10 Saca factores comunes en las siguientes expresiones: a)
b) ax - ay + 2bx - 2by c) (x - 2) + x - 2
Solución:
a) Factores comunes: 2 y 2 (2x -3y +4z)
b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: a(x - y) + 2b(x - y) Como el paréntesis es común, resulta: (a + 2b)(x - y)
c) El factor (x - 2) es común: (x - 2)( +1).
11 Escribe como potencias y productos notables las siguientes expresiones: a)
b) c)
Solución:
d) Se trata del cuadrado de una diferencia: e) Buscamos el cuadrado de una suma: f) Nos dan la diferencia de cuadrados:
13 Escribe en forma de productos y potencias, utilizando los productos notables, las siguientes expresiones: a)
b) .
Solución:
a) El número cuatro y ( - 4) son factores comunes:
Obtenemos una diferencia de cuadrados al cuadrado, luego:
b) Buscamos una diferencia de cuadrados:
El último paréntesis es de nuevo una diferencia de cuadrados:
=
17
Solución:
Desarrollamos los cuadrados: =
Ponemos 2 como factor común y buscamos el cuadrado de un binomio:
21 Escribe las siguientes expresiones como productos notables: a)
b)
c)
Solución:
a) Buscamos el cuadrado de una suma:
b) Ajustamos, ahora, el cuadrado de una diferencia: .
c) Se trata de una diferencia de potencias con exponentes pares:
22 Saca factores comunes, y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de productos y potencias:
a)
b) .
Solución:
c) El paréntesis (x + y) y el número 3 son factores comunes: 3(x + y)( )
Obtenemos una diferencia de cuadrados, luego: 3(x + y)(x + y)(x - y) = 3 (x - y)
d) Ponemos x2 como factor común:
Buscamos una diferencia de cuadrados en el paréntesis:
24 Utilizando los productos notables, factoriza los polinomios: y
y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
El polinomio P(x) tiene como factor común:
Ponemos x como factor común en el segundo polinomio: Observamos en el paréntesis una diferencia de cuadrados:
donde de nuevo hemos aplicado que la diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad, y obtenemos:
M.C.D. , m.c.m.
25 Saca factores comunes en las siguientes expresiones: a) a[bc + 2b + ab(c + 2)]
b) c)
Solución:
g) Factor común: b ab[c + 2 + a(c + 2)] = ab(c + 2)(a + 1)
h) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: (1 - 2ab) + (1 - 2ab)
Como el paréntesis es común, resulta: ( + )(1 - 2ab)
i) Sacamos en los dos primeros sumandos, y ab en los dos últimos:
Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
Solución:
Por lo tanto, son equivalentes.
NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.
Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
Solución:
Simplificamos la primera fracción. En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados, y en el denominador el cuadrado de una suma:
Luego, son dos fracciones equivalentes.
NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.
Simplifica las siguientes expresiones:
a)
b)
Solución:
a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta:
.
b) Sacando factor común en el denominador, resulta:
.
Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción: .
Solución:
Las posibles raíces enteras del numerador son:
Se comprueba que x = 2 lo es, y dividimos utilizando el método de Ruffini:
2 - 5 2
2 4 - 2
2 - 1 0
El denominador se descompone sacando factor común, y desarrollando la diferencia de cuadrados:
Sustituyendo en la fracción: .
Simplifica las siguientes fracciones factorizando, utilizando los productos notables donde sea necesario:
a)
b)
Solución:
c) En el numerador tenemos el cuadrado de una diferencia, y en el denominador el factor 3x2 es común.
Factorizando y simplificando: .
d) En el numerador tenemos el cuadrado de una suma, y en el denominador una diferencia de cuadrados. Factorizamos y simplificamos:
2
(3x 1) 3x 1 (3x 1)(3x 1) 3x 1
.
Calcula una fracción equivalente a , cuyo denominador sea
Solución:
El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando (x 1) por un factor, P(x).
Al descomponer el nuevo denominador se obtiene: . Por tanto, el factor P(x)=
Multiplicando también el numerador por P(x) se obtiene la fracción equivalente: .
Reduce a común denominador las siguientes fracciones: .
Solución:
Factorizamos los denominadores: - 2x = x(x - 2), - 4 = (x + 2)(x - 2), + 2x = x(x + 2)
El denominador común es: x(x + 2)(x - 2) = - 4x, y las fracciones equivalentes a las dadas, respectivamente, son:
Simplifica las siguientes fracciones:
a)
Solución:
a) Factorizamos sacando factor común y desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador:
b) Sacamos factor común en el numerador y en el denominador:
Efectúa las siguientes operaciones:
Solución:
Los denominadores factorizados son:
x - 2, 2(x + 2)(x - 2) y , respectivamente. El mínimo común denominador es:
Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son:
Dadas las fracciones algebraicas , sabemos que R(x) = P(x)Q(x). ¿Qué polinomio es el denominador común para dichas fracciones? ¿Por qué factores hay que multiplicar los numeradores A(x), B(x) y C(x), para tener fracciones equivalentes a las dadas con dicho denominador común?
Solución:
El polinomio R(x) es el mínimo común múltiplo de los tres denominadores, al ser el producto de los dos primeros es múltiplo de ellos.
Al numerador de la primera fracción hay que multiplicarle por Q(x), y al de la segunda por P(x), pues, en ambos casos, los denominadores serían P(x)Q(x) = R(x), que es el denominador común.
Estudia si las siguientes fracciones se reducen a un polinomio:
a)
b)
Solución:
e) Simplificamos la fracción. En el numerador y denominador tenemos el factor x común, después, en el numerador aparece una diferencia de cuadrados.Factorizando y simplificando:
. Luego se reduce a un polinomio.
No se reduce a un polinomio.
Efectúa las siguientes operaciones:
Solución:
El último de los denominadores se escribe como producto de factores de la forma: (x -1)(x - 3), es el mínimo común denominador.
Las operaciones de las fracciones con dicho denominador son:
Efectúa las siguientes operaciones:
Solución:
Los denominadores factorizados son: 2x, x(x-2) y (x + 2)(x - 2), respectivamente. El mínimo común denominador es:
2x(x - 2)(x + 2).
Las operaciones con las fracciones con dicho denominador son:
Simplifica la fracción , y muestra que se puede escribir como , donde la última es una fracción irreducible.
Solución:
El numerador se escribe: (x - 3)(2x - 5)
El denominador es el cuadrado de una diferencia: Sustituimos en la fracción dada y simplificamos:
Con la fracción irreducible componemos el esquema que nos propone el enunciado:
.
