RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

R

ESOLUCIÓN

D

E

E

CUACIONES

INTRODUCCIÓN

Uno de los problemas más frecuentes en el trabajo científico y técnico es hallar raíces de ecuaciones de la forma

donde está dada explícitamente (por ejemplo, un polinomio en x).

En algunos casos es posible obtener las raíces exactas de la ecuación (una ecuación de 2º grado, una bicuadrada,...), pero en la mayoría esto resulta imposible. Además, incluso en casos resolubles no nos va a interesar tanto la respuesta "exacta" como la PRECISIÓN con la que podamos calcular las raíces. Por ejemplo: supongamos que tenemos que construir una barra cuya longitud l verifique la ecuación ⟹ . Luego, la barra habrá de medir . Es claro que esta respuesta no puede usarse para fines prácticos por ser un número irracional (y por lo tanto con infinitos decimales). A la hora de trabajar con representamos este número en el sistema decimal de cálculo tomando el número de decimales que nuestra precisión exija. Además, la mayoría de las veces también los coeficientes han sido obtenidos a partir de medidas experimentales, luego sujetos a error.

Luego, nos interesa encontrar métodos para calcular las raíces de una ecuación con el grado necesario de precisión.

Definición: Sea una función. Llamamos ECUACIÓN a cualquier expresión del tipo .

Si es una función polinómica, a le denominamos

ECUACIÓNALGEBRAICA O POLINÓMICA. En cualquier otro caso, se

denomina ECUACIÓNTRASCENDENTE.

Llamamos RAÍZ de la ecuación o CERO de la función a cualquier número r que la verifique, es decir, que cumpla que

.

Las raíces de una función son los puntos donde la gráfica de ésta corta al eje de abscisas.

La función de la gráfica tiene tres raíces: r1, r2 y r3

En principio una raíz también puede ser un número complejo; nosotros sólo estamos interesados en la búsqueda de las raíces reales de una ecuación.

Pasos para la resolución de una ecuación

En general, la búsqueda de las raíces reales de un polinomio va a constar de tres pasos:

 ACOTACIÓN

 SEPARACIÓN

 APROXIMACIÓN

Acotar consiste en encontrar dos números reales, a y b, de manera que tengamos

garantizado que fuera del intervalo [a, b] no se encuentra ninguna raíz real de la ecuación.

y

r3

r2

r1

Separar consiste en dividir el intervalo [a, b] en otros más estrechos de forma que en cada uno de ellos o haya una única raíz o no haya ninguna.

Y, finalmente podemos pasar a aproximar cada una de las raíces con tanta precisión como deseemos.

Vamos a dividir nuestro estudio en ecuaciones algebraicas y trascendentes ya que la forma de trabajar con ellas es, a veces, bastante diferente, aunque encontraremos métodos comunes para ambos tipos de ecuaciones.

ECUACIONES ALGEBRAICAS

Propiedades generales de las raíces de una ecuación

algebraica.

Algunos de los resultados que veremos en este apartado son válidos para cualquier tipo de ecuaciones algebraicas, ya tengan los coeficientes reales o complejos. Como nuestro estudio de resolución de ecuaciones se va a limitar a polinomios con coeficientes reales, siempre supondremos que los polinomios con los que trabajamos son polinomios con este tipo de coeficientes; es decir, salvo que se especifique otra cosa, en adelante será un polinomio general de grado n con coeficientes reales:

en donde los coeficientes son todos números reales.

Lema: Sea r un número complejo. Entonces:

⇕

P(x) es divisible por el factor (x r), es decir el polinomio P se puede escribir como en donde es un polinomio un grado menor que P(x).

Demostración: Dividiendo el polinomio P(x) entre (x r) obtenemos:

P(x)= (x r) Q(x) +R(x)

Como el grado del divisor siempre es estrictamente mayor que el del resto se tiene que 1=grado(x r)gradoR(x) y, por lo tanto, ha de ser gradoR(x) =0, es decir, R(x) =R

es una constante. La descomposición del polinomio P queda como:

P(x)= (x r) Q(x) +R

Entonces:

r es raíz de P(x)  P(r) =0  (r r) Q(r) +R=0  R=0   P(x) = (x r) Q(x)  P(x) es divisible por (x r).

Teorema Fundamental del Álgebra (T.F.A.)

Toda ecuación algebraica tiene al menos una raíz (1)_.

Consecuencia inmediata de los dos resultados anteriores es la factorización de un polinomio en función de sus raíces, descomposición que nos es de gran utilidad y que, desgraciadamente, no es posible encontrar en otro tipo de ecuaciones.

Así pues, sea P(x) un polinomio de grado n. Por el T.F.A., existe raíz de P(x) tal que: con

Si , aplicando el T.F.A. a tenemos que existe raíz de tal que:

con y, en consecuencia,

Actuando así sucesivamente llegaremos a que

donde , es decir, , una constante, y por lo tanto:

En definitiva, tenemos que siP(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales entonces P(x) tiene exactamente n raíces. Las n raíces pueden ser tanto imaginarias como reales. Esta conclusión también es válida cuando los coeficientes del polinomio son números complejos.

Ejercicio 1: Encontrar la factorización del polinomio:

¿Qué tipo de coeficientes tienen los factores de la descomposición?

Ejercicio 2: Encontrar la factorización del polinomio:

¿Qué tipo de coeficientes tienen los factores de la descomposición?

Otro hecho importante a tener en cuenta es el siguiente:

Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales.

En consecuencia, el número de raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales es siempre par.

Ejercicio 3: Sea P(x) un polinomio de grado 5 con coeficientes reales. ¿Cuántas raíces reales y cuántas complejas puede tener P? Da una lista con todos los casos posibles. ¿Y si el polinomio fuera de grado 6?

Volvamos a la factorización: Las n raíces encontradas no tienen por qué ser todas distintas. Agrupando los factores que corresponden a la misma raíz, la factorización queda como:

p

m p m

m _{x r x r}

r x k x

P( ) (  ) 1(  ) 2...(  ) 2

1

en donde , , … , son todos distintos y .

Definición: Al número m_i se le denomina MULTIPLICIDAD de la raíz r_i. Si m_i=1

se dice que r_i es una raíz SIMPLE. Si m_i2, a r_i se le denomina raíz

MÚLTIPLE.

Ejercicio 4: (a) Sea r una raíz de multiplicidad 5 del polinomio . Entonces, el polinomio se puede escribir como en donde . Además, el polinomio Q no se anula en r, es decir, .

Demuestra que r también es raíz del polinomio . ¿Cuál es su orden de multiplicad?

(b) Si r una raíz simple del polinomio , el polinomio se puede escribir como con . Además, el polinomio Q no se anula en r, es decir, .

Se puede demostrar que:

Si r es raíz de multiplicidad m de P(x) ⇓

r es raíz de multiplicidad m 1 de P’(x) ⇓

r es raíz de multiplicidad m 2 de

⇓

...

⇓

r es raíz de multiplicidad 1 de

⇓

r no es raíz de

Las condiciones anteriores nos ayudarán a esbozar la gráfica de un polinomio en torno a sus raíces según cuál sea la multiplicidad de éstas.

Ejercicio 5: (a) Si r es una raíz de multiplicidad 2 del polinomio , ¿qué puedes decir de la gráfica del polinomio P alrededor de ?

(b) Si r es una raíz de multiplicidad 3 del polinomio , ¿qué puedes decir de la gráfica del polinomio P alrededor de ?

(c) Demuestra que el polinomio tiene una raíz simple en . ¿Tiene un punto de inflexión en dicho valor?

(d) Demuestra que el polinomio tiene una raíz simple en . ¿Tiene un punto de inflexión en dicho valor?

(e) Sea r una raíz simple del polinomio . ¿Puede tener P un extremo relativo en ?

Significado geométrico de la multiplicidad de una raíz

Raíces de multiplicidad par Raíces de multiplicidad impar

 El polinomio tiene tangente horizontal en r  El polinomio presenta un extremo relativo en r  El polinomio no cambia de signo al pasar por r

 El polinomio tiene tangente horizontal en r  El polinomio presenta un punto de inflexión en r  El polinomio cambia de signo al pasar por r

Raíces simples

 El polinomio no tiene tangente horizontal en r  El polinomio cambia de signo al pasar por r  El polinomio puede presentar o no un punto de

inflexión en r

Algoritmo de Euclides

Algunos de los métodos de resolución de ecuaciones que veremos más adelante necesitan trabajar obligatoriamente con polinomios que tengan únicamente raíces simples. Por otra parte, raíces múltiples de un polinomio elevan el grado del polinomio, lo cual puede dificultar la búsqueda de las raíces. Podríamos preguntarnos:

Dado un polinomio, ¿cómo podemos encontrar otro que tenga las mismas raíces pero todas simples?

El algoritmo de Euclides, que vamos a desarrollar en este apartado, contesta a la anterior pregunta.

x

x

x _x

Una consecuencia de la caracterización de las raíces múltiples es la siguiente: Puesto que las raíces múltiples de P(x) son raíces de un grado menos de multiplicidad de P'(x), se tiene que:

Las raíces comunes de un polinomio P(x) y de su derivada P'(x) son las raíces múltiples de P(x).

Así, podemos descomponer P(x) como:

) ( ) ( ) ( ) ( )

(x x r x r x r Q x

P mp

p m

m

1 2

1 1  2...  

 

en donde m_i2. En el polinomio se han agrupado todas las raíces simples de P x( ). Entonces, el polinomio P'(x) admitirá una factorización:

) ( ) ( ) ( ) ( )

(x x r x r x r Q x

P mp

p m m 2 1 1 2 1 1 ...

'   1   2     

Los polinomios y no pueden tener raíces en común, pues de tenerlas serían raíces simples de P x( ) y éstas, según hemos visto, no pueden ser raíces de la derivada. Llegamos así a que el máximo común divisor de los polinomios (2) _{P(x) y P'(x) es}





2 1 1 ... ' , . d . c .

m   1   2    mp

p m

m _{x r x r}

r x x P x

P( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Luego si definimos el polinomio Q(x) como





) ( )

( x r x r x r Q x

x P x P x P x

Q 1 2 ... p 1

' , . d . c .

m        



se tiene queQ(x) es un polinomio con las mismas raíces que P(x) pero todas simples.

Ejercicio 6: (a) Dado el polinomio

2 Se define el máximo común divisor de dos polinomios como el polinomio de mayor grado que divide a ambos polinomios a la vez. Es, por lo tanto, el polinomio formado por las raíces comunes a ambos con el menor grado de multiplicidad.

encontrar el polinomio Q(x) que tiene las mismas raíces que P pero todas simples.

(b) Dados los polinomios

hallar el m.c.d.





.

Conociendo las raíces de los polinomios, encontrar el m.c.d. es muy simple. Veamos ahora cómo hacerlo cuando no conocemos estas raíces.

Algoritmo de Euclides

_{: m.c.d. de dos polinomios}

Sean y dos polinomios con . Formemos la siguiente sucesión de polinomios:

 Dividiendo entre :

en donde

 Dividiendo entre :

en donde Y, en general, dividiendo entre :

en donde

Como la sucesión de los grados de los restos es decreciente se tiene que llegar a una división en la que , es decir, es una constante.

Entonces, se verifica que:

 Si ⟹ y no tienen raíces en común

 Si ⟹

Ejemplo 1: Calcula el m.c.d. de los polinomios:

P x

x

x

x

x

x

Q x

x

x

x

( )

( )





















5 4 3 2

4 2

9

14

8

10

15

6

Dividiendo ambos polinomios:

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

5 4 3 2 4 2

5 3 2

4 3 2

4 2

3 2

9 14 8 10 15 6

10 15 6 1

14 20 8

10 15 6

4 5 2

       

    

   

    

  

Ahora dividimos el divisor entre el resto obtenido:

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

4 2 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

10 15 6 4 5 2

4 5 2 4

4 15 17 6

4 16 20 8

3 2                    

Tomamos el nuevo el divisor y le dividimos entre el último resto obtenido:

x x x x x

x x x x

x x

x x

3 2 2

3 2

2 2

4 5 2 3 2

3 2 1

3 2 3 2 0              





d . c .

m _{P(x) Q(x) x}2_{ x}

Nota: Al final de estos apuntes se puede encontrar un apéndice con comandos útiles para la división de polinomios con wxMaxima

Ejercicio 7: (a) Calcula el máximo común divisor de los polinomios del ejercicio anterior empleando wxMaxima.

(b) Dado el polinomio

encuentra, utilizando wxMaxima, el polinomio Q(x) que tiene las mismas raíces que pero todas simples.

Según hemos dicho, el algoritmo de Euclides se puede emplear también para calcular el máximo común divisor de dos números enteros. Se procedería a realizar divisiones sucesivas hasta alcanzar una en la que el resto sea igual a 0. El máximo común divisor de ambos números es el último resto no nulo.

Ejemplo 2: Calcula el m.c.d. de 130 266 y 42 930.

Dividimos 130 266 entre 42 930:

130 266=42 930×3+1476

Continuamos realizando divisiones sucesivas (en las que el dividendo es el divisor de la división anterior y el divisor el resto de la anterior división) hasta llegar a una división en la que el resto sea igual a 0:

42 930=1476×29+126 1 476=126×11+90 126=90×1+36 90=36×2+18 36=18×2+0

m.c.d.(130 266, 42 930) =18

(Comprobación: 130 266=2×32×7 237, 42 930=2×34×5×53)

Ejercicio 8: (a) Calcula el máximo común divisor de los números del ejercicio anterior empleando wxMaxima.

(b) Calcula el máximo común divisor de 771 309 y 702 260.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

En este apartado vamos a tratar de encontrar las raíces reales de polinomios con coeficientes reales.

Antes de comenzar con la búsqueda efectiva de los ceros de un polinomio, hagamos algunas consideraciones que pueden ser útiles a la hora de buscar las raíces de una ecuación algebraica.

Definición: Se dice que dos ecuaciones algebraicas son EQUIVALENTES cuando

tienen las mismas raíces y con los mismos grados de multiplicidad.

Se verifica que dos ecuaciones algebraicas son equivalentes si y sólo si sus respectivos coeficientes son proporcionales

Por ejemplo, las ecuaciones

Sin embargo, a pesar de que las ecuaciones sean equivalentes, “los polinomios que las producen” no tienen por qué ser iguales. En nuestro caso estos polinomios serían

Ejercicio 9: Dibuja y compara las gráficas de los polinomios , y ¿Qué

significa gráficamente que las ecuaciones

sean equivalentes?

Dado el polinomio P(x), definimos el nuevo polinomio Q(x) como: Q(x) =P( x)

¿Qué relación hay entre las raíces de ambos polinomios? Es muy fácil demostrar que: Si r es una raíz de Q(x) ⟹ r es raíz de P(x)

Si s es una raíz de P(x) ⟹ s es raíz de Q(x)

Por lo tanto, dada una raíz positiva r de Q(x), r es raíz negativa de P(x) y viceversa. Este hecho lo utilizaremos en algunas ocasiones.

Veamos otra regla que nos puede ayudar a encontrar la repartición de las raíces.

Definición: Dada una sucesión de números reales , , … , diremos que dos

términos consecutivos y presentan una VARIACIÓN si tienen signos opuestos.

Dada una sucesión de números reales, es fácil calcular el número de variaciones que presenta. Por ejemplo, la sucesión

Regla de Descartes.

Sea

un polinomio con coeficientes reales. Supongamos que la sucesión de los coeficientes de dicho polinomio presenta V variaciones. Entonces, el número de raíces reales positivas de P(x)(contando sus multiplicidades) es menor o igual que V y además de la misma paridad(4)_.

Para dar una cota para el número de raíces reales negativas de hay que aplicar el criterio a P( x).

 Por ejemplo:Sea _P(x)2_x5_4_x3_3_x2_x4

La sucesión de los coeficientes {2, 4, 3, 1, −4} tiene tres variaciones, luego P(x) tendrá 3 ó 1 raíces reales positivas.

Si consideramos el polinomio _{P(x)}2_x5_4_x3_3_x2_x4, _{su sucesión de} coeficientes { 2, 4, 3, 1, 4} presenta dos variaciones. Por lo tanto, P( x) tiene o bien 2 o bien 0 raíces reales positivas, o lo que es lo mismo, P(x) tiene 2 ó 0 raíces negativas.

 Ejemplo:Consideremos el polinomio _P(x)x7_5_x4.

La sucesión de coeficientes de P(x), {1, 5, 4}, tiene una variación, luego, el polinomio tiene exactamente una raíz real positiva.

La sucesión de coeficientes del polinomio _{P(x)x}7_5_x4, _{es { 1, 5, 4} y} no presenta ninguna variación de signo. Por consiguiente el polinomio P(x) no tiene ninguna raíz real negativa.

En definitiva, el polinomio P(x) tiene una única raíz real r que es positiva; las otras seis son complejas conjugadas dos a dos. Lo único que falta por hacer para conocer perfectamente las raíces reales de la ecuación _x7_5_x4_0 _{es dar una} aproximación al valor de su única raíz real r.

Dada la sencillez de la regla de Descartes, aunque a veces no sea muy informativa, puede ser útil aplicarla.

Pasemos a desarrollar cada uno de los pasos.

Acotación de las raíces reales de una ecuación algebraica

Lema: Sea

con (5).

Sea Ks0 es un número tal que al aplicar Ruffini todos los

coeficientes obtenidos en la división son mayores o iguales a cero.

Entonces, Ks es una cota superior para las raíces reales de la ecuación

P(x) =0, es decir, si r es una raíz real de se puede asegurar que

.

Se pueden encontrar infinitos valores de Ksque verifiquen las hipótesis del lema, aunque intentaremos que sea lo menor posible.

Para calcular una cota inferior de las raíces basta con aplicar el criterio a P( x), pues si k es una cota superior para las raíces de P( x), k será cota inferior para las raíces de P(x).

Ejemplo 3: Calcular unas cotas para las raíces reales del polinomio P(x)x46x318x7

Tomando Ks=6 (Ks=5 no sirve)

1 6 0 18 7

6 6 0 0 108

1 0 0 18 115

5 En el caso de que sea a₀0 se multiplica al polinomio por ( 1) obteniéndose un polinomio equivalente al que se puede aplicar el lema.

Entonces, si r es una raíz real de P(x) se tiene que r6 (6)_.

Una cota superior para las raíces de _P(x)x4_6_x3_18_x7_es:

1 6 0 18 7

2 2 16 32 28

1 8 16 14 35

Por lo tanto, k=2 es cota superior para las raíces de P( x), luego 2 es cota inferior para las raíces del polinomio P(x).

Hemos demostrado que si r es una raíz real de la ecuación P(x) =0, entonces r∈ ( 2, 6).

Ejemplo 4: Calcular unas cotas para las raíces reales del polinomio _P(x)5_x3_6_x2_8_x5

Tomando Ks=2 (Ks=1 no sirve)

5 6 8 5

2 10 8 0

5 4 0 5

Entonces, si r es raíz de P(x)  r2 .

Pasemos ahora a calcular una cota superior para las raíces reales positivas del polinomio 5

8 6

5 3_ 2_{ }

 

x x x x

P( ) Como el coeficiente de mayor grado es negativo, sea cual sea el número con el que probemos al aplicar Ruffini, el primer coeficiente de la división siempre va a ser negativo, lo que en principio nos imposibilita el cálculo de la cota inferior. Esto tiene fácil solución sin más que cambiar de signo a todos los coeficientes de P( x) ya que el polinomio obtenido es equivalente a P( x) y por lo tanto tiene exactamente el mismo conjunto de raíces. Así pues,

) )(

( )

(_{x }5_x3_6_x2_8_x5_{ }1 5_x3_6_x2_8_x5

P

Ahora,

6 En principio sería r 6, pero, puesto que 6 no es raíz de P(x), se cumple que la desigualdad es estricta, es decir, r<6.

Todos son 0

5 6 8 5

2 10 32 48

5 16 24 43

En consecuencia, k=2 es cota superior para las raíces reales de P( x), luego 2 es cota inferior para las raíces reales del polinomio P(x).

Por lo tanto, si r es una raíz real de la ecuación P(x) =0 entonces r∈ ( 2, 2).

Propiedades particulares de raíces racionales de las

ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros

En este apartado sólo consideraremos polinomios con coeficientes enteros. En particular, vamos a ver cómo se pueden encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con este tipo de coeficientes.

Sea

en donde ∈ para todo i.

Teorema: Sea

un polinomio con coeficientes enteros (es decir, ∈ para todo i).

Sea aaaaaa una raíz racional de la ecuación entera P(x) =0

(suponemos que m.c.d.(p, q) =1). Entonces:

a0 es múltiplo de q an es múltiplo de p.

Demostración: Por ser

q p

r raíz de P(x) =0  _0      q p

P y, por lo tanto:

...

0 ₁

1 1

0 n n

n n a q p a q p a q p

a _

                     _ 

Reduciendo a común denominador el lado derecho de esta expresión obtenemos que:

Todos son 0

n n n n n

n _{a qp a q p a q}

p

a    

    1 1 1 1 0 ... 0 [1]

Despejando _{a p}n

0 en la última ecuación:





n n n n

n _{a qp a q p a q}

p

a     

  1 1 1 1 0 ...

y sacando factor común a q en el miembro de la derecha:





1 1

1

0 pnq a pn ...an qn pan qn

a

Como el polinomio tiene coeficientes enteros y tanto p como q son números enteros, los cuatro factores de la expresión anterior son números enteros. Además, como q divide al miembro de la izquierda ha de dividir también al término de la izquierda, es decir, a _{a p}n

0

.

Al ser

Despejando ahora a_nqn en la ecuación [1], obtenemos que:





q a n n n n n 1 1 1 1 0

0    ...   ⟹





1 2

1 1 0

0qnp a pn a qpn ...an qn a

Razonando de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene que a_n es múltiplo de p.

Consecuencia 1: Sea r una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros.

Entonces, el término independiente del polinomio tiene que ser múltiplo de r.

Consecuencia 2: Si el término de mayor grado a₀ de un polinomio P(x) con coeficientes enteros es igual a 1 ó a ( 1), todas las raíces racionales de P han de ser enteras.

Por lo tanto, si P(x) es un polinomio mónico y con coeficientes enteros, todas sus raíces racionales han de ser enteras. Además estas raíces se han de encontrar entre los divisores del término independiente del polinomio.

Ejemplo 5: Encontrar las raíces racionales del polinomio

Acotación de las raíces:

En primer lugar, acotemos las raíces del polinomio

1 7 2 61 105

7 7 0 14 525

1 0 2 75 420

El polinomio viene dado por . Así: 1 7 2 61 105

3 3 30 96 105

1 10 32 35 0

En este caso, nos encontramos con que 3 es raíz del polinomio y cota superior de las raíces de éste. Puesto que las raíces de y de son opuestas, tenemos que 3 será cota inferior de las raíces del polinomio y, también, raíz de éste. Luego:

 De existir, todas las raíces reales de se encuentran en el intervalo

 3 es raíz de

Aunque podríamos continuar trabajando con para buscar sus raíces racionales, puesto que hemos encontrado una raíz de éste, lo primeros que haremos será factorizar el polinomio en función de :

1 7 2 61 105

3 3 30 96 105

1 10 32 35 0

Por lo tanto, . Llamamos al polinomio

Todos son 0

Podemos continuar con la búsqueda de las raíces racionales trabajando con , pero es más cómodo proseguir con el polinomio . Evidentemente, toda raíz de también lo es raíz de ; el intervalo de acotación es válido para ambos polinomios (7) pero es mejor trabajar con puesto que es un polinomio de grado menor.

Búsqueda de las raíces racionales:

Según hemos visto, al ser un polinomio mónico y con coeficientes enteros, si admite alguna raíz racional r, obligatoriamente r ha de ser un número entero que pertenezca al intervalo de acotación . Además tiene que ser divisor del término independiente del polinomio o, lo que es lo mismo:

es múltiplo de r.

Los divisores de 35 son . Eliminando aquéllos que no pertenecen al intervalo , nos queda:

Veamos cuáles de estos números sí son raíces de y cuáles no. Sustituyendo cada punto en obtenemos:

x 1 1 5

12 78 0

El polinomio Q tiene una única raíz racional que es 5. Luego, el polinomio tiene dos raíces racionales:

Ejercicio 10:Termina de buscar las raíces del polinomio

del ejemplo anterior. Factorízalo en factores irreducibles con coeficientes reales.

Ejemplo 6: Encontrar las raíces racionales del polinomio

Acotación de las raíces:

En primer lugar, acotemos las raíces del polinomio

9 6 8 3 2

2 18 24 32 70

9 12 16 35 72

El polinomio viene dado por . Así:

9 6 8 3 2

1 9 15 7 4

9 15 7 4 6

Por lo tanto, de existir, todas las raíces reales de se encuentran en el intervalo .

Búsqueda de las raíces racionales:

Según hemos visto, al ser un polinomio con coeficientes enteros, si aaaaaa (en donde m.c.d.(p, q) =1)es una raíz racional de P(x), entonces:

es múltiplo de p

es múltiplo de q

Por lo tanto:

Posibles valores de p: Posibles valores de q:

Cruzando todos los posibles valores de p con los de q obtenemos todos los números racionales que admitir el polinomio como raíces, esto es:

De estos doce candidatos podemos eliminar aquéllos que no pertenezcan al intervalo de

Todos son 0

acotación . Así, como quedan:

Del conjunto de candidatos hemos eliminado tres elementos. Lo único que falta por hacer es comprobar cuáles de los números que han quedado sí son raíces de y cuáles no. Sustituyendo cada punto en obtenemos:

x 1

0 2

0

Por lo tanto, el polinomio tiene exactamente dos raíces racionales:

Ejercicio 11:Termina de buscar las raíces del polinomio

del ejemplo anterior. Factorízalo en factores irreducibles con coeficientes reales.

Ejercicio 12:Encuentra las raíces racionales de los polinomios:

Separación de las raíces reales de una ecuación algebraica

Vamos a estudiar tres métodos de separación: el método de Rolle, el método de Sturm y el método de Budan-Fourier. El primero es válido para cualquier tipo de ecuación, tanto algebraica como trascendente; lo único que se necesita para poder aplicarlo es conocer las raíces de la función derivada. Los dos últimos métodos sólo son aplicables a ecuaciones polinómicas.

Método de Rolle

Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y derivable con derivada continua en el intervalo (a,b). Sean las raíces que tenga la derivada en el intervalo (a,b). Llamemos y .

A la sucesión se le denomina sucesión de Rolle de la función f(x) en el intervalo [a, b].

Sean y dos elementos sucesivos de la sucesión de Rolle. Entonces,

 Si



 Si  en la función f(x) no tiene ninguna raíz (8)

Demostración:

Sean y dos elementos sucesivos de la sucesión de Rolle.

 La función f no puede tener ningún extremo relativo entre y (¿por qué?).  Al ser f una función continua en y sin extremos relativos en dicho

intervalos, f ha der ser estrictamente creciente o decreciente en el intervalo .

8 En el caso de que f( )i f(i1)0, al menos uno de los extremos del intervalo





f(x) = 0, no habiendo más raíces en el interior de dicho intervalo.

 Luego, de cortar al eje de abscisas en el intervalo , la gráfica de f puede hacerlo como mucho una vez. Es decir, la función f puede tener una o ninguna raíz en el intervalo .

Entonces:

 Si , las imágenes de los extremos del intervalo tienen distinto signo, luego la gráfica de f ha de cortar al eje de abscisas entre y . Según acabamos de ver, a lo sumo lo puede cortarlo una vez. Hemos demostrado, por lo tanto, que f tiene una única raíz en .

 Si , es claro que uno de los extremos del intervalo, o es raíz de f. Además, como la función es estrictamente o decreciente, ha de ser única.

 Si , las imágenes de los extremos del intervalo tienen el mismo signo.

Supongamos que la función f fuera estrictamente creciente entre y :

 Si y ⟹ al ser f estrictamente creciente, se cumple que para cualquier ∈ . Luego f es estrictamente positiva en y no tiene ninguna raíz entre y .

 Si y ⟹ al ser f estrictamente creciente, se cumple que para cualquier ∈ . Luego f es estrictamente negativa en y no tiene ninguna raíz entre y . De igual modo se demostraría si la función f fuera estrictamente decreciente entre

y .

⇒

⇒ f tiene una única raíz entre y

⇒

⇒ f tiene una única raíz entre y

⇒

⇒ f no tiene ninguna raíz entre y

f(i1)

f( )i

i

_i1

r x

y _f

i

(1)

f( )i

i i1 x

y f(i1)

f( )i

_i _i1 x

Nota 1: El criterio también es válido para intervalos abiertos (a,b). Lo único que hay que modificar es calcular y en vez de f(a)

y f(b).

Nota 2: Alguno o los dos extremos del intervalo pueden ser infinitos.

Nota 3: Para aplicar Rolle es muy importante trabajar siempre dentro de

intervalos en los que la función sea continua y derivable (salvo quizás en los extremos del intervalo).

Ejemplo 7: Separar las raíces reales del polinomio

Puesto que es un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo, luego no hay ningún problema para aplicar Rolle. Además, se comprueba que las raíces reales de

P(x) están en el intervalo ( 4, 3).

Busquemos las raíces de la derivada :

Así, la sucesión de Rolle de en el intervalo ( 4, 3).está formada por { 4, 2, 2, 3}. Calculando el valor del polinomio P en dichos puntos:

x 4 2 2 3

P(x) 574 258 2 133

Observamos que sólo hay cambio de signo al pasar de 4 a 2. Por lo tanto:

 P tiene una única raíz en el intervalo ( 4, 2)

 P no tiene ninguna raíz entre 2 y 3. Podemos concluir diciendo que las raíces de P(x) son:

r₁∈ ( 4, 2) única raíz real.

r₂, r₃, r₄ y r₅ complejas (conjugadas dos a dos).

Ejemplo 8: Separar las raíces reales del polinomio

Al ser un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo y se puede aplicar Rolle sin problemas. Se puede comprobar que, de existir, las raíces reales se hallan dentro del intervalo ( 2, 0).

La derivada del polinomio es . Luego: Es decir, no tiene raíces reales.

Luego, la sucesión de Rolle de en el intervalo ( 2, 0) está formada únicamente por los extremos del intervalo, es decir, la sucesión de Rolle es { 2, 0}. Valorando el polinomio en dichos puntos:

x 2 0

P(x) 9 5

Puesto que hay un único cambio de signo, P(x) tiene una única raíz real que se encuentra en el intervalo ( 2, 0).

Concluimos que las raíces de P(x) son:

r₁∈ ( 2, 0) única raíz real.

r₂, y r₃, complejas (conjugadas).

Método de Sturm

Queremos conocer el número de raíces reales que tiene la ecuación P(x) =0 en el intervalo (a,b).

 Llamamos f₁(x) = y f₂(x) = .

 Dividimos los polinomios sucesivamente hasta obtener un resto de grado 0:

f₁(x) =f₂(x)C₁(x) +R₁(x)

f₂(x) =f₃(x)C₂(x) +R₂(x)

y llamamos f₃(x R₁(x)

y llamamos f₄(x R₂(x)

……….………

f_k(x) =f_k+1(x)C_k(x) +R_k(x) y llamamos f_k+2(x R_k(x)

de manera que el grado de R_k(x) sea 0, es decir, continuamos dividiendo hasta que

el resto es una constante (9) _{A la sucesión de polinomios {f}

1(x), f2(x), … , f_k+2(x)}, se le denomina sucesión de Sturm.

Entonces, si queremos saber el número de raíces que tiene el polinomio P(x) en el intervalo (a,b), siendo P(a)P(b)0 , procederemos de la siguiente forma:

 Evaluamos la sucesión se Sturm en cada uno de los extremos del intervalo

x f₁(x) f₂(x) … f_k+2(x) nº de variaciones

a f₁(a) f₂(a) … f_k+2(a) v(a)

b f₁(b) f₂(b) … f_k+2(b) v(b)

y, se verifica que:

El número de raíces reales de P(x) en el intervalo (a,b) es igual a v(a) v(b).

Si lo que queremos es separar las raíces de la ecuación, tenemos que ir buscando pares de puntos intermedios del intervalo de acotación de manera que la diferencia de variaciones entre ellos sea de 1.

Ejemplo 9: Separar las raíces reales del polinomio

Unas cotas para las raíces reales del polinomio son 5 y 1. Además, las únicas posibles raíces racionales de P(x) (10) _{(enteros entre 5 y 1 que dividan a a}

n= 3) son { 1, 3}. Se comprueba que ninguno de los dos valores anula al polinomio; luego todas sus raíces o son irracionales o complejas.

Formemos la sucesión de polinomios de Sturm:

f x

( )



P x

( )



x



4

x



2

x



4

x



3

f

( )

x



P x

'( )



4

x



12

x



4

x

  

4

4

(

x



3

x

 

x

1

)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4 3 2 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

4

2

4

3

3

1

3

1

3

3

3

1

4

4

4











 































( 1 2 2

3 x R x   x  x   x x

f (11)

x x x x x

x x x x

x x

x x

x

3 2 2

3 2

2

2

3 1 1

4

4 2 1

4 4 4

2 3               

10 Aunque no es necesario, conviene buscar las raíces racionales en primer lugar, puesto que de haberlas podemos factorizar el polinomio y trabajar con otro de menor grado, lo cual nos puede ahorrar bastantes cálculos a la hora de aplicar el método de Sturm.

11 Lo que nos interesa del polinomio f₁(x) es el signo que toma para los distintos valores, no el módulo. Por lo tanto, le podemos multiplicar en cualquier momento por constantes positivas sin que el resultado se altere. Así, trabajamos con el polinomio

x33x2x1 en vez de con 4x312x24x4.

Es cómodo, sobre todo cuando se trabaja a mano, hacer lo mismo para los restos parciales de las divisiones, con el fin de no trabajar con números fraccionarios. Si multiplicamos por una constante positiva a un resto parcial, el resto final queda

multiplicado por esa misma constante, pero el signo del resto, que es lo que nos interesa, no se modifica (lo que sí se altera es el

f4( )x  R x2( ) (2x   3) ( 2x 3)

x x x

x x x

x x x x x 2 12) 2 2

1 2 3

2 2 2 2 1

2 3

2

2 2 4

2 7                (12) ( ) ( ) 3 

f x₅( ) R x₃( ) 7

Ese resto ya es constante (y distinto de 0), luego ya hemos terminado de formar la sucesión de Sturm que está formada por los polinomios:

f x x x x x

f x x x x

f x x x

f x x

f x 1

4 3 2

2 3 2 3 2 4 5

4 2 4 3

3 1 1 2 3 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                 

Para conocer el número total de raíces de P(x) valoramos la sucesión en x= 5 y en x=1.

x f₁(x) f₂(x) f₃(x) f₄(x) f₅(x) nº de variaciones

5 52 44 31 13 7 3

1 4 4 1 1 7 1

Luego,

 número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo ( 5, 1) = =[número de variaciones en 5] [número de variaciones en 1]= =3 1=2 raíces reales

Todavía hay que separar las 2 raíces que hay en el intervalo ( 5, 1); para ello evaluemos la sucesión, por ejemplo, en x=0. En este punto tenemos que:

x f₁(x) f₂(x) f₃(x) f₄(x) f₅(x) nº de variaciones

0 3 1 1 3 7 2

=[ número de variaciones en 5] [ número de variaciones en 0]= =3 2=1 raíz real.

 número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo (0, 1) = =[número de variaciones en 0]−[número de variaciones en 1]= =2−1=1 raíz real.

Ya tenemos separadas las raíces de P(x) que son:

r₁∈ ( 5, 0) (irracional)

r₂∈ (0, 1) (irracional)

r₃ y r₄ complejas conjugadas entre sí.

Método de Budan-Fourier

El método de Budan-Fourier también es un método de separación exclusivo de ecuaciones polinómicas. Es más cómodo de aplicar que el método de Sturm, pero no siempre consigue separar las raíces del polinomio.

Sea P(x) un polinomio de grado n y consideremos la sucesión de polinomios formada por P y sus n primeras derivadas:

{P(x), P'(x), P''(x), …, Pn 1)(x), Pn)(x)}.

Sean a<b dos números reales tales que P(a) P(b)0.

Calculemos el número de variaciones de signo de cada sucesión:

x P(x) P'(x) … _Pn 1)_{(x) P}n)_{(x) nº de variaciones}

a P(a) P'(a) … _Pn 1)_{(a) P}n)_{(a) v(a)}

b P(b) P'(b) … _Pn 1)_{(b) P}n)_{(b) v(b)}

Se verifica que:

v(a) v(b) y de la misma paridad.

El método de Budan-Fourier tiene la ventaja sobre el método de Sturm de necesitar una mucho menor complejidad aritmética ya que es mucho más cómodo formar la sucesión de las derivadas que la sucesión de polinomios de Sturm. Sin embargo es muy importante notar el hecho de que el método de Budan-Fourier no nos proporciona normalmente el número exacto de raíces reales que tiene un polinomio en el intervalo (a,b) sino exclusivamente una cota del número de raíces que tiene el polinomio en dicho intervalo. Por lo tanto, muchas veces el método e Budan-Fourier no resuelve completamente el problema de separación de las raíces de un polinomio. Únicamente si v(a) v(b) =1 podremos decir que en el intervalo (a,b) el polinomio tiene una única raíz, o bien si

v(a) v(b) =0 concluiremos que en el intervalo (a,b) el polinomio no tiene ninguna raíz.

Ejemplo 10: Separar las raíces reales del polinomio

utilizando el método de Budan-Fourier.

Se comprueba que las raíces reales del polinomio se encuentran entre 3 y 5 y que el polinomio no tiene ninguna raíz racional. La sucesión de polinomios de Budan-Fourier es:

P(x) =x4 2x3 9x2+10x 2

P'(x) =4x3 6x2 18x+10

P''(x) =12x2 12x 18

P3)(x) =24x 12

P4)(x) =24

Valoremos la sucesión en los extremos de intervalo de acotación:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

3 22 98 126 84 24 4

 v( 3) v(5) =4  en el intervalo ( 3, 5) el polinomio P(x) tiene 4, 2 ó 0 raíces reales.

Valoremos la sucesión en un punto intermedio, por ejemplo, en x=0:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

0 2 10 18 12 24 3

Ahora podemos decir que:

 v( 3) v(0) =1  en el intervalo ( 3, 0) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz.

 v(0) v(5) =3  en el intervalo (0, 5) el polinomio P(x) tiene 3ó 1 raíces.

Volviendo a valorar la sucesión en un punto intermedio del intervalo (0, 5), por ejemplo, en x=2:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

2 18 18 6 36 24 1

Nos encontramos con que:

 v(0) v(2) =2  en el intervalo (0, 2) el polinomio P(x) tiene 2 ó 0 raíces.  v(2) v(5) =1  en el intervalo (2, 5) el polinomio P(x) tiene exactamente

una raíz.

Tomando un punto intermedio del intervalo (0, 2), por ejemplo x=1:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

1 2 10 18 12 24 1

podemos decir que:

 v(0) v(1) =2  en el intervalo (0, 1) el polinomio P(x) tiene 2 ó 0 raíces.  v(1) v(2) =0  en el intervalo (1, 2) el polinomio P(x) no tiene ninguna raíz. Tomando de nuevo un punto intermedio del intervalo (0, 1), por ejemplo x=0,5:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

tenemos que:

 v(0) v(0,5) =1  en el intervalo (0, 0,5) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz.

 v(0,5) v(1) =0  en el intervalo (0,5, 1) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz.

Por lo tanto, según el método de Budan-Fourier podemos concluir que el polinomio P(x) tiene exactamente cuatro raíces reales en el intervalo ( 3, 5):

r₁∈ ( 3, 0)

r₂∈ (0, 0,5)

r₃∈ (0,5, 1)

r₄∈ (2, 5)

Ejemplo 11: Separar las raíces reales del polinomio

utilizando el método de Budan-Fourier.

Las raíces de este polinomio las hemos separado, en el ejemplo 9, utilizando el método de Sturm. Hagámoslo ahora empleando el método de Budan –Fourier. Sabemos que las raíces reales del polinomio se encuentran entre 5 y 1. La sucesión de polinomios de Budan-Fourier es:

P(x) =x4+4x3 2x2+4x 3

P'(x) =4x3+12x2 4x+4

P''(x) =12x2+24x 4

P3)(x) =24x+24

P4)(x) =24

Valoramos dicha sucesión en los extremos de intervalo de acotación:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

5 52 176 176 96 24 4

 v( 5) v(1) =4  en el intervalo ( 5, 1) el polinomio P(x) tiene 4, 2 ó 0 raíces reales.

Valoremos la sucesión en un punto intermedio, por ejemplo, en x=0:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

0 3 4 4 24 24 3

Ahora podemos decir que:

 v( 5) v(0) =1  en el intervalo ( 5, 0) el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz.

 v(0) v(1) =3  en el intervalo (0, 1) el polinomio P(x) tiene 3ó 1 raíces.

Volviendo a valorar la sucesión en un punto intermedio del intervalo (0, 1), por ejemplo en

x=0,5:

x P(x) P'(x) P''(x) _P3)_{(x) P}4)_{(x) nº de variaciones}

0,5 0,94 5,5 11 36 24 1

Nos encontramos con que:

 v(0) v(0.5) =2  en el intervalo (0, 0,5) el polinomio P(x) tiene 2 ó 0 raíces.  v(0,5) v(1) =1  en el intervalo (0,5, 1) el polinomio P(x) tiene

exactamente una raíz.

Por lo tanto, según el método de Budan-Fourier podemos concluir que el polinomio P(x) tiene exactamente una raíz en el intervalo ( 5, 0) y otra raíz en el intervalo (0,5, 1). Sin embargo, aunque sigamos tomando puntos intermedios, es incapaz de discriminar si en el intervalo (0, 0,5) el polinomio tiene dos raíces o ninguna.

Aproximación de las raíces reales

Los dos métodos que vamos a estudiar, el Método de Newton y el Método del Punto Fijo. Ambos son válidos para todo tipo de ecuaciones, ya sean algebraicas o trascendentes.

Método de Newton-Fourier o de las tangentes

Sea f(x) una función continua y dos veces derivable en el intervalo [a, b]. Supongamos que:

 f(x) tiene una única raíz r

∈

 f(a)





 f'(x) no cambia de signo en el intervalo [a, b]  f''(x) no cambia de signo en el intervalo [a, b]

Consideremos la función g(x) definida por:

Sea ₀ el extremo del intervalo [a,b] en el que se verifica que:

∈

Formemos la sucesión ₀, ₁, ₂, …, _k, _k+1, … donde _k+1=g( _k).

Entonces,

(12)

12 El hecho de que el límite de la sucesión sea r, nos permite calcular el valor de r con tanta precisión como deseemos.

Geométricamente, el método de Newton consiste en, dado _k,

sustituir la curva y=f(x) por la recta tangente a la función en el punto ( k,f( k) ). Entonces, k+1 es el punto de corte

de dicha recta con el eje de abscisas.

En la práctica no demostraremos que se verifican todas las hipótesis del método, sino que directamente, con cualquier punto del intervalo, empezaremos la iteración. Si la sucesión no converge con dicho punto probaremos con otro hasta encontrar alguno para el cual la sucesión formada sea convergente (el método de Newton converge en la gran mayoría de los casos).

Ejemplo 12: Aproximar con tres cifras decimales exactas las raíces reales del polinomio

Sabemos que dicho polinomio tiene una única raíz r∈( 4, 2) (ejemplo 7).

La función de iteración g(x) es:

y f x ( )

x y

0

1

2

0, f(0))

1, f(1))

desde 1, f( ))1

Si tomamos ₀= 4 (no podemos comenzar con 2 (¿?)) la sucesión queda: 0= 4

1=g( 0) =g( 4) = 3,5217 2=g( 1) =g( 3,5217) = 3,3331 3=g( 2) =g( 3,3331) = 3,3057 4=g( 3) =g( 3,3057) = 3,3051

Como buscábamos una aproximación con tres decimales exactos y éstos ya se han estabilizado paramos la iteración. De todas las maneras hay que cerciorarse de que una aproximación a la raíz con tres cifras decimales correctas es 3,305. Para ello calculemos

P( 3,305)=0,072

P( 3,306)= 0,445

Luego, como en los extremos del intervalo ( 3,306, 3,305) hay cambio de signo, la raíz del polinomio se encontrará dentro de éste intervalo(13). Así, podemos asegurar que

r 3,305 con tres cifras decimales correctas.

Método del Punto Fijo o de aproximaciones sucesivas

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y con una única raíz r en dicho intervalo.

Supongamos que la ecuación f(x) =0 se puede escribir equivalentemente de la forma x= (x)(14)_.

Sea ₀ cualquier punto de intervalo [a,b]. Formemos la sucesión ₀, ₁, ₂, …, _k,

k+1, … donde

13 Este criterio solamente es válido si la raíz que estamos aproximando no es de multiplicidad par.

14 Resolver la ecuación x( )x significa buscar los puntos de corte entre la curva y( )x y la recta y=x, o equivalentemente, aquellos puntos sobre la curva ( , ( ))xx cuya abscisa es igual a su ordenada, es decir, aquellos puntos que

Entonces, si la función (x) es derivable en [a,b] y se cumple que | '(x)|1, para cualquier x∈[a, b], se tiene que:

Dado ₀ calculamos .

Geométricamente: La recta horizontal que pasa por el punto es la recta de ecuación o, equivalentemente, .

El punto de corte de esta recta con la recta es el punto de coordenadas .

Una vez obtenido , siguiendo los mismos pasos, encontramos

Ejemplo 13: Aproximar con tres cifras decimales exactas las raíces reales del polinomio

Este polinomio es el mismo que el del ejemplo anterior. Sabemos que la única raíz de P(x) se encuentra en el intervalo ( 4, 2). Para poder aplicar el método del punto fijo necesitamos escribir la ecuación en la forma x= (x) y la función (x) actuará como función de iteración. En nuestro caso:

80 130 0

130 80

0 _ 5_{    } 5

 x x x x

Luego podemos tomar como función de iteración a

80 130 5_

x

x) ( 

Empezando la iteración con, por ejemplo, ₀= 4 obtenemos como primer valor de la sucesión a ₁= ( 4) = 11,1750 valor que, obviamente, se sale fuera del intervalo (15)_{. Lo} mismo ocurre si empezamos la iteración con cualquier otro punto del intervalo ( 4, 2). Podemos intentar buscar otra función de iteración probando a despejar otra " "x de la ecuación. Así:

5 5

5 _{80 130 0 80 130 80 130}

0          

 x x x x x x

x P( )

Si consideramos la nueva función de iteración 5

1(x) 80x130



y comenzamos con ₀= 4 obtenemos la sucesión:

0= 4

1= 1( 0) = 1( 4) = 3,393 5 2= 1( 1) = 1( 3,393 5) = 3,316 9 3= 1( 2) = 1( 3,316 9) = 3,306 7 4= 1( 3) = 1( 3,306 7) = 3,305 4 5= 1( 4) = 1( 3,305 4) = 3,305 1

Una vez estabilizadas las tres primeras cifras decimales procederíamos del mismo modo que lo hicimos en el método de Newton para comprobar que estas son correctas.

La ventaja del Método del Punto Fijo sobre el de Newton es que la función de iteración del primero suele ser más sencilla a la hora de efectuar cálculos. Pero hay que tener en cuenta que el método de Newton converge en muchos más casos que el método del Punto Fijo y además suele necesitar un menor número de iteraciones.

4

Antes de finalizar con las ecuaciones algebraicas veamos algún ejemplo completo de cómo resolver una ecuación de este tipo.

Ejemplo 14: Encontrar todas las raíces reales del polinomio

dando una aproximación a sus raíces de al menos cuatro cifras decimales correctas.

1. Acotación y regla de Descartes

Busquemos una cota superior para las raíces de P(x). Claramente se puede tomar K=0:

5 13 0 9

0 0 0 0

5 13 0 9

Luego, todas las raíces de P son menores que 0, es decir, P no tiene ninguna raíz real positiva. Si hubiéramos aplicado la regla de Descartes, el resultado habría sido el mismo, ya que la sucesión de coeficientes de P, , no tiene ninguna variación de signo y, por lo tanto, Descartes asegura que P no tiene ninguna raíz real positiva.

El polinomio P( x) viene dado por . Como el coeficiente de mayor grado es negativo tenemos que cambiar de signo a todos los coeficientes, puesto que el polinomio resultante es equivalente. Tenemos que:

Acotando las raíces de este último polinomio

5 13 0 9

3 15 6 18

5 2 6 9

Entonces, si r es raíz de P(x) r 3. Además, como el número de variaciones de signo de la sucesión de los coeficientes de P( x), es igual a 1, el número de raíces

Todos son 0