Conservación de la Cantidad de Movimiento

COLISIONES

OBJETIVOS

 Estudiar las características del choque bidimensional entre dos partículas

 Analizar la conservación de la energía total.

FUNDAMENTO TEORICO

El producto de la masa de una partícula por su velocidad se denomina “Cantidad de Movimiento lineal”. La cantidad de movimiento lineal es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad y está dada por:

 

P  

Para un sistema de partículas, la cantidad de movimiento total es igual a la suma vectorial de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas.

Conservación de la Cantidad de Movimiento

Cuando sobre el sistema no actúan fuerzas externas o la resultante de las fuerzas externas (o fuerza neta) es nula, la Cantidad de Movimiento total del sistema permanece constante, tanto en magnitud como en dirección y sentido.

Por la segunda ley de Newton:

dt v d m a m F_neta

 







A velocidades ordinarias, es decir, a velocidades mucho menores que la de la luz (tal es el caso de las velocidades que manejamos en la mecánica newtoniana), la masa es constante, por lo que podemos escribir:

dt ) v d(m F_neta

 



pero mv es la cantidad de movimiento p, por lo cual, la anterior ecuación es:

dt p d F_neta

 

 (2)

La (2) expresa la Segunda Ley de Newton en forma más general.

Si sobre el sistema no actúan fuerzas externas o si la resultante (o fuerza neta) actuante sobre

0 dt

p d

 

es decir que la derivada de la cantidad de movimiento prespecto del tiempo es nula, lo cual significa que pno varía en el tiempo, esto es:

cte p (3)

La ecuación (3) expresa la conservación de la cantidad de movimiento enunciada en el primer párrafo de esta sección.

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento lineal puede expresarse también como:

f i p

p 

 _

(4)

ecuación que expresa que la cantidad de movimiento inicial de un sistema de partículas es igual ala cantidad de movimiento final cuando sobre el mismo no actúan fuerzas externas o bien cuando la resultante de las fuerzas externas es nula.

Es importante señalar que la ecuación (4) es una ecuación vectorial, razón por la cual se desglosa en dos ecuaciones para un sistema de partículas que se mueve en el plano:

fy iy

fx ix

p p

p p

 

 

 

(5)

Colisiones o choques

Una colisión o choque es la interacción de dos partículas en un tiempo extremadamente corto, durante el cual actúan fuerzas impulsivas de gran magnitud. Desafortunadamente es muy difícil medir estas fuerzas, de manera que usualmente sólo se observan sus efectos y se miden los cambios de velocidad que experimentan las partículas después de la colisión.

A los fines de simplificar el estudio de estas interacciones se hace una clasificación de las colisiones en tres tipos, los cuales son:

a) Choque perfectamente elástico

Características :

- Se conserva la cantidad de movimiento

- Se conserva la energía cinética

- Coeficiente de restitución igual a la unidad (e =1)

- Velocidad común después del choque (los cuerpos permanecen unidos después de la colisión)

- Coeficiente de restitución igual a cero (e = 0)

c) Choque inelástico

Características

- Se conserva la cantidad de movimiento. - No se conserva la energía cinética

- Coeficiente de restitución entre cero y la unidad (0< e <1)

Se denomina choque unidimensional al que se lleva acabo en una sola dirección, en este tipo de choque las partículas colisionan frontalmente. Antes y después del choque se mueven en una sola dirección, más precisamente sobre la línea de impacto (ver figura 1a). En este caso, el coeficiente de restitución se calcula sobre la línea de impacto.

Se llama choque bidimensional al que tiene lugar en el plano. En este caso, las partículas no chocan frontalmente, por lo cual se mueven en el plano. Es necesario notar que si bien las partículas, inicialmente pueden estar moviéndose sobre la misma línea, al no chocar frontalmente, después de la colisión se moverán en el plano (ver figura 1b). En este caso, el coeficiente de restitución también se debe calcular sobre la línea de impacto.

(a) (b)

Figura 1: a) choque unidimensional, b)choque bidimensional

La línea de impacto es la línea que une los centros de masas de las partículas durante la colisión.

Supongamos que son conocidas las masas m1 y m2 y las velocidades u₁



y u₂de ambas partículas antes del choque, lo que se desea conocer son las velocidades v₁ y v₂ que adquieren las partículas después de chocar.

Si el choque bidimensional es perfectamente elástico (Figura 2) se conservará la energía cinética y la cantidad de movimiento lineal. Aplicando el principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal se tiene:

p_i p_f

p_i: cantidad de movimiento inicial (antes del choque) p_f: cantidad de movimiento final (después del choque)

En el eje "x": m1 * u1 = m1 * v1x+ m2 * v2x (6)

En el eje "y": 0 = m1 * v1y – m2 * v2y (7)

Figura 2

Las velocidades finales después del choque serán:

) 9 ( v

v v

(8) v

v v

2 y 2 2

x 2 2

2 1y 2 1x 1

 

 

Como se conserva la energía cinética:

Ki = Kf (10)

Ki: energía cinética inicial (antes del choque)

Kf: energía cinética final (después del choque)

2 2 2 2

1 1 2

1

1 m v

2 1 v m 2 1 u m 2

1 _{ }

Si el choque bidimensional es inelástico, se cumplen las ecuaciones (6), (7), es decir, se cumple

la conservación de la cantidad de movimiento, pero no se conserva la energía cinética, es decir se tiene:

Ki = Kf + E

 

v m 2 1 v m 2 1 u m 2

1 2

2 2 2

1 1 2

1

1   

Donde E es la energía mecánica transformada en otras formas de energía como calor, luz, sonido, etc. Entonces se puede aseverar que, obviamente, la energía total del sistema se conserva y no así su energía cinética.

Coeficiente de restitución

Para un choque frontal ó unidimensional el coeficiente de restitución está dado por:





_{ }

13 )

u u (

v v e

1 2

1 2

  

Si la colisión es bidimensional como el caso del experimento, para calcular el coeficiente de restitución se deben “proyectar” todas las velocidades sobre la línea de impacto, dirección sobre la cual se produce el choque, obteniéndose:

2 1

2 1 1 2

sec v

) cos(

v v e

    

 (14)

PROCEDIMIENTO

a) Determinar las masas de las esferas en la balanza; la esfera incidente (1) será la de mayor masa y la esfera (2), de menor tamaño, será la esfera blanco.

b) Fijar el disparador de proyectiles al borde de la mesa (Figura 2) de modo de producir un c) choque bidimensional. Practicar con las esferas.

Figura 3 Figura 4

e) Disparar la esfera incidente (1) obtener cuatro impactos sobre el papel. (Figura 4). f) Trazar el eje "x" uniendo la región donde se obtuvieron mayor cantidad de puntos y el

punto "0". Perpendicular al eje "x" trazar el eje "y".

g) Medir los alcances "S" y la altura "H", esta última, desde el centro de masa de la esfera hasta el suelo.

h) Colocar la esfera (2) sobre el tornillo de modo que el choque sea oblicuo o bidimensional, introducir la esfera (1) dentro del disparador, tratar que ambos centros de masas se encuentren a la misma altura.

i) Disparar la esfera (1) para producir el choque.

Figura 5

j) Medir las magnitud de las componentes “Sx” y "Sy" de los alcances recorridos por ambas

k) esferas después de chocar. (Figura 4).

l) Repetir el procedimiento de los incisos h) hasta i) cinco veces.

ANALISIS DE DATOS

en el eje horizontal: Su₁t (16)

 

 

H 2 g S u : 16 y ) 15 (

Combinando ₁ 

u2 = 0 (Esfera blanco en reposo)

Determinar el valor de la velocidad antes del choque "u1" con los valores promedios.

b) Por propagación de errores determinar u1.

c) Con los valores promedios S_1xy S determinar las componentes de las velocidades _1y finales de la siguiente manera:

 

 

d) Determinar las velocidades finales después del choque:

2 y 2 2 x 2 2 2 y 1 2 x 1 1 v v v v v v    

que son las expresiones (8) y (9) determinadas a partir de la conservación de la cantidad de movimiento.

e) Por propagación de errores determinar: v₁ v₁v₁ v₂ v₂ v₂

f) Determinar la cantidad de movimiento inicial y final en cada eje y verificar su conservación. ¿En que porcentaje difieren?. Comentar al respecto.

g) ¿Se conserva la energía cinética?.¿ Se conserva la energía total?. Efectuar los cálculos necesarios para contestar las interrogantes. Comentar al respecto.

h) Calcular el coeficiente de restitución para el choque bidimensional y determinar el tipo de choque.

CUESTIONARIO

1. El péndulo balístico es un instrumento que se utiliza para medir velocidades de proyectiles como ser balas, por ejemplo. Este péndulo consiste en una masa "M" de algún material

blando como madera o plomo sobre el que se dispara el proyectil de masa "m". Debido al impacto el péndulo oscila y se eleva una altura "H". Determinar la velocidad del proyectil.

2. Si en el experimento se toma en cuenta la fuerza de rozamiento, ¿se conserva la cantidad de movimiento?. Justifique.

3. Durante la colisión del experimento, calcular el porcentaje de energía que se transforma en otro tipo de energía.

Alumno: ... Nota examen previo: ...

Carrera:... Fecha de realización: ...

Grupo:... Firma Docente: ...

COLISIONES

Masa de la esfera incidente: m1 = ...

Masa de la esfera blanco: m2 = ...

Altura de caída: H =...

Lanzamientos de la esfera incidente (m1):

N 1 2 3 4 5 Promedio

S (m)

Colisión entre m1 y m2:

N S1x(m) S1y(m) S2x(m) S2y(m)

1

2

3

4

5

6