MONOGRAF´IAS DEL
SEMINARIO MATEM ´
ATICO
“GARC´IA DE GALDEANO”
N´
umero
26, 2003
Car´atula de la versi´on impresa de 2003
Quiero agradecer a Prensas Universitarias de Zaragoza por permitir la distribuci´on de esta versi´on electr´onica de la monograf´ıa de forma gratuita.
M. Alfaro. Dpto. de Matem´aticas. Universidad de Zaragoza.
E. Artal. Dpto. de Matem´aticas. Universidad de Zaragoza.
A. Elipe. Dpto. de F´ısica Te´orica. Universidad de Zaragoza.
A. Franc´es. Dpto. de Ciencias de la Computaci´on. Universidad de Zaragoza.
J. M. Pe˜na. Dpto. de Matem´atica Aplicada. Universidad de Zaragoza.
J. Tejel. Dpto. de M´etodos Estad´ısticos. Universidad de Zaragoza.
Comit´e Cient´ıfico.
J. Bastero. Universidad de Zaragoza.
J. A. Crist´obal. Universidad de Zaragoza.
E. Dom´ınguez. Universidad de Zaragoza.
J. L. Fern´andez. Universidad Aut´onoma de Madrid.
M.a L. Fern´andez. Universidad Pa´ıs Vasco.
S. Ferrer. Universidad Polit´ecnica de Cartagena.
M. Gasca. Universidad de Zaragoza.
J. Gasc´on. Universidad Aut´onoma de Barcelona.
A. Ibort. Universidad Carlos III de Madrid.
M. de Le´on. C.S.I.C.
M.a T. Lozano. Universidad de Zaragoza.
F. Marcell´an. Universidad Carlos III de Madrid.
C. Mart´ınez. Universidad de Oviedo.
J. Otal. Universidad de Zaragoza.
Polinomios hipergeom´
etricos cl´
asicos
y
q
-polinomios
1Pn(s)q =Dn4
ϕ
3q−n, qs1+s2+s3+s4+2µ+n−1, qs1−s, qs1+s+µ
qs1+s2+µ, qs1+s3+µ, qs1+s4+µ
q , q
!
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Renato ´
Alvarez-Nodarse
´
ALVAREZ-NODARSE, Renato
Polinomios hipergeom´etricos cl´asicos y q-polinomios / Renato ´ Alvarez-Nodarse. — Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, : Departamento de Matem´aticas, Universidad de Zaragoza, 2003
[14], VI, 341 p.; 25 cm. — (Monograf´ıas del Seminario Matem´atico
hhGarc´ıa de Galdeanoii; 26)
ISBN 84-7733-637-7
1. Polinomios. I. Prensas Universitarias de Zaragoza. II. T´ıtulo. III. Serie 512.62
D.L.: Z-1460-2003
Imprime: Servicio de Publicaciones Universidad de Zaragoza
Polinomios hipergeom´
etricos cl´
asicos y
q
-polinomios
Renato ´
Alvarez-Nodarse
Departamento de An´alisis Matem´atico
Universidad de Sevilla
Apdo. 1160, E-41080 Sevilla
e
Instituto de Matem´aticas de la Universidad de Sevilla
Ave. Reina Mercedes s/n, E-41080 Sevilla
E-Mail: ran@us.es WWW:http://euler.us.es/~renato/
Palabras clave y frases:polinomios cl´asicos, polinomios hipergeom´etricos,q-polinomios, funciones hipergeom´etricas b´asicas, ecuaciones en diferencias, polinomios en redes no uniformes.
Clasificaci´on de la AMS (MOS) 2000:33C45, 33D45, 42C05.
Resumen:Este libro es una revisi´on de la teor´ıa de los polinomios hipergeom´etricos y, en particular, de losq-polinomios desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales o en diferencias de segundo orden. Se consideran las familias de polinomios cl´asicos (Jacobi, Laguerre, Hermite, Hahn, Meixner, Kravchuk y Charlier) as´ı como algunas familias deq-polinomios en redes no uniformes: polinomios de Askey-Wilson, losq-an´alogos de los polinomios de Racah y duales de Hahn, los polinomiosq-cl´asicos (la
q-tabla de Hahn), describiendo en muchos casos sus principales caracter´ısticas, propiedades espectrales, etc. Tambi´en se incluye un breve cap´ıtulo con algunas aplicaciones en otras ´areas.
Abstract:This book is a review of the theory of the hypergeometric polynomials and, in particular, of
A mi familia
y a A. F. Nikiforov y V. B. Uvarov,
El se˜nor Fourier opina que la finalidad de las matem´aticas consiste en su utilidad p´ublica y en la explicaci´on de los fen´omenos naturales; pero un fil´osofo como ´el deber´ıa haber sabido que la finalidad ´unica de la ciencia es rendir honor al esp´ıritu humano y que, por ello, una cuesti´on de n´umeros vale tanto como una cuesti´on sobre el sistema del mundo.
C. G. J. Jacobi
Agradecimientos
Quisiera agradecer a los Drs. M. Alfaro (Universidad de Zaragoza), N. M. Atakishiyev (Universidad Aut´onoma de M´exico), J. S. Dehesa (Universidad de Granada), F. Marcell´an (Universidad Carlos III de Madrid), J. C. Medem (Universidad de Sevilla), A. F. Nikiforov (Instituto M.V. Keldysh de Matem´atica Aplicada de la Academia de Ciencias de Rusia), A. Ronveaux (Facult´es Universitaires N-D de la Paix, Namur) y Yu. F. Smirnov (Universidad Aut´onoma de M´exico) por sus comentarios sobre este trabajo, as´ı como a I. Area, J. Arves´u, R. Costas-Santos, S. Lewanowicz, J. L. Varona y R. Y´a˜nez por ayudarme a corregir muchas de las erratas2 del mismo. Tambi´en quiero hacer constar mi agradecimiento a todos aquellos que escucharon pacientemente mis charlas, en especial a J. C. Petronilho y N. R. Quintero, as´ı como a mis compa˜neros de Sevilla Guillermo Curbera, Antonio Dur´an y Juan Carlos Medem por su constante apoyo en estos ´ultimos a˜nos. Y como no, a Manolo Alfaro y especialmente a Marisa Rezola por su paciencia a la hora de enviar el manuscrito a la imprenta. Finalmente, pero no por ello menos importante, quiero agradecer a mi familia y especialmente a Niurka por el tiempo que les he quitado durante la realizaci´on de este libro.
Parte de la investigaci´on plasmada en este libro ha sido financiada por los proyectos INTAS no 93-219-ext y 2000-272, DGES no PB 96-0120-C03-01, PAI no FQM-0207, DGES no BFM
2000-0206-C04-02, PAI no FQM-0262.
2El PDF de la versi´on electr´onica de este libro est´a disponible en la web del autor:
´Indice general
Prefacio V
Introducci´on 1
1. Introducci´on hist´orica 3
1.1. Las familias cl´asicas . . . 3
1.2. Teor´ıa general. Stieltjes y Chebyshev . . . 12
1.3. Las funciones generatrices . . . 15
1.4. Otras familias de polinomios ortogonales . . . 17
1.5. Los teoremas de caracterizaci´on . . . 19
1.6. Aplicaciones . . . 24
1.7. Sobre la bibliograf´ıa . . . 28
2. Propiedades generales de los polinomios ortogonales 33 2.1. Propiedad de ortogonalidad. La funci´on peso . . . 33
2.2. Funcionales lineales . . . 34
2.3. Existencia de una SPO . . . 37
2.4. La relaci´on de recurrencia a tres t´erminos . . . 40
2.5. La f´ormula de Christoffel-Darboux . . . 42
2.6. Propiedades de los ceros . . . 44
2.7. Propiedades medias de los ceros de los polinomios ortogonales a partir de la RRTT 47 2.8. Paridad de las SPO . . . 50
2.9. Series de Fourier de polinomios ortogonales . . . 51
2.10. Ap´endice: La funci´on Gamma de Euler . . . 54
3. Los polinomios ortogonales cl´asicos 57 3.1. La ecuaci´on diferencial hipergeom´etrica . . . 57
3.1.1. La ecuaci´on en forma autoadjunta y sus consecuencias . . . 59
3.2. La relaci´on de recurrencia a tres t´erminos . . . 62
3.3. Consecuencias de la f´ormula de Rodrigues . . . 63
3.3.1. Las f´ormulas de estructura . . . 64
3.4. Representaci´on integral . . . 66
3.4.1. Las funciones generatrices . . . 66
3.5. Los momentos de los polinomios cl´asicos . . . 67
3.6. Los teoremas de caracterizaci´on . . . 68
3.7. Los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi . . . 72
3.7.1. Par´ametros principales . . . 72
3.7.2. Representaci´on hipergeom´etrica . . . 73
3.7.3. Funciones generatrices . . . 74
3.7.4. Otras caracter´ısticas . . . 78
3.7.5. Los momentos de los polinomios cl´asicos . . . 79
3.7.6. Los polinomios n´ucleos . . . 80
3.8. Los polinomios de Bessel . . . 82
3.8.1. F´ormula de Rodrigues y f´ormula expl´ıcita . . . 82
3.8.2. Ortogonalidad . . . 84
3.8.3. Relaciones de recurrencia y estructura . . . 86
3.8.4. Los polinomios n´ucleos y la funci´on generatriz . . . 87
3.8.5. Propiedades de los ceros . . . 87
3.9. Propiedades globales de los ceros . . . 88
3.9.1. Estudio a partir de la ecuaci´on diferencial de grado 2 . . . 88
3.9.2. Densidad asint´otica a partir de la relaci´on de recurrencia . . . 96
3.9.3. Aplicaci´on a los polinomios cl´asicos . . . 99
4. Los polinomios de variable discreta 103 4.1. La ecuaci´on en diferencias de tipo hipergeom´etrico . . . 103
4.1.1. La ecuaci´on autoadjunta y sus consecuencias . . . 106
4.2. La relaci´on de recurrencia a tres t´erminos . . . 109
4.3. Consecuencias de la f´ormula de Rodrigues . . . 111
4.3.1. Las f´ormulas de estructura . . . 111
4.4. Representaci´on integral y f´ormula expl´ıcita . . . 113
4.5. Los polinomios discretos de Charlier, Meixner, Kravchuk y Hahn . . . 118
4.5.1. Par´ametros principales . . . 118
4.5.2. Representaci´on hipergeom´etrica . . . 120
4.5.3. Otras caracter´ısticas . . . 121
4.5.4. Los polinomios n´ucleos . . . 122
4.6. Relaciones l´ımites entre los polinomios cl´asicos . . . 124
4.7. Propiedades de los ceros . . . 125
5. Los polinomios hipergeom´etricos en redes no uniformes: los q–polinomios 133 5.1. La ecuaci´on en diferencias de tipo hipergeom´etrico en una red no uniforme . . . 133
´
Indice iii
5.3. F´ormula tipo Rodrigues . . . 142
5.4. La propiedad de ortogonalidad . . . 146
5.5. Relaci´on de recurrencia a tres t´erminos . . . 150
5.6. Consecuencias de la f´ormula de Rodrigues . . . 153
5.6.1. Las f´ormulas de diferenciaci´on . . . 153
5.7. Representaci´on integral . . . 155
5.8. La representaci´on como q-series hipergeom´etricas . . . 157
5.8.1. Una representaci´on hipergeom´etrica equivalente . . . 161
5.9. Los momentos generalizados . . . 163
5.9.1. Los momentos generalizados “cl´asicos” . . . 169
5.10. Los teoremas de caracterizaci´on para los q-polinomios . . . 170
5.11. Clasificaci´on de las familias de q-polinomios . . . 174
5.12. Ejemplos . . . 176
5.12.1. Losq-polinomios “cl´asicos” de RacahRβ,γ n (x(s), N, δ)q . . . 177
5.12.2. Losq-polinomios de Racahuα,β n (x(s), a, b)q . . . 180
5.12.3. Losq-polinomios duales de HahnWn(c)(x(s), a, b)q . . . 183
5.12.4. Losq-polinomios de Askey-Wilson pn(x(s), a, b, c, d) . . . 188
6. Los q-polinomios en la red x(s) =c1qs+c3 193 6.1. Propiedades de los polinomios q-cl´asicos . . . 193
6.1.1. Las relaciones de estructura para los polinomiosq-cl´asicos . . . 196
6.2. Clasificaci´on de los polinomios q−cl´asicos. . . 199
6.2.1. Clasificaci´on de las familiasq−cl´asicas . . . 199
6.2.2. C´alculo de las principales caracter´ısticas . . . 201
6.3. La q-Tabla de Hahn . . . 206
6.3.1. ∅−Jacobi/Jacobi:q−polinomios grandes de Jacobi y Hahn . . . 206
6.3.2. ∅−Jacobi/Laguerre:q−polinomios de Meixner y polinomios de Kravchuk “cu´anticos” . . . 208
6.3.3. ∅−Jacobi/Hermite: q−polinomios de Al-Salam y Carlitz II y de Hermite discretos II . . . 210
6.3.4. ∅−Laguerre/Jacobi: q−polinomios grandes de Laguerre y de Kravchuk “af´ınes” . . . 214
6.3.5. ∅−Hermite/Jacobi: q−polinomios de Al-Salam y Carlitz I y de Hermite discretos I . . . 214
6.3.6. 0−Bessel/Jacobi: q−polinomios de Charlier alternativos . . . 215
6.3.7. 0−Bessel/Laguerre: q−polinomios de Stieltjes-Wigert . . . 215
6.3.8. 0−Jacobi/Jacobi: q−polinomios peque˜nos de Jacobi y de Kravchuk . . . 216
6.3.9. 0−Jacobi/Laguerre: q−polinomios de Laguerre y Charlier . . . 218
6.3.11. 0−Laguerre/Jacobi: q−polinomios peque˜nos de Laguerre o de Wall . . . 220
6.3.12. 0−Laguerre/Bessel: Los q−polinomios ln(x;a) . . . 221
6.3.13. Losq−polinomios de Charlier en la red x(s) = qqs−−11 . . . 223
6.4. La q-tabla de Nikiforov y Uvarov . . . 223
7. Distribuci´on de ceros de los q-polinomios 225 7.1. Los momentos de los ceros de los q-polinomios . . . 225
7.2. Aplicaciones a algunas familias de q-polinomios . . . 243
7.2.1. Losq−polinomios de Askey y Wilson pn(x, a, b, c, d) . . . 243
7.2.2. Losq−polinomios grandes de Jacobi Pn(x, a, b, c) . . . 244
7.2.3. Losq−polinomios de Al-Salam y Carlitz Ua n(x) y Vna(x) . . . 245
7.2.4. Losq−polinomios peque˜nos de Jacobipn(x, a, b) . . . 246
8. Algunas aplicaciones 249 8.1. Aplicaci´on a la Mec´anica Cu´antica . . . 249
8.1.1. Introducci´on . . . 249
8.1.2. La ecuaci´on hipergeom´etrica generalizada . . . 250
8.1.3. Ejemplos . . . 252
8.2. Los problemas de conexi´on y linealizaci´on . . . 254
8.2.1. Introducci´on . . . 254
8.2.2. El algoritmo NaViMa . . . 258
8.2.3. Elq-an´alogo de NaViMa en la red exponencial . . . 260
8.2.4. Ejemplos . . . 265
8.2.5. Un algoritmo anal´ıtico alternativo . . . 270
8.2.6. El caso cl´asico “discreto” . . . 274
8.2.7. El caso cl´asico “continuo” . . . 275
8.2.8. Ejemplos . . . 277
8.2.9. El m´etodoq-hipergeom´etrico para el problema de conexi´on . . . 291
8.3. Los polinomios cl´asicos y la teor´ıa de representaci´on de grupos . . . 296
8.3.1. Breve introducci´on a la teor´ıa de grupos . . . 296
8.3.2. El grupo de rotaciones del espacio SO(3). . . 299
8.3.3. El ´algebra Uq(sl2) . . . 311
8.3.4. El ´algebra SUq(2) y los q-coeficientes de Clebsch-Gordan . . . 314
8.3.5. El ´algebra SUq(1,1) y los q-coeficientes de Clebsch-Gordan . . . 323
Referencias 327
Prefacio v
Prefacio
Este libro es el fruto de varios a˜nos de trabajo e investigaciones en el tema de polinomios ortogonales y q-polinomios. Los comienzos se remontan al a˜no 1990 cuando el Prof. Yuri F. Smirnov me acept´o como estudiante para realizar mi tesis de Master en F´ısica Matem´atica en la Universidad Estatal “M. V. Lomonosov” de Mosc´u (MΓU). Desde aquellos tiempos hasta hoy ha “llovido mucho” como se suele decir; si bien la teor´ıa de polinomios cl´asicos no ha cambiado mucho desde entonces, el que escribe s´ı. Desde aquel “lejano” 1990, cuando por primera vez tuve que lidiar con las funciones especiales, y en particular los polinomios ortogonales, conoc´ı un m´etodo, que tras una d´ecada de estudio sigue siendo para mi gusto el m´as sencillo. Se trataba del m´etodo que desarrollaron dos grandes f´ısicos y matem´aticos sovi´eticos (hoy rusos tendr´ıamos que decir): Arnold F. Nikiforov y Vasily B. Uvarov. La sencillez de su manera de abordar la teor´ıa de los polinomios ortogonales, y en particular los polinomios discretos sigue asombr´andome hoy d´ıa.
Luego tuve que trabajar con una clase especial de estos objetos: losq-polinomios. Fu´e justo entonces donde la simplicidad del m´etodo “ruso” se puso en evidencia. Hay muchas formas de tratar este tema, pero ninguna es de tanta belleza y simplicidad como la aproximaci´on NU (Nikiforov-Uvarov). Ello queda patente cuando se comparan los trabajos pioneros de Askey y Wilson y sus colaboradores con los de Nikiforov, Uvarov y sus seguidores m´as cercanos Natig M. Atakishiyev y Serguei K. Suslov. Lo que los primeros tardaban varias p´aginas en probar haciendo uso de la extraordinaria maquinaria de las series hipergeom´etricas b´asicas, los segun-dos lo consegu´ıan en apenas unos renglones usando las t´ecnicas m´as b´asicas del an´alisis real y complejo y yendo, en muchos casos, m´as lejos que sus colegas americanos.
El tiempo pas´o y otros problemas atrajeron mi atenci´on, pero ahora casi todos rondan-do el tema de los q-polinomios: problemas de conexi´on y linealizaci´on, caracterizaci´on de las familias, tema que siempre estuvo “d´andome vueltas” en la cabeza a lo largo de varios a˜nos hasta que descubr´ı la tesis doctoral de Juan Carlos Medem, hoy en el Departamento de An´ali-sis Matem´atico de la Universidad de Sevilla al cual pertenezco desde octubre de 1998. Con la ayuda inestimable de Juan Carlos logr´e adentrarme en una t´ecnica alternativa, razonablemente sencilla y muchas de las cuestiones se aclararon y resolvieron, entre ellas la clasificaci´on de las familias ortogonales, no llevada a cabo por Nikiforov y Uvarov, y el problema de caracteriza-ci´on. No obstante siempre la idea de retomar el “viejo” algoritmo NU rondaba mi mente. Este a˜no, otro colega, Manuel Alfaro, de Zaragoza, me comunic´o que se pod´ıa publicar finalmente el manuscrito como una monograf´ıa del Seminario Garc´ıa de Galdeano. As´ı que comenc´e a incluir todos aquellos resultados que consideraba interesantes de tratar bajo el enfoque NU, y as´ı surgi´o una segunda versi´on que ya contaba con m´as de 250 p´aginas. Tras varias relecturas, discusiones y correcciones naci´o este ejemplar que ahora se publica.
Esta es m´as o menos la historia de este libro. En ´el hay de todo un poco. Desde una historia, bastante incompleta por supuesto, de los polinomios ortogonales, hasta el estudio detallado de unas pocas decenas de familias de polinomios ortogonales. Aquel que lo lea ver´a que no es una mera repetici´on de la obra magna de Nikiforov y Uvarov, escrita en colaboraci´on con Suslov, el famosoClassical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable publidado por Springer-Verlag en 1991, versi´on ampliada y mejorada de su primera edici´on en ruso de 1985, sino que hay una variedad de temas que estos autores no trataron, as´ı como faltan otros muchos que s´ı estudiaron en detalle. Es este libro, por tanto, una visi´on muy personal de la teor´ıa de polinomios ortogona-les tal y como me hubiese gustado estudiarla en un principio: las propiedades generaortogona-les usando la t´ecnica funcional magistralmente descrita por Chihara en su libroAn Introduction to Ortho-gonal Polynomials, y los polinomios cl´asicos siguiendo las ideas originales de Nikiforov y Uvarov.
Para terminar debo aclarar que tanto este libro como yo mismo, somos deudores de otros tantos libros, art´ıculos y autores, muchos de los cuales est´an plasmados en la bibliograf´ıa al final del mismo. Tambi´en muchos colegas han manifestado su inter´es preguntando por la suerte de aquel primer manuscrito, si se hab´ıa publicado, si pod´ıan hacerse con una copia. A todos ellos, y en especial a Nikiforov y Uvarov a los que les he dedicado este libro, mis m´as sincera gratitud.
Sevilla, 11 de mayo de 2003
Prefacio vii
Nota adicional: Han pasado m´as de 10 a˜nos desde la publicaci´on en 2003 de esta monograf´ıa durante los cuales se han detectado un sinn´umero de erratas y typos que conven´ıa corregir. Gracias a las gestiones de Manuel Alfaro, Prensas Universitarias de Zaragoza ha permitido la distribuci´on on-line de la versi´on electr´onica de la monograf´ıa de forma gratuita. En ese momento me plante´e la posibilidad de actualizar la monograf´ıa con algunos resultados generales as´ı como algunas aplicaciones interesantes aparecidas en los ´ultimos diez a˜nos. Finalmente he optado por mantener el libro tal y como lo escrib´ı en 2003. El lector debe consultar la ampliaci´on de la bibliograf´ıa al final del Cap´ıtulo 1, secci´on §1.7 donde he incluido algunas monograf´ıas recientes de obligada lectura. Aparte de ello, en el lapso de estos diez a˜nos he publicado varios art´ıculos estrechamente relacionados con el tema del libro y que complementan muchos de los resultados presentados en el mimso. Por completitud a continuaci´on enumero los m´as relevantes de los cuales el 1–4, 6 y 7 est´an relacionados con las aplicaciones discutidas en el Cap´ıtulo 8, y el resto 5 y del 8–10 con la teor´ıa general de los polinomios hipergeom´etricos.
1. J. L. Cardoso and R. Alvarez-Nodarse, Recurrence relations for radial wave functions for the N-th dimensional oscillators and hydrogenlike atoms. J. Phys. A: Math. Gen.36
(2003), 2055-2068.
2. R. Alvarez-Nodarse N. M. Atakishiyev, and R.S. Costas-Santos, Factorization of the hypergeometric-type difference equation on the non-uniform lattices: dynamical algebra. J. Phys. A: Math. Gen.38 (2005), 153-174.
3. R. Alvarez-Nodarse, Yu. F. Smirnov, and R. Costas-Santos, A q-analog of the Racah polynomials and the q-algebraSUq(2). Journal of Russian Laser Research 27(1), 1-32.
4. R. Alvarez-Nodarse, J. L. Cardoso, N.R. Quintero, On recurrence relations for radial wave functions for the N-th dimensional oscillators and hydrogenlike atoms: analytical and numerical study. ETNA 24, (2006), 7-23.
5. R. Alvarez-Nodarse, On characterizations of classical polynomials. J. Comput. Appl. Math.196, (2006), 320-337.
6. R. Alvarez-Nodarse, N. M. Atakishiyev, and R.S. Costas-Santos, Factorization of the hypergeometric-type difference equation on the uniform lattice.ETNA27, (2007), 34-50.
7. R. Alvarez-Nodarse, Yu. F. Smirnov, Dual properties of orthogonal polynomials of discrete variable associated with quantum algebraUq(su(2)). Journal of Russian Laser Research
28(21), (2007), 20-47.
9. R. Alvarez Nodarse, R. Sevinik Adıg¨uzel, and H. Taseli, On the Orthogonality of q-Classical Polynomials of the Hahn Class SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 8 (2012), Paper 042, 30 pp. Una versi´on ampliada de este art´ıculo se puede consultar en arXiv:1107.2423v4 [math.CA].
10. R. Alvarez-Nodarse, J.L. Cardoso, On the Properties of Special Functions on the linear-type lattices. J. Math. Anal. and Appl. 405, (2013), 271-285.
Sevilla, 10 de noviembre de 2014
Introducci´
on
La ciencia est´a formada por hechos, como la casa est´a construida de piedra, pero una colecci´on de hechos no es una ciencia, as´ı como un mont´on de piedras no es una casa.
H. Poincar´e
En“La Science et l’hypoth`ese”
Es conocida la importancia de las funciones especiales de laF´ısica-Matem´aticay en particu-lar de los polinomios ortogonales en las m´as diversas ´areas de la ciencia actual. Precisamente el estudio sistem´atico de dichas funciones comienza a finales del siglo XVIII cuando se intentaban resolver problemas de mec´anica celeste. Dichas funciones son soluci´on de la conocida ecuaci´on diferencial de tipo hipergeom´etrico:
˜
σ(x)y′′+ ˜τ(x)y′+λy = 0,
(1)
donde ˜σ(x) y ˜τ(x) son polinomios de grados a lo m´as 2 y 1, respectivamente. Una aproxi-maci´on de la ecuaci´on anterior consiste en sustituir las derivadas por sus correspondientes aproximaciones en una red uniforme (ver cap´ıtulo 4). Ello conduce a la ecuaci´on discreta de tipo hipergeom´etrico
˜
σ(x)1
h
y(x+h)−2y(x) +y(x−h)
h
+τ˜(x)
2
y(x+h)−y(x−h)
h
+λy(x) = 0,
(2)
que aproxima la ecuaci´on original (1) en una red uniformecon paso ∆x=h hasta un orden de
O(h2) [189]. Generalmente se estudia el caso h= 1, que nos conduce a la ecuaci´on equivalente escrita en t´erminos de los operadores en diferencias finitas progresivas ∆ y regresivas ∇ con paso ∆x=h= 1,
σ(x)∆∇y(x) +τ(x)∆y(x) +λy(x) = 0,
∆f(x)≡f(x+ 1)−f(x), ∇f(x)≡f(x)−f(x−1),
(3)
donde σ(x) = ˜σ(x)− 1
2τ˜(x), τ(x) = ˜τ(x). La ecuaci´on (3) se denomina ecuaci´on en
diferen-cias de tipo hipergeom´etrico y sus soluciones son los conocidos polinomios de variable discreta [189, 193]. N´otese que en (3) los coeficientesσ(x) yτ(x) son polinomios de grados a lo m´as 2 y 1.
Otra posibilidad consiste en discretizar (1) en una red no uniforme lo cual nos conduce a los q-polinomios (ver cap´ıtulo 5) que son las soluciones polin´omicas de la ecuaci´on de tipo hipergem´etrico en la redno uniforme x(s) = c1(q)[qs+q−s−µ] +c
3(q):
˜
σ(x(s)) ∆ ∆x(s− 1
2)
∇y(s) ∇x(s) +
˜
τ(x) 2
∆y(s) ∆x(s) +
∇y(s) ∇x(s)
+λy(s) = 0,
∆f(s) = f(s)−f(s−1), ∇f(s) =f(s+ 1)−f(s).
(4)
A las familias de polinomios ortogonales soluciones de cualquiera de las ecuaciones (1), (3) y (4) les denominaremospolinomios ortogonales hipergeom´etricos.
El principal objetivo de este trabajo es exponer desde un ´unico punto de vista la teor´ıa de los polinomios ortogonales hipergeom´etricos. El algoritmo utilizado fue propuesto por Nikiforov y Uvarov para los polinomios discretos [193], y generalizado m´as tarde a losq-polinomios [191] (ver adem´as [189]). Para la completitud del trabajo hemos incluido las principales demostra-ciones modificando muchas de ellas.
El trabajo est´a dividido en tres partes. La primera parte comprende cuatro cap´ıtulos. En el cap´ıtulo 1 se da una breve introducci´on hist´orica, en el cap´ıtulo 2 se enumeran algunas de las propiedades comunes a todas las familias de polinomios ortogonales, en los cap´ıtulos
3 y 4 se consideran los polinomios hipergeom´etricos continuos (Jacobi, Laguerre, Hermite y Bessel) y discretos (Hahn, Meixner, Kravchuk y Charlier), respectivamente. La analog´ıa de las demostraciones para estos dos casos permiten construir la teor´ıa de los polinomios en redes no uniformes como una generalizaci´on natural de ambos. La segunda parte contiene tres cap´ıtulos: en el cap´ıtulo 5 se desarrolla la teor´ıa general de los q-polinomios hipergeom´etricos en la red
x(s) =c1(q)[qs+q−s−µ] +c3(q) y se consideran algunos de los ejemplos m´as representativos. En
Cap´ıtulo 1
Introducci´
on hist´
orica
Y quiz´as, la posterioridad me agradecer´a por ha-berle mostrado que nuestros predecesores no lo sab´ıan todo.
P. Fermat
En“Elementary Number Theory” de D. M. Burton
En este apartado intentaremos dar una breve introducci´on hist´orica de los polinomios orto-gonales.
1.1.
Las familias cl´
asicas
Los polinomios ortogonales corresponden a una peque˜na parte de una gran familia de fun-ciones especiales. Su historia se remonta al siglo XVIII y est´a estrechamente relacionada con la resoluci´on de problemas de inmediata aplicaci´on pr´actica. Uno de estos problemas estaba relacionado con la, por entonces joven, teor´ıa de la gravedad de Newton. Entre los numerosos problemas relacionados con la teor´ıa de la gravitaci´on universal estaba el de encontrar las com-ponentes de las fuerzas de atracci´on gravitacional entre cuerpos no esf´ericos. Usando la ley de gravitaci´on de Newton ´estas vienen dadas por
fxi =−G
ZZ Z
ρ(ξ1, ξ2, ξ3)
xi−ξi
r3 dξ1dξ2dξ3, i= 1,2,3 (1.1)
donde,x1, x2 y x3 son las coordenadas cartesianas en R3 y
r =p(x1−ξ1)2+ (x2−ξ2)2+ (x3−ξ3)2.
Un inconveniente de la f´ormula anterior es que precisamos trabajar con tres funciones. Una forma de eliminar el problema era introducir la funci´on potencial. De hecho, era bien conocido en el siglo XVIII que la fuerza de atracci´on entre dos cuerpos pod´ıa ser determinada a partir de lafunci´on potencialV(x, y, z). Adem´as, la misma era f´acil de calcular conociendo la distribuci´on
de masa —digamos su densidad ρ— en el interior del cuerpo mediante la f´ormula
V(x1, x2, x3) =G
ZZ Z ρ(ξ
1, ξ2, ξ3)
r dξ1dξ2dξ3 =⇒ fxi =
∂V ∂xi
(1.2)
y, por tanto, calculando la integral es posible encontrar la funci´on V. Esto, sin embargo, es complicado ya que es necesario conocer a priori la distribuci´on de masa de los cuerpos, la cual es, en general, desconocida y adem´as hay que unirle el hecho de que el c´alculo directo de la integral (1.2) suele ser muy engorroso —se trata de una integral triple que hay que integrar en un volumen acotado pero con forma arbitraria—. Otra posibilidad era resolver la ecuaci´on del potencialpara puntos exteriores al cuerpo: la ecuaci´on de Laplace
∂2V
∂x2 +
∂2V
∂y2 +
∂2V
∂z2 = 0.
Esta noci´on del potencial y su relaci´on con las fuerzas fue tratado por distintos matem´aticos de la talla de Daniel Bernoulli, Euler y Lagrange.
Adrien M. Legendre
Vamos a describir una forma de calcular directamente las integrales (1.1) en un caso especial: la atracci´on que un cuerpo de revoluci´on ejerce sobre otros cuerpos. Este problema interes´o a Adrien—Marie Legendre (1752–1833). ´Este, en un art´ıculo de 1782 titulado Sur l’attraction des sph´eroides(aunque publicado en 1785), prob´o un teorema muy interesante que establece que, si se conoce el valor de la fuerza de atracci´on de un cuerpo de revoluci´on en un punto exterior situado en su eje, entonces se conoce en todo punto exterior. As´ı redujo el problema al estudio de la componente radial P(r, θ,0), cuya expresi´on es
P(r, θ,0) =
Z ZZ
(r−r′) cosγ
(r2 −2rr′cosγ+r′2)32r
′2senθ′dθ′dφ′dr′,
donde cosγ = cosθ cosθ′+ senθsenθ′ cosφ′.
¿C´omo resolvi´o Legendre el problema? Legendre desarroll´o la funci´on integrando
(r2−2rr′cosγ+r′2)−32 =r−3
1−
2r′
r2cosγ−
r′2
r2
−3
2
y usando la f´ormula de binomio de Newton obtuvo
(r−r′) cosγ
(r2−2rr′cosγ+r′2)32 = 1
r2
1+3P2(cosγ)
r′2
r2 +5P4(cosγ)
r′4
r4+· · ·
.
As´ı,
P(r, θ,0) = 4π
r2
∞
X
n=0
2n−3
2n−1P2n(cosθ) 1
r2n
Z π
2
0
Introducci´on hist´orica 5
dondeR(θ′) es el valor der′ en unθ′ y se conoce como la funci´on de las curvas meridianas.
Las funciones P2, P4, . . . son funciones racionales enteras —polinomios— de cosγ, que hoy se conocen como polinomios de Legendre y se expresan mediante la f´ormula
Pn(x) = (2n−1)!!
n!
xn− n(n−1) 2(2n−1)x
n−2+ n(n−1)(n−2)(n−3) 2·4·(2n−1)(2n−3)x
n−4+· · ·
.
Dos a˜nos m´as tarde en su segundo art´ıculo escrito en 1784 (publicado en 1787) Legendre dedujo algunas de las propiedades de las funcionesP2n(x). Una es de particular importancia
Z 1
0
π(x2)P2m(x)dx= 0 gradoπ < m,
es decir, ¡losP2n eran ortogonales! Tambi´en obtuvo la expresi´on
Z 1
0
xnP
2m(x)dx=
n(n−2)· · ·(n−2m+ 2)
(n+ 1)(n+ 3)· · ·(2n+ 2m+ 1), ∀n <2m
de donde se deduce la propiedad de ortogonalidad en su forma habitual
Z 1
0
P2n(x)P2m(x)dx=
1
4m+ 1δn,m,
siendo δm,n el s´ımbolo de Kronecker definido por
δm,n =
(
1, n=m
0, n6=m .
(1.3)
Usando ´esta, Legendre muestra que “toda” funci´on f(x2) se expresa como
f(x2) =
∞
X
n=0
cnP2n(x),
estando determinados un´ıvocamente los coeficientes cn. Hab´ıa nacido la primera familia de polinomios ortogonales de la historia. En ese mismo trabajo, Legendre prob´o que los ceros de
Pn eran reales, distintos entre s´ı, sim´etricos respecto al origen y menores, en valor absoluto que 1. En su cuarto art´ıculo sobre el tema (escrito en 1790, aunque publicado tres a˜nos m´as tarde) introdujo los polinomios de grado impar y prueba la ortogonalidad general
Z 1
0
Pn(x)Pm(x)dx= 2
2n+ 1δn,m,
as´ı como la ecuaci´on diferencial lineal que satisfacen dichos polinomios Pn(x)
(1−x2)Pn′′(x)−2xPn′(x) +n(n+ 1)Pn(x) = 0.
Legendre tambi´en introduce los polinomios asociados de Legendre Pm
n (x) que se expresan a
las m-´esimas derivadas de Pn, y que son soluciones de la ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas tras aplicar el m´etodo de separaci´on de variables.
Los polinomios de Legendre fueron considerados tambi´en por Pierre—Simon Laplace (1749– 1827) quien en 1782 introdujo las funciones esf´ericas —que est´an directamente relacionadas con los polinomios de Legendre— y demostr´o varios resultados relativos a ellas. Tambi´en es destacable otro resultado publicado en 1826 —M´emoire sur l’attraction des spheroides(Corresp. sur l’Ecole Royale Polytech. III, 361–385)— por el franc´es Olinde Rodrigues (1794–1851). Se trata de una f´ormula para expresar los polinomios de Legendre,
Pn(x) = 1 2nn!
dn(x2−1)n dxn ,
conocida hoy d´ıa como f´ormula de Rodrigues.
Charles Hermite
La siguiente familia, en orden de aparici´on, fue la de los polinomios de Hermite Hn llamados as´ı en honor a Charles Hermite (1822–1901) quien los estudi´o junto con el caso de varias variables en su ensayoSur un nou-veau d´eveloppement en s´erie des fonctions (C. R. Acad. Sci. Paris, I) en 1864 (ver Œuvres, Gauthier-Villars, 1908, Tome II, 293–308), aunque el primero en considerarlos, en un contexto de teor´ıa de las probabilidades, fue Laplace en 1810 en suM´ecanique c´eleste. En este caso la ortogonalidad se expresa respecto a la funci´one−x2 soportada en la recta real. Luego el ruso Pafnuti Lvovich Chebyshev (1821–1894) realiz´o un estudio detallado de los mismos en 1859 —v´ease su art´ıculo Sur le d´eveloppement des fon-ctions `a une seule variable (Oeuvres, Tom I, 501-508, Chelsea Pub. Co.)—.
En su trabajo Hermite estaba interesado en el desarrollo es series de funciones en R
F(x) =A0H0+A1H1+· · ·AnHn+· · ·, Hn∈Pn,
con el objetivo de generalizarlos al caso de varias variables. Curiosamente construye los polino-mios Hn a partir de la expresi´on
dne−x2
dxn =e
−x2
Hn,
es decir utiliza una f´ormula an´aloga a la de Rodrigues, obteniendo
(−1)nHn= (2x)n−
n(n−1)
2 x
n−2+
· · ·+ n!
(n−2k)!k!(2x)
n−2k+
· · ·,
en particular, deduce las propiedades
Introducci´on hist´orica 7
y la ecuaci´on diferencial lineal que satisfacen dichos polinomios
Hn′′(x)−2xHn′(x) + 2nHn(x) = 0.
Finalmente, prueba la ortogonalidad
Z ∞
−∞
Hn(x)Hm(x)e−x2dx = 2nn!√πδn,m.
Nicol´as Laguerre La pr´oxima familia, conocida como polinomios de Laguerre Lα
n, deben
su nombre a Edmond Nicol´as Laguerre (1834–1886). Estos polinomios ya eran parcialmente conocidos por Niels Henrik Abel (1802–1829) y Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), aunque es nuevamente Chebyshev el primero en realizar un estudio detallado de los mismos en 1859 en el trabajo antes citado y que continu´o el matem´atico ruso Konstantin Aleksandrovich Pos-se (1847–1928) en 1873. El caso general para α > −1 fue estudiado por Yulian Vasilevich Sojotkin (1842–1827) en 1873, y no es hasta 1879 que La-guerre los introduce —caso particular α = 0— cuando estudiaba la integral
R∞
x e−
xx−1dx, mediante su desarrollo en fracciones continuas.
En particular, Laguerre, en su memoriaSur l’int´egraleRx∞e−x/x dx(Bull. Soc. Math.
Fran-ce, VII, 1879) (ver Œvres, Gauthier-Villars, 1898, 428–437), prueba, entre otras cosas, la relaci´on entre la integral Rx∞e−x/xdx, y la fracci´on continua
Z ∞
x e−x
x dx=
e−x
x+ 1− 1
x+ 3− · · ·
=e−xφm(x) Lm(x) ,
donde los denominadores Lm(x) son las soluciones polin´omicas de la ecuaci´on diferencial de
Laguerre xy′′ + (x+ 1)y′ −my = 0, m = 0,1,2, . . ., que no son m´as que los hoy conocidos
polinomios cl´asicos de Laguerre. Para ello, Laguerre parte de la identidad
Z ∞
x e−t
t dt=
1
x −
1
x2 +· · ·+ (−1)
n+1(n−1)!
xn + (−1) n
Z ∞
x e−t tn+1dt
y deduce, tras diversas consideraciones, que
Z ∞
x e−t
t dt=e
−xφm(x)
Lm(x) + (−1)
n
Z ∞
x e−t tn+1dt,
donde los Ln satisfacen la ecuaci´on diferencial lineal
xL′′n+ (1−x)L′n+nLn= 0,
de la cual, usando el m´etodo de las series de potencias, deduce que
Ln(x) =xn+n2xn−1+n
2(n−1)2
2! x
n−2+
· · ·+n
2(n−1)2· · ·(n−k+ 1)2
k! x
n−k+
A continuaci´on obtiene muchas propiedades de los Ln: que satisfacen la relaci´on de recurrencia
Ln+1(x) = (x+ 2n+ 1)Ln(x)−n2Ln−1(x),
la ortogonalidad Z
∞
0
Ln(x)Lm(x)e−xdx= Γ(n+ 1)
n! δn,m, que los ceros de los Ln eran reales, no negativos y simples.
A˜nos m´as tarde, en 1880, otro estudiante de Chebyshev, Nikolai Yakovlevich Sonin (1849– 1915) contin´ua el estudio comenzado por Sojotkin sobre los polinomios con α >−1, probando, entre otras cosas una relaci´on de ortogonalidad m´as general,
Z ∞
0
Lαn(x)Lαm(x)xαe−xdx= Γ(n+α+ 1)
n! δn,m,
y una ecuaci´on del tipo
x(Lα
n)′′+ (α+ 1−x)(Lα)′n+nLαn= 0.
Es quiz´a por ello que a los polinomiosLα
n(x) tambi´en se les conoce como polinomios de Laguerre–
Sonin.
Antes de pasar a nuestra ´ultima familia cl´asica debemos hacer una breve incursi´on en la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las ecuaciones diferenciales ordinarias surgieron en el siglo XVIII como una respuesta directa a problemas f´ısicos. Fen´omenos m´as complicados condujeron a los matem´aticos a las ecuaciones en derivadas parciales las cuales se intentaron resolver por el m´etodo de separaci´on de variables y convirti´endolas en ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo: los polinomios de Legendre satisfacen una ecuaci´on dife-rencial que es el resultado de la aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables a la ecuaci´on del potencial expresada en coordenadas esf´ericas. En la mayor´ıa de los casos las ecuaciones as´ı obtenidas no eran resolubles expl´ıcitamente y fue preciso recurrir a soluciones en series infinitas, o sea, las funciones especiales y, entre otros, a los hoy conocidos polinomios ortogonales.
Leonhard Euler
Leonhard Euler (1707–1783), en la segunda mitad del siglo XVIII, desa-rroll´o el m´etodo de integraci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias median-te series de pomedian-tencias que usamos en la actualidad. Una de las ecuaciones consideradas por ´el fue —ver el Instituciones Calculi Integralis (1769)— la conocida hoy d´ıa como ecuaci´on diferencial hipergeom´etrica
x(1−x)y′′+ [γ−(α+β+ 1)x]y′−αβy = 0
cuya soluci´on es
F(α, β;γ|x)≡2F1
α, β γ
x
= 1 +α·β 1·γ x+
α(α+ 1)·β(β+ 1) 1·2·γ(γ+ 1) x
2+ · · · .
Introducci´on hist´orica 9
No obstante, fue Carl Friederich Gauss (1777–1855) en su famoso ensayo de 1813 Dis-quisitiones generales circa seriem infinitam . . . , (Werke, II (1876), 123-162) sobre funciones hipergeom´etricas quien realiz´o el estudio m´as completo de la serie anterior. En este ensa-yo Gauss no hizo uso de la ecuaci´on diferencial que s´ı utiliz´o m´as tarde en material in´edito —Disquisitiones generales circa seriem infinitam . . . , (Werke, III (1876), 207-229)—.
Carl F. Gauss Gauss reconoci´o que, para ciertos valores de α, β y γ, la serie inclu´ıa,
entre otras, casi todas las funciones elementales. Por ejemplo
(1 +z)a= F(−a, b;b | −z), log(1 +z) =zF(1,1; 2| −z),
etc. Incluso comprob´o que algunas de las funciones trascendentales,1 como la famosa funci´on de Bessel Jn, se pod´ıan expresar tambi´en como funci´on
hipergeom´etrica, e.g.,
Jn(z) = z
n
2nn! l´ım λ→ ∞
µ→ ∞
F
λ, µ;n+ 1
− z
2 4λn
.
Tambi´en Gauss estableci´o la convergencia de la serie e introdujo la notaci´on F(a, b;c|x) que
convive todav´ıa con la notaci´on moderna 2F1a, bc x. El primero en publicar la conexi´on
en-tre la funci´on y la ecuaci´on diferencial hipergeom´etrica fue Ernst Eduard Kummer (1810–1893) [155] en 1836, quien, adem´as, dio una lista de 24 soluciones de la ecuaci´on.
Otro trabajo importante de Gauss fue su Methodus nova integrali um valores per approxi-mationen inveniendi, (Werke III, 163–196) donde demuestra una f´ormula de cuadratura para el c´alculo aproximado (y eficiente) de integrales que constituye una de las aplicaciones m´as importantes de los polinomios ortogonales. En concreto, Gauss “recuper´o” los ceros de los po-linomios de Legendre cuando buscaba d´onde deber´ıan estar los del polinomio de interpolaci´on (de Lagrange) para obtener la mayor precisi´on posible al integrar entre 0 y 1, aunque no uti-liz´o la ortogonalidad de los polinomios (hecho que probablemente desconoc´ıa) sino la funci´on hipergeom´etrica 2F1. La construcci´on de la f´ormula de cuadraturas, tal y como la conocemos hoy usando la ortogonalidad, se debe a nuestro pr´oximo personaje, Karl Gustav Jacob Ja-cobi —Uber Gauss’ neue Methode die werthe der Integrale n¨aherungsweise zu finden¨ J. Reine Angew. Math.,1(1826) 301-308— (1804–1851), otro de los grandes matem´aticos del siglo XIX.
Jacobi fue uno de los m´as grandes matem´aticos del siglo XIX y no s´olo por sus aportaciones puramente te´oricas, sino por su inter´es por resolver d´ıficiles problemas de inmediata
aplica-1Las funciones trascendentales son aquellas funciones anal´ıticas que “trascienden a la potencia”. Entre ellas
ci´on pr´actica —las famosas ecuaciones de Hamilton–Jacobi de la Mec´anica, o sus trabajos en Mec´anica de Fluidos, por ejemplo—. Es notable su c´elebre frase:
El se˜nor Fourier opina que la finalidad de las matem´aticas consiste en su utilidad p´ublica y en la explicaci´on de los fen´omenos naturales; pero un fil´osofo como ´el deber´ıa haber sabido que la finalidad ´unica de la ciencia es rendir honor al esp´ıritu humano y que, por ello, una cuesti´on de n´umeros vale tanto como una cuesti´on sobre el sistema del mundo
que quiz´a dio comienzo a esa absurda batalla de hoy d´ıa por la prioridad entre la Matem´atica “plat´onica” o pura —basada en la idea de que la Matem´atica debe ser independiente de toda utilidad inmediata— y la Matem´atica “aplicada”.
Karl Jacobi
Fiel a esa idea plat´onica, Jacobi introduce una nueva familia que gene-raliza los polinomios de Legendre a partir de la funci´on hipergeom´etrica de Gauss, sin importarle sus posibles aplicaciones —recordemos que las fami-lias anteriores hab´ıan aparecido de uno u otro modo relacionadas con apli-caciones f´ısicas o matem´aticas—. As´ı, en su art´ıculo p´ostumo de 1859, Un-tersunshungen ¨uber die Differentialgleichung de hypergeometrischen Reihe (J. Reine Angew. Math.56 149–165), defini´o la familia de polinomios
Pnα,β(x) = Γ(n+α+ 1) Γ(α+ 1)n! 2F1
−n, n+α+β+ 1
α+ 1
1−2 x
,
para la que demostr´o, entre otras, una propiedad de ortogonalidad en el intervalo [−1,1] con respecto a la funci´on peso ρ(x) = (1−x)α(1 +x)β, α >−1, β >−1, o sea,
Z 1
−1
Pnα,β(x)Pmα,β(x)ρ(x)dx=δm,n
2α+β+1Γ(n+α+ 1)Γ(n+β+ 1) (2n+α+β+ 1)Γ(n+α+β+ 1)n!,
donde Γ(x) denota la funci´on Gamma de Euler. Es f´acil comprobar, como veremos m´as adelante (ver, por ejemplo, [72, 193, 231]), que tanto los polinomios de Laguerre como los de Hermite tambi´en se pueden escribir como una funci´on hipergeom´etrica no de Gauss, sino de las funciones hipergeom´etricas generalizadaspFq.
Los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite constituyen lo que hoy d´ıa se conocen como polinomios ortogonales cl´asicos. Curiosamente en los ejemplos anteriores descubrimos que al parecer todos ellos tienen ciertas caracter´ısticas comunes dentro de las que destaca la ecuaci´on diferencial de segundo orden.
Introducci´on hist´orica 11
ya que o su ortogonalidad viene dada mediante sumas, o bien, son soluci´on de una ecuaci´on en diferencias. El caso m´as sencillo lo constituyen los polinomios de Chebyshev discretos introduci-dos por Chebyshev en 1858 en un breve trabajo tituladoSur une nouvelle s´erie, (Oeuvres, Tom I, 381–384, Chelsea Pub. Co.) y que luego ampli´o en su ensayo Sur l’interpolation des valeurs ´equidistantes (Oeuvres, Tom II, 219–242, Chelsea Pub. Co.) de 1875 cuyo principal objetivo era construir buenas tablas de fuego para la artiller´ıa rusa. Siguiendo las ideas expuestas por Chebyshev, M. P. Kravchuk en 1929 introdujo una nueva familia: los polinomios de Kravchuk. La idea es la siguiente: interpolar una funci´on cuando a los valores dados de la funci´on se les asignan unospesosde acuerdo con alguna ley determinada de probabilidad. En otras palabras, sean x0, x1, . . . , xN diferentes valores de la variable independiente de una funci´on f(x) y sean
y0, y1, . . . , yN los correspondientes valores de la funci´on. Se trata de encontrar los coeficientes
Am del desarrollo y≈A0P0(x) +. . .+AkPk(x), (k < N) determinados por la condici´on
NX−1
i=0
ρ(xi)[yi−A0P0(xi)− · · · −AkPk(xi)]2 = m´ınimo, xi+1 =xi+i,
y donde Pm es un polinomio de grado m determinado por la condici´on de ortogonalidad y
normalizaci´on (polinomios ortonormales)
NX−1
i=0
ρ(xi)Pk(xi)Pm(xi) = δk,m, ρ(xi)>0, N−1
X
i=0
ρ(xi) = 1.
(1.5)
En el caso ρ(x) = 1/N, x = 0,1, . . . , N −1 (distribuci´on uniforme), este problema conduce a los polinomios discretos de Chebyshev, mientras que el caso ρ(x) = n−x1pxqn−1−x, x =
0,1,2, . . . , N −1 (distribuci´on binomial) conduce a los polinomios de Kravchuk. Otros casos corresponden a las distribuciones de Poisson ρ(x) = µxe−µ/x!, x = 0,1,2, . . . (polinomios de
Charlier), de Pascal ρ(x) = µx/(Γ(γ+x)x!), x = 0,1,2, . . . (polinomios de Meixner) y de
P´olya o hipergeom´etrica ρ(x) = Γ(N +α−x)Γ(β+x+ 1)/(Γ(N −x)x!), x = 1,2, . . . , N −1 (polinomios de Hahn, de los cuales los de Chebyshev son un caso particular). Estas cuatro familias constituyen lo que hoy conocemos como polinomios cl´asicos discretos2.
M´as tarde, se introdujeron numerosas familias de polinomios, muchas de las cuales fueron clasificadas utilizando las funciones hipergeom´etricas apareciendo as´ı la Tabla de Askey y las relaciones l´ımites entre las diferentes familias [141].
Una generalizaci´on de la funci´on hipergeom´etrica de Gauss (1.4) fue realizada por Eduard Heine (1821–1881) en 1846–1847 [122, 123]. Heine en [122, 123] introdujo la serie
1 + (1−q
α)(1−qβ)
(1−q)(1−qγ) z+
(1−qα)(1−qα+1)(1−qβ)(1−qβ+1) (1−q)(1−q2)(1−qγ)(1−qγ+1) z
2+ · · · ,
Tabla 1.1: Polinomios cl´asicos discretos y distribuciones de probabilidad
Polinomios discretos
Distribuci´on de Probabilidad
Polinomios de Chebyshev
Distribuci´on Uniforme
ρ(x) = 1, x= 0, . . . N −1
Polinomios de Kravchuk
Distribuci´on Binomial
ρ(x) = (n−1)(n−2)· · ·(n−x) 1·2· · ·x p
xqn−1−x, x= 0, . . . , N
Polinomios de Charlier
Distribuci´on de Poisson
ρ(x) = µ
xe−µ
x! , x= 0,1, . . .
Polinomios de Meixner
Distribuci´on Geom´etrica y de Pascal
ρ(x) = µ
x
Γ(γ+x)x!, x= 0,1, . . .
Polinomios de Hahn
Distribuci´on Hipergeom´etrica y de P´olya
ρ(x) = Γ(N +α−x)Γ(β+x+ 1)
Γ(N −x)x! , x= 0, . . . , N −1
la cual se reduce a (1.4) en el l´ımiteq →1 y se conoce como la serie de Heine2
ϕ
1. Precisamente utilizando este tipo de series, conocidas hoy d´ıa como series hipergeom´etricas b´asicas (que generalizan a la serie original de Heine), se han introducido y estudiado en los ´ultimos a˜nos diversas familias de polinomios: los q-polinomios que estudiaremos m´as adelante (para m´as detalles consultar [105]).1.2.
Teor´ıa general. Stieltjes y Chebyshev
Como hemos visto en la secci´on anterior los polinomios ortogonales est´an estrechamente relacionados con las ecuaciones diferenciales y teor´ıa de aproximaci´on (en particular por su relaci´on con las fracciones continuas). Esta conexi´on, y en especial la segunda, conducen al nacimiento de la teor´ıa general sobre polinomios ortogonales.
Introducci´on hist´orica 13
quien consider´o las fracciones continuas
1
c1z+
1
c2 +
1
c3z+· · ·
1
c2n+
1
c2n+1z+ .. .
,
con la condici´on ck > 0 (k = 1,2, . . .), conocida hoy en d´ıa como la fracci´on continua de Stieltjes o S-fracci´on. Esta fracci´on se puede, mediante un cambio de variable, transformar en la J-fracci´on
a2 0
z−b0−
a2 1
z−b1−
a2 2
z−b2− · · · −
a2
n−1
z−bn−1−
a2
n
z−bn− . ..
,
Thomas Stieltjes Jr. con a2
0 = 1/c1, b0 =−1/(c1c2) y
a2n= 1
c2n−1c22nc2n+1
, bn=− 1
c2nc2n+1 − 1
c2n+1c2n+2
, n= 1,2, . . . .
Si suponemos que ak = 0, para todo k ≥ n+ 1 entonces tendremos una funci´on racionalfn(z) de la forma
fn(z) = 1
a1
p(1)n−1(z)
pn(z) ,
donde los polinomios denominadores pn(z) y los numeradores p(1)n−1(z) son soluciones de la relaci´on de recurrencia a tres t´erminos
z rn(z) =an+1rn+1(z) +bnrn(z) +anrn−1(z), n ≥0,
con las condiciones iniciales r−1(z) = 0, r0(z) = 1 y r−1(z) = 1, r0(z) = 0, respectivamente.
Stieltjes en su famoso ensayo Recherches sur les fractions continues (Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 8 (1894) 1-122, 9 (1895) 1-47) publicado p´ostumamente en dos partes en 1894 y 1895 desarroll´o la teor´ıa general de las S-fracciones cuando ck > 0 para todo k. Uno de los
de polinomios ortonormales, o sea, que la sucesi´on de polinomios (pn)n con gradoPn = n era
tal que Z
∞
0
pn(x)pm(x)dµ(x) = δn,m, n, m= 0,1,2, . . . ,
donde δn,m es el s´ımbolo de Kronecker y µ una medida positiva soportada en [0,∞). Adem´as demostr´o que tales polinomios ten´ıan ceros con unas propiedades muy interesantes: todos eran reales y simples, y los ceros depn entrelazaban con los ceros de p(1)n−1 y con los de pn−1.
A partir de la relaci´on de recurrencia y para el caso de las J-fracciones, Stieltjes demostr´o que exist´ıa un funcionalL lineal y positivo tal que,L(pnpm) = 0 paran 6=m, lo cual se puede interpretar como una versi´on primitiva del famoso Teorema de Favard3 que asegura lo siguiente:
Teorema(Favard 1935 [96]) Supongamos que una sucesi´on de polinomios (pn)n satisface una
relaci´on de recurrencia a tres t´erminos de la forma
z pn(z) =an+1pn+1(z) +bnpn(z) +anpn−1(z), n≥0 ,
con ak+1 > 0 y bk ∈ R (k = 0,1,2, . . .) y las condiciones iniciales p−1(z) = 0 y p0(z) = 1.
Entonces, dichos polinomios pn son ortonormales en L2(α) para cierta medida positiva sobre la recta real, o sea, existe una funci´on real no decreciente α con un n´umero infinito de puntos de crecimiento efectivo tal que, para todon, m= 0,1,2, . . .se tiene que
Z ∞
−∞
pn(x)pm(x)dα(x) = δm,n,
donde, como antes, δm,n es el s´ımbolo de Kronecker (1.3). El Recherches de Stieltjes no s´olo constituy´o un trabajo esencial en la teor´ıa de fracciones continuas sino que represent´o el primer trabajo dedicado a la naciente teor´ıa general de polinomios ortogonales. Adem´as de ello, en ´el Stieltjes introduce lo que se conoce actualmente como problema de momentos (dada una sucesi´on (µn)n, encontrar una medida µ(x) tal que µk=
R
xndµ(x)) as´ı como una extensi´on de
la integral de Riemann (la integral de Riemann-Stieltjes) que le permiti´o un tratamiento m´as general de la ortogonalidad.
Adem´as de los trabajos de Stieltjes debemos destacar tambi´en los del matem´atico ruso Pafnuti Lvovich Chebyshev. Chebyshev estudi´o un ingente n´umero de problemas relacionados con los polinomios ortogonales, llegando a ellos al tratar de resolver problemas aplicados. Por ejemplo, sus investigaciones en 1854 sobre algunos mecanismos que transformaban la energ´ıa de rotaci´on en energ´ıa de traslaci´on le llevaron al problema de mejor aproximaci´on. As´ı en su memoria Th´eorie des m´ecanismes connus sous le nom de parall´elogrammes(Oeuvres, Tomo I, Chelsea Pub. Co. 111-145) Chebyshev plante´o el problema de encontrar la mejor aproximaci´on
3Aunque este teorema es atribuido a Favard ya hab´ıa sido demostrado antes por O. Perron (1929), A. Wintner
Introducci´on hist´orica 15
polin´omica uniforme de una funci´on continua f, o sea, dada la funci´on continua f definida en cierto intervalo (a, b), encontrar dentro del conjunto Pn de todos los polinomios de grado a lo sumo n el polinomio pn de grado n tal que el m´aximo de |f(x)−pn(x)| sea m´ınimo en dicho intervalo. De esa manera introdujo los hoy conocidospolinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x) que son la soluci´on al problema extremal de encontrar los polinomios m´onicos
pn(x) =xn+· · ·tales que m´ax|pn(x)|en el intervalo [−1,1] sea m´ınimo, encontrando la soluci´on
m´ın
pn∈Pn
m´ax
x∈[−1,1]|pn(x)|= 1
2n−1, pn(x) = 1
2n−1Tn(x) = 1
2n−1 cos(n arcosx), x∈[−1,1].
Pafnuti Chebyshev Estos polinomios forman un sistema ortogonal con respecto a la
fun-ci´on peso ρ(x) = 1/√1−x2 y coinciden con los polinomios de Jacobi
P−12,−12
n .
Debemos destacar que Chebyshev obtuvo numerosos resultados sobre los polinomios ortogonales. En 1859, desde diferentes consideraciones, estudi´o otros sistemas de polinomios ortogonales como los de Hermite y Laguerre. Sin embargo, ´el no los introdujo a partir de la relaci´on de ortogonalidad sino a partir del desarrollo en serie de potencias para las fracciones continuas de la forma Z
b
a
ρ(x)dx z−x .
Chebyshev tambi´en estudi´o el problema de momentos y f´ormulas de cuadratura e introdujo la primera familia de polinomiosdiscretos: los ya mencionados polinomios discretos de Chebyshev.
Por estas razones tanto a Stieltjes como a Chebyshev se les consideran los padres de la teor´ıa de polinomios ortogonales que estaba por llegar a principios del siglo XX quedando consolidada en 1939 con la aparici´on de la monograf´ıa Orthogonal Polynomials de Gabor Szeg˝o [231]. En esta excelente monograf´ıa, aparte de presentar una teor´ıa general sobre polinomios ortogonales, se incluyen gran cantidad de resultados sobre las familias cl´asicas y se inicia la teor´ıa de Szeg˝o de polinomios sobre la circunferencia unidad.
1.3.
Las funciones generatrices
Muchas de las familias de polinomios ortogonales fueron descubiertos a partir de las fun-ciones generatrices. Por funci´on generatrizde la sucesi´on de polinomios (Pn)n se entiende una
funci´on F de dos variables que se puede representar mediante una serie formal infinita de la forma
F(x, w) =
∞
X
n=0
donde la sucesi´on (an)n es conocida.
Las funciones generatrices ya eran conocidas por Jacobi quien demostr´o que para los poli-nomiosPα,β
n (x), se verificaba
2α+β
R(1−w+R)α(1 +w+R)β =
∞
X
n=0
Pnα,β(x)wn,
dondeR =√1−2wx+w2. N´otese que todos los t´erminos de la sucesi´on (an)
nson exactamente
igual a 1.
An´alogamente, para los polinomios de Laguerre y Hermite se tienen las expresiones
e−xw/(1−w) (1−w)α+1 =
∞
X
n=0
Lαn(x)wn
(1.6)
y
e2xw−w2 =
∞
X
n=0 1
n!Hn(x)w
n,
(1.7)
respectivamente.
En 1934, J. Meixner [180] consider´o el problema de la determinaci´on de todos los sistemas de polinomios ortogonales cuyas funciones generatrices tuvieran la forma
A(w)exG(w) =
∞
X
n=0
fn(x)wn, A(w) =
∞
X
n=0
anwn, G(w) =
∞
X
n=1
gnwn,
(1.8)
donde a0 6= 0, g1 6= 0 y fn son polinomios de grado n con coeficientes principales4 (n!)−1a0gn1. De aqu´ı en adelante, y sin p´erdida de generalidad, vamos a suponer que a0 =g1 = 1 y que Pn son los polinomios Pn(x) =n!fn(x).
Meixner prob´o que a la sucesi´on (Pn)n le corresponde una funci´on generatriz de la forma
(1.8) si y s´olo si, los polinomios (Pn)n satisfacen una relaci´on de recurrencia de la forma
Pn+1(x) = [x−(d n+f)]Pn(x)−n(g n+h)Pn−1(x), n 6= 0 ,
donde g 6= 0, g +h > 0. Adem´as demostr´o que exist´ıan cinco clases distintas de polinomios ortogonales que cumpl´ıan la condici´on (1.8). A saber:
1. Los polinomios de Hermite (d=f =g = 0), ortogonales en (−∞,∞)
Pn(x) =
h
2
n/2
Hn
x
√ 2h
,
y cuya funci´on generatriz viene dada por (1.7).
4El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente de la mayor potencia del mismo, i.e., sip
n(x) =
Introducci´on hist´orica 17
2. Los polinomios de Laguerre (d6= 0, d2−4g = 0, f = (h+g)g−1
2), ortogonales en [0,∞)
Pn(x) = (−1)ngn/2n!Lh/gn
x
√g
,
y cuya funci´on generatriz viene dada por (1.6).
3. Los polinomios discretos de Charlier (d 6= 0, g = 0, f = h/d), ortogonales en [0,∞) y que fueron introducidos inicialmente por C.V.L. Charlier en 1905–1906 [71] al estudiar ciertos problemas relacionados con mediciones astr´onomicas
Pn(x) =dnCnh/d2
x
√
d
.
Para estos polinomios la funci´on generatriz viene dada por la f´ormula
e−ax(1 +w)x =
∞
X
n=0
Cn(a)(x)w
n
n!.
4. Los polinomios discretos de Meixner (obtenidos por primera vez por Meixner en [180]) (d2−4g >0, f = (2(g+h))/(d+ρ), ρ=pd2−4g) ortogonales en [0,∞)
Pn(x) =
cρ γ−1
n
Mn1+h/g,γ
x
√ρ
,
donded >0 y γ = (d−ρ)/(d+ρ). En este caso la funci´on generatriz tiene la forma
1− w
γ
x
(1−w)−x−β =
∞
X
n=0
Mnβ,γ(x)w
n
n!.
La relaci´on de ortogonalidad para estos polinomios requiere queβ > 0, 0<|γ|<1.
5. Finalmente si d2−4g <0, se obtienen unos polinomios discretos (llamados polinomios de Meixner de segunda especie o polinomios de Meixner–Pollaczek) ortogonales en (−∞,∞) con respecto a una funci´on peso compleja.
1.4.
Otras familias de polinomios ortogonales
Otras familias de polinomios ortogonales son las siguientes:
1. Los polinomios de Hahn introducidos por W. Hahn [120] como caso l´ımite de los q -polinomios de Hahn en 1949 y estudiados en detalle por Karlin y McGregor [136] en 1961 (quienes le dieron el nombre). Estos polinomios corresponden al caso de la ecuaci´on (1.5) cuando los valores ρ(xi) est´an determinados por la distribuci´on de P´olya: ρ(x) =
2. Los polinomios duales de Hahn que fueron introducidos por Karlin y McGregor [136] en 1961 a partir de la propiedad dual de ortogonalidad (v´ease [189, p´ags. 38-39]). La idea principal es la siguiente: la relaci´on de ortogonalidad para los polinomios discretos
NX−1
i=0
ρ(xi)Pn(xi)Pm(xi) =d2nδn,m ,
(1.9)
donde los puntos de interpolaci´onxi (cuyo conjunto es, com´unmente, denominadored) no tienen por qu´e ser necesariamente equidistantes, se puede escribir en la forma matricial
NX−1
i=0
CniCmi =δn,m, donde Cni = Pn(xi)
p
ρ(xi)
dn .
(1.10)
Esta propiedad se puede interpretar como la ortogonalidad de la matriz C con elementos
Cni respecto al segundo ´ındice (ortogonalidad de las filas). Si ahora exigimos que la matriz
C sea ortogonal respecto al primer ´ındice (ortogonalidad de las columnas) obtenemos la expresi´on
N−1
X
n=0
CniCnj =δi,j, ´o
NX−1
n=0
Pn(xi)Pn(xj)
1
d2
n
= 1
ρ(xi)δi,j , (1.11)
que es conocida como relaci´on dual de ortogonalidad. Si tomamos en (1.9) comoPn a los polinomios de Hahn en una red uniforme, o sea, xi = i, i= 1,2, . . . , N −1, la ecuaci´on (1.11) nos conduce a los polinomios duales de Hahn que son ortogonales en una red no uniformex(i) =i(i+ 1).
La propiedad de ortogonalidad discreta en redes no uniformes se puede escribir de la forma
NX−1
i=0
ρ(i)Pn(i)Pm(i)∆x(i− 1 2) = d
2
nδn,m ,
donde ∆x(i) =x(i+ 1)−x(i) (ver cap´ıtulo 5).
3. Otro ejemplo de polinomios ortogonales son los polinomios de Racah que fueron intro-ducidos por Askey y Wilson [41] en 1979 al estudiar ciertas funciones hipergeom´etricas generalizadas. Un caso particular de estos polinomios (6j s´ımbolos) hab´ıan sido introdu-cidos por Racah [203] en 1941 en relaci´on con el estudio de los espectros at´omicos. Esta familia de polinomios, junto a los ya mencionados polinomios duales de Hahn, son casos particulares de los polinomios en redes no uniformes [186].
Introducci´on hist´orica 19
1.5.
Los teoremas de caracterizaci´
on
Para concluir esta introducci´on hist´orica, veamos uno de los problemas m´as importantes en la teor´ıa de los polinomios ortogonales: los teoremas de caracterizaci´on, e.g. los teoremas que nos indican las principales propiedades que caracterizan a las familias cl´asicas de polinomios ortogonales. Ya hemos mencionado antes que una propiedad com´un a las tres familias cl´asicas de polinomios ortogonales (Hermite, Laguerre y Jacobi) es la ecuaci´on diferencial de segundo orden que satisfacen. S. Bochner [56] en 19295 prob´o que los ´unicos polinomios ortogonales que satisfac´ıan una ecuaci´on diferencial del tipo
σ(x) d 2
dx2Pn(x) +τ(x)
d
dxPn(x) +λnPn(x) = 0,
(1.12)
dondeσ yτ son polinomios de grado a lo sumo 2 y exactamente 1, respectivamente, yλnes una constante, eran los polinomios cl´asicos, o sea, los polinomios de Jacobi (σ(x) = (1−x2)), Lague-rre (σ(x) = x) y Hermite (σ(x) = 1)6 y, aparentemente, una nueva familia cuando σ(x) = x2. Estos ´ultimos, denominados polinomios de Bessel, a diferencia de las tres familias anteriores no corresponden a un caso definido positivo, es decir, la medida de ortogonalidad no es positiva. Aunque estos polinomios hab´ıan sido considerados por muchos matem´aticos (e.g. Burchnall y Chaundy en 1931 [65]), fueron H. L. Krall y O. Frink quienes los “presentaron” formalmen-te en 1949 en su art´ıculo A new class of orthogonal polynomials (Trans. Amer. Math. Soc.
65) [150] y les dieron el nombre por su relaci´on con las funciones de Bessel. En ese magn´ıfico trabajo estudiaron un sinn´umero de propiedades y probaron la ortogonalidad respecto a una funci´on peso en la circunferencia unidad T sin embargo no encontraron ninguna funci´on “pe-so”(necesariamente signada) sobre la recta real. El problema fue finalmente resuelto A. Dur´an en 1990 en [89] donde desarrolla un m´etodo general para encontrar expl´ıcitamente funciones muy regulares con momentos dados; como aplicaci´on encontr´o las primeras medidas signadas sobre R y (0,+∞) respecto a las cuales los polinomios de Bessel eran ortogonales.
Otra caracterizaci´on (la m´as antigua) se debe a Sonin quien, en 1887, prob´o que los ´unicos polinomios ortogonales que satisfac´ıan la propiedad de que sus derivadasP′
n tambi´en eran
or-togonales eran los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. Esta propiedad fue redescubierta W. Hahn en 1935 quien tambi´en recuper´o los polinomios de Bessel no considerados por Sonin7. Dos a˜nos m´as tarde, el mismo Hahn prob´o un resultado m´as general que conten´ıa al anterior: si la sucesi´on de polinomios ortogonales (Pn)n era tal que la sucesi´on de sus k−´esimas derivadas
(Pn(k))n, para cierto k ∈N, tambi´en era ortogonal entonces (Pn)n era alguna de las sucesiones
5Existe un trabajo de 1884 muy similar al de Bochner debido a E.J. Routh. Para m´as detalle v´ease [131,
p´agina 509].
6Estas tres familias de polinomios son ortogonales con respecto a una funci´on peso definida en R (ver
Tabla 1.2).
Tabla 1.2: Los polinomios ortogonales cl´asicos.
SPO funci´on funci´on intervalo de
Pn(x) σ(x) peso ortogonalidad
Laguerre σ(x) =x xαe−x [0,∞)
Hermite σ(x) = 1 e−x2 (−∞,∞)
Jacobi σ(x) = 1−x2 (1−x)α(1 +x)β [−1,1]
Bessel σ(x) =x2 ρα0(z) = 2α+1
∞
X
m=0
(−2)m
Γ(m+α+ 1)zm T={z=e
iθ :θ∈[0,2π)}
de polinomios ortogonales cl´asicos.
Nikolai Sonin
La tercera caracterizaci´on fue propuesta por F. Tricomi [235] quien conjetur´o y parcialmente demostr´o (para m´as detalle ver [4, 72]) que s´olo los polinomios ortogonales cl´asicos se pod´ıan expresar en t´erminos de una f´ormula tipo Rodrigues
Pn(x) = Bn ρ(x)
dn
dxn[ρ(x)σ
n(x)], n= 0,1,2, . . . ,
(1.13)
dondeρes una funci´on no negativa en cierto intervalo yσes un polinomio independiente den. La demostraci´on rigurosa de este resultado fue dada por Cryer en 1969 [70] aunque ya E.H. Hildebrandt en 1931 [127] ten´ıa varios resultados en esa direcci´on. Otra caracterizaci´on consiste en que los ´unicos polinomios ortogonales respecto a una funci´on peso ρ soluci´on de la ecuaci´on diferencial de Pearson
[ρ(x)σ(x)]′ =τ(x)ρ(x), grado σ ≤2, grado τ = 1 ,
