GESTION DEL CONOCIMIENTO APRENDIZAJE Y DOCENCIA VERSIÓN: 01 TALLER PARA EL TIEMPO INDEPENDIENTE Página: 1 de 6
Departamento de Ciencias Básicas
Corte 3 Cálculo Vectorial
Período 2020-1 Área de Matemáticas /División de Ingenierías Fecha: Febrero 2020
Respetado estudiante: Esta actividad académica se constituye en una estratégia formativa que le permitirá orientar su tiempo de estudio independiente y una mayor comprensión de las temáticas vistas en la asignatura durante el tercer corte. Desarrolle el taller teniendo en cuenta que:
• Las fuentes de consulta son las establecidas en el bibliografía y webgrafía presentadas en el Syllabus
correspondiente.
• Los procesos evaluativos del curso no aplicarán necesariamente los ejercicios y problemas propuestos en
el taller.
• Las dudas y dicultades académicas que frente a la resolución del taller se le presenten debe consultarlas
en las horas de tutoría asignadas al docente.
TEMAS A TRATAR
• Integrales parciales, integrales dobles.
• Centros de masa y momentos de inercia.
• Integrales triples.
• Campos vectoriales e integral de línea.
I. INTEGRALES PARCIALES Evalue la integral parcial dada.
1) Z (6x2y−3x√y)dy
2) Z (12ycos(4x)−3 siny)dx
3) Z √ y
2x+ 3y dx
4) Z sec2(3xy)dy
5) Z (2x+ 5y)6 dy
6)
1 Z
1/2
ycos2(xy)dx
7)
π/2 Z
x
cosxsin3y dy
8)
secy
Z
tany
9)
y3 Z
√
y
(8x3y−4xy2)dx 10)
2x
Z
0
xy x2+y2 dy
Calcular las siguientes integrales dobles e iterarlas, demostrando que el resultado es invariante.
11) 1 Z 0 √ x Z x
(y+y3)dy dx
12) 1 Z 0 x2 Z 0
(xey)dy dx
13) 3 Z −3 5 Z
y2−4
(x+ 2y)dx dy
14) 1 Z 0 1 Z 0 x2
1 +y2 dy dx 15) 2 Z 1 2 Z 1 x x2 y2 dy dx 16) 1 Z 0 √
1−x2 Z
0 p
1−x2−y2 dy dx
17) 1 Z 0 x Z 0 √
1−x2 dy dx
18) 1 Z 0 2y Z y
(1 + 2x2+ 2y2)dx dy
19)
π/4 Z
−π/4 secθ
Z
0 √
1 + 4r2 rdr dθ
20)
π/2 Z
−π/2 2 cosθ
Z
0
r3 dr dθ= 3π 2 21) π Z 0 cosθ Z 0
rsinθ dr dθ = 1 3
22)
π/2 Z
0
4 cosθ
Z
2
r3 dr dθ = 10π
23)
π/4 Z
0
tanθsecθ
Z
0
r3cos2θ dr dθ = 1 20
24)
arctan(3/2) Z
0
2 secθ
Z
0
r dr dθ= 3
25) √ 2 Z 0 √
2−y2 Z
−√2−y2
(2x−y)dx dy
26) π/4 Z 0 cosx Z 0
(1 + 4ytan2x)dy dx
27) ln 3 Z 1 x Z 0
En los siguientes ejercicios, evalúe la integral doble sobre la región de integración R, que está acotada por las grácas de las ecuaciones dadas. Dibuje la región de integraciónR y elija el orden de integración más conveniente.
Z Z
R y
1 +x2 dA;
28)
Donde R:y= 0, y =√x, x= 4.
Z Z
R
y
x2+y2 dA;
29)
Donde R:y=x, y = 2x, x= 1, x= 2.
Z Z
R
x dA; 30)
Donde R:y =√25−x2,3x−y= 4, y = 0
Z Z
R
x2+y2 dA; 31)
Donde R: Primer cuadrante de y=√4−x2;y= 0
Z Z
R
x2 dA; 32)
Donde R:xy= 16, y =x, y = 0, y = 8.
Emplee la integral doble para calcular el área de la región de integración R, que está acotada por las grácas de las ecuaciones que se indican a continuación. Dibuje la región de integración R y elija el orden de integración más conveniente.
33)
Z Z
R
dA;Donde R:y= ex, y = lnx, x= 1, x= 4.
34)
Z Z
R
dA;Donde R:y= 3−2x, y =x3, x=−2.
35) Z Z R
dA;Donde R:y2 = 4−x, y2 = 4−4x.
36) Z Z R
dA;Donde R:√x+√y= 2, x+y= 4.
II. CENTROS DE MASA Y MOMENTOS DE INERCIA
Encuentre el centro de masa de la lámina que tiene la región de integración R y densidad indicadas ρ(x, y). Dibuje la región de integración R, y elija el orden de integración más conveniente.
37) R:y= 0, y = 3, x= 0, x= 4;ρ(x, y) =xy.
38) R:y= 0, x= 0,2x+y= 4;ρ(x, y) =x2.
39) R:y=x, x= 0, x+y= 6;ρ(x, y) = 2y.
40) R:y= 0, y = 3, y =|x|;ρ(x, y) = x2+y2.
41) R:y= ex, x= 0, x= 1, y = 0;ρ(x, y) = y3.
42) R:x=y−y2, x= 0;ρ(x, y) = 2x.
43) R:y=x2, y =√x;ρ(x, y) =x2.
44)
R: Primer cuadrantey=x2, x= 0, y = 4;ρ(x, y) = y.
45)
R:y =x, y = 0, y = 1, x= 3;ρ(x, y) = 4x+ 3y.
Problemas
a. Una lámina ocupa parte del discox2+y2 ≤1en el primer cuadrante. Encontrar las coordenadas del centro de masa si la densidad es proporcional entre un punto arbitrario(x, y)de dicho cuadrante y la distancia del eje x.
b. Hallar el centro de masa de la lámina en forma de triángulo isósceles de lados iguales de longitud,a, si la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia de el vértice opuesto de la hipotenusa.
c. Hallar el centro de masas y los momentos de inerciaIx, Iy, y I0 de las siguientes áreas
c1. La limitada por y2 = 4x, x2 = 5−2y, x= 0.
c2. La del primer cuadrante limitada por x2−8y+ 4 = 0, x2 = 4y, x= 0.
c3. La limitada por y = 8x y la ordenada del punto x= 2. c4. La limitada por y = 4−x2 e y=x.
d. Una distribución de carga eléctrica está sobre el rectangulo delimitado por1≤x≤3, e,0≤y≤2, y la densidad de carga por unidad de área está dada porρ(x, y) = 2xy+y2 [C/m2]. Encontrar la
carga total en dicha región. III. INTEGRALES TRIPLES
Plantear la integral triple para el volumen del sólido, representado por las siguientes funciones. a. El sólido en el primer octante acotado por los planos coordenados y el planoz = 5−x−y. b. El sólido acotado por z = 9−x2, z = 0, y= 0 y y = 2x.
c. El sólido acotado por el paraboloidez = 6−x2 −y2, z= 0. d. El sólido limitado porz =p16−x2 −y2, z= 0.
e. El sólido limitado arriba por el cilindroz = 4−x2, y abajo por el paraboloide z =x2 + 3y2.
f. Hallar la componente x, de las coordenadas del centro de masa, sabiendo que la densidad viene dada por ρ(x, y, z) = k, dondek, es una constante.
46) R: 2x+ 3y+ 6z = 12, x= 0, y = 0, z = 0.
g. Hallar la componente z, de las coordenadas del centro de masa, sabiendo que la densidad viene dada por ρ(x, y, z) = kx, dondek, es una constante.
47) R:z = 4−x, x= 0, y = 0, z = 0, y = 4.
h. Hallar la componente y, de las coordenadas del centro de masa, sabiendo que la densidad viene dada por ρ(x, y, z) = ky, dondek, es una constante.
Evaluar las siguientes integrales triples, escritas en coordenadas cilíndricas y esféricas.
49)
π/2 Z
0
2 cos2θ Z
0
4−r2 Z
0
rsinθ dzdrdθ
50)
π/2 Z
0
π
Z
0 2 Z
0
e−ρ3ρ2 dρdθdϕ
51)
2π
Z
0
π/4 Z
0 cosϕ
Z
0
ρ2sinϕ dρdϕdθ
52)
π/4 Z
0
π/4 Z
0 cosθ
Z
0
ρ2sinϕcosϕ dρdθdϕ
III. CAMPOS VECTORIALES
Dibujar varios vectores representativos de los siguientes campos vectoriales. (Puede hacer uso del software Wolfram Alpha Mathematica)
53) F(x, y) =h−y, xi
54) F(x, y) = hy,sinxi
55) F(x, y) = ln (1 +y2),ln (1 +x2)
56) F(x, y, z) = h0,0, zi
57) F(x, y, z) =hy, z, xi
58) F(x, y) =h(x−y), xi
59) F(x, y) = h1,sinxi
60) F(x, y) =
y, 1 x
61) F(x, y) = h1,−1i
62) F(x, y, z) =hx, y, zi
63) F(x, y) =hx−2, x+ 1i
64) F(x, y) = h4x, yi
Justicar si los siguientes campos vectoriales son conservativos o no.
- Un objeto de masa m, que gira en una órbita circular con velocidad angular w, y está sujeto a una fuerza centrífuga
65) F(x, y, z) =mw2(hx, y, zi)
- Una sección del campo magnético de la tierra puede ser representada como un campo vectorial con el centro de la tierra situado en el origen y con el semieje y positivo, apuntando en la dirección del polo norte, con ecuación
66) F(x, y) = µ
(x2+y2)5/2
3xy,(2y2−x2),
67)
F(x, y, z) =
x
(1 +x2+y2)3/2,−
y
(1 +x2+y2)3/2,0
68) F(x, y, z) =hexcosy,exsiny, zi
69) F(x, y, z) =
x2z,−2xz, yz
70) F(x, y) =(y2−2xy),(3xy−6x2)
71) F(x, y) =
2x (x2+y2)2,
2y (x2+y2)2
72) F(x, y) =
2y x ,−
x2
y2
73) F(x, y, z) =Darctan(y/x),ln (px2+y2), zE
74)
F(x, y, z) =hsin(x−y),sin(y−z),sin(z−x)i
75) F(x, y, z) =h−x,−y,−zi
Integral de Línea
Sabemos que el trabajo hecho por un campo vectorial sobre una integral de línea lo podemos escribir como
W =
Z
C
F·dr=
Z
C
F·dr
dt dt=
Z
C
F·Tˆ dS.
Basado en la anterior denición, calcular las siguientes integrales de línea (Déjeme nada más aconsejarle que puede usar más de un método)
a. F(x, y, z) = −k|hhrri|i3, donde C :es la línea recta que va de (0,3,0) a(4,3,0).
b. F(x, y) =hysinx,−cosxi, dondeC : es el segmento de recta de(π/2,0) a(π,1).
c. F(x, y, z) =h2x+ 3y,3x+ 2y,3z2i, sobre una partícula, donde C es su trayectoria desde el punto
(0,0,0) hasta(4,2,3), que consta de tres segmentos de recta paralelos al eje x, al eje y, y al eje z, en ese orden.
d. F(x, y) = h3xy,4x−3yi, donde C : es la recta y = 2x+ 3 de (0,3) a (3,9), y luego la parábola y=x2 de(3,9)a (4,16).
e. F(x, y) =h−x2y,2yi, dondeC : es el segmento de recta de (a,0) a (0, a).
f. F(x, y) =h4xy,2x2−3xyi, dondeC:es la curva compuesta por el segmento de recta que va desde
(−3,2) a (1,0) y el arco de primer cuadrante de la circunferencia x2+y2 = 1 desde (1,0) a(0,1) que gira en sentido contrario a las agujas del reloj.
g. F(x, y) = hy3, x3+ 3xy2i, donde C : es r(t) = h3 cost,3 sinti. (Tomar dos caminos diferentes y
