INVERSA DE UNA MATRIZ ATRAVEZ DE LA ADJUNTA PAGINA21 APLICACIÓN Y DETERMINANTES DE UNA MATRIZ BIBLIOGRAFIA

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CESAR RAFAEL RODRIGUEZ

FLORES 10211205

INVESTIGACION DE MATRICES

2DA UNIDAD

ALGEBRA LINEAL

MARIA EUGENIA BERMUDEZ

TIJUANA B.C. A 17 DE

(2)

2

INDICE

DEFINICION DE MATRICES ………….PAGINAS 3,4

OPERACIONES CON MATRICES PAGINAS …… 5,6,7

DEFINICION MATRIZ INVERSA PAGINAS ………..8,14

CLASIFICACION DE MATRICES PAGINAS………. 15, 16

CALCULO MATRIZ INVERSA ……… 17,18

DEFINICION DE DETERMINANTES………PAGINAS 19,20

INVERSA DE UNA MATRIZ ATRAVEZ DE LA ADJUNTA

PAGINA21

APLICACIÓN Y DETERMINANTES DE UNA MATRIZ

PAGINAS………..I 22,23

BIBLIOGRAFIA

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3 MATRICES

Definición: Una matriz es un arreglo de números reales distribuídos en filas y columna

s, el cual están encerrados en paréntesis o corchetes. Las

matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas.

Ejemplos:

Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces se

dice que la matriz es de dimensiónm x

n. Por ejemplo, la matriz A es de dimensión 2 x

3, ya que la matriz A tiene dos filas (m)

y tres columnas (n). B es de dimensión ________, C es de dimensión _______ y

D es de dimensión__________.

Observa que una matriz de dimensión 1

x n tiene una fila y n columnas; mientras que una matriz de dimensión m x

1 tiene m filas y una columna. Una matriz que consiste de una columna se

llama matriz columna. Una matriz que consiste de una fila se

llama matriz fila. En los ejemplosanteriores, C es una matriz columna y

D es una matriz fila.

Si todos los elementos ( o componentes) de una matriz son ceros llamamos a

la matriz una matriz cero y se denota por 0. Por ejemplo, la matrizcero

de dimensión 2 x 3 es:

Una matriz con el mismo número de filas que de columnas se

llama una matriz cuadrada.

Ejemplos:

dimensión 2 x 2 dimensión 3 x 3

Nota: Los números 1, -1 y 5 en la matriz C de dimensión 3 x 3

se conocen como los elementos de la diagonal principal. La diagonal principal

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Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se

denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de

columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Am x n o (ai j), y unelemento cualquiera de la misma, que se encuentra

en la fila i y en la columna j, por ai j.

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5 Operaciones con Matrices

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(ai j) y B=(bi j), se

define la matriz suma como: A+B=(ai j+bi j). Es decir, aquella matriz

cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices

que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

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6

Elemento opuesto:

A + (-A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están

cambiados de signo.

Conmutativa:

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7 Operaciones con matrices y formulas

Operaciones con matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto por un escalar por una matriz

Producto de matrices

Mm x n x Mn x p = M m x p

Matriz inversa

A · A- 1_{= A}- 1_{· A = I}

(A · B)- 1 = B- 1 · A- 1

(A- 1)- 1 = A

(k · A)- 1 = k- 1 · A- 1

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8 Ejercicios

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B; A - B; A x B; B x A; At_.

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Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

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Dadas las matrices:

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

1(A t_{· B ) · C}

(At3 x 2 · B2 x 2 ) · C3 x 2 = (At · B )3 x 2 · C3 x 2

No se puede efectuar el producto porque el número de

columnas de

(At · B ) no coincide con el nº de filas de C.

2(B · Ct _{) · A}t

(B2 x 2 · Ct2 x 3 ) · At3 x 2 = (B · C )2 x 3 · At3 x 2 =

=(B · C t · A t ) 2 x 2

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectua rse el

producto A · M · C

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3Determina la dimensión de M para que Ct_{· M}_{sea una matriz}

cuadrada.

Ct

2 x 3 · Mm x n m = 3 n = 3

Demostra r que: A2 - A - 2 I = 0, siendo:

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Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que

resulte la matriz .

Hallar la matriz inversa de:

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|2|=2 ≠0

r(A) = 2

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Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser

proporciona l a la primera, y la quinta porque combinación linea l de la primera

y segunda: c5 = -2 · c1 + c2

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Clasificación de Matrices

Se denomina matriz columna a la matriz que tiene m x 1 elementos, y se

llama matriz fila a la matriz de 1 x m elementos.

3.2 Clasificación de matrices y operaciones

Orden de una matriz A(m x n), m x n: indica el número de filas, m, y de columnas,

n, de una matriz

A es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es

decir, n = m. Se dice, entonces que la matriz es de orden n. La diagonal principal

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Calculo de la matriz inversa 3.3 Calculo de una matriz Inversa

La inversa de una matriz m× n . Suponga que Página 5 AB = BA = I

Entonces B se llama inversa de A y se denota −1 A Entonces se tiene

AA = A A = I −1 −1

donde I es la matriz identidad Sean A y B dos matrices de

Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular.

En caso contrario, se dice que la matriz A es singular. Una matriz A de orden n (n filas y n columnas) tiene inversa

cuando su rango

es n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden.

Básicamente hay dos procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son

los siguientes:

Por el método de Gauss.

Por determinantes y adjuntos (que describiremos en la unidad de

determinantes). Método de Gauss.

Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A, aplicando el método de

Gauss, construimos, en primer lugar, la matriz ( A | I ), siendo I la matriz

identidad del mismo orden que A. Después de realizar diversas operaciones

sobre las filas de ésta nueva matriz, tendremos que conseguir que se transforme

en la siguiente ( I | B ). La matriz B será la inversa de la matriz A, es decir: B

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Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:

a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero. b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número

distinto de cero.

Matriz inversa

El producto de una matriz por su inversa es igual a l matriz

identid ad.

A · A- 1_{= A}- 1_{· A = I}

Se puede ca lcular la matriz inversa por dos métodos:

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3.4. Definición y propiedades de Determinante de una Matriz El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o

polinomio, que resulta de

obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de

restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también

como modulo de la matriz.

(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método

Ejemplos

A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante

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3.7- Aplicación de Matrices y determinantes Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven

para clasificar

valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables. Página 9

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa

(F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al

precio indicado por la tabla siguiente: 2 unid. 5 unid. 10 unid.

Color N 0’04 0’08 0’12 Color F 0’03 0’05 0’08

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Color N Color F 2 unid. 700000 50000 5 unid. 600000 40000 10 unid. 500000 500000

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y

3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). Nos piden que organicemos la información anterior en dos

matrices de tamaño

concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

2 ud 5 ud 10 ud N F

A = 700000 600000 500000 N B = 0_04 0_03 2 usd 50000 40000 500000 F 0_08 0_05 5 usd

0_12 0_08 10 usd

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los

datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos

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se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente

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Bibiografia

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/matrizw.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.htm l

http://www.vitutor.net/1/13.html

http://cursos.aiu.edu/Algebra%20Lineal/PDF/Tema%203.pdf