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Introducción a la teoría de bandas

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Academic year: 2018

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PRINCIPIOS DE ELECTRÓNICA

Introducción a la teoría de bandas

Nuestro objetivo es adquirir unas ideas simples de cómo es la conducción de la corriente eléctrica en un sólido cristalino. Los átomos de un sólido cristalino están ordenados en una estructura periódica tridimensional. Imaginemos un experimento ideal en el que se supone que la red de átomos se dilata, esto es, la separación entre átomos aumenta. Llega un momento en que los átomos están tan alejados unos de otros que se pueden considerar aislados e independientes. El propósito de este experimento mental es describir cómo se modican los estados energéticos de los electrones en los átomos aislados a medida que los átomos se acercan hasta formar la red original.

Comenzamos por un átomo aislado. Un electrón en un estado ligado de un átomo posee una energía potencial debida a los protones del núcleo igual a

Ep(x) =

Z|e|2

4π²0|x| (1)

donde x representa la posición sobre un eje que pase por el núcleo y cuyo origen está en el núcleo (ver gura 1).

E(x)

x

1s 2s 2p

3s

2

0

( ) 4

p

Ze E x

x

S



Figura 1: Energía potencial de un electrón debida a la interacción eléctrica con un ión de carga

q.

En una visión clásica los electrones ligados podrían tener cualquier energía menor que cero. La Mecánica Cuántica nos dice que los electrones se encuentran en niveles de energía discretos. Los estados energéticos se ocupan siguiendo el principio de exclusión de Pauli. Esto es, dos electrones no pueden tener idénticos valores de números cuánticos, que en el caso del átomo son los númerosn, l, ml y ms:

n = 1,2,3, . . .

l = 0,1, . . . , n−1 =s, p, d, f, . . . ml = −l,−l+ 1, . . . , l−1, l

(2)

Los números cuánticos denen un estado cuántico. Los electrones se van colocando en el átomo rellenando los niveles de energía más bajos. Algunos ejemplos son:

1H 1s1 2He 1s2 3Li 1s22s1 4Be 1s22s2 5B 1s22s22p1 6C 1s22s22p2 7N 1s22s22p3 8O 1s22s22p4 9F 1s22s22p5 10Ne 1s22s22p6

Consideremos ahora dos átomos próximos. Si tenemos un electrón sometido al potencial de dos iones positivos la energía potencial en función dexa lo largo de un eje que pase por los dos iones sería como la de la gura 2. Clásicamente el electrón está compartido, moviéndose entre los dos iones, si su energía potencial es superior a un cierto valorE0.

E(x)

+ +

1erión

2doión

E

potencial suma E

E0

Figura 2: Energía potencial eléctrica de un electrón cuando interactúa con dos iones (líneas sólidas).

Para electrones con energías menores que E0 la situación sería de connamiento en uno de

los dos iones. Cuánticamente, un electrón puede pasar de un ión al otro incluso para energías

E menores que E0 gracias al efecto tunel. La probabilidad de pasar de un ión al otro va a

depender de lo alta que sea la barrera de potencial, esto es de la diferencia de energía entre E

y E0. Los electrones más internos, con niveles de energía más profundos, no van a tener una

probabilidad apreciable de pasar de un átomo a otro y, por tanto, no son necesarios a la hora de construir una teoría de conducción en los sólidos cristalinos. Para estos electrones más internos, las funciones de onda correspondientes solapan muy poco.

(3)

empleamos para describir un electrón que puede encontrarse con igual probabilidad tanto en el átomo 1 como en el 2? (Esto es un requerimiento de que los electrones son indistinguibles). Una posibilidad es escribirΨS = Ψ1+Ψ2. Otra posibilidad es escribirΨA= Ψ1Ψ2. Cuando los

áto-mos están muy lejos (d >>1 Å) las funciones de probabilidad dadas por ambas autofunciones

son muy parecidas |ΨS|2 =|ΨA|2. Cuando la distancia es del orden de 1 Å, las funciones Ψ1 y

Ψ2 se solapan, y empiezan a ser diferentes las autofunciones simétrica y antisimétrica. Con ΨS

hay probabilidad de encontrar al electrón entre los iones, mientras que conΨA la probabilidad

de encontrarlo entre los iones se reduce mucho.

Al ser diferentes las probabilidades también son diferentes las energías asociadas a los es-tados. Resulta ser que ΨS presenta una energía más baja que ΨA. Por cada nivel de energía

atómico obtenemos dos niveles cuando acercamos los dos átomos. En cada nivel de energía (el de la función ΨS o el de la función ΨA) caben dos electrones: uno con el spin hacia arriba y

otro con el spin hacia abajo. La moléculaH2 tiene los dos electrones en el estado dado por ΨS.

x

<

1

<

2

+

+

Figura 3: Funciones de onda del estado fundamental para dos átomos de hidrógeno aislados.

<1 <2

+ +

<s=<1+<2

<1

<2

+ +

<a=<1-<2

Figura 4: Combinaciones simétrica y antisimetrica de las autofunciones del nivel fundamental para dos átomos de hidrógeno.

Tomemos ahora un número N de átomos colocados en una recta con una distancia entre átomosdcada vez menor. Cada uno de los niveles de energía de los átomos aislados se rompe en

(4)

+

+

_<

s

|

2

+

+

_<

a

|

2

Figura 5: Densidad de probabilidad asociada a las autfunciones de la gura 4 Combina-ciones simétrica y antisimetrica de las autofunCombina-ciones del nivel fundamental para dos átomos de hidrógeno.

d E

1s

dequilibrio E

a-Es

Figura 6: Desdoblamieto de los niveles de energía en dos estados energéticos cuando se aproxi-man dos átomos.

que describe a un electrón con igual probabilidad en cualquiera de los seis átomos para una distancia grande de separación d ha de ser muy aproximadamente una combinación lineal de las funciones individuales. Existen seis posibilidades: En el primer nivel tendremos que las seis funciones se suman simétricamente.

Ψprimer nivel = Ψ1+ Ψ2+ Ψ3+ Ψ4+ Ψ5 + Ψ6

En el segundo nivel tendremos:

Ψsegundo nivel = (Ψ1+ Ψ2+ Ψ3)(Ψ4+ Ψ5+ Ψ6)

Los demás:

Ψtercer nivel = Ψ1+ Ψ2Ψ3Ψ4+ Ψ5+ Ψ6

Ψcuarto nivel= Ψ1Ψ2Ψ3+ Ψ4Ψ5Ψ6

Ψquinto nivel = Ψ1Ψ2+ Ψ3+ Ψ4Ψ5+ Ψ6

(5)

La energía es menor cuando los electrones se encuentran con más probabilidad en las regiones entre átomos. La representación de E en función de la distancia atómica puede verse en la siguiente gura. Se muestra el desdoblamiento del estado 1s en una banda de seis niveles energéticos. Notemos que a medida que la distancia entre átomos d disminuye la diferencia de

energía entre el máximo y el mínimo de la banda aumenta.

d E

1s

d equilibrio banda de

energía

Figura 7: Desdoblamiento del estado 1s en una banda de seis niveles de energía en función de la separación entre átomos.

Cuando el análisis se extiende a una red de N átomos, los estados idénticos individuales dan lugar a N estados de energías diferentes. No obstante, los dos extremos se parecerán al primero y al sexto nivel del ejemplo. La diferencia de energía entre los extremos de la banda no depende apreciablemente deN. Sin embargo, la diferencia de energía entre niveles consecutivos disminuye con N. Cuando N es del orden del número de Avogadro, la diferencia de energía es insignicante entre niveles adyacentes ( 1023 eV) y se tiene una banda de energía

cuasi-continua. (1 electrón-voltio= 1019 Julios).

Hasta aquí hemos visto la situación para un nivel de energía. Cuando tenemos átomos multi-electrónicos donde hay diferentes estados cuánticos, cada estado individual mono-atómico se rompe en bandas de energía al formarse el sólido. La situación es como la de la gura 8 donde vemos que los niveles cuánticos mono-atómicos1s,2s,2p,3s,... dan lugar a bandas en el sólido: banda 1s, banda 2s, banda 2p, banda 3s,... Para una misma distancia d la anchura de la

banda es mayor donde haya más solapamiento, esto es, la anchura será mayor para los niveles correspondientes a electrones más externos.

Lo que hemos usado han sido modelos muy simples unidimensionales. Si queremos hacer cálculos y comparar con el mundo real tendremos que tener en cuenta las tres dimensiones. Esto hace que las imágenes simples que nos hemos hecho tengan que modicarse un poco.

Conductores, semiconductores y aislantes

(6)

1s

2s

2p

3s

E

banda 1s

banda 2s

banda 2p

banda 3s

Figura 8: Desdoblamiento esperado de los cuatro primeros niveles del sodio en cuatro bandas de energía en el cristal de sodio.

Vamos a considerar algunos ejemplos hipotéticos. Si consideramos el sodio11Na (1s22s22p63s1),

la forma esperada de la estrucura de bandas es como en la gura 9. Como los electrones siguen la estadística de Fermi-Dirac, para T = 0 K todos ocupan los niveles más bajos de energía y el nivel más alto forma el nivel de Fermi. Para T >0 algunos pocos electrones pueden ocupar niveles más altos. Al tener la banda 3s a medio llenar el sodio es un conductor. Lo mismo le

sucede a los elementos de su misma columna en la tabla periódica, como el Li, K, Rb, Cs.

1s 2s 2p 3s

E

2N 2N 6N 1N

sodio

banda nº e

-1s 2s 2p 3s

E

2N 2N 6N 2N

magnesio

banda nº e

-3p

Figura 9: Esquema de la ocupación de las bandas por los electrones en un cristal de N áto-mos de: (a) sodio, teniendo, por tanto, 11N electrones; (b) magnesio, con 12N electrones. El solapamiento de las bandas 3s y 3p hacen del magnesio un metal.

La banda de energías más alta conteniendo electrones es la banda de valencia (BV), la siguiente banda es la de conducción (BC). Si la banda de valencia está parcialmente llena, entonces es también la banda de conducción.

Siguiendo el razonamiento, el magnesio 12Mg (1s22s22p63s2) debería ser un aislante, al

tener la banda 3s completamente llena. Sin embargo, un nuevo fenómeno, el solapamiento de la banda 3s con la 3p, hace que sea un conductor. Esto mismo sucede para el Berilio, Calcio,

(7)

Consideremos ahora el 6C en la estructura de diamante. En el esquema esperado para el

diamante, la banda2p estaría parcialmente llena y podría conducir. Habría2N electrones para

6N posiciones posibles. Sin embargo, se produce el solapamiento de la banda 2s con la 2p

dando lugar a 8N niveles. Esta banda híbrida 2s2p se rompe para la distancia de separación

entre átomos, dando lugar a dos bandas de4N posiciones separadas por un gap de energíaEg.

De este modo aparece una banda de valencia completamente llena separada de una banda de conducción. El diamante es un aislante. Lo mismo sucede con el Si y el Ge. La hibridación se da entre las bandas 3s y 3p para el Si y entre las bandas 4s y 4ppara el Ge. Los valores de las energías del gap son:Eg(C) = 6eV,Eg(Si) = 1,1eV yEg(C) = 0,7eV. A la temperaturaT = 0

K los tres sólidos se comportan de forma idéntica y son aislantes. A temperatura ambiente para el Si y el Ge, sin embargo, un número apreciable de electrones adquieren energía térmica suciente para saltar a la banda de conducción. Cuanto mayor sea T o menor sea Eg mayor

será el número de electrones que contribuyen a la corriente.

La ley de probabilidad para que se dé el salto de un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción es proporcional al factor exp(−Eg/2kBT). Para el Si el número

de electrones en la banda de conducción a temperatura ambiente (T ' 300 K) es Ne(Si) =

2,6×1015m3. Para el diamante este número será:

Ne(C) =Ne(Si)

Ne(C)

Ne(Si)

= 2,6×1015exp( 6 eV 2kBT)

exp(12,k1 eVBT)m

3 1028m3

que es un número insignicante y, por eso, el diamante es un aislante a temperatura ambiente. La cantidad de electrones de conducción en el Si es pequeña comparada con la de aquellos en un metal, que es del orden de 1028m3. Aún así la conducción es apreciable y el Si y Ge

sólidos son semiconductores.

1s 2s 2p E 2N 2N 2N diamante banda nº e

-ocupación esperada 1s 2s2p 2s2p E 2N 4N 4N diamante banda nº e

-ocupación real

Eg=6eV

Figura 10: Al desdoblamiento de los niveles atómicos de energía del carbono en sus respectivas bandas de energía le sigue el solapamiento de las bandas 2s y 2p. Posteriormente, esta banda híbrida '2s2p' se desdobla a medida que la separación interatómica decrece. En el equilibrio, un gap de energía Eg separa las dos bandas híbridas en el cristal de diamante.

Corriente en semiconductores

(8)

fenómeno nuevo, los huecos dejados por los electrones en la banda de valencia se comportan como portadores de carga positiva. En efecto, el hueco de la BV puede ser ocupado por un electrón de dicha banda, dejando un hueco detrás. Si pensamos en un hueco en un átomo en presencia de un campo eléctrico aplicado, este hueco puede ser ocupado por un electrón de la BV de un átomo vecino que es atraído por el campo. Al saltar este electrón dejará un hueco en el átomo que podrá ser a su vez ocupado por otro electrón de un átomo cercano. El hueco se moverá en dirección contraria al movimiento de los electrones, o sea, en dirección del campo aplicado. Por ello, se comporta como una carga positiva. De este modo, a la corriente eléctrica contribuyen tanto los electrones de la BC como los huecos de la BV:

j=−|e|Neve+|e|Nhvh (2)

(Desde luego, ante la aplicación de un campo contribuyen a la corriente en el mismo sentido). El paso de un electrón de la BV a la BC requiere un aporte energético y el salto de la BC a la BV produce energía. Existe un equilibrio dinámico donde se producen pares electrón-hueco a la vez que se aniquilan. Esto puede tratarse como una reacción química:

Red*)e + h

Esta reacción sigue una ley de acción de masas:

[e]·[h] =Ke−kBTEg (3)

En un semiconductor puro (intrínseco) el número de electrones en la BC es igual al número de huecos en la BV, luego [e]=[h] y tenemos

[e] = [h] = K1/2e2kBTEg

(4) La conductividad varía con la temperatura absoluta como varía la concentración de portadores.

Dopado

Si en una red de átomos de silicio (14Si) cambiamos algunos pocos átomos por átomos de

aluminio (13Al) es de esperar que la estructura global de bandas no se altere. Estos átomos de 13Al aportan un electrón menos a la banda de valencia (3 e de valencia en vez de 4). Aparece un hueco por cada átomo de aluminio. Estos huecos se presentan como portadores de carga incluso a temperaturas muy bajas. Se requiere muy poca energía para que el aluminio acepte un electrón quedando cargado negativamente. A temperatura ambiente esto se produce y el hueco es libre de moverse por la red en la BV. Veáse el esquema de enlaces y de las bandas de energía (g. 11). Este semiconductor dopado se llama de tipo p porque la mayoría de los portadores de carga son huecos en la BV.

Si por el contrario suministramos unos pocos átomos de fósforo (15P) a la red de silicio, por

cada átomo de fósforo tendremos un electrón de más, 5 e de valencia en vez de 4. Con muy poca energía ese electrón de más rompe su enlace y se va a la red en la BC. Véase el esquema de los enlaces y de las bandas de energía (g. 11). Este semiconductor dopado se llama de tipo n porque los portadores mayoritarios son electrones en BC.

(9)

Si

Si

Si Si

Si

Si Si

Al hueco

Si

Si

Si Si

Si

Si Si

P

e-sobrante

·

semiconductor tipo p

semiconductor tipo n Al+e-ÙAl

-PÙP++e

-AlÙAl-+h+

Figure

Figura 1: Energía potencial de un electrón debida a la interacción eléctrica con un ión de carga q .
Figura 2: Energía potencial eléctrica de un electrón cuando interactúa con dos iones (líneas sólidas).
Figura 4: Combinaciones simétrica y antisimetrica de las autofunciones del nivel fundamental para dos átomos de hidrógeno.
Figura 6: Desdoblamieto de los niveles de energía en dos estados energéticos cuando se aproxi- aproxi-man dos átomos.
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