TEMA 2: DIDÁCTICA DEL NUMERO NATURAL TEORÍAS PSICOLÓGICAS

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Profesora: Carmen López Esteban

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TEMA 2: DIDÁCTICA DEL NUMERO NATURAL

TEORÍAS PSICOLÓGICAS

1. Teorías conductistas. Thorndike (1922).

2. teorías cognitivas. Piaget (1960).

3. teorías basadas en el recuento. Gellman y Gallistell (1978).

1. Teorías conductistas.

Las primeras investigaciones vienen de las teorías conductistas de la mano de THORNDIKE, quien en 1922 escribió “Psicología de la aritmética” donde propone cómo debe enseñarse los conceptos numéricos.

Los conductistas creen que el aprendizaje de un concepto se produce creando un vínculo entre estímulos y respuestas a través de la repetición de ejercicios donde intervengan esos estímulos y las respuestas:

2+2 4 ESTÍMULO RESPUESTA

2. Teorías cognitivas.

Ya en los años 60 aparecen las teorías cognitivas, en particular, las teorías de la escuela de Ginebra con Jean PIAGET.

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PRIMERA FASE: Los niños aprenden el concepto de número como una síntesis de dos operaciones lógicas: la inclusión de clases (clasificaciones) y las relaciones aritméticas (Seriaciones), las cuales deben ser desarrolladas antes de cualquier planteamiento sobre el número.

Piaget opina que por medio de las seriaciones se consigue enseñar el aspecto ordinal del número, mientras que las clasificaciones que las clasificaciones darán lugar al aspecto cardinal.

CLASIFICACIONES: Se clasifican los conjuntos según l número de elementos que tengan (cantidad). El tipo de experimentos que se realizarán es el de las BOLAS ROJAS

DISCRIMINACIÓN DE CUALIDADES

FORMACIÓN DE CUALIDADES

INCLUSIÓN JERÁRQUICA

SERACIÓN

COMPARACIÓN GLOBAL

COMPARACIÓN UNO-A-UNO

RECUENTO

COMPARACIÓN NUMÉRICA

COMPARACIÓN DE NÚMEROS

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS

Fundamentación Lógica

Conservación

Coordinación Cardinal-Ordinal

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Y BLANCAS, en donde se observarán si el niño ha adquirido la noción de inclusión de clases.

Se representan una rista de bolas de madera donde hay más bolas rojas (por ejemplo):

Se pregunta a los niños:

- ¿Hay más bolas rojas o de madera?

Si los niños no han adquirido la inclusión de clases dirán que hay más bolas rojas, porque sólo son capaces de comparar las bolas rojas con las bolas blancas.

SERIACIONES: Una vez clasificados los conjuntos, los podemos ordenar de mayor a menor, o de menor a mayor:

SEGUNDA FASE: Se refiere a la conservación de la cantidad, es la central en la construcción del número, y está basada en la percepción de las diversas disposiciones de un conjunto.

La comparación entre dos conjuntos será inicialmente global, lo cual corresponde a una etapa de cuantificadores (palabras que permiten la comparación entre cantidades sin el uso explícito del número) muchos/pocos; algunos/varios; más grande/más pequeño; igual que/lo mismo que; más que/menos que; nada/todo;…

En esta etapa, se realizan actividades que analizan la conservación de la cantidad respecto de la percepción y la relación que existe entre la conservación y la correspondencia uno-a-uno, con las que son posibles establecer el valor cardinal de un conjunto:

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Por cada bola que el entrevistador pone en A, el niño mete una en B. Después se pasan las bolas de B a C.

Se hacen a los niños tres preguntas:

- ¿Hay las mismas bolas en el recipiente A que en el B? SI.

- ¿Hay las mismas bolas en el recipiente A que en el recipiente C? NO, HAY MÁS EN C.

- Si se hace un collar con las bolas que hay en A y con las que hay en C, ¿Los dos tendrían la misma longitud? NO.

Piaget opina que existe una primera etapa en la cual recuerdan el punto de partida, y aunque contestan que hay más bolas en C que en A, dirán que los dos collares, (de A y de C) serán iguales. En esta etapa existe un conflicto entre la percepción y la correspondencia uno-a-uno.

Cuando los niños tienen asimilada la correspondencia uno-a-uno y no influye la percepción, es cuando han adquirido la conservación de la cantidad.

Otro tipo de experimentos serán las RISTAS DE BOLAS.

A B

A

B

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Se les hacen las preguntas:

- ¿Hay las mismas bolas en A que en B? SI. - ¿Hay las mismas bolas en B que en B´? NO

Y también el experimento de LAS HUEVERAS Y LOS HUEVOS:

Se le hacen las preguntas:

- ¿Hay las mismas hueveras que huevos en A? SI. - ¿Hay las mismas hueveras que huevos en B? NO.

TERCERA FASE: El siguiente momento en la adquisición del concepto de número para Piaget es la coordinación de aspecto cardinal con el aspecto ordinal.

Para estudiar cómo los niños realizan esta coordinación propone las siguientes actividades:

EXPERIMENTO HOMBRECITOS-BASTONES:

Tenemos 10 hombrecitos de diferentes alturas y 10 bastones de diferentes alturas, no coincidiendo el orden de crecimiento de los bastones y hombrecitos.

Se hacen dos preguntas:

1) Se pide a los niños que asignen a cada hombre su bastón.

Para realizar esto los niños utilizan dos algoritmos diferentes, de mayor complejidad el segundo que el primero:

a) Ordenan una serie y emparejan con el segundo conjunto desordenado.

b) Ordenan ambas series y hacen correspondencias paralelas:

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2) Luego, invirtiendo el orden de una de las series, se les vuelve a pedir que asignen a cada hombre su bastón.

Al realizar este tipo de experiencias, hay niños que tienen dificultades a la hora de ordenar, pero que una vez hechas las seriaciones, ya sí son capaces de asociar.

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CUARTA FASE: Consiste en tratar diversas aplicaciones del número, fundamentalmente en torno a la composición y descomposición de números, por tanto, de casos sencillos de suma y resta.

Críticas a las teorías de Piaget.

Algunos autores como MacGarrigle afirman que las respuestas erróneas de los niños menores de 7 años a la pregunta de sí hay más bolas rojas o de madera son debidas a una mala interpretación del problema por parte de los niños, por lo que se resuelven de forma inesperada, pero a otras preguntas similares sí responden adecuadamente. Así propone experiencias alternativas basadas en tareas cercanas para los niños:

- Para la inclusión jerárquica:

Ejemplo:

-2-

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- ¿Son más los pasos necesarios para llegar a la silla o para llegar a la mesa?

La contestación correcta la dan más de los 2/3 de los niños correspondidos entre 3 y 5 años.

- Para la conservación:

Hughes modificó el experimento incluyendo la actividad en una historia cercana al niño:”Un osito travieso aparece para desorganizar los elementos…”

En este caso los niños conservan significativamente mejor y a edades más tempranas.

En general, los test clásicos de Piaget tienen grandes críticas, algunos de ellos, como el de la correspondencia uno-a-uno, se cuestiona que midan realmente lo que quieren medir. Es por esto que surgen diversos tipos de test complementarios como los de Bryant y el de cardinación de Brainerd. (Ver Maza, C: “Concepto y numeración en la Educación Infantil”pp. 116-125).

La gran crítica de Piaget es la de no estimar dificultades reales de los niños en el aprendizaje de los conceptos numéricos: no predice las dificultades, ni tampoco ofrece consejos prácticos para enfrentarse a ellos. Por otra parte, también ignora el contexto donde el aprendizaje tiene lugar así como su relación con el lenguaje.

3. Teorías basadas en el recuento.

El recuento es una de las actividades más frecuentes a las que se dedican los niños pequeños. A medida que aprenden la secuencia numérica, a través de su medio social, la aplican en diversos contextos y se ejercitan en su recitado.

Piaget no consideró importante su conocimiento, basándose en que tenía un marcado origen social, y por que su uso aparecía incluso antes de los fundamentos lógicos del número. Por ejemplo, en el experimento de las hueveras y los huevos, Piaget se encontró que algunos niños, ante conjuntos pequeños, eran capaces de cuantificarlos (contándolos) pero enfrentado a claves perceptivas contradictorias se inclinaba por estás últimas. Lo cual pone de manifiesto varias cuestiones:

- La limitación del propio test.

- La duda de que las operaciones lógicas de clasificación y seriación sean condición necesaria para la construcción del número.

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Amparados por estas ideas, desde los años 70, han surgido diversas teorías que pretenden entender el proceso del recuento. Dentro de las pioneras están las de Gelman y Gallistel (1978) que han sido completadas por Fuson, Richards y Briars (1982) y Clements y Callahan (1983, 1984). Se puede realizar el siguiente esquema para la enseñanza del número a partir del recuento:

3. DESARROLLO DEL PRINCIPIO UNO-A-UNO.

6. DESARROLLO DEL PRINCIPIO CARDINAL.

4. INTRODUCCIÓN DE ESTABILIDAD EN EL RECUENTO. 5. APLICACIÓN DEL

PRINCIPIO DE ABSTRACCIÓN.

7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS

8. COMPARACIÓN NUMÉRICA DE CONJUNTOS.

9. CONCLUSIÓN DEL NIVEL DE CADENA CON ROTURAS.

10. COMPOSICIÓN Y

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS.

2. RECITADO DE LA SECUENCIA NUMÉRICA.

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El principio uno-a-uno.

El primer principio, llamado uno-a-uno, consiste esencialmente en asignar a cada elemento de un conjunto una sola palabra numérica, y a cada palabra hacerle corresponder un solo elemento. Las secuencias de acción que están implícitas en este principio se pueden observar con facilidad en un sencillo ejemplo:

Al pronunciar la palabra “dos” y asociarla al elemento señalado en la figura como tal, se han formado los siguientes conjuntos:

1. Un conjunto A integrado por los elementos que han sido contados

2. Un conjunto B formado por los elementos que están sin contar.

A partir de la estructura, la aplicación del principio uno-a uno viene a consistir en la presencia y coordinación de las dos actividades:

1. Se produce una palabra nueva de la secuencia numérica (“tres”) y se asocia al

siguiente elemento dentro del conjunto B.

2. Se lleva mentalmente el elemento asociado al “tres” desde el conjunto B al A. Esto conlleva la producción de una participación del conjunto total modificada en cada paso.

Principio del orden estable.

Gelman y Gallistel notaron ya que el recuento del niño en el nivel de la educación infantil era limitado en su conocimiento de las palabras numéricas, no siendo extraño encontrar una serie como “uno-dos-tres-cuatro-cinco-ocho-doce-treinta-…”.

A B

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podía ser utilizada de forma estable en el recuento. Ello significaría que los recuentos tomarían siempre la misma forma y se presentarían conjuntamente con una correspondencia uno-a-uno correcta.

Un estudio posterior (Fuson, Richards, y Briars, 1982) ha añadido datos más sistemáticos sobre la forma que adopta el recuento infantil, dividiéndolo en tres partes:

1. La primera, la parte convencional como “uno-dos-tres-cuatro-cinco” en el

ejemplo planteado, suele llegar en los grupos más jóvenes de edad (de tres a cuatro años) hasta 10 o 14. De cuatro años y medio a cinco años las secuencias llegan de 14 a 20 mientras que, acercándose a los seis años, se pueden alcanzar los setenta primeros números. Entre los cinco y seis años parece comprenderse la estructura repetitiva fruto del empleo de las decenas “ x, x y uno, x y dos,…) aunque no se domina enteramente el empleo de dichas decenas, pudiéndose registrar omisiones como en “veinte- treinta-cincuenta-ochenta-…).

2. La segunda parte del recuento es una parte estable no convencional que se desvía de la secuencia convencional pero que es empleada de forma consistente por el niño. Esta parte contiene fundamentalmente palabras en el orden convencional pero presentado omisiones (en un 88% de los casos), repeticiones (3%) o inversiones locales del orden tradicional (9%).

3. La tercera parte del recuento es una parte no estable en la que recaen el 60% de los niños que empleaban una parte estable. Pese a que, por su definición, son producciones aleatorias, es posible registrar ciertas regularidades (de dos a cinco palabras en el orden convencional, porciones de dicho orden con omisiones) junto a palabras sin relación alguna, lo que permite suponer que sirvan de ensayo para su incorporación posterior a la parte estable.

Principio Cardinal.

Este principio viene a afirmar que la última palabra numérica del recuento tiene el significado especial al representar el número total de elementos del conjunto.

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(uno-siempre daban respuestas de última palabra. Todo ello les lleva a concluir que los dos primeros principios resultan ser necesarios para entender el principio cardinal, pero no son suficientes. Así pues, su adquisición sería posterior y se fundamentaría en una correcta utilización de los principios uno-a-uno y de orden estable.

Los tres criterios que consideraban válidos para detectar la presencia del principio cardinal eran tres:

1. El niño formulaba el recuento y repetía la última palabra numérica, como en “uno-dos-tres-tres”.

2. Marcaban un énfasis, acentuando el tono en la última palabra.

3. Asignaban el valor correcto numéricamente al conjunto pero sin contar en voz alta.

Principio de abstracción.

Los tres primeros principios son los de mayor importancia por referirse a cómo-se-cuenta y, por ello, han centrado la mayor cantidad de estudio y crítica. El cuarto principio, el de abstracción, se refiere al qué-se-cuenta, afirmando que los principios anteriores se pueden aplicar a cualquier conjunto, independientemente de la naturaleza de sus elementos.

A través de numerosos protocolos se han distinguido hasta cinco etapas en el desenvolvimiento de este principio de abstracción (Steffe y otros 1983). Estas etapas consistirían en la creación, por el niño, de diversos tipos de unidades objetos de recuento.

Unidades perceptivas.

Los primeros elementos proclives a ser contados son aquellos que se encuentran en el campo perceptivo infantil. Cuando éste los independiza del resto se puede afirmar que ha creado unidades perceptivas. Tal es el caso de contar a sus propios compañeros, elementos perceptibles directamente que pueden ser tocados, señalados, etc.

Unidades Figurables.

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disponibles durante el recuento, no están presentes de forma directamente perceptiva. Por ejemplo, al contar los niños presentes en una foto o los animales representados en distintos cromos.

Unidades motoras.

En el recuento de unidades perceptivas y figurales los actos motores como apuntar, tocar, señalar, agarrar, etc., que acompañan a la pronunciación de palabras numéricas y facilitan su coordinación con la creación de unidades, forman por ello una parte integral del acto del recuento.

Tras alguna experiencia en las unidades de los tipos mencionados hasta ahora, éstas se ven sustituidas, como objetos contables, por los propios actos motores que las acompañaban, de manera que la creación de unidades perceptivas o figurales pierden importancia. De esta manera, el niño puede contar los años que tiene o progresar hacia unidades de mayor abstracción siempre que cuente, por ejemplo, extendiendo sucesivamente sus dedos.

Unidades verbales.

Una vez la coordinación de actos motores y la pronunciación secuencial de palabras numéricas ha sido bien establecida y el procedimiento automatizado, cada producción vocal de una palabra numérica adquiere entidad por sí misma y se transforma en un objeto contable. Se forman así las unidades verbales, siendo capaz el niño de formar partes de la secuencia numérica como al decir:”Uno-dos-tres-ets.”.

Unidades abstractas.

En la última etapa, el niño puede prescindir de todo tipo de ayuda externa o vocal de su memoria y se puede contar con un modelo de recuento aplicable a distintos elementos y situaciones.

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Principio del orden irrelevante.

Este principio afirma que el orden de enumeración es irrelevante para determinar el cardinal de un conjunto. Es decir, que el resultado del recuento es independiente del orden en que los elementos sean contados. Entender este principio supone:

1. Que el elemento contado es antes una “cosa” que un “uno” o un “dos” o

cualquier otra palabra numérica determinada, puesto que dependiendo del orden considerado un elemento puede tener varias denominaciones y una misma denominación lo es de varios elementos distintos, dependiendo de la forma que adopte del recuento. En suma, la irrelevancia del orden presupone el principio de abstracción.

2. Que el mismo número cardinal resulta de las varias operaciones de recuento que se puedan establecer, lo que implica un dominio del principio cardinal.

El principal resultado aportado por Gelman y Gallistel (1978) en torno a este principio es el hecho de que todos los niños que correspondían la irrelevancia del orden seguían los tres primeros principios del recuento, pero no sucedía al revés. Es decir, que éstos últimos eran necesarios para la comprensión de la irrelevancia del orden, pero no suficientes.

3. RECITADO DE LA SECUENCIA NUMÉRICA.

La elaboración de la secuencia numérica es un proceso de diferenciación de las palabras dentro de un recitado y de construcción de relaciones entre estas palabras.

Este proceso de divide básicamente en:

1. Nivel de secuencia.

ETAPAS PRINCIPALES ETAPAS DE TRANSICIÓN

UNIDADES PERCEPTIVAS UNIDADES FIGURALES

UNIDADES MOTORAS UNIDADES VERBALES

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En este nivel, las palabras numéricas aparecen indiferenciadas dentro de la secuencia, de manera que aquellas sólo pueden enunciarse dentro del recitado de la secuencia, entendida éstas como un todo.

Ante esta indiferencia, sólo puede haber una correspondencia global entre la secuencia de palabras numéricas, las unidades contables y la secuencia de actos motores, resultando en conclusión lo que parece ser una producción independiente de estas secuencias, sin la coordinación que supone seguir el principio de la correspondencia uno-a-uno. De conformidad con los estudios de Gelman y Gallistel (1978), este nivel sería anterior a los dos años y medio.

2. Nivel de cadena de roturas.

Este nivel ofrece la mejora, respecto del anterior, de que las palabras dentro de la secuencia numérica son ya unidades lingüísticas distinguibles de las demás y, en consecuencia, permiten establecer una correspondencia uno-a-uno y, con ella, tanto el significado cardinal como ordinal del número.

Se sufre, sin embargo, la limitación de que las relaciones entre dichas palabras son de carácter unidireccional (el recuento hacia atrás presenta numerosos errores) y cada una de ellas está estrechamente relacionadas con una secuencia verbal. De esta manera, no se puede producir un trozo de la secuencia a partir de un número dado sino que ha d recordarse toda la secuencia a partir del uno.

Esta habilidad, la de contar hacia adelante hasta una palabra preseleccionada, se va desarrollando a lo largo de este nivel formando, por ejemplo, un conjunto con un número dado de elementos o encontrando el elemento n-ésimo de una ordenación.

3. Nivel de cadena con roturas.

En este nivel hay una mayor comprensión de los lazos existentes entre las palabras numéricas que, al independizarse de secuencias específicas, permiten la aparición de dos nuevas destrezas:

1. El recuento hacia adelante a partir de una palabra numérica.

2. El recuento hacia adelante desde una palabra hasta otra.

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La segunda se retrasa respecto de la primera, probablemente porque requiere el mecanismo adicional de recordar la palabra de llegada y compararla continuamente con las palabras alcanzadas en el recuento.

Dos nuevas habilidades aparecen en este nivel:

1. El recuento hacia atrás a partir de una palabra numérica.

2. El recuento hacia atrás desde una palabra numérica a otra.

Respecto de la primera, la reacción fundamental consiste en combinar dos actividades: por un lado, recordar varias palabras consecutivas en el recuento hacia adelante produciéndolas en orden inverso y, por otro lado, recordar la última palabra enunciada en el anterior recuento hacia atrás. Por todo ello, la capacidad de responder a esta cuestión, cuando la palabra de partida es superior a veinte, es muy tardía.

Una nueva destreza surge en este nivel: La capacidad de responder a las preguntas “¿Cuál es antes?” y “¿Cuál es después?” (O similares como, por ejemplo, “¿Cuál es mayor, 5 o 9?” o, en el recuento, “¿Cuál viene antes, el 5 o el 9?”).

4. Niveles de cadena numerable y bidireccional.

La presencia de los dos niveles restantes está fuera de la edad propia de la Educación Infantil y, por ello, se resumirán en sus características principales de modo escueto. El nivel de cadena numerable posee la característica específica de poder numerar trozos de la secuencia numérica, lo que da lugar a dos destrezas particulares: Contar desde un número hasta otro, averiguando el número de palabras entre ambas, y contar un número específico de palabras a partir de una determinada.

Como es evidente, la dificultad añadida consiste en incorporar al recuento un procedimiento de rastreo del número de palabras contadas.

El nivel de cadena bidireccional se caracteriza por una automatización de las secuencias hacia adelante y hacia atrás, sin que la dirección afecte al procedimiento de recuento. Además, existe una completa facilidad para cambiar la dirección del recuento con rapidez y flexibilidad.

3. ENSEÑANZA DEL NÚMERO BASADA EN EL RECUENTO.

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TEMA 2: DIDÁCTICA DEL NÚMERO NATURAL

PARTE DIDÁCTICA

1. Enseñanza del concepto de número.

1.1.Aplicación de la teoría de Piaget a la enseñanza.

1.2.Aplicación de la teoría del recuento.

2. Aplicación de las operaciones de suma y resta.

3. Materiales para la enseñanza.

1. Enseñanza del concepto de número.

1.1Aplicación de la teoría de Piaget a la enseñanza.

De la teoría piagetiana sobre la construcción del número se extraen las fases esenciales de su aprendizaje:

1. Fundamentos lógica.

2. Conservación del número.

3. Coordinación cardinal-ordinal.

4. Operaciones elementales.

En primer lugar, se entiende el número como objeto de conocimiento que resulta de una síntesis de dos operaciones lógicas, las clasificaciones y las relaciones de orden. Las clasificaciones se desarrollan con actividades del tipo: “presentar elementos diversos para los que se da una característica determinada y rodear con líneas aquellos que cumplen A y B”, formando la partición de un conjunto y la relación parte-todo. Las relaciones de orden se desarrollaran con actividades de secuenciar colecciones de objetos por matices de una determinada característica. Se entiende en esta teoría que el maestro debe hacer énfasis en esta fase, por cuanto si el niño no adquiere la Fundamentación lógica necesaria le será imposible un conocimiento adecuado.

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uno-a-pensamiento infantil. La comparación global corresponde a la enseñanza de cuantificadores, palabras que permiten la comparación de cantidades sin el uso explícito del número: muchos-pocos, algunos, varios, más grande que-igual que-menos que, etc. Estas comparaciones entre cantidades serían, al principio, entre cantidades muy distintas, progresivamente se realizarían entre cantidades semejantes, donde la cantidad mayor sería más difícil de estimar, y llevarían al niño a introducir la herramienta de la correspondencia uno-a-uno. Algunas actividades serían: relacionar cada niño con su lápiz (idea de posesión) o cada mueble con la habitación que le corresponde (idea de funcionalidad).

En la tercera fase, la coordinación entre aspectos cardinales y ordinales del número, el recuento surge como una nueva destreza, una técnica de cuantificación de conjuntos fundamentada en la correspondencia uno-a-uno de la fase anterior, no como un medio de desarrollo cognitivo; por tanto está presente en el aula pero como actividad marginal. Se realizarían actividades del tipo: “construye conjuntos con dos o tres elementos más”, “ordena conjuntos desiguales en función de sus cardinales”. “Relaciona conjuntos, el mayor con el mayor”. “Relaciona conjuntos, el mayor con el menor”.

La última fase consiste en tratara diversas aplicaciones del número, fundamentalmente entorno a la composición y descomposición del número, casos sencillos de suma y resta, tratando preferiblemente de situaciones en que dos conjuntos han de ser “unidos” (des-unidos) para calcular la cantidad final.

1.2. Aplicaciones de la teoría del recuento.

La Teoría del Recuento, considera que las operaciones lógicas no son necesarias para la construcción del número, y que la actividad del recuento provee una estructura y/o representación mental al número. De esta forma se distinguen varios bloques de contenidos que deben de estar presentes en el currículo escolar de Educación Infantil:

1. Formación de conceptos.

2. Recitado de la secuencia numérica. 3. Desarrollo del principio uno-a-uno.

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10.Composición y descomposición de números. Estudiemos cada apartado anterior:

1. Formación de conceptos.

La adquisición de un concepto en la mente del niño consiste en agrupar como equivalentes elementos que tengan unas determinadas características comunes, así como discriminar, respecto de los primeros, aquellos elementos que no tengan tales características. Esta equivalencia abarca a todos los elementos que reúnan estas características o atributos y pueden ser expresados mediante un signo o símbolo.

Estas tareas de clasificación de los estímulos del entorno tienen la suficiente entidad como par traspasar el marco numérico e inscribirse dentro de las actividades más generales de formación lógica del niño. En este sentido, que los elementos de un conjunto determinado se puedan contar y que se pueda asignar un cardinal al mismo es un aspecto más, si bien destacable, del desarrollo lógico infantil.

Los conceptos son susceptibles de integración en otro que los incluya y de diferenciación en otros conceptos a los que incluye. De esta forma se amplia la taxonomía conceptual del individuo.

Así pues, los conjuntos matemáticos y los conceptos son realidades paralelas: los conceptos son formas de conocimiento y los conjuntos son formas de expresión. La formación de conjuntos y sus operaciones: conjunción, disyunción, negación,… es una labor íntimamente relacionada con el desarrollo conceptual del niño.

Los errores que comenten los niños en el proceso de formación de conceptos son: - Sobregeneralización: Cuando se señala, por ejemplo, a cualquier

“hombre” como “papa”.

- Subgeneralización: Por ejemplo, “carretera” será la que se atraviesa al salir de casa, allí donde sus padres le dicen frecuentemente que tenga cuidado, sin embargo con otro lugar de la ciudad no lo será.

2. Recitado de la secuencia numérica.

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Al ser ésta una actividad que puede desarrollarse independientemente de la formación de conceptos, su inicio se muy temprano. Si el niño tiene la capacidad para el recuento a partir de los dos años y medio, es del mayor interés comenzar estas actividades de recitado e esta edad. Al principio, el elemento predominante será el mismo ritmo, dado que las palabras numéricas concatenadas se desconocen a edades tan tempranas. Progresivamente, irá enlazando el “uno” con el “dos”, más tarde le añadirá el “tres”, etc. De esta forma, es fácil ver la relación que tiene este recitado con el fomento de la estabilidad en el recuento por cuanto, paulatinamente, el niño irá aumentando la parte convencional de su recuento. Al tiempo, el mayor dominio sobre las palabras numéricas le permitirá construir relaciones entre estas palabras, representar mentalmente dichas relaciones a través de la recta numérica mental, etc.

Es por todo lo expuesto que resulta el punto de comienzo del aprendizaje numérico infantil. Se ha fomentar, entonces, el recitado de la secuencia numérica convencional progresivamente desde el uno en adelante.

3. Desarrollo del principio uno-a-uno.

Hacia los dos años y medio, el niño se mueve en el nivel de secuencia respecto del recuento. Es decir, el recitado de la secuencia numérica va por un lado y el señalar o distinguir los elementos del conjunto a contar va por otro lado. Ambas actividades se desarrollan globalmente, como producto de actos independientes aparecieron, por tanto, un recuento descoordinado. Es posible observar entonces diversos errores sobre las características relevantes del concepto.

En un principio, las características esenciales aparecerían confundidas con las no esenciales. La labor del maestro, a este respecto, es plantear situaciones de recuento donde el niño tenga oportunidad de comprobar que el incumplimiento de una característica relevante modifica el resultado del recuento, mientras que de no verificarse alguna irrelevante el recuento permanece constante. Así, se podrá contar:

a) De derecha a izquierda, si los elementos están colocados en hilera.

b) Comenzando por un objeto no situado en un extremo. c) Contando objetos no adyacentes.

d) Apuntando dos objetos y diciendo una sola palabra.

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uno de los elementos objetos de recuento. En relación con esto, se irán diferenciando progresivamente las características relevantes de las irrelevantes del recuento.

4. Introducción de la estabilidad en el recuento.

Relacionado estrechamente con el bloque dedicado al recitado de la secuencia numérica, podría afirmarse que, en rigor, la introducción de la estabilidad en el recuento es una extensión de aquél. Se ha optado por independizarlo ya que su objetivo está menos limitado y abarca, en realidad, a todo el nivel de la Educación Infantil.

En efecto, este bloque tiene por objetivo propiciar el aumento progresivo de la parte convencional del recuento así como de su estabilidad. Muestra relación, no sólo con el bloque antes citado, sino también con el desarrollo del principio uno-a-uno. Si el niño ha de extenderse tanto como se pueda de un modo constante.

Así, si un niño de cuatro años llega con cierta facilidad a contar hasta el catorce, debe ayudarse a constar hasta quince, luego hasta dieciséis, etc.

5. Aplicación del principio de abstracción.

Este resulta se un nuevo bloque cuya aplicación y desarrollo discurre a todo lo largo de este nivel educativo. El niño aprende las palabras numéricas en el recitado, las aplica a actividades de recuento de conjuntos a través del principio uno-a-uno al tiempo que aumenta la parte convencional de dicha secuencia. Durante el proceso que si inicia con la aplicación del principio uno-a-uno debe contar elementos de un conjunto.

La entidad de estos elementos ha de variar. Comenzará por el recuento de objetos directamente perceptivos, es decir, que estén al alcance de sus sentidos visual, táctil, etc. Contará caramelos, otros niños, gomas, lápices, tizas o cualquier otro conjunto de elementos que tenga a su alrededor.

Posteriormente, se pondrán pasar a contar elementos figurales, es decir, representaciones de los objetos reales. Tal es el caso de los niños que aparecen en una fotografía, los animales presentes en una lámina, etc. Cuando ha tenido suficiente contacto con elementos de estos dos tipos y el maestro se ha asegurado de la aplicación correcta del recuento en estos casos, se deberá propiciar que se cuenten elementos no directamente perceptibles, ni siquiera a través de sus representaciones. Con ello se conseguiría que los actos motores, cuya forma más general y extendida son las diversas extensiones de los dedos, sustituyeran a los anteriores como unidades contables.

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aspecto que debe tratarse a lo largo de todo este nivel educativo. Consiste en la presentación combinada de disposiciones aleatorias junto a modelos canónicos.

6. Desarrollo del principio cardinal.

Cuando el niño dispone de una secuencia de palabras numéricas y las aplica al recuento de elementos de naturaleza cada vez más variada, está en disposición de dotar a la última palabra de dicho recuento de un significado especial. Consiste éste, naturalmente, en que va a representar a la totalidad de los elementos del conjunto.

La construcción del significado cardinal se basará, también, tanto en las actividades de clasificación que supone la formación de conceptos como en las de ordenación de diversos elementos respecto a los distintos valores que puede tomar una magnitud continua. Ordenar varios elementos por su tamaño, longitud, altura, etc. serán actividades necesarias en este bloque de contenidos.

El comienzo de la comprensión del principio cardinal habría de empezar, en el nivel más primario del conocimiento, por la simple asociación de la pregunta “¿cuántos hay?” a la respuesta dada por la última palabra del recuento. A través del desarrollo de otros bloques, en particular el de comparación numérica, esta comprensión alcanzaría cotas más altas en el terreno de la lógica infantil. Esta comprensión estaría limitada, en el terreno mencionado, por la capacidad infantil de comprensión de las relaciones entre las partes y el todo o, en otras palabras, de la inclusión jerárquica de conjuntos que fuera señalada por Piaget.

En todo caso, en este bloque de contenidos se comprenderían actividades como la determinación del cardinal de un conjunto dado a través del recuento, la construcción de conjuntos dado su cardinal y la representación simbólica de los cardinales de dichos conjuntos.

7. Representación gráfica de los números.

Una vez que el niño sabe responder a la pregunta básica del principio anterior (¿cuántos hay?, debe representar ese concepto así formado: El concepto de tres, de cuatro, etc. Si el objetivo final es la realización de la grafía del número con el dibujo, en este caso de “3”, “4”, etc., el paso intermedio necesario resulta ser la representación simbólica del conjunto formado.

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y, sobre todo, que no sigan el cambiante ritmo que permite el trazo más rápido y seguro de las grafías numéricas. Así, el dibujo del “2” transcurre de izquierda a derecha y de arriba abajo, mientras que el del “9” va de derecha a izquierda y de arriba abajo. El “1”, por otra parte, combina dos movimientos contrarios: De abajo hacia arriba y al contrario.

Todo ello puede suponer un verdadero quebradero de cabeza para un niño de pocos años. Cuanto ha realizado un “5” satisfactoriamente pero empezando por un trazo superior y horizontal de derecha a izquierda, el maestro vuelve a corregirle indicando que el segmento vertical se dibuja primero, lo cual resultaría extraño al niño puesto que la línea final, la grafía, es continúa.

Otro caso frecuente y enteramente similar sucede cuando un niño dibuja un “6”. Empieza por el punto de intersección central, va hacia la derecha concluyendo la circunferencia y continúa hacia arriba. En cierta medida, es así como debe dibujarse el “3” e, incluso, tiene alguna relación con el trazo correcto del “8”. Sin embargo, el maestro volverá a corregir esta secuencia incorrecta del niño. El resultado es una mayor perplejidad y, muy probablemente, un aumento de su inseguridad al habérselas con las grafías numéricas.

Por ello conviene resaltar que estos objetivos de dibujo gráfico deben menudearse con distintos materiales, bajo diversas situaciones. Que aprenda, sobre todo, el ritmo del trazo a fuerza de practicarlo e interiorizarlo.

La segunda limitación no se debe abordar con actividades concretas sino que resulta ver un problema de secuencialización. En algún momento de su práctica numérica va asociando progresivamente la última palabra del recuento a la pregunta “¿cuántos hay?”, va desarrollando el principio cardinal. Las palabras numéricas no so meramente objetos de un recuento sino, como resultados del mismo, vienen a denotar a un conjunto entero de elementos. Adquiere, de esta manera, un significado especial y más importante, un significado cardinal.

Cuando un objeto de conocimiento adquiere un nuevo significado ello puede reflejarse en la construcción de un significante, un símbolo cultural que permite comunicar a otros el nuevo significado adquirido por dicho objeto.

(25)

Una vez analizadas estas cuestiones de fundamentos, conviene resumir la cuestión planteada en este bloque. Existen tres núcleos de actividades:

1. Construcción de las grafías numéricas.

2. Asociaciones de un conjunto de elementos con la grafía correspondiente.

3. Asociaciones de la grafía con la construcción de un conjunto de dicho número de elementos.

Estos tres núcleos de actividades están estrechamente interconectados, de manera que cuando los elementos de un conjunto se simbolicen a través de puntos (como en los modelos canónicos), respetando la correspondencia uno-a-uno pero con representaciones más abstractas, dicho simbolismo venga también asociado a una grafía que resulta más breve y más beneficiosa socialmente.

Este procedimiento es reversible, en sentido de que, a partir de una grafía, se puede construir un símbolo numérico (otra vez el modelo canónico) e, incluso, un conjunto de elementos de un tipo determinado.

En conclusión, grafía, símbolo y conjunto van entrelazados y su presentación es simultánea prácticamente. Dado que, en el apartado anterior, se ha tratado ya del desarrollo del principio cardinal sin especificar apenas el papel de los símbolos y las grafías, se puede afirmar que las actividades entonces propuestas son enteramente similares a las que se pudieran proponer en torno a las grafías.

Tan sólo restará, en este bloque de contenidos, tratar las actividades más específicas respecto al correcto dibujo gráfico, aquellas actividades que tienen que ver más con la primera limitación antes apuntada que con la segunda, de tipo conceptual.

Actividad.

Como elementos motivadores, se pueden introducir las grafías numéricas a través de canciones y adivinanzas. La canción más tradicional, que se menciona a continuación, debe ir acompañada de láminas o tablillas en las que, junto a los motivos de la canción, venga especificado el trazo propio de cada grafía (Figura 11.4).

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El cinco, la bicicleta que corre sin parar. El seis, un caracol que sube por una flor. El siete es la bandera para ir en un desfile. El ocho es el gatito que persigue al ratón. El nueve es el perrito que mueve su rabito.

A raíz de la canción se pueden plantear adivinanzas en torno a estas grafías o, si se considera prematuro, aplazarlo hasta un dominio mayor de las mismas. Algunas de ellas podrían ser las siguientes:

Sobre el dos: Tiene forma de patito Pero sin patas, alas ni pico. ¿Qué número te digo?

Sobre el cuatro: Si lo miras del revés Puedes sentarte a comer. ¿Qué número es?

Sobre el seis: ¿Qué numerito tiene forma de pera con rabito?

Sobre el nueve: Acabo de ver a mi amigo Pepito Con un globo atado a un palito. ¿Cuál es el numerito?

Actividad.

Objetivo fundamental de este bloque de contenidos es conseguir que el niño adquiera el ritmo apropiado en el trazo. Para ello, una vez que ha tomado contacto y se ha familiarizado con las grafías, debe construirlas por sí mismo puliendo, paulatinamente, los errores que pudiera presentar y desarrollando los factores de psicomotricidad fina que le lleven a conseguir dicho objetivo.

A través de distintos materiales y situaciones el niño, pues, habrá de realizar estas grafías. De este modo, es conveniente una secuencia del siguiente tipo:

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poner especial cuidado en no presentar una lateralidad equivocada a quien le mira frente a él.

b) Se manejarán las grafías recortadas en papel de lija, de modo que lo táctil acompañe a lo visual y lo complemente. Esto se puede desarrollar de manera lúdica a través de un juego semejante a la gallinita ciega, en el cual cada niño, con los ojos vendados, habrá de reconocer el número al que corresponde la pieza de lija a través, únicamente, de su manipulación.

c) Colorear o pegar bolitas de papel charol, por ejemplo, sobre unas grafías anchas que se les facilite en una lámina.

d) Dibujo libre en la pizarra de las grafías borrándolas, a continuación, con el dedo de modo que se siga el ritmo de esta grafía repitiendo el gesto que sirvió para dibujarla.

e) Modelar con plastilina u otro material unas representaciones tridimensionales de las grafías, labor sencilla de hacer, desde el punto de vista manual por cuanto deriva de la construcción de gusanos de plastilina.

f) Realización de copiados alternando el papel en blanco con el cuadriculado si bien, inicialmente, se le debe dar preferencia al primero por cuanto permite una mayor libertad en el trazo. El modelo de papel cuadriculado va desde una sucesión de puntos que hay que unir hasta un modelo que se debe repetir.

8. Comparación numérica de conjuntos.

Si el principio cardinal permite al niño asignar una palabra numérica representativa del todo a un conjunto cualquiera, la actividad fundamental bajo la cual la utilización de cardinales cobra todo su sentido, es la comparación numérica de conjuntos.

Este bloque de contenidos hunde sus raíces en las actividades anteriores al mismo principio cardinal. Las primeras actuaciones del niño en este sentido residen en las comparaciones globales entre conjuntos que son facilitadas por el uso de cuantificadores. Se ha hablado con anterioridad, en este mismo capítulo, sobre este tema. Cuando los cuantificadores resultan insuficientes para la comparación de las cantidades de los conjuntos en comparación, sobre todo porque entre ellos haya una diferencia difícil de estimar, resulta imprescindible la aplicación de los distintos cardinales.

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respondida por la observación de aquel conjunto, algunos de cuyos elementos no reciben dichas líneas .

La segunda, amparada en una correcta representación de la recta numérica mental, consiste en la comparación de diversos cardinales, actividad propia del comienzo del nivel de la cadena con roturas. De esta forma, basándose en la acción del recuento y en la representación antes mencionada, el niño habría de responder a preguntas del tipo: ¿cuál es mayor, cinco o nueve? Estas preguntas podrían venir precedidas por otras más sencillas en torno a la cuestión “¿y después?”.

Con este bagaje se deben plantear, entonces, actividades propiamente de comparación numérica de conjuntos de un tamaño relativamente grande. Ello es debido a que la comparación entre conjuntos de un número pequeño de elementos puede resolverse directamente por subitización o por el establecimiento de líneas-guía, como anteriormente. Los conjuntos mayores requieren, por el contrario, el recuento de cada uno de ellos para el establecimiento de su cardinal respectivo y, posteriormente, la comparación de dichos cardinales. Apoyados en la actividad antes mencionada, el cardinal mayor habría de responder a aquel conjunto cuya cantidad de elementos también fuera mayor.

9. Conclusión del nivel de cadena con roturas.

Este nivel, que ya habría comenzado en el bloque anterior, encontraría su pleno desarrollo con posterioridad. Durante su transcurso las palabras numéricas se independizarían progresivamente de secuencias específicas, siendo posible el desarrollo de destrezas como:

a) Recitado de la secuencia numérica a partir de un número distinto del uno y, en principio, menor que diez.

b) Recuento desde un número a hasta un número b, siendo a y b predeterminados.

c) Recuento hacia atrás desde un número menor que veinte.

d) Recuento hacia atrás desde un número b hasta un número a, siendo a y b predeterminados.

e) Comparación numérica de conjuntos respondiendo a la pregunta adicional de ¿cuántos más hay?

(29)

este bloque y, además, la culminación de toda la evolución en el campo numérico dentro de la Educación Infantil.

10. Composición y descomposición de números.

Se mencionó en el capítulo la distinción entre los procesos de abstracción que conducen a una representación numérica mental y los procesos de razonamiento numérico que implican el descubrimiento de relaciones numéricas. Al primer tipo correspondería la mayor parte de los bloques de contenidos tratados hasta ahora. El segundo tipo comienza realmente con las primeras actividades de composición y descomposición de números.

Componer dos números significa observar que, al añadir uno al otro, se obtiene un número mayor que ambos. Descomponer un número representa establecer el hecho de que la composición de los dos números resultantes origina al anterior.

2. Enseñanza de las operaciones de suma y resta.

El aprendizaje de una operación significa aprender a transformar unos elementos en otros. Comienza con acciones sobre los elementos originales al planteamiento de un problema; posteriormente, las relaciones implícitas entre los elementos del problema, nos llevan a la representación gráfica y simbólica como formas de abstracción de ese problema. Así pues la resolución de problemas no es el objetivo terminal en la enseñanza de las operaciones, sino el punto de arranque y el motor que caracteriza todo el proceso de enseñanza.

ACCIONES ESTRATÉGICAS: ADITIVAS SUSTRACTIVAS

MODELOS: REPRESENTACIÓN.

(30)

Conviene precisar qué tipo de problemas aritméticos son a los que el niño se enfrenta, cuáles son las estrategias tanto aditivas como sustractivas que construyen los niños para resolver (acciones) y las distintas formas de representación, tanto gráficas (modelos) como simbólicas, de estos problemas hasta llegar a la mecánica de los algoritmos de la suma y la resta a través del aprendizaje de las tablas.

2.1. TIPOS DE PROBLEMAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.

El problema planteado en la figura 1.1 es típico dentro de la enseñanza de la suma y resta. Consiste en disponer de dos cantidades iniciales que no tienen elementos en común. El problema consiste en determinar cuántos elementos resultan al reunir o combinar los elementos de ambos conjuntos. Es por ello que estos problemas se denominan de “Combinación”.

Otro problema de estructura aditiva es el de “Cambio aumentando” (figura 1.2).

3 + 2 = 5

Figura 1.1.

Figura 1.2

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En él, una cantidad inicial (3 cromos) se cambia debido al aumento registrado de otra cantidad (2cromos). El problema consiste entonces en averiguar la cantidad final que resultará.

Los problemas de “Cambio aumentando” tienen una contrapartida análoga de estructura sustractiva: los de “Cambio disminuyendo” (figura 1.3). En este caso, el cambio experimentado por la cantidad inicial implica su disminución hasta conseguir la cantidad final.

Junto a estos tres tipos, los más usuales, se encuentra un problema que ha mostrado ser más fácil difícil de resolver que los anteriores: el de “Comparación”. Consiste en disponer inicialmente de dos cantidades que han de ser comparadas determinando cuántos elementos más presenta la cantidad mayor respecto de la menor (figura 1.4). Como los términos “más” y “menos” han mostrado ser de distinta adquisición (el primer término comparativo se entiende antes que el segundo), por causas exclusivamente lingüísticas se pueden diferenciar dos tipos de problemas de Comparación. No obstante, aquí sólo consideramos uno por otro el criterio de clasificación hasta ahora aplicado es de naturaleza semántica (referente al significado de los elementos y relacionados del problema) y no conviene, por claridad, superponer criterios diferentes.

Estudios clásicos en este terreno señalan la presencia de otro tipo de problema: el de “Igualamiento”.

CANTIDAD INICIAL.

DISMINUCIÓN

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En realidad, su estructura es totalmente similar a la que acabamos de ver, lo que ha llevado a una falta de consideración de sus características diferenciadoras. Así, vendría a preguntar cuánto ha de añadirse a la cantidad menor para alcanzar la mayor o, al revés, cuánto ha de disminuirse la cantidad mayor para igualarla con la menor.

Así pues, disponemos de hasta cuatro tipos diferentes de problemas de suma y resta: combinación, cambio (aumentando y disminuyendo) y comparación.

Una aportación de los años ochenta ha consistido en señalar que, no sólo se dispone de cuatro tipos generales de problemas, sino que cada uno de estos tipos encierra tres subtipos diferentes que unen a su complejidad una riqueza conceptual importante en el terreno de la resolución de problemas.

PROBLEMA DE CAMBIO AUMENTANDO (Resultado desconocido)

Se puede esquematizar la situación del siguiente modo:

FIGURA 1.4.

PEPE

ANTONIO

¿CUÁNTOS CROMOS TIENE ANTONIO MENOS QUE PEPE?

Tienes 3 cromos y te dan 2 más. ¿Cuántos cromos tienes al final?

+2

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PROBLEMA DE CAMBIO AUMENTANDO (Comienzo desconocido)

Planteados estos problemas a niños en los primeros años de escolaridad se ha demostrado que, no sólo son de distinta dificultad, sino que se resuelven a través de estrategias diferentes que, naturalmente, evolucionan con la edad.

Esquematizados los tres subtipos del problema de Cambio aumentando y siendo enteramente análogos de los de Cambio disminuyendo, resultará quizá de utilidad representar los cinco subtipos restantes.

PROBLEMA DE COMBINACIÓN (Resultado desconocido)

PROBLEMA DE COMBINACIÓN (Cantidad inicial desconocida)

3 5

+

5 +2

Tienes varios cromos y te dan 2 más. Al final tienes 5 cromos. ¿Cuántos tenías al principio?

Juan ha comprado 2 libros y Pedro 3. ¿Cuántos libros han comprado los dos en total?

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PROBLEMA DE COMPARACIÓN (Diferencia desconocida).

PROBLEMA DE COMPARACIÓN (Grande desconocido)

PROBLEMA DE COMPARACIÓN (Pequeño desconocido)

4 3

Juan ha comprado 2 libros y Pedro varios. Los dos juntos han comprado en total 5 libros. ¿Cuántos ha comprado Pedro?

5

2 2

Rosa tiene 7 caramelos y Pablo 4. ¿Cuántos más tiene Rosa que Pablo?

7

4

Pablo tiene 4 caramelos y Rosa tiene 3 más que Pablo. ¿Cuántos caramelos tiene Rosa?

Pablo tiene varios caramelos y Rosa 7, tres más que Pablo. ¿Cuántos caramelos tiene Pablo?

7

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La primera forma que construye el niño para resolver los problemas aditivos se ha mencionado ya. Consiste en formar el primer sumando (sea con materiales o con dedos), posteriormente el segundo (de la misma forma) y, por último, contar todos los elementos presentes empezando por el primero. Es la estrategia de “Contar todo”. Los problemas de Cambio aumentando y Combinación, ambos de final desconocido, se resuelven con este procedimiento en todo el período Preescolar.

La estrategia más elaborada para resolver estos mismos problemas es la de “Contar a partir del sumando mayor” y también ha sido descrita brevemente en el apartado anterior. No aparece espontáneamente hasta el tercer curso de escolaridad pero si se lleva a cabo una instrucción específica se puede aplicar a partir del primer curso.

Esta estrategia no es tan frecuente como en principio se creía, ni tan inevitable. De hecho, muchos alumnos no llegan a ella sino que pasan directamente a la memorización de los hechos aditivos básicos al objeto de resolver un problema. Lo que sí es más frecuente de obtener son estrategias intermedias caracterizadas por un “Conteo a partir del primer sumando” (sea éste el mayor o no), o bien por un conteo rápido del primer sumando para pronunciar en voz alta y más lentamente el segundo. Son transiciones hacia el “Conteo a partir del sumando mayor” que puede alcanzarse o no, dependiendo de cuánto intervenga la memorización de hechos aditivos.

2.3. ESTRATEGIAS SUSTRACTIVAS.

Para los problemas resueltos con un procedimiento sustractivo se presentan, inicialmente, tres estrategias: el “Emparejamiento”, la de “Quitar” y la de “Separar”, todas ellas con la debida apoyatura en materiales o dedos.

La primera estrategia se aplica exclusivamente a los problemas de Comparación (diferencia desconocida). Para un problema como el siguiente:

La estrategia de “Emparejamiento” consistiría en representar con material cada uno de los conjuntos a comparar, emparejar los elementos uno a uno entre ambas cantidades y contar los elementos sin la correspondiente pareja (figura 2.1).

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El “Emparejamiento” es posible si se dispone de material para representar ambas cantidades. Si no es así, este problema de Comparación acarrea una gran dificultad al niño de Preescolar y será sólo más adelante, poco antes o durante el primer curso de escolaridad, que se desarrolle una estrategia sustractiva típica: el “Conteo progresivo”. Consiste en representar con dedos la cantidad pequeña (tres caramelos) y, a continuación, añadir extensiones de dedos hasta disponer de la cantidad grande (cinco caramelos). Posteriormente, se cuentan los dedos extendidos para hallar la diferencia (figura 2.2).

La estrategia de “Quitar” permite resolver problemas de Cambio disminuyendo (final desconocido) así como los de Combinación (parte desconocida) siempre que pueda representarse, en este último, la cantidad total. Esto sucedería en el siguiente problema:

Se representaría la cantidad total (siete niños) y, a partir de ella, se doblarían tantos dedos (o se quitaría un número de materiales) como señalara la parte conocida. Los

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dedos extendidos al final de este proceso (o el material aún existente) indicaría, a partir de su conteo, el número de elementos de la parte desconocida (figura 2.3).

Un procedimiento algo distinto, utilizando usualmente para resolver problemas de Cambio disminuyendo (cambio desconocido), es el de “Separar”. Tal sucedería en el siguiente ejemplo:

“Separar” consiste en representar el conjunto inicial (ocho). Representar sobre él conjunto final (seis) y, por último, separar aquellos elementos que no se hayan superpuesto. Gráficamente se comprenderá mejor (figura 2.4).

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Como se habrá percibido, la estrategia de “Separar” está más cerca del “Emparejamiento” que la de “Quitar”. Es por ello que, cuando las estrategias pasan a tener una apoyatura verbal o mental (a través del conteo) y no con materiales, este problema suele ser resuelto con el “Conteo progresivo”.

Existe una discusión probablemente irresoluble entre esta última estrategia y la del “Conteo regresivo”, dentro de las que se fundamentan en el conteo verbal o mental. Esta nueva estrategia puede emplearse muy adecuadamente en un problema, también de Cambio disminuyendo (cambio desconocido), pero con datos numéricos diferentes:

En esta ocasión resulta más fácil contar para atrás. Tengo ocho canicas inicialmente. Le quito dos que es la cantidad final y tengo: ocho, siete, seis. Seis canicas como resultado final que indica la cantidad perdida.

La discusión irresuelta no lo es tanto, a fin de cuentas. Existen datos que permiten afirmar cuándo es aconsejable el “Conteo progresivo” y cuándo lo es el “Conteo regresivo”. La acción de quitar, tan unida a la resta, ha inducido durante mucho tiempo al profesorado a enseñar a partir del “Conteo regresivo”.

(39)

Estudios más recientes han indicado la mayor dificultad que tiene el niño para contar hacia atrás que hacia delante, de lo cual han inducido la posibilidad (plenamente demostrado) de enseñar preferentemente el “Conteo progresivo” como estrategia sustractiva fundamental al llegar al primer año de escolaridad.

Esta elección viene afectada, no obstante, por el tamaño de las cantidades en juego. Cuando el total y las partes conocidas se diferencian en uno, dos o tres, puede ser más aconsejable, por económico, el “Conteo regresivo”. No hay más que imaginar la otra forma de conteo aplicada al último problema: tengo ocho canicas y me quedan dos al final. Luego he perdido:

Tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho Una, dos, tres, cuatro, cinco, seis

El procedimiento, muy adecuado por favorecer el conteo progresivo, deviene en poco eficaz. Así pues, el tamaño de los sumandos determinará la forma de conteo que ha de ser enseñada, si bien, salvo por este detalle, es preferente el “Conteo progresivo”.

2.4. MEMORIZACIÓN DE LOS HECHOS NUMÉRICOS.

El estudio realizado hasta ahora sobre las estrategias infantiles es, naturalmente, indicativo de las posibilidades que existen. No pretende describir el cuadro exacto de la realidad que siempre es más variopinta y está sujeta a una gran cantidad de factores no contemplados aquí. De esta forma, existen las posibilidades expresadas antes pero la forma de enseñanza, la experiencia previa del niño, serán factores que amplíen o restrinjan considerablemente las posibilidades.

Es un hecho, sin embargo, que en un momento que oscila entre el segundo y tercer curso de escolaridad, el alumnado aplica crecientemente hechos aditivos básicos previamente memorizados.

A lo largo de este segundo año el niño va independizando la elección de estrategias de la estructura semántica del problema. Es entonces cuando se puede empezar a hablar de problemas de suma y problemas de resta, cada uno de los cuales en cierra toda la variedad de tipos que se han descrito anteriormente.

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agrupas de alguna manera, como sucede habitualmente en la multiplicación? ¿Se puede favorecer la memorización de otra forma?

1. Ceros (C): La suma de ceros no supone ningún problema. Cuando se suma cero todo queda igual.

2. Conmutatividad (Co).

3. Conteo ascendente (I): Cuanto se domina la secuencia contadora y se sabe subirla de dos en dos, de tres en tres, sumar 1, 2 ó 3 a cualquier número es algo sencillo de resolver. Aunque al principio haya que apoyarse en los dedos para llevar la cuenta.

4. Dieces (Di): Sumar 10 a un número dígito es muy simple cuando se dominan las reglas sintácticas de nuestro sistema de numeración.

En el lenguaje escrito basta con incorporar un 1 a la izquierda del número dado, o lo que es lo mismo, sustituir el 0 del 10 por el número en cuestión.

En el lenguaje orea el énfasis hay que ponerlo en la diferente construcción semántica entre 10 y 1, 2, 3, 4, ó 5 (once, doce, trece, catorce o quince) y, 10 y 6, 7, 8 ó 9 (diez y seis, siete, ocho o nueve).

5. Dobles (D).

6. Los dobles más uno (D +): Son los vecinos del piso de arriba de los dobles (5 + 6). Para resolverlos basta con aumentar una unidad a estos últimos (5 + 6 = 5 + 5 + 1).

7. El número misterioso (NM): Es el nombre de una estrategia poco frecuente, pero no por ello menos útil. Cuando se está ante una pareja de números casi vecinos, números entre los cuales hay otro número escondido, 7 + 9 ó 6 + 8, entonces es posible resolver la situación hallando el doble del número misterioso, 8 en 7 + 9 ó 7 en 6 + 8.

8. Los nueves (N): Sumar nueve es como sumar diez menos uno. Como sumar diez es incorporar un 1 a la izquierda del número dado, sumar nueve es como poner y quitar un uno adecuadamente.

9 + 7 = (incorporando 1) 1 (7 – 1) (quitando 1). Total 16

(41)

10. Buscando el diez (BD): A veces, cabe la posibilidad de recurrir a la

descomposición de uno de los sumandos de tal manera que se pueda completar el otro a diez: 7 + 4 = (7 + 3) + 1 8 + 5 = (8 + 2) + 3

11. Patrones: A veces los resultados con ciertos números, organizados

adecuadamente, adoptan aspectos chocantes o curiosos, otras veces siguen reglas o patrones, algunos resultan sumamente fáciles de recordar.

2.5. REPRESENTACIONES

2.5.1. VARIEDAD Y ESQUEMA GENERAL

En el terreno de la investigación, las distintas formas de representación de un problema han cobrado una suma importante en los últimos años. La razón es sencilla: representar las cantidades y sus relaciones dentro de un problema es una etapa clave en una adecuada resolución del mismo. Sin esta representación, la elección de una estrategia adolece de serios errores y, consecuentemente, la fase de aplicarla para resolver el problema.

Se pueden distinguir dos grandes grupos de representaciones: las de carácter icónico y las de carácter simbólico. Dentro de las primeras, que reflejan perceptivamente los elementos del referente, se pueden distinguir los materiales manipulables (incluidos los dedos) y las representaciones gráficas, apoyadas en diagramas y dibujos (línea numérica, diagramas de Venn, etc.).

Las representaciones simbólicas, a su vez, son de dos tipos: las verbales, que expresan con palabras del acervo cultural los elementos del referente y las representaciones numéricas, que obedecen ya el simbolismo numérico clásico.

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2.5.2 REPRESENTACIONES MANIPULATIVAS.

Se ha comentado ya que la primera estrategia seguida por el niño consiste en modelar con materiales las acciones planteadas por el problema. Esta fase comienza en el primer año de Preescolar y puede considerarse que a finales del primer año de escolaridad ha decrecido considerablemente. Es evidente que no por ello se debe renunciar al uso de material manipulativo si las circunstancias individuales de un alumno así lo exigen. El material más elemental en problemas de suma y resta es el conjunto de fichas de uno o dos colores y, por extensión, cualquier conjunto de piezas discretas que se quiera tomar: pinzas, lentejas, garbanzos, etc.

Dos materiales semejantes vienen a ser los cubos “unifix”, cuadrados consecutivos en distintas cantidades y las “placas” de puntos. En la figura 3.1 se puede observar cómo se resuelve con estos materiales un problema de Cambio aumentando (final desconocido). En el primer caso, las cantidades iniciales vienen representadas por un conjunto de cuadrados mientras que, en el segundo caso, están representadas por un conjunto de puntos. Por lo demás, y la diferencia es irrelevante, las condiciones de transparencia y de manipulación son idénticas.

A continuación tenemos la regleta que, colocada a continuación de la que representa al sustraendo, resulte en una longitud equivalente a la del minuendo.

REPRESENTACIONES ICONICAS REPRESENTACIONES SIMBÓLICAS

MANIPULATIVAS

GRÁFICAS

VERBALES INFORMALES

VERBALES FORMALES

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Como se ha comentado anteriormente, las regletas Cuissenaire son más opacas para las cantidades de carácter discreto que se manejan en el problema, ya que por sí mismas sólo muestran características continuas. Ello implica una traducción de las cantidades iniciales sea al color o la longitud correspondientes a dichas cantidades. Esta opacidad no es presentada por los bloques multibase (en su modalidad de tiras) que son, en realidad, cuadrados “unifix” tridimensionales.

La continuidad de las regletas Cuissenaire tienen la virtud, sin embargo, de mostrar más inmediata cuáles las acciones a ejecutar.

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Por último, la balanza numérica no muestra con transparencia las cantidades en juego ya que, habitualmente, son todas del mismo tipo y es necesario hacer una traducción cantidad-longitud del brazo (figura 3.4). Las acciones tampoco son evidentes. Por todo ello, su aplicación en el aula debe retratarse respecto a los demás materiales. Sí presenta una característica de transparencia no existente en el resto: la comparación entre las acciones efectuadas y su resultado cobra una dimensión diferente necesaria.

En efecto, el signo = es, en general, considerado como representando el resultado de una acción sobre las cantidades a la izquierda del signo. Ello provocará más adelante serías dificultades en el aprendizaje del concepto de ecuación algebraica, donde este signo tiene un significado diferente: los dos miembros de una ecuación vienen a ser equivalentes.

Esta equivalencia que, por otro lado, también se encuentra en la suma, resulta particularmente transparente con este material. Dado que tal equivalencia es más importante en los problemas de Comparación será en ellos donde se aconseje emplear la balanza numérica.

2.5.3. REPRESENTACIONES GRÁFICAS.

Además de las representaciones gráficas que pudieran hacerse con fidelidad a partir de los materiales expuestos en el apartado anterior, existen tres representaciones de este carácter: los diagramas de Venn, los diagramas que aquí denominaremos de Fuson-Willis y la línea numérica.

(45)

En este sentido, los diagramas de Venn vienen a representar gráficamente al conjunto de fichas y, en menor medida, también lo hacen los cuadrados “unifix” o las “placas” de puntos. Representación por excelencia por su ligazón con la Teoría de conjuntos, muestra con claridad las cantidades iniciales. No son tan evidentes las acciones efectuadas, generalmente consistentes en trazar una línea que rodee las cantidades anteriores, ni tampoco la equivalencia de la acción con el resultado (figura 1.1).

Es por ello que, además de su éxito experimental, no podemos ocultar nuestra preferencia por los diagramas de Fuson-Willis que ya han sido utilizados en el capítulo 1. Estos diagramas, semejantes en su apariencia y utilización a las regletas Cuissenaire, tienen la virtud de permitir diferenciar los distintos tipos de problemas de suma y de resta. Esta capacidad no la presenta con la claridad ninguna otra representación gráfica. Es por ello que resulta conveniente su introducción temprana, normalmente en el primer curso de escolaridad. Su transparencia viene empañada, como en el caso de las regletas, por no representar el carácter discreto de las cantidades iniciales. Ello supone que la principal dificultad de su uso consista en asignar adecuadamente los números de cada cantidad inicial a las cajas presentes en estos diagramas.

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Figura: 11.4
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Figura 1.1.

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Figura 1.2

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FIGURA 1.3.

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Referencias

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