Apuntes de Álgebra Lineal
Capítulo 3
Matrices y Determinantes
3.1.
Operaciones con matrices
3.1.1.
Suma, resta y multiplicación por escalares
Las matricesde un tamaño fijo m×nse pueden sumar entre sí y esta operación de sumar se puede definir operando elemento a elemento o bien operando columna a columna. Por ejemplo, consideremos las siguientes matrices de tamaño 2×3:
A= 1 2 3 4 5 6 , B= 7 −1 0 −4 1 −2 . Operar elemento a elemento es poner:
A+B= 1+7 2−1 3+0 4−4 5+1 6−2 = 8 1 3 0 6 4 ,
mientras que operar columna a columna es poner A= [a1a2a3],B= [b1b2b3]con:
a1= 1 4 , a2= 2 5 , a3= 3 6 , b1= 7 −4 , b2= −1 1 , b3= 0 −2 , de forma que a1+b1= 1 4 + 7 −4 = 8 0 , a2+b2= 2 5 + −1 1 = 1 6 , a3+b3= 3 6 + 0 −2 = 3 4 , y entonces A+B= [a1+b1|a2+b2|a3+b3] = 8 1 3 0 6 4 .
La definición de suma de matrices elemento a elemento es fácil de entender y de aplicar, pero tediosa para la demostración de propiedades. La segunda es una definición un poco más sutil y parece más complicada, pero bien mirada es incluso más sencilla que la primera y tiene la gran ventaja de que permite hacer demostraciones más sencillas de las propiedades de matrices. En cualquier caso, usaremos la definición primera sólo para demostrar el número más reducido posible de propiedades, de las cuales se puedan deducir todas las demás sin tener que recurrir constantemente a la definición. de 16 de junio de 2017, 17:41 h.
3.1. Operaciones con matrices 3. Matrices y Determinantes
Igual que ocurre con la suma de matrices, la multiplicación de números por matrices se pue-de pue-definir elemento a elemento o por columnas. Por ejemplo, con la matrizBanterior, podemos poner: 3B= 3×7 3×(−1) 3×0 3×(−4) 3×1 3×(−2) = 21 −3 0 −12 3 −6 o podemos calcular: 3b1= 21 −12 , 3b2= −3 3 , 3b3= 0 −6 , y 3B= [3b13b23b3] = 21 −3 0 −12 3 −6 . Usando cualquiera de esas definiciones de suma y multiplicación por números no tiene ninguna dificultad el demostrar que estas operaciones de las matrices reales de un tamaño fijo m×ncumplen los axiomas de espacio vectorial real donde lamatriz cero m×n, denotada0, es aquella todos cuyos elementos son cero y la matriz opuesta, −A, de una matriz Aes aquella cuyos elementos son los opuestos de los deA:
(a) Propiedades de la suma de matrices (“Grupo conmutativo”): 1. Propiedadasociativade la suma:A+ (B+C) = (A+B) +C. 2. Matriz cero:0+A=A+0=A.
3. Opuesta de una matriz:−A+A=A+ (−A) =0.
(abreviación: en lugar deA+ (−B)se puede escribir para mayor brevedadA−B). 4. Propiedadconmutativade la suma:B+A= A+B.
(b) Propiedades distributivas de la multiplicación por números:
1. Propiedaddistributivapara la suma de matrices:x(A+B) =xA+xB. 2. Propiedaddistributivapara la suma de números:(x+y)A=xA+yA. (c) “Acción de los escalares”:
1. Propiedadasociativadel producto de números por matrices: x(yA) = (xy)A. 2. Ley deidentidad: 1A= A.
(El número 1 es neutro para la multiplicación de números por matrices.)
Además, se cumplen las siguiente propiedades, las cuales ya sabemos que se deducen de las anteriores pero que en este caso es más fácil demostrar directamente a partir de la definición del producto de un número por una matriz:
(a) Toda matriz multiplicada por cero da la matriz cero: 0A=0. (b) Todo múltiplo de la matriz cero es la matriz cero:c0=0.
(c) Multiplicar una matriz por−1 da la matriz opuesta:(−1)A=−A.
3.1.2.
Producto de matrices
Motivación
Sabemos multiplicar una matriz por un vector y sabemos que el resultado es otro vector:
b = Ax. Supongamos ahora que tenemos una segunda matriz, B, que se puede multiplicar por b y que la usamos para calcular el vector Bb = B(Ax). Problema: ¿Qué matriz hay que multiplicar porxpara obtener directamente el vectorB(Ax)?
Para contestar a esto es necesario recordar queAxes una combinación lineal de las columnas de A: Ax = x1a1+· · ·+xnan y que la operación de producto de una matriz por un vector
3. Matrices y Determinantes 3.1. Operaciones con matrices
respeta las combinaciones lineales, por lo que B(Ax) = B(x1a1+· · ·+xnan) es igual a una combinación lineal de los vectoresBa1, . . .Ban obtenidos al multiplicarBpor cada columna de A. Estos vectores son matrices columna con el mismo número de elementos que cada columna de By forman una nueva matriz que llamaremos C. La combinación lineal de estas columnas usando los elementos dex como coeficientes es a la vez el producto de C por x y también el vectorB(Ax), por tantoCes la matriz que multiplicada porxnos daB(Ax).
Definición del producto de matrices
El producto de una matriz Apor una matriz Bes la matriz, denotada AB, cuyas columnas son el resultado de multiplicarApor cada columna deB. Es decir:cada columna del producto AB
es el producto de A por la correspondiente columna de B: Definición del producto de matrices.
colj(AB) =A·colj(B). (3.1) Por tanto cada columna deABes una combinación lineal de las columnas deA
La propiedad característica del producto así definido es que para cualquier vector x que propiedad característica del producto
tenga tantos elementos como columnas tieneB, se cumple (AB)x=B(Ax).
La regla “fila por columna”: Suponiendo que las columnas deBsonb1, . . . ,bpy para calcular ABcalculamos cada uno de los productosAbj por la regla “fila×columna” llegamos a la con-clusión de que cada fila del producto ABes igual a la correspondiente fila de Amultiplicada porB:
filai(AB) =filai(A)·B (3.2)
1 Ejercicio de tarea. Usa las ecuaciones (3.1) y (3.2) como corresponda para calcular la fila 3 y la columna 2 del producto ABy lo mismo para el productoBA, donde:
A= 1 1 1 1 2 3 1 4 5 , B= 2 0 0 0 3 0 0 0 5 .
Propiedades del producto de matrices
A continuación se presenta la lista de las propiedades de la multiplicación de matrices. Aquí
λes un escalar cualquiera eIkdenota la matriz identidadk×k. (a) A(BC) = (AB)C(propiedad asociativa).
(b) A(B+C) =AB+BC(propiedad distributiva por la izquierda). (c) (B+C)A=BA+CA(propiedad distributiva por la derecha).
En las propiedades (d) y (e) se supone que Atienemfilas yncolumnas. (d) ImA= A=AIn.
(e) (λIm)A=λA=A(λIn).
Toda matriz de la formaλIm(o sea, que sea un múltiplo escalar de una matriz identidad) se llama una matriz numérica o matriz escalar.
De ésta junto con la propiedad asociativa se puede deducir la siguiente, de la cual ésta es un caso particular:
(f) (λA)B=λ(AB) =A(λB).
3.1. Operaciones con matrices 3. Matrices y Determinantes
Sobre la no-conmutatividad del producto de matrices y otras advertencias.
(a) No conmutatividad: En general AB6=BA. Por ejemplo:
1 2 3 4 = 3 4 6 8 mientras que 3 4 1 2 =11.
Pero la razón de esto no esque los resultados sean matrices de distinto tamaño, pues en general AB6=BA incluso para matrices cuadradas:
0 1 2 3 4 0 0 5 = ∗ 5 ∗ ∗ mientras que 4 0 0 5 0 1 2 3 = ∗ 4 ∗ ∗ . (b) Matrices nilpotentes: Existen matricesA6=0 tales queA2=0. Por ejemplo,
0 1 0 0 2 = 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 0 0 0 .
(c) Divisores de cero: Un producto de matrices igual a cero no implica que algún factor sea cero, es decir, si AB=0, en general no se puede concluir queA=0 oB=0. Por ejemplo:
1 0 0 1 =0.
(d) No se cumple la Ley de cancelación: DeAB= AC, en general no se puede deducirB=C. Por ejemplo: 0 1 0 0 0 2 0 0 = 0 1 0 0 0 3 0 0 .
3.1.3.
Traspuesta de una matriz y sus propiedades.
Para cualquier vector (o matriz de una sola columna) a= a1 .. . am , la matriz traspuesta es la
matriz filaque tiene los mismos elementos quea:
aT= a1 . . . am.
Para una matriz general de varias columnas A= [a1 . . . an], la traspuesta es la matriz cuyas filas son las traspuestas de las columnas de A:
AT= aT1 .. . aTn .
De esta definición se deduce que la traspuesta de una matrizm×nes una matrizn×m. Por ejemplo: 1 2 3 4 5 6 T = 1 4 2 5 3 6 .
La operación de calcular la matriz traspuesta tiene las siguientes propiedades cuya demos-tración es un ejercicio que debe hacer el estudiante:
3. Matrices y Determinantes 3.2. Matrices elementales
(a) ATT= A
(b) (A+B)T= AT+BT (c) (λA)T=λAT
(d) (AB)T=BTAT(¡cambian de orden!)
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3.2.
Matrices elementales
Ejecución de operaciones elementales mediante multiplicación de matrices
Consideremos las siguientes matrices: E1= 1 0 0 0 1 0 3 0 1 , E2= 0 1 0 1 0 0 0 0 1 , E3= 1 0 0 0 1 0 0 0 5 .
Obsérvese que todas ellas son el resultado de realizar una operación elemental de filas sobre la matriz identidad 3×3. Ahora calculemos los productosE1A,E2A,E3A, dondeAes una matriz
cualquiera detresfilas. Por ejemplo: A= a b c d e f con lo cual: E1A= a b c d e+3a f +3b , E2A= c d a b e f , E3A= a b c d 5e 5f
Vemos que cada uno de los productos nos da como resultado el mismo que si hubiésemos hecho sobreAla operación elemental con la que se consiguió la correspondiente matrizE. Esto es un hecho general y se cumple el siguiente teorema:
Teorema: Sea A una matriz de m filas. Para realizar una operación elemental sobre A, basta realizar dicha operación elemental sobre las filas de la matriz identidad Imy multiplicar el resultado por A.
Definición de matrices elementales
Definición: Se llamamatriz elementala toda matriz obtenida realizando una operación elemen-tal sobre las filas de una matriz identidad.
Ejemplos: (1) SeaEla matriz obtenida al realizar una operación elemental de intercambio de filas sobre la matriz identidad 2×2:
I2= 1 0 0 1 F1↔F2 −−−→E= 0 1 1 0 .
Ees la matriz elemental correspon-diente a la operación elemental “intercambiar las filas 1 y 2”.
Sea ahoraAuna matriz cualquiera con 2 filas. Entonces: A= a b c d e f F1↔F2 −−−→ d e f a b c y también: EA= 0 1 1 0 a b c d e f = d e f a b c .
3.3. Matriz inversa 3. Matrices y Determinantes
El producto EA da como resultado el mismo que realizar sobre A la operación elemental de “intercambiar las filas 1 y 2 deA”.
(2) SeaEla matriz obtenida al realizar una operación elemental de reemplazo de filas sobre la matriz identidad 3×3: I3= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 F2+λF3 −−−−→E= 1 0 0 0 1 λ 0 0 1 .
Ees la matriz elemental correspondiente a la operación elemental “sumar a la fila 2 la 3 multiplicada porλ”. Sea ahoraAuna matriz cualquiera con 3 filas. Entonces:
A= a b c d e f ! F2+λF3 −−−−→ a b c+λe d+λf e f ! y también: EA= 1 0 0 0 1 λ 0 0 1 ! a b c d e f ! = a b c+λe d+λf e f !
El producto EA da como resultado el mismo que realizar sobre A la operación elemental de “suma a la fila 2 la fila 3 multiplicada porλ”.
3.3.
Matrices inversibles y cálculo de la matriz inversa
Inversa por la izquierda
Sea A una matriz dem filas y n columnas. Se llama matriz inversa por la izquierdade A a
inversa por la
izquierda toda matriz B tal que BA = In. En tal caso B será necesariamenten×m. Además, el sistema
homogéneo Ax = 0 es determinado (el vector 0 es la única solución porque para cualquier posible solución,x, se cumplex=BAx=B0=0) y por por ser determinado no tiene variables libres. Por tanto,si A tiene una inversa por la izquierda, A tiene un pivote en cada columna y no puede tener menos filas que columnas: m≥n.
Inversa por la derecha
Se llama matrizinversa por la derecha de Aa toda matrizCtal que AC = Im. En tal caso C inversa por la
derecha será necesariamenten×m. Además, todo sistema Ax=bserá compatible (ya que al menos el
vectorCb será una solución). Por tanto,si A tiene una inversa por la derecha, entonces A tiene un pivote en cada fila y no puede tener más filas que columnas: m≤n.
Matriz inversible y matriz inversa
Una matriz A se llama inversible si tiene una inversa por la derecha y una inversa por la
matriz
inversible izquierda. En tal caso, es un sencillo ejercicio demostrar que la inversa por la izquierda es la
misma matriz que la inversa por la derecha1(llamándose entonces simplementela matriz inversa de A). Por lo dicho antes, la matriz Aes necesariamente una matriz cuadrada (al igual que su inversa). Por tanto una matriz es inversible si y sólo si existe una matrizBtal que
BA= I y AB=I.
Toda matriz inversible es una matriz cuadrada.La matriz inversa deAse denota porA−1.
Se llamamatriz singulara toda matriz cuadrada que no sea inversible. matriz singular
3 Ejercicio de tarea. Suponiendo que M es una inversa de A por la izquierda y que N es una inversa de Apor la derecha, demuestra:
1SiAC=I
3. Matrices y Determinantes 3.3. Matriz inversa
(a) MyNtienen el mismo número de filas y columnas que la traspuesta deA. (b) M=N.
(c) Aes una matriz cuadrada.
4 Ejercicio de tarea. Demostrar que si Aes una matriz cuadrada entonces basta que tenga una inversa por un lado para que sea inversible.
Propiedades de la inversa
(a) A−1−1 =A. (b) (AB)−1=B−1A−1. (c) AT−1 = A−1T.De la segunda de estas propiedades se deduce que el producto de varias matrices inversibles de tamañon×n es de nuevo una matriz inversible y su inversa es el producto de las inversas en el orden opuesto:
A1· · ·Ak −1
=A−k1· · ·A−11.
Inversa de una matriz 2×2. La inversa (suponiendo que existe) de una matriz cuadrada de orden 2, A = ac bd, se obtiene multiplicando el inverso de ad−bc por la matriz obtenida al intercambiar las posiciones de los elementos de la diagonal y cambiar de signo a los otros dos:
a b c d −1 = 1 ad−bc d −b −c a . La comprobación de esto es un simple cálculo:
a b c d d −b −c a = ad−bc 0 0 ad−bc .
En el casoc=0 es útil expresar la fórmula de la inversa de esta forma:
a b 0 d −1 = a−1 −a−1bd−1 0 d−1 .
Uso de la inversa en la resolución de sistemas
Para aquellos sistemas de ecuaciones lineales Ax=ben los que la matriz de coeficientes,A, sea una matriz inversible existe automáticamente solución única y esa solución está dada por
x=A−1b.
Evidentemente esto sólo se aplica a sistemas con el mismo número de ecuaciones que incóg-nitas.
Los casos en los que esta fórmula para la solución tiene mayor utilidad son los de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, en los cuales es muy sencillo ver si la matriz de coeficientes tiene inversa y apenas es nada costoso el calcular la inversa.
3.3. Matriz inversa 3. Matrices y Determinantes
Ejemplo: El sistema
3x1+4x2=3
5x1+6x2=7
tiene matriz de coeficientes inversible y su inversa es la matriz
3 4 5 6 −1 = 1 18−20 6 −4 −5 3 por tanto: x=A−1b= 1 2 −6 4 5 −3 3 7 = 5 −3 .
Caracterizaciones de las matrices inversibles
Teorema de la matriz inversible Una matriz cuadrada real Ade ordennes una matriz inver-sible si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
(a) Atiene una inversa por la derecha. (b) Atiene una inversa por la izquierda.
(c) El sistema homogéneo representado por la ecuaciónAx=0 es determinado (no tiene más solución que la trivial).
(d) Atienencolumnas pivote.
(e) La forma escalonada reducida deAes la matriz identidad de ordenn.
(f) Para todob∈Rn el sistema representado por la ecuaciónAx=bes compatible. (g) Las columnas deAgeneranRn.
(h) ATes una matriz inversible.
Lo mismo es cierto para las matrices complejas cambiandoRporCen los enunciados en los que aparece.
Las inversas de las matrices elementales
Toda matriz elemental tiene inversa y su inversa es otra matriz elemental: La correspondiente a la operación elemental inversa. En consecuencia, es muy sencillo escribir la matriz inversa de una matriz elemental. Por ejemplo:
SiE= 0 1 1 0 entoncesE−1= 0 1 1 0 ; siE= 1 0 0 0 1 λ 0 0 1 entoncesE −1= 1 0 0 0 1 −λ 0 0 1 .
Algoritmo para averiguar si una matriz es inversible y calcular su inversa
Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si es equivalente por filas a la correspondiente matriz identidad. En ese caso, cualquier sucesión de operaciones elementales de filas que reducen A a la identidad I también reducen I a la inversa de A.
Demostración: Cada paso de la reducción corresponde a la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental:
A∼E1A∼E2E1A∼ · · · ∼Ep(Ep−1· · ·E1)A=I
por tanto(Ep· · ·E1)A= I, lo que significa queAes inversible y su inversa es:
3. Matrices y Determinantes 3.4. Factorización LU
Corolario. Sea A una matriz cuadrada. Si A es inversible entonces su forma escalonada reducida es una matriz identidad y la forma escalonada reducida de(A|I)es(I|A−1). Recíprocamente, si la forma escalonada reducida de(A|I)es(I|M)entonces A es inversible y su inversa es A−1= M.
De esto se deduce que la forma escalonada reducida de la matriz por bloques formada por una fila de dos bloques en la que el primero es la matrizAy el segundo la matriz identidad, es la que tiene como primer bloque la identidad y segundo la inversa deA:
(A|I)∼ · · · ∼(I|A−1)
En otras palabras: Las mismas operaciones elementales que transforman una matriz inversible en la matriz identidad, transforman la matriz identidad en la inversa de la matriz.
Cómo calcular solamente una columna (o fila) particular de la matriz inversa. Para calcular la columnajde A−1basta resolver el sistema
Ax=ej
donde ej es la columna j de la matriz identidad. En consecuencia, otra forma de calcular la matriz inversa de una matriz inversible Aden filas yncolumnas es resolver cada uno de los siguientesnsistemas de ecuaciones:
Ax=e1, . . . ,Ax=en.
Para calcular la fila ide A−1 basta calcular la columnai de AT−1
, para lo cual, según lo dicho antes, basta resolver el sistema
ATx=ei.
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3.4.
Un caso especial de la forma escalonada de una matriz: La
Factorización LU
Motivación
Supongamos que necesitamos resolver varios sistemas de ecuaciones que tienen la misma matriz de coeficientesAy sólo se diferencian en los términos independientes. Si se conocen dos
matrices L,U tales que L es una matriz unitriangular inferior, es decir, triangular inferior con Una matriz se llama unitriangularsi es una matriz triangular y todos los elementos de su diagonal son iguales a 1.
unos en la diagonal,Ues una matriz escalonada y son tales que LU = A, entonces el sistema Ax = b o L(Ux) = b se puede resolver en dos pasos muy sencillos: Primero resolvemos el sistema
Ly=b
y después el sistema
Ux=y.
Una descomposición de una matriz,A=LU, como producto de dos matrices como las descritas se conoce como una factorización LU (o factorización “Lower-Upper") de A (leído: « factorización “L”-“U” »).
3.4. Factorización LU 3. Matrices y Determinantes
Existencia y unicidad
No toda matriz admite una factorización LU, pero, como se verá más abajo, una matriz A la admitirá siempre que sea posible obtener una forma escalonada de A sin realizar operaciones elementales de intercambio de filas (ni, evidentemente, operaciones de reemplazo que se puedan combinar para conseguir un intercambio de filas, lo cual excluye las operaciones de reemplazo “regresivas” en que se suma un múltiplo de una fila a otra filaanteriorya que combinando tales operaciones con operaciones de reemplazo “progresivas” es posible conseguir un intercambio de filas). En otras palabras: La matriz A admite una factorización LU si se puede poner A en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas (sumar un múltplo de una fila a otraposterior a ella).
Recíprocamente, si Aadmite una factorización LU, entonces es evidente que L, por ser una matriz triangular inferior, se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente opera-ciones de reemplazo progresivas (¡obteniéndose una matriz identidad!). Esas operaopera-ciones trans-formarán A enU y por tanto A se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas. En consecuencia:
La factorización LU de una matriz A existe si y sólo si A se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones elementales de reemplazo progresivas (sumar un múltplo de una fila a otra posterior a ella).
En general, la factorización LU de una matriz no es única, como muestra el siguiente ejemplo. Sean L1= 1 0 0 2 1 0 3 0 1 , L2= 1 0 0 2 1 0 3 1 1 , U= 1 2 0 0 0 0 .
EvidentementeL1yUconstituyen una factorización LU de su productoL1Ue igualmenteL2y
Uconstituyen una factorización LU de su productoL2U. Por otra parte, es fácil comprobar que
L1U=L2U, por consiguiente tenemos aquí dos factorizaciones LU de la misma matriz.
Algoritmo de la factorización LU
(a) Se reduce Aa una forma escalonada,U, mediante una sucesión de operaciones de reem-plazoprogresivassi es posible. Si no es posible, la matrizAno tiene factorización LU. (b) Se colocan los elementos bajo la diagonal de unos deLde forma quela misma sucesión de
operaciones elementalesreduzcanLa la matriz identidad. Entonces
(Ep· · ·E1)A=U y (Ep· · ·E1)L= I.
De aquí se deduce
A= (Ep· · ·E1)−1U=LU.
Ejemplo
Calcular la factorización LU de la matriz
A= 2 4 −1 5 −2 −4 −5 3 −8 1 2 −5 −4 1 8 −6 0 7 −3 1
3. Matrices y Determinantes 3.5. Factorización de rango máximo
La primera columna deLes la primera columna pivote deAdividida por el primer elemento:
L= 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 1 0 −3 1
Claramente, las operaciones elementales que produzcan ceros en la primera columna de A también producirán ceros en la primera columna de L. Ahora intentamos hallar una forma escalonada de Autilizando solamente operaciones de reemplazo. Después de crear ceros en la primera columna, el problema ha sido reducido a uno con una fila y una columna menos:
A= 2 4 −1 5 −2 −4 −5 3 −8 1 2 −5 −4 1 8 −6 0 7 −3 1 ∼ 2 4 −1 5 −2 0 3 1 2 −3 0 −9 −3 −4 10 0 12 4 12 −5 A0 = 3 1 2 −3 −9 −3 −4 10 12 4 12 −5 de donde L0 = 1 0 0 −3 1 0 4 1 y L= 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 −3 1 0 −3 4 1 En el siguiente paso: A0= 3 1 2 −3 −9 −3 −4 10 12 4 12 −5 ∼ 3 1 2 −3 0 0 2 1 0 0 4 7 A00= 2 1 4 7 de donde L00 = 1 0 2 1 y L= 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 −3 1 0 −3 4 2 1 y, puesto queA00= 2 1 4 7 ∼ 2 1 0 5 , tenemos: A= 2 4 −1 5 −2 −4 −5 3 −8 1 2 −5 −4 1 8 −6 0 7 −3 1 ∼ 2 4 −1 5 −2 0 3 1 2 −3 0 0 0 2 1 0 0 0 0 5 =U
3.5.
Rango de una matriz y factorización de rango máximo
Se llama rangode una matriz A, y se denota ran(A), al número de posiciones pivote de A (es decir, el número de filas no nulas o de elementos principales en cualquier forma escalonadade A): Rangode una
matriz.
ran(A) =número de pivotes de A.
Como las distintas posiciones pivote están en distintas filas, el rango de una matriz es siem-pre menor o igual al número de filas de la matriz. Análogamente, como las distintas posiciones pivote están en distintas columnas, el rango de una matriz es siempre menor o igual al número de columnas de la matriz. En consecuencia, si A es una matriz m×n de rangor, su rango es siempre menor o igual que el mínimo demyn:r≤m´ın(m,n). En consecuencia, decimos que
A tiene rango máximosi su rango verifica: Matriz de rango máximo.
3.5. Factorización de rango máximo 3. Matrices y Determinantes
r=m´ın(m,n)
En la matriz (ampliada) de un sistema de ecuaciones lineales compatible no hay ninguna posición pivote en la columna de los términos independientes por tanto su rango es igual al de la matriz de coeficientes. Por otra parte, el sistema será determinado si y sólo si ese rango es igual al número de incógnitas.
Se llama factorización de rango máximode una matriz Aa toda descomposición de Acomo producto de dos matrices,A=MN, de tal forma que My Nsean matrices de rango máximo y ambas con el mismo rango queA. Veremos a continuación que el cálculo de la forma escalonada reducida nos ofrece sin más cálculos una factorización de rango máximo de cualquier matriz no nula.
Evidentemente la factorización de rango máximo de una matriz no es única, pues siA=MN es una factorización de rango máximo de una matriz no nula de rangor, para cualquier matriz inversibler×r,B,A= (MB)(B−1N)es también una factorización de rango máximo de A.
La factorización de rango máximo proporcionada por la forma escalonada
reducida
Para una matriz cualquieraA, demfilas,ncolumnas y rangor<m´ın(m,n), seaMla matriz formada por sus columnas pivote y seaNla matriz formada por las filas no nulas de su forma escalonada reducida. El número de columnas de M es igual al rango de Ay lo mismo ocurre con el número de filas de Nya que la forma escalonada reducida tiene exactamente una fila no nula por cada pivote deA. En consecuencia se puede multiplicarMporNy el resultado es una matrizm×n.
Ejemplo. SeaAla matriz
A= −2 −6 6 4 6 0 0 1 2 0 0 0 0 3 9 1 3 −3 −2 −3 .
Calculamos su forma escalonada reducida:
A − 1 2F1 −−−−−−−→ F4−F1 1 3F3 1 3 −3 −2 −3 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 F2−2F3 F1+2F3 −−−−−−−→ F1+3F2 1 3 0 0 −15 0 0 1 0 −6 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 .
Las columnas pivote de Ason la primera, tercera y cuarta, por tanto las matrices MyNson
M= −2 6 4 0 1 2 0 0 3 1 −3 −2 , y N= 1 3 0 0 −15 0 0 1 0 −6 0 0 0 1 3 . El producto de MyNes: MN= −2 6 4 0 1 2 0 0 3 1 −3 −2 1 3 0 0 −15 0 0 1 0 −6 0 0 0 1 3 = −2 −6 6 4 6 0 0 1 2 0 0 0 0 3 9 1 3 −3 −2 −3 .
¿Por qué es el resultado de este producto igual a la matriz Ade partida? La explicación es muy sencilla. Por un lado, al multiplicarMpor una cualquiera de las columnas pivote deN(que
3. Matrices y Determinantes 3.6. Matrices por bloques
son columnas de una matriz identidad) da como resultado la correspondiente columna pivote de A. Esto explica por qué se recuperan las columnas pivote y colocadas en su sitio. Pero también es claro que cada columna no pivote deN consiste en los coeficientes que necesitamos en una combinación lineal de las columnas pivote de Apara que el resultado sea la correspondiente columna no pivote de A. En consecuencia, el cálculo de la forma escalonada reducida de una matriz nos proporciona una factorización de rango máximo de esa matriz:
Toda matriz de rango r >0es igual al producto de la matriz formada por sus columnas pivote por la matriz formada por las filas no nulas de su forma escalonada reducida.
Ejemplo. La matriz A= 1 2 3 4 0 2 4 6 1 2 3 4
tiene claramente rango 2 y sus dos primeras columnas son linealmente independientes, por lo tanto se tiene A= 1 2 3 4 0 2 4 6 1 2 3 4 = 1 2 0 2 1 2 1 0 x1 y1 0 1 x2 y2
donde las columnas
x1 x2 e y1 y2
son respectivamente las soluciones (¡únicas!) de los sistemas
1 2 0 2 1 2 x1 x2 = 3 4 3 , 1 2 0 2 1 2 y1 y2 = 4 6 4 . Resolviéndolos: 1 2 3 4 0 2 4 6 1 2 3 4 = 1 2 0 2 1 2 1 0 −1 −2 0 1 2 3 .
3.6.
Matrices por bloques
En la introducción de matrices como tablas de números que representaban sistemas de ecua-ciones y en el método de las operaecua-ciones elementales para su resolución predominaba la idea de matriz como conjunto de filas, una para cada ecuación. Por otra parte, la definición del pro-ducto de matrices y de la matriz traspuesta se ha basado en considerar una matriz como un conjunto ordenado de columnas y no simplemente como un rectángulo de números. En otras palabras, hemos estado considerando una matriz como una fila de matrices columna. Esto se podría llamar “una descomposición de una matriz en bloques-columna”. En esta sección vamos a ver que la descomposición de las matrices en otros tipos de bloques puede ser enormemente útil. En general, podemos partir tanto las filas como las columnas de una matrizm×n,A, para obtener una descomposición deAen submatricesAI J, dondeI=1, 2, . . . ,py J=1, 2, . . . ,q:
A= A11 A12 . . . A1q A21 A22 . . . A2q .. . ... ... Ap1 Ap2 . . . Apq m1 m2 .. . mp n1 n2 . . . nq
donde la submatrizAI JtienemIfilas ynJcolumnas, es decir tamañomI×nJ.
Esta descomposición se llama descomposición por bloques de la matriz A. Los números m1,
m2, . . . ,mpyn1,n2, . . . ,nq que indican los tamaños de los bloques verifican, evidentemente, que m1+m2+· · ·+mp=m y n1+n2+. . .nq=n.
3.6. Matrices por bloques 3. Matrices y Determinantes
Operaciones con matrices por bloques
Lo interesante de operar con matrices por bloques es que podemos actuar como si cada bloque fuese un número. Entonces las operaciones con matrices por bloques se reducen a las operaciones con matrices que ya conocemos, excepto que hay que asegurarse de que cuando vayamos a sumar o multiplicar dos bloques sus tamaños sean compatibles para la operación que queremos realizar.
Multiplicación por escalares El caso de multiplicación de una matriz por bloques por un escalar no ofrece dificultad ya que todo bloque, independientemente de su tamaño, se puede multiplicar por cualquier número.
Suma de matrices por bloques Para poder sumar dos matrices por bloques, es necesario no sólo que sean matrices del mismo tamaño sino también que estén divididas en bloques de la misma forma de tal manera que bloques correspondientes sean del mismo tamaño y se puedan sumar.
Producto de matrices por bloques Para hallar el producto ABde dos matrices por bloques se puede usar la regla usual de “fila por columna” siempre que el número de bloques en cada “fila de bloques” de Asea igual al número de bloques en cada “columna de bloques” de By además que los bloques en esa fila de bloques de Asean compatibles para multiplicación por los bloques de la columna de bloques deB.
Una de las consecuencias de la multiplicación de matrices por bloques es la siguiente alter-nativa a la regla “fila por columna” para la multiplicación de matrices:
Regla columna por fila: Sean a1, . . . ,an las columnas de A y sean b1, . . . ,bn las filas de B. Entonces el producto matriciala1b1 es una matriz con tantas filas como A y tantas columnas
comoB. Lo mismo ocurre con los demás productosaibi y el producto de matricesABes igual a la suma: AB=a1b1+· · ·+anbn Ejemplo. Sea A= A1 A2 A3 A4
una matriz cuadrada de orden 2n descompuesta en cuatro bloques n×n, A1, A2, A3, A4. Se
trata de encontrar una matriz
P= P
1 P2
P3 P4
con P1, P2, P3, P4 bloques n×n, verificando que el producto PA intercambie la primera y la
segunda fila de bloques de la matriz A, es decir, tal que PA= A 3 A4 A1 A2 .
Dado que el intercambio de filas es una operación elemental, basta realizar esta operación sobre la matriz identidad por bloques:
I 0 0 I , P= 0 I I 0
3. Matrices y Determinantes 3.6. Matrices por bloques
Efectuando el productoPApor bloques obtenemos
P1A1+P2A3=0A1+I A3= A3
P1A2+P2A4=0A2+I A4= A4
P3A1+P4A3= I A1+0A3= A1
P3A2+P4A4= I A2+0A4= A2
y se verifica lo pedido.
5 Ejercicio de tarea. En las condiciones del ejemplo anterior hállense:
(a) Una matriz P tal que PAsea igual al resultado de multiplicar la primera fila de bloques de Apor la izquierda por una matriz inversibleXde orden n.
(b) Una matrizPtal quePA sea igual al resultado de sumar a la segunda fila de bloques de Ala primera fila de bloques multiplicada por la izquierda por una matriz cuadradaXde ordenn.
Inversa de una matriz por bloques
En general no es sencillo calcular la inversa de una matriz por bloques realizando solamente operaciones por bloques, pero hay un caso especial en el que sí es posible: Es el caso de una matriz partida en 2×2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal sean cuadrados.
Sean AyCmatrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y seaBuna matriz con el mismo número de filas que Ay el mismo número de columnas queC, de forma que se puede formar la matriz por bloques A B0C
, que resulta ser una matriz cuadrada. Entonces
A B 0 C −1 = A−1 −A−1BC−1 0 C−1 . (3.3)
Es sencillo demostrar la fórmula (3.3) por medio de la multiplicación directa, es decir, calcu-lando el producto A−1 −A−1BC−1 0 C−1 A B 0 C .
6 Ejercicio de tarea. Usando las propiedades de la traspuesta deduce la siguiente fórmula a partir de (3.3): A 0 B C −1 = A−1 0 −C−1BA−1 C−1 . (3.4)
7 Ejercicio de tarea. Usa las fórmulas (3.3) y (3.4) según convenga para calcular la siguiente ma-triz inversa: 1 2 −2 0 0 3 7 3 0 0 0 0 1 0 0 1 2 −1 2 1 3 2 5 3 2 −1 . Solución: 7 − 2 20 0 0 − 3 1 − 9 0 0 0 0 1 0 0 13 − 4 45 2 − 1 − 27 8 − 91 − 3 2
3.6. Matrices por bloques 3. Matrices y Determinantes
Suma directa de espacios vectoriales
SiVyW son espacios vectoriales con los mismos escalares, se llamasuma directadeVyW, suma directa
y se denotaV⊕W, al espacio vectorial cuyos elementos son matrices columna
v w
donde el primer elemento,ves un vector deVy el segundo elemento,wes un vector deW. Los escalares de la suma directa son los mismos que los de los espacios que la forman y las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares se hacen componente a componente igual que se operan las matrices numéricas:
v w + v0 w0 = v+v0 w+w0 , c v w = cv cw .
Análogamente, se define la suma directa de tres espacios vectoriales que tengan los mismos escalares,U,V,W, y se denotaU⊕V⊕W, como el espacio vectorial de las matrices columna
u v w
dondeu es un vector deU,ves un vector deV yw es un vector deW. De nuevo la suma de estas columnas y su multiplicación por escalares se definen componente a componente (igual que para las matrices numéricas) haciendo uso de las correspondientes operaciones de sumar y multiplicar por escalares deU,VyW.
En general, la suma directa de varios espacios vectoriales con los mismos escalares,V1, . . . ,Vn,
denotadaV1⊕ · · · ⊕Vn, es el espacio vectorial de las matrices columna cuyo primer elemento
es un vector deV1, el segundo deV2y así hasta el último que es deVn. De nuevo, la suma de
estas columnas y su multiplicación por escalares se definen componente a componente haciendo uso de las correspondientes operaciones de sumar y multiplicar por escalares de los distintos espacios vectorialesVi: v1 .. . vn + u1 .. . un = v1+u1 .. . vn+un , c v1 .. . vn = cv1 .. . cvn .
8 Ejercicio de tarea. (¿Con qué matrices conmuta una matriz diagonal?) En este ejercicio, las ma-trices se suponen cuadradas de tamañon×nconn>1.
(a) Una matriz diagonal que tenga todos los elementos de la diagonal iguales se llama una matriz escalar. Demostrar que toda matriz escalar conmuta con todas las matrices (por las que se puede multiplicar).
(b) Demostrar que una matriz diagonal que tenga todos los elementos de la diagonal distintos conmuta solamente con las matrices diagonales.
(c) Demostrar que una matriz diagonal que tenga solamente dos elementos de la diagonal distintos, si conmuta con una matriz, ésta es semejante a una matriz diagonal por bloques con dos bloques en la diagonal.
(d) Demostrar que una matriz diagonal cualquiera D es semejante a una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal están ordenados en orden no decreciente:D0 =EDE−1.
3. Matrices y Determinantes 3.7. Determinantes
(e) Demostrar que la matriz E del apartado anterior transforma, por semejanza, todas ma-trices que conmutan con Den matrices diagonales por bloques todas ellas con la misma estructura de bloques.
(f) Demostrar que las matrices que conmutan con una matriz diagonal dadaDson aquellas que, tras aplicarles los mismos intercambios de filas y columnas que dejan los elementos de la diagonal de D en orden no decreciente, se transforman en una matriz diagonal por bloques, con tantos bloques en la diagonal como elementos distintos tiene D en la diagonal y siendo el orden de cada bloque igual al número de veces que se repite en Del correspondiente elemento de la diagonal deD.
(g) Demostrar lo anterior usando el concepto de suma directa de espacios y de aplicaciones lineales.
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección:
Enlaces:Ejercicio 5,Ejercicio 6,Ejercicio 7,Ejercicio 8.
3.7.
Determinantes
3.7.1.
Definición de determinante
Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de ordenn tenemos que saber elegir nelementos de la matrizde forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de cada columnacomo se ilustra en la siguiente figura:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9 7 5 3 1 0 8 6 4 2 3 6 9 7 4 . (3.5)
Además, hacer una elección de elementos de esta forma no es suficiente. Hay, en general, mu-chas formas de elegir n elementos de forma que se cumpla dicha condición y es necesario realizar todas las elecciones posibles.
Ejercicio (a) ¿Cuál es el número total de dichos productos en una matriz de tamaño 3×3? (b) ¿Cuál es la fórmula general que nos da el número de dichos productos para una matriz de ordenn? Solución: (a)6. (b) n !
Para cada elección denelementos elegidos como se ha dicho, tenemos que hallar el producto todos ellos y volver a elegir otros n elementos tomando sólo uno de cada fila y uno de cada columna y hallar su producto y así sucesivamente.
Definición. Eldeterminantede una matriz cuadrada es lasuma equilibradade todos esos posibles Definición de determinante.
productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila de forma que estén todos en distintas columnas.
3.7. Determinantes 3. Matrices y Determinantes
¿Qué es una “suma equilibrada”? La expresión “suma equilibrada” en la definición de
deter-Significado de “suma
equilibrada”. minante significa que cada uno de esos productos va multiplicado porse hayan elegido los factores. Concretamente, cada uno de esos productos va multiplicado por+1 o por−1 según cómo (−1)psiendopel número de intercambios de filas y columnas que sean necesarios para colocar todos los factores de ese producto en la diagonal.
Por ejemplo, para el producto de los elementos elegidos en (3.5), el número de intercambios de filas o columnas es p=3 ya que se necesitan tres intercambios:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9 7 5 3 1 0 8 6 4 2 3 6 9 7 4 F1↔F2 −−−−−−→ 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 9 7 5 3 1 0 8 6 4 2 3 6 9 7 4 F3↔F5 −−−−−−→ 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 3 6 9 7 4 0 8 6 4 2 9 7 5 3 1 F4↔F5 −−−−−−→ 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 3 6 9 7 4 9 7 5 3 1 0 8 6 4 2
por lo tanto el sumando correspondiente a esta elección de elementos es: (−1)3×6×2×9×3×2.
Si todos los factores se han elegido sobre la diagonal, p = 0 y el producto va multiplicado por(−1)0=1. El ejemplo típico de esto es el de cualquier matriz identidad. En ella hay un único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero: es el producto de los elementos de la diagonal. Por tanto tenemos:
Matriz identidad. El determinante de una matriz identidad es 1. Si In es la matriz identidad de ordenn,
detIn=1 , det(−In) = (−1)n.
Matriz diagonal. Igual que en una matriz identidad, en una matriz diagonal el producto de los elementos de la diagonal es el único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero. Por lo tanto:
det d1 0 · · · 0 0 . .. ... ... .. . . .. ... 0 0 · · · 0 dn =d1· · ·dn.
Determinante de una matriz 2×2. El ejemplo general no trivial más sencillo de cálculo de determinantes es el del determinante de una matriz 2×2,A= a bc d
. En este caso sólo hay dos productas posibles:adybc. El primero llevará signo positivo y el segundo negativo, por tanto:
det a b c d =ad−bc.
3. Matrices y Determinantes 3.7. Determinantes
3.7.2.
Consecuencias inmediatas de la definición
Determinante de la matriz traspuesta. Dado que la definición de determinante es simétrica respecto a las filas y columnas, el valor del determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
det(AT) =detA.
Consecuencia: Toda propiedad de los determinantes enunciada en términos de filas y colum-nas se cumple también al sustituir cada ocurrencia de la palabra “fila” por “columna” y cada ocurrencia de la palabra “columna” por “fila”.
Matriz con una fila o columna de ceros. Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero el determinante es cero. (Puesto que en cada uno de los productos hay un factor igual a cero.)
Por ejemplo: det a b 0 d e 0 g h 0 =0.
Efecto de un intercambio de filas o columnas. Si se intecambian las posiciones de dos filas o de dos columnas de una matriz, se cambia el signo de su determinante(ya que se cambia el signo de cada sumando en la “suma equilibrada”).
Consecuencia 1: SiPjk es la matriz elemental que intercambia las filasjyk, (a) det(PjkA) =−detA.
(b) detPjk =−1.
(c) det(PjkA) =detPjk·detA.
Consecuencia 2:Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero (ya que intercambiando esas dos filas o columnas el determinante no cambia y a la vez cambia de signo). Por ejemplo:
det a b a d e d g h g =0.
Trasladar una fila arriba o abajo o una columna a derecha o izquierda. Trasladar una fila hacia arriba atravesando k filas es colocarla justo encima del bloque formado por las k filas inmediatamente anteriores sin alterar el orden de esas k filas. Esto es equivalente a realizar k intercambios de filas y por tanto el determinante queda multiplicado por(−1)k. Lo mismo ocurre al trasladar una fila atravesandokfilas hacia abajo o cuando esto se hace con columnas en lugar de filas.
Si se traslada una fila hacia arriba o abajo atravesando un bloque de k filas o se tralada una columna a derecha o izquierda atravesando un bloque de k columnas, el determinante queda multiplicado por(−1)k.
9 Ejercicio de tarea. Usa la propiedad anterior para demostrar que si en una matriz se traslada todo un bloque dehfilas hacia arriba o abajo atravesando un bloque dekfilas, el determinante queda multiplicado por(−1)hk. Usa este resultado para calcular
det 0 In Im 0 .
3.7. Determinantes 3. Matrices y Determinantes
Efecto de un reescalado de una fila o columna. Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz por un número, se multiplica su determinante por ese número.
Consecuencia 1: SiEλes una matriz elemental de reescalado por el escalarλ,
(a) det(EλA) =λdetA.
(b) detEλ=λ.
(c) det(EλA) =detEλ·detA.
Consecuencia 2:Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas que son una múltiplo de la otra, su determinante es cero (ya que es un múltplo del determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales). Por ejemplo: det a b 3a d e 3d g h 3g =3 det a b a d e d g h g =0.
Múltiplo escalar de una matriz. Si una matriz cuadrada de orden n la multiplicamos por un número p, todas las columnas quedan multiplicadas por p, luego el determinante de la matriz queda multiplicado por p n veces, es decir, el determinante queda multiplicado por pn.
Esta propiedad nos permite contestar a la siguiente pregunta:
Ejercicio: SeaA= 5 −7 2 2 0 3 0 −4 −5 −8 0 3 0 5 0 −6
. Sabiendo que detA=20 calcular det(3A).
Solución: det ( 3 A )= 3 4 × 20 = 1620
Matriz triangular. Si todos los elementos encima o debajo de la diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la diagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
det a11 0 · · · 0 a21 a22 . .. ... .. . ... . .. 0 am1 am2 · · · amm =a11· · ·amm=det a11 a21 · · · am1 0 a22 · · · am2 .. . . .. ... ... 0 · · · 0 amm .
3.7.3.
Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o
columna
Desarrollo por la primera columna. Si queremos calcular un determinante, necesitamos for-mar todos los posibles productos que se pueden forfor-mar eligiendo un elemento de cada fila y de cada columna. Esto se puede hacer ordenadamente de la siguiente forma: Primero formamos todos los productos en los que aparece el primer elemento de la primera columna,a11. La suma
de todos estos productos (cada uno con su signo) es igual aa11multiplicado por el determinante
de la matrizA11que se obtiene al eliminar en la original la primera fila y la primera columna, es
decir (ver más abajo), el determinante delmenordel elemento (1, 1). Después formamos todos los productos en los que interviene el segundo elemento de la primera columna,a21. La suma
equilibrada de estos productos es igual a −a21 multiplicado por el determinante de la matriz
A21que se obtiene al eliminar en la original la segunda fila y la primera columna (el menor del
3. Matrices y Determinantes 3.7. Determinantes
expresar como una suma de productos de los elementosai1de la primera columna, cada uno
de ellos multiplicado por el determinante de una matriz de un orden menor que la dada: detA=a11detA11−a21detA21+· · · ±an1detAn1 (3.6)
Para entender perfectamente esta forma de calcular un determinante necesitamos introducir algunos conceptos:
Menor de un elemento. Dada una matriz A, se llamamenor del elemento que ocupa la posición (i,j) (es decir, fila i, columna j) y se denota Aij a la matriz obtenida al eliminar toda la fila i y toda la columna j de la matriz dada.
Cofactor de un elemento. Dada una matriz cuadradaA, se llamacofactor del elemento que ocupa la posición(i,j)al determinantedetAijdel menor de ese elemento multiplicado por+1o−1dependiendo de si i+j es par o impar.
Así, el cofactor del elemento(i,j)de la matrizAse calcula por la fórmula: Cij= (−1)i+jdetAij.
Usando cofactores, la fórmula (3.6) se puede escribir:
detA=a11C11+· · ·+an1Cn1
Los cofactores de los elementos de una fila o columna nos permiten calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la fórmula de expansión del determinante por los cofactores de una fila o columna. La expansión del determinante de una matrizn×n, A= (aij)por la columna j es:
detA=a1jC1j+· · ·+anjCnj La expansión del determinante de la misma matriz por la filaies:
detA=ai1Ci1+· · ·+ainCin
3.7.4.
Consecuencias no tan inmediatas de la definición
Efecto de descomponer una fila o columna como suma de dos. Si en una matriz cuadrada se descompone una fila o columna como suma de dos, su determinante se descompone en suma de dos(esto se demuestra desarrollando el determinante por los elementos de dicha fila o columna).
Por ejemplo: det a b c+p d e f+q g h k+r = (c+p)C13+ (f+q)C23+ (k+r)C33 = (cC13+f C23+kC33) + (pC13+qC23+rC33) =det a b c d e f g h k +det a b p d e q g h r .
Efecto de sumar o restar a una fila otra fila o a una columna otra columna. Si en una matriz cuadrada se le suma o resta a una fila otra fila o a una columna otra columna, su determinante no cambia.
Por ejemplo: det a b c+b d e f +e g h k+h =det a b c d e f g h k +det a b b d e e g h h =det a b c d e f g h k .
3.7. Determinantes 3. Matrices y Determinantes
Efecto de una operación de reemplazo de una fila o columna. Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un escalar el determinante de la matriz no cambia.
Por ejemplo: det a b c+3a d e f +3d g h k+3g =det a b c d e f g h k .
Consecuencia: SiAes una matriz cuadrada yEes una matriz elemental de reemplazo del mismo tamaño queA,
(a) det(EA) =detA. (b) detE=1.
(c) det(EA) =detE·detA.
Con lo anterior se completan las consecuencias de los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas. En el siguiente ejercicio se obtiene una importante propiedad de la que se obtendrán consecuencias en el ejercicio12.
10 Ejercicio de tarea. (a) Usando el hecho de que toda matriz unitriangular inferior (triangular
matriz
unitriangular inferior con unos en la diagonal) multiplicada por la izquierda por cualquier matriz efectúa
sobre ésta una sucesión de operaciones de reemplazo de filas que no cambian el determinante, justifica que siMes una matriz unitriangular inferior entonces
det(MA) =detA. (3.7) (b) Usa las propiedades de la traspuesta para deducir, a partir de (3.7), que si Nes una matriz unitriangular superior det(AN) =detA. (3.8) Pista: (a) M esel producto dematrices elementalesde reemplazo defilas.
3.7.5.
Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada
De las propiedades enunciadas en la sección anterior se deduce que si una matrizAse trans-forma, mediante operaciones elementales de filas, en una matriz escalonadaUy solamente se han usado operaciones de reemplazo y de intercambio (o sea, sin usar operaciones de reescala-do, lo cual, por otra parte, siempre es posible), entonces el determinante de la matriz escalonada Ues igual al determinante de Amultiplicado por±1 dependiendo de si el número de opera-ciones de intercambio ha sido par o impar. En otras palabras, siUes una forma escalonada de Aobtenida sin operaciones de reescalado y conroperaciones de intercambio, entonces
detA= (−1)rdetU.
Al aplicar esta técnica de cálculo de un determinante no es necesario limitarse a operaciones elementales de filas. Se pueden realizar operaciones elementales de filas y de columnas mezcla-das según convenga, teniendo cuidado de contabilizar enrel número total de intercambios de filas y columnas.
Puesto que toda matriz cuadrada escalonada es triangular, el determinante de U es igual al producto de todos los elementos de su diagonal y en consecuencia, el determinante deAes igual a(−1)r multiplicado por todos los elementos de la diagonal deU. Si Ano es inversible (es decir, essingular) entonces la matriz escalonadaUtiene algún elemento de la diagonal igual a cero y en consecuencia su determinante es cero. Recíprocamente siUtiene determinante cero, algún elemento de su diagonal es cero y su número de pivotes es menor que el número de columnas. Esto implica queAes necesariamente singular, Por tanto tenemos:
3. Matrices y Determinantes 3.7. Determinantes
Proposición. Una matriz es singular (no tiene inversa) si y sólo si su determinante es igual a cero:
detA=0 si y sólo si Aes singular.
3.7.6.
Teorema fundamental del cálculo de determinantes
Teorema. (a) De los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operacio-nes elementales de filas (véase más arriba) se deduce que para toda matriz elemental Ey toda matriz Adel mismo tamaño se verifica
det(EA) =detE·detA. (3.9) (b) Del apartado (a) se deduce que siAyBson dos matrices cuadradas del mismo tamaño,
det(AB) =detA·detB. (3.10) Demostración: Basta demostrar (b) ya que el apartado (a) se ha justificado ampliamente más arriba. En el caso de queAno es inversible entoncesABtampoco lo es y, por la proposición de la sección anterior, ambos miembros de la ecuación son iguales a cero.
Si Aes inversible entonces es igual a un producto de matrices elementales: A=E1· · ·Ek y en consecuencia:
det(AB) =det(E1)det(E2· · ·EkB) =· · ·=detE1· · ·detEkdetB=det(E1· · ·Ek)detB=detAdetB.
Corolario 1. SiAes una matriz inversible, entonces det(A−1) = 1
detA. (3.11)
Corolario 2. Si AyBson dos matrices semejantes (esto es, existe una matriz inversible,M, tal queA=MBM−1) entonces,
detA=detB.
3.7.7.
Ejemplos de determinantes especiales
(a) Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos de una columna son iguales a p, su determinante es igual a p multiplicado por un determinante de orden n−1. Lo mismo ocurre si todos los elementos de una fila son iguales.Se resta la primera fila de cada una de las demás, con lo que la columna en cuestión se convierte en (p, 0, . . . , 0) y ahora se desarrolla el determinante por esa columna.
det a b p d e p g h p =det a b p d−a e−b 0 g−a h−b 0 = (−1)1+3p·det d−a e−b g−a h−b .
(b) Si en una matriz cuadrada de orden n la suma de los elementos de una fila es igual a la de los de otra fila cualquiera (todas las filas tienen la misma suma) entonces el determinante es igual a esa suma multiplicada por un determinante de orden n−1.
3.7. Determinantes 3. Matrices y Determinantes
Para verlo, realizamos sobre la matriz original las siguientes operaciones de reemplazo: Sumamos a la primera columna todas las demás columnas, con lo cual la primera columna tiene todos los elementos iguales y estamos en la situación del ejemplo anterior.
det a b c b c a c b a =det a+b+c b c a+b+c c a a+b+c b a = (a+b+c)det c−b a−c b−b a−c .
3.7.8.
Determinantes de matrices por bloques
Sean AyCmatrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y seaBuna matriz con el mismo número de filas que Ay el mismo número de columnas queC, de forma que se puede formar la matriz por bloques A B0C
. Entonces det A B 0 C =detA·detC. (3.12)
Esto es una sencilla consecuencia del teorema fundamental (ver ecuación (3.10)) combinado con la siguiente identidad:
A B 0 C = A 0 0 I I A−1B 0 C ,
perotambién puede demostrarse de forma independiente del teorema fundamentalusando solamente la definición de determinante. Esa demostración independiente se basa en la observación de que al formar los productos de elementos que forman el determinante de A B
0 C
, si en un producto determinado apareciese un elemento en posición(i,j)que cae dentro deB, también habría uno del bloque nulo bajoAa la izquierda deCy por tanto ese producto sería cero. Cada uno de los productos no nulos es, pues, un producto de dos factores: un factor que es uno de los productos que forman detAy otro factor que es uno de los productos que forman detC.
Usando las propiedades de la traspuesta es muy sencillo deducir de (3.12) su versión “tras-puesta”: det A 0 B C =detA·detC. (3.13) La fórmula (3.12) (y análogamente la (3.13)) sigue siendo cierta en un caso más general. Supongamos queAes una matrizn×npartida enk×kbloques (no necesariamente del mismo tamaño) y tal que los bloques de la diagonal, Aii para i = 1, . . .k, son cuadrados (siendo el tamaño deAii,pi×pi) y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas,
A= A11 A12 . . . A1k 0 A22 . . . A2k .. . . .. ... ... 0 . . . 0 Akk
Entonces el determinante de Aes el producto de los determinantes de las matrices de la diago-nal:
det(A) =det(A11)· · ·det(Akk). (3.14) Esta fórmula puede deducirse de (3.12) por el método de inducción.
3. Matrices y Determinantes 3.8. Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa
11 Ejercicio de tarea. SiAes una matriz inversible yM= A B C D
es una matriz cuadrada, demues-tra I 0 −CA−1 I A B C D = A B 0 D−CA−1B
y usa el ejercicio10-ecuación (3.7) para deducir de ello det A B C D =detA·det(D−CA−1B).
Las operaciones de matrices por bloques son una poderosa herramienta para demostrar algunas fórmulas que aparentemente no tienen nada que ver con las matrices por bloques. Como ejemplo, el siguiente ejercicio demuestra la fórmula (3.10).
12 Ejercicio de tarea. El objetivo de este ejercicio es demostrar el teorema fundamental del cálculo de determinantes,
det(AB) =detA·detB,
usando solamente las propiedades de las operaciones de matrices por bloques. Para ello hace-mos los siguientes pasos dondeA,B,CyDson matrices cuadradas del mismo tamaño eIes la matriz identidad del mismo tamaño queA,B, etc.:
(a) Demuestra que
det A B C D =det −C −D A B . Pista:Calcula elpr oducto I − I 0 I I 0 I I I − I 0 I A B C D
(b) Usa el resultado anterior combinado con (3.13) (supuesto demostrado independientemente del teorema fundamental) para deducir
det A B C 0 =det(−C)detB.
(c) Usa la multiplicación de matrices por bloques para comprobar la identidad
A 0 −I B I B 0 I = A AB −I 0
y deduce de ella, del apartado anterior y del ejercicio10-ecuación (3.8), que det(AB) =det A 0 −I B .
(d) Combina (3.13) con el resultado anterior para deducir la fórmula buscada.
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Enlaces:Ejercicio 9,Ejercicio 10,Ejercicio 11,Ejercicio 12.
3.8.
Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa
La regla de Cramer es un método que nos permite escribir una fórmula para cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es una matriz inversible. Dichas fórmulas nos permiten calcular la solución de dicho sistema por medio de determinantes. Para explicar la fórmula que corresponde a cada incógnita es necesario comprender una operación especial que se puede realizar sobre una matriz de m filas y que consiste en sustituir una columna determinada por un vector dado deRm.
3.8. Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa 3. Matrices y Determinantes
La operación de sustituir una columna de una matriz por un vector dado
Supongamos que A es una matriz de m filas y n columnas, y que b es un vector de Rm. DenotamosA(j←b)la matriz obtenida a partir de Aal sustituir la columnajde Apor el vector
b. Por ejemplo, si A= 1 0 2 4 5 9 y b= a b c entonces A(1←b)= a 0 b 4 c 9 , A(2←b)= 1 a 2 b 5 c .
En relación con esta operación de matrices el cálculo de determinantes tiene las siguientes propiedades:
(a) Sixes el vector de componentes(x1, . . . ,xn), entonces det I(j←x) =xj. Por ejemplo: Si x= x1 x2 x3 , entonces det I(3←x) =det 1 0 x1 0 1 x2 0 0 x3 =x3det 1 0 0 1 =x3.
(b) Para cualquier vectorx∈Rn, el producto de Apor la matrizI(j←x)es: A I(j←x)=A(j←Ax). Por ejemplo: A I(j←x)= 1 0 2 4 5 9 1 x1 0 x2 = A 1 0 A x1 x2 = 1 2 5 Ax =A(2←Ax)
Combinando esta propiedad con la anterior deducimos: det A(j←Ax)
=xjdetA. (3.15) (c) Si Aes una matriz cuadrada de orden n y ej es la columna j de la matriz identidad In,
entonces el cofactor del elemento(j,i)de Aes: Cji=det A(i←ej) . Por ejemplo, Si A= 1 0 3 2 4 7 5 9 6 entonces A(3←e2)= 1 0 0 2 4 1 5 9 0 y por tanto det A(3←e2) =det 1 0 0 2 4 1 5 9 0 = (−1)2+3det 1 0 5 9 =−detA2 3=C2 3.
3. Matrices y Determinantes 3.9. Ejercicios adicionales
La Regla de Cramer
En términos de la operación estudiada más arriba, la regla de Cramer se enuncia así:
Regla de Cramer. Si A es una matriz n×n inversible y b ∈ Rn, entonces el vector x = (x1, . . . ,xn)cuyos elementos están definidos por:
xj=
det A(j←b)
detA
es la solución única del sistema compatible determinadoAx=b.
Demostración: Si A es una matriz inversible y Ax = b entonces A(j←b) = A(j←Ax). Tomando determinantes y usando (3.15): detA(j←b)=xjdetA.
Una fórmula para la matriz inversa
Si A es una matriz inversible n×n, la columna j de A−1 es un vector xj que satisface el sistema de ecuaciones Axj =ej(donde, igual que antes, usamos la notacióne1, . . . ,en para las columnas de la matriz identidad de ordenn). En consecuencia, por la regla de Cramer,xj está dado por xj= 1 detA det A(1←ej) .. . det A(n←ej) = 1 detA Cj1 .. . Cjn .
Ahora bien, la columna de cofactores que aparece en esta fórmula tiene por elementos los de la fila jde la matriz de cofactores de A. En conclusión,
La matriz inversa de A es igual al inverso del determinante de A multiplicado por latraspuestade la matriz de cofactores de A: A−1= 1 detA C11 · · · C1n .. . . .. ... Cn1 · · · Cnn T .
3.9.
Ejercicios adicionales
Operaciones con matrices
I1.Dado que los vectores enRn pueden ser considerados como matricesn×1, las propiedades de las traspuestas también se aplican a vectores. Sean A =
1 −3 −2 4 y x = 5 3 Calcula (Ax)T,xTAT,xxT, yxTx. ¿Está definido el productoATxT?
I2.SeanAuna matriz 4×4 yx un vector enR4. ¿Cuál es la forma más rápida de calcular A2x: Haciendo A(Ax)o haciendo(A·A)x?. Cuenta las multiplicaciones que hay que hacer en cada caso.
En los ejercicios 3 y 4, calcula cada suma o producto si la matriz está definida. Si alguna expresión no está definida, explica por qué.
3.9. Ejercicios adicionales 3. Matrices y Determinantes A= 2 0 −1 4 −5 2 , B= 7 −5 1 1 −4 −3 , C= 1 2 −2 1 , D= 3 5 −1 4 , E= −5 3 . I3.−2A, B−2A, AC, CD. I4.A+2B, 3C−E, CB, EB.
En el resto de esta serie de ejercicios y en las series que siguen, debe suponerse que cada expresión de matrices está definida. Esto es, los tamaños de las matrices (y de los vectores) involucrados “se corresponden” de manera apropiada.
I5.Calcula 3I2−Ay(3I2)Acon A= 4 −1 5 −2 . I6.CalculaA−5I3y(5I3)A, con A= 9 −1 3 −8 7 −6 −4 1 8 .
En los ejercicios 7 y 8, calcula el producto ABen dos formas: (a) mediante la definición, don-de Ab1y Ab2 se calculan por separado, y (b) mediante la regla fila-por-columna para calcular
AB. I7.A= −1 2 5 4 2 −3 ,B= 3 −2 −2 1 I8.A= 4 −2 −3 0 3 5 ,B= 1 3 2 −1
I9.Si una matrizAes de orden 5×3 y el productoABes de orden 5×7, ¿cuál es el orden deB?
I10.¿Cuántas filas tieneBsiBCes una matriz de orden 3×4?.
I11.SeanA 2 5 −3 1 , y B= 4 −5 3 k
. ¿Qué valor(es) dek, si hay, hacen queAB=BA?.
I12.SeanA= 2 −3 −4 6 ,B= 8 4 5 5 , yC= 5 −2 3 1
Comprueba queAB= ACy que sin embargoB6=C.
I13.SeanA= 1 1 1 1 2 3 1 4 5 yD= 2 0 0 0 3 0 0 0 5
. CalculaADyDA. Explica cómo cambian las filas
o columnas deAcuando se multiplica porDa la derecha o a la izquierda. Halla una matrizB de orden 3×3, que no sea la matriz identidad o la matriz cero, tal queAB=BA.
I14.SeaA=
3 −6 −1 2
. Construye una matrizBde orden 2×2 tal queABsea igual a la matriz cero. Las columnas deBno deben ser iguales entre sí y deben ser distintas de cero.
I15. Sean r1, . . . ,rp vectores en Rn, y sea Q una matriz de orden m×n. Escribe la matriz [Qr1 . . . Qrp]como un producto de dos matrices sin usar una matriz identidad.
Los ejercicios 16 y 17 tratan de matrices arbitrarias A, B y C para las cuales las sumas y productos indicados están definidos. Indica para cada una de las siguientes afirmaciones si es verdadera o falsa. Justifica tus respuestas.
3. Matrices y Determinantes 3.9. Ejercicios adicionales
I16.
(a) Si A y B son matrices de orden 2×2 con columnas a1, a2 y b1, b2, respectivamente,
entoncesAB= [a1b1a2b2].
(b) Toda columna deABes una combinación lineal de las columnas deBusando como coefi-cientes los elementos de la columna correspondiente deA.
(c) AB+AC=A(B+C) (d) AT+BT= (A+B)T
(e) La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de sus traspuestas en el mismo orden.
I17.
(a) Si AyBson matrices 3×3 yB= [b1b2b3], entonces AB= [Ab1+Ab2+Ab3].
(b) La segunda fila deABes la segunda fila deAmultiplicada a la derecha porB. (c) (AB)C= (AC)B
(d) (AB)T =ATBT
(e) La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de sus traspuestas.
I18.Si A=−1 −2 2 5 y AB=−1 2 −1 6 −9 3
, halla la primera y la segunda columna deB.
I19.Supongamos que las dos primeras columnas deBson iguales. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas deAB(suponiendo que este producto está definido)?. ¿Por qué?
I20.Supongamos que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué puede decirse acerca de la tercera columna deAB? ¿Por qué?
I21.Supongamos que la segunda columna de Bes toda cero. ¿Qué puede decirse acerca de la segunda columna deAB?
I22.Supongamos que la última columna de ABes completamente cero, pero B por sí sola no tiene ninguna columna de ceros. ¿Qué puede decirse acerca de las columnas deA?
I23.Demuestra que si las columnas deB son linealmente dependientes, también lo son las co-lumnas deAB.
I24.Supongamos queCA= In (la matriz identidadn×n). Demuestra que la ecuación Ax =0 tiene únicamente la solución trivial. Explica por quéAno puede tener más columnas que filas.
I25.Supongamos queAD=Im, (la matriz identidadm×m). Demuestra que para todobenRm, la ecuación Ax = b tiene una solución. [Sugerencia: Piensa en la ecuaciónADb = b.] Explica por quéAno puede tener más filas que columnas.
I26.Supongamos queAes una matriz de ordenm×ny que existen matricesn×m,CyD, tales queCA= In y AD = Im. Demuestra que m= ny C= D. [Sugerencia: Piensa en el producto CAD).]
