2
Geometría
Analítica
Emma Ayala Rodríguez
Antonio Caro Espino
Alma Rosa Hinojos Robles
Revisor técnico:
Edmar Jiménez Juárez
María Trinidad Salas Leyva
Denisse Samaniego Apodaca
Director Académico Jesús Ramón Salazar Trillas
Subdirectora Académica
Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez
Jefa del Departamento de Docencia y Coordinadora del Producción Editorial
3
Presentación 1
Competencias 2
Propósito formativo de Geometría Analítica 2
Estructura del curso 3
Unidad 1 Sistemas Coordenados 4
Localización de puntos en el plano 6
Distancia entre dos puntos 8
Distancia dirigida 8
Distancia entre dos puntos en un plano 9
División de un segmento 12
Punto medio 13
Área de un polígono 17
Área de un triángulo 17
Área de polígonos a partir de vértices 18
Coordenadas polares 12
Conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa 23
Unidad 2. Lugares geométricos. Línea recta. 27
Línea recta 28
Pendiente de inclinación de una recta 29
Valor del ángulo de inclinación 31
Formas de la ecuación de una recta 39
Análisis del comportamiento de dos rectas 45
Análisis del conocimiento de dos rectas 47
Distancia de un punto a una recta 50
Distancia entre rectas paralelas 52
Angulo entre dos rectas 54
Rectas notables del triangulo 56
Unidad 3. Lugares geométricos. Cónicas. 61
Antecedentes de las Cónicas 62
Circunferencia 64
Elementos característicos de la circunferencia 64 Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen 64 Ecuación cartesiana de una circunferencia de centro en uno de los ejes de coordenadas y radio
65
Ecuación cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano
66
Forma ordinaría de la ecuación de la circunferencia 67
Forma general de la circunferencia 67
Circunferencia determinada por tres condiciones 73
Parábola 85
Elementos característicos de una parábola 85
Parábola horizontal con vértice en el origen 87
Parábola vertical con vértice en el origen 88
Forma general de la ecuación de la parábola 96
Elipse 99
Elementos característicos de la elipse 99
Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes coordenados
114
Ecuación de la elipse fuera del origen 116
Ecuación general de la elipse 118
Hipérbola 124
Definición y elementos característicos 124
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen 126 Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes coordenados
135
Ecuación de la hipérbola fuera del origen 137
Ecuación general de la hipérbola 138
Bibliografía 147
1 El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es una Institución que asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes, creando espacios educativos para bríndales educación del nivel superior, con calidad y en condiciones apropiadas para su formación.
CECyTE BC, oferta a los estudiantes opciones educativas, en donde pueden encontrar el camino de la superación y el apoyo necesario que les permita, no solo incursionar en el mercado laboral como profesionales técnicos, sino también, la posibilidad de planear la continuidad de su formación académica en los espacios universitarios.
El documento que tienes en tus manos, es producto del esfuerzo realizado entre el personal docente de nuestro Colegio, para proporcionarte material de calidad para tu formación.
2
Competencias genéricas
CG 1.1. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
CG. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
CG 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Competencias disciplinares
CDM1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones.
CDM 4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
CDM 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
CDM 8. Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y texto con símbolos matemáticos y científicos.
Propósito formativo de la materia de matemática.
Que el estudiante aplique conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos (social, natural, científico y tecnológico, entre otros).
Propósito formativo de la asignatura de geometría analítica.
Que el estudiante interprete, argumente, comunique y resuelva diversas situaciones problemáticas de su contexto por medios gráficos y analíticos, que incluyan la representación de figuras en el plano cartesiano.
Competencias disciplinares básicas y ex-tendidas de este campo disciplinar:
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
3
Geometría analítica
Sistemas coordenados Lugares geométricos
Rectangulares Polares La recta Cónicas
Puntos en el plano
Distancia entre dos puntos
División de un segmento en una razón dada
Punto medio
Perímetros y áreas
Radio vector
Ángulo polar
Transformaciones del sistema coordenado polar al rectangular y viceversa
Pendiente y ángulo de inclinación
Formas de la ecuación de una recta y sus transformaciones
Intersección de rectas
Relación entre rectas
Rectas notables del triángulo
Circunferencia
Parábola
Elipse Hipérbola
Elementos
Ecuaciones
Condiciones
4
1. - Coordenadas Rectangulares 2. - Localización de los puntos en el plano
3. - Distancia entre dos puntos. 4. - Distancia dirigida
5. - Distancia entre dos puntos en un plano 6. - División de segmento en una razón dada. 7. - Punto medio. 8. - Área de un polígono
9. - Área de un triángulo
10. - Área de polígonos a partir de vértices 11. - Coordenadas polares
12. – Conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa
1
COMPETENCIAS GENÉRICAS
• CG1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
• CDM1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Reconoce, interpreta y soluciona problemas de trigonometría relacionados con triángulos rectángulos y oblicuángulos así como los problemas de aplicación.
CONOCIMIENTOS ACTITUDINALES
5
SISTEMA DE COORDENADAS
El sistema de coordenadas cartesianas divide un plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes según se muestra en la figura, con dos ejes graduados que se cortan perpendicularmente, el eje de las “𝑥” llamadas también abscisas y el eje
de las “𝑦” llamadas también ordenadas.
Las coordenadas de los puntos localizados en el primer cuadrante, son positivos, en el segundo cuadrante los puntos son, su abscisa negativa y su ordenada positiva, las dos coordenadas del tercer cuadrante son negativas, en el cuarto cuadrante los puntos son, su abscisa es positiva y su ordenada es, negativa.
La
geometría analítica
es la parte de
las matemáticas que establece una
conexión entre el álgebra y la
geometría euclidiana, y en la cual se
estudian figuras geométricas referidas
a un sistema de coordenadas.
6
A continuación, se muestra una tabla con los cuadrantes y el signo correspondiente a la abscisa y a la ordenada.
Localización de puntos en el plano
Cada punto que se localiza en un sistema de coordenadas cartesianas, tiene sus dos valores de referencia (𝑥, 𝑦) su abscisa y su ordenada, dependiendo de su signo se determina el cuadrante en el que será localizado como se muestra en la figura superior.
Es importante recordar que, el primer número en un par coordenado es el referente a la abscisa, es decir, es el valor correspondiente a ¨𝑥¨ en el plano; y el segundo número, es el correspondiente a la ordenada, es decir el valor de ¨𝑦¨.
¿Estamos listos para los ejemplos, para ubicar puntos en un plano cartesiano o plano de coordenadas?
CUADRANTE ABSCISA (X) ORDENADA (Y)
I ( + + )
II ( - + )
III ( - - )
IV ( + - )
Fig.2.-Plano cartesiano con sus cuatro cuadrantes.
7
Localizar el punto A (-3,1)
El primer número del par ordenado indica, el desplazamiento horizontal con respecto al cero (-3). Es decir, cuantos espacios se mueve en ¨𝑥¨ y en qué sentido (derecha o izquierda).
El segundo número del par ordenado indica, el desplazamiento vertical con respecto al cero (1). Cuantos espacios se mueve en el eje ¨𝑦¨ y en qué sentido (arriba o abajo).
Instrucciones: L o c a l i z a en un sistema de coordenadas siguientes puntos e indica en que cuadrante se encuentran.
Coordenadas
A (-2, 3)
B ( 2,-3)
C ( 2, 3) D (-2,-3) E ( 0, 5)
F ( 5, 0) G( 4, 4)
8
Distancia entre dos puntos.
Cada punto localizado en un sistema de coordenadas unido a otro punto, representa una ecuación con dos variables (𝑥, 𝑦), al despajar una de las dos variables, podemos representar una recta que satisface a dicha ecuación.
Distancia dirigida.
La distancia puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor absoluto la distancia es siempre positiva.
Dado los puntos P1 y P2 en la recta numérica
Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los puntos.
El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos.
|𝑷𝟏 𝑷𝟐| = |𝒙𝟐 𝒙𝟏| ó |𝑷𝟐 𝑷𝟏| = |𝒙𝟏 𝒙𝟐|
La distancia entre 𝑷𝟏𝑷𝟐 es 9: |𝑃1 𝑃2| = |9| = 9;|𝑃2 𝑃1| = |−9| = 9
9
Distancia entre dos puntos en un plano
Sean A (𝑥1, 𝑦1) y B (𝑥2, 𝑦2) dos puntos en el plano, así como también el segmento de recta 𝑃̅̅̅̅̅̅1𝑃2
Al trazar por el punto 𝑷𝟏una paralela al eje 𝒙 y por 𝑷𝟐 una paralela al eje 𝒚, éstas se interceptan en el punto R, determinando el triángulo rectángulo 𝑷𝟏R 𝑷𝟐 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
(𝑷̅̅̅̅̅̅̅)𝟏𝑷𝟐 𝟐 = (𝑷̅̅̅̅̅̅)𝟏𝑹 𝟐 + (𝑹𝑷̅̅̅̅̅̅)𝟐 𝟐
Pero (𝑷̅̅̅̅̅̅̅)𝟏𝑷𝟐 𝟐 = 𝑃̅̅̅̅̅̅1𝑃2 donde 𝑃̅̅̅̅̅1𝑅 = 𝒙𝟐−𝒙𝟏 y 𝑅𝑃̅̅̅̅̅2 = 𝒚𝟐- 𝒚𝟏
Sustituyendo los datos anteriores tenemos: Horizontal
Si los valores de “y” son iguales
Vertical Si los valores de “x”
son iguales
Inclinada
Cuando los valores de “x” y “y” son diferentes
d =|𝒙𝟐−𝒙𝟏| d=|𝒚𝟐−𝒚𝟏| d =(√𝒙𝟐+ 𝒙𝟏) + (𝒚𝟐 + 𝒚𝟏)
10
|𝑷𝟏𝑷𝟐|𝟐- (𝒙𝟐−𝒙𝟏)2+ (𝒚𝟐−𝒚𝟏)2
Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados
|𝑷𝟏𝑷𝟐|- √(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)2
Por lo tanto, la distancia entre los puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 está dada por:
d = |𝑷𝟏𝑷𝟐|-√(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚
𝟐−𝒚𝟏)2
Ejemplos:
1. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: 𝑃1 (-3,2) y 𝑃2 (5,2) Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por
lo tanto utilizamos la fórmula:
d = |𝒙𝟐−𝒙𝟏|
d= |𝟓 − (−𝟑)|
d = |𝟓 + 𝟑|
d = |𝟖| = 8u
2. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (0,5) y P2(0,-3) Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la fórmula:
d = |𝒚𝟐−𝒚𝟏|
d= |𝟑 − 𝟓)|
d = |−𝟖|
11
3. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4) Observamos que las “𝑥” y “𝑦” son diferentes, por lo tanto,
utilizamos la fórmula:
d = |𝑷𝟏𝑷𝟐|-√(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)2
d = √(𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚
𝟐−𝒚𝟏)2
d = √(𝟐 − (−𝟑))𝟐 + (𝟒 − (−𝟐))2
d = √(𝟐 + 𝟑)𝟐 + (𝟒 + 𝟐))2
d = √(𝟓))𝟐 + (𝟔)2 = √𝟐𝟓 + 36 = √𝟔𝟏
d= 7.81 u
Ejercicios:
Instrucciones. Encuentra la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas se indican.
1) (7,3) y (12,5) 2) (-7,4) y (1,-11)
12
División de un segmento
.
Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada.
Para determinar las coordenadas (𝑥, 𝑦) de un punto P que divide a un segmento
cuyos extremos sean los puntos A (𝑥1, 𝑦1) y B (𝒙𝟐−𝒙𝟏) en la razón r
=
𝐴𝑃𝑃𝐵 se aplican las siguientes fórmulas:
Coordenadas
Abscisa Ordenada
x = 𝑥1+𝑟 𝑦𝑥1
1+𝑟
y =
𝑦1+𝑟 𝑦2
1+𝑟
Ejemplos:
1. Hallar las coordenadas del punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B (11,6) en una razón de r = 2
3
.
Aplicación de fórmulas:
x = 𝒙𝟏+𝒓 𝒚𝒙𝟏
𝟏+𝒓
y =
𝒚𝟏+𝒓 𝒚𝟐 𝟏+𝒓
13
𝑃1= (𝑥1,𝑦1,)
Sustituyendo los datos:
x1 = 1 y1 = 1
x =
(𝟏)+𝟐 𝟑 (𝟏𝟏)
(𝟏)+ 𝟐
𝟑
y = (𝟏)+ 𝟐 𝟑 (𝟔)
(𝟏)+ 𝟐
𝟑 x2 = 11 y2= 6
x = (𝟏)+
𝟐𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 = 𝟐𝟓 𝟑 𝟓 𝟑
y= (𝟏)+
𝟏𝟐 𝟑 𝟓 𝟑
=
𝟏𝟓 𝟑 𝟓 𝟑x = 25(3)
(3)(5)=5 y=
15(3) (3)(5)=3
Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto P son: P (5, 3)
Punto medio
El punto medio (Pm) es un caso particular de la división de un segmento en una
razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las fórmulas para calcular el punto medio
𝑥
𝑚=
𝑥1+ 𝑥22
𝑦
𝑚=
𝑦1+ 𝑦2 2
Por lo tanto, las coordenadas del punto medio son: 𝑥𝑚
= (𝑥
𝑚,𝑦
𝑚,)
𝑃2= (𝑥2, 𝑦2,)
14
Ejemplo:
1.- Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo cuyos extremos son: 𝑃1 (4, –2) P2 (3, 4)
Aplicación de fórmulas: 𝑥𝑚
=
𝑥1+ 𝑥22
𝑦
𝑚=
𝑦1+ 𝑦2 2
Sustituyendo los datos: 𝑥𝑚
=
4+ 32
𝑦
𝑚=
−2+ 4 2
𝑥
𝑚=
72
𝑦
𝑚=
−2+ 4 2
𝑥
𝑚= 3.5
𝑦
𝑚=
22
𝑦
𝑚= 1
15
Ejercicios:
Instrucciones: Encuentra las coordenadas de 𝑷(𝒙, 𝒚) que divida al segmento cuyos extremos son los puntos A y B y se encuentra a una razón 𝒓 que se indica en cada caso.
1. 𝑨(𝟒, −𝟑) y 𝑩 (𝟏, 𝟒)𝒓 = 𝟐
2. 𝑨(𝟐, −𝟓) y 𝑩 (𝟔, 𝟑)𝒓 = 𝟏 𝟐
16
Instrucciones: Dados los siguientes pares de puntos, encuentra las coordenadas del punto medio.
1. (𝟖, −𝟓), (−𝟐, 𝟗) 2. (𝟑, 𝟐), (𝟕, 𝟔)
3. (−𝟐, 𝟑), (−𝟗, −𝟔 4. (𝟓, 𝟏𝟓), (−𝟕, −𝟏𝟏)
5. (−𝟑, 𝟑), (𝟓, 𝟕) 6. (𝟏
𝟐− 𝟏 𝟐) , (
𝟑 𝟒,
17
Donde 𝐴 =1 2|
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
|
Área de un polígono
Áreas de polígonos a partir de vértices
Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano cartesiano aplicado un proceso sencillo. Este se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo:
𝐴 =𝑏∙ℎ
2 donde 𝑏 es la base y ℎ es la
altura del triángulo.
El área de un polígono es igual a la suma de las áreas de los triángulos en que se descompone, sin traslapes.
Área de un triángulo
Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2), 𝑃3(𝑥3, 𝑦3), los vertices de un triángulo cualquiera, entonces su área se determina mediante la siguiente formula:
18
Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2), 𝑃3(𝑥3, 𝑦3), … 𝑃𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) los vertices de un polígono
cualquiera, entonces su área se determina mediante la siguiente fórmula la cual consiste en construir un arreglo vertical que contiene las coordenadas de los vértices del polígono en el siguiente orden:
𝐴 =
1
2
|
|
|
𝑥
1𝑦
1𝑥
2𝑦
2𝑥
3𝑦
3.
.
.
.
.
.
𝑥
𝑚𝑦
𝑚𝑥
𝑙𝑦
𝑙|
|
|
Áreas de polígonos a partir de vértices
Ejemplo:
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son 𝐴 (0, 0), 𝐵 (5, 6), 𝐶 (7, 2)
Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la tercera hilera colocamos nuevamente el primer renglón:
𝐴 =1
19
= (0)(6) + (5)(2) + (7)(0) = 0 + 10 + 0
= 10
= (5)(0) + (7)(6) + (0)(2) = 0 + 42 + 0
= 42
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:
El valor del determinante es la resta de: 10 − 42 = −32
Por lo tanto, el área del triángulo es: 𝐴 = 1 2
−
32 2
=
1
2
(32) =
322
𝐴 =
𝟏𝟔𝒖𝟐
Ejemplo:
Calculo del área de una región de coordenadas
20
= (12)(6) + (−6)(12) + (−10)(16) + (20)(−4) + (16)(−8) = 72 − 72 − 160 − 80 − 128
= −𝟑𝟔𝟖
= (16)(12) + (12)(16) + (−6)(−4) + (−10)(−8) + (20)(6) = 192 + 192 + 24 + 80 + 120)
= 𝟔𝟎𝟖
Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el primer renglón
𝐴 =1
2 | | 16 6 12 12 −6 16 −10 −4 20 −8 16 6 | |
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:
𝐴 =1
2| | 16 6 12 12 −6 16 −10 −4 20 −8 16 6 | |
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:
𝐴 =1
2| | 16 6 12 12 −6 16 −10 −4 20 −8 16 6 | |
El valor del determinante es la resta de:
908 − (−368) = 976
Por lo tanto, el área del triángulo es:
21
Ejercicios:
Instrucciones: Calcula las siguientes áreas en una región de coordenadas.
1. A(-1,1), B(3,4), C(5,-1)
2. A(0,4), B(8,0), C(-1,-4)
3. A(1,-6), B(6,1), C(-2,5)
22
COORDENADAS POLARES
En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (𝑥, 𝑦).
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistema se necesitan: un ángulo (𝜃) y una distancia (𝑟). Para medir (𝜃), en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir 𝑟, un punto fijo llamado polo.
Si queremos localizar un punto (𝑟, 𝜃) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio 𝑟, después trazar una línea con un ángulo de inclinación 𝜃 y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.
Conversión de Coordenadas Polares a rectangulares y viceversa:
En el plano de ejes 𝑥, 𝑦 con centro de coordenadas en el punto 𝑂 se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje 𝑥.
Fig.4.- Ejemplo de una semirrecta dirigida de un punto fijo llamado polo.
23
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo 𝜃 sobre el eje 𝑥, y su distanciar al centro de coordenadas, se tiene:
𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
Conversión de coordenadas rectangulares a polares.
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (𝑥, 𝑦), se tiene que la coordenada polar r es:
𝒓 = √𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 (Aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular 𝜃, se deben distinguir dos casos:
Para 𝒓 = 𝟎, el ángulo 𝜃 puede tomar cualquier valor real.
Para 𝒓 ≠ 𝟎, para obtener un único valor de 𝜃, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2𝜋.
Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2𝜋] y [−𝜋, 𝜋]
24
Ejemplo:
A continuación, localizaremos varios puntos en el plano polar.
Puntos:
1. (𝟏, 𝝅)
2. (𝟐, 𝝅/𝟒)
3. (𝟑, 𝝅/𝟔)
Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación.
Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.
Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar.
25
Ejercicios:
A continuación, localiza los siguientes puntos en el plano polar.
Puntos:
26
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
RUBRICA PARA EVALUAR EL PROBLEMARIO
Nombre de los evaluados:
Semestre:
Grupo:
Fecha de entrega:
Nombre del evaluador:
Título de la tarea:
Nota: ______________________________________________________
PRODUCTO 3 2 1 TOTAL
Cantidad de problemas resueltos
Explicación clara de las soluciones, seleccionados aleatoriamente. Cumplimiento en tiempo y forma de la entrega.
Limpieza y orden
27
1.- La línea recta 2.- Pendiente de inclinación de una recta 3.- Valor del ángulo de inclinación
4.- Formas de la ecuación de una recta
5.- Análisis del comportamiento de dos rectas 6.- Análisis del conocimiento de dos rectas 7.- Distancia de un punto una recta 8.- Distancia entre rectas paralelas
9.- Ángulo entre dos rectas 10.-Rectas notables del triángulo
2
COMPETENCIAS GENÉRICAS
•CG. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
•CDM 4 Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
•CDM 5 Analiza las relaciones entre dos o mas variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
CONOCIMIENTOS ACTITUDINALES
•Analiza, comprende y expresa graficamente problemas referentes a sistemas de coordenadas
rectangulares asi como distancia entre dos puntos, división de un segmento en una razón dada, punto medio, asi como de la linea recta, elaborando estrategias de solución en problemas teóricos asi como aplicados a situaciones de la vida diaria.
APRENDIZAJES ESPERADOS.
28
LUGARES GEOMÉTRICOS
LÍNEA RECTA
Antes de iniciar con el tema, debemos recordar:
¿Qué es pendiente?
¿Qué son las funciones trigonométricas?
¿Cuáles son las identidades trigonométricas?
Desde el punto de vista analítico, la ecuación de una recta y su gráfica sirven para modelar situaciones de variada naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es constante como: pagos de impuestos, alargamiento de materiales, costos de productos, interés simple de un capital, ingresos económicos, conversión de escalas de temperatura, etc.
El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es importante por esta razón, conocer las diversas definiciones de la línea recta, entre ellas se encuentran:
Geométricamente Es una ecuación de primer grado con dos variables.
Analíticamente Se define como la distancia más corta entre dos puntos.
Gráficamente
Es el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera P_1 (x_1,y_1) y P_2 (x_2,y_2) del lugar geométrico, el valor de lapendiente m es siempre constante.
Características de la recta
La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
29
Pendiente e inclinación de una recta
La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación lineal 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒, en ella se puede observar que el valor de 𝒚 aumenta en 2 unidades cada vez que el valor de 𝒙 aumenta una unidad, La razón de cambio de y entre el cambio correspondiente de 𝑥es 2
1= 2
A esta razón se le llama pendiente de la recta y se define como sigue:
También se denomina pendiente de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación.
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏𝜽
La pendiente de una recta no vertical es un número que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde esta inclinada. La recta de la figura por cada 3 unidades que avanza hacia la derecha, sube 4 unidades, decimos que la pendiente de la recta es 4
3
La pendiente (m) de una recta “L” se define como la razón que existe en la variación de ordenadas (eje y) entre la variación de abscisas (eje x).
30 Si la pendiente de la recta es:
Positiva; la recta se eleva de izquierda a derecha
𝑚 > 0
0° < 𝜃 < 90°
Negativa; la recta baja de izquierda a derecha
𝑚 < 0 90° < 𝜃 < 180°
Cero; la recta es horizontal
31
Indefinida; la recta es vertical
𝑚 = ∞ 𝜃 = 90°
Recuerda:
La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha.
La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.
La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda.
Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta está más inclinada.
Una recta vertical no tiene pendiente.
Valor del ángulo de inclinación
32
Como obtener la pendiente de una recta
Ejemplos:
Encuentra y gráfica la pendiente de la recta determinada por los siguientes pares de puntos:
a) A (-4,-1) y B (5,2)
Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) = (−4, −1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) = (5,2)
Entonces tenemos:
𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥2− 𝑥1 =
2 − (−1)
5 − (−4)=
2 + 1
5 + 4=
3
9= 0.3333
b) A(3,-6) y B (-2,5)
𝑃1(𝑥1, 𝑦1) =
Si
33 Entonces tenemos:
𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥2− 𝑥1
=5 − (−6)
−2 − 3 =
5 + 6
−5 =
11
−5 = −2.2
c) A(3,-1) y B (-2,-1)
Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) = (3, −1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) = (−2, −1)
Entonces tenemos:
𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥2− 𝑥1 =
−1 − (−1)
−2 − 3 =
−1 + 1
−5 =
0
−5 = 0
d) A(4,-4) y B (4,5)
34 Entonces tenemos:
𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥2− 𝑥1 =
5 − (−4)
4 − 4 =
5 + 4
0 =
9
0= ∞
Ejemplo 2 Calcula la pendiente, dado el ángulo de inclinación
a) 𝜃 = 125°
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 = tan(125°) = −142
b) 𝜃 = 67.83°
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 = tan(67.83°) = 2.45
Ejemplo 3 Calcula la pendiente, encuentre el ángulo de inclinación
𝒎 = −𝟐
𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝒎) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏(−𝟐)
= −𝟔𝟑. 𝟒𝟑°
Como la pendiente es negativa, entonces el ángulo de inclinación es:
𝟏𝟖𝟎° − 𝟔𝟑. 𝟒𝟑° = 𝟏𝟏𝟔. 𝟓𝟕°
𝒎 = 𝟐
𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝒎) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝟐) = 𝟔𝟑. 𝟒𝟑°
Como la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación es:
35
𝒎 = 𝟎
𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝒎) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝟎) = 𝟎°
Como la pendiente es cero,
entonces el ángulo de inclinación es: 𝟎°
𝑚 = −5
3
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑚) = 𝑡𝑎𝑛−1(−5 3) = −59.03°
Como la pendiente es negativa, entonces el ángulo de inclinación es:
180° − 59.03° = 120.97°
Ejercicios:
Obteniendo la pendiente de la recta:
INSTRUCCIONES.- Encuentra y gráfica la pendiente de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos:
36
3) 𝐴(−3,3), 𝐵(3, −4) 4) 𝐴(−3,2), 𝐵 (2,1)
INSTRUCCIONES.- Dado el ángulo de inclinación de una recta encuentra su pendiente.
1) 𝜃 = 186.68° 2) 𝜃 = 96.35° 3) 𝜃 = 135.07°)
37
INSTRUCCIONES.- Dada la pendiente de una recta encuentra su ángulo de inclinación.
1) 𝑚 = 3 2) 𝑚 = 1 3) 𝑚 = 0
4) 𝑚 = −5
4 5) 𝑚 = −
7
3 6) 𝑚 =
1 2
INSTRUCCIONES.- Encuentra la pendiente (𝑚) y su ángulo de inclinación (𝜃) de las rectas que pasan por los siguientes puntos:
1) 𝐴(−2, −6), 𝐵(−6, −2)
38
3) 𝐴(−6, −3), 𝐵(4,5)
4) 𝐴(−2,4), 𝐵(6,4)
39
Formas de la ecuación de una recta
La ecuación de la línea recta se puede presentar de distintas maneras, destacando en cada caso alguna característica del lugar geométrico.
Pendiente-ordenada Punto-pendiente General Simétrica
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
𝒎es la pendiente y 𝒃 es la
ordenada
(𝑥1, 𝑦1) son las coordenadas de cualquier punto de la recta dada y
𝑚 es la pendiente
Los coeficientes
𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales cualesquiera, con la condición de que 𝐴 ó 𝐵 debe ser diferente de cero y 𝐶 puede o no puede ser igual o no puede ser igual a cero
𝑎 = abscisa al origen 𝑏 = ordenada al origen
Formas de la ecuación de la recta
Ejemplos:
1) Encuentra la ecuación de la recta en las formas:
Punto-pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Pendiente-ordenada 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
General𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 que pasa por los puntos 𝐴(−2,3) y 𝐵 (5, −2)
Solución:
Primero hay que encontrar la pendiente 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 =
−2−3 5−(−2)= −
5 7
Para la forma punto-pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Se necesita conocer la pendiente y un punto por donde pasa.
Si tenemos que 𝑚 = −5
7 y tomamos en punto 𝑎( −2,3
40
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 = −5
7(𝑥 − (−2))
𝑦 − 3 = −5
7(𝑥 + 2)
Por lo tanto la ecuación de la recta de la forma punto-pendiente es 𝑦 − 3 = −5
7(𝑥 + 2)
Para la forma pendiente-ordenada𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Tenemos que encontrar el valor de 𝑏, para ellos sustituimos el valor de 𝑚 y uno de los puntos A (-2, 3) o B (5, -2) en la ecuación de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de la ecuación.
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, si despejamos 𝑏, tenemos 𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
Sustituimos (5, -2)
𝑏 = −2 − (−5
7(5)) , 𝑏 = −2 − (−
25 7) , 𝑏 =
−14 + 25
7 , 𝑏 =
11 7
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente-ordenada es 𝑦 = −5
7𝑥 + 11
7
Para la forma general𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
De la forma pendiente-ordenada despejando la ecuación a la izquierda e igualamos a cero.
𝑦 = −5
7𝑥 +
11 7
5
7𝑥 + 𝑦 −
11
7 = 0
Multiplicamos todo por el mínimo común denominados (mcd) 7, tenemos que:
(7)5
7𝑥 + (7)𝑦 − (7)
11
7 = (7)0
5𝑥 + 7𝑦 − 11 = 0
41
2) Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente,
pendiente- ordenada, y general, que pasa por los puntos 𝐴(4,3)𝑦 𝐵(−2,6)
Solución:
Primero hay que encontrar la pendiente 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 =
6−3 −2−4= −
3 6 = −
1 2
Para la forma punto-pendiente𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Se necesita conocer la pendiente y un punto por donde pasa
Si tenemos que 𝑚 = −1
2 y tomamos en punto 𝐴 = ( 4,3
𝑥1𝑦1), sustituimos en la ecuación:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 3 = −1
2(𝑥 − 4)
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma punto-pendiente
𝑦 − 3 = −1
2(𝑥 − 4)
Para la forma pendiente- ordenada 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno
de los puntos 𝐴 (4, 3) o 𝐵 (-2 , 6) en la ecuación de la forma pendiente
ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de
la ecuación.
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, si despejamos b, tenemos 𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
Sustituyendo (−2,6)
𝑏 = 6 − (−1
2(−2)) 𝑏 = 6 − 2
2 𝑏 = 6 − 1 𝑏 = 5
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente-ordenada
𝑦 = −1
2𝑥 + 5
Para la forma general 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuación a la izquierda e igualamos a cero
𝑦 = −1
42
1
2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
Multiplicamos todo lo el mínimo común denominador (mcd) 2, tenemos que:
(2)1
2𝑥 + (2)𝑦 − (2)5 = (2)0
𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma general
𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0
Ejercicios
:
Obteniendo la pendiente de la recta.
INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1), pendiente-ordenada𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, y general
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 que pasa por los pares de puntos dados. (Gráfica)
1) 𝐴(−2, −5), 𝐵(4,1)
43 3) 𝐴(1,1), 𝐵(4,6)
4) 𝐴(−10, −7), 𝐵(−6, −2)
INSTRUCCIONES.- Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada dada por la pendiente (𝑚) y con intersección en “𝑦” (𝑏)
1) 𝑚 = 3, 𝑏 = −4 2) 𝑚 = 7, 𝑏 = 0
44
INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y general que pasa por el punto 𝐴 y que tiene pendiente 𝑚.
1) 𝐴(2,3), 𝑚 = 5 2) 𝐴(−5,1), 𝑚 = 7
3) 𝐴(4, −3), 𝑚 = −2 4) 𝐴(−6, −3), 𝑚 =3
2
INSTRUCCIONES.- Encuentra la pendiente (m) y la ordenada (b) de las siguientes rectas.
1) 𝑦 = 5𝑥 + 6 2) 𝑦 = −2𝑥 + 5
3) 𝐴𝑦 = 𝑥 + 7
4)
𝑣 =
345
Análisis del comportamiento de dos rectas
Sean las rectas:
𝐿1 de ecuación 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1
𝐿2 de ecuación 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2
Entonces las posiciones relativas que se pueden dar entre ambas rectas son las siguientes:
Paralelismo:
Dos rectas son paralelas sí, y sólo sí sus pendientes son iguales.
𝐿1││𝐿2 ↔ 𝑚1 = 𝑚2 𝑦 𝑏1 ≠ 𝑏2
Perpendicularidad:
Dos rectas son perpendiculares entre sí, y sólo sí sus pendientes son inversas y de signos contrarios.
𝐿1⏊𝐿2 ↔ 𝑚1 = 1
46
Coincidencia:
Dos rectas coinciden entre sí y sólo sí sus pendientes son iguales.
𝐿1 = 𝐿2 ↔ 𝑚1 = 𝑚2 𝑦 𝑏1 = 𝑏2
Intersección:
Dos rectas se pueden cortar en uno y solamente un punto si, y sólo sí, no son paralelas entre sí.
47
Análisis del conocimiento de dos rectas
La ecuación de una recta es 5𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0
Encuentra la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto (2, 3)
Recta 𝐿1
5𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0 5𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0 −4𝑦 = −5𝑥 − 20
Despejamos la recta para encontrar su pendiente:
𝑦 =−5𝑥
−4 −
20 −4
𝑦 =5
4𝑥 + 5
Por lo tanto su pendiente es 𝑚1 = 5 4
Por la condición de paralelismo:
𝑚1 = 𝑚2 5
4= 𝑚2
Se sustituyen los datos en la ecuación
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 =5
4(𝑥 − 2) 4(𝑦 − 3) = 5(𝑥 − 2)
4𝑦 − 12 = 5𝑥 − 10
−5𝑥 + 4𝑦 − 12 + 10 = 0 −5 + 4𝑦 − 2 = 0
Multiplicamos todo por -1
48
Por lo tanto, la recta que pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta 5𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0 es: 5𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) y es perpendicular
a 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0
Recta 𝐿1 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0
Despejamos la recta para encontrar su pendiente:
3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0
𝑦 =−3𝑥
2 +
12 2
𝑦 =3
2𝑥 + 6
Por lo tanto, su pendiente es 𝑚1 = −2 3
Por la condición de perpendicularidad:
𝑚1 = −
1 𝑚2
−2
3= −
1 𝑚2
Despejamos 𝑚2 = 3 2
Se sustituyen los datos en la ecuación:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 =3
2(𝑥 − 0) 2(𝑦 − 3) = 3(𝑥 − 0)
49 Multiplicamos todo el resultado por -1
−1(−3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0(−1)) 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0
Por lo tanto, la recta que pasa por el punto (0, 3) 𝑦es paralela a la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0
Es 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0
Ejercicios:
Encontrando a ecuación de la recta
INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por un punto (𝑥, 𝑦) y considera su paralelismo o perpendicularidad según señale.
1) Punto (4, 7) 𝑦 es paralela a la recta 𝑦 = 4𝑥 − 5
2) Punto (−4, 5) 𝑦 es paralela a la recta 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0
50
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) desde la recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 se determina al sustituir las coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma general, por lo que su valor se obtiene por la ecuación:
𝑑 =│𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶│
√𝐴2+ 𝐵2
Dónde:
A, B y C son coeficientes de la ecuación de la recta
(𝑥1, 𝑦1) son las coordenadas del punto
Ejemplo:
Encontrar la distancia de un punto a una recta
Ejemplo 1
Para el punto 𝑃 (1, 2) y la recta
3𝑥 + 4𝑦 − 21 = 0 determina la distancia:
3𝑥 + 4𝑦 − 21 = 0
Sustituimos los valores:
𝑥1 = 1 , 𝑦1 = 2, 𝐴 = 3, 𝐵 = 4 y 𝐶 = −21
𝑑 = │3(1) + (4)(2) + (−21)│
√(3)2+ (4)2
Se realizan las operaciones correspondientes
𝑑 =│3 + 8 − 21│
√9 + 16 =
│ − 10│
√25 =
10 5
51
Ejercicios:
Encontrando la distancia de un punto a una recta.
INSTRUCCIONES.- Encuentra la distancia de la recta al punto indicado (Gráfica).
1) 3𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 al punto (6, −2)
2) 12𝑥 + 5𝑦 − 6 = 0 al punto (4, −6)
52
Distancia entre rectas paralelas
La distancia entre rectas paralelas se puede obtener a partir de la distancia de cada recta al origen, obtenemos 𝑑1 y 𝑑2 por lo que su suma (𝑑 = 𝑑1+ 𝑑2) nos permitirá conocer la distancia comprendida entre las rectas.
Ejemplos
:
Distancia entre rectas paralelas
1) Determina la distancia comprendida entre las rectas paralelas:
6𝑥 − 8𝑦 − 24 = 0 y 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0
Utilizamos la fórmula de la
distancia de un punto a una recta:
𝑑 =│𝐴𝑥1+ 𝐵𝑦1+ 𝐶│
√𝐴2+ 𝐵2
Sustituyendo los valores en la fórmula para determinar la distancia de la recta
3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 al origen (0, 0)
𝑑 =│3(0) − 4(0) + 12│
√(3)2+ (4)2
𝑑 = │12│
√9 + 16=
12 √25
𝑑1 =12 5
Sustituyendo los valores en la fórmula para determinar la distancia de la recta
6𝑥 − 8𝑦 − 24 = 0 al origen (0, 0)
𝑑 =│6(0) − 8(0) − 24│
√(6)2+ (8)2
𝑑 = │ − 24│
√36 + 64=
24
√100=
53
𝑑2 =12 5
Sustituimos los valores en 𝑑 = 𝑑1+ 𝑑2
𝑑 =12
5 +
12
5 =
24 5
Por lo tanto, la distancia entre las rectas es:
𝑑 =24
5
Ejercicios:
Encontrando la distancia entre rectas paralelas
INSTRUCCIONES.- Determina la distancia entre las rectas paralelas dadas a continuación.
1) 𝑥 − 𝑦 − 9 = 0 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
2) −𝑥 − 5𝑦 − 1 = 0 𝑥 + 5𝑦 + 7 = 0
3) 12𝑥 + 5𝑦 − 19 = 0 12𝑥 + 5𝑦 + 59 = 0
54
Ángulo entre dos rectas
En nuestro estudio de la recta, los ángulos están directamente relacionados, ya que precisamente, los lados del ángulo son líneas rectas. El ángulo que se forma en la intersección de un par de rectas se
puede calcular en función de sus pendientes.
La relación para obtener el valor del ángulo
𝜃 entre dos rectas está dada por:
tan 𝜃 = 𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2
Para aplicar esta relación se debe determinar cuál es la pendiente 𝑚1 y cual 𝑚2.
Para ello, se debe seguir las siguientes indicaciones:
Si las dos pendientes son positivas𝑚2 es la mayor y 𝑚1 la menor.
Cuando una pendientes es positiva y la otra negativa 𝑚2 es la pendiente negativa y 𝑚1 es la positiva.
Cuando las dos pendientes son negativas 𝑚2 tiene mayor valor absoluto.
EJEMPLOS:
Ángulos entre dos rectas
Determina el valor del ángulo que forman las rectas 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 con
2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0
Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma pendiente-ordenada
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
2𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 −3𝑦 = −2𝑥 + 4 𝑦 = −3𝑥 + 6 𝑦 =−2𝑥
−3 + 4 −3 𝑚 = −3 𝑦 =2
3𝑥 − 4
55
Determinamos cual es 𝑚1y cual es 𝑚2 como una negativa y la otra positiva por lo tanto
𝑚2 = −3 𝑚1 =2 3
Sustituimos en la formula tan 𝜃 = 𝑚2−𝑚1
1+𝑚1𝑚2
tan 𝜃 = −3 −
2 3 1 + (23) (−3)
= −
−9 − 2 3 17 (−63)
= −11
3
1 − 2 =
−11 3
−1 =
11
3 = 3.666
Obtenemos el valor de ángulo de:
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1= 3.666
𝜃 = 74°
Ejercicios:
Instrucciones: Encontrando el ángulo entre dos rectas. Determina el ángulo que forman las rectas dadas:
1) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟕 = 𝟎 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟒 = 𝟎
2) 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎
56
Rectas notables del triangulo
MEDIATRIZ
Recta perpendicular a un segmento y que pasa por su punto medio.
Las tres mediatrices de un triángulo que cortan en u punto llamado circuncentro.
MEDIANA
Recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.
BISECTRIZ
Recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto denominado incentro.
ALTURA
Rectas perpendiculares a cada uno de los lados (o a sus prolongaciones) desde el vértice
opuesto)
57
Ejemplos:
1. Calcular las mediatrices y coordenadas del circuntentro
Encuentra las coordenadas del cincuncentro del triángulo cuyos vértices son:
𝐴 (2, −1) 𝐵 (−5, 1) 𝐶 (0, 3)
Hallamos las ecuaciones de dos mediatrices.
1. Calculamos las coordenadas del punto medio del lado 𝐴𝐶̅̅̅̅
𝑥 =2 + 0
2 = 1
𝑦 =−1 + 3
2
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝐴𝐶 = (1, 1)
La mediatriz pasará por el punto medio 𝑃 (1, 1) y su vector directo será el vector normal de la recta 𝐴𝐶 por ser perpendicular.
Vector directo 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (−1, 2)
Vector normal 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (2, 1) = vector directo mediatriz lado 𝐴𝐶̅̅̅̅
𝑥 − 1
2 =
𝑦 − 1 2
58 2. Ecuación de la mediatriz del lado 𝐵𝐶̅̅̅̅
Punto medio de 𝐴𝐵 = (3 2, 0)
Vector directo mediatriz 𝐴𝐵 = (2, 7)
Ecuación de la mediatriz 14𝑥 − 4𝑦 + 21 = 0
3. Coordenadas del circuncentro
Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de las dos mediatrices
𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
→ 𝑥 =−19
12 𝑦 = −7
24 𝑐𝑖𝑐𝑢𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 ( −19
12 , −7 24) 4𝑥 − 4𝑦 + 21 = 0
2. Calcular alturas coordenadas del ortocentro.
Calcular las coordenadas del ortocentro del triangulo 𝐴𝐵𝐶 cuyos vértices son:
𝐴 (−1, 1) 𝐵 (2, 1) 𝐶 (4, 1)
1. Ecuación de la altura del lado 𝐴𝐶
59 Vértice 𝐵 (2, 4)
𝑥 − 2
0 =
𝑦 − 4
−5 → −5𝑥 + 10 = 0
2. Ecuación de la altura 𝐵𝐶
El vector (−3, −2) , vértice 𝐴 (−1, 1) → −2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
3. Resolvemos el sistema de las dos alturas para obtener las coordenadas del ortocentro
−5𝑥 + 10 = 0
→ 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (2, 3)
−2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
60
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evalúa el trabajo de tres compañeros
3. Muy bien 2. Bien 1. Regular 0. Deficiente
Lista de cotejo
Categoría de evaluación Compañero 1 Compañero 2 Compañero 3
Responsabilidad individual en clase
Responsabilidad y compromiso en clase Disponibilidad para trabajar en equipo
Colaboración con los compañeros
Disposición para realiza las actividades
Adquisición y asimilación y conceptos
Disposición al intercambio de ideas
61
1.- Antecedentes delas cónicas 2.- Circunferencia
3.- Elementos característicos de la circunferencia 4.- Ecuación ordinaria dela circunferencia con centro en el origen
5.- Ecuación cartesiana de una circunferencia de centro en uno de los ejes de coordenadas y radio 6.- Forma ordinaria de la ecuación de la
circunferencia 7.-Parábola
8.- Elementos característicos de una parábola 9.- Parábola horizontal con vértice en el origen 10.- Parábola vertical con vértice en el origen 11.- Forma general de la ecuación de la parábola 12.-Elipse
13.- Elementos característicos de la elipse 14.- Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes
coordenados 15.- Hipérbola
16.- Elementos característicos dela hipérbola 17.- Ecuación de la hipérbola con centro en el origen
18.- Ecuación de la hipérbola fuera del origen.
3
COMPETENCIAS GENÉRICAS
•CG. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
•CDM 8 Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y texto con simbolos matemàticos y cientificos.
CONOCIMIENTOS ACTITUDINALES
62
LUGARES GEOMÉTRICOS
Antecedentes de las Cónicas
Unas cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano, o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que, la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante.
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga llamado:
Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos.
Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla.
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio,
63
haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:
La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.
CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico del punto P (x, y) que se mueve en un plano que equidista de un punto fijo llamado centro C (h, k) y a la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le conoce como radio.
64
Elementos característicos de la circunferencia:
Ecuaciones de la circunferencia
En realidad solo existe una ecuación ordinaria de la circunferencia con 2 representaciones:
a) Con centro en el origen y
b) Centro fuera del origen.
Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen
Cuando el centro está en el origen (0, 0) la ecuación anterior se simplifica a:
Centro: Es el punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: Es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro. Su Longitud es el doble que la del radio.
Cuerda: Es cualquier segmento de la recta cuyos extremos son puntos que pertenecen a la circunferencia.
Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
Tangente:Es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
65
1.- La ecuación de 1a circunferencia de centro el origen y radio 4 es
𝒙𝟐+ 𝒚𝟐= 16
2. La ecuación x² + y² = 25, representa una circunferencia de centro el origen y radio r.
r √𝟐𝟓=5
Ecuación cartesiana de una circunferencia de centro en uno de
los ejes de coordenadas y radio
A) Primer caso. El centro está en el eje de las x. Si llamamos h a la abscisa del centro, sus coordenadas serán (h, 0).
Si P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia tendremos:
(
x
h
)
2
y
2
r
2Ejemplos:
1.- La ecuación de la circunferencia de centro C (4,0) y radio 3 es:
(x-4)² + y² = 9 x² + y² -8x + 7 = 0
2.- La ecuación (x -3)² + y² = 16 representa una circunferencia de centro C (3, 0) y radio r=4
3. La ecuación (x + 5)² + y² = 2, representa una circunferencia de centro C (-5, 0)
y radio.
r = √𝟐
b) Segundo caso: El centro está en el eje de las “y”. Si llamamos k a la
ordenada del centro, sus coordenadas son de la forma C (0, k). Procediendo análogamente al caso anterior se obtiene la ecuación:
Ejemplos:
1. La ecuación de la circunferencia de centro C (0, -4) y radio 5 es:
x² + (y+4)² = 25 o x²+ y²+8y -9 = 0
2. La ecuación x² + (y -1) = 49, representa una circunferencia de centro C (0,1) y radio 7.
66
Ecuación cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un
punto cualquiera del plano
Forma ordinaría de la ecuación de la circunferencia
Sea C (h, k) el centro, r el radio y P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia se tiene por definición:
Ejemplos.
1. La ecuación centro C(2,3).
(
x
2)
2
(
y
3)
2
25
representa una circunferencia de radio, r = 5 y2. La ecuación de la circunferencia de centro C (-4, 2) y radio 4 es:
(
x
4)
2
(
y
2)
23. Hallar 1a ecuación de la circunferencia que tiene como centro C (-2, -3) y pasa por el punto A (2,4.).
El radio será la distancia.
|𝐶𝐴̅̅̅̅| = |𝑟|= √(2)2+ (−3 − 4)2)
Y aplicando la ecuación (D):
(𝑥 + 2)(𝑦 + 3)2=65
Condiciones para que una ecuación de segundo grado con dos variables represente una circunferencia
67
Forma general de la circunferencia
La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:
A𝒙𝟐 + B xy + C𝒚𝟐 + Dx+ Ey + F = 0
Y la ecuación de una circunferencia de centro (h, k) y radio r es:
( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2(1)
Y desarrollando:
𝑥2+𝑦2 – 2hx -2ky + ℎ2+𝑘2- 𝑟2 =0 (2)
Para que la ecuación (1) represente una circunferencia, sus coeficientes y los de la (2) de los términos del mismo grado deben ser proporcionales.
Como la ecuación (2) carece de término 𝑥, 𝑦, resulta: B = 0. (3)
Además, tendremos: (4)
Luego:
A = C ≠ 0 para que la ecuación sea de segundo grado (5)
De las igualdades (3) y (5) resulta que, para que una ecuación de segundo grado con dos variables represente una circunferencia es necesario:
1. Que no tenga término en xy
2. Que los coeficientes de x2 y y2 sean iguales y del mismo signo. Si una circunferencia viene dada por una ecuación de la forma:
𝐴 𝑥2 + 𝐴 𝑥2+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
… se dice que viene dada en su forma general. Ejemplos. Las ecuaciones:
1. 𝒙² + 𝒚² + 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 – 𝟒 = 𝟎;
2. 𝟐𝒙² + 𝟐𝒚² + 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎;
3. 𝟑𝒙² + 𝟑𝒚² − 𝒙 + 𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎;
4. −𝟒𝒙² − 𝟒𝒚² + 𝟓𝒙 + 𝒚 – 𝟑 = 𝟎,
Representan circunferencias dadas en su forma general.
68
Primera manera: Convirtiendo la ecuación dada a la forma ordinaria, por el método de completar cuadrados. El centro es 𝐶 (ℎ, 𝑘) y el radio es 𝑟.
(
x
h
)
2
(
y
k
)
2
r
2Segunda manera: A partir de la serie de razones iguales (4) del artículo anterior, tomando como incógnitas h, k y r.
Ejemplos:
1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:
x² + y² + 4x + 6y + 9 = 0.
Primer método. Completando cuadrados se tiene: x² + 4x + 4 + y² + 6y + 9 = -9 + 4 + 9
(x + 2) ² + (y + 3) ² = 4
∴h = -2, k = -3, r = 4 = 2
∴C (- 2, -3), r = 2
Segundo método. En este caso: A = C = 1, D = 4, E = 6, F = 9.
De (4) resulta:
1= 𝟒
𝟐𝒉
=
𝟔 −𝟐𝒌=
𝟗 𝒉𝟐+ 𝒌𝟐−𝒓𝟐
h=-2, k= -3
=
𝑭𝒉𝟐+ 𝒌𝟐−𝒓𝟐 =1 r =2
El centro es C (- 2, -3) y el radio r = 2.
Hallar el centro y el radio de la circunferencia:
x² + y² -4x -2y – 4 = 0.
Primer método. Completando cuadrados, resulta:
x² -4x + 4 + y² -2y + 1 = 4 + 4 + 1 (x-2) ² + (y-1) ² = 9
C (2, 1), r =3.
