Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre
Matrices y
Sistemas de Ecuaciones Lineales
de
Matemáticas Aplicadas a
las Ciencias Sociales II
Antonio Francisco Roldán López de Hierro
*Convocatoria de 2008
Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas
de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura
Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales II
sobre
Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales. Cada uno lleva un código
como el siguiente:
2008-6-B-1, que signi…ca
ejercicio 1
de la
opción B
del
modelo 6
de la
convocatoria de 2008.
Ejercicio 1 (2008-1-A-1) (a)
(1 punto) Dada la matriz
A
=
a
1
a
0
!
, calcule el valor
de
a
para que
A
2sea la matriz nula.
(b)
(2 puntos) Dada la matriz
M
=
1 2
1 1
!
calcule la matriz
M
1M
t 2.
Solución
:
Apartado (a).
Calculamos la matriz
A
2:
A
2=
A A
=
a
1
a
0
!
a
1
a
0
!
=
a
2
+
a a
a
2a
!
:
Para que esta matriz sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser cero, es decir, debemos
buscar los números que cumplen:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
a
2+
a
= 0
;
a
2= 0
;
a
= 0
:
Evidentemente, la única solución de este sistema es:
*Profesor delI.E.S. Accide Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
a
= 0
:
Apartado (b).
El determinante de la matriz
M
es:
det
M
=
1 2
1 1
= 1
2 =
1
:
Como este determinante es distinto de cero, sabemos que
M
posee inversa, y ésta es:
M
1=
1
det
M
adj
M
t
=
1
1
1
2
1
1
!
=
1
2
1
1
!
:
La matriz traspuesta de
M
es:
M
t=
1 2
1 1
!
t=
1 1
2 1
!
:
El producto de la matriz inversa de
M
por su traspuesta es:
M
1M
t=
1
2
1
1
!
1 1
2 1
!
=
3
1
1 0
!
:
Y el cuadrado de ésta última es:
M
1M
t 2=
3
1
1 0
!
3
1
1 0
!
=
8
3
3
1
!
:
Por tanto,
M
1M
t 2=
8
3
3
1
!
:
Ejercicio 2 (2008-2-A-1) a)
(1’5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado
por:
1 + 3
x
2
x
1
!
3
y
!
=
5
4
!
:
b)
(1’5 puntos) Calcule la matriz inversa de
0
B
@
1 0 1
0 1 0
1 2 0
1
C
A
.
Solución
:
Apartado (a).
Multiplicando las matrices obtenemos:
1 + 3
x
2
x
1
!
3
y
!
=
3 (1 + 3
x
) + 2
y
3
x
y
!
=
9
x
+ 2
y
+ 3
3
x
y
!
:
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Para que dos matrices sean iguales, además de ser del mismo orden, deben poseer los mismos
elementos colocados en las mismas posiciones. Por tanto,
1 + 3
x
2
x
1
!
3
y
!
=
5
4
!
,
9
x
+ 2
y
+ 3
3
x
y
!
=
5
4
!
,
,
(
9
x
+ 2
y
+ 3 = 5
;
3
x
y
= 4
,
(
9
x
+ 2
y
= 2
;
3
x
y
= 4
,
(
9
x
+ 2
y
= 2
;
6
x
2
y
= 8
,
,
(
9
x
+ 2
y
= 2
;
15
x
= 10
:
De aquí,
x
= 10
=
15 = 2
=
3
, y sustituyendo en la primera ecuación:
y
=
2
9
x
2
=
2
9
232
=
2
6
2
=
4
2
=
2
:
Por tanto, la única solución del sistema es:
x
=
2
3
;
y
=
2
:
Apartado (b).
Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz. Por
ejemplo, vamos a aplicar el método de
Gauss-Jordan
por …las.
(
A
j
I
3) =0
B
@
1 0 1
0 1 0
1 2 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
C
A
F
30=
F
3F
10
B
@
1 0
1
0 1
0
0 2
1
1
0 0
0
1 0
1 0 1
1
C
A
F
300=
F
302
F
200
B
@
1 0
1
0 1
0
0 0
1
1
0
0
0
1
0
1
2 1
1
C
A
F
3000=
F
3000
B
@
1 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0
0
0 1
0
1 2
1
1
C
A
F
1iv=
F
1000F
30000
B
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
2
1
0
1
0
1
2
1
1
C
A
:
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por consiguiente, la matriz inversa de la matriz dada es:
0
B
@
1 0 1
0 1 0
1 2 0
1
C
A
1=
0
B
@
0
2
1
0
1
0
1
2
1
1
C
A
:
Ejercicio 3 (2008-3-A-1)
Sean las matrices
A
=
0 2
3 0
!
y
B
=
a
b
6
1
!
.
a)
(1’5 puntos) Calcule los valores de
a
y
b
para que
A B
=
B A.
b)
(1’5 puntos) Para
a
= 1
y
b
= 0
, resuelva la ecuación matricial
X B
A
=
I
2.
Solución
:
Apartado (a).
Calculemos los productos
A B
y
B A:
A B
=
0 2
3 0
!
a
b
6
1
!
=
12
2
3
a
3
b
!
;
B A
=
a
b
6
1
!
0 2
3 0
!
=
3
b
2
a
3
12
!
:
Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá
únicamente si
3
a
= 3
y
3
b
= 12
, de donde concluimos que
A
y
B
conmutan si, y sólo si,
a
= 1
y
b
= 4
.
Apartado (b).
Por otro lado, si
a
= 1
y
b
= 0
, la matriz
B
es
B
=
1 0
6 1
!
:
De esta forma, el determinante de la matriz
B
es distinto de cero (de hecho,
det
B
= 1
), lo que
signi…ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:
B
1=
1
det
B
B
e
T
=
1
1
1
0
6 1
!
=
1
0
6 1
!
:
Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix
X:
X B
A
=
I
2,
X B
=
A
+
I
2,
X
= (
A
+
I
2)
B
1,
,
X
=
"
0 2
3 0
!
+
1 0
0 1
! #
B
1=
1 2
3 1
!
1
0
6 1
!
=
=
11 2
3
1
!
:
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
La matriz
X
=
11 2
3
1
!
es la única solución de la ecuación matricial dada.
Ejercicio 4 (2008-4-B-1) (a)
(1 punto) Dadas las matrices
F
=
2
1 3
y
C
=
0
B
@
1
5
2
1
C
A
, calcule los productos
C F
y
F C.
(b)
(2 puntos) Dadas las matrices
A
=
2
0
1
1
!
,
B
=
1
3
2
1
!
y
C
=
1
1
1
0
!
,
calcule la matriz
X
que veri…que la ecuación
X A
1B
=
C.
Solución
:
Apartado (a).
Los productos que se piden son:
C F
=
0
B
@
1
5
2
1
C
A
2
1 3
=
0
B
@
2
1
3
10
5
15
4
2
6
1
C
A
;
F C
=
2
1 3
0
B
@
1
5
2
1
C
A
=
9
:
C F
=
0
B
@
2
1
3
10
5
15
4
2
6
1
C
A
y
F C
=
9
Apartado (b).
Despejamos la matriz
X
observando que la matriz
A
tiene inversa ya que
su determinante es distinto de cero (es importante el lado por el que multiplicamos por
A
para
que se obtenga la matriz identidad):
X A
1B
=
C
,
X A
1=
B
+
C
,
X A
1A
= (
B
+
C
)
A
,
,
X I
2= (
B
+
C
)
A
,
X
= (
B
+
C
)
A:
Como:
B
+
C
=
1
3
2
1
!
+
1
1
1
0
!
=
2
4
1
1
!
;
obtenemos:
X
= (
B
+
C
)
A
=
2
4
1
1
!
2
0
1
1
!
=
0 4
1 1
!
:
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por consiguiente, la matriz buscada es:
X
=
0 4
1 1
!
:
Ejercicio 5 (2008-5-B-1) (a)
(2 puntos) Halle la matriz
X
que veri…ca la ecuación
X
2 5
1 3
!
=
1
2
!
3 4
:
(b)
(1 punto) Determine los valores de
x
e
y
que cumplen la igualdad:
1
0
3
1
!
x
y
!
=
2
1
x y
!
1
1
!
:
Solución
:
Apartado (a).
El segundo miembro de la ecuación es:
1
2
!
3 4
=
3 4
6 8
!
:
Como:
det
2 5
1 3
!
= 6
5 = 1
6
= 0
;
esta matriz posee inversa, y es:
2 5
1 3
!
1=
1
1
3
5
1
2
!
=
3
5
1
2
!
:
Por tanto, sólo hay que despejar
X:
X
=
"
1
2
!
3 4
#
2 5
1 3
!
1=
3
5
1
2
!
3
5
1
2
!
=
14
25
5
9
!
:
X
=
14
25
5
9
!
:
Apartado (b).
Calculamos los productos:
1
0
3
1
!
x
y
!
=
x
3
x
y
!
;
2
1
x y
!
1
1
!
=
3
y
x
!
:
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Si los igualamos, tenemos el sistema:
(
x
= 3
;
3
x
y
=
y
x
,
(
x
= 3
;
4
x
= 2
y
,
(
x
= 3
;
y
= 2
x
,
(
x
= 3
;
y
= 6
:
Por consiguiente, los números buscados son:
x
= 3
;
y
= 6
:
Ejercicio 6 (2008-6-B-1)
Sean
A
y
B
las matrices siguientes:
A
=
1 2
0 1
!
;
B
=
0
1
2
4
!
:
(a)
(1 punto) Calcule
(
A
+
B
) (
A
B
)
.
(b)
(2 puntos) Determine la matriz
X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial
(
A
+ 2
B
)
X
= 3
I
2:
Solución
:
Apartado (a).
Es inmediato que:
(
A
+
B
) (
A
B
) =
"
1 2
0 1
!
+
0
1
2
4
! # "
1 2
0 1
!
0
1
2
4
! #
=
=
1 1
2 5
!
1
3
2
3
!
=
1
0
8
9
!
:
Apartado (b).
Calculamos la matriz:
A
+ 2
B
=
1 2
0 1
!
+ 2
0
1
2
4
!
=
1 2
0 1
!
+
0
2
4
8
!
=
1 0
4 9
!
:
El determinante de esta matriz es
9
(distinto de cero), por lo que posee inversa, y ésta es:
(
A
+ 2
B
)
1=
1 0
4 9
!
1=
1
9
9
0
4 1
!
:
Podemos entonces despejar
X
como:
(
A
+ 2
B
)
X
= 3
I
2,
X
= (
A
+ 2
B
)
1(3
I
2)
,
X
= 3 (
A
+ 2
B
)
1I
2= 3 (
A
+ 2
B
)
1:
Por tanto:
X
= 3 (
A
+ 2
B
)
1= 3
1
9
9
0
4 1
!
=
1
3
9
0
4 1
!
=
3
40
31 3
!
:
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Así, la matriz buscada es:
X
=
3
40
31 3
!
:
PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2012
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 1: MATRICES
•
Junio, Ejercicio 1, Opción B
•
Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A
•
Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B
•
Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A
•
Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A
•
Septiembre, Ejercicio 1, Opción B
http://emestrada.wordpress.com
R E S O L U C I Ó N
a)
2
1
1
1
0
1
2
2
1
0
1
1
1
0
0
2
2
1
1 ;
4 ;
1 ;
6
2
2
1
2
2
2
2
t
a
b
A X
A
I
c
d
a c
a c
b d
a c
a
b
c
d
a c
b d
b d
b d
−
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
⋅ +
=
⇒
⎜
⎟ ⎜
⋅
⎟ ⎜
=
⎟ ⎜
−
⎟
⇒
−
−
−
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
− =
⎫
⎪
−
−
−
− =
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎪
⇒
⎜
⎟ ⎜
=
⎟
⇒
⎬
⇒ =
=
=
=
−
−
− = −
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎪
⎪
− = ⎭
Luego, la matriz es
1 4
1 6
X
= ⎜
⎛
⎞
⎟
⎝
⎠
b) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 filas, es decir, de orden (2,m).
c) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 columnas, es decir, de orden (m,2).
Sea la matriz
1
1
2
1
A
= ⎜
⎛
−
⎞
⎟
−
⎝
⎠
.
a) Resuelva la ecuación matricial
t 2A X
⋅ +
A
=
I
.
b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el
producto
A B
⋅
?.
c) ¿Y para el producto
3 B A
⋅ ⋅
?.
http://emestrada.wordpress.com
= −
Sean las matrices
1
6
;
y C
.
2
4
A
= ⎜
⎛
−
−
⎞
⎟
⎝
⎠
1 1
2
1 0
1
B
= ⎜
⎛
−
⎞
⎟
−
⎝
⎠
0
1
3
1
a
b
⎛
⎞
= ⎜
−
⎟
⎝
⎠
a) Halle los valores de a y b para que se verifique
B C
⋅
t=
A
.
b) Resuelva la ecuación matricial
A X
⋅ −
A
2=
I
2.
SOCIALES II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
a)
3
1 1
2
1
6
0
1
1 0
1
2
4
1
2
1
2
3 1 2
1
6
4 2
6
3 ;
1
1
3
2
4
1
2
3
4
t
a
B C
A
b
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
⎛
⎞
−
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
⋅
= ⇒
⎜
⎟
⋅
⎜
−
⎟
=
⎜
⎟
⇒
−
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
− + = − ⎫
⎪
− +
− − +
−
−
− +
= −
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎪
⇒
⎜
⎟ ⎜
=
⎟
⇒
⎬
⇒ =
−
−
− =
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎪
⎪
− =
⎭
b)
2 21
6
1
6
1
6
1
0
2
4
2
4
2
4
0
1
6
10
6
6
11
18
1
0
2
4
6
1
21
7
;
;
;
2
4
2
4
6
4
0
1
6
18
2
4
4
2
4
5
a
b
A X
A
I
c
d
a
c
a
c
b
d
a
c
a
b
c
d
a
c
b
d
b
d
Los alumnos de 2º Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso.
Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada
uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada
uno.
a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para
la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.
b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna,
A ( 20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto.
c) Calcule los productos M·A y M·B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de
azúcar y 5 Kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y
20 pequeños?.
SOCIALES II. 2012 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION B
R E S O L U C I Ó N
a) La matriz que nos piden es:
2
1
5
3
100 80
g
p
H
M
A
Ha
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
b) Las matrices que nos piden son:
20
y
30
g
A
p
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
30
20
g
B
p
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
c) Calculamos los productos de matrices:
2
1
70
20
5
3
190
30
100
80
4400
M A
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⋅ =
⎜
⎟
⋅
⎜
⎟
=
⎜
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
1
80
30
5
3
210
20
100
80
4600
M B
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⋅ =
⎜
⎟
⋅
⎜
⎟
=
⎜
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
Tenemos 8 docenas de huevos
= ⋅ =
8 12
96
huevos; 200 terrones de azúcar y 5.000 g de harina.
Vemos que podemos elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. No se pueden elaborar 30 grandes
y 20 pequeños, ya que nos faltarían terrones de azúcar.
Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial
A
2⋅
X
= − ⋅
A
B C
, siendo A, B y C las
matrices:
1
1
0
2
A
= ⎜
⎛
⎞
⎟
⎝
⎠
;
y
.
1 0
1
1 1
4
B
= ⎜
⎛
⎞
⎟
−
⎝
⎠
1
0
1
1
2
0
C
−
⎛
⎞
⎜
⎟
= −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
SOCIALES II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1 0
1
1
1
0
2
0
2
0
2
1 1
4
2
0
3
0
3
3
0 1
4
8
1
1
6 ;
;
2 ;
4
4
8 1
3
1
4
4
4
1
a
b
A
X
A B C
c
d
a
c
a
c
b
d
c
a
b
c
d
c
d
b
d
d
−
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎜
⎟
⋅ = − ⋅ ⇒
⎜
⎟ ⎜
⋅
⎟ ⎜
⋅
⎟ ⎜
=
⎟ ⎜
−
⎟ ⎜
⋅ −
⎟
⇒
−
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎜
⎝
⎟
⎠
+
=
⎫
⎪
+
+
= −
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎪
⇒
⎜
⎟ ⎜
=
⎟
⇒
⎬
⇒ =
=
= −
−
+
=
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎪
⎪
=
⎭
=
Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos,
grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de
los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las
ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo
en cada formato.
100
150
80
6
8
5
200
250 140
4
5
3
A
B
C
A
B
C
grande
grande
F
G
normal
normal
⎛
⎞
⎛
=
⎜
⎟
=
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎠
a) Efectúe los productos
F
t⋅
G
y
F G
⋅
tb) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese
mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles
son esas ganancias.
c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese
mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles
son esas ganancias y halle la ganancia total.
SOCIALES II. 2012 RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION A
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos los productos:
100
200
1400 1800 1100
6
8 5
150
250
1900
2450 1500
4 5 3
80
140
1040 1340
820
t
F
G
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⋅ =
⎜
⎟
⋅
⎜
⎟
=
⎜
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
6
4
100
150
80
2200 1390
8
5
200
250 140
3900
2470
5
3
tF G
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⋅
=
⎜
⎟
⋅
⎜
⎟
=
⎜
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎝
⎠
b) Las ganancias de cada uno de los tres artículos es la diagonal de la matriz
F
t⋅
G
1400 € del artículo A
2450 € del artículo B
820 € del artículo C
c) Las ganancias de cada uno de los formatos es la diagonal de la matriz
F G
⋅
t2200 € del formato grande
2470 € del formato normal
Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de
enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el
tercer cliente 4 de A y 6 de B.
En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y
el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En
marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en
febrero.
a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese
mes.
b) Calcule la matriz de compras del trimestre.
c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que
factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.
SOCIALES II. 2012 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION B
R E S O L U C I Ó N
a) Las matrices de compras son:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
9
5
18 10
0
0
3
7
6
14
6 14
4
6
5
7
5
7
A
B
A
B
C
C
C
E
C
F
C
M
C
C
C
C
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
=
⎜
⎟
=
⎜
⎟
=
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
A
B
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
b) La matriz de compras del trimestre es:
1 2 3
27 15
15
35
14
20
A
B
C
T
E
F
M
C
C
⎛
⎞
⎜
⎟
= + +
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
c) La matriz de los precios es:
80
100
A
P
B
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Lo que factura la fábrica es:
27
15
3660
80
15
35
4700
100
14
20
3120
T P
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⋅ =
⎜
⎟
⋅
⎜
⎟
=
⎜
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Luego, lo que factura la fábrica al primer cliente es 3660 €, al segundo 4700 € y al tercero 3120 €.
En total, factura:
366
0
+
4700 3120
+
=
11480 €
TEMA 1. TEMA 1.TEMA 1.
TEMA 1.--- MATRICES - MATRICES MATRICES - MATRICES -- MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II-MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II––– IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) - IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) -- CURSO 08/09-CURSO 08/09CURSO 08/09CURSO 08/09
---------------------
- 1 -
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICESEJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICES
1 11
1 De una matriz A se sabe que su segunda fila es
(
−1 2)
y su segunda columna es1 2 3 −
Halle los restantes elementos de A sabiendo que 1 1 1 A 0 0
2 0 1 0 1
⋅ =
−
(Propues(Propues(Propuesto para PAU Andalucía 2004)(Propuesto para PAU Andalucía 2004)to para PAU Andalucía 2004)to para PAU Andalucía 2004)
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
Según el enunciado, A =
x 1 1 2 y 3 − −
; Sustituyendo en la igualdad:
x 1
1 1 1 0 0
1 2
2 0 1 0 1
y 3 ⋅ − = − −
; x 1 y 0
2x y 1
− + + − 0 0 0 1 = −
Luego x 1 y 0
2x y 0
− + =
+ =
. Resolviendo el sistema obtenemos x = -1 , y = 2
---
2 22
2 Sea la matriz A = 3 m
1 m m 1
− +
a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa.
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial AXA = I
2 , donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de
orden 2. (Propuesto para PAU(Propuesto para PAU(Propuesto para PAU(Propuesto para PAU Andalucía 2003) Andalucía 2003) Andalucía 2003) Andalucía 2003) RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN a) a)a)
a) Para que A tenga inversa, debe ser | A |
≠
≠
≠
≠
0 . | A | = 3(m+1) – m(1-m) = 3m+3 – m+m2 = m2+2m+3Resolvemos la ecuación m2+2m+3 = 0 ;
2
2 2 4.1.3 2 8
m
2.1 2
− ± − − ± −
= = (no tiene solución). Por tanto, | A |
≠
≠
≠
≠
0 , para cualquier valor de mConclusión: A tiene inversa para cualquier valor de m
b) b)b)
b) Para m = 0 , A = 3 0
1 1
. Partiendo de AXA = I2 y multiplicando por A
-1
por la dcha y por la izda en los dos miembros:
A-1 AXA A-1 = A-1 I
2 A
-1 ; I
2 . X . I2 = A -1 I
2 A
-1 ; X = A-1 I 2 A
-1 ; Luego X = A-1 . A-1
Hallemos A-1 : ( | A | = 3.1- 0.1 = 3 ) A-1 = 1
| A|(adj A)
t = 1
3 t 1 1 0 3 − = 1 3 1 0 1 3 −
Por tanto X = 1
3 1 0 1 3 − . 1 3 1 0 1 3 − = 1 9 1 0 1 3 − 1 0 1 3 − = 1 9 1 0 4 9 − =
1 / 9 0 4 / 9 1
− --- 3 33
3 Resuelva la ecuación
1 3 5
4 2 x x
1 1 3
− +
− −
= 0 (Propuesto para P(Propuesto para P(Propuesto para PAU Andalucía 2003)(Propuesto para PAU Andalucía 2003)AU Andalucía 2003)AU Andalucía 2003)
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
Calculamos el determinante: 1.(2+x).(-3) + 3.x.(-1) + 4.1.(-5) - (-5).(2+x).(-1) - 4.3.(-3) - x.1.1 =
= -3(2+x) + (-3x) + (-20) - 5(2+x) - (-36) - x = -6 - 3x - 3x - 20 - 10 - 5x + 36 - x = -12x
La ecuación es: -12x = 0 ; de donde x = 0 0
12= −
--- 4
44
4 Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.
Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán de cada una
de las tres clases de quesos. (NotaNotaNotaNota: Fue propuesto en clase, pero la solución no era la correcta)
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN A B C
M R C
40 120 150 50
160 120 80 . 80
80 120 80 100
