Juegos de Mercado

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ADOLFOGARCÍA DE LASIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana [email protected]

1. Juegos de mercado

En este texto se presentan varios juegos de mercado típicos y se desarrollan sus determinaciones: cantidades y precios de equilibrio, beneficios netos, excedente del consumidor, y una magnitud que he llamado ‘disposición del consumidor’, que es la máxima cantidad que el consumidor estaría dispuesto a pagar por la producción total. La diferencia entre la disposición y lo que tiene que pagar a precio de equilibrio es precisamente el excedente. Todas las determinaciones se reúnen en una tabla para efectos comparativos.

Todos los juegos suponen que hay, en general,n jugadores (nempresas) , que escogen simultáneamente las cantidades que producen, las cuales venden a un precio que despeja el mercado. El juego tiene la forma

hf1;:::;ng;Q1;:::;Qn;u1;:::;uni

donde Qi = [0;M℄, siendo M la máxima cantidad que están los consumidores

dispuestos a demandar a cualquier precio y que se puede producir sin costos de eliminación. Las estrategias son cantidades de bienes a producir. La empresa i

escoge una cantidadqi, de modo que la oferta total es igual aq=q1++qn. La

función de demanda es de la formaq=M p, dondepes un precio que puede

oscilar entre 0 yM. El costo unitario de producción es constante e igual ac para todos los productores. Las funciones de utilidad tienen la formaui(q1;:::;qn) = pqi cqi.

1.1. El monopolio

Hay una empresa (jugador 1) , que produce un bien determinado, y un consumidor tipo ( jugador 2) con una función de utilidadu2(q) , de manera que la función de

demanda es q = M p, la inversa de ésta es la función precio p = M q, y

el consumidor está dispuesto a pagar hasta M q 1₂q2 por q unidades del bien. La función de utilidad ( beneficio) del monopolista es, naturalmente, u1(q) = pq cq = (M c)q q

2_{, donde} _c _{es el costo unitario de producción ( no hay}

economías de escala) . El monopolista maximiza en el punto en que la derivada deu1con respecto aqes cero, es decir, dondeq = ˆq =

1

2(M c) . El precio de

(2)

equilibrio es por lo tanto ˆp=M ˆq=M 1

2(M c)= 1

2(M+c) . La utilidad del

monopolista en equilibrio es entonces ˆ

u1=

1

2(M+c)

1

2(M c) c

1

2(M c)

=

1 4(M

2 _c2₎ 1

2M c+

1 2c

2

=

1 4M

2 1

2M c+

1 4c

2

=

1

4(M c)

2 :

El consumidor está dispuesto a pagar hasta

Mqˆ 1 2qˆ

2 =M

1

2(M c) 1 2

1

4(M c)

2

=

1 2M

2 1

2M c 1 8(M

2 ₂_mc +c

2₎

=

1 8( 3M

2 ₂_{M c} _c2₎ :

Sin embargo, con “precios lineales”, o sea sin discriminación de precios, el con-sumidor sólo tiene que pagar ˆpqˆ=

1

4(M2 c2) pesos, de modo que su excedente

es dee= 1

8( 3M2 2M c c2) 14(M2 c2) = 1

8(M c)2( véase la Tabla 6.1) .

1.2. El oligopolio o competencia de Cournot

En el oligopolio hayn empresas, conn > 1 y se repiten las consideraciones del

apartado anterior. Ahora la función de utilidad del agenteies

ui(q1;:::;qn)=pqi cqi =(M q)qi cqi

=(M q1 qn)qi cqi:

Para hallar las respuestas óptimas de los agentes, formulamos las condiciones de primer orden

ui qi

=M c q1 2qi qn=0;

de donde obtenemos el sistema 2q1+q2++qn=M c q1+2q2++qn=M c

.. .

(3)

o

Aq= 2 6 4

M c

.. .

M c

3 7 5

donde

A= 2 6 6 6 4

2 1 1

1 2 1

..

. . .. ... 1 1 2 3 7 7 7 5

y

q= 2 6 4

q1

.. .

qn

3 7 5

La inversa deAes

A 1= 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

n n+1

1

n+1

1

n+1

1

n+1 n n+1

1

n+1

..

. ... . .. ... 1

n+1

1

n+1

n n+1

(4)

de modo que los equilibrios de Nash-Cournot están dados por

ˆ

q= 2 6 4

ˆ

q1

.. . ˆ

qn

3 7 5

=A 1

2 6 4

M c

.. .

M c

3 7 5

= 2 6 6 6 4

n n+1

n 1

n+1

(M c) ..

.

n n+1

n 1

n+1

(M c)

3 7 7 7 5

= 2 6 4

1

n+1

(M c) .. .

1

n+1

(M c)

3 7 5

La producción total, por lo tanto, es igual a

ˆ

q=

n

X

i=1

ˆ

qi

=

n

X

i=1

1

n+1

(M c)

= n n+1

(M c);

y el precio de equilibrio es

ˆ

p=M

n

X

i=1

ˆ

qi=

1

n+1

M+

n n+1

(5)

El beneficio del productories

ui( ˆq1;:::;qˆn)=pˆˆqi cqˆi

=

1

n+1

M+

n n+1

c

ˆ

qi cqˆi

=

1

n+1

M+

n n+1

c

1

n+1

(M c) c 1 n+1

(M c)

=

1 (n+1)

2M+ n

(n+1) 2c

(M c) 1

n+1

(M c c2)

=

1 (n+1)

2M 2

+ n

(n+1) 2M c

1 (n+1)

2M c+ n

(n+1) 2c

2

n+1

(n+1) 2M c+

n+1

(n+1) 2c

2

=

1 (n+1)

2M

2 2

(n+1) 2M c+

1 (n+1)

2c 2

=

1 (n+1)

2 M

2 ₂_{M c} +c

2

=

1 (n+1)

2(M c) 2

Por lo tanto, el beneficio total de los productores es de n

(n+1)

2(M c)2.

El excedente del consumidor es 1

2qˆ

2 = 1 2 n n+1

(M c)

2

= n2

2(n+1)

2(M c) 2

:

Finalmente, la disposición del consumidor es

Mqˆ 1 2qˆ

2

=M

n n+1

(M c) n

2

2(n+1)

2(M c) 2

= n n+1

(M2 M c) n

2

2(n+1) 2(M

2 ₂_{M c} +c

2₎

=

2n(n+1)

2(n+1) 2(M

2 _{M c}₎ n2

2(n+1) 2(M

2 ₂_{M c} +c

2₎

=

1 2(n+1)

2

(n2+2n)M

(6)

6

G

A

R

C

ÍA

D

E

L

A

S

Tipo de mercado

Producción individual

Producción total

Precio de equilibrio

Beneficio total neto Disposición del consumidor

Excedente del consumidor

Monopolio 1₂(M c) 1₂(M c) 1₂(M+c)

1 4(M c)2

1

8(3M2 2Mc c2) 1 8(M c)2

Duopolio 1₃(M c) ₃2(M c) 1₃M+

2 3c

2 9(M c)2

2

9(2M2 Mc c2) 2 9(M c)2

Oligopolio _n1

+1

(M c) n

n+1

(M c) _n1

+1

M+

n n+1

c ₍_nn

+1)2

(M c)2 1

2(n+1)2 [(n

2

+

2n)M2 2nMc n2_c2

℄

n2

2(n+1)2

(M c)2

Competitivo Infinitesimal M c c 0 1₂(M2 c2) 1₂(M c)2

Stackelberg ˆq1=

1 2(M c);

ˆ

q2=

1 4(M c)

3 4(M c)

1 4M+

3 4c

3

16(M c)2

3

32(5M2 2Mc 3c2) 9

32(M c)2

Fórmula general

ˆ

qi

P

n i=1

ˆ

qi ˆp=M qˆ pˆqˆ Mˆq

1 2qˆ2

1 2ˆq2

(7)

1.3. La competencia perfecta

Como límn!1 1

n+1

=0 y lím

n!1

n n+1

=1, conforme aumenta el número de

com-petidores en este mercado (n!1) el precio de costo converge al precio de venta:

límn!1pˆ =c:

1.4. El mercado de Stackelberg

En un mercado donde hay un líder muy poderoso, éste actúa como monopolista. Esto significa que su producción es de ˆq2 =

1

2(M c) unidades. El seguidor, por

lo tanto, sólo tiene que responder de manera óptima a esta estrategia. Para ello desarrolla su función de utilidad:

u2( ˆq1;q2) =pq2 cq2

=(M qˆ1 q2)q2 cq2 =M q2 qˆ1q2 q

2 2 cq2:

Maximizando,

u2 q2

=M ˆq1 2q2 c =0

o

2q2=M

1

2(M c) c:

Con lo cual se obtiene ˆ

q2=

1 2M

1

4(M c) 1 2c

=

1 4M+

1 4c

1 2c

=

1 4M

1 4c:

De modo que la producción total es de ˆq= 3

4(M c) .

El precio de equilibrio es, por lo tanto, ˆ

p=M qˆ

=M

3

4(M c)

=

1 4M+

(8)

El beneficio del líder es

u1( ˆq1;qˆ2) =pˆqˆ1 cqˆ1

=

1 4M+

3 4c

1

2(M c) c 1

2(M c)

=

1 8M+

3 8c

(M c) c1

2(M c)

=

1 8M+

3 8c M 1 8M+

3 8c

c 1

2M c+

1 2c 2 = 1 8M 2 + 3 8M c

1 8M c

3 8c

2 1

2M c+

1 2c 2 = 1 8M 2 1

4M c+

1 8c 2 = 1 8 M

2 ₂_{M c} +c

2

=

1

8(M c)

2

El beneficio del seguidor es

u2( ˆq1;qˆ2) =pˆqˆ2 cqˆ2

=

1 4M+

3 4c

1

4(M c) c 1

4(M c)

=

1 16M+

3 16c

(M c) 1 4M c+

1 4c 2 = 1 16M+

3 16c M 1 16M +

3 16c

c 1

4M c+

1 4c 2 = 1 16M 2 + 3 16M c

1 16M c

3 16c

2 1

4M c+

1 4c 2 = 1 16M 2 2

16M c+

1 16c 2 = 1 16 M

2 ₂_{M c} +c

2

=

1

16(M c)

2

El beneficio total no es más que la suma

u1( ˆq1;qˆ2)+u2( ˆq1;qˆ2)=

3

16(M c)

(9)

El excedente del consumidor es 1

2qˆ

2 =

1 2

9

16(M c)

2

=

9

32(M c)

2

La disposición del consumidor es

Mqˆ 1 2qˆ

2

=M

3

4(M c) 9

32(M c)

2

=

3 4M

2 3

4M c 9

32(M c)

2

=

3 4M

2 3

4M c 9 32(M

2 ₂_{M c} +c

2₎

=

3 4M

2 3

4M c 9 32M

2 +

18 32M c

9 32c

2

=

15 32M

2 6

32M c 9 32c

2

=

3 32( 5M