1. Sucesos Aleatorios. - Esquema probabilidad 2

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1. Sucesos Aleatorios.

2. Probabilidad Simple. Prob. Condicionada. 3. Probabilidad Compuesta. Diagramas de árbol.

4. Probabilidad Total. Tma de Bayes

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1 SUCESOS ALEATORIOS EXPERIMENTO ALEATORIO.

Son aquellos cuyos resultados no podemos predecir, a pesar de repetirse bajo las mismas condiciones. Ejemplos: a) Lanzar un dado.

b) sacar una carta. ESPACIO MUESTRAL. (E ó  )

Es el conjunto de todos los posibles resultados que pueden darse al realizar un experimento. Ejemplos: a) E = {1,2,3,4,5,6}.

b) E = {1 oros, 2 oros, …, rey oros, 1 copas,…..} (40 cartas) SUCESO ALEATORIO de un experimento.

Cualquier subconjunto del espacio muestral de ese experimento. Ejemplos: a) A = “ Obtener par ” ; A = {2,4,6}

b) A = “ Obtener Oros ” ; A = {1,2,3, …, 7, sota, caballo, rey (todos de oros)}. SUCESO ELEMENTAL.

Cada uno de los posibles resultados del experimento, es decir, sucesos que contienen un sólo resultado. Ejemplos: a) B = “Obtener un tres” ; B = {3}.

b) B = “Obtener el As de oros” ; B = {1 de oros}. SUCESO SEGURO. (E ó ) 

Es aquel suceso que se obtiene con toda seguridad Ejemplos: a) E = “ Obtener un resultado entre 1 y 6 ”. b) E = “ Sacar una carta inferior a 13 ”. SUCESO IMPOSIBLE . ( )

Es aquel suceso que es imposible de obtener.

Ejemplos: a)  = “ Sacar un resultado que sea par e impar a la vez.” b)  = “ Sacar un 15 de Oros ”.

ESPACIO O ALGEBRA DE SUCESOS. (E)

Conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios de un experimento. En este espacio de sucesos se encuentran el suceso seguro, el suceso imposible, todos los sucesos elementales, etc. En definitiva cualquier suceso que se nos ocurra definir.

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OPERACIONES CON SUCESOS.

Ejemplo: Experimento: Lanzamiento de un dado

Suceso A = “ Obtener resultado par ” , A = {2,4,6} Suceso B = “ Obtener resultado mayor que 4 ” , B = {5,6} Suceso C = “ Obtener un 1 ” , C = {1}.

UNION DE SUCESOS: A B (A unión B)

Dados dos sucesos A y B, llamamos suceso UNION de A y B al suceso que se obtiene si se obtiene el suceso A o el suceso B (o ambos). Es decir, el suceso formado por todos los resultados de A y de B.

Ejemplos: AB = “ Obtener resultado par o mayor que 4 ”, AB = {2,4,5,6}. BC = “ Obtener 1 o mayor que 4 ”, BC = {1,5,6}

INTERSECCIÓN DE SUCESOS: A B. (A intersección B)

Dados dos sucesos A y B, llamamos suceso INTERSECCION de A y B al suceso que se obtiene si se obtienen a la vez el suceso A y el suceso B. Es decir, el suceso formado por todos los resultados comunes entre A y B.

Ejemplos: AB = “ Obtener un resultado par y a la vez mayor que 4 ” , AB = {6}. BC = “ Obtener un 1 y a la vez mayor que 4 ” , BC = 

CONTRARIO O COMPLEMENTARIO DE UN SUCESO:

Dado el suceso A, llamamos suceso CONTRARIO o COMPLEMENTARIO de A al suceso que se obtiene si no se obtiene A. Es decir, el suceso formado por todos los resultados del experimento que no son de A.

Ejemplos: = “ No obtener resultado par ”, = {1,3,5}

= “ No obtener resultado mayor que 4 ”, = {1,2,3,4} LEYES DE MORGAN

a) b) c)

SUCESOS COMPATIBLES / INCOMPATIBLES.

Dados los sucesos A y B, diremos que son COMPATIBLES si pueden obtenerse simultáneamente y diremos que son INCOMPATIBLES si por el contrario no pueden obtenerse a la vez. Por tanto:

Si AB  entonces A y B son Compatibles Si AB =  entonces A y B son Incompatibles Ejemplos: A y B son compatibles ; B y C son incompatibles SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS.

Sea un experimento en el que definimos los sucesos: S1, S2, S3, …, Sn. diremos que S1, S2, S3, …, Sn forman un sistema

COMPLETO de sucesos si se cumple: a) S1  S2  S3…  Sn = E.

b) Si Sj =  ,  i  j ( todos los sucesos son incompatibles entre sí ).

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2. PROBABILIDAD SIMPLE. PROBABILIDAD CONDICIONADA DEFINICIÓN CLÁSICA: REGLA DE LAPLACE.

Llamamos probabilidad del suceso A, al cociente entre el número de resultados que favorecen al suceso A y el número de resultados que pueden darse al realizar el experimento.

OBSERVACIÓN: Para que esta fórmula sea válida, todos los resultados del experimento deben ser equiprobables. Es decir deben tener la misma posibilidades de ser obtenidos.

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA.

Es la aplicación P : (E) R + tal que :

1) P (A)  0  A  (E) , ( en concreto 0  P (A)  1 ) 2) Sea E el suceso seguro, entonces P (E) = 1

3) Si A y B son incompatibles (AB = ) , entonces P (AB) = P (A) + P (B)

4) Si A y B son compatibles (AB ) , entonces P (AB) = P (A) + P (B) – P (AB) 5) Sea el complementario de A , entonces P ( ) = 1 – P (A)

6) Sea  el suceso imposible, entonces P () = 0

7) Si el suceso A está contenido en el suceso B, entonces P (A)  P (B)

OBSERVACIÓN: La definición axiomática la forman los tres primeros axiomas o propiedades. PORCENTAJES ( %)

Los tantos por ciento y la probabilidad son características matemáticas íntimamente relacionadas. Sea P (A) = p ; entonces p es el tanto por 1 del suceso A

Entonces p·100 será el tanto por 100 del suceso A

Es decir :

PROBABILIDAD CONDICIONADA.

P (A/B) = Probabilidad del suceso A condicionado por el suceso B.

Significa que queremos hallar la probabilidad de que se obtenga el suceso A, sabiendo que se ha obtenido el suceso B. Hay dos formas de calcularlo.

a) Con la Fórmula:

b) Aplicando directamente la regla de Laplace:

P ( suceso A )

Si el suceso A se obtiene un N % de veces

P (A)

P (A/B)

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EJEMPLOS: PROBABILIDAD SIMPLE

1. Tenemos una urna con 10 bolas: 2 azul oscuro, 4 azul claro, 1 verde oscuro y 3 verde claro. Calcular: a) P (sacar bola verde) P (sacar bola azul)

P (sacar bola oscura) P (sacar bola clara)

b) P (sacar bola verde y clara) P (sacar bola azul y oscura)

c) P (sacar bola verde o clara) P (sacar bola azul u oscura)

d) P (no sacar bola clara) P (no sacar bola verde)

e) P (sacar bola verde sabiendo que es clara) P (sacar bola azul sabiendo que es clara)

P (sacar bola oscura sabiendo que es verde) P (sacar bola clara sabiendo que es azul)

2. En una baraja española de 40 cartas, definimos los siguientes sucesos: A: sacar As; B: sacar Bastos; C: sacar Copas; F: sacar Figura y R: sacar Rey. Calcular las siguientes probabilidades:

a) P(A) P(B) P(C) P(F) P(R)

b) P( A ) P( B ) P( C ) P( F ) P( R )

c) P (AB) P (AC) P (BC) P (CF) P (FR)

d) P (AB) P (BC)

P (CF) P (FR)

e) P (A B ) P (C R )

P (C C ) P ( A  B )

P ( B  C )

f) P (A B ) P (B C )

P (C C ) P ( A  B )

P ( C  F )

g) P (A/B) P (B/A)

P (B/C) P (R/F)

P (F/R)

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3. PROBABILIDAD COMPUESTA.

Hablaremos de probabilidad COMPUESTA cuando tengamos que determinar la probabilidad de que se produzcan dos o más sucesos, los cuales o bien corresponden a diferentes experimentos o bien al mismo experimento, pero que se repite en varias ocasiones. Es decir, son sucesos que se suceden en el tiempo.

Ejemplos: a) Se lanza un dado y después se toma una carta de una baraja:

- Probabilidad de obtener un 1 y un as. - Probabilidad de obtener el mismo número. - Probabilidad de obtener un 5 y una espada, etc. …

b) Se lanzan una moneda tres veces.

- Probabilidad de obtener tres caras.

- Probabilidad de obtener más caras que cruces, etc. …

Observación: Los casos del apartado b (un mismo experimento varias veces repetido) se pueden intentar resolver por probabilidad simple si en lugar de considerar que el experimento se repite tres veces, consideramos que los tres lanzamientos de la moneda suponen una sola realización del experimento, es decir, como si lanzáramos las tres monedas a la vez. Entonces cambiará el espacio muestral.

- Por Probabilidad Compuesta son tres experimentos con E = { c, x } en cada uno.

- Por Probabilidad Simple es un solo experimento con E = { ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx } .

Se observa que independientemente de que pensemos que las monedas se lanzan a la vez o una detrás de otra, en el planteamiento del problema SIEMPRE se debe tener en cuenta el ORDEN de los resultados.

SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.

Sean dos sucesos A y B, diremos que son INDEPENDIENTES si la obtención o no de uno de ellos no afecta a la probabilidad de que se obtenga el otro. Por el contrario diremos que son DEPENDIENTES si el obtenerse uno de ellos hace variar la probabilidad de que se obtenga el otro. Por tanto:

Si P (A/B) = P (A) ó P (B/A) = P (B) entonces A y B son INDEPENDIENTES Si P (A/B)  P (A) ó P (B/A)  P (B) entonces A y B son DEPENDIENTES.

Ejemplos: a) Lanzar 2 monedas: Probabilidad de obtener 2 caras = P (1ª C y 2ª C) : Independientes b) Escoger 2 cartas: Probabilidad de obtener 2 reyes = P (1ª R y 2ª R)

- Si las cartas no se reemplazan : Dependientes.

- Si las cartas sí se reemplazan : Independientes.

OPERACIONES CON SUCESOS. ( PROBABILIDAD COMPUESTA)

1) P (obtener A ó B) = P (AB) =

2) P (obtener A y B) = P (AB) =

3) P (obtener A ó B ó C) = P (ABC) =

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DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Es una técnica para plantear un problema de probabilidad compuesta, de forma que el experimento se va "ramificando" a medida que se van sucediendo las pruebas (lanzamientos, extracciones, tiradas, ...). Sobre cada rama se va anotando la probabilidad de que esta se produzca. Finalmente la probabilidad de llegar a un determinado resultado es el PRODUCTO de todas las probabilidades de las ramas que llevan a ese resultado. Si varios de los resultados finales son satisfactorios, entonces sus probabilidades (la de los productos de sus ramas) se SUMAN para determinar la probabilidad definitiva del suceso pedido.

Ejemplo:

4. PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES.

Características: - Buscamos hallar la probabilidad del suceso A

- A es posterior a otros sucesos anteriores a él (llamados hipótesis o sucesos a priori). - P(A) varía según qué resultados se den en los sucesos anteriores a él.

Resumiendo: P(A) DEPENDE de la realización o no de otros sucesos anteriores a él. (Los sucesos anteriores H1, H2, ... Hn deben formar un sistema completo de sucesos)

¿ Cómo calcular P(A) ?

TEOREMA DE BAYES.

Características: - Se utiliza únicamente en probabilidad CONDICIONADA.

- Se conoce el resultado final, suceso "a posteriori", y se pregunta la probabilidad de un suceso anterior, suceso "a priori".

Resumiendo: Hallar P (suceso anterior, sabiendo el resultado posterior).

Fórmula: , donde Hi es anterior en el tiempo al suceso A.

Notas: 1) Para calcular P(A) es necesario aplicar la probabilidad Total.

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Referencias

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