de una onda mecánica puesto que se produce en una cuerda tensa que necesita de un medio material para propagarse.
De la expresión y(x,t) podemos deducir que se trata de una onda transversal, puesto que la dirección de la perturbación, y, es perpendicular a la dirección de la propagación, x.
La funciones trigonométricas “seno” y “coseno” y la presencia de las dos variables independientes en el interior de las fases de cada una de las dos razones nos indican que se trata de una onda armónica estacionaria.
Las magnitudes solicitadas (la frecuencia y la velocidad de propagación) las obtendremos de las magnitudes que se encuentran en la fase del movimiento ondulatorio: frecuencia angular, ω = 8π rad · s−1, ω = 2π · f , y número de onda, k = π m−1.
De este modo:
ω = 2π · f
f = ω 2π=
8π rad · s−1
2π = 4 Hz Luego la frecuencia de oscilación es de 4 Hz.
La velocidad de propagación es nula puesto que se trata de una onda estacionaria.
ii) Estrategia de resolución. La distancia entre dos puntos consecutivos de amplitud cero (nodos) y el número de nodos que hay en la cuerda si su longitud es de 3 m y tiene los extremos fijos, los hallaremos recordando que la distancia que separa dos nodos consecutivos es 𝜆
2.
De este modo, debemos hallar la longitud de onda y dividirla entre 2. Recordemos que la longitud de onda se relaciona con el número de onda k:
k =2 π λ
λ =2 π k =
2 π
π m−1= 2 m Así la distancia solicitada es:
dN−N=λ 2=
2 m 2 = 1 m
La distancia entre dos nodos consecutivos es de 1 m.
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Departamento de Física y Química L = n ·λ
2⇒ n = 2 · L
λ = 2 · 3 m
2 m = 3
Por tanto, en la cuerda se pueden observar 4 nodos puesto que caben tres semilongitudes de onda y los extremos son nodos.
Esto quiere decir que oscila en el tercer modo normal de vibración y que posee cuatro nodos y tres vientres.
Esto también indica que el sistema, cuerda de 3 m de longitud con los extremos fijos, se encontrará en el tercer modo normal de vibración, es decir “ha seleccionado” una onda estacionaria que posee 4nodos(hay que tener en cuenta que los dos extremos lo son).
También podemos determinar todos estos detalles si representamos o dibujamos la onda estacionaria:
Podemos observar perfectamente los 4 nodos indicados (tercer modo normal de vibración).
4.
a) Enuncia el principio de Huygens y las leyes de la refracción de las ondas. (CE 3.6 – 3.8 – 3.9)El principio de Huygens indica que cada uno de los puntos de un frente de onda puede ser considerado como un nuevo foco emisor de ondas secundarias que avanzan en el sentido de avance de la perturbación (sentido de propagación), y cuya envolvente constituye el nuevo frente.
Las leyes de la refracción son las siguientes:
o El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano. o En 1621 el geómetra holandés Willebrord Snell (1580-1626) había obtenido, de forma empírica, la ley que relaciona los ángulos de incidencia y refracción y que es explicada mediante el principio de Huygens ley de Snell: sen î
sen r̂=
v
v′
b) Las ondas sísmicas S, que viajan a través de la Tierra generando oscilaciones durante los terremotos, producen gran parte de los daños sobre edificios y estructuras. Una onda armónica S, que se propaga por el interior de la corteza terrestre, obedece a la ecuación:
y(x, t) = 0,6 sen(3,125 · 10−7 x − 1,25 · 10−3 t) (SI)
i) Indica qué tipo de onda es y calcula su longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación. ii) Si se produce un seísmo a una distancia de 400 km de una ciudad, ¿cuánto tiempo transcurre hasta que se perciben los efectos del mismo en la población? ¿Con qué velocidad máxima oscilarán las partículas del medio? (CE 3.3 – 3.4)
i) Estrategia de resolución. La función trigonométrica “seno” y la presencia de las dos variables independientes en el interior de la fase (del seno) nos indican que se trata de una onda armónica y viajera (se propaga en el sentido positivo del eje X). A la vista de la ecuación o función de la onda podemos decir que el movimiento ondulatorio es transversal (puesto que la dirección de la perturbación, y, es perpendicular a la dirección de la propagación, x). También podríamos decir que es una onda mecánica que se propaga por el terreno, es decir, necesita de un medio material para propagarse.
El signo “–“ (la diferencia de términos, 3,125 · 10−7 x − 1,25 · 10−3 t) y la presencia de la variable “x” que se observan en la fase de la onda nos informan de que se propaga, como hemos indicado anteriormente, en el sentido positivo del eje OX.
Las magnitudes solicitadas (frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación) las obtendremos de las magnitudes que se encuentran en la fase del movimiento ondulatorio:
- frecuencia angular, ω = 1,25 · 10−3 rad · s−1, y - número de onda, k = 3,125 · 10−7 m−1.
De este modo:
𝐟 = 𝛚 𝟐𝛑=
𝟏, 𝟐𝟓 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏
𝟐𝛑 = 𝟐, 𝟎 · 𝟏𝟎
−𝟒 𝐇𝐳
𝛌 =𝟐𝛑 𝐤 =
𝟐𝛑
𝟑, 𝟏𝟐𝟓 · 𝟏𝟎−𝟕 𝐦−𝟏= 𝟐, 𝟎 · 𝟏𝟎𝟕 𝐦
𝐯 =𝛚 𝐤 =
𝟏, 𝟐𝟓 · 𝟏𝟎−𝟑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏
𝟑, 𝟏𝟐𝟓 · 𝟏𝟎−𝟕 𝐦−𝟏 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝐦 · 𝐬−𝟏
-0,02 -0,02 -0,01 -0,01 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
y (
m
)
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Para determinar el tiempo que transcurre hasta que se perciben los efectos de terremoto en una población a 400 km (4,00·105 m) del
epicentro haremos uso de los conocimientos que se tienen sobre el movimiento rectilíneo y uniforme, ∆x = v · ∆t o el concepto de velocidad media, vm=
∆x
∆t. De este modo:
∆t =∆x v =
4,00 · 105 m
4000 m · s−1= 100 s
Luego el seísmo tarda 100 s en alcanzar la población.
ii) Estrategia de resolución. Para hallar la velocidad máxima con que oscilarán las partículas del medio la podemos obtener derivando la función o ecuación de la onda, vP(x, t) =dy(x,t)dt , o aplicar la expresión correspondiente a un movimiento armónico simple con el que vibran las partículas, vmáx= A · ω.
Así:
vP(x, t) =
dy(x, t) dt =
d
dt[0,6 sen(3,125 · 10
−7 x − 1,25 · 10−3 t)]
vP(x, t) = 0,60 · [cos (3,125 · 10−7 x − 1,25 · 10−3 t)] · 1,25 · 10−3 (SI)
vP(x, t) = 7,5 · 10−4 cos (3,125 · 10−7 x − 1,25 · 10−3 t) (SI)
Por tanto, la velocidad máxima es de 𝟕, 𝟓 · 𝟏𝟎−𝟒 𝐦 · 𝐬−𝟏. Y a partir de la expresión vmáx= A · ω:
vmáx = A · ω = 0,60 m · 1,25 · 10−3 rad · s−1= 7,5 · 10−4 m · s−1
OPCIÓN B
1.
a) ¿Qué tipo de movimiento ondulatorio son las ondas en la superficie del agua de un lago? ¿Y las ondas en una cuerda de un piano? ¿Y el sonido qué tipo de movimiento ondulatorio es? A partir de estos ejemplos explica qué son las ondas mecánicas y las ondas electromagnéticas. (CE 3.2)Las ondas en la superficie de un lago y las que se producen en la cuerda de un piano se pueden considerar mecánicas y transversales. El sonido también es un movimiento ondulatorio mecánico pero longitudinal.
Estos ejemplos de ondas mecánicas nos llevan a poder definir este tipo de movimientos ondulatorios como aquellos que necesitan de un medio material para poder propagarse.
Por el contrario las ondas electromagnéticas son aquellas que no necesitan de un medio material para propagarse y, de hecho, pueden propagarse incluso en el vacío. Eso es lo que sucede con las ondas de radio, los rayos X, la luz visible o los rayos infrarrojos.
b) Una onda viene dada por la ecuación:
y(x, t) = 0,4 cos (π
2x) cos(2πt) (SI)
Indica de qué tipo de onda se trata y calcula su longitud de onda, la posición x del primero de los nodos y del tercero de los vientres contados a partir del origen de coordenadas en el sentido positivo, así como la aceleración de oscilación de un punto situado en x = 2 m para t = 0,25 s. (CE 3.7)
Estrategia de resolución. Las características de la onda las extraeremos de la función o ecuación de la misma.
De la expresión y(x,t) podemos deducir que se trata de una onda transversal, puesto que la dirección de la perturbación, y, es perpendicular a la dirección de la propagación, x.
La funciones trigonométricas “seno” y “coseno” y la presencia de las dos variables independientes en el interior de las fases de cada una de las dos razones nos indican que se trata de una onda armónica estacionaria.
La longitud de onda la obtendremos de la magnitud número de onda, k, que se encuentra en la fase del movimiento ondulatorio:
k =π
2 m
−1.
De este modo:
k =2 π λ
λ =2 π k =
2 π π 2 m−1
= 4 m
Luego la longitud de onda es de 4 m.
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Departamento de Física y Química
En la primera haremos uso de la expresión de la amplitud que podemos extraer de la función de la onda, A(x) = 0,4 cos (π
2x),
teniendo en cuenta que para los nodos cos (π
2xN) = 0 y para los vientres cos ( π
2xV) = ±1. - Nodos:
cos (π
2xN) = 0 ⇒ { π
2xN= (2n − 1) · π 2 n = 0, ±1, ±2, ±3, …
π
2xN= (2n − 1) · π 2 n = 0, ±1, ±2, ±3, …
} ⇒ xN= 2n − 1 (SI)
De este modo, el primero de los nodos en el sentido positivo del eje X corresponderá a n = 1:
xN= 2n − 1 (SI) ⇒ xN(n = 1) = 2 · 1 − 1 (SI) = 1 m El primer nodo, por tanto, se halla en la posición x = 1 m.
- Vientres:
cos (π
2xN) = ±1 ⇒ { π
2xN= n · π n = 0, ±1, ±2, ±3, …
π
2xN= n · π n = 0, ±1, ±2, ±3, …
} ⇒ xN= 2 · n (SI)
De este modo, el tercero de los vientres en el sentido positivo del eje X corresponderá a n = 2:
xN= 2 · n (SI) ⇒ xN(n = 2) = 2 · 2 (SI) = 4 m El tercer vientre, por tanto, se halla en la posición x = 4 m.
La segunda estrategia de resolución sería hacer un esquema, representación o dibujo de la onda estacionaria y observar dónde se hayan los puntos citados:
Para determinar la aceleración de oscilación de un punto situado en x = 2 m para t = 0,25 s derivaremos dos veces la función de la onda para después sustituir los valores indicados:
vP(x, t) =dy(x, t) dt =
d
dt[0,4 cos ( π
2x) cos(2πt)] = 0,4 · cos ( π
2x) [−sen (2πt)] · 2π (SI)
vP(x, t) = −0,8 π · cos (
π
2x) sen(2πt) (SI)
aP(x, t) =
dvP(x, t) dt =
d
dt[−0,8 π · cos ( π
2x) sen(2πt)] = −0,8 π · cos ( π
2x) · [cos(2πt)] · 2π (SI)
aP(x, t) = −1,6 π2· cos (
π
2x) cos(2πt) (SI)
aP(x = 2 m, t = 0,25 s) = −1,6 π2· cos (
π
22) cos(2π · 0,25) = 0
Luego la aceleración de oscilación de un punto situado en x = 2 m para t = 0,25 s es cero.
-0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40
0 1 2 3 4 5 6
y (
m
)
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2.
a) ¿Qué es una onda estacionaria? ¿En qué se diferencian de las ondas viajeras? Escribe una expresión e cada uno de los dos tipos de ondas destacando las diferencias explicadas con anterioridad. (CE 3.7)El concepto de onda estacionaria se interpreta como un fenómeno de superposición de ondas idénticas que se propagan en el mismo medio en sentido contrario. El resultado es una sucesión de oscilaciones (movimientos armónicos simples) sincronizadas sin que exista avance de la perturbación.
En consecuencia estamos hablando de una onda no progresiva o no viajera puesto que no depende de x, sólo de t. En cada punto hay una oscilación de amplitud constante formándose un conjunto de osciladores armónicos contiguos que vibran sincrónicamente cuyas amplitudes varían de un punto a otro.
Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras:
− No hay transporte de energía de un punto a otro como sí sucede con las ondas viajeras. − No hay avance de la perturbación, no hay sentido de la propagación como en las viajeras.
− La amplitud varía de un punto a otro de tal modo que hay puntos, los nodos, en los que es cero. En las ondas viajeras la amplitud es constante.
− Las ondas estacionarias no dependen de la posición, x, sólo del tiempo, t, ya que se tratan de osciladores contiguos. A continuación escribimos sendas expresiones para cada uno de los dos tipos de ondas suponiendo que son armónicas: - Onda armónica viajera:
Ψ(x, t) = A sen(ω t ± k x + φ)
Ψ(x, t) = A cos(ω t ± k x + φ)
- Onda armónica estacionaria:
Ψ(x, t) = A cos(kx) cos(ωt)
Ψ(x, t) = A sen(kx) sen(ωt)
b) Una masa de 0,25 kg conectada a un resorte ligero oscila en una pista horizontal sin fricción. Sabiendo que la ecuación del movimiento que describe es
x(t) = 0,075 cos(4π t + π)(SI)
Calcula la energía cinética de la partícula en el instante t = 0,25 s, así como dónde posee una velocidad de 0,50 m·s-1.
(CE 3.1)
Estrategia de resolución. Para calcular la energía cinética de la partícula en el instante t = 0,25 s, así como dónde posee una velocidad de 0,50 m·s-1 haremos uso de las relaciones entre las magnitudes solicitadas con las variables indicadas.
Así, podemos escribir la energía cinética en función del tiempo:
Ec(x) =1
2 k · (A2− x2)
Teniendo en cuenta que x(t) = A cos(ω t + φ):
Ec(t) =
1 2 k · (A
2− (A cos(ω t + φ))2)
Ec(t) =
1
2 k · (A2− A2cos2(ω t + φ))
Ec(t) =
1
2 k · A2(1 − cos2(ω t + φ)) = 1
2 k · A2· sen2(ω t + φ)
Puesto que k = m · ω2
Ec(t) =1 2 m · ω
2· A2· sen2(ω t + φ)
Ahora necesitamos extraer las magnitudes que aparecen en esta expresión a partir de la ecuación del movimiento armónico simple,
x(t) = 0,075 cos(4π t + π)(SI) : - La amplitud A: A = 0,075 m:
- La frecuencia angular ω: ω = 4π rad · s−1; - La fase inicial φ: φ = π rad;
- La masa m: m = 0,25 kg. De este modo:
Ec(t = 0,25 s) =
1
2 0,25 kg · (4π rad · s
−1)2· (0,075 m)2· sen2(4π · 0,25 s + π) = 0
Así que la energía cinética del objeto en el instante 0,25 s es nula.
Para la velocidad tendremos que relacionarla con la posición, v(x) = ω√A2− x2, y despejar las citadas posiciones para las cuáles el objeto se mueve a la velocidad indicada, 0,50 m·s-1:
Soluciones__2ºBD__24/1/2020_
Departamento de Física y Química x = √A2−v
2
ω2
x = √(0,075 m)2−(0,50 m · s
−1)2
(4π rad · s−1)2 = ±0,064 m
De este modo, la masa se mueve a la velocidad de 0,50 m·s-1 cuando pasa por las posiciones ±𝟎, 𝟎𝟔𝟒 𝐦.
3.
a) Describe las leyes de la reflexión de ondas y explica en qué consiste la difracción haciendo uso del principio de Huygens. (CE 3.6 – 3.8 – 3.9)La reflexión aparece cuando un frente de onda llega a una interfase (límite de separación de dos medios) y consiste en una inversión parcial de la dirección de propagación de la onda y regreso al medio inicial (onda reflejada).
Las leyes de la reflexión son las siguientes:
o El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la interfase en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano. o El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: î = r̂.
La difracción es un fenómeno ondulatorio que consiste en que una onda modifica su dirección de propagación (se distorsiona) cuando alcanza una superficie que no le permite propagarse (obstáculo) en la que se encuentra un orificio, abertura o rendija cuyo tamaño es del orden de su longitud de onda. Explica el hecho de que las ondas puedan “doblar” esquinas y salvar obstáculos. Se puede explicar mediante el principio de Huygens y los fenómenos de interferencia teniendo en cuenta que cada punto de la porción del frente no interceptado por el obstáculo es un foco de ondas secundarias que se superponen.
b) En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm de amplitud mediante un oscilador de 20 Hz. La onda se propaga a 2 m s-1. Escribe la ecuación de la onda suponiendo que se propaga en el sentido negativo del eje X y que en
el instante inicial la elongación en el foco es nula. Calcula la velocidad de un punto de la cuerda situado a 1 m del foco en el instante t = 3 s. (CE 3.3 – 3.4)
Estrategia de resolución. La expresión de la función de onda que se propaga por la cuerda sería:
y(x, t) = A sen (ω t + k x + φ) y(x, t) = A cos (ω t + k x + φ)
Hemos escrito + porque nos indican que el sentido de propagación del movimiento ondulatorio es el del eje OX negativo.
De este modo, para escribir completa la ecuación debemos obtener la amplitud A, la frecuencia angular , el número onda k y la constante de fase o fase inicial φ:
- La amplitud es A = 10 cm = 0,10 m.
- La frecuencia angular es ω = 2π · f, donde la frecuencia f es de 20 Hz. Así:
ω = 2π · f = 2π · 20 Hz = 40 π rad · s−1
- El número de onda k se puede hallar a partir de la frecuencia angular, ω = 40 π rad · s−1 y la velocidad de propagación, v = 2 m ·
s−1, v =ω
k:
v =ω k
k =ω v=
40 π rad · s−1
2 m · s−1 = 20 π m−1
- La fase inicial se obtiene considerando que el valor de la perturbación para x = 0 y t = 0 es máximo e igual a 0:
y(0,0) = A cos φ = 0 → cos φ = 0 → {
φ =π 2 rad
φ = −π 2 rad o
3π 2 rad
y(0,0) = A sen φ = 0 → sen φ = 0 → { φ = 0 rad φ = π rad o − π rad
Por tanto, la función de la onda es:
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝟎 𝛑 𝐭 + 𝟐𝟎 𝛑 𝐱 +𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝟒𝟎 𝛑 𝐭 + 𝟐𝟎 𝛑 𝐱 −𝛑 𝟐) (𝐒𝐈)
𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝟎, 𝟏𝟎 𝐬𝐞𝐧 (𝟒𝟎 𝛑 𝐭 + 𝟐𝟎 𝛑 𝐱) (𝐒𝐈)
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Para determinar la velocidad de un punto de la cuerda situado a 1 m del foco en el instante t = 3 s habrá que derivar la función de onda (elegiremos la expresión y(x, t) = 0,10 sen (40 π t + 20 π x) (SI)) y posteriormente sustituir los valores de la posición y el tiempo:
vP(x, t) =
dy(x, t) dt =
d
dt[0,10 sen (40 π t + 20 π x)] = 0,10 · [cos (40 π t + 20 π x)] · 40 π (SI)
vP(x, t) = 4,0 π · sen (40 π t + 20 π x) (SI)
vP(x = 1 m, t = 3 s) = 4,0 π · sen (40 π · 3 + 20 π · 1) = 4,0 π m · s−1= 12,6 m · s−1
Luego la velocidad solicitada es 𝟒, 𝟎 𝛑 𝐦 · 𝐬−𝟏 (𝟏𝟐, 𝟔 𝐦 · 𝐬−𝟏).
4.
a) Explica en qué consiste el efecto Doppler. ¿Cómo sería la frecuencia del sonido de la sirena de un coche de bomberos cuando se acerca a nosotros? ¿Y cuando se aleja? Escribe una expresión en la que te basas para los razonamientos anteriores. (CE 3.10)El efecto Doppler en el sonido es un fenómeno que se produce como consecuencia del movimiento relativo de la fuente sonora y el observador por el que cambia la frecuencia que se percibe de un sonido. Explica el cambio, de más agudo a más grave, en el pitido de un tren, el sonido del claxon de un coche o la sirena del coche de bomberos que se acerca, pasa a nuestro lado y luego se aleja. Para demostrar este cambio podemos hacer uso de la expresión matemática del efecto Doppler para el sonido, f′=vS−vO
vS−vE f, donde f
es la frecuencia emitida, f’ es la frecuencia percibida, vO es la velocidad del observador, vE es la velocidad del emisor y vS es la
velocidad del sonido.
En este caso el emisor, coche de bomberos, está en movimiento y el observador en reposo, vO = 0.
Por tanto, la frecuencia que percibimos es mayor, sonido más agudo, que la que se emite (f’ > f, T’ < T, ’ < ) si se acerca el emisor:
vE > 0 → vS – vE < vS vS
vS− vE> 1
Por el contrario, la frecuencia será menor, sonido más grave, (f’ < f, T’ > T, ’ > ) si el emisor se aleja del observador:
vE< 0 → vS – vE> vS
vS vS− vE
< 1
b) Si la ecuación de la onda que se propaga por la cuerda es:
y(x, t) = 0,02 sen(100π t − 40π x) (SI)
i) Calcula la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación. ii) Determina las ecuaciones de la velocidad de vibración y de la aceleración de vibración. (CE 3.3 – 3.4)
i) Estrategia de resolución. Las magnitudes solicitadas (la longitud de onda, el periodo y la velocidad de propagación) las obtendremos de las magnitudes que se encuentran en la fase del movimiento ondulatorio:
- frecuencia angular, ω = 100π rad · s−1, y - número de onda, k = 40π m−1.
De este modo:
𝛌 =𝟐𝛑 𝐤 =
𝟐𝛑
𝟒𝟎𝛑 𝐦−𝟏= 𝟎, 𝟎𝟓 𝐦
𝐓 =𝟐𝛑 𝛚 =
𝟐𝛑
𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏= 𝟎, 𝟎𝟐 𝐬
𝐯 =𝛚 𝐤 =
𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐫𝐚𝐝 · 𝐬−𝟏
𝟒𝟎𝛑 𝐦−𝟏 = 𝟐, 𝟓 𝐦 · 𝐬−𝟏
ii) Para determinar las ecuaciones de la velocidad de vibración y de la aceleración de vibración debemos derivar la ecuación de la onda una primera vez, velocidad, y una segunda vez, aceleración:
vP(x, t) =
dy(x, t) dt =
d
dt[0,02 sen(100π t − 40π x)] = 0,04[cos(100π t − 40π x)] · 100π (SI)
𝐯𝐏(𝐱, 𝐭) = 𝟐 𝛑 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐭 − 𝟒𝟎𝛑 𝐱) (𝐒𝐈)
aP(x, t) =
dvP(x, t) dt =
d
dt[2 π cos(100π t − 40π x)] = 2 π[−sen(100π t − 40π x)] · 100π (SI)
