TRIÁNGULOS III

TRIÁNGULOS III

 Primer Caso (L.A.L)



 Segundo Caso (A.L.A)



 Tercer Caso (L.L.L)



 Cuarto Caso (A.L.LM)



 PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

Siendo _OP^ la bisectriz de _AOB^ se cumple

 PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ

Siendo:

L

 PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES

Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz

 PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

Si: M es punto medio de AB y MN // AC

Se cumple:

PA = PB OA = OB

º º

º

º

º

º

º

º

P A

O

B

ºº

EA = BE

BH

BN = NC

A M B

E

L

H C A

B

º º

A C

M N B

Si: E y F son puntos medios.

Se cumple:

 PROPIEDAD DE LA MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Si: BM es mediana relativa a AC.

Se cumple:

 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES EF=

2 PR

P

E

Q

F

R

A M C

B

45º

a a

a 45 º

a 2a

60 º

30 a º

b b

2b 53º/2

k k

3k 37º/2 3a

4a 53º 5a

37º

n n

14º 4n

76 º

7a

24a 74 25a

º

16º

75 º

a

A H 15º

B

C 4a

BM =

2 AC

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

NIVEL 1

1. Calcular “x”, en cada caso.

a) 24, 12 2 , 5 d) 6 2 , 5, 18 b) 5, 10, 2 e) 3 2 , 12, 5 c) 16, 6 2 , 5

2. Calcular “x”

a) 127º b) 135º c) 45º d) 40º e) 30º

3. Calcular “x”

a) 16 b) 20 c) 12 d) 15 e) 5

4. Calcular “x”; _{L1 L2} son mediatrices de

BC y

AB respectivamente.

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

5. Calcular “AC”, si PQ = 6

a) 6 b) 3 c) 12 d) 24 e) 48

NIVEL 2

6. Si: AB = BC; Calcular “AH”

Si; además : PQ = 4 y PR = 6

a) 6 b) 4 c) 2 d) 10 e) 12

7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma un punto de la prolongación de AC y se traza las distancias hacia los lados iguales del triángulo isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto dista de los lados iguales 8 y 3.

Respectivamente.

a) 11 b) 8 c) 5

d) 4 e) 3

53º 20

x

45º

x 6

30º x

10

A

º º xº B

a

c a + b

b D

A

º 53º

B

16 C

x

º

B 70º

xº

A P Q C

L₂ L₁

M B

N

A C

Q P

A Q

P C

R H B

8. Calcular “x”.

Si : AB = 6 , AH = 2

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3

9. En el gráfico _{L1 L2} son mediatrices de

AC y

BD , respectivamente.

Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular : CD AB

a) 3 1 b) 2 1

c) 3 d) 1 e) 2

10. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a, calcule HP.

a) 2 10

a d) ^{a 13}

b) 10 130

a e)

5 10 a

c) 3 10 a

NIVEL 3

11. Según la figura; ^{BQ MN} Si : BQ = AN, MN = a y QN = b Calcule “AC”

a) a+b b) 2a+b c) 2b+a d) 2b–a e) 2a–b

12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si : BE = 20 y MQ = 6.

Calcule “x”

a) 37º

b) 2

º 45

c) 2

º 53

d) 2

º 37

e) 15º

13. En la región exterior y relativa a BC, de un triángulo ABC, se construye un triángulo equilátero BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC

= 30. Calcule la suma de las distancias de “P” a

AC y AB .

a) 40 3 b) 20 3 c) 15 3

d) 18 ³ e) 10 ³

14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza la perpendicular ^{AH aBM}, si : AH = 16m y HM = 15m. Calcule “HC”

a) 30m b) 31 c) 16

d) 34 e) 17

15. De la figura mostrada.

Calcular “x”

Si : AD = CD

(Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo).

a) 10º b) 5º c) 15º d) 30º e) 18º A 0

D

B C

L₂ L₁

A H C

P M B

N

37º/2

A º

M

Q N C

B

º

xº

2xº

A

B

D C

2xº A

º º B

x D

C

A C D E

M

Q B

xº H

TAREA DOMICILIARIA

1. Calcular “x”

a) 120º - º d) 120º + 2º b) 120º + º e) 120º - 3º c) 120º - 2º

2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10

a) 3 b) 2 c) 6 d) 5 e) 10

3. Calcular “x”

a) 12 b) 6 2 c) 3 2 d) 4 e) 3

4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3

a) 115 b) 135 c) 127 d) 143 e) 153

5. Calcular “x”

a) 18 b) 9 c) 3 d) 6 e) 12

NIVEL 2

6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17.

( MN : Mediatriz de AC ).

a) 16 b) 12 c) 8 d) 6 e) 3

7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP; AB = 6, BC = 8 y AC = 12

a) 6 b) 8 c) 10 d) 13 e) 26

8. Del gráfico, Calcular “x”

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4 Calcular “PQ”

a) 10 b) 6 c) 8 d) 12 e) 5

10. Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1 Calcular : “MP”

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

NIVEL 3

º º

xº

x

P Q

A

º º

C

B

A B

M

C N

45º

B

A

C

D

º

º xº

º º B

A M P C

E

N

3 º

B

A

F

N

M C

B

M

A P

N

N

A D F

30º

8 5 5

B

x

B A

M C

P A

P M Q

B

C 6

x x

11. Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD

a) 120º b) 112º c) 132º d) 122º e) 142º

12. Del gráfico, calcular “DH”.

Si : BE = 2

a) 1 b) 2 c) 1,5 d) 0,5 e) 2,5

13. Del gráfico, AP = 3 y CQ = 4 Calcular : AC

a) 5 b) 6 c) 5 2 d) 7 e) 8

14. Del gráfico, calcular “DH”

a) 3 b) 6 c) 12 d) 6 2 e) 3 2

15. En un cuadrado ABCD de lado 4m, sobre

CD y BC ,

AB , se toman los puntos P, Q y R. Respectivamente.

Tal que : PQ = QR = y m∢PQR = 90º.

Si : AP = 1, RD = 3. Calcular la m∢QDC.

a) 37º b) 45º c) 53º

d) 30º e) 60º

60º

96º xº

A B

C

D

º A º

D

C E

B

H

A

P

C

B Q

45º A

B D

C H 45º

º

45º

6 2