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Tema 11

Integrales de l´ınea complejas

11.1

Integrales de l´ınea

11.1.1 Funciones complejas de variable real

Una funci´on compleja de variable real lleva asociada una funci´on vectorial de variable real, por lo que las definiciones y resultados para funciones vectoriales de variable real se trasladan inmediatamente a las funciones complejas de variable real gracias a la identificaci´on C = IR2. Por otra parte, los resultados para funciones complejas en general, son v´alidos tambi´en para estas funciones.

As´ı pues, nos limitaremos a recordar un par de definiciones adaptadas a la notaci´on compleja:

Definici´on 11.1 – Sea A⊆IR abierto. Una funci´on f:A−→ C, con f =f1+if2, esderivable en un punto t∈A cuando f1y f2 son derivables en t y, en este caso,

f0(t) =f₁0(t) +if₂0(t).

Definici´on 11.2 – Sea [a, b]⊆IR. Una funci´on f: [a, b]−→ C, con f =f1+if2, es integrable en [a, b] cuando f₁y f₂ son integrables en [a, b] y, en este caso,

Z _b

a f =

Z _b

a f(t)dt=

Z _b

a f1(t)dt+i

Z _b

a f2(t)dt.

Propiedades 11.3 – Si f, g: [a, b] −→ C son integrables en [a, b] y w0 ∈ C, son ciertas las siguientes propiedades:

a) f+g es integrable y

Z _b

a (f +g) =

Z _b

a f+

Z _b

ag.

b) w0f es integrable y

Z _b

a w0f =w0

Z _b

a f.

c) Si a < c < b, f es integrable en [a, c] y [c, b] y

Z _b

a f =

Z _c

a f+

Z _b

c f.

d) |f| es integrable y

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Z _b

af

¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤

Z _b

a |f|.

Demostraci´on:

a) b) y c) son inmediatas.

d) Si f es integrable en [a, b], sea

Z _b

a f = w ∈ C. Como w = |w|e

iθ_{, con θ = Arg(w), se}

tiene que we−iθ _{=|w|. Luego}

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Z _b

a f

¯ ¯ ¯ ¯

¯=|w|=we

−iθ_=e−iθZ b a f =

Z _b

a e

−iθ_{f =}Z b a Re(e

−iθ_{f) +i}Z b a Im(e

como Im(|w|) = 0, se tiene que

Z _b

a Im(e

−iθ_{f) = 0 y, por tanto,}

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Z _b

a f

¯ ¯ ¯ ¯ ¯=

Z _b

a Re(e

−iθ_{f) =}

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Z _b

a Re(e

−iθ_f)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤

Z _b

a |Re(e

−iθ_{f)| ≤}Z b a |e

−iθ_f|

=

Z _b

a |e

−iθ_||f|=

Z _b

a 1|f|=

Z _b

a |f|.

11.1.2 Integrales de l´ınea complejas

Definici´on 11.4 – Un camino en C es una funci´on continua γ: [a, b]−→ C. Si γ(a) =γ(b), el camino se llama cerrado.

Un camino γ: [a, b]−→ C se diceregularcuando tiene derivada continua y distinta de cero en todo punto de [a, b].

Un camino γ: [a, b]−→ C se diceregular a trozoscuando el intervalo [a, b] puede descom-ponerse en un n´umero finito de subintervalos de manera que la restricci´on de γ a cada uno de ellos sea un camino regular.

La longitudde un camino regular a trozos γ: [a, b]−→ C es, por definici´on,

L(γ) =

Z _b

a |γ

0_(t)|dt.

Definici´on 11.5 – Sean I = [a, b], γ:I −→ C un camino regular a trozos y f:γ(I)−→ C una funci´on continua. Laintegral de l´ıneade f a lo largo de γ se designa por

Z

γf ´o

Z

γf(z)dz y est´a definida por

Z

γf(z)dz =

Z _b

a f(γ(t))γ

0_(t)dt.

Observaci´on 11.6 – Si f =u+iv y γ =γ₁+iγ₂, entonces

Z

γf(z)dz=

Z _b

a

³

u(γ(t)) +iv(γ(t)´³γ₁0(t) +iγ₂0(t)´dt

=

Z _b

a

³

u(γ(t))γ₁0(t)−v(γ(t))γ₂0(t)´dt+i

Z _b

a

³

v(γ(t))γ₁0(t) +u(γ(t))γ₂0(t)´dt

=

Z _b

a

³

u(γ(t)),−v(γ(t)´·³γ₁0(t), γ₂0(t)´dt+i

Z _b

a

³

v(γ(t)), u(γ(t)´·³γ₁0(t), γ₂0(t)´dt

haciendoγ = (γ₁, γ₂),F₁ = (u,−v) yF₂= (v, u), nos queda

=

Z _b

a F1(γ(t))·γ

0_(t)dt+iZ b

a F2(γ(t))·γ

0_(t)dt=Z _F

1dγ+i

Z

F₂dγ.

Luego la integral de l´ınea compleja se construye como las integrales de l´ınea reales de las funciones

F1 y F2 sobre el camino γ de IR2.

Ejemplo 11.7 –

a) Sean a∈ C y r un n´umero real positivo. El camino γ: [0,2π] −→ C definido mediante

γ(t) =a+reit_{, para cada t∈[0,2π], es regular y su imagen es la circunferencia de centro}

a y de radio r (recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj). Su longitud es

L(γ) =

Z _2π

0 |ire

it_|dt=

Z _2π

11.1 Integrales de l´ınea

y si f:γ(I)−→ C es una funci´on continua,

Z

γf(z)dz=

Z _2π

0 f(a+re

it_)rieit_dt=riZ 2π 0 e

it_f(a+reit_)dt.

b) Sean z₀ y w₀ dos n´umeros complejos. El camino γ: [0,1] −→ C dado por la expresi´on

γ(t) =z0+t(w0−z0), es regular y su imagen es el segmento de extremos z0 yw0 (recorrido

desde z0 hasta w0). Suele designarse por [[z0, w0]], y su longitud es

L(γ) =

Z ₁

0 |w0−z0|dt=|w0−z0|

y si f:γ(I)−→ C es una funci´on continua,

Z

γf(z)dz=

Z ₁

0 f(z0+t(w0−z0))(w0−z0)dt= (w0−z0)

Z ₁

0 f(z0+t(w0−z0))dt.

Propiedades 11.8 – Sean I = [a, b], γ:I −→ C un camino regular a trozos, f, g:γ(I) −→ C

continuas. λ, µ∈ C. Entonces,

a) Para todos λ, µ∈ C,

Z

γ

³

λf(z) +µg(z)´dz=λ

Z

γf(z)dz+µ

Z

γg(z)dz.

b) Si a≤c≤b yγ₁ y γ₂ las restricciones de γ a los intervalos [a, c]y [c, b] respectivamente,

se tiene que _Z

γf(z)dz=

Z

γ1f(z)dz+

Z

γ2f(z)dz.

c) Si |f(z)| ≤M, para todo z∈γ(I), se tiene que

¯ ¯ ¯ ¯ Z

γf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤

Z

γ|f(z)||dz| ≤M L(γ),

donde denotamos |dz|=|γ0_{(t)|dt, es decir,}

Z

γ|f(z)||dz|=

Z

I|f(γ(t))||γ

0_(t)|dt.

Demostraci´on:

a) y b) se comprueban f´acilmente.

c)

¯ ¯ ¯ ¯ Z

γf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯=

¯ ¯ ¯ ¯ Z

If(γ(t))γ

0_(t)dt

¯ ¯ ¯ ¯≤

Z

I|f(γ(t))γ

0_(t)|dt=

Z

I|f(γ(t))||γ

0_(t)|dt

≤

Z

IM|γ

0_(t)|dt=M

Z

I|γ

0_{(t)|dt=M L(γ).}

Proposici´on 11.10 – Sea γ: [a, b] −→ C un camino regular a trozos y sea β: [c, d] −→ C un camino equivalente a γ. Entonces, para toda funci´on continua f se tiene

Z

βf(z)dz=

Z

γf(z)dz si γ y β son positivamente equivalentes, mientras que

Z

βf(z)dz =−

Z

γf(z)dz si γ y β son negativamente equivalentes.

Demostraci´on:

Cierto, por serlo para las integrales de l´ınea reales.

Proposici´on 11.11 – Sean I = [a, b], A un subconjunto abierto de C y f una funci´on anal´ıtica en A. Si γ:I −→ C es un camino regular a trozos tal que γ(I)⊆A entonces

Z

γf

0_{(z)dz=f(γ(b))−f(γ(a)).}

En particular, si γ es cerrado, de tiene que

Z

γf

0_{(z)dz= 0.}

Demostraci´on:

Podemos considerar γ regular, pues si no lo es basta dividir la integral en una suma finita de integrales en cada una de las cuales se verifica el resultado.

Sea g=g1+ig2: [a, b]−→ C definida por g(t) =f(γ(t)). Como γ es regular y f anal´ıtica,

g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g0_{(t) =f}0_(γ(t))γ0_{(t). Luego}

Z

γf

0_(z)dz=Z b

a f

0_(γ(t))γ0_(t)dt=Z b

a g

0_(t)dt=Z b

a g

0

1(t)dt+i

Z _b

a g

0

2(t)dt=g1(t)

i_b

a+ig2(t)

i_b

a

=g₁(b)−g₁(a) +i³g₂(b)−g₂(a)´=³g₁(b) +ig₂(b)´−³g₁(a) +ig₂(a)´ =g(b)−g(a) =f(γ(b))−f(γ(a)).

Ejemplo 11.12 – Sea f(z) =zn_{, para n∈ZZ.}

¦ Si n= 0,1,2, . . ., la funci´on f(z) es la derivada de g(z) = z_n+1n+1 en C, luego para todo camino γ regular a trozos que una z1 con z2, se verifica que

Z

γz

n_{dz =} zn+12 −zn+11

n+ 1 ; y, si z1=z2, entonces

Z

γz

n_{dz = 0.}

¦ Si n =−2,−3,−4, . . ., la funci´on f(z) es la derivada de g(z) = z_n+1n+1 en C− {0}, luego para todo camino γ regular a trozos que una z1 con z2 y que no pase por el origen, se

verifica que

Z

γz

n_{dz =} zn+12 −zn+11

n+ 1 ; y, si z1=z2, entonces

Z

γz

n_{dz = 0.}

Observar que si γ pasa por el origen, la funci´on f(z) = _z−1n no es integrable en la curva

11.2 Teoremas de Cauchy-Goursat

¦ Si n = −1, la funci´on f(z) = 1_z es la derivada de Log(z) en C−A0 (el semieje real

negativo), luego para todo camino γ regular a trozos que una z1 con z2 y que no pase

por el conjunto A0, se verifica que

Z

γz

−1_{dz= Log(z}

2)−Log(z1); y, si z1 =z2, entonces

Z

γ

1

zdz= 0.

Si γ pasa por el origen, la funci´on f(z) = 1_z no es integrable en la curva y no tiene sentido la integral; sin embargo, si la curva pasa por A0− {0}, la integral tiene sentido, aunque

no puede aplicarse el resultado anterior.

Por ejemplo, si γ(θ) = reiθ es la parametrizaci´on de una circunferencia de radio r que rodea al origen,

Z

γ

dz

z =

Z _2π

0

rieiθ

reiθ dθ=

Z _2π

0 idθ= 2πi.

De hecho, esto puede generalizarse a cualquier camino cerrado γ sin m´as que tener en cuenta que, por la observaci´on 11.6, la integral se puede escribir mediante dos integrales de l´ınea reales

Z

γ

dz

z =

Z

(u,−v)dγ +i

Z

(v, u)dγ;

y, como (u,−v) = ³_x2_+yx 2,_x2_+yy 2

´

y (v, u) = ³_x2−_+yy2,_x2_+yx 2

´

son las funciones que apare-cen, respectivamente, en el ejercicio propuesto 3.7 y en el ejercicio resuelto 3.48, sobre el teorema de Green, aplicando los resultados que all´ı se obtienen:

Z

γ

dz

z =

Z

(u,−v)dγ+i

Z

(v, u)dγ =n0 +i2nπ= 2nπi,

donde n indica el n´umero de vueltas que da la curva γ alrededor del origen.

11.2

Teoremas de Cauchy-Goursat

Sea (a, b, c) una terna de n´umeros complejos distintos. Designaremos por T(a, b, c) el tri´angulo de v´ertices a, b y c y por ∂T su contorno que est´a formado por los tres segmentos [[a, b]], [[b, c]] y [[c, a]].

Teorema de Cauchy-Goursat para un tri´angulo 11.13 – SeanA un subconjunto abierto de C,

p ∈ A, f:A −→ C una funci´on continua en A y anal´ıtica en A− {p}. Entonces para todo ti´angulo T contenido en A se verifica

Z

∂Tf(z)dz = 0.

#Demostraci´on#

Haremos la demostraci´on separ´andolo en tres casos:

Es claro que

Z

∂Tf(z)dz = 4

X

k=1

Z

∂Tkf(z)dz

pues, al hacer la integral en ∂T4_{, sus lados se recorren}

en sentido contrario a como se recorren cuando forman parte de los otros tri´angulos. Entonces, si designamos por T1 a uno de los tri´angulos Tk para el que la

inte-gral correspondiente tiene m´odulo mayor o igual que el de las otras tres, se tiene que

¾ ­­Á BBN

-BB

-B B BBM -B B B B BBM B B B B BBM a b c a0 b0 c0 T4 T3 T2 T1 tp ¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤4

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂T1f(z)dz

¯ ¯ ¯

¯, donde L(∂T1) = L(∂T₂ ).

Descomponiendo ahora el tri´angulo T1 en otros cuatro tri´angulos mediante los puntos medios

de sus lados y repitiendo el razonamiento anterior, se obtiene otro tri´angulo T2 para el que

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂T1f(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤4

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂T2f(z)dz

¯ ¯ ¯

¯, donde L(∂T2) = L(∂T₂ 1) = L(₂∂T₂ ).

Continuando el proceso, se obtiene una sucesi´on de tri´angulos T ⊃T1 ⊃T2 ⊃ · · · ⊃ Tn ⊃ · · ·

con, llamando L=L(∂T), longitudes de los per´ımetros L(∂Tn) = ₂Ln y verificando que

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤4n

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tnf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯.

Entonces, si Tn es el tri´angulo Tn(an, bn, cn), se tiene que

L(∂Tn) =|an−bn|+|bn−cn|+|cn−an|= ₂L_n,

luego lim

n→∞an= limn→∞bn= limn→∞cn=z0 y, en consecuencia, existe un ´unico puntoz0 perteneciente a todos los tri´angulos de la sucesi´on. Como f es derivable en z0, puede escribirse

f(z) =f(z0)+(z−z0)

µ

f(z)−f(z0)

z−z0 −f

0_(z

0)

¶

+(z−z0)f0(z0) =f(z0)+(z−z0)ϕ(z)+(z−z0)f0(z0)

donde ϕ(z) = f(z)_z−−f(z0)_z0 −f0_(z

0). Entonces,

Z

∂Tnf(z)dz=f(z0)

Z

∂Tndz+

Z

∂Tn(z−z0)ϕ(z)dz+f

0_(z

0)

Z

∂Tn(z−z0)dz

y, como el primer y tercer sumandos son nulos (ejemplo 11.12),

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tnf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tn(z−z0)ϕ(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤

Z

∂Tn|z−z0||ϕ(z)||dz|.

Pero lim

z→z0ϕ(z) = 0, luego para cadaε >0 existe unδ >0 tal que|ϕ(z)|< ε cuando|z−z0|< δ.

Adem´as, existe un n∈IN tal que |z−z0|< δ para todo z∈Tn, luego tambi´en se verifica que |z−z0|< ₂Ln para todo z∈Tn. Entonces

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tnf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤

Z

∂Tn|z−z0||ϕ(z)||dz| ≤

L2

4nε

y, por tanto, _¯

¯ ¯ ¯ Z

∂Tf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤4n

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tnf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤L2ε

y como ε es arbitrario,

Z

11.2 Teoremas de Cauchy-Goursat

Caso 2: Supongamos ahora que p es un v´ertice de T, por ejemplo, p=a. Si a, b y c est´an en l´ınea recta, es evidente que la integral es nula. En otro caso, elijamos c0 _{∈[[a, b]] y b}0 _{∈[[a, c]] los} puntos medios de los segmentos y los tri´angulos de v´ertices T1(a, c0, b0), T10(c0, b, b0) y T100(b, c, b0).

Entonces

Z

∂Tf(z)dz=

Z

∂T1f(z)dz+

Z

∂T0

1

f(z)dz+

Z

∂T00

1

f(z)dz,

pero como los dos ´ultimos tri´angulos no contienen a

p, por el caso anterior, sus integrales son nulas. Pro-cediendo como en el Caso 1, se construye una sucesi´on de tri´angulos Tn, con L(∂Tn) = ₂Ln, verificandose que

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Tnf(z)dz

¯ ¯ ¯ ¯≤sup

z∈T|f(z)|

L 2n Z Z } BBN

-BB -B B BBMZZ Z Z Z Z Z ~BB B B B B B B B BBM t a b c b0 c0 T0 1 T00 1 T1

luego tambi´en la primera integral es nula.

Caso 3: Si p est´a sobre el per´ımetro o en el interior de T, basta dividir T en tri´angulos con un v´ertice en p y aplicar el Caso 2. Es decir, como en las figuras siguientes:

Z_Z~

t

- ZZ

Z Z Z Z Z } B B B B B B B B B BBM a b c p T2 T1 ¤¤º

´´3 _QQs

- BB

B B B B B B B BB BBM t Q Q Q Q Q k + a b c p T2 T3 T1 Z

∂Tf(z)dz= 2

X

k=1

Z

∂Tkf(z)dz= 0;

Z

∂Tf(z)dz= 3

X

k=1

Z

∂Tkf(z)dz= 0.

Por consiguiente, para cualquier T, se tiene que

Z

∂Tf(z)dz= 0.

Teorema de Cauchy-Goursat para un abierto convexo 11.14 – Sean A ⊆ C abierto y con-vexo, p∈A y f:A−→ C una funci´on continua en A y anal´ıtica en A− {p}. Entonces, para todo camino cerrado regular a trozos y contenido en A se verifica que

Z

γf(z)dz= 0.

#Demostraci´on#

Sea a∈A. Como A es convexo, para cada z∈A el segmento [[a, z]] est´a contenido en A y, por tanto, podemos construir la funci´on F:A−→ C definida por

F(z) =

Z

[[a,z]]f(w)dw.

Si probamos que F0(z) =f(z), para todo z∈A, entonces, por la proposici´on 11.11,

Z

γf(z)dz=

Z

γF

En efecto. Sea z0 un punto cualquiera de A. Entonces,

F(z)−F(z0)

z−z0 −f(z0) =

1

z−z0

ÃZ

[[a,z]]f(w)dw−

Z

[[a,z0]]f(w)dw−(z−z0)f(z0)

!

como

Z

[[a,z]]f(w)dw=−

Z

[[z,a]]f(w)dw y agrupando las dos integrales, nos queda

= 1

z−z0

Ã

−

Z

[[z,a]]t[[a,z0]]f(w)dw−(z−z0)f(z0)

!

y como [[z, a]]t[[a, z0]] son dos de los tres lados del tri´anguloT(z, a, z0) (contenido enA por ser

A convexo), por la proposici´on anterior,

= 1

z−z0

ÃZ

[[z0,z]]f(w)dw−(z−z0)f(z0)

!

usando ahora que

Z

[[z0,z]]dw= (z−z0), nos queda

= 1

z−z0

ÃZ

[[z0,z]]f(w)dw−f(z0)

Z

[[z0,z]]dw

!

= 1

z−z₀

Z

[[z0,z]]

³

f(w)−f(z0)

´

dw.

Ahora bien, como f es continua en z0, para cada ε >0 existe un δ >0 tal que si |w−z0|< δ

entonces |f(w)−f(z0)|< ε. Pero como, si |z−z0|< δ, tambi´en se verifica que |w−z0|< δ

para cada w∈[[z₀, z]], entonces

¯ ¯ ¯

¯F(z_z)−₋F_z(z0)

0 −f(z0)

¯ ¯ ¯ ¯≤

¯ ¯ ¯ ¯_z−1_z

0

¯ ¯ ¯ ¯ Z

[[z0,z]]|f(w)−f(z0)||dw|<

¯ ¯ ¯ ¯_z−1_z

0

¯ ¯ ¯ ¯ Z

[[z0,z]]ε|dw|=ε,

si |z−z0|< δ y, en consecuencia, F0(z0) =f(z0) para todo z0 ∈A.

11.3

F´

ormula integral de Cauchy

Definici´on 11.15 – Sean I = [a, b] y γ:I −→ C un camino cerrado regular a trozos. Se llama ´ındice de un punto z0∈/ γ(I) respecto de γ y se designa por Indγ(α) al n´umero

Indγ(z0) = _2π1_i

Z

γ

dz z−z0.

Observaci´on 11.16 – Como el intervalo I = [a, b] es cerrado y acotado y γ:I −→ C es una funci´on continua, el conjunto γ(I) es cerrado y acotado; luego divide al plano complejo en trozos disjuntos, que son las componentes conexas del conjunto C−γ(I). Como γ(I) est´a acotado, existe un entorno E de centro el origen contiene a γ(I), y, en consecuencia, el conjunto conexo C−E est´a contenido en C−γ(I), luego C−E est´a contenido en una componente conexa de C−γ(I). Por consiguiente, entre las componentes conexas de C−γ(I) hay una no acotada.

Proposici´on 11.17 – Sean I = [a, b] y γ:I −→ C un camino cerrado regular a trozos, entonces:

a) Indγ(z0)∈ZZ, para todo z0 ∈C−γ.

b) La funci´on Indγ: C−γ(I)−→ZZ es constante en cada una de las componentes conexas de

11.3 F´ormula integral de Cauchy

Demostraci´on:

Si z0 est´a en la componente conexa no acotada, γ no encierra a z0 y, por el tercer caso del

ejemplo 11.12, se tiene

Z

γ 1

z−z0 dz= 0.

Para otra componente conexa, todos los puntos est´an rodeados por γ de la misma forma (mismo n´umero k de vueltas) luego para todos ellos,

Indγ(z0) = _2π1_i

Z

γ

1

z−z₀ dz=

1

2πi2πik=k∈ZZ.

Proposici´on 11.18 – Sea γ: [0,2π]−→ C la circunferencia de centro z0 y radio r recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj. Entonces

Indγ(z) =

(

1, si |z−z0|< r

0, si |z−z0|> r.

Demostraci´on:

Es un caso particular de la proposici´on anterior.

F´ormula integral de Cauchy 11.19 – Sean A⊆ Cabierto y convexo, y f:A−→ C una funci´on anal´ıtica. Entonces, para todo camino cerrado regular a trozos γ: [a, b]−→ C contenido en A y para todo z0∈A−γ([a, b]) se verifica

f(z0)Indγ(z0) = _2π1_i

Z

γ

f(z)

z−z0dz.

Demostraci´on:

Sea z₀ ∈ C−γ([a, b]). De la condici´on de derivaci´on de un cociente se deduce que la funci´on

g:A−→ C definida por

g(z) =

(

f(z)−f(z0)

z−z0 , siz6=z0

f0_(z

0), siz=z0

es anal´ıtica en A− {z0}. Adem´as, g es continua en z0, puesto que

lim

z→z0g(z) = limz→z0

f(z)−f(z0)

z−z₀ =f

0_(z

0) =g(z0).

Por el teorema de Cauchy-Goursat para abiertos convexos se tiene que

Z

γg(z)dz = 0 y, como

z0 ∈/ γ([a, b]), resulta

0 =

Z

γ

f(z)−f(z0)

z−z0 dz =

Z

γ

f(z)

z−z0dz−f(z0)

Z

γ

dz z−z0 =

Z

γ

f(z)

z−z0dz−2πif(z0)Indγ(z0).

Corolario 11.20 – En las condiciones de la proposici´on anterior, si γ es una circunferencia de centro z0 recorrida en sentido positivo, entonces la f´ormula integral de Cauchy se reduce a

f(z₀) = 1 2πi

Z

γ

f(z)

z−z0

Proposici´on 11.21 – Si f es anal´ıtica en E∗_(z

0, r) y γ1 y γ2 son dos circunferencias de centro

z0 y cuyos radios verifican que 0< ρ1 < ρ2< r, entonces, para todoz tal queρ1 <|z−z0|< ρ2 se verifica que

f(z) = 1 2πi

Z

γ2

f(w)

w−zdw−

1 2πi

Z

γ1

f(w)

w−zdw

donde γ1 y γ2 se recorren en sentido positivo.

Demostraci´on:

Sea A={z∈C :ρ1<|z−z0|< ρ2}, el anillo circular encerrado por las circunferencias γ1

y γ2. Consideremos los segmentos α1, α2, α3 y α4 que dividen a A en cuatro conjuntos A1,

A₂, A₃ y A₄, de forma que z est´a en uno de ellos; y consideremos las curvas que rodean dichos conjuntos, como en la figura.

Si denotamos esas curvas, respectivamente, por

β1=γ21tα2tγ11− tα1

β2=γ22tα3tγ12− tα−2

β3=γ23tα4−tγ13− tα−3

β4=γ24tα1−tγ14− tα−4

se verifica que

4

X

k=1

Z

βk

f(w)

w−zdw=

Z

γ2

f(w)

w−zdw−

Z

γ1

f(w)

w−zdw.

Ahora bien, como cada uno de los Ak puede

meterse en un abierto convexo contenido en

E∗_(z

0, r), aplicando la f´ormula integral de

Cauchy a cada una de ellas, se tiene que:

-¾

-¾

6

6?

? @I@

@_@R

¡¡µ ¡

¡ ª

@@R ¡¡µ

@ @

I _¡ª¡

z0

z A1

A2

A3 A4

γ21

γ22

γ23

γ24 γ−11 γ−₁₂

γ13−

γ−₁₄ α1

α−

1 α3

α−

3

α2 α−₂

α4 α−₄

Z

γ2

f(w)

w−zdw−

Z

γ1

f(w)

w−zdw=

4

X

k=1

Z

βk

f(w)

w−zdw =

4

X

k=1

2πif(z)Indβk(z)

= 2πi³f(z) + 0 + 0 + 0´= 2πif(z),

pues Ind_βk(z) = 1 si z∈A_k y 0 si z /∈A_k, obteniendose el resultado propuesto.

11.4

Desarrollo de una funci´

on anal´ıtica en serie de potencias

Teorema de Taylor 11.22 – Sean A ⊆ C abierto y f:A −→ C una funci´on anal´ıtica. Para cada entorno E(z0, r) contenido en A existe un desarrollo en serie de potencias

∞

P

n=0an(z−z0) n_,

con radio de convergencia mayor o igual que r, tal que f(z) = P∞

n=0an(z−z0)

n_{, para todo}

z∈E(z0, r). Los coeficientes de este desarrollo vienen dados por

an= _2π1_i

Z

γ

f(z)

(z−z0)n+1dz, para n= 0,1,2, . . . ,

donde γ es cualquier circunferencia de centro z0 y radio ρ < r, recorrida en sentido positivo.

Demostraci´on:

Sea z0 ∈A y E(z0, r)⊆A. Sea z∈E(z0, r) y consideremos γ una circunferencia de centro

11.4 Desarrollo de una funci´on anal´ıtica en serie de potencias

Por la f´ormula integral de Cauchy,

f(z) = 1 2πi

Z

γ

f(w)

w−zdw.

Veamos que para todo w, _w1_−z puede expresarse como una serie de potencias. como w−z06= 0

para todo w∈γ, se tiene

f(w)

w−z=

f(w) (w−z)w−z0

w−z0

= f(w)

w−z0 ·

1

w−z w−z0

= f(w)

w−z0 ·

1

w−z0+z0−z w−z0

= f(w)

w−z0 ·

1 1− z−z0

w−z0

como |z−z0|<|w−z0|, se tiene que

¯ ¯ ¯_wz−₋z0_z0

¯ ¯

¯<1 y, por tanto, que

= f(w)

w−z0

∞

X

n=0

µ

z−z0

w−z0

¶_n

= ∞

X

n=0

f(w)

w−z0

µ

z−z0

w−z0

¶_n

.

Adem´as, f es continua en A luego existe M >0 tal que |f(w)|< M para todo w∈γ, luego

¯ ¯ ¯_wf(w)_−z0

³

z−z0 w−z0

´_n¯ ¯ ¯ ≤ M_ρ

¯ ¯ ¯z−_ρz0

¯ ¯

¯n, para todo w ∈ γ, y, en consecuencia, la serie P∞

n=0 f(w) w−z0

³

z−z0 w−z0

´_n

converge uniformemente en γ. Entonces,

f(z) = 1 2πi

Z

γ

f(w)

w−zdw=

1 2πi

Z

γ

à _∞ X

n=0

f(w)

w−z0

µ

z−z0

w−z0

¶_n!

dw

= 1

2πi

∞

X

n=0

Z

γ

f(w)

w−z₀

µ

z−z0

w−z₀

¶_n

dw= 1

2πi

∞

X

n=0

Z

γ

f(w)

(w−z₀)n+1(z−z0)ndw

= ∞

X

n=0

µ

1 2πi

Z

γ

f(w) (w−z0)n+1

dw

¶

(z−z0)n=

∞

X

n=0

an(z−z0)n

y an = _2π1_i

Z

γ

f(w)

(w−z0)n+1dw, donde la circunferencia γ verifica que |z−z0| < ρ. Pero la

integral no depende del z elegido y su valor es el mismo para cualquier circunferencia, luego

an= _2π1_i

Z

γ

f(w) (w−z0)n+1 dw

para cualquier circunferencia γ contenida en E(z0, r).

Corolario 11.23 – Sean A un subconjunto abierto de C y f:A −→ C una funci´on anal´ıtica. Entonces f tiene derivadas de todos los ´ordenes en cada punto de A.

Demostraci´on:

La funci´on suma de una serie de potencias tiene derivadas de todos los ´ordenes.

Corolario 11.24 – Sean A un subconjunto abierto de C y f:A −→ C una funci´on anal´ıtica. Entonces, para cada z0 ∈A se verifica

f(n)(z0) = ₂n_π!_i

Z

γ

f(z)

(z−z₀)n+1dz, para n= 0,1,2, . . .

Demostraci´on:

Por la proposici´on anterior, existe un c´ırculo abierto E(z₀, r) ⊆ A tal que, para todo z ∈

E(z0, r) se verifica que

f(z) = ∞

X

n=0

an(z−z0)n, siendo an= _2π1_i

Z

γ

f(z)

(z−z0)n+1dz, para n= 0,1,2, . . . ,

y γ es cualquier circunferencia de centro z0 y radio ρ < r. Ahora bi´en, como an= f (n)_(z0)

n! , se

tiene que

f(n)(z0) =n!an= ₂n_π!_i

Z

γ

f(z)

(z−z0)n+1dz, paran= 0,1,2, . . . .

Corolario 11.25 – Sean f y g anal´ıticas en E(z0, r), con f(z0) = g(z0) = 0. Si g0(z0) 6= 0, entonces

lim

z→z0

f(z)

g(z) = limz→z0

f0(z)

g0_(z).

Demostraci´on:

Comof y g son anal´ıticas enE(z0, r) yf(z0) =g(z0) = 0, en ese entorno pueden expresarse

por f(z) = P∞

n=1an(z−z0)

n _{y g(z) =} P∞

n=1bn(z−z0)

n_{. Luego}

lim

z→z0

f(z)

g(z) = limz→z0

(z−z0)

∞

P

n=1

an(z−z0)n−1

(z−z0)

∞

P

n=1bn(z−z0) n−1

= lim

z→z0

∞

P

n=1

an(z−z0)n−1

∞

P

n=1bn(z−z0) n−1

= a1

b1

= lim

z→z0

f0_(z)

g0_(z).

De las f´ormulas integrales para las derivadas sucesivas de una funci´on anal´ıtica resultan inmediatamente las llamadas desigualdades de Cauchy:

Lema 11.26 – Si f es una funci´on anal´ıtica en el entorno E(z0, r) y |f(z)| ≤ M, para todo

z∈E(z0, r), entonces

|f(n)(z0)| ≤

n!M

rn , n= 0,1,2, . . .

Demostraci´on:

Sea γ la circunferencia definida por γ(t) =z0+ρeit, t ∈[0,2π], donde ρ < r. Entonces,

para n= 0,1,2, . . ., se tiene

f(n)(z0) = ₂n_π!_i

Z

γ

f(z)

(z−z0)n+1dz =

n! 2πρn

Z _2π

0

f(z0+ρeit)

eint dt

y, por tanto,

|f(n)(z₀)| ≤ n!

2πρn

Z _2π

0 |f(z0+ρe

it_)|dt≤ n!M

ρn

y como se cumple para todo ρ < r,

11.5 Ejercicios

Teorema de Liouville 11.27 – Si f es una funci´on entera y acotada, entonces f es constante.

Demostraci´on:

Como f es anal´ıtica en C, para cada z0 ∈ C existe un desarrollo en serie

∞

P

n=0an(z−z0) n

con radio de convergencia infinito cuya suma coincide con f(z) para todo z ∈ C y, por las desigualdades de Cauchy, para n= 1,2, . . .,

|a_n|=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

f(n)_(z 0)

n!

¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤

M rn,

para todo r >0, luego an= 0 para n= 1,2, ... y, por tanto, f(z) =a0.

Teorema fundamental del ´Algebra 11.28 – Todo polinomio no constante P(z) = a0+a1z+ · · ·+anzn con coeficientes complejos y an6= 0, tiene al menos una raiz en C.

Demostraci´on:

Si P(z)6= 0 para todo z∈ C, entonces la funci´on f(z) = 1

P(z) es anal´ıtica en C. Adem´as,

como

lim |z|→∞

¯ ¯ ¯ ¯

1

P(z)

¯ ¯ ¯

¯= lim_|z|→∞

1

|P(z)| = lim|z|→∞

1

|a0+a1z+· · ·+anzn|

= lim |z|→∞

1

|z|n¯¯_¯a0

zn + _zna1−1 +· · ·+an_z−1 +an

¯ ¯ ¯

= lim |z|→∞

1

|z|n_|zlim_|→∞

1

¯ ¯

¯_za0n +_zna1−1 +· · ·+ an_z−1 +an

¯ ¯ ¯ = 0

1

|an| = 0

se tiene que lim

z→∞

1

P(z) = 0 y para cada para cada ε > 0 existe un K > 0 tal que |P1(z)| < ε para |z|> K, es decir, la funci´on _P1_(z) est´a acotada fuera del entorno cerrado E(0, K); y por ser continua tambi´en est´a acotada en E(0, K) luego est´a acotada en C. En consecuencia, es una funci´on anal´ıtica y acotada en todo el plano y, por el teorema de Liouville, es una funci´on constante, lo que es absurdo.

11.5

Ejercicios

Calcular las integrales

Z

γf(z)dz, para los siguientes casos: 11.1 f(z) =e|z|2

Re(z) y γ el segmento [[0,1 +i]].

11.2 f(z) = cosz y γ el segmento [[π₂, π+i]].

11.3 f(z) = √1

z y γ la semicircunferencia |z|= 1 con Im(z)≥0. Para √

z, se toma la rama de la funci´on para la cual es √1 = 1.

11.4 f(z) = ez_zcos(πz)2_+2z y γ es la circunferencia |z|= 1 recorrida en sentido positivo.

11.5 f(z) = senz_zsen(z2_−z−1) y γ la circunferencia |z|= 2 recorrida en sentido positivo.

11.6 f(z) = cos_z3z y γ la circunferencia |z|= 1 recorrida en sentido positivo.

11.7 f(z) = sen(π4z)