Cap´ıtulo 5 EXTENSIONES Y RAICES DE POLINOMIOS

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EXTENSIONES Y RAICES DE

POLINOMIOS

En este cap´ıtulo enfrentaremos dos problemas: dado un elemento m de una extensi´on M de un campo K queremos dar el polinomio de menor grado sobre K[x] del cual m es una ra´ız. Por otro lado, dado un polinomio encontramos una extensi´on, del campo al cual pertenecen los coeficientes, en donde se encuentra una ra´ız.

Para lo primero, generalizando el caso de Q(√a) se pueden construir extensiones en donde existen ceros de un conjunto dado de polinomios. Iniciemos con alguna notaci´on.

5.1 Notaci´on.

i. Si K es un subcampo de L decimos que L es una extensi´on de K.

ii. Cuando hablemos de “la extensi´on (L, K)” querremos decir que K yL son campos yLes una extensi´on deK.

iii. Cuando se diga queK yLson campos con K ⊆Lse entender´a que (L, K) es una extensi´on.

iv. Si K y L son campos con K ⊆ L se denotará [L, K] a la di-mensión de Lsobre K lo cual tiene sentido puesto que si (L, K) es una extensión entonces, naturalmente,Les un espacio vecto-rial sobreK 2

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El hecho de que si (L, K) es una extensión entonces L es una K−álgebra, se usa con mucha ventaja por que al menos todo elemento de L tiene escritura única por medio de bases sobre K, que permiten manejar la suma y multiplicación por escalar de manera sencilla. Un poco mas dif´ıcil es encontrar bases que hagan igualmente fácil manejar el producto. Iniciamos con algo sobre bases.

Recuerde que si V es un espacio vectorial sobreK yS ⊆V, al menor espacio vectorial, subespacio de V, que contiene a S, se le llama el subespacio generado por S y se le denota < S >. Si S = φentonces < S >= 0 y si S 6= φ, entonces < S > es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S sobre K (o con coeficientes en K).

5.2 Proposici´on. SeanK, L, M campos con K ⊆L⊆M. Si S es una base deM sobre L yH es una base deL sobre K entonces SH es una base deM sobre K.

Demostraci´on: Recordemos que SH = {sh | s ∈ S, h ∈ H}. Sea X ∈M, entonces:

X =X

δ∈S0

Tδδ conTδ∈Ly S0⊆S,finito

PeroTδ∈Lluego

Tδ=

X

hδ∈B

khδhδ, dondeB(⊆H) es finito de modo que

X= X

δ∈S0 

 X

hδ∈B khδhδ



δ = X

δ∈S0 X

hδ∈B

khδ(hδδ) lo cual muestra que X es generado por SH.

De otra parte, si P

δ

P

hkh,δ(hδ) = 0 → Pδ(

P

hkh,δh)δ = 0 as´ı que

P

hhk,δh = 0 para cada δ. Se tiene entonces que hk,δ = 0 para todo

h. Es decir que hk,δ = 0 para todo k, δ. As´ı que HS es linealmente

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5.3 Corolario. SeanK, L, M campos con K⊆L⊆M. Entonces:

i. [M, K]<∞ ↔[M, L]<∞ y [L, K]<∞y

ii. Si [M, K]<∞, entonces [M, K] = [M, L].[L, K] 2

Elementos Algebr´aicos y Trascendentes

5.4 Definici´on. Sea M una extensi´on de K. Sea m ∈M. Se dice que m es algebraico sobre K si existef(x) 6= 0 enK[x] tal que f(m) = 0. Si m no es algebraico sobre K se dice trascendente sobre K 2

En lo que sigue trabajamos con una extensi´on M de K.

5.5 Ejemplo. ConsideremosRsobreQ. El n´umero irracional

√ 2 es algebraico sobre Qporque x2−2 ∈Q[x] y tiene a

√

2 como un cero. En efecto x2−2 es el polinomio m´onico de menor grado del cual √2 es ra´ız. Por otra parte si q ∈ _Q es claro que q es algebraico sobreQporquex−q∈Q[x]. En general todo elemento

deK es algebraico sobre cualquier extensi´on de K incluyendo a K mismo.

Note: Demostrar que un elemento es trascendente no es en general f´acil. Por ejemplo los n´umeros realeseyπ son trascendentes sobreQ

pero esto es dif´ıcil de demostrar. El sentido es que de ser, por ejemplo, algebraico se tendr´ıa un polinomio p(x) ∈ _Q[x] con p(π) = 0. El “despejar”πde una expresión polinómica enπ, como esta, es obtenerlo “por radicales” a partir de los coeficientes dep(x), que son racionales. Es decir que se podr´ıa obtenerlo a partir de números racionales por un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales de ellos. Esto es lo que se afirma que no es posible cuando se habla de ser trascendente (sobre Q). Si el lector desea avanzar ejemplos de

elmentos algebraicos lo remitimos al numeral 5.15.

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5.6 Proposici´on.

i. SeaKi∈I una familia de subcampos deL. Entonces

T

i∈I Ki es un subcampo de L.

ii. Dado un subconjunto A de L existe el m´ınimo subcampo de L

que contiene a A.

Demostraci´on:

i. Aqu´ı ya conocemos que la intersecci´on de subanillos es un sub-anillo. Por tanto la intersecci´on de subcampos es un subanillo, conmutativo puesto que esta propiedad es universal. Si a 6= 0, a ∈ ∩i∈IKi, entonces a−1 ∈ Ki para cada i y por tanto a−1 ∈

∩i∈IKi.

ii. Como siempre ∩{K |(L, K) extensi´on,A⊆K}es (seg´un i) un subcampo que contiene a A y es el menor que lo contiene 2

El m´ınimo subcampo de L que contiene a A, en 5.6 ii, se llama el subcampo de L generado por A. El subcampo deLgenerado porK∪A se llama la extensi´on de K(enL) generada por A.

La Extensi´on K(m)

5.7 Notación. Para un campo K ⊆ L y m ∈ L se denota K(m), o K(L, m) si se desea resaltar también a L, a la extensión de K generada por m en L. Mas generalmente, si A ⊆ L, se denota por K(A) a la extesión de K generada por A en L y si A = {m1, ..., mn} se denota K(m1, ..., mn). Note que

K(m1) ⊆ K(m1, m2) ⊆ . . . ⊆ K(m1, m2, . . . , mn). Por tanto

seg´un 5.2 existe una manera recurrente de construir una base de K(m1, . . . mn) sobre K si se sabe construir una de K(m) sobre

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5.8 Proposici´on. Sean L una extensi´on de K, m ∈ L algebraico sobre K. EntoncesP = {f(x)∈K[x]|f(m) = 0} es un ideal deK[x] 2

Por las propiedades mismas de K[x] el ideal P, tiene caracter´ısticas especiales. Un generador es especial. En efectoPes un ideal principal de K[x] por tanto si f(x) y g(x) generan (cada uno) a P sabemos quef(x)=a g(x). También sabemos que los generadores son de grado m´ınimo y uno sólo es mónico, digamosp(x). Pero además

5.9 Proposici´on. SeamyPcomo en 5.8. SiP=t(x)K[x] entonces t(x) es irreducible.

Demostraci´on: Sit(x) =g(x)h(x) en K[x], como 0 =t(m) entonces 0 = g(m)h(m) en K. Si g(m) = 0 entonces g(x) ∈ P y por tanto t(x)Dg(x). As´ı que g(x) =a t(x). De la misma manera si h(m) = 0 entoncesh(x)=a t(x). Por tantot(x) es irreducible 2

En suma se tiene que existe uno y s´olo un polinomio irreducible y m´onico en K[x] que tiene a m como un cero y que es precisamente el ´

unico mónico de grado m´ınimo que tiene a m como un cero y que es as´ı mismo el mónico que genera a P. Aqu´ı hay impl´ıcita una carac-terización de polinomios irreducibles: mónicos de grado m´ınimo para sus ceros,siempre que en efecto tengan ceros. En lo que sigue quedará impl´ıcito que este es, en efecto, el caso, en lo que corresponde a la respuesta al segundo problema propuesto al iniciar el cap´ıtulo.

El Polinomio Irreducible de m∈L

5.10 Definici´on. Seamalgebraico sobre K.

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ii. El grado de Ir(m, K) se denominará el grado de m en K y se denotaráGr(m, K) óGr(m) cuando no hay posibilidad de error 2

En cuanto a la dimensi´on de K(m) sobre K, hacemos notar que si denotamos por K[m] a {g(m) |g(x)∈K[x]} entonces:

5.11 Proposici´on.

i. K[m] es un subdominio (´algebra) de K(m)

ii. Sim es algebraico entonces

K[m] ={r(m)|r(x)∈K[x] yr(x) = 0 ´o Gr(r(x))< n}

en donden=Gr(m, K).

Demostraci´on: Demostramos ii. La parte i queda como ejercicio. Sea g(x) ∈K[x] con g(m) 6= 0. Existenp(x) y r(x) ∈K[x] tales que g(x) =p(x)Ir(m, x) +r(x) en donder(x) = 0 ´o Gr(r(x))< n. Como g(m)6= 0, entonces Gr(r(x))< n. Se tiene entonces queg(m) =r(m) 2

La estructura formada por los polinomios de K[x] con una ra´ız com´un es en realidad m´as rica que lo mencionado. En efecto, si t(x) ∈K(x) y Gr(t(x))< n entoncesIr(m, x) yt(x) son primos relativos, por ser Ir(x) irreducible en K[x]. Esto implica que

5.12 Proposici´on. Sim es algebraico sobre K entoncesK[m] es un campo.

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5.13 Corolario. Sim es algebraico sobreK, entonces:

K(m) =K[m] ={g(m)|g(x)∈K[x], Gr(g(x))< n}

en donden=Gr(m, K).

Demostraci´on: K[m] es un campo, adem´asm∈K[m] yK ⊆K[m]. As´ı que K(m) ⊆ K[m]. Pero K[m] ⊆ K(m). Luego K[m] = K(m) 2

Podemos ahora describir con toda precisi´on a K(m) internamente, cuandom es algebraico sobreK:

5.14 Proposici´on. Si m es algebraico sobre K, y n = Gr(m, K), entonces:

{1, m1_{, m}2_{, m}3_{, . . . , m}n−1_} _{es una base de}_{K(m) sobre}_K.

Demostraci´on: Que{1, m1_{, m}2_{, m}3_{, . . . , m}n−1_} _{genera a}_{K(m) sobre}

K es claro de 5.11 ii. Veamos que es linealmente independiente.

Siα0+α1m+· · ·+αn−1mn−1 = 0 conαi∈Kentoncesα0+α1x+· · ·+

αn−1xn−1 =p(x)∈ K[x] y p(m) = 0. Pero Ir(m, x) era el polinomio

de m´ınimo grado (y hemos supuesto gradon) que ten´ıam como ra´ız. Entoncesp(x) = 0 y por tanto α0, . . . , αn−1 = 0 2

Note que el producto enK(m), con restricción de grado, está descrito en la caracterización de K(m) as´ı: f(m)g(m) =r(m) en donde r(x) es el residuo de dividirf(x)g(x) porIr(m, x).

5.15 Ejemplos.

1. Considere√3∈_R. Decida si es algebraico sobreQ, y d´eIr(

√ 3, x) ∈Q[x] yQ(

√

3) seg´un la teor´ıa.

Soluci´on: Como √3(∈ _R) se obtiene a partir de (3 ∈ _Q) por radicales, entonces es algebraico sobre Q. Para hallar el

poli-nomio irreducible de√3 sobre Qsuele suponerse que

√

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ya despejada de un polinomio igualado a cero: x = √3. Para eliminar el radical elevamos al cuadrado x2 = 3↔ x2−3 = 0. El polinomio x2₋_{3 es m´}_{onico e irreducible sobre}

Q y tiene ra´ız

a √3. Se tiene pues que Ir(√3, x) = x2−3. Entonces {1,√3} es una base de Q(

√

3) sobre Qy por tanto:

Q(

√

3) ={a+b√3|a, b∈_Q}

2. Considere p√3 3 +√5 = m ∈ C. Decida si es algebraico sobre

Q. D´e Ir(m, x) y Q(m).

Soluci´on: Puesto que es obtenido por radicales a partir de{3,5} ⊆

Q,m es algebraico sobreQ.

M´as a´un six=q3

[√3 +√5] entonces

x3 = √3 +√5 ↔ x6 = 3 + 5 + 2√15 ↔ (x6 −8)2 = 60 ↔ (x6−8)2−60 = 0.

Conocemos pues, al menos, el polinomio p(x) =x12−16x6+ 4

que tiene a m= 3 q

[√3 +√5] como cero, es m´onico y pertenece a Q[x]. Para demostrar que p(x) es Ir(m, x) es suficiente

de-mostrar que 12 es el grado del polin´omio de grado m´ınimo que tiene a M por cero. Esto se logra por ejemplo demostrando que [Q(m),Q] = 12. Pero [Q(m),Q] = [Q(m),Q(

√

3+√5)]×[_Q(√3+ √

5),Q] = 3×4 = 12.

5.16 Problema.

1. Complete la construcci´on de Q(m) para m del ´ultimo ejemplo.

D´e expl´ıcitamente una base deQ(m) y escriba (

√

3+√5)+2(√3+ √

5)13 en términos de ella. Dé un elemento t´ıpico de Q(m). Dé

la suma y el producto de dos elementos t´ıpicos.

2. Si (L, K) es una extensi´on ym,r ∈L, demuestre que entonces < K∪ {m, r}>= (K(m))(r) = (K(r))(m).

3. Calcule una base de Q(

√

2,√3) sobre Q. D´e la forma de un

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elementos t´ıpicos (fórmulas). Dé una fórmula para “racionalizar”

un n´umero de la forma 1

a+b√2 +c√3 +d√6

Sim no es algebraico sobre K todav´ıa K(m) ⊆M (la extensión que fijamos en 5.4) pero no es una extensión finita de K (es decir la di-mensión de K(m) sobre K no es finita). M contiene evidentemente a K[m] el cual es una subálgebra dominio, cada uno de cuyos inver-sos está en M. Es evidente que K(m) es el cuerpo de cocientes o fracciones de L. Es decir K(m) = F(K[m])(F = fracciones). Ahora K[m]∼=K[x] luego K(m)∼=F(K[x]).

Campo de Rotura de un Polinomio

Pasamos ahora al segundo problema propuesto en la introducción del cap´ıtulo: dado un polinomio p(x) ∈ K[x], existe alguna extensión L deK y un elementoα∈L, tal quep(α) = 0?. Es decir todo polinomio tiene ceros en alguna extensión?

La respuesta es afirmativa. Iniciamos construyendo por paso al co-ciente una extensi´onL deK que tiene un cero pero que no necesaria-mente es un campo. En seguida damos condiciones de invertibilidad las cuales funcionan del mismo modo que el caso de los enteros y as´ı los presentamos. Seap(x)6= 0 en K[x].

5.17 Proposici´on. Sea L=K[x]/< p(x) > en donde < p(x) > de-nota el ideal generado porp(x) enK[x]. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes para un elemento [t(x)] deL:

i. [t(x)] es invertible.

ii. [t(x)] es cancelable para el producto deL.

iii. t(x) y p(x) son primos relativos enK[x].

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tanto [s(x)] = [t(x)]−1. As´ı pues resta por demostrar que (ii → iii). Supongamos que [t(x)] es cancelable en L y suponga que k(x)Dt(x) y k(x)Dp(x). Entonces existe u(x) ∈ K[x] tal que k(x).u(x) = t(x) y r(x) tal que r(x)k(x) = p(x). Multiplicando la segunda igualdad por [u(x)] se recibe que [r(x)][t(x)] = 0 y como [t(x)] es cancelable entonces [r(x)] = 0. Es decir quep(x)Dr(x), digamosr(x) =p(x)l(x). As´ı pues p(x)l(x)k(x) = p(x) de donde l(x)k(x) = 1 ya k(x) ∈ K. Y por tanto t(x) y p(x) son primos relativos 2

5.18 Proposici´on. ParaLyp(x) como en 5.17 las siguientes afirma-ciones son equivalentes:

i. L es un dominio.

ii. L es un campo.

iii. p(x) es irreducible.

Demostración: (i → ii) Suponga L dominio y sea [t(x)] 6= 0. En-tonces [t(x)] es cancelable y por tanto invertible según 5.17. Como además (ii→ i) entonces realmente sabemos que (i→ii). Veamos que (ii →iii). Suponga quek(x)Dp(x). Entonces [k(x)] = 0 y en este caso k(x)=a p(x) o bien [k(x)] es invertible entonces, como k(x) yp(x) son primos relativos (5.17), k(x)∈K. As´ı quep(x) es irreducible 2

Ahora bi´en de 1.18 - ii las tres afirmaciones de 5.18 son equivalentes a que< p(x)>es un ideal maximal deL. Pero los elementos deLtienen escritura t´ıpica, independientemente de que Lsea o no un campo:

5.19 Proposici´on. {1,[x], . . . ,[x]n−1} en donden=Gr(p(x)) forma una base deL (de 5.17) sobreK.

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En efecto, sea t(x) ∈ K[x], entonces existen q(x), r(x) ∈ K[x] tales quet(x) =q(x)p(x) +r(x) en donder(x) = 0 o su grado es menor que el dep(x). Se tiene que [t(x)] = [r(x)].

En cuanto a la independencia lineal, si

i=n−1

X

ki[x]i = 0 entonces

p(x)D(

i=n−1

X

kixi) y como el grado dep(x) es, por hip´otesis,n,entonces i=n−1

X

kixi= 0. As´ı que ki = 0 parai= 0,1,2, . . . , n−1 2

De acuerdo con lo precedenteK[x]/<p(x)> no necesariamente es un campo pero, como veremos, contiene a K como un subcampo y al menos a una ra´ız dep(x):

5.20 Proposición. La funciónf :K→L, k7→[k] es un isomorfismo de la K−álgebraK en la K−álgebra {[k]|k∈K} 2

Bajo la identificaci´on k = [k] se tiene que (L, K) es una extensi´on y por endeK[x]⊆L[x]. Ahora, sea α= [x].

5.21 Proposici´on. El elementoα de K[x]/<p(x)>es una ra´ız de p enL[x].

Demostraci´on: Supuesto quep(y) =a0+a1y+· · ·+anyn, entonces

p(α) =a0+a1α+· · ·+anαn

=a0+a1[x] +· · ·+an[x]n

= [a0+a1x+· · ·+anxn]

= [p(x)] = 0 2

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5.22 Corolario.

1. Para α = [x], K(α) = K[x]/< p(x)>= L si y s´olo si p(x) es irreducible en K[x].

2. p(y) = (y−α)p1(y) en L[y].

3. Existe un anillo modulativo y conmutativo M, extensi´on de K, en dondep se descompone en factores lineales.

4. Existe un campo L1 extensi´on de K, en dondep tiene al menos

una ra´ız.

Demostraci´on: Para 4, sip(x) es irreducible el campo esLde arriba. Si no lo es entonces sea p1(x) ∈ K[x] un factor irreducible de p(x) y

L un campo extensi´on de K en donde p1(x) tiene una ra´ız a. Ahora,

p(x) =q(x)p1(x) enK[x] y entonces enL1[x]. Comoaes ra´ız dep1(x)

en L1[x], tambi´en lo es dep(x) en L1[x] 2

Naturalmentea∈L1es algebraico sobreKyK[x]/Ir(a, K) es tambi´en

un campo y tiene a α= [x] como ra´ız de p(x). PeroIr(a, K) =p1(x)

por tanto L1 =K[x]/ < p1(x)>. El corolario precedente se extiende

en su ´ultima parte as´ı:

5.23 Proposici´on. Sea p(x)∈K[x]. Existe un campo K0, extensi´on de K tal que

i. p(x) se factoriza en polinomios lineales en K0[x]

ii. Si K00 es una extensi´on de K, contenida junto con K0 en una extensi´on M, en dondep(x) se descompone, entoncesK0 ⊆K00.

Demostraci´on:

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gradonsobre cualquier campo. Seap(x) un tal polinomio sobre un campoK. Seaq(x) uno de sus factores irreducibles. Entonces p(x) = q(x)r(x) donde q(x), r(x) tienen grados no cero. Como q(x) es irreducible existe α ra´ız de q(x) en L = K[x]/< p(x)> y se tiene quep(x) = (x−α)q1(x)r(x) enL[x]. Como el grado

de q1(x)r(x) esn−1 entonces existe una extensi´on K0 de L en

dondeq1(x)r(x) se descompone en factores lineales. As´ı, p(x) se

descompone en K0 en factores lineales.

ii. Si p(x) se descompone en n factores (x−α1), . . . ,(x−αn)

en-tonces α1, α2, . . . , αn son fijos, independientes de la extensi´on

L⊆M en donde se descompogap(x) yK0 =K(α1, . . . , αn) 2

5.24 Definici´on. Sea p(x) ∈ K[x]. Si p(x) = (x−α1)· · ·(x−αn)

en M[x], entoncesM se llama uncampo de rotura o de descom-posici´on de p(x) yK(α1, . . . , αn) se llama el campo de rotura de

p(x) ∈ K[x], extensión de K en M, el cual será denotado por CR(p, K, M) oCR(p) cuandoK yM están subentendidas y no hay posibilidad de error 2

Note que en un campo de rotura dep(x) este se factoriza can´onicamente en

p(x) = (x−α1)p1(x−α2)p2...(x−αt)pt

en donde losαi son todas las ra´ıces distintas de p(x).

5.25 Ejemplo. Seap(x) =x4+x−2∈_Z5[x]. D´e el campo de rotura de p(x).

Soluci´on: Consideremos primero los ceros que pueda haber en Z5.

Estos se buscan en la funci´on polinomial x4 +x−2 con dominio y rangoZ. Pero como funciones x4+x−2 = 1 +x−2 =x−1 seg´un

el teorema de Fermat. As´ı puesx= 1 es un cero dep(x) enZ5 y es el

´

unico. En cuanto ap(x) se recibe que

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Ahora bien puesto que un cero deq(x) =x3+x2+x+ 2 lo es también de p(x) y el único de este último es 1, sólo 1 puede ser cero de q(x). En efecto q(1) = 0 enZ5. De hecho

q(x) = (x−1)(x2+ 2x+ 3)

Finalmente si t(x) = x2_{+ 2x}_{+ 3} _→ _{t(1) = 1} _{6= 0 por tanto} _{t(x) es}

irreducible en Z5[x] y el campo rotura de p(x) es el mismo det(x).

Ahora, como t(x) es irreducible, si α es ra´ız de t(x), la cual existe, entoncesIr(α, x) =x2+ 2x+ 3 y Z5(α), que es el campo de rotura de

p(x), es de la forma que sigue:

Elementos de Z5(α) : a+bα, a, b∈Z5

Suma enZ5(α) : (a+bα) + (c+dα) = (a+c) + (b+d)α

Producto enZ5(α) : (a+bα)×(c+dα) =ac+ (bc+ad)α+bdα2

∗

= (ac+ 2bd) + (bc+ad+ 3bd)α

∗) Puesto queα2+ 2α+ 3 = 0→α2 = 2 + 3α

El c´alculo del inverso en este caso es m´as sencillo de manera directa. Naturalemte 1 = 1 + 0α. Ahora calculamos (a+bα)−1 :

(a+bα)(c+dα) = 1 ↔ (ac+ 2bd) + (bc+ad+ 3bd)α = 1. Luego ac+ 2bd= 1 y bc+ad+ 3bd= 0. Despejando enZ5 y reeemplazando

se obtiene:

1 a+bα =

a+ 3b a2_{+ 3ab}_{+ 3b}2 +

4b

a2_{+ 3ab}_{+ 3b}2α.

Recuerde que, en este caso, los coeficientes a, b en a+bα son tales que a4 ₌ _b4 _{= 1, hecho heredado de estar} _a _y _b _en

Z5. Cu´ıdese de

extenderlo a todo Z5(α). En particular no es cierto que α4 = 1. De

hechoα4 = 2 + 4α. Respecto de la pregunta de siα4= 1, recuerde que

Z5(α) tiene 25 elementos y por tanto su grupo multiplicativo tiene 24

elementos y entonces α24 = 1. Dos preguntas están en orden en este punto y que se dejan abiertos al interés del lector: cuál es el orden de α en ( Z5(α)−0,×) y cuál es su descomposición primaria?.

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t(x) =x2+ 2x+ 3 = (x2+ 2x+ 1) + 2 = (x+ 1)2+ 2

Ahora t(x) = 0 ↔ (x + 1)2 = 3. Requerimos pues solucionar y2 = 3. Pero 02 = 0,12 = 2,22 = 4,32 = 4,42 = 1 por tanto y2 = 3 no tiene soluci´on en Z5. Bien por lo hecho aqu´ı o por lo hecho en

“campos cuadr´aticos” de los cursos de “´algebra I”,Z5(

√

3)(=Z(α) en

la notación general) es la extensión donde está la solución de y2 = 3.

Z5(

√

3) tiene como estructura

Z5(

√

3) ={a+b√3|a, b∈_Z5}

(a+b√3) + (c+d√3) = (a+c) + (b+d)√3

(a+b√3)(c+d√3) = (ac+ 3bd) + (ad+bc)√3

1 a+b√3 =

a a2₋_3b2 +

−b a2₋_3b2

√ 3

Ahora bien el proceso de descomposici´on det(x) puede continuarse en

Z5(

√

3) as´ı: (x+ 1)2 = 3 ↔ (x+ 1) = √3 ó (x+ 1) = −√3 ↔ x = −1 +√3 óx=−1−√3↔x= 4 + 1√3 óx= 4 + 4√3.

Cl´aramentex2+ 2x+ 3 = (x−(4 + 1√3))(x−(4 + 4√3))∈Z5(

√ 3)[x].

Se tiene por tanto queα= 4 +√3 o bienα= 4 + 4√3. Supuesto que α= 4 + 4√3 entonces, despejando,√3 = 4 + 4α.

Esto verifica la afirmaci´on de que Z5(

√

3) = Z5(α), que es el campo

de rotura pedido 2

Recuerde quex2+ax+byx3+ax2+bx+cson irreducibles enK[x] si y s´olo si no tienen ceros enK. En particular si se dan ecuacionesx2 =k ´

o x3 = k, se tendrá que x2 −k y x3−k son irreducibles en K[x] si las ecuaciones no tienen solución en K. En tal caso se denota K(√k) al campo de rotura para la primera yK(√3k) la extensión minimal de K que tiene una solución de x3 ₌ _{k, la cual, por supuesto, se est´}_a

denotando entonces √3k . La descripci´on del primero ya fu´e hecha. ParaK(√3 k) tenemos

Conjunto: K(√3 k) ={a+b√3k+c(√3k)2|a, b, c∈K}

Suma: (a1+b1 3

√

k+c1(3

√

k)2_{) + (a}

2+b2 3

√

k+c2(3

(16)

= (a1+a2) + (b1+b2)3

√

k+ (c1+c2)(3

√ k)2

Producto:

(a1+b13

√

k+c1(3

√

k)2)(a2+b2 3

√

k+c2(3

√ k)2)

= (a1a2+kb1c2+kb2c1) + (b1a2+a1b2+kc1c2)

3

√

k+ (c1a2+c2a1+

b1b2)(3

√ k)2

Inverso multiplicativo:

1 a+b3√_k₊_c(√3

k)2 =

a2−kbc

t +

kc2−ab t

3

√ k+b

2₋_ac

t (

3

√ k)2

donde t=a3+kb3+k2c2−3kabc 2

Para adelantar sobre descomposici´on de polinomios en factores li-neales (con la notaci´on y resultados de 4.11 - 4.15), recuerde que si f :K→L es un morfismo de campos, entoncesF :K[x]→L[x] dada

por F(

n

X

i=0

aixi) = ( n

X

i=0

f(ai)x

i _{es un morfismo de dominios y que si} _f

es un isomorfismo, entonces p es irreducible si y s´olo si F(p) lo es.

Siα es un cero deq(x)∈K[x], la multiplicidad deα enq(x) es igual a la multiplicidad de f(α) enF(q(x)).

Note que como x es un elemento trascendente sobre K, entonces la proposición 4.12 puede ser interpretada como un teorema de extensión def a un morfismoF entre extensiones del dominio y el codominio por adjunción de elementos trascendentes. Pero el caso algebraico también se da:

5.26 Proposición. Si F : K → L es un isomorfismo y p(x) es un polinomio irreducible sobre K, α es una ra´ız de p en alguna extensión de K yβ lo es deF(p(x)) en alguna extensión deL, entoncesF se extiende a un isomorfismoF :K(α)→L(β).

(17)

extenderF :K →L se toma

F

n

X

i=0

kiαi

! =

n

X

i=0

kiβi

Es decir queF(r(α)) =F(r)(β) para cadar(x)∈K[x].Veamos queF es un isomorfismo de campos.

Iniciemos mostrando que F esta bien definida. Suponga que r(α) = s(α). Entonces (r−s)(α) = 0. As´ı, p(x) divide a r(x)−s(x). Es decir que r(x) −s(x) = p(x)t(x). Luego F(r −s) = F(p)F(t) → F(r)(β)−F(s)(β) =F(p)(β)F(t)(β) = 0. As´ı queF(r)(β) =F(s)(β). Es evidente queF es un homomorfismo de grupos abelianos y tambi´en que es sobreyectivo.

Adem´asF(r(α)) = 0↔F(r)(β) = 0. Si hemos supuesto quer es cero o, como es natural, que gr(r) < n, entonces, puesto que F(r(x)) = 0, g(F(r)) = g(r) y como Ir(β, L) = F(p(x)), entonces r(x) = 0. As´ı pues r(α) = 0. Se tiene entonces que F : K(α) → L(β) es un isomorfismo de grupos abelianos.

Ahora F(r(α)t(α)) = F(rt(α)) = F(rt)(β) = (F(r)F(t))(β) = F(r)(β)F(t)(β) =F(r(α))F(t(α)) y por tantoF es un homomorfismo de campos 2

5.27 Corolario. Si p(x) ∈K[x] es irreducible sobre K y α, β son ra´ıces de p(x) en extensiones cualesquiera, entonces K(α) ∼= K(β) 2

Otra versi´on importante de la demostraci´on de este teorema se encuen-tra en el problema suplementario 11 de este cap´ıtulo.

(18)

Unicidad de Campos de Rotura Minimales

Recordemos de 5.24 que si p(x) ∈K[x] y p(x) =k(x−α1)...(x−αn)

en L[x], en donde K ⊆ L, entonces denotaremos por CR(p, K, L) a K(α1, α2, ..., αn). 5.27 se complementa as´ı:

5.28 Teorema. Sea f : K1 → K2 es un isomorfismo y q(x) =

f(p(x)) = f(p)(x). Si CR(p, K1, L1) y CR(q, K2, L2) existen,

entonces son isomorfos por una extensi´on F de f. Si p(x) es irreducible y α es una de sus ra´ıces y β una de q(x) entoncesF puede ser elegido tal que F(α) =β.

Demostración: Usaremos inducción sobre n (el grado) en la afir-mación para cualquier polinomio p(x) ∈ K[x] de grado n sobre un campoK1 cualquiera, un isomorfismof :K1 →K2 cualquiera y

cam-posL1,L2 cualesquiera para los cualesCR(p, K1, L1) yCR(p, K2, L2)

existen.

Si el grado de p(x) es 1, entonces:

CR(p, K1, L1) =K1 y CR(p, K2, L2) =K2

y el isomorfismo es el mismof.

Supongamos que para datos cualesquiera as´ı: polinomio de grado menor que n, p(x),K1, K2,f :K1 → K2 isomorfismo, L1 y L2 como

arriba, se tiene que CR(p, K1, L1)∼=CR(q, K2, L2).

Sea ahora un polinomio p(x) ∈ K1[x], de grado n, f : K1 → K2 un

isomorfismo de campos F(p(x)) = q(x). Si α es una ra´ız de p(x) en L yβ lo es de f(Ir(α, K1)) entonces f se extiende a un isomorfismo

F :K1(α)→K2(β). Adem´as, claramente

p(x) = (x−α)p1(x)∈K1(α)[x] yq(x) = (x−β)q2(x)∈K2(β)[x]

Naturalmentef(p1(x)) =q2(x). Se tiene adem´as queCR(p, K1, L1) =

(19)

podemos sustituir en el c´alculo de isomorfismos, la parte izquierda por la parte derecha de las igualdades junto con el isomorfismo F.

Tenemos as´ı la siguiente data: un isomorfismo F : K1(α) → K2(β),

p1(x) ∈ K1(α)[x], F(p1(x)) = q2(x), K1(α) ⊆ L1, K2(β) ⊆ L2 y

g(p1(x))< n. Por tantoCR(p1(x), K1(α), L1)∼=CR(q2(x), K2(β), L2)

y entoncesCR(p, K1, L1)∼=CR(q, K2, L2) 2

Si p[x] = k(x −α1)(x−α2)(x −αn) en L[x], entonces se dice que

α1, . . . αn es un juego de ra´ıces de p(x) ∈ K[x]. Los juegos de ra´ıces

son muchos, pero en cualquier cadena de extensiones de K solo hay a lo mas uno o parte de uno. En el cap´ıtulo 9 se estudian mecanis-mos para construir juegos de ra´ıces de un polinómio prácticamente sin restricciones. Pero todos esos juegos desempeñan el mismo papel, al menos en el sentido que sigue:

5.29 Corolario.

i. Sea p(x) ∈ K[x]. Entonces dos campos de rotura minimales cualesquiera de p(x) son isomorfos.

ii. Sea p(x) un polinomio irreducible sobre K[x]. Sea M una ex-tensi´on deCR(p). Siα,β son ra´ıces dep(x), entonces existe un morfismo f :CR(p)→M conf|K = 1k tal quef(α) =β.

iii. Seanp(x) un polinomio deK[x],αyβ ra´ıces conjugadas dep(x) (es decir Ir(K, α) = Ir(K, β)) y M una extensi´on de K que contiene aCR(p). Entonces existe un morfismof :CR(p)→M tal quef |K= 1K yf(α) =β.

Demostraci´on: Sean L1 y L2 campos de rotura de p(x) ∈ K[x].

1K :K→Kse extiende a un isomorfismoCR(p, K, L1)∼=CR(p, K, L2)

seg´un el teorema 5.28 peroCR(p, K, Li) =Li y el resultado sigue 2

(20)

5.30 Proposición. Si p(x) es un polinomio mónico irreducible en K[x] entonces en el campo de rotura de p(x) todas las ra´ıces tienen la misma multiplicidad. Es decir que la factorización de p(x) es de la forma

p(x) = [(x−α1)(x−α2)· · ·(x−αi)]m

Demostración: Sea f : K → L un isomorfismo. Sea p(x) ∈ K[x] irreducible, α una ra´ız de p(x) y β una de F(p)(x). Entonces f se extiende a un isomorfismo F : CR(p) → CR(F(p)) tal que F(α) = β. As´ı pues si F : CR(p)[x] → CR(F(p))[x] denota el isomorfismo extensión deF, entonces según 4.17v la multiplicidad deα en p(x) es igual a la de β en F(p)[x], as´ı pues todas las ra´ıces α de p(x) tienen multiplicidad igual a la de β (fijo) 2

Indice y Multiplicidad de Polinomios Irreducibles

5.31 Definición. Seap(x) un polinomio irreducible en K[x]. En la escritura dep(x) de la proposición precedente (la descomposición dep(x) en factores irreducibles en un campo de rotura) al número de ra´ıces distintas (i) se le llama el ´ındice de p(x), denotado I(p) y a la multiplicidad común de sus ra´ıces (m), se la llamala multilicidad de p(x), denotado M(p) 2

Note que x3+ 3 no es irreducible en C[x], tampoco en R[x] pero s´ı

lo es en Q[x]. En general, supuesto que p(x) no sea irreducible en

L[x], se puede preguntar si lo es en K[x] con K ⊆ L. 5.30 implica que si en alg´un campo dos ra´ıces de un polinomio no tienen la misma multiplicidad entonces no hay campo alguno en donde el polinomio sea irreducible.

(21)

Problemas Suplementarios

1. Calcule el campo de rotura dep(x) =x3+bx2+cx+d∈K[x], conp(x) irreducible enK[x], por pasos a extensiones cuadr´aticas. Explicar.

2. Defina “´algebras” como parejas (A, K) en dondeAes una K−´ al-gebra sobre un campo K. Defina morfismo entre ´algebras f : (A, K) → (B, L) como una pareja f = (f1, f2) de dos

ho-momorfismos f1 : A → B, f2 : K → L tales que f1(ka+lc) =

f2(k)f1(a) +f2(l)f1(c).

i. Demuestre que 1(A,K)= (1A,1K) es un morfismo de ´algebras.

ii. Defina composición de morfismos de álgebras de modo que sea asociativa y que 1(A,K) actúe como identidad.

iii. Recuerde que un morfismo f se dice un isomorfismo si existe un morfismo g tal que g◦f = 1 y f ◦g = 1. Caracterice los isomorfismos de ´algebras.

3. Extienda el teorema de unicidad de campos de rotura de poli-nomios a “teorema de unicidad de ´algebras de rotura”

4. Un álgebra (A, K) se dice extenza siAes un campo. Los morfis-mos de álgebras extenzas deben respetar el módulo multiplica-tivo. Muestre que la “categor´ıa de las álgebras extenzas” es equivalente a la “categor´ıa de las extensiones de campos”.

5. Puede usar series formales de la forma

n

X

i=−n

aixipara hallarK(α)

cuando α es trascendente sobre K? (Ay´udense del problema suplementario Cap. 2, 8 para, en su respuesta, dar las operacio-nes de ese tipo de sumas y sus propiedades hasta dominio, de serlo. Despu´es afronte el problema de inverso multiplicativo).

6. ParaL=Q[x]/< x2−4> d´e:

(22)

ii. Un elemento t´ıpico.

iii. La f´ormula de la suma de dos elementos t´ıpicos.

iv. La f´ormula del producto de dos elementos t´ıpicos.

v. 4 ra´ıces dep(x) =x2₋_{4 en}_L.

vi. Divisores de cero en L, de existir.

vii. Una comparaci´on matem´atica deL conQ+Q

√

4. M´ınimo debe decidir si son o no isomorfos. Recuerde que un ele-mento t´ıpico deQ+Q

√

4 es un s´ımbolo de la formap+q√4 conp, q,∈_Q con operaciones

(p+q√4) + (r+s√4) = (p+r) + (q+s)√4 y (p+q√4)×(r+s√4) = (pr+ 4qs) + (ps+qr)√4.

viii. Una comparaci´on deLcon un campo de rotura dex2−4∈

Q[x].

7. Dé, si existe, un campo de rotura, extensión del anillo de los coeficientes de cada polinomio. (Debe proveer elemento t´ıpico, operaciones y descomposición en factores lineales). Si no existe dé la mejor estructura donde haya rotura.

i. x2+ 3∈_Z4[x]. (Note que Z4 no es campo).

ii. x2+ 3∈_Z5[x].

iii. x3+ 4∈_Z5[x].

iv. x3₋_x2₊_x₋₁_∈ Q[x].

v. x2+ 1∈R[x].

vi. x2+ 1∈_Q[x].

vii. x+ 1∈K[x].

viii. x3+x+ 1∈_Z2[x].

(23)

9. Use extensiones cuadr´aticas para dar un campo de rotura del polinomio, en cada caso

i. p(x) = (x2−4)(x2+ 4)(x2+ 2)∈_Q[x].

ii. p(x) = (x2+ 3)(x2+ 4)(x2+ 2)∈_Z5[x].

iii. p(x) = (x2+ 3)(x2+ 4)(x2+ 2)∈R[x].

10. Use el siguiente procedimiento para representar K(m)

i. Muestre que φ : K[x] → K[m] con p(x) → p(m) es un epimorfismo. Entoncesk[m]∼=K[x]/Kerϕ.

ii. Demuestre queϕes uno a uno si y s´olo simes trascendente. En tal casoK[m]∼=K[x] yK(m) es el campo de fracciones deK[m]. Descr´ıbalo expl´ıcitamente.

iii. Demuestre que ϕ no es uno a uno si y s´olo si m es alge-braico y que, en tal caso Kerϕ = p de la proposici´on 5.8. Entonces Kerϕ es un ideal maximal yK[m] es un campo, luego K(m)=K[m].

iv. Puesto que K(m) ∼= K[x]/Kerϕ describa K(m) usando 5.17 a 5.19. Debe dar escritura t´ıpica de elementos por medio de una base, suma, producto, producto por escalar e inverso multiplicativo para elementos en escritura t´ıpica con respuesta en la misma escritura.

11. Para otra versi´on de 5.26 suponga queA, B son anillos y que IA

e IB son ideales de A y B respectivamente. Sea f :A → B un

morfismo de anillos

i. Demuestre que f pasa al cocienteA/UA→ B/IB, es decir

quefe:A/I_A→ B/I_B confe([a]) = [f(a)] es en efecto una funci´on que respeta las operaciones, si y s´olo si f(IA) ⊆

IB↔IA⊆f−1(IB).

(24)