Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha
Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín
1
Integrales de Línea
Es una forma de generalizar la integral de Riemann en una variable, conocida en el curso anterior, a una integral de…nida sobre una curva del espacio bi o tridimensional.
1.1
Planteamiento
Supongamos que tenemos:
a) f :I IR3!IRfunción escalar continua enI= [a; b] y
b) !c : [a; b]!IR3;!c(t) = (x(t); y(t); z(t))una trayectoria de claseC1, es decir una curva enIR3:
La integral de la función f calculada sobre la trayectoria descrita por la curvaC se de…ne por.
1.2
De…nición:
Laintegral de trayectoriadef(x; y; z)a lo largo de la trayectoria!c ;está de…nida cuando!c : [a; b]!IR3 es de claseC1 y además la función compuesta f(t) = f(x(t); y(t); z(t))es continua enI= [a; b]; por:
Z
!Cf ds=
Z b
a
f(x(t); y(t); z(t))k!c0(t)kdt
Alternativamente se denota con: Z
!Cf ds=
Z
!Cf(x; y; z)ds=
Z b
a
f(!c(t))k!c0(t)kdt
1.2.1 Observaciones
i) Si f(x; y; z) = 1, tenemos la longitud del arco. En efecto, comof(x; y; z) = 1,
Z
!Cf(x; y; z)ds =
Z
!Cds=
Z b
a k!
c0(t)kdt
= Z b
a
q
(x0(t))2+ (y0(t))2+ (z0(t))2dt
ii) Si C la curva de…nida por !c(t) es de clase C1 por tramos o f(!c(t)) es continua por tramos, entonces calculamosR!
Cf dsen segmentos sobre los cuales
Rb
Por ejemplo si !C =!C1[!C2[!C3 con a lo sumo sus extremos en común
Z
!Cf(x; y; z)ds=
Z
!C
1
f(x; y; z)ds+ Z
!C
2
f(x; y; z)ds+ Z
!
C2
f(x; y; z)ds
Algunos ejemplos donde aplicamos esta de…nición:
1.3
Ejemplo
Sea la función escalar f(x; y; z) =x2+y2+z2 continua enIR y
!c : [0;2 ]!IR3;de…nida por!c(t) = (cost;sint; t) una trayectoria de claseC1. CalcularR
!c f(x; y; z)ds
Solución:
En este caso tenemos la ecuaciones paramétricas : x(t) = cost; y(t) = sint; z(t) =t
Luego la función compuesta esf(x(t); y(t); z(t)) = cos2t+ sin2t+t2= 1 +t2 Además !c0(t) = ( sint;cost;1) =) k!c0(t)k=p2
Por lo tanto, sutituyendo términos en la integral
Z
!c
f(x; y; z)ds = Z 2
0
f(x(t); y(t); z(t))k!c0(t)kdt
= Z 2
0
1 +t2 p2dt
p
2 t+t 3 3
2
0 = 2
p
2
3 3 + 4 2
1.4
Ejemplo
Calcular la siguiente integral de trayectoriaR!c f(x; y; z)dsdonde
a) f(x; y; z) =x+y+z yc(t) = (cost;sint; t); t2[0;2 ] Solución:
Z
c
f(x; y; z)ds = Z 2
0
p
2(cost+sent+t)dt
= p2 sent cost+t 2 2
2
0 = 4
p
2 2
2
Como taller adicional, evaluar las siguientes integrales de trayectoriaR!c f(x; y; z)ds
donde
b) f(x; y; z) = cosz y !c(t) = (cost;sint; t); t2[0;2 ] c) f(x; y; z) =xcosz y !c(t) = (t; t2;0); t2[0;1]
1.5
Ejemplo
a) Demostrar que la integral de línea def(x; y); a lo largo de una trayectoria dada en coordenadas polares porr=r( );con 1 2 es:
I= Z 2
1
f(rcos ; rsin ) s
r2+ dr d
2 d
b) Calcular la longitud de arco der= 1 + cos ; con0 2 Solución:
a) En primer lugar, determinemos la ecuaciones paramétricas de la trayec-toria en coordenadas polares
x=rcos =) x=r( ) cos
y=rsin =) y=r( ) sin =) !c( ) = (r( ) cos ; r( ) sin )
Derivando la ecuación de la trayectoria, queda
!c0( ) = (r0( ) cos r( ) sin ; r0( ) sin +r( ) cos )
Lo que implica
k!c0( )k = q
(r0( ) cos r( ) sin )2+ (r0( ) sin +r( ) cos )2
= q
r( )2+r0( )2
Por lo tanto
I= Z
!c f(x; y)ds=
Z 2
1
f(rcos ; rsin ) q
b) En este caso se tiene f(x; y) = 1; y como r= 1 + cos ;con0 2 Obtenemos
q
r( )2+r0( )2= q
(1 + cos )2+ ( sin )2 Entonces:
s = Z 2
0 q
(1 + cos )2+ ( sin )2d
= Z 2
0
p
2 + 2 cos d
= 8
Es útil tener en cuenta que la integral de trayectoria se puede aplicar a problemas de física e ingeniería
1. Sif(x; y; z) representa la masa por unidad de longitud de un alambre delgado con la forma deC;entoncesR!c f ds es la masa total del alambre.
2. Si f(x; y; z) es la componente tangencial de una fuerza en (x; y; z) de C;entonces R!c f ds representa el trabajo realizado por la fuerza al mover una
partícula a lo largo de la curvaC:
3.- Sif :I IR2!IRfunción escalar continua enI= [a; b] y f(x; y) 0;entonces R!c f(x; y; z)ds = Rabf(x(t); y(t); z(t))k!c0(t)kdt representa el área
de una pared cuya base es la imagen de!c y la alturaf(x; y):
2
Campos vectoriales
2.1
De…nición:
Sea !F = (F1; F2; F3) un campo vectorial en IR3 continuo de…nida sobre la trayectoria!c : [a; b]!IR3 con!c perteneciente aC1:
De…nimos la integral de línea de!F a lo largo de!c por Z
!c
!F d!s =Z b a
!F(!c(t)) !c0(t)dt
Debemos señalar que todos los Campos Vectoriales vectoriales que no con-tienen operaciones de productos vectoriales se pueden generalizar a espacios de cualquier dimensión. En particular, basta con eliminar la componentebk teng-amos todo planteado en dos dimensiones
Otras observaciones. 1) R!c
!F d!s también se puede de…nir si!F(!c(t)) !c0(t) es continua por
tramos, expresando en este caso la integral como una suma de integrales del tipo anterior.
2) Si Ces trayectoria tal que!c0(t)6=!0;podemos usar el vector tangente
b
T = !c0(t)
k!c0(t)k
Z
!c
!F d!s = Z b a
!F(!c(t)) !c0(t)
k!c0(t)k k!c0(t)kdt
= Z b
a
h
F(!c(t)) Tbik!c0(t)kdt
= Z
!c
!F T dsb
Por lo tanto Z
!c
!F d!s =Z
!c
!F T dsb
Si'es el ángulo entre!F yTb
!F Tb= !F !T cos'= !F cos'= )
Z
!c
!F d!s =Z
!c
!F cos'ds
Si!F es un campo de fuerza , entonces esta última integral es precisamente la de…nición detrabajo realizado por el campo de fuerza sobre una partícula de masa unitaria que se mueve desde el punto inicial hasta un punto terminal a lo largo de la curvaC descrita por la trayectoria!c(t):
3) Otra manera usual de escribir la integral de línea es:
Z
!c
!F d!s =Z
!c F1dx+F2dy+F3dz donde
!F = (F1; F2; F3)
Así:
Z
!c
!F d!s = Z
!c
F1dx+F2dy+F3dz= Z b
a
F1 dx dt +F2
dy dt +F3
dz dt dt
= Z b
a
(F1; F2; F3) ( dx dt;
dy dt;
dz dt)dt
= Z b
a
2.2
Ejemplos:
EvaluarI =Rcx2ydx+ x2 y2 dy , si C es el arco de la parábola y= 3x2 desde(0;0) hasta(1;3):
Solución:
Al parametrizar la trayectoria se tieneC:x=t; y= 3t2 con0 t 1: luego!c(t) = t; 3t2 =) !c0(t) = (1; 6t)
Sustituyendo términos en el integrando, obtenemos
I = Z 1
0
(3t4; t2 9t4 ) (1;6t) dt
= Z 1
0
3t4+ t2 9t4 6t dt
= 3 5t
5+6 4t
4 54 6 t
6 1
0 = 69
10
2.3
Ejemplo
EvaluarRcyzdx+xzdy+xydzdondeCestá formada por los segmentos de rectas que unenA(1;0;0)aB(0;1;0)a C(0;0;1)
Solución.
En este caso !C =AB!+BC!+CA!por lo cual Z
!c yzdx+xzdy+xydz =
Z
!
AB
yzdx+xzdy+xydz+ Z
!
BC
yzdx+xzdy+xydz
+ Z
!
CA
yzdx+xzdy+xydz
Pametrizando cada segmento de trayectoria, produce
!
AB: x= 1 t =)dx= dt y=t =) dy=dt z= 0 =)dz= 0
Z
!
AB
yzdx+xzdy+xydz= Z 1
0
0dt= 0
!
BC: x= 0 =)dx= 0
y= 1 t =) dy= dt z=t =)dz=dt
Z
!
BC
yzdx+xzdy+xydz= Z 1
0
0dt= 0
!
y= 0 =) dy= 0 z= 1 t =)dz= dt
Z
!
CA
yzdx+xzdy+xydz= Z 1
0
0dt= 0
Por lo tanto Z
!c yzdx+xzdy+xydz= 0
2.4
Ejemplo
EvaluarI= R!c !
F d!s ; donde !F(x; y) = (xy; x2y) y
!c : [ 1;1] !IR2 tal que !c(t) = (t;
jtj): !c =2C1 Solución
La curvaC es continua por tramos.
Así !c1: [ 1;0] !IR2; !c1(t) = (t; t) =)dx=dt; dy= dt
!c2 : [0;1] !IR2; !c
2(t) = (t; t) =)dx=dt; dy=dt De modo que: !c =!c1+!c2
Z
!c
!F d!s = Z
!c1
!F d!s + Z
!c2
!F d!s
= Z
!c1
xydx+x2ydy+ Z
!c2
xydx+x2ydy
= Z 0
1
( t2+t3)dt+ Z 1
0
(t2+t3)dt= 0
Por lo tanto Z
!c !
F d!s = 0
3
Cambio de parametrización
La pregunta crucial que surge al pensar en una curva es ¿cambiará el valor de la integral si se cambia la parametrización de la curva sobre la que se integra?.
En primer lugar, ilustremos esto con el siguiente ejemplo.
3.1
Ejemplo.
SiC es la mitad inferior del circulo unitario en el planoxyque une los puntos (-1,0) con (1,0) . Calcular
Z
C
(1 +xy)ds parametrizando de dos maneras diferentes esta curva.
Sea!c(t) = (t; p1 t2) =) !c0(t) = 1;p t
1 t2 y k!c
0(t)k=p 1
1 t2 entonces
Z
!C
(1 +xy)ds = Z 1
1
(1 tp1 t2)p 1 1 t2dt
= Z 1
1 1
p
1 t2 t =
Por otro lado si ponemos !c(t) = (cost; sent) con t 2
!c0(t) = ( sent;cost) =) k!c0(t)k= 1
entonces, al reemplazar los términos del integrando queda Z
C
(1 +xy)ds= Z 1
1
(1 +sentcost)dt= t+sen 2t 2
2 =
Por lo tanto, hemos obtenido el mismo valor para la integral a lo largo de estas dos trayectorias diferentes que tienen la misma traza.
En segundo lugar, enunciemos un resultado general con el siguiente teorema.
3.2
Teorema 1
Si!c(t)y !p(t) son dos parametrizaciones distintas suaves o suaves por tramos ,que conecta los puntosP0 y P1 ,que tienen la misma traza y dirección, y si f(x; y; z) está de…nida y es continua sobre la traza, entonces
Z
!c
f(x; y; z)ds= Z
!p
f(x; y; z)ds
3.3
Reparametrización
3.3.1 De…nición:
Seah:I1!Iuna función de claseC1con valores reales que sea biyectiva entre I = [a; b] y I1 = [a1; b1]. Si !c : [a; b]! IR3 una trayectoria C1 por tramos. Entonces a la composición
p=!c h: [a1; b1]!IR3
La llamamos reparametrización de!c
3.3.2 Teorema 2
Sea!F un campo vectorial continuo y!c : [a; b]!IR3;trayectoria de claseC1; y sea!p : [a1; b1]!IR3 una reparametrización de!c :Entonces
i) Si!p conserva la orientación: Z
!c
!F d!s =Z
!p
!F d!s
ii) Si!p invierte la orientación Z
!p
!F d!s = Z
!c
!F d!s
3.3.3 Ejemplo:
Sea!F(x; y; z) = (yz; xz; xy)campo vectorial y!c : [ 5;10]!IR3 trayectoria dada por!c(t) = t; t2; t3 :
Una trayectoria opuesta: !cop: [ 5;10]!R3 se puede construir !cop(t) =
c(a+b t);en este caso queda!cop(t) =!c(5 t) = (5 t);(5 t)2;(5 t)3
Evaluar Z
!c
!F d!s yZ
!cop
!F d!s :
Solución: Z
!c
!
F d!s = Z 10
5 F1dx
dt +F2 dy dt +F3
dz dt dt
= Z 10
5
yzdx+xzdy+xydz
= Z 10
5
t5+ 2t5+ 3t5 dt
= 984:375
por otro lado Z
!cop
!F d!s = Z 10
5
yzdx+xzdy+xydz
= Z 10
5
(5 t)5 2(5 t)5 3(5 t)5 dt
= Z 10
5
6(5 t)5dt= (5 t)6 105
4
Independencia de trayectoria
Cuando el valor de una integral Z
!c
!F d!s sobre una trayectoria continua
por tramos que conecta dos puntos de una regiónR depende solamente de los puntos extremos, se dice que la integral esindependiente de la trayectoria.
4.1
Ejemplo.Independencia de trayectoria en una integral
de línea
Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza!F al llevar un objeto desde AhastaB, por
a) un camino compuesto de un tramo horizontal seguido de un tramo vertical; b) un camino compuesto de un tramo vertical seguido de un tramo horizontal. Si !F(x; y) = y
2 x2;
2y
x ; A= (1;1); B= (4; 2) Solución.
a) Si llamamosC a la curva, la podemos subdividir en las curvasC1 y C2 Tendremos Z
!c
!F d!s =Z
!c1
!F d!s +Z
!c1
!F d!s
Calculamos ambas integrales por separado C1= x= 1 +t
y= 1 , 0 t 3
=) Z
!c1
!F d!s =Z
c1
y2
x2dx
2y xdy
= Z 3
0 1
(1 +t)2dt= 1 (1 +t)
3
0 = 3
4
C2= x= 4
y= 1 t , 0 t 3
=) Z
!c2
!
F d!s = Z
c2
y2
x2dx
2y xdy=
Z 3
0
2(1 t) 4 dt
= 1 2t
1 4t
2 3
0 =3
2 9 4 =
3 4
Con lo que resulta Z
c y2
x2dx
2y xdy=
3 4+
b) Llamemos C* a este otro camino, también lo podemos separar en dos tramosC3 y C4:
Tendremos Z
!c
!F d!s = Z
!c3
!F d!s +Z
!c4
!F d!s
Calculamos ambas integrales por separado haciendo parametrizaciones pare-cidas
C3= x= 1
y= 1 t , 0 t 3
=) Z
!c3
!F d!s =Z
c3
y2 x2dx
2y xdy
= Z 3
0
2(1 t)
1 ( 1)dt= 2t t 2 3
0= 3
C4= x= 1 +t
y= 2 , 0 t 3
=) Z
!c4
!F d!s =Z
!c4
y2
x2dx
2y xdy
= Z 3
0
( 2)2 (1 +t)2dt=
4 (1 +t)
3
0 = 3
Sumando se obtiene Z
!c
y2 x2dx
2y
xdy= 3 + 3 = 0
Por ambos caminos dio el mismo resultado:
Intente otro camino para ésta integral que lleve desde A a B:
5
Campos Conservativos
Ciertos campos de fuerza importantes en la física provienen de un potencial escalar. Si existe una función de…nida en una región R y si un campo de
fuerza!F tiene la propiedad de que
!F=
r =grad
5.1
Campo gradiente
Un campo vectorial continuo el cual se obtiene como el gradiente de una función escalar se llamará campo gradiente y una función de la cual se obtiene, la
función potencial
!F = r
5.2
Teorema Fundamental
Sea!F un campo gradiente con potencial de…nida en una regiónRy seanP0 yP1 puntos cualesquiera deR;entonces:
Z
!c
!F d!s = (P2) (P1)
donde !c : [a; b] ! IR3 tal que !c (a) = P1; y !c (b) =P2; y !c es una trayectoria de claseC1:
Demostración
Z
!c
!
F d!s = Z
!c
@ @xdx+
@ @ydy+
@ @zdz
= Z b
a
@ @x
dx dt +
@ @y
dy dt +
@ @z
dz dt dt
= Z b
a
@
@t (!c(t))dt= [ (!c(t))]
b a
= (P2) (P1)
Por lo Tanto Z
!c
!F d!s = (P
2) (P1)
Adicionalmente podemos a…rmar que
5.3
Teorema
Si!F es un campo gradiente en una regiónR, entonces Z
!c
!F d!s es
indepen-diente de la trayectoria.
Comentario: Si !F es campo gradiente existe de…nida en R tal que
!
5.4
Teorema
Si F es un campo vectorial continuo sobre una region R y si Z
!c
!F d!s es
independiente de la trayectoria, entonces!F es un campo gradiente.
5.5
De…nición:
Curva simple C, se de…ne como la imagen de una aplicación!c : I !IR3 de C1 que sea uno a uno en el intervaloI. Una curva simple es aquella que no se intersecta a si misma,!c(a) y!c(b)se llaman punto inicial y punto …nal de la curva.
Las curvas son orientadas o dirigidas.
5.6
De…nición:
Curva cerrada simple,se de…ne como!c : [a; b]!IR3 deC1 tal que 1) es uno a uno en[a; b]
2) !c(a) =!c(b) Observación:
i) Si la curva satisface sólo (2) es curva cerrada.
ii) Las curvas simples cerradas tienen dos direcciones de movimiento posible.
5.7
De…nición:
Integrales de línea sobre curvas simples orientadas y curvas cerradas simplesC Sea C una curva simple orientada imagen de !c : [a; b] ! IR3 entonces de…nimos:
Z
C
!F d!s =Z
!c
!F d!s y Z
C
f ds= Z
!c
f ds
De las curvas cerradas y la independencia de trayectoria se tiene el siguiente teorema.
5.8
Teorema
Z
C
!F d!s es independiente de la trayectoria enR si y solo siZ C
!F d!s = 0
para toda curva cerradaC contenida enR:
5.9
De…nición:
5.10
De…nición:
Una región es simplemente conexa y abierta si ella es un conjunto abierto y tal que toda curva simple cerrada enDencierra puntos que solo están en el interior deD:
Si un campo de fuerza tiene la propiedad de que el trabajo realizado sobre una partícula en movimiento conforme se mueve de un punto a otro es indepen-diente de la trayectoria, se llamacampo conservativo.
De los teoremas anteriores se puede formular lo siguiente:"Una condición necesaria y su…ciente para que un campo de fuerzas sea consevativo es que sea un campo gradiente"
5.11
Teorema:
SeanM(x; y)yN(x; y)funciones con derivadas parciales continuas en un con-junto abierto y conexoD:
Entonces el campo vectorial!F(x; y) = (M(x; y); N(x; y))es conservativo si y solo si @M
@x = @N
@xen D
5.12
Ejemplo
Sea!F(x; y) = (2xy; x2 y )
a) Probar que es campo conservativo. b) Hallar función potencial.
Solución. a)
@N @x = 2x @M
@x = 2x 9 > = >
; =)Campo conservativo enIR 2
b) Existe Potencial (x; y)tal que @ (x; y)
@x = 2xy) (x; y) = Z
2xydx+h1(y)
@ (x; y) @y =x
2 y
) (x; y) = Z
x2 y dx+h2(x)
) (x; y) =x
2y+h1(y) (x; y) =x2y y2
2 +h2(x)
5.13
De…nición (Rotacional)
Sea F(x; y; z) = (P(x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))función vectorial, se de…ne el
rotacional de !F ,denotado por rotF(x; y; z) o r F(x; y; z):por
r !F(x; y; z):=
bi bj bk @
@x @ @y
@ @z
P Q R
5.14
Teorema
Si!F(x; y; z) = (P(x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))función vectoria donde P; Q; R son funciones con derivadas parciales continuas en un conjunto abierto y conexo
D.Entonces
!
F es un campo conservativo () r !F(x; y; z) =!0 enD
es decir si y sólo si @P @y =
@Q @x;
@P @z =
@R @x;
@Q @z =
@R @y
5.15
Ejemplo:
Veri…que que!F(x; y; z) = (yz; xz; xy) es un campo conservativo enIR3 Solución.
r !F(x; y; z): =
bi bj bk @
@x @ @y
@ @z yz xz xy
= ((x x); (y y);(z z)) = (0;0;0)
o sea r !F(x; y; z) =!0 en IR3
5.16
Ejemplo:
Dado el campo vectorial!F(x; y; z) = (3y2z+yex;6xyz+ex;3xy2):Veri…que que es campo conservativo y calcular potencial.
Solución: @R
@y = @Q
@z )6yz+e
x= 6yz+ex
@R @x =
@P @z )3y
@Q @x =
@P
@y )6yz+e
x= 6yz+ex
Luegor !F(x; y; z) =!0 en IR3;es entonces claramente un campo vectorial conservativo, entonces existe
(x; y; z)tal que @ (x; y; x)
@x = 3y
2z+yex
) (x; y; z) = Z
3y2z+yex dx+h1(y; z)
= 3xy2z+yex+h1(y; z)
@ (x; y; x)
@y = 6xyz+e
x
) (x; y; z) = Z
(6xyz+ex)dx+h1(x; z)
= 3xy2z+yex+h1(x; z)
@ (x; y; x)
@z = 3xy
2
) (x; y; z) = Z
3xy2dx+h1(x; z)
= 3xy2z+h 1(x; y) De aquí se deduce que
) (x; y; z) = 3xy2z+yex
Además, si se pide calcular I= Z
C
!F d!s yC es la curva descrita por !c(t) = (cost; sent; t); t2[0;2 ]
entonces
I = Z
C
!F d!s = 3xy2z+yex 3
0
= (1;0;2 ) (1;0;0) = 0 0 = 0
5.17
De…nición.Divergencia de un campo vectorial
Si!F(x; y; z) = (P(x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))tal queP; QyRtienen derivadas parciales en alguna región D.La divergencia de!F se denota por
div!F =r !F = @P(x; y; z)
@x +
@Q(x; y; z)
@y +
@R(x; y; z) @z
Si !F es un campo vectorial, entonces la div!F da información acerca del ‡ujo en un punto P(x,y,z):
i) Si div!F < 0 en un punto P(x,y,z) , entonces el ‡ujo del campo !F se orienta hacia el punto y se dice que hay un sumidero en P.
ii) Si div!F > 0 en un punto P(x,y,z) , entonces el ‡ujo del campo !F se orienta desde el punto y se dice que hay una fuente en P.
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Introducción Teorema de Green
El teorema de Green ,que enunciaremos a continuación, dice que bajo ciertas condiciones las integrales de línea pueden expresarse y calcularse con integrales dobles.
Comencemos por de…nir una región compactaR descrita simultaneamente por las desigualdades
1(x) y 2(x); a x b denominada región orientada en dirección del eje y
1(y) x 2(y); c y d denominada región orientada en dirección del ejex
donde las funciones 1 y 2 son continuas y seccionalmente suaves en [a; b] y las funcionas 1 y 2 son continuas y seccionalmente suaves en [c; d]:
En esta región cerrada R con una frontera continua seccionalmente suave consideremos de…nidas las funcionesM y N continuamente diferenciables ( o de clase C1)de…nidas enR:
La curva C frontera de la región R, se dice que esta orientada positivamente ,si al caminar sobre ella la región R estará a su izquierda.
En este marco de ideas y condiciones se plantea el teorema de Green
6.0.1 Teorema de Green
Sea R una región cerrada y acotada con frontera C,orientada en sentido positivo. SiM, N, @M
@y y @N
@x son continuas en R.Entonces Z
C
M dx+N dy= Z Z
R
@N @x
@M @y dA
Demostración.
Supongamos queRestá descrita por
1(x) y 2(x); a x b
Z
C
M dx = Z
C1
M dx+ Z
C2
M dx
= Z b
a
M(x; 1(x))dx+ Z a
b
=) Z
C
M dx= Z b
a
[M(x; 1(x)) M(x; 2(x))]dx
Por otra parte Z Z
R
@M @y dA=
Z b
a
Z 2(x)
1(x)
@M @y dA=
Z b
a
[M(x; 2(x)) M(x; 1(x))]dx
Luego Z
C
M dx= Z Z
R
@M @y dA
De manera simlar y considerando ahora
1(y) x 2(y); c xy d Se establece que Z
C
N dy= Z Z
R
@N @xdA
Por lo tanto Z
C
M dx+N dy= Z Z
R
@N @x
@M @y dA
6.0.2 Ejemplo
Evaluar la integral
I= Z
C
y2+senx2 dx+ cosy2 x dy
dondeC es la frontera de la región cuadrada 0 x 1; 0 y 1 Solución.
Usando el Teorema de Green podemos a…rmar que
M(x; y) = y2+senx2=) @M @y = 2y
N(x; y) = cosy2 x =)@N @x = 1 Por lo tanto aplicando el teorema
I= Z 1
0 Z 1
0
( 1 2y)dxdy= Z 1
0
( 1 2y)dy= y y2 10= 2
