División de Polinomios
Ejercicios de división de polinomios
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José de Jesús Angel Angel
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1
Introducción
Uno de los temas más complicados es la división de polinomios, principalmente porque las operaciones no son muy frecuentes en muchos cursos. De hecho la división no es más que una multiplicación por un inversos multiplicativos.
Otras de las propiedades usadas en la división se listan a continuación:
1. Ley de los signos:
a) +entre+da+
b) −entre+da−
c) +entre−da−
d) −entre−da+ 2. Ley de los exponentes:
a) Al multiplicar potencias con la misma base, las potencias se suman:
an ·am
=an+m
b) Al potenciar potencias con la misma base, las potencias se multiplican:
(an )m
=anm
c) Al dividir potencias con la misma base, las potencias se restan:
an
1.Introducción 2
Haremos uso también de la siguiente notación:
1. Unmonomioes un término comoax, dondearepresenta una constante y se llama coeficiente yx representa una variable y se llama indeterminada.
2. Unbinomiotiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemploax+bx2.
2
División de monomios
1.
−
a
2b
entre
−
ab
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
−a2b
−ab = +a 2−1b1−1
= a1b0 = a·1 = a
Paso 2 Por lo tanto
−a2b
−ab =a
2.
16
m
6n
4entre
−
5
n
3Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
16m6n4
−5n3 = − 16
5 m 6n4−3
= −16 5 m
6 n1
= −16m
6n
2.División de monomios 4
Paso 2 Por lo tanto
16m6n4
−5n3 =−
16m6n
5
3.
a
m+3entre
a
m+2Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
am+3
am+2 = a
m+3−(m+2)
= am+3−m−2
= a
Paso 2 Por lo tanto
am+3
am+2 =a
4.
3
m
4n
5p
6entre
−
1
3
m
4
np
5Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
3m4n5p6
−13m4np5
= −31
3
m4−4n5−1p6−5
= −9m0n4p1 = −9n4p
Paso 2 Por lo tanto
3m4n5p6
−13m4np5
=−9n4p
5.
−
1
15
a
x−3
b
m+5c
2entre
3
5
a
x−4
b
m−1Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
−151 ax−3
bm+5
c2 3
5a
x−4bm−1
= − 1 15
3 5
ax−3−(x−4)
bm+5−(m−1)
c2
= −1 9a
1b6c2
= −1 9ab
6c2
Paso 2 Por lo tanto
−151 ax−3
bm+5
c2
3 5a
x−4bm−1
2.División de monomios 5
Algunos errores comúnmente hechos:
3
División de un polinomio por un monomio
Observación 2 En la división de un polinomio por un monomio se puede hacer uso de la ley distributiva
a(b+c) =ab+ac.
1.
4
x
8−
10
x
6−
5
x
4entre
2
x
3Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
4x8−10x6−5x4
2x3 =
4x8 2x3 −
10x6 2x3 −
5x4 2x3
= 2x8−3−5x6−3−5
2x 4−3
= 2x5−5x3−52x1
= 2x5−5x3−52x
Paso 2 Por lo tanto
4x8−10x6−5x4
2x3 = 2x 5
−5x3−5
2x
2.
4
a
x+4b
m−1−
6
a
x+3b
m−2+ 8
a
x+2b
m−33.División de un polinomio por un monomio 7
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
4ax+4
bm−1
−6ax+3
bm−2
+ 8ax+2
bm−3
−2ax+2
bm−4 =
4ax+4
bm−1
−2ax+2
bm−4−
6ax+3
bm−2
−2ax+2
bm−4 +
8ax+2
bm−3
−2ax+2
bm−4
= −2ax+4−(x+2)
bm−1−(m−4)
+3ax+3−(x+2)
bm−2−(m−4)
−4ax+2−(x+2)
bm−3−(m−4)
= −2a2b3+ 3a1b2
−4a0b1 = −2a2b3+ 3ab2−4b
Paso 2 Por lo tanto
4ax+4
bm−1
−6ax+3
bm−2+ 8
ax+2
bm−3 −2ax+2bm−4 =−2a
2b3+ 3ab2
−4b
3.
−
3
4
a
n−1
x
m+2+
1
8
a
n
x
m+1−
2
3
a
n+1x
mentre
−
2
5
a
3
x
2Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0= 1), obtenemos:
−34an−1
xm+2+1
8a
n
xm+1
−23an+1
xm
−25a3x2
= − 3 4a
n−1
xm+2
−25a3x2 +
1 8a
n
xm+1
−25a3x2 +−
2 3a
n+1
xm
−25a3x2
= 15 8 a
n−1−(3)
xm+2−(2)
−165 an−(3)
xm+1−(2)
+10 6 a
n+1−(3)
xm−(2)
= 15 8 a
n−4
xm
−165 an−3
xm−1
+10 6 a
n−2
xm−2
Paso 2 Por lo tanto
−34an−1
xm+2 +1
8a n
xm+1
−23an+1
xm
−25a3x2
= 15 8 a
n−4
xm
−165 an−3
xm−1 +5
3a n−2
4
División de un polinomio por un polinomio
Observación 3 En una división de polinomios que tiene la forma:
h g √f
r
fes llamado dividendo,gel divisor,hel cociente yrel residuo. Siempre obtendremos que:
f =g·h+r
1.
a
2+ 2
a
−
3
entre
a
+ 3
Paso 1 Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisor a 2
a =a, el resultado es el primer término del cociente:
a
a+ 3 √a2+ 2a−3
4.División de un polinomio por un polinomio 9
a
a+ 3 √a2+ 2a−3
−a2−3a Paso 3 Se realiza la suma.
a
a+ 3 √a2+ 2a−3
−a2−3a 0−a
Paso 4 Se dividen ahora−a
a =−1, el resultado será el segundo término del cociente:
a−1 a+ 3 √a2+ 2a−3
−a2−3a
−a
Paso 5 Se multiplica−1 pora+ 3se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:
a−1 a+ 3 √a2+ 2a−3
−a2−3a
−a a+ 3
Paso 6 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:
a−1 a+ 3 √a2+ 2a−3
−a2−3a
−a a+ 3 0
Paso 7 Por lo tanto
a2+ 2a−3
a+ 3 =a−1
2.
am
4−
am
−
2
a
entre
am
+
a
Paso 1 Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisor am 4
am = m
3, el resultado es el
primer término del cociente:
m3
am+a √am4−am−2a
4.División de un polinomio por un polinomio 10
m3
am+a √am4−am−2a
−am4−am3 Paso 3 Se realiza la suma.
m3
am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a
Paso 4 Se dividen ahora−am 3
am =−m
2, el resultado será el segundo término del cociente:
m3−m2 am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a
Paso 5 Se multiplica−m2poram+a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:
m3−m2 am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
Paso 6 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:
m3−m2 am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
Paso 7 Se dividen ahoraam 2
am =m, el resultado será el tercer término del cociente:
m3−m2+m am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
4.División de un polinomio por un polinomio 11
m3−m2+m am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
−am2−am Paso 9 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:
m3−m2+m am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
−am2−am 0−2am−2a
Paso 10 Se dividen ahora−2am
am =−2, el resultado será el cuarto término del cociente:
m3−m2+m−2 am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
−am2−am 0−2am−2a
Paso 11 Se multiplica−2poram+a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:
m3−m2+m−2 am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
−am2−am 0−2am−2a
2am+ 2a
4.División de un polinomio por un polinomio 12
m3−m2+m−2 am+a √am4−am−2a
−am4−am3
0−am3−am−2a am3+am2
0 +am2−am−2a
−am2−am 0−2am−2a
2am+ 2a 0
Paso 7 Por lo tanto
am4−am−2a am+a =m
3
