EJERCICIOS DE ESPACIOS VECTORIALES CURSO 2011-2012

1

EJERCICIOS DE VECTORES

CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL

1. En el conjunto 2 se definen las operaciones siguientes:



 

 





 



Suma + :

,

', '

',

'

Producto por escalar :

,

, 0

x y

x y

x

x y

y

x y

x





















Estudiar si



2

; ,

 



es un espacio vectorial SOLUCIÓN

La suma es la habitual luego verifica las propiedades.

 Asociativa, al ser una suma de números reales

 Neutro: (0,0)

 Opuesto: (-x, -y)

 Conmutativa al ser una suma de números reales

Sin embargo el producto por escalar NO verifica la propiedad 4ª:

   

  

  

1



x y

,



x y

,

ya que 1



x y

,

 

1

x

,0



x

,0

Las demás propiedades del producto por escalar quedan verificadas







 



















 

 











,

', '

',

'

' , 0

', 0

, 0

', 0

,

', '

x y

x y

x

x y

y

x

x

x

x

x

x

x y

x y



















 



  





 









  









 

 







 

 













 











,

, 0

, 0

, 0

, 0

,

,

x y

x

x

x

x

x

x y

x y

 

 













 











  















 

 

























 





  



,

, 0

, 0

, 0

,

x y

x

x

x

x y

 

 

 





 



 

























COMBINACIONES LINEALES

2. Determina la expresión general implícita del conjunto de vectores de 3 que son combinación lineal de los vectores (1, 2, -1) y (4, 1, 1).

SOLUCIÓN

Cualquier vector

u





x y z

, ,



t será combinación lineal de ellos si se verifica













4

, , 1, 2, 1 4,1,1 2

x

x y z y

z









 

 

  



   _  

    

2

Estas son las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Para obtener el subespacio en implícitas: Se eliminan los parámetros entre las tres ecuaciones:

 Sumar la 1ª y la 3ª ecuación. Restar a la 1ª ecuación 4 veces la 3ª

5

4

5

x

z

x

z





 



  



 Con estos valores se entra en la 2ª ecuación

5

y



10





5 ; 5



y



2

x

   

8

z

x

z

3

x



5

y



7

z



0

SUBESPACIOS

3. Indicar razonadamente si son subespacios:

3.1. El conjunto de las matrices simétricas de orden n, con la suma de matrices y producto por escalar.

3.2. El conjunto de las matrices singulares de orden 2, con la suma de matrices y producto por escalar.

3.3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen 3.4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el origen



2



( , )

/

1

S



x y



R

x

 

y

SOLUCIÓN

3.1. El conjunto de las matrices simétricas de orden n es un subespacio vectorial del conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma de matrices y producto por escalar.









1 2 simetrica

1 2 1 2 1 2

1 simetrica 1 1 1

,

,

t

t _{t t}

t _t

A A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

K

A

A

A

A

A























 

 





3

1 2 1 2

Singular Singular Regular

1

0

0

0

1

0

;

0

0

0

1

0

1

A



_





_

A





_



_

A



A





_



_













3.3. El conjunto de los vectores de una recta que pasa por el origen es un subespacio del espacio vectorial

R

2 (plano).



2



( , )

/

0

S



x y



R

x

 

y

ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto de un vector de la recta por un escalar es un vector de la recta.

3.4. El conjunto de los vectores de una recta que no pasa por el origen NO es un subespacio del espacio vectorial

R

2 (plano).



2



( , )

/

1

S



x y



R

x

 

y

ya que no contiene al vector

0



(0,0)

. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

4. Determinar el valor de t para que los vectores de coordenadas u1 = (1, 1, t)t, u2 = (0,

t, 1-t)t y u3 = (1,-2, t)t , referidos a la base canónica, sean linealmente independientes.

¿Qué valores de t les hace ser linealmente dependientes? En este caso expresar el tercer vector

u

₃ como combinación lineal de los demás

SOLUCIÓN

Si tres vectores son linealmente independientes el determinante de la matriz formada por sus coordenadas debe ser distinto de cero.

1 2 3

2 2

(1,1, ) ,

(0, ,1

) ,

(1, 2, )

1

0

1

1

2

1

2(1

)

0

3(1

)

0

1

1

t t t

u

t

u

t

t

u

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t











     

  

   



1 2

3 Si 1 Vectores linealmente independientes

(1,1,1)

Si 1 Vectores linealmente dependientes. (0,1, 0)

(1, 2,1)

t

t

t

t

u

t u

u



  

 _  

   

3 1

2

2

4

SUBESPACIO ENGENDRADO

5. Encontrar el valor de

a

para que el vector

u



(3, ,3)

a

t pertenezca al subespacio engendrado por



u

₁



(1,4,3) ,

t

u

₂



(2,1,0)

t



.

SOLUCIÓN

Para que

u

pertenezca al subespacio engendrado por



u u

₁

,

₂



debe ser combinación lineal de ambos.





1 2

(3, , 3)

(1, 4, 3)

(2,1, 0)

2

3

1

4

5 ;

3, 5, 3

1

3

3

Además se cumple que

t

a

a

a

u

u

u

u











 











 







 

_



_{ }

 







 

 

6. Comprobar si el vector

u



(3,5,3)

pertenece al subespacio

S

engendrado por



u

1



(1,4,3),

u

2



(2,1,0),

u

3

 

( 1,3,3



En caso afirmativo razonar si el vector

u

se expresa de forma única. SOLUCIÓN

Para que

u

pertenezca al subespacio

S

engendrado por



u u u

₁

,

₂

,

₃



debe ser combinación lineal de éstos.

(1, 4, 3)

(2,1, 0)

( 1, 3, 3)

(3, 5, 3)

2

3

1

4

3

5

1

3

3

3









 





 











 



 





 





 





 



_



_

  









_

_



u



S

El vector

u

pertenece al subespacio

S

engendrado por



u u u

₁

,

₂

,

₃



pero hay infinitas soluciones porque los vectores no son linealmente independientes.

Por ejemplo Si



 2





 1;



3;



2 ;



u  u₁ 3u₂2u₃





3 2 1 1 2

Se verifica que

u



u



u

. Por tanto se puede considerar

B

_S



u u

,

5

1 2

(1, 4, 3)

(2,1, 0)

(3, 5, 3)

2

3

1

1

4

5

1

1

3

3

u

u

u

u

u

S











 











 





 



 

_



_

 

_{ }

  

 





 



 

7. Comprobar si el vector

u



(3, 0,3)

pertenece o no al subespacio

S

engendrado por los vectores



u

₁



(1,1,0) ,

u

₂



(0,1,0)



.

SOLUCIÓN

Para que

u

pertenezca al subespacio

S

engendrado por



u u

₁

,

₂



debe ser combinación lineal de ambos.

(1,1, 0)

(0,1, 0)

(3, 0,3)

3

0

0

3







 









  





_



Sistema incompatible. Luego

u



S

;

S

engendrado por



u u

₁

,

₂



BASE Y DIMENSIÓN

8. En 2 referido a la base canónica

B



 

i j

,

se da otra base

B

'





u u

₁

,

₂



definida

u

₁



i

;

u

₂

 

i

j

.

1. Comprobar que

B

'

es una base de

2

.

2. Obtener la matriz de cambio de base.

Se dan los vectores:

v

 

i

2

j

y

w

 

u

₁

u

₂.

3. Obtener las coordenadas de ambos vectores en las dos bases. De forma algebraica y de forma matricial

SOLUCIÓN

1. Comprobar que

B

'

es una base de

2

.

'

B

es una base de 2 porque los vectores son linealmente independientes ya que

1 2

0 ;

(1,0)

(1,1)

(0,0)

0;

0

u

u

















 







.

Además



( , )

x y



2

: (1,0)







(1,1)



( , )

x y

x

x

y

y

y

 







 

 







_



_





6

También se puede comprobar que es una base:

1 1

1 0

0 1

 

. Son linealmente independientes y como son 2 vectores generan 2

2. Cambio de base:



_{1 2}

 



1 1

0 1

P

u

u



i

j



_



_





1

1 1

1

1

Matriz de cambio de base:

0 1

0

1

P





_



_



P







_





_









3. Coordenadas de los vectores en ambas bases:

Expresar el vector

v

en la base

B

'

:

1 Antiguas Nuevas

1

1

1

1

0

1

2

2

P







  

 





  

 



  

 

;

v

  

u

1

2

u

2

También:





1

1 1 2 1 2

1 2

2

2

2

i

u

v

i

j

u

u

u

u

u

j

u

u





  

   

  

   



Expresar el vector

w

en la base

B

:

Nuevas Antiguas

1 1

1

2

0 1

1

1

P



  

 





  

 



  

 

;

w

 

2

i

j

También:





1

1 2 2

2

u

i

w

u

u

i

i

j

i

j

u

i

j





  

  

 

  



9. Se considera el espacio vectorial

P x

( )

de los polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales. Expresa la base canónica de

P x

( )

y determina razonadamente cual es la dimensión de este espacio vectorial. Analiza si los polinomios siguientes son linealmente independientes ¿Forman una base de P(x)? En caso negativo indicar la dimensión del subespacio que engendran.

2 2 2

( ) 1

4 ; ( )

3 6

2

y ( )

2 7

2

A x

  

x

x B x

 

x



x

C x

 

x



x

SOLUCIÓN

7

Por tanto la dimensión de

P x

( )

es 3 ya que hay 3 vectores en la base. Las coordenadas de los polinomios dados en la base canónica son:













( )

1, 1, 4 , ( )

t

3, 6, 2 ,

t

( )

2, 7, 2

t

A x





B x



C x









' '

2 2 1 3 3 2

' 3 3 1

3 2

1 1 4 1 1 4 1 1 4

3 6 2 0 9 10 0 9 10 ; ( ), ( ), ( ) 2

2 7 2 0 9 10 0 0 0

F F F F F F

F F F

rg A x B x C x

   

 

  

     

  _  _  _  _  _

     

 _   _   

     

Los polinomios dados NO son linealmente independientes, por tanto no forman una base de

P x

( )

cuya dimensión es 3. Como el rango es 2 engendran un subespacio de

( )

P x

de dimensión 2.

10. Comprobar que B



u₁



1,1,1 ,



u₂ (1, 0,1),u₃ (0, 2,3)



es una base de 3. Los vectores de la base

B





u u u

₁

,

₂

,

₃



van referidos a la base canónica



1

, ,

2 3



C

B



e e e

de 3.

a) Dado el vector

u



2

u

₁



u

₂



u

₃. Expresarlo en la base canónica de 3 usando técnicas algebraicas. Realizar también el ejercicio de forma matricial.

b) Dado el vector



1,3, 2



t

C

v





expresado en la base canónica de 3. Halla sus coordenadas en la base

B

usando técnicas algebraicas. Realiza también el ejercicio en forma matricial.

SOLUCIÓN

B es una base de 3: Hay que comprobar que son vectores linealmente independientes y forman un sistema generador del espacio vectorial 3.

Linealmente independientes





0

0

1,1,1

(1, 0,1)

(0, 2, 3)

0

2

0

0

3

0

0

1 1

0

También: 1 0

2

3

0. Luego son linealmente independientes

1 1

3

 















 





 















 

_







_





_{ }

_



_





  

8









2 3 2

3 3 2 1,1,1 (1, 0,1) (0, 2,3) , , 2

3 3

3

x y z

x

x y z

x y z y

z

x z



 













 





 

    

 

 

 

   _   _ 

 _{  } 

 _{   }



La matriz de cambio de base



 



_



1

_

2 3



1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 1 0

Base Canónica: C= 1 0 2 ;

Base 1 1 3

e e e

u u u e e e

B u u u

 



 

 _{  }

 

  

 

Matriz de cambio de base

1 1 0

1 0 2

1 1 3

P

 

 

  

 

 

; 1

2 3 2 1

1 3 2

3

1 0 1

P

 

 

  

 _  _

 _ 

 

Coordenadas del vector u en la base C

Dado el vector

u



2

u

₁



u

₂



u

₃ referido a la base B Algebraicamente

1 2 3

2

2(1,1,1) 1(1,0,1)

( 1)(0,2,3)

(3,0,0)

t_C

u



u



u

 

u



 



Matricialmente

1 1 0 2 3

( ) ; 1 0 2 1 0

1 1 3 1 0

B C

C B C

P u u

u P u u

     

     

 _{     }

 _{    }

     

1 2 3 1

2

;

3

B C

u



u

 

u

u

u



e

Coordenadas del vector

v

en la nueva base

B

Dado el vector en la base canónica C:

v



(1,3, 2)



t_C

  

v

e

₁

3

e

₂



2

e

₃

Algebraicamente

1 2 3

v





u





u





u

hay que hallar las coordenadas de v en la base B.

9





1 5

(1,3, 2) 1,1,1 (1, 0,1) (0, 2,3) 2 3 4

3 2 1

v

 















 





  

 

 

     _   _  

 _{   }  _{ }

 

Que son las coordenadas del vector v en la nueva base B. Matricialmente

 

1

1

2

3

2

1

5

1

;

1

3

2

3

4

3

1

0

1

2

1

C B

B C B

v v

P

v

P

v

v











    

 

    





_





_{    }

 



_

_{    }

_

_



    

1

3

2

2

3

;

5

1

4

2 3

C B

v

 

e

e



e

v



u



u



u

11. En el espacio vectorial

M

₂

( )

de las matrices cuadradas de orden 2 cuyos elementos son números reales. Expresar la base canónica de este espacio vectorial. Indicar una base del subespacio S de las matrices simétricas y otra base del subespacio H de las matrices antisimétricas. Calcular

S



H

.

SOLUCIÓN

Sea 11 12

21 22

a

a

A

a

a





 







una matriz cualquiera

A M



2

( )

La base canónica de las matrices cuadradas de orden 2 es

1

0

0

1

0

0

0

0

,

,

,

0

0

0

0

1

0

0

1

C

B

 





_

 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }



_







 

 

 







;

dim(

M

2

)



4

Sea ₁ 11 12

12 22

a

a

S

a

a





 







una matriz simétrica

S

1



M

2

( ) tal que

a

ij



a

ji

1

0

0

1

0

0

,

,

0

0

1

0

0

1

S

B

 





_

 

_{ }

 

_{ }



_







 

 







;

dim( )

S



3

Sea ₁ 12

12

0

0

a

H

a





 

_







una matriz antisimétrica

H

1



M

2

( ) tal que

a

ij

 

a

ji

0

1

1 0

H

B

 





_



_











10

Se verifica que

 

₂

3 1

4

dim

M



dim( )

S



dim(

H

)

esto supone que

S



H



 

0

y los subespacios son suplementarios. Se puede observar que la intersección es la matriz nula de orden 2.

11 12 12 22

12 12

1

0

0

1

0

0

Simétrica:

0

0

1

0

0

1

0

0

1

Antisimétrica:

0

1 0

a

a

a

a

a

a

a











_





_





_









































_







_





_











Al identificar las coordenadas (elementos de la matriz) resulta

11 12 21 22

0

0. Por tanto

0

a

a

a

a

a

a

a









 





_{ }



_{ }



_{  }





_{ }



0

0

0

0

S



H

 





_





Matriz nula de orden 2

Esto no es de extrañar ya que no es posible una matriz que al mismo tiempo sea simétrica y antisimétrica.

Conclusión Los subespacios S y H son suplementarios y su suma es directa:

2

( )

M

 

S

H

. Se verifica que “Toda matriz se puede descomponer de modo único en una matriz simétrica y otra antisimétrica”.



 



1 1

1

1

2

2

t t

A

 

S

H



A



A



A



A



_t



t _t

 

_t t _{t t}

A



A



A



A



A

  

A

A

A



SIMÉTRICA



_t



t _t

 

_t t _t



_t



A



A



A



A



A

  

A

A



A



ANTISIMÉTRICA

12. Sea E un espacio vectorial sobre referido a la base canónica B



e e e₁, ₂, ₃



. Se consideran otras bases: B₁ 



u u u₁, ₂, ₃



, B₂ 



v v v₁, ₂, ₃



cuyos vectores van expresados en la base canónica.

1 1 2 3

1 2 1 3

3 2 3

u e e e

B u e e

u e e

  

 

 

_   _

 _{ } 

 

;

1 1 2 3

2 2 2 3

3 3

v e e e

B v e e

v e

  

 

 

_   _

 _ 

 

; Sea

w



2

u

₁

 

u

₂

u

₃

11

SOLUCIÓN

a) Mediante sustituciones

1) El vector

w



2

u

₁

 

u

₂

u

₃ está expresado en

B

₁ con coordenadas



2, 1,1





t. 2) Para expresar w en la base

B

, basta expresar

( )

u

i en función de

( )

e

i

1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3

2

2(

) (

) (

)

3

2

w



u

  

u

u

e

 

e

e



e



e



e



e

 

e

e



e

Por tanto en la base

B

el vector w tiene de coordenadas



1,3, 2





t.

3) Si se despejan los vectores

( )

e

_i en función de los

( )

v

_i resulta

1 1 2

2 2 3

3 3

e v v

e v v

e v

  

   

  

Para expresar w en la base

B

₂, basta expresar

( )

e

i en función de

( )

v

i

1

3

2

2

3

(

1 2

) 3(

2 3

) 2( )

3 1

2

2

5

3

w

 

e

e



e



v



v



v



v



v

 

v

v



v

Por tanto en la base

B

₂el vector w tiene de coordenadas (1,2,-5).

vector





1, 2, 3

B e e e B₁ 



u u u₁, ₂, ₃



B₂ 



v v v₁, ₂, ₃



w (1, 3, -2) (2, -1, 1) (1, 2, -5)

b) Mediante matrices

Las coordenadas de un vector en dos bases se relacionan:

 

 

Antiguas Nuevas

x



P y

;

 

1

 

Nuevas Antiguas

y



P



x

Si B

 

e_i es la base antigua y B₁

 

u_i la base nueva



 



1 2 3

1

1 1 2 3

2 1 3 1 2 3 1 2 3

3 2 3

1

1

0

1

0

1

1 1

1

u u u P

u

e

e

e

u

e

e

u

u

u

e

e

e

u

e

e





  



_

_

  

















_{ }

_

_

_

12

La matriz de cambio de base

B



B

₁ : ₁

1 1 0

1 0 1

1 1 1

P

 

 

  

_ 

 

Se verifica:

w



2

u

₁

 

u

₂

u

₃

 

 

Antiguas Nuevas

x



P y

;

1 1 0 2 1

1 0 1 1 3

1 1 1 1 2

    

   _{ } _

    

_   _ 

    

1

3

2

2

3

w

 

e

e



e

Si B

 

e_i es la base antigua y B₂ 

 

v_i la base nueva



 



1 2 3

2

1 1 2 3

2 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3

1

0

0

1

1

0

1

1

1

v v v P

v

e

e

e

v

e

e

v

v

v

e

e

e

v

e





  



_

_

  















 







_

_

Matriz de cambio de base

B



B

₂: ₂

1 0 0

1 1 0

1 1 1

P

 

 

  

 

 

; 2

1

1 0 0

1 1 0

0 1 1

P

 

 

 _{ }

 _ 

 

Se verifica:

w

 

e

₁

3

e

₂



2

e

₃

 

1

 

Nuevas Antiguas

y



P



x

;

1 0 0 1 1

1 1 0 3 2

0 1 1 2 5

    

_   _ _

    

 _ _  _ 

    

1

2

2

5

3

w

 

v

v



v

13. Sea F un espacio vectorial sobre

referido a la base canónica



1, 2, 3



B e e e

. Se consideran las bases

B

₁





u u u

₁

,

₂

,

₃



y

B

₂





v v v

₁

, ,

_{2 3}



,

cuyos vectores van referidos a la base canónica:

















1 1 0,1,1 , 2 1,1,1 , 3 3,1, 0

B  u  u  u 

















2 1 1,1, 0 , 2 1, 0, 2 , 3 0, 2,5

B  v  v   v 

Obtener la matriz de cambio de base de

B1 a B2

SOLUCIÓN

Expresamos ambas bases en función de los vectores de la base canónica.

1 2 3 1 1 2

1 2 1 2 3 2 2 1 3

3 1 2 3 2 3

2

3 2 5

u e e v e e

B u e e e B v e e

u e e v e e

   

 

 _{  }  _{  }

 

 _{ }  _{ }

 

13

Despejamos



e e e1, ,2 3



en función de



u u u1, 2, 3



y expresamos



v v v1, 2, 3



en

función de



u u u₁, ₂, ₃



.

1 1 2 3

1 1 2

2 1 2 3 2 1 2 3

3 1 2 3 3 1 2 3

2 2

3 3 3 5 2

2 3 4 9 3

v u u u

e u u

e u u u v u u u

e u u u v u u u

  

   



 _{  }  _{   }

 

 _{   }  _{   }

 

Por tanto



1 2 3

 

1 2 3



2 3 4

2 5 9

1 2 3

v v v u u u

 

 

 

 _ _

 _{ } 

 

Operando en forma matricial:

   

   

   

1

   

1

;

1

3

;

i i i i

i i i i

u

e A

v

e B

i

e

u A



v

u A B









_{ }











1 2 3

 

1 2 3



0 1 3

1 1 1

1 1 0

A

u u u

e e e











_

_









0 1 3

1 1 1

1 1 0

A

 

 

  

 

 

Vectores por columnas



1 2 3

 

1 2 3



1

1 0

1

0

2

0

2

5

B

v v v

e e e













_

_









1 1 0

1 0 2

0 2 5

B



 

 

  

 

 

Vectores por columnas

1

1 3 2 1 1 0 2 3 4

1 3 3 1 0 2 2 5 9

0 1 1 0 2 5 1 2 3

A B

    

    

    

 _  _{  }  _

 _    _{ } 

    

Por tanto



_{1 2 3}

 

_{1 2 3}



2 3 4

2 5 9

1 2 3

v v v u u u

 

 

 

 _ _

 _{ } 

 

14. En el espacio vectorial

M

₂

( )

de las matrices cuadradas de orden 2 cuyos elementos son números reales. Se considera la matriz 1 2

3

A

m

 

  

 

1. Encuentra el valor de

m

para que existan matrices

B



M

₂

( )

, no nulas tales que 0 0

0 0

A B   _

 

2. Comprueba que el subespacio

S

engendrado por

B

es subespacio vectorial de

2

( )

M

.

14

1 2 2 2 0 0

3 3 3 0 0

a b a c b d

m c d a m c b m d

 

       

 

     _{   }   

       

2

0

2

0

3

0

3

0

a

c

b

d

a

m c

b

m d







  



 

_{  }



   



2

2

( 6

)

0

( 6

)

0

a

c

b

d

m c

m d

 



  



  





  







m



6

En el caso c    d 0 a b 0,

0

0

0

0

B

 





_





Por tanto la matriz 2 2 , ; 1 2 3 6

c d

B c d R A

c d

 

   

_{ }  _{ }

   

Para comprobar que

S

es un subespacio vectorial de

M

₂

( )

: Sean

 

,



;

B B

₁

,

₂

  

S

A B

₁



0 ;

₂

A B



₂



0

₂

Comprobar que



B₁



B₂S significa que A





B₁



B₂



0₂





1 2 1 2 ( 1) ( 2) 02 02 02

B B A B B A B A B







 











 



   

Por lo tanto

S

es un subespacio vectorial de

M

₂

( )

.

Una base del subespacio

S

:

1 2

2 0 0 2

,

1 0 0 1

E E

B

 

 

   

 

    

   

 

 

Como hay 2 vectores en la base de

S

:

dim( )

S



2

.

Ecuaciones implícitas de

S

:

2

0

2

0

a

c

b

d











_

_







Condiciones que tienen que cumplir las coordenadas de una matriz de

M

₂

( )

para pertenecer a

S

.

NOTA:

a) Son linealmente independientes:

1 2

2 0 0 2 0 0

1 0 0 1 0 0

E E

_ __   _{ } _

     ;   0 ;

b) Es un sistema generador de

S

:

1 2

2 0 0 2 2 2

; ,

1 0 0 1

E E

 

   

 

   

     

  

     

15

Luego



E E1, 2



son linealmente independientes y forman un sistema generador de

S

.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS

15. En

R

3 se considera el subespacio

1 1 2 3

2 1 3

3 1 2 3

:

2 5

x

S x

x

  

 







  



   

    



Obtener la dimensión y una base del subespacio. SOLUCIÓN

Es un caso de sobreparametrización: Esto significa que se ha engendrado el subespacio con más vectores que los necesarios para formar una base de

S

.

Dando valores a los parámetros, se obtienen los vectores que han generado el subespacio

S

:













1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 2 3

1; 0 1; 0 1; 0

1,1, 1 ;t 1, 0, 2 ;t 1, 1, 5 t

u u u

           

 

 _{      } 

 

 

 

Se observa que

u

₃

  

u

₁

2

u

₂. Si no se ve fácilmente se puede hallar el rango de este conjunto de vectores

S

:



2 1 3 2

3 1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 2 0 1 3 0 1 3

1 1 5 0 2 6 0 0 0

F F F F

F F

 



  

     

_{ }  _  _  _  _ 

     

 _   _   

     

;

3 1 2

( )

2

2

rg A

u

u

u



  

Una base de

S

: B_S 



u₁(1,1, 1) ; u₂  ( 1, 0, 2)





dim( )

S



2

. Estos dos

vectores engendran un subespacio de dimensión 2.

Suprimir



₃. Ecuaciones paramétricas de

S

:

1 1 2

2 1

3 1 2 2

x

x

x

 







  

  

    

16. En 4 referido a la base canónica se dan los subespacios:

S

engendrado por los vectores:



u

₁

  



1, 1, 0,1 ,



u

₂





0,1,1, 0





T

de ecuaciones implícitas:



x

₁



x

₃



0

;

x

₂

 

x

₃

x

₄



0



SE PIDE:

16

3. Base de

S



T

SOLUCIÓN

1. SUBESPACIO

S

Para que un vector pertenezca a S dicho vector debe ser combinación lineal de los vectores que forman una base del subespacio.



1 2



Base: u u,













1 2

1

,

2

,

3

,

4

1, 1, 0,1

0,1,1, 0

x

S

x

u

u

x x x x









   







_

_{ }

_



Ecuaciones paramétricas de S: 1 2 3 4

1 0

0 1

1

0

1

1

,

0

1

1

0

S

x

x

B

x

x

   



 





   









 





_

   

_



_{  }

_

   

_

_



_

_{   }



_



_{   }







_{   }





_



_{   }





_

_





Para pasar a implícitas se eliminan los parámetros:

Incógnitas

Ecuaciones: r

4

2

2 ecuaciones

Parámetros

n

n

p

r

n

p

p





 

_{ }

     





1 4 2 3 4



Implícitas de :

S

x



x



0 ;

x

 

x

x



0

2. SUBESPACIO

T

Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas se calcula el número de parámetros y se asignan los parámetros a ciertas coordenadas.

Incógnitas

Parámetros:

4

2

2 parámetros

Ecuaciones

n

p

n

r

p

n

r

r





 

_{ }

     



.



1 3 2 3 4



Implícitas de :

T

x



x



0

;

x

 

x

x



0

Ecuaciones paramétricas de T: 1 2 3 4

x a

x b

x a

x a b

        

   

Base:

1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

1 1

T

a a

b b

B

   

 

_{   } 

_{   }

_{   }

 _{   }

_{   }

_{   } 

 

17

3. INTERSECCIÓN

Se igualan las paramétricas de

S

y

T

y se busca la condición para que haya vectores que pertenezcan a ambos subespacios: Relación entre parámetros

1 2 3 4 x a x b x a

x a b



 





                   

Se despejan

 

y en 1ª y 3ª ecuación a

a





    

Se entra en las otras ecuaciones, resultando como relación:

b



0

. Con este valor se entra en las paramétricas correspondientes y se obtienen las ecuaciones paramétricas de la intersección.

1 2 3 4 0 : x a x S T x a x a        _{ }    

Por tanto una base:

1 0 1 1 S T B _       _{ }  _{ } _{ } _{ }  

17. TIPOS DE INTERSECCIÓN 1.

S

1



S

2



 

0

En

R

3 se consideran los subespacios S₁



x



,y2

 

 ,z3



2





y





2 2 , 2 , 3 2

S  x a b y  a b z  a b . Obtener

S

₁



S

₂. SOLUCIÓN

Se igualan las paramétricas 2

2 2

3 2 3 2

a b a b a b



 





    _{   }   _{   }  2 4 5 a b a b





     _{  }

   a b

Paramétricas de

S

₁



S

₂

x a y a z a        

Implícitas:

0

0

x

y

x

z

 



  



Base de

S

₁



S

₂









1

2

1

;

1,

1

1

;

1,

1

1

u

S

u

u

S

a

b







 



_

_

_

_{ }



_

 



_





_{ }







 







_{ }

_{ }









18

En

R

4 se dan los subespacios

S

₁ engendrados por los vectores



(1,1, 0,1), (1,1, 0, 0)



y 2

S

engendrado por los vectores



(0,1, 0,1), (0,1,1,1)



. Obtener

S

₁



S

₂. SOLUCIÓN

Para obtener unas paramétricas de

S

₁

:

 

w

S

₁

w





(1,1, 0,1)





(1,1, 0, 0)

Para obtener unas paramétricas de

S

₂

:

 

w

S

₂

w



a

(0,1, 0,1)



b

(0,1,1,1)

Se igualan las paramétricas

0

0

a b

b

a b

 

 



 



   



 



  



0

0

a

b

 

  _



S

1



S

2



 

0

Los 4 vectores:



(1,1, 0,1), (1,1, 0, 0), (0,1, 0,1), (0,1,1,1)



son LIBRES. Por tanto forman una base de

R

4 , además

S

₁



S

₂



R

4, Suma directa: Subespacios Suplementarios. 3. La intersección es uno de ellos.

S

1



S

2



S

2 (por ejemplo)

En

R

4 se dan los subespacios

S

₁ engendrados por los vectores



e1 e2 e e4, 2e e4, 2 e3 e4



y

S

2 de ecuaciones implícitas



x2x4 0,x10



Obtener

S

₁



S

₂. SOLUCIÓN

Se forman unas paramétricas de

S

₁ y otras de

S

₂

1

:

S

(x e_{1 1}x e_{2 2}x e_{3 3}x e_{4 4})





e₁ e₂ e₄









e₂e₄

 





e₂ e₃ e₄



1 1

2 2

1

1 2

3 3

2 4

4 4

0 4 2 2

0

: ; :

x x

p n r

x x a

x

S S

x x b

x x

x x a



  



  

 

 

     

 _{  }  _

 _{ } 

 _   _



  _ 

 

 _{  }  _

 

Se igualan las paramétricas

0

a

b

a



  



  





   



 



   



0

a b

b







  

_  

  