INSTITUTO POLIT´
ECNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingenier´ıa Mec´anica y El´ectrica
Secci´on de Estudios de Posgrado e Investigaci´on
Determinaci´
on de Desplazamientos Mediante la
Interferometr´ıa de Patrones Speckle
T E S I S
que para obtener el grado de
Maestro en Ciencias en Ingenier´ıa Mec´
anica
Presenta:
Ing. Juan Benito Pascual Francisco
Director:
Dr. Orlando Susarrey Huerta
Co-Director:
Dr. Alexandre Michtchenko
DEDICATORIA
A la vida, que lo es todo. . .
A mi chikay, que se encuentra ahora fuera de este mundo y que sin duda desde donde est´e me sigue brindando su cari˜no.
A mis dos grandes tesoros adorados y gu´ıas en mi caminar, mis padres Juan Erasmo y Magdalena. Los amo.
A mis hermanos y hermanas, que son muchos: Vere, Silo, Lina, Clara, Mary, Geo, V´ıctor, Bel, Lupe, Nita, Tere, Yesenia, les dedico con cari˜no este trabajo, que al final es el fruto de su apoyo y comprensi´on.
A la peque˜na Kim, una fuente inagotable de sonrisas, y un motivo m´as para regresar a mi pueblo.
A la mujer que hace completa mi felicidad y ha sido mi soporte en los tiempos dif´ıciles. ¡Hola Caty!
Para mis amigos de la ni˜nez en mi pueblo de la Gloria. Los recuerdos de cuando jug´abamos entre las casas de cart´on me hacen cada vez m´as fuerte. . .
A la memoria de los mejores a˜nos de mi ni˜nez; aunque sumido en la pobreza pero nadando en el mar de la felicidad. . .
Para mis amigos chapingueritos que emigramos al Polit´ecnico. ¡¡Pues a darle!!
AGRADECIMIENTOS
A Dios por lo infinito
Al Instituto Polit´ecnico Nacional y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa por la oportunidad y el apoyo econ´omico brindado, sin los cuales no habr´ıa sido posible mi preparaci´on a nivel posgrado.
A mi director de tesis, el Dr. Orlando Susarrey Huerta, por todo el apoyo brindado durante mi estancia en la maestr´ıa y por permitirme tener una grata experiencia en la investigaci´on.
Al Dr. Michtchenko, por haberme propuesto el reto de este tema de inves-tigaci´on y por sus observaciones y consejos para llevar a cabo este trabajo.
A mi amigo Emmanuel por su valiosa ayuda y por sus observaciones du-rante la construcci´on del interfer´ometro.
A mis padres, hermanas, hermanos, sobrinos y primos, gracias por el apoyo y cari˜no que me han brindado desde siempre.
A Caty, gracias por tu cari˜no y amor, gracias por ser mi compa˜nera, gracias por tu paciencia y comprensi´on, gracias por todo...
A mis amigos Lando y Ad´an, gracias por compartir parte de sus vidas conmigo, y por compartir muchas experiencias inolvidables.
A la incomparable Gris, gracias por tus sabias palabras de ´animo.
AGRADECIMIENTOS III
A mis compa˜neros y amigos de cub´ıculo, Pedro y Luis. Gracias por permi-tirme una buena estancia en el Polit´ecnico.
A Charly y Maly, por arrancarme risas con sus chistes, gracias por su amistad.
A los ahora maestros en ciencias, Paco, Dany, Zacatecas, V´ıctor, Felipe, Fernando y Max, gracias por sus consejos.
A todos los que han formado parte de esta etapa de mi vida durante mi estancia en el IPN, gracias.
RESUMEN
En este trabajo de tesis se desarrolla un equipo de bajo costo para an´alisis de desplazamientos y deformaciones en un material que sufre cargas mec´ani-cas de tensi´on uniaxial, mediante la interferometr´ıa de patrones speckle, que es una tecnica para an´alisis de defromaciones microm´etricas.
El equipo que aqu´ı se propone usa elementos accesibles y de bajo costo. Se utiliza un l´aser como fuente de iluminaci´on y una c´amara digital comer-cial como medio para la adquisici´on de im´agenes y el software ImageJ, que se encuentra en l´ınea para el procesamiento de las im´agenes. Las pruebas consisten en tomar primero una imagen del ´area iluminada de la probeta en un estado inicial de referencia; se le aplica una fuerza para deformarla y se toma otra image; se realiza una sustracci´on digital de estas dos im´agenes y el resultado ser´a un conjunto de franjas que representan cu´anto se deform´o el material; y as´ı, se aplica el mismo procedimiento para cada estado de carga en que se somete la probeta, tomando siempre como referencia la primera imagen. El conteo de las franjas de correlaci´on, que se generan durante la aplicaci´on de las fuerzas de tensi´on, es por conteo simple. El aparato para sujeci´on y aplicaci´on de fuerza a la probeta, es un marco de carga con una capacidad de 60 kilogramos fuerza (Kf) que funciona mediante un tornillo. Se emple´o una placa de aluminio como material de estudio.
A partir de la cantidad de franjas de correlaci´on que se generan despu´es del procesamiento de las im´agenes, se calcula el desplazamiento que sufre el ´area iluminada de la superficie de la placa de aluminio. Y mediante las ecuaciones que aporta la mec´anica de materiales, se calculan las deformaciones unitarias y los esfuerzos que sufre el material para cada estado de carga. Finalmente, los resultados obtenidos mediante esta t´ecnica experimental, se comparan con los que se obtienen con un an´alisis te´orico de deformaciones y una simulacion de esfuerzos en el paquete Solid W orks.
RESUMEN V
ABSTRACT
In this thesis a low-cost interferometric equipment, for displacements and strains analysis in a material that is subjected to mechanical loadings of uniaxial tension, is developed. This technique is an interferometric technique useful for micrometric measurements.
The equipment proposed here uses accessible and inexpensive items. An inexpensive laser is used as a light source, a commercial digital camera as a medium for image acquisition and an the software ImageJ for image pro-cessing. The counting of correlation fringes, which are generated during the application of the tensile forces, will be of counting at a glance. The appa-ratus for holding and applying force to the specimen, is a loading machine with a capacity of 60 kilograms which works by a screw. An aluminum plate as study material is used.
From the number of correlation fringes generated after processing the ima-ges, the displacement experienced by the illuminated surface of the aluminum plate is calculated. And using equations provided by the mechanics of ma-terials, strains and stress suffered by the material for each state of charge are calculated. Finally, experimental results obtained using this technique, are compared with those obtained with a theoretical deformation, stress and strain analysis and a simulation in the software Solid W orks.
The importance of developing and publishing this equipment for deforma-tion analysis lies in the fact that it can measure micrometer deformadeforma-tions. From this it follows that is a good tool to use in cases where other modern equipment can not accurately measure the deformations in micrometer sca-les. Furthermore, since it is an equipment of non-contact analysis, it allows measurements in extreme environments, such as where high temperatures exist.
´Indice general
DEDICATORIA I
AGRADECIMIENTOS II
RESUMEN IV
ABSTRACT VI
1. INTRODUCCI ´ON 1
1.1. Presentaci´on . . . 1
1.2. Objetivos . . . 2
1.2.1. Objetivo General . . . 2
1.2.2. Objetivos particulares . . . 2
1.3. Justificaci´on . . . 3
1.4. Alcances de la tesis . . . 4
1.5. Estructura de la tesis . . . 4
1.6. Estado del Arte . . . 5
2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 14 2.1. Difracci´on . . . 14
2.2. Coherencia . . . 14
2.3. Camino ´optico y diferencia de fase . . . 15
2.4. Interferencia . . . 16
2.5. Modos de interferencia . . . 19
2.5.1. Interferencia por divisi´on de frente de onda . . . 19
2.5.2. Interferencia por divisi´on de amplitud . . . 20
2.6. Tipos de franjas de interferencia . . . 21
2.7. Interfer´ometro de Michelson . . . 22
´
INDICE GENERAL VIII
3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 25
3.1. El fen´omeno speckle . . . 25
3.1.1. Dimensiones de un speckle . . . 27
3.2. Sensibilidad al desplazamiento . . . 29
3.2.1. Desplazamiento lineal en el plano de la superficie . . . 29
3.2.2. Desplazamiento fuera del plano . . . 30
3.3. Medici´on del vector de desplazamiento . . . 31
3.4. Medici´on de deformaciones en el plano . . . 32
3.5. Medici´on de deformaciones fuera del plano . . . 37
3.6. Interferometr´ıa Electr´onica De Patrones Speckle (ESPI) . . . . 39
3.6.1. Medici´on de desplazamientos fuera del plano con ESPI 41 3.6.2. Medici´on de desplazamientos en el plano con ESPI . . 43
3.6.3. C´alculo de deformaciones mediante la t´ecnica ESPI . . 44
3.7. La t´ecnica Shearography . . . 45
4. METODOLOG´IA 49 4.1. Materiales y herramientas . . . 49
4.1.1. L´aser . . . 49
4.1.2. Divisor de haz . . . 50
4.1.3. Lente plano convexo . . . 51
4.1.4. Espejo de primera superficie . . . 51
4.1.5. Soporte de espejo . . . 52
4.1.6. Estructura del interfer´ometro . . . 53
4.1.7. C´amara digital CCD . . . 54
4.1.8. Marco de carga . . . 57
4.2. Arreglo experimental implementado . . . 58
4.3. Prueba de los elementos ´opticos . . . 58
4.4. Armado del interfer´ometro . . . 60
4.5. Las pruebas . . . 62
4.6. Procesamiento de las im´agenes . . . 62
4.7. Medici´on de las deformaciones . . . 63
5. RESULTADOS Y AN ´ALISIS DE RESULTADOS 65 5.1. An´alisis Experimental . . . 65
5.2. Estudio Anal´ıtico . . . 71
5.3. Simulaci´on num´erica . . . 72
5.4. Comparaci´on de resultados . . . 74
´
INDICE GENERAL IX
CONCLUSIONES 78
´Indice de figuras
1.1. Sistema Shearography de iluminaci´on m´ultiple (James S. 2008). 9 1.2. Sistema Shearography de observaci´on m´ultiple (tomado de la
tesis doctoral de D. Francis, 2008). . . 10
2.1. La sombra proyectada de una mano iluminada (Hecht, 2002). . 15
2.2. Diferencia de camino ´optico. . . 16
2.3. Esquema del experimento de difracci´on e interferencia de Young. 20 2.4. T´ecnicas de divisi´on de amplitud: a) un divisor de haz; b) una rejilla de difracci´on; c) prisma de polarizaci´on. . . 21
2.5. Interfer´ometro de Michelson. . . 23
2.6. Interfer´ometro de Michelson con l´aser. . . 23
3.1. Patr´on speckle generado por un haz de l´aser. . . 26
3.2. Formaci´on de un patr´on speckle. . . 27
3.3. a) Speckle objetivo; b) Speckle subjetivo. . . 28
3.4. Desplazamiento en el plano: a) speckle objetivo; b) speckle subjetivo. . . 30
3.5. Desplazamiento fuera del plano: a) patr´on speckle objetivo; b) patr´on speckle subjetivo. . . 31
3.6. C´alculo de la diferencia de fase. . . 33
3.7. Configuraci´on para la medici´on de desplazamientos en el plano. 34 3.8. Configuraci´on para medici´on de desplazamiento fuera del plano. 38 3.9. Esquema general de la t´ecnica ESPI. . . 40
3.10. Configuraci´on para medici´on de desplazamientos fuera del plano con ESPI. . . 41
3.11. Configuraci´on experimental para medici´on de desplazamientos en el plano con ESPI. . . 43
´
INDICE DE FIGURAS XI
3.12. Esquema de general del cizallado: a) mapeado de un punto del objeto a dos puntos en la imagen; b)mapeado de dos puntos
en el objeto a un punto en la imagen. . . 45
3.13. Interfer´ometro de Michelson modificado para shearograf´ıa. . . 46
4.1. Apuntador l´aser de 650 nm. . . 50
4.2. Divisor de haz tipo placa con recubrimiento de aluminio divi-diendo un haz l´aser. . . 51
4.3. Lente plano convexo. . . 51
4.4. Espejo de primera superficie (a) y espejo de segunda superficie (b). . . 52
4.5. Soporte para espejos y divisor de haz. . . 53
4.6. Perfil de aluminio de la estructura. . . 53
4.7. Imagen ejemplo para el c´alculo de la magnificaci´on. . . 56
4.8. Probeta y marco de carga. . . 57
4.9. Esquema del arreglo experimental utilizado. . . 58
4.10. Interfer´ometro de Michelson. . . 59
4.11. Franjas de interferencia obtenidas con el interfer´ometro de Mi-chelson. . . 59
4.12. Equipo interferom´etrico implementado. . . 60
5.1. Arreglo experimental implementado. . . 66
5.2. Franjas de correlaci´on a diferentes cargas. . . 67
5.3. Carga-Desplazamiento Experimental. . . 70
5.4. Esfuerzo-deformaci´on experimental. . . 71
5.5. Distribuci´on de esfuerzos. . . 73
´Indice de tablas
4.1. Caracter´ısticas t´ecnicas de la c´amara. . . 54
4.2. Relaci´on del formato del sensor CCD de las c´amaras con sus dimensiones. . . 56
5.1. N´umero de franjas cuantificadas. . . 68
5.2. Relaci´on carga y desplazamiento medido. . . 69
5.3. Esfuerzo Deformaci´on. . . 70
5.4. Resultados del estudio anal´ıtico . . . 72
5.5. Comparaci´on de resultados de desplazamientos. . . 74
5.6. Comparaci´on de resultados de deformaciones unitarias. . . 74
5.7. Diferencias entre el resultado experimental y el resultado te´ori-co y el num´erite´ori-co de los desplazamientos. . . 76
5.8. Costos del equipo . . . 76
Cap´ıtulo 1
INTRODUCCI ´
ON
1.1.
Presentaci´
on
Antes de que un tractor se produzca en serie y se distribuya en el sector agr´ıcola de un pa´ıs, tuvo que haber pasado por pruebas rigurosas que garan-ticen su funcionamiento bajo las condiciones naturales de uso; es decir, bajo las fuerzas que en el ambiente de trabajo se genera por un implemento agr´ıco-la. Asimismo, tal y como en el caso de los tractores, en cualquier m´aquina que se requiera en la industria o en el campo, es necesario que supere ciertas pruebas de funcionamiento.
Existen varios m´etodos de prueba de una m´aquina o un elemento de m´aqui-na, entre los cuales las pruebas no destructivas. De la misma manera, existen varias t´ecnicas de pruebas no destructivas, y la elecci´on de una de ellas depen-de depen-de la naturaleza depen-de lo que se depen-desea examinar. Durante las ´ultimas cuatro d´ecadas se han desarrollado en el laboratorio nuevos y sofisticados m´etodos optoelectr´onicos para an´alisis de deformaciones y desplazamientos, y algu-nos han tenido mucha aceptaci´on en el ramo industrial. La interferometr´ıa speckle o interferometr´ıa de patrones de moteado, es uno de estos m´etodos de an´alisis, y cada vez m´as se est´a desarrollando y mejorando. Se trata de un m´etodo de no contacto y de una alta sensibilidad para desplazamientos peque˜nos (del orden de longitudes de onda luminosa, nan´ometros). Se ha reportado que este m´etodo agiliza el an´alisis de deformaciones y reduce los costos al tratarse de una t´ecnica no destructiva. Este m´etodo, adem´as de no tener contacto f´ısico con la materia a ensayar, provee informaci´on de las
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 2
deformaciones sobre toda la superficie estudiada del material; es decir, es un m´etodo de campo completo.
Los equipos interferom´etricos modernos que se implementan en la indus-tria y en la investigaci´on usan herramientas sofisticadas y de elevado costo; por ejemplo, normalmente se emplean c´amaras CCD de alta velocidad de adquisici´on, utiliza software complejo para la generaci´on de los mapas de desplazamiento, etc. El costo de estos equipos asciende hasta cientos de mi-les de pesos, por lo cual puede ser a veces inaccesible para una escuela p´ublica para las pr´acticas de an´alisis de deformaciones en carreras ingenieriles.
En este trabajo de tesis se construir´a un arreglo experimental de interfero-metr´ıa l´aser que se adapte a una m´aquina de pruebas de tensi´on uniaxial, a partir del cual se analizar´an deformaciones en un material con el m´etodo de interferometr´ıa speckle. Por otra parte, tambi´en se analizar´an deformaciones mediante el metodo anal´ıtico para comparar resultados.
La finalidad es desarrollar una metodolog´ıa para medici´on de deformacio-nes mediante la t´ecnica interferometr´ıa speckle, por lo que el tipo de material bajo estudio ser´a irrelevante; bajo esta consideraci´on, se usar´a un material accesible, de bajo costo y que se conozca sus propiedades mec´anicas. Se opta por una placa de aluminio.
1.2.
Objetivos
1.2.1.
Objetivo General
Determinar los desplazamientos y las deformaciones en un material some-tido a cargas de tensi´on uniaxial, mediante la t´ecnica de interferometr´ıa de patrones speckle
1.2.2.
Objetivos particulares
Analizar los desplazamientos y las deformaciones en una placa de alu-minio mediante la interferometr´ıa de patrones speckle, en una prueba con una m´aquina de ensayos de tensi´on.
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 3
Determinar las deformaciones y desplazamientos de la probeta de alu-minio mediante un m´etodo anal´ıtico y una simulaci´on num´erica.
Efectuar un an´alisis de esfuerzos a partir de las deformaciones medidas con el m´etodo experimental y anal´ıtico.
Comparar los resultados experimentales con los que se obtienen en los an´alisis te´oricos y num´ericos.
1.3.
Justificaci´
on
Los m´etodos optoelectr´onicos de campo completo son relativamente re-cientes y a´un se siguen desarrollando y mejorando. Es por ello que es de particular inter´es que en M´exico tambi´en se tengan avances en esta ´area de investigaci´on, en especial con la interferometr´ıa de patrones speckle, princi-palmente aplicada a ensayos no destructivos.
Los m´etodos optoelectr´onicos de campo completo prometen ser m´etodos de an´alisis de esfuerzos y deformaciones con un bajo costo de implementa-ci´on, ya que son a la vez m´etodos no destructivos. Y por su caracter´ıstica de campo completo, pueden tener grandes aplicaciones en la industria para analizar las deformaciones en elementos mec´anicos para preveer fallas du-rante su funcionamiento. La adaptabilidad de la interferometr´ıa speckle en pruebas no destructivas en el ambiente industrial ha sido comprobada por varias compa˜n´ıas, entre las cuales el ramo aeron´autico, la industria de las llantas para ver la deslaminaci´on de los neum´aticos, la biomec´anica, etc.
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 4
modernos como por ejemplo los de correlaci´on digital de im´agenes, que tienen poca presicion de medic´ıon cuando las fuerzas aplicadas son peque˜nas.
1.4.
Alcances de la tesis
Este trabajo de tesis se limitar´a hasta la determinaci´on de los microdes-plazamientos en la superficie del material bajo estudio, mediante la t´ecnica de interferometr´ıa de patrones speckle. A partir de los cuales se calcular´an las deformaciones unitarias promedio. La obtenci´on de las franjas de correla-ci´on se realizar´a mediante la substraccorrela-ci´on digital de las im´agenes con alg´un software disponible.
El c´alculo de los microdesplazamientos se har´a mediante el conteo de las franjas de correlaci´on que resulten al procesar las im´agenes. Existen otras t´ecnicas para medir los desplazamientos que ofrecen mayor contraste en las franjas pero implican el tratamiento de los cambios de fase, para lo cual se necesitan instrumentos especiales. Como se prescinde de instrumentos ´opti-cos para la medici´on de los cambios de fase, se optar´a trabajar con el manejo de las intensidades, lo cual se puede hacer mediante un software de procesa-miento de im´agenes.
Se dejar´a como trabajo futuro hacer modificaciones al interfer´ometro y poder aplicar la t´ecnica de Shearography para poder determinar las derivadas de desplazamiento en forma directa.
1.5.
Estructura de la tesis
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 5
En el cap´ıtulo 4 se describe la metodolog´ıa que se sigue durante la fase ex-perimental; se mencionan detalladamente los pasos desde la construcci´on del interfer´ometro hasta la obtenci´on de las franjas de correlaci´on que revelan los desplazamientos que sufre el material bajo estudio. En el cap´ıtulo 5 se exponen los resultados de las mediciones obtenidas a partir de las franjas de correlaci´on y tambi´en la comparaci´on de esos resultados con los que se obtienen con un an´alisis te´orico y num´erico. La ´ultima parte corresponde a las conclusiones y la exposici´on de trabajos futuros con la t´ecnica de interfe-rometr´ıa de patrones speckle.
1.6.
Estado del Arte
La interferometr´ıa speckle no pudo ser si no se hubiese construido una fuente de luz coherente. As´ı pues, con el nacimiento del l´aser en 1960, cons-truido por Theodore Maiman [1], se inici´o una larga investigaci´on y se hicie-ron grandes descubrimientos en el campo de la ´optica. El fen´omeno de speckle o de moteado es quiz´a el descubrimiento m´as importante de la naturaleza del l´aser, que llev´o a los cient´ıficos a explorar posibles aplicaciones en el campo de la mec´anica experimental.
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 6
En el a˜no de 1974 Hung [4] desarrolla un interfer´ometro de Michelson mo-dificado que pod´ıa ser usado para obtener informaci´on de las derivadas de los desplazamientos de una superficie; es decir, permit´ıa la medici´on directa de-formaciones unitarias mediante el procesamiento de las im´agenes obtenidas. Casi en el mismo a˜no, Leendertz y Butters desarrollaron independientemente esta misma t´ecnica a la cual bautizaron posteriormente como Shearography [5]. A principios de los 80´s estos tres investigadores propusieron a la Shea-rography como una t´ecnica para medici´on de deformaciones unitarias y para pruebas no destructivas en el ambiente industrial.
La interferometr´ıa speckle, junto con el avance tecnol´ogico, como el desa-rrollo de c´amaras CCD y CMOS, computadoras y procesadores de im´agenes digitales, dio lugar a las t´ecnicas Interferometr´ıa Electr´onica de Patrones Speckle o Electronic Speckle Pattern Interferometry (ESPI) y Digital Shea-rography (DS). El m´etodo electr´onico y digital de la toma y procesamiento de las im´agenes fue propuesto por vez primera, en forma simult´anea, en la Uni-versidad de Stanford Estados Unidos y en la UniUni-versidad de Loughborough Inglaterra a principios de los 80´s [6].
A partir de estas investigaciones y con el creciente avance tecnol´ogico se empezaron las aplicaciones de las t´ecnicas interferom´etricas para resolver problemas reales en la industria y sustituir otros m´etodos de an´alisis de deformaciones (como las galgas extensom´etricas) para disminuir el tiempo y los costos de inspecci´on y porque ofrecen la ventaja de an´alisis de campo completo, en lugar de analizar un solo punto.
En el a˜no de 1996, Moore [7] desarroll´o un arreglo experimental con el que fue posible medir desplazamientos en dos direcciones del plano del objeto estudiado. El objeto que estudi´o fue una viga en cantil´ever. Para el c´alculo de los desplazamientos tanto verticales como horizontales, tambi´en desarroll´o un programa propio que revelaba los mapas de desplazamiento de la superficie de la viga. Los resultados de los microdesplazamientos medidos con la t´ecnica ESPI fueron comparados con las predicciones te´oricas, y observaron que los resultados coincid´ıan muy bien.
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 7
correlaci´on que contienen la informaci´on necesaria para calcular el desplaza-miento. Para este prop´osito, existen softwares comerciales disponibles con su propio algoritmo; pero tambi´en se pueden desarrollar softwares propios para el problema que se piensa atacar. En este aspecto, Amodio [8] propone un nuevo e interesante proceso digital para la correlaci´on de las im´agenes que se obtienen de la t´ecnica ESPI.
Con la idea de desarrollar una herramienta educativa para experimentos de interferometr´ıa, se han propuesto algunos experimentos sencillos con re-sultados bastante aceptables. Por primera vez, en 2004 se reportan experi-mentos usando una c´amara digital comercial como medio de adquisici´on de im´agenes y el uso de sencillos, econ´omicos y accesibles elementos ´opticos en el arreglo interferom´etrico [9, 10]. Un a˜no m´as tarde, Vannoni [11] reporta resultados satisfactorios mediante la implementaci´on de una c´amara digital en arreglos experimentales sensibles a desplazamientos en el plano, fuera del plano y an´alisis de vibraciones; el procesamiento de las im´agenes se efec-tu´o mediante un programa comercial. De igual manera, en el departamento de ingenier´ıa electr´onica de la universidad de Roma, con el fin de entender y mostrar la potencialidad de la Shearography con aplicaciones reales, se desa-rroll´o un equipo did´actico para cursos de interferometr´ıa que hace uso de las herramientas digitales que ofrece la plataforma LabVIEWTM de National Instrument [12].
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 8
En el 2012 [14], en el Instituto Avanzado de Ciencia y Tecnolog´ıa de Co-rea del Sur se desarroll´o un sistema dual para medici´on de desplazamientos mediante ESPI y deformaciones con Shearography con aplicaciones en la in-dustria; se trata de un equipo ”h´ıbrido”, que es vers´atil a ambas t´ecnica de medici´on. Adem´as de construir el equipo interferom´etrico, tambi´en se desa-rroll´o un algoritmo propio para revelar los mapas de fase del proceso de deformaci´on a partir de las im´agenes digitales tomadas del objeto estudiado.
De forma similar, en la universidad de Cranfield, Reino Unido, [15] se pre-sent´o un equipo de Shearography con iluminaci´on m´ultiple, para la medici´on directa de las deformaciones unitarias de un objeto; es decir, permite la ob-tenci´on de los gradientes de deformaci´on en los las tres direcciones del objeto sometido a carga. Como se puede ver en la figura 1.1, el arreglo consiste en tres diferentes puntos de iluminaci´on l´aser en diferentes planos y un inter-fer´ometro de Michelson modificado adaptado a una c´amara CCD que funge como el medio de observaci´on y captura de im´agenes. Se hizo el desarrollo te´orico para la determinaci´on del tensor de esfuerzos en tercera dimensi´on, y se encontr´o que conociendo el cambio de fase de las iluminaciones en las tres direcciones, se pod´ıa encontrar todas las componentes de deformaci´on unita-ria del objeto, excepto aquellas relacionadas con el espesor del mismo (ya que solo se puede conocer el estado de la superficie iluminada). El cambio de fase en las tres direcciones de iluminaci´on se calcul´o a partir t´ecnicas de an´ali-sis de fase desarrolladas por los precursores de los m´etodos interferom´etricos, Leendertz, Butters y Hung. Posteriormente, en la misma universidad [16, 17], se desarroll´o un equipo que tambi´en permit´ıa la medici´on de deformaciones en tercera dimensi´on, ahora con cuatro direcciones de observaci´on y una de iluminaci´on; pero lo innovador en este equipo fue que las cuatro lentes de observaci´on se conectaron a fibras ´opticas para trasportar las intensidades registradas a un interfer´ometro de Michelson modificado colocado sobre una mesa ´optica, como se aprecia en la figura 1.2; de esta forma, el equipo ad-quiere mucha practicidad para adaptarlo en ambientes con mucha vibraci´on o en espacios reducidos.
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 9
Figura 1.1: Sistema Shearography de iluminaci´on m´ultiple (James S. 2008).
sistema compacto se monta en un tr´ıpode, con facilidad de adaptarse a una gran variedad de aplicaciones.
Otras empresas dedicadas a fabricar y vender equipos relacionados son Steinbichler Optotechnik GmbH [19], Optonor AS [20], ISI-sys [21], el depar-tamento de ingenieria en ´optica de la universidad de Loughborough, Reino Unido [22], y el Laser Technology Inc, Estados Unidos [23].
CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON 10
Figura 1.2: Sistema Shearography de observaci´on m´ultiple (tomado de la tesis doctoral de D. Francis, 2008).
El m´etodo ESPI se ha usado para detectar con anticipaci´on fallas por fatiga en aceros de alta resistencia, [28]. Se puede determinar la transici´on de deformaci´on el´astica a deformaci´on pl´astica mediante la observaci´on del cambio de inclinaci´on de los patrones speckle [29].
Bibliograf´ıa
[1] Aboites V. (1991)El l´aser. La Ciencia para todos 105. Fondo de Cultura Economica, pp. 40-41.
[2] Oliver B.M. (1962)Sparkling spots and random diffraction. IEEE, 51(1) 220-221.
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Cap´ıtulo 2
FEN ´
OMENOS ´
OPTICOS
2.1.
Difracci´
on
El t´ermino ”difracci´on”ha sido convenientemente descrito por Sommerfeld como cualquier desviaci´on de los rayos de luz de su trayectoria rectil´ınea, que no se puede interpretar como refracci´on o reflexi´on.[1]
Este fen´omeno se puede observar cuando, un cuerpo opaco es colocado a medio camino entre una pantalla y una fuente de luz. La sombra proyectada se compone de regiones claras y obscuras; cosa muy diferente de lo que se podr´ıa observar considerando los principios de la ´optica geom´etrica. En la figura 2.1 se puede apreciar este fen´omeno [2].
2.2.
Coherencia
Un haz de luz es coherente cuando las ondas que lo componen mantienen sus fases y frecuencias constantes. Tambi´en se puede definir de la siguiente manera: Dos puntos de una onda son coherentes cuando guardan una relaci´on de fase constante; es decir, cuando conocido el valor instant´aneo del campo el´ectrico de unos de los puntos, es posible predecir el del otro [2, 3].
Consid´erese el caso m´as sencillo de s´olo dos campos el´ectricos E1,2. Dos
ejemplos particulares t´ıpicos son los siguientes: E1,2 pueden representar el
valor del campo el´ectrico asociado a la luz en dos puntos del espacio en el mismo instante de tiempo E1,2 =E(X1,2, t) (coherencia espacial) o su valor
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 15
Figura 2.1: La sombra proyectada de una mano iluminada (Hecht, 2002).
en el mismo punto en dos instantes de tiempo E1,2 =E(X, t1,2) (coherencia
temporal). La longitud espacial correspondiente en la que la onda luminosa oscila de manera regular y previsible es la longitud de coherencia.
2.3.
Camino ´
optico y diferencia de fase
La longitud de camino ´optico se define como el producto de la longitud geom´etrica que recorre la luz en un sistema y el ´ındice de refracci´on del medio a trav´es del cual se propaga. Una diferencia en la longitud del paso ´optico entre dos caminos se denomina diferencia de camino ´optico o diferencia de paso ´optico. La longitud de paso ´optico es muy importante ya que determina el cambio de fase en las ondas de luz y gobierna los fen´omenos de interferencia y difracci´on.
La diferencia de camino ´optico ∆P que recorren dos fuentes puntuales est´a dada por:
∆P =r2−r1 (2.1)
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 16
[image:31.612.204.404.179.399.2]es proporcional a la diferencia entre los respectivos pasos ´opticos que han recorrido las dos ondas desde el origen hasta el punto en el que interfieren, v´ease la figura 2.2.
Figura 2.2: Diferencia de camino ´optico.
De esta forma, la diferencia de fase introducida por una diferencia de ca-mino ´optico es:
δ = 2π
λ n(r2−r1) (2.2)
Donden es el ´ındice de refracci´on del medio en el que se propaga la luz y el t´ermino n(r2−r1) es propiamente la diferencia de camino ´optico.
2.4.
Interferencia
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 17
La situaci´on t´ıpica en la que se pone de manifiesto la coherencia es la suma de dos ondas de forma que se tiene la variable aleatoria E =E1+E2
(la linealidad de las ecuaciones de Maxwell implican que cuando dos campos el´ectricos coinciden en un punto, el campo el´ectrico total es la suma de los campos el´ectricos individuales). De esta manera, si dos ondas de id´entica frecuencia y con amplitudes ligeramente distintas se combinan, el resultado ser´a una ´unica onda que mantiene la misma frecuencia pero cuya amplitud ser´a la suma de ambas.
Puesto que obedece el principio de superposici´on, la intensidad del campo el´ectrico resultanteE, en un punto en el espacio donde dos o m´as ondas de luz se superponen, es igual a la suma vectorial de las perturbaciones constitutivas individuales. Por lo tanto, la interferencia ´optica equivale a la interacci´on de dos o m´as ondas de luz que producen una irradiancia resultante que se desv´ıa de la suma de las irradiancias componentes.
De acuerdo con el principio de superposici´on, la intensidad del campo el´ectrico E, en un punto en el espacio, procedente de los campos separados
E1, E2,. . . de varias fuentes contributivas viene dada por:
E =E1 +E2+... (2.3)
La perturbaci´on ´optica o campo luminoso E, var´ıa en el tiempo a ele-vadas frecuencias de tal forma que el campo real resulta ser una cantidad poco pr´actica de detectar. Sin embargo, la irradiancia I puede ser medida directamente utilizando sensores apropiados.
Consid´erese dos fuentes puntuales que emiten ondas monocrom´aticas de la misma frecuencia en un medio homog´eneo y que su separaci´on sea mucho mayor que λ.
E1(r, t) = E01cos(k1.r−ωt+ε1) (2.4) E2(r, t) = E02cos(k2.r−ωt+ε2) (2.5)
La irradiancia es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo el´ectrico, es decir:
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 18
Dondeces la velocidad de la luz,ǫ0 es la permitividad el´ectrica del medio
y hE2i
T representa el promedio temporal de la magnitud de intensidad del
campo el´ectrico al cuadrado. Puesto que se trata del mismo medio, se pueden omitir las constantes; de esta forma se tiene:
I =hE2iT (2.7)
El t´ermino E2 se puede expresar de la siguiente manera:
E2 =E.E
De aqu´ı se tiene:
E2 = (E1+E2).(E1+E2)
Por lo tanto:
E2 =E12 +E22+ 2E1.E2
Tomando el promedio del tiempo de ambos lados de la ecuaci´on, la irradiancia es
I =I1+I2+I12 (2.8)
siempre y cuando se cumple las siguientes igualdades:
I1 =hE12i
I2 =hE22i I12=hE1.E2i
Aqu´ı, la ´ultima expresi´on se denomina t´ermino de interferencia, el cual tambi´en se expresa como
I12 = 2
p
I1I2cosδ
Por lo tanto, la irradiancia total es
I =I1+I2+ 2
p
I1I2cosδ (2.9)
Dondeδ es la diferencia de fase resultante de la combinaci´on de una diferen-cia de longitud de camino y una diferendiferen-cia de ´angulo de desfase inidiferen-cial. Un m´aximo de irradiancia se tiene cuando cosδ = 1, es decir:
Imax =I1+I2+ 2
p
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 19
Esto es paraδ = 0,±2π,±4π, . . .. Cuando esto ocurre se dice que hay inter-ferencia constructiva total.
Una irradiancia m´ınima se produce al estar las ondas desfasadas 180◦, los
valles se superponen a las crestas, cuando cosδ =−1
Imin =I1+I2−2
p
I1I2 (2.11)
Esto sucede cuandoδ =±π,±3π,±5π,a lo cual se denomina interferen-cia destructiva total. Aqu´ı se nota un caso muy importante en la interfero-metr´ıa, y es que cuando las dos irradiancias I1 eI2 son iguales, la irradiancia
m´ınima se convierte en cero, lo cual se interpreta como un espacio obscuro.
2.5.
Modos de interferencia
Los sistemas interferom´etricos, es decir las formas por las cuales se puede generar interferencia, se dividen b´asicamente en dos. Estas son interferencia por divisi´on de frente de onda e interferencia por divisi´on de amplitud [2].
2.5.1.
Interferencia por divisi´
on de frente de onda
Esta t´ecnica interferom´etrica consiste en crear, a partir de frente ´unico de onda, dos frentes de onda secundarios que despu´es se combinar´ıan pa-ra interferir. Este fen´omeno se puede exponer mediante el experimento de Thomas Young, quien con las observaciones de sus resultados y dando una explicaci´on del fen´omeno de difracci´on implicado, colabor´o fuertemente con la teor´ıa ondulatoria de la luz. En la figura 2.3 se muestra un esquema del experimento de Young.La fuente S es monocrom´atica y puntual, con lo que emite ondas esf´ericas. Los frentes de onda emitidos por S llegan a las aberturas S1 y S2 hechas en una pantalla opaca. Estas aberturas se convierten en emisores secundarios de ondas esf´ericas que, se superponen al propagarse. N´otese que las dos ondas que interfieren (las emitidas por S1 y S2) han sido obtenidas a partir de un ´
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 20
Figura 2.3: Esquema del experimento de difracci´on e interferencia de Young.
2.5.2.
Interferencia por divisi´
on de amplitud
Esta t´ecnica para producir interferencia consiste en hacer incidir una onda primaria sobre una superficie parcialmente reflejante para dividirla en dos ondas secundarias que viajan por caminos diferentes antes de recombinarse e interferir.
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 21
inferiores a la original; por lo tanto, podr´a decirse que la amplitud ha sido dividida. Si las dos ondas separadas pueden reunirse de alguna manera en un detector, se producir´a interferencia siempre y cuando la coherencia origi-nal entre las dos ondas no haya sido destruida. Si las longitudes de camino difiriesen en una distancia mayor que la del tren de onda (por ejemplo, la longitud de coherencia), las partes reunidas en el detector corresponder´ıan a diferentes grupos de onda. Por lo tanto, en ese caso, no existir´ıa una relaci´on de fase ´unica entre ellas y la distribuci´on de franjas ser´a inestable hasta tal punto que no ser´a posible observarlas.
Otro dispositivo que se ha usada para divisi´on de amplitud es una rejilla de difracci´on, que produce, adem´as del haz transmitido, uno o m´as haces difractados. Otro dispositivo m´as que puede usarse es un prisma de polariza-ci´on, que produce dos haces ortogonalmente polarizados. Estos dispositivos de divisi´on de amplitud se muestran esquem´aticamente en la figura 2.4
Figura 2.4: T´ecnicas de divisi´on de amplitud: a) un divisor de haz; b) una rejilla de difracci´on; c) prisma de polarizaci´on.
2.6.
Tipos de franjas de interferencia
En general, el problema de localizaci´on de las franjas de interferencia es caracter´ıstico de un interfer´ometro dado, es decir, se tiene que resolver de forma particular para cada dispositivo.
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 22
Todos los rayos que forman estas franjas convergen, por s´ı solos, al punto de observaci´on. Las franjas virtuales no pueden proyectarse en una pantalla sin el sistema de enfoque. En este caso los rayos obviamente no convergen.
Las franjas no localizadas son reales y existen en cualquier lugar dentro de una regi´on extensa del espacio. La distribuci´on est´a literalmente no lo-calizada en el sentido de que no est´a restringida a ninguna regi´on peque˜na. El experimento de Young llena el espacio detr´as de las fuentes secundarias con una serie entera de franjas reales. Las franjas no localizadas de este tipo generalmente son producidas por fuentes peque˜nas, es decir, fuentes puntua-les o lineapuntua-les, sean virtuapuntua-les o reapuntua-les. Por el contrario, las franjas localizadas pueden observarse claramente s´olo en una superficie particular. Esta distri-buci´on est´a literalmente localizada, ya sea cerca de una pel´ıcula delgada o en el infinito. Este tipo de franjas resultar´a siempre del uso de fuentes extensas pudiendo tambi´en producirse con una fuente puntual.
2.7.
Interfer´
ometro de Michelson
Un interfer´ometro de Michelson se compone de un par de espejos M1 y M2, un divisor de haz y una placa de compensaci´on id´entica al divisor de
haz (pero sin el recubrimiento). En el interfer´ometro de Michelson, el haz de la fuente es dividido en dos partes mediante divisi´on de amplitud, como se muestra en la figura 2.5, por una placa parcialmente reflectante. El mismo divisor de haz servir´a para recombinar los haces reflejados en los dos espejos. Los haces usualmente viajan en direcciones ortogonales y cuando regresan y pasan por el divisor de haz forman un patr´on de interferencia. La reflexi´on en el divisor de haz produce una imagen virtual M′
2 del espejoM2. El patr´on de
interferencia que se observa es, por lo tanto, semejante al que se observar´ıa en una capa de aire delimitada por M1 y M2′.
Cuando se usa una fuente de luz monocrom´atica, no es necesario intro-ducir la placa de compensaci´on. Esta placa solo se usa cuando se ocupa una fuente cuasi monocrom´atica, para compensar la dispersi´on en el vidrio. Es interesante notar que cuando se usa una fuente puntual monocrom´atica se forman franjas no localizadas. Las franjas pueden ser circular o l´ıneas rec-tas dependiendo del alineamiento. Con una fuente monocrom´atica extensa, se forman franjas circulares en el infinito cuando M1 y M2′ son paralelos. Si
CAP´ITULO 2. FEN ´OMENOS ´OPTICOS 23
Figura 2.5: Interfer´ometro de Michelson.
generan franjas de igual espesor (paralelas).
[image:38.612.204.405.121.338.2]Cuando se usa luz colimada (como el l´aser), el interfer´ometro de Michelson modificado se conoce como interfer´ometro de Twyman–Green, v´ease la figura 2.6. Al mover uno de los espejos del interfer´ometro surge una diferencia de camino ´optico, surgiendo as´ı franjas de interferencia. Con este interfer´ometro es posible calcular con mucha precisi´on el desplazamiento que sufre un objeto, conociendo la longitud de onda de la fuente de iluminaci´on y el n´umero de franjas de interferencia que surgen con el movimiento.
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Cap´ıtulo 3
INTERFEROMETR´IA DE
PATRONES SPECKLE
3.1.
El fen´
omeno speckle
Cuando una superficie ´opticamente rugosa se ilumina con luz que tenga un alto grado de coherencia, tal como una procedente de un l´aser, la luz dispersada presenta una distribuci´on de intensidad particular, haciendo que la superficie parezca estar cubierta con una estructura granular fina [1]. Esta estructura, que consiste en manchas claras y obscuras alternadas de forma variable, y distribuidas de forma aleatoria, no tiene ninguna relaci´on obvia con las propiedades macrosc´opicas de la superficie. Tal distribuci´on de inten-sidad se conoce como patr´on speckle o patr´on de moteado. En la figura 3.1 se muestra un t´ıpico patr´on speckle generado por un haz de l´aser.
Tambi´en se pueden generar patrones speckle cuando se combinan dos ha-ces de l´aser provenientes de la misma fuente. Esta t´ecnica es la base de la interferometr´ıa speckle para an´alisis de deformaciones. Los patrones speckle que se generan sobre la superficie de un material, cambian cuando ´este su-fre deformaciones o desplazamientos. Estos cambios se pueden visualizar y analizar para calcular esos desplazamientos [2].
Un patr´on speckle surge cuando la longitud de onda del haz que se hace incidir es mucho menor que las crestas y valles (dispersores) de la superficie estudiada. Las ondas se reflejan y se dispersan en la superficie e interfieren en alg´un punto. Y ya que los dispersores o centros dispersores est´an
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 26
Figura 3.1: Patr´on speckle generado por un haz de l´aser.
dos aleatoriamente sobre la superficie, los speckles que se generan tambi´en presentan una distribuci´on de fase y amplitud aleatoria [1]. Esta descripci´on se ilustra en la figura 3.2.
Sin importar de qu´e figura se trate, el campo luminoso en un punto es-pec´ıfico P(x, y, z) de un patr´on speckle debe ser la suma de N n´umeros de componentes representando la contribuci´on de todos los centros dispersores [1]. Esta misma analog´ıa se puede aplicar al considerar un vidrio esmerilado que est´a siendo iluminado desde la parte posterior [2].
Desde la invenci´on del l´aser en los primeros a˜nos de la d´ecada de 1960 [1], ha habido un creciente inter´es por el fen´omeno speckle, y desde entonces se han propuesto muchas aplicaciones en el ´area de la mec´anica experimental.
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 27
Figura 3.2: Formaci´on de un patr´on speckle.
Durante la d´ecada de los 60´s se dieron grandes avances en ´optica con la creaci´on de los l´aseres, y con ello la exploraci´on hacia posibles aplicaciones, particularmente a la holograf´ıa, que en ese entonces parec´ıa ser un campo prometedor en la ´optica. En sus inicios, cuando se empezaron a estudiar los fen´omenos inherentes al laser, entre ellos el fen´omeno speckle, se pens´o que el moteado que se produce al hacer incidir laser sobre una superficie es un ruido o imperfecci´on del laser que era necesario eliminar [4], pues repercut´ıa nega-tivamente en la calidad de los hologramas. Sin embargo, los investigadores no tardaron en darse cuenta que ese fen´omeno pod´ıa tener aplicaciones en va-rios campos de la ciencia y la ingenier´ıa, ya que se observ´o que los patrones speckle eran sensibles a los movimientos de la superficie eliminada; siendo as´ı un portador de informaci´on relativa a cambios locales de la superficie. Fue entonces cuando se sentaron las bases de un nuevo campo de investiga-ci´on llamado metrolog´ıa speckle [1]. Desde entonces, hasta nuestros d´ıas, se sigue explorando, desarrollando y mejorando los m´etodos que involucran el fen´omeno Speckle.
3.1.1.
Dimensiones de un speckle
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 28
Patr´on speckle objetivo
Cuando se observa un patr´on speckle propag´andose libremente en el es-pacio sin aparatos ´opticos (lentes, espejos, etc.), el patr´on observado se le denomina speckle objetivo. El tama˜no de un speckle en el modo de speckle objetivo se determina por [2]:
σob= λZ
D
[image:43.612.189.420.328.568.2]dondeDes el tama˜no del ´area iluminada del objeto yZes la distancia entre el objeto y el plano de observaci´on (v´ease la figura 3.3). El tama˜no est´a regido por la interferencia de las ondas entre los puntos dispersores extremos del objeto. el tama˜no del speckle crece linealmente con la separaci´on entre el objeto y el plano de observaci´on.
Figura 3.3: a) Speckle objetivo; b) Speckle subjetivo.
Patr´on speckle subjetivo
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 29
ondas de varios centros dispersores en el elemento de resoluci´on (´area) de la lente. La dimensi´on del speckle est´a gobernada por la formula de Airy. El di´ametro del disco de Airy est´a dado por la aproximaci´on [2]:
σs = λb D′
DondeD′ es el di´ametro de la lente ybes la distancia de la imagen (v´ease la
figura 3.3). Aqu´ı, el tama˜no del speckle se determina a partir de la apertura de la lente. El patr´on speckle objetivo inmediatamente enfrente de la lente se transmite a trav´es de la misma y aparece en su otro extremo. Los speckle en la periferia de este patr´on determinan el tama˜no del speckle en el plano imagen.
Introduciendo el n´umero F de la lente, F = Df′, donde f es la distancia
focal, el tama˜no promedio del speckle se puede expresar como:
σs= (1 +m)λF (3.1)
Aqu´ı se ha introducido la magnificaci´on de la lente, m = ab = b−f f , que
se define como la amplificaci´on del objeto en la imagen capturada. De esta manera, se puede observar que el tama˜no del speckle se puede controlar mediante (i) la magnificaci´on m, y (ii) el n´umero F de la lente. El control del tama˜no de un speckle mediante el n´umero F es muy importante en la interferometr´ıa electr´onica de patrones para ajustar el tama˜no del pixel de la c´amara CCD con el tama˜no del speckle [6].
3.2.
Sensibilidad al desplazamiento
3.2.1.
Desplazamiento lineal en el plano de la
superfi-cie
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 30
[image:45.612.190.420.179.415.2]speckle subjetivo, el movimiento del patr´on es en la direcci´on contraria a la del objeto y su magnitud es md, donde m es la magnificaci´on de la lente (v´ease la figura 3.4 a).
Figura 3.4: Desplazamiento en el plano: a) speckle objetivo; b) speckle subjetivo.
3.2.2.
Desplazamiento fuera del plano
Para este caso, consid´erese que un patr´on speckle formado en una posi-ci´on P(r,0), como se muestra en la figura 3.5 a). Este patr´on se debe a la superposici´on de todas las ondas que provienen del objeto. Cuando el objeto se traslada axialmente a una distancia ε, todas estas ondas cambian de fase aproximadamente a la misma cantidad. Si la fase cambia en un m´ultiplo de 2π, entonces un estado similar de speckle existir´a en el puntoP′(r−∆r,0);
es decir, el patr´on speckle cambiar´a radialmente por ∆r. Por tanto, se tiene
r z =
r−∆r z−ε
Lo cual queda como
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 31
Figura 3.5: Desplazamiento fuera del plano: a) patr´on speckle objetivo; b) patr´on speckle subjetivo.
Una situaci´on similar se tiene para el patr´on speckle subjetivo, como se muestra en la figura 3.5 b). De esta forma se tiene:
a a−ε =
r r+ ∆r
Lo cual tambien queda como
∆r= r
a
Donde a es la distancia al objeto. De esta manera, para la traslaci´on axial del objeto, el patr´on speckle cambia en forma radial. Se expande o contrae seg´un c´omo se mueve el objeto.
3.3.
Medici´
on del vector de desplazamiento
Cuando un objeto iluminado por dos haces de iluminaci´on es deformado, surge una diferencia de fase a causa de un desplazamiento. Este cambio de fase es responsable de la formaci´on de patrones de franjas.
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 32
El vector de distancia P P′ es el vector de desplazamiento d. Consid´erese la
geometr´ıa que se muestra en la figura 3.6 para calcular la diferencia de fase que surge debido a la deformaci´on introducida. La diferencia de fase δ en el punto de observaci´on O est´a dada por
δ =k1·r1+k2·r2−(k1+ ∆k1)·r′1−(k2+ ∆k2)·r′2 (3.2)
Se puede expresar r′
1 y r2′ con las siguientes relaciones r1+d=r′1
r′
2+d=r2
Sustituyendo estas relaciones en la ecuaci´on 3.2 se tiene
δ=k1·r1+k2·r2−(k1+ ∆k1)·(r1+d)−(k2+ ∆k2)·(r2−d)
δ =k1·r1+k2·r2−k1·r1−∆k1·r1−k1·d−∆k1·d−k2·r2+k2·d+∆k2·d−∆k2·r2
Finalmente simplificando, queda:
δ= (k2−k1)·d (3.3)
Esta expresi´on se obtuvo bajo la condici´on experimental donde el vector de desplazamiento es del orden de unos cuantos micr´ometros y las distancias
r1 y r2 del orden de unos dec´ımetros hasta metros. Tomando esto en cuen-ta, los vectores r1 y r2 son perpendiculares a ∆k1 y ∆k2, respectivamente, y por lo tanto los productos entre estos t´erminos son autom´aticamente ce-ros. Asimismo, los t´erminos restantes ∆k1·d y ∆k2·d tambi´en se pueden despreciar.
3.4.
Medici´
on de deformaciones en el plano
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 33
Figura 3.6: C´alculo de la diferencia de fase.
La diferencia de fase introducida por una peque˜na deformaci´on en la su-perficie del material est´a dada por la ecuaci´on 3.3.
Cuando el objeto es iluminado sim´etricamente con respecto a su normal por dos haces provenientes de la misma fuente y la observaci´on se hace sobre el eje ´optico, el arreglo experimental genera franjas que son contornos que representan regiones de desplazamientos constantes en el plano. Las franjas resultantes se conocen como franjas de correlaci´on[2].
En la figura 3.7 se muestra el esquema del arreglo experimental para medici´on de desplazamientos en el plano. El esp´ecimen es iluminado por dos haces de l´aser que inciden sim´etricamente formando los ´angulos θ y −θ con respecto del eje ´optico.
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 34
Figura 3.7: Configuraci´on para la medici´on de desplazamientos en el plano.
Consid´erese que el objeto est´a siendo iluminado por ondas planas de uni-dad de amplitud, que se representan en el plano del objeto por eikxsenθ y e−ikxsenθ. De esta manera, la amplitud total de las ondas sobre el plano del
objeto es la suma de estas dos amplitudes; es decir, eikxsenθ+e−ikxsenθ.
El proceso de dispersi´on de las ondas sobre la superficie del objeto puede representarse por ℜ(x, y), que es una funci´on compleja e incluye las carac-ter´ısticas de la superficie del objeto. As´ı, el campo generado sobre la superficie al momento de ser iluminada es
ℜ(x, y)(eikxsenθ+e−ikxsenθ
)
La amplitud sobre el plano imagen se obtiene a trav´es de la integral de superposici´on:
u(xi, yi) =
Z Z
ℜ(x, y)(eikxsenθ+e−ikxsenθ)h(x
i−mx, yi−my)dxdy
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 35
dondeh(x, y) es la funci´on de impulso ymes la magnificaci´on de la lente,
a1(xi, yi),φ1(xi, yi),a2(xi, yi),φ2(xi, yi), son las amplitudes y las fases de las
ondas de speckle en el plano imagen debido a cada una de las ondas de iluminaci´on. Cuando el objeto es deformado o desplazado un valor dx en la
direccion xdel plano, la amplitud en el plano imagen se puede escribir como
u′(x
i, yi) = a1(xi, yi)eiφ1(xi,yi)eikdxsenθ +a2(xi, yi)eiφ2(xi,yi)e−ikdxsenθ
Las intensidades de las dos exposiciones sobre la superficie (antes y des-pu´es de la deformaci´on) son:
I1(x, y) =a21+a22+ 2a1a2cos(φ1−φ2) =a21+a22+ 2a1a2cosφ (3.4)
I2(x, y) =a21+a22+ 2a1a2cos(φ+δ) (3.5)
dondeδ es la fase introducida por la deformaci´on. Para mediciones en el plano, se representa por
δ= 2kdxsenθ =
4π
λ dxsenθ
M´as adelante se demuestra que, efectivamente, para el arreglo mostrado en la figura 3.7, δ es igual a 2kdxsenθ, donde θ es el ´angulo de iluminaci´on
que forman los dos haces.
Ya queℜ(x, y) es una variable aleatoria, φ1,φ2,a1,a2 tambi´en son
varia-bles aleatorias.
La intensidad total registrada ser´a:
I1+I2 = 2a21+ 2a22+ 4a1a2cos(φ+ δ
2)cos
δ
2 (3.6)
En las ecuaciones (3.4)y (3.5) paraI1eI2se puede notar un hecho muy
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 36
A continuaci´on se demuestra queδ= 2kdxsenθ. El cambio de faseδdebido
a un desplazamiento se puede expresar como
δ =δ2−δ1 = (k2−k1)·d−(k2−k′1)·d= (k′1−k1)·d (3.7)
donde d = dxi+dyj+dzk y k′1 y k1 son los vectores de propagaci´on
de los haces de iluminaci´on. La ecuaci´on para la diferencia de fase δ2 es δ2 = (k2−k1)·d, la cual se dedujo previamente.
De la geometr´ıa del arreglo mostrado en la figura 3.7, k′
1 y k1 se expresan
por:
k′ 1 =
2π
λ (senθi−cosθk)
k1 =
2π
λ (−senθi−cosθk)
De esta forma, el vectork′
1−k1 queda como:
k′
1−k1 =
2π
λ (2senθi) (3.8)
la cual est´a sobre el plano del objeto. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuaci´on 3.7, queda
δ = (2π
λ 2senθi)·(dxi+dyj+dzk) δ = 2π
λ 2dxsenθ (3.9)
As´ı, el cambio de faseδest´a gobernado por el componente de desplazamiento
dx en la direcci´on x
Para el caso de la suma de intensidades, las franjas m´as brillantes se forman cuando
2π
λ 2dxsenθ= 2nπ
Por lo tanto
dx= nλ
2senθ (3.10)
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 37
De la ecuaci´on 3.10 se concluye que las franjas de correlaci´on que se generan en la superficie del objeto difieren por una separaci´on de λ
2senθ. Por lo tanto,
para conocer el desplazamiento total sufrido por la superficie del objeto en la direcci´onx, se tiene que multiplicar el factor de separaci´on por el n´umero de franjas de correlaci´on generadas.
La sensibilidad de este arreglo puede variar en un amplio rango desde 0 a λ
2 por franja simplemente variando el ´angulo de incidencia de los haces de
iluminaci´on.
La medici´on de desplazamientos en el plano para este arreglo tiene las siguientes caracter´ısticas:
Como se ha visto en este an´alisis te´orico, la contribuci´on del compo-nente dz del desplazamiento fuera del plano ha sido completamente
compensado por la iluminaci´on colimada. Esto se debe al hecho de que ambas ondas de iluminaci´on sufren cambios de fase iguales derivados del desplazamiento fuera del plano y, por tanto, el cambio de fase neto es cero.
El arreglo no es sensible a desplazamientos en la direcci´on y. Sin em-bargo, es posible medir los componentes de desplazamiento dy en la
direcci´on y simplemente rotando el arreglo experimental a 90◦
Ofrece una sensibilidad variable
La desventaja principal de este arreglo es que las franjas de correlaci´on generadas tienen un bajo contraste.
3.5.
Medici´
on de deformaciones fuera del plano
Para medir deformaciones fuera del plano (o perpendicular a la direcci´on de iluminaci´on) se usa un arreglo como el que se muestra en la figura 3.8. Se trata de un interfer´ometro de Michelson, en el cual uno de sus espejos se sustituye por la superficie del objeto bajo estudio. Tiene por lo tanto un haz de referencia que es especular. La lente L2 genera una imagen del objeto en
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 38
[image:53.612.133.478.206.574.2]registro de im´agenes, despu´es de que el objeto ha sido sometido a cargas. Antiguamente este proceso se efectuaba por medio de una placa fotogr´afica. El interferograma que se genera de esta doble exposici´on, despu´es de ser filtrado, muestra franjas que son contornos o curvas de desplazamiento fuera del plano.
Figura 3.8: Configuraci´on para medici´on de desplazamiento fuera del plano.
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 39
I1(xi, yj) =a12 +a20 + 2a1r0cos(φ1−φr) =a21+a20+ 2a1a0cosφ (3.11)
Donde a1,φ1,φ son variables aleatorias. La segunda exposici´on registra
una distribuci´on de intensidad dado por
I2(xi, yj) = a21+a20+ 2a1a0cos(φ+δ) (3.12)
Donde la diferencia de faseδ, introducido por la deformaci´on, est´a dado por
δ = (k2−k1)·d = (2π
λ )2dz (3.13)
La diferencia de fase depende ´unicamente del componente de desplaza-miento dz fuera del plano. Las franjas luminosas se forman siempre y cuando
se cumple la siguiente relaci´on
(2π
λ )2dz = 2nπ
Donde se obtiene
dz = nλ
2 (3.14)
De esta manera, las franjas consecutivas generadas por un desplazamiento est´an separadas por λ
2.
3.6.
Interferometr´ıa Electr´
onica De Patrones
Speckle (ESPI)
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 40
[image:55.612.163.448.311.520.2]En la configuraci´on b´asica de la t´ecnica ESPI, mostrada en la figura 3.9 el objeto de estudio es iluminado por un haz de l´aser apropiadamente ex-pandido y capturado por una c´amara CCD. Un segundo haz coherente, que act´ua como haz de referencia, se superpone en el plano del sensor sobre la imagen a trav´es de un divisor de haz BS2 (beam splitter en ingl´es). Este haz se puede elegir de manera que emerja desde el plano focal delantero del sis-tema de toma de imagen, proporcionando as´ı un frente de onda plano como referencia en el sensor CCD de la c´amara. La apertura del sistema debe ser lo suficientemente peque˜na como para que un solo speckle sea m´as grande que un pixel del sensor CCD; de lo contrario, varios granos de speckle podr´ıan caer sobre un solo pixel del sensor, degradando el contraste de todo patr´on [3].
Figura 3.9: Esquema general de la t´ecnica ESPI.
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 41
de intensidades resultante presentar´a variaciones de intensidad en correlaci´on con el correspondiente cambio de fase (2π) entre las dos intensidades.
Para aquellos puntos donde la fase ha cambiado en un m´ultiplo entero de (2π) radianes entre las dos muestras, los dos diagramas speckle estar´an completamente correlacionados y, como consecuencia, las diferencia entre las dos intensidades ser´a cero, mostrando un punto oscuro. El otro extremo lo presentan las zonas donde la fase ha cambiado en un m´ultiplo impar de π
radianes entre las dos muestras; la diferencia mostrar´a puntos m´as lumino-sos. En general, aquellos puntos que han sufrido un cambio arbitrario de fase aparecer´an, despu´es de la sustracci´on, con intensidades entre estos dos extremos.
Existen para esta t´ecnica otras variantes del arreglo experimental. De hecho se puede dise˜nar uno para una aplicaci´on espec´ıfica, pero los aspectos b´asicos son los que ya se presentaron.
3.6.1.
Medici´
on de desplazamientos fuera del plano con
ESPI
En la figura 3.10 se muestra uno de los muchos arreglos experimentales para medir desplazamientos fuera del plano. El haz de referencia se agrega axialmente de tal manera que parezca que emerge en el centro de la pupila de salida de la lente de imagen.
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 42
El tama˜no del grano speckle se ajusta al tama˜no del pixelaje del sensor controlando la apertura de la lente. Se toma una imagen cuando el objeto no se ha deformado y se guarda; se deforma el objeto y se toma otra imagen. A continuaci´on se hace sustracci´on pixel por pixel de las dos im´agenes para producir las franjas de correlaci´on. Este proceso se describe matem´aticamente como se har´a a continuaci´on. La intensidad registrada en la primera toma esta dada por la expresi´on
I1(x, y) = a21(x, y) +a22(x, y) + 2a1(x, y)a2(x, y)cosφ (3.15)
Dondeφ=φ2−φ1 La intensidad de la segunda toma es
I2(x, y) = a21(x, y) +a22(x, y) + 2a1(x, y)a2(x, y)cos(φ+δ) (3.16)
Donde la diferencia de fase δ introducido por la deformaci´on est´a dada por δ = (k2 −k1)·d. La se˜nal de sustracci´onI2 −I1 generar´a una se˜nal de
voltaje ∆V como sigue:
∆V ∝I2−I1 = 2a1(x, y)a2(x, y)[cos(φ+δ)−cosφ]
I2−I1 = 4a1(x, y)a2(x, y)sen(φ+ δ
2)sen
δ
2 (3.17)
El brillo en el monitor ser´a proporcional a la se˜nal de voltaje ∆V en el detector, por lo tanto
B = 4℘a1(x, y)a2(x, y)sen(φ+ δ
2)sen
δ
2
Donde ℘ es la constante de proporcionalidad. Como δ var´ıa, senδ
2
va-riar´a entre −1 y 1. Los valores negativos de senδ
2 aparecer´an oscuros en el
monitor, resultando una p´erdida de se˜nal. Esta p´erdida se evita rectificando la se˜nal antes de ser enviada al monitor. As´ı, el brilloB esta dado por
B = 4℘a1(x, y)a2(x, y)|sen(φ+ δ
2)sen
δ
2| El brillo ser´a cero cuando δ
2 = nπ, que es δ = 2nπ, con n = 0 ±1±
CAP´ITULO 3. INTERFEROMETR´IA DE PATRONES SPECKLE 43
3.6.2.
Medici´
on de desplazamientos en el plano con
ESPI
[image:58.612.171.446.313.600.2]Para medir desplazamientos en el plano mediante la t´ecnica ESPI se puede usar el arreglo experimental propuesto por Leendertz, el cual ha quedado explicado previamente. La sensibilidad se puede variar cambiando el ´angulo de incidencia de los haces de l´aser. Lo ´unico en que var´ıa es el medio de registro y procesamiento de las im´agenes. En la t´ecnica ESPI, las im´agenes se registran con un sensor CCD, se guarda en un sistema de almacenamiento y posteriormente se efectua la sustracci´on digital de las intensidades de dos estados del objeto bajo estudio. En la figura 3.11 se muestra en esquema para este arreglo experimental.
