Apuntes Transformada de Laplace

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(1)

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática

Campus Santiago

Apuntes Transformada de Laplace

Vivian Aranda Núñez Verónica Gruenberg Stern

Introducción

La transformada de Laplace es un ejemplo de unoperador. Esteopera sobre una fun-ción, produciendo otra función. Latransformada de Laplace es un método útil para re-solver ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial con condiciones en la frontera. También permite resolver ecuaciones integrales ó íntegro-diferenciales. Esencialmente, estos problemas se resuelven en 3 pasos: en primer lugar, se transforma el problema en uno más sencillo, luego se resuelve el problema sencillo y, finalmente, la solución obteni-da se transforma en el sentido inverso, obteniéndose la solución al problema original.

Definición

Supongamos que f(t) es una función definida para todo t > 0. La transformada de Laplace def, si la integral siguiente converge, es la función des dada por:

L(f)(s) =F(s) =

Z ∞

0

f(t) e−st

dt para s >0

Además: f(t) = L1

(F(s)), es la transformada de Laplace inversa de F. Ejemplos: Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1. f(t) = 1, t >0

L(1)(s) =F(s) =

Z ∞

0

1· e−st

dt = l´ım

T→∞ Z T

0

1· e−st

dt= l´ım

T→∞

−e−st

s

T

0

=

= l´ım

T→∞

−e−sT

s +

1 s

= 1 s

2. f(t) =eat

, t >0

L(eat

)(s) = F(s) =

Z ∞

0

eat· e−st

dt = l´ım

T→∞ Z T

0

e−(s−a)t

dt

= l´ım

T→∞

−e−(s−a)t

sa

T

0

= l´ım

T→∞

−e−(s−a)T

sa +

e−(s−a)·0

sa

(2)

3. f(t) =t, t >0

L(t)(s) = F(s) =

Z ∞

0

t e−st

dt = l´ım

T→∞ Z T

0

t e−st

dt

Integrando por partes, con u=t (∴du=dt) dv =e−st

dt

∴v = −e

−st

s

:

L(t)(s) = l´ım

T→∞ "

−t e−st

s T 0 − Z T 0

−e−st

s dt

#

= l´ım

T→∞ "

−t e−st

s T 0 − e −st s2 T 0 # = = l´ım T→∞ "

−t e−sT

s −

e−sT

s2 +

1 s2 # = l´ım T→∞ −T

s esT −Tl´ım

→∞

1

s2 esT + l´ımT

→∞

1 s2

Usando la regla de L’Hôpital:

l´ım

T→∞

−T

s esT = l´ımT

→∞

−1

s2 esT = 0 =⇒ L(t)(s) = 0−0 +

1 s2 =

1 s2

Notar que, usando integración por partes, se tiene que nN:

L(tn

)(s) =

Z ∞

0

tn

e−st

dt =tn

·(e

−st s ) ∞ 0 + n s Z ∞ 0

tn−1

e−st

dt = n

s L(t

n−1

)(s)

Luego, es posible probar inductivamente, que:

L(tn

)(s) = n!

sn+1 ∀n ∈N

4. f(t) = sen(bt), t >0

L(sen(bt))(s) = F(s) =

Z ∞

0

sen(bt) e−st

dt= l´ım

T→∞ Z T

0

sen(bt)e−st

dt

Para usar integración por partes, hacemos u=e−st

⇒ du=s e−st

dt

dv= sen(bt)dt v =cos(bt)

b :

Z T

0

sen(bt) e−st

dt = e

−st b cos(bt) T 0 − Z T 0

s· e−st

b cos(bt)dt

= e

−st b cos(bt) T 0 − s b Z T 0

e−st

(3)

Hacemos

u=e−st

⇒ du=s e−st

dt dv= cos(bt) dt v = sen(bt) b

y usando integración por partes nuevamente:

Z T

0

sen(bt) e−st

dt = e

−st b cos(bt) T 0

− sb

Z T

0

e−st

cos(bt)dt

= e

−st b cos(bt) T 0

− sb

 e −st b sen(bt) T 0 − Z T 0

−s e−st

b sen(bt) dt

 

= e

−st b cos(bt) T 0

− s e

−st

b2 sen(bt) T 0 − s 2 b2 Z T 0

sen(bt) e−st

dt

Tenemos Z T

0

sen(bt) e−st

dt a ambos lados de la ecuación. Poniendo este tér-mino al lado derecho de la ecuación y evaluando, tenemos:

1 + s

2

b2 Z T

0

sen(bt)e−st

dt = e

−sT

b cos(bT) + 1 b −

s e−sT

b2 sen(bT)

Z T

0

sen(bt) e−st

dt = b

2

b2+s2

−e

−sT

b cos(bT) + 1 b −

s e−sT

b2 sen(bT)

Finalmente,

L(sen(bt))(s) =

Z ∞

0

sen(bt) e−st

dt

= l´ım

T→∞ Z T

0

sen(bt)e−st

dt

= l´ım

T→∞

b2

b2+s2

−e

−sT

b cos(bT) + 1 b −

s e−sT

b2 sen(bT)

= b

b2+s2

Análogamente, podemos calcular la transformada de Laplace de la función

f(t) = cos(bt), integrando por partes dos veces, obteniendo:

(4)

Observación

Pareciera que para determinar las transformadas de Laplace de funciones, deberemos calcular siempre integrales impropias. Esto no es así: una de las ventajas que tiene la transformada de Laplace son sus variadas propiedades que estudiaremos a continuación, y que nos permitirán hacer uso de las transformadas de funciones conocidas. Para ello, es conveniente notar que con sólo la definición, hemos construído la siguiente tabla de transformadas de Laplace:

Cuadro 1: Transformada de Laplace

f(t) L(f)(s) = F(s)

1 1

s s >0

t 1

s2 s >0

tn n!

sn+1 s >0

sen(bt) b

s2+b2 s >0

cos(bt) s

s2+b2 s >0

eat 1

sa s > a

(5)

1.

Existencia de la Transformada de Laplace

1.1.

Definición

Diremos quef : [a, b]−→R es seccionalmente continua ó continua por tramos ssi 1. f es continua entodos los puntos del intervalo [a, b], salvo a lo más en un número

finito de ellos.

2. Todos los puntos t0 de discontinuidad de f, son discontinuidades de tipo salto, es decir, en los puntos de discontinuidad se tiene que los siguientes dos límites existen:

l´ım

t→t− 0

f(t) = f(t−

0) ∈R ∧ l´ım

t→t+

0

f(t) = f(t+ 0) ∈R

Observación

1. |f(t+0)f(t−

0)| mide el salto de la discontinuidad. 2. Si f(t+0) = f(t−

0), entonces f es continua en t0. Si esto sucede en todos los even-tuales puntos de discontinuidad, significa que f es continua en el intervalo [a, b]. Claramente, f continua en [a, b] f seccionalmente continua en [a, b].

3. Sif es seccionalmente continua en [a, b], entonces Z b

a

f(t)dt existe y es indepen-diente de los valores que toma f en los puntos de discontinuidad (si es que los toma).

4. Si f y g son seccionalmente continuas en [a, b] con f(x) = g(x) x excepto en los puntos de discontinuidad, entonces

Z b

a

f(t)dt =

Z b

a

g(t)dt.

5. Sif yg son seccionalmente continuas en [a, b]entoncesf(x)·g(x) es seccional-mente continua en[a, b] y

Z b

a

f(t)g(t)dt existe.

Ejemplos

1. f(x) =

x 0< x <1

1x 1< x <2 es seccionalmente continua.

2. f(x) = 1

x, ∀x∈[−1,1]− {0} no es seccionalmente continua.

3. Sig(t)está dada por:

g(t) =

1 si 06t <1 0 si t>1

entonces su transformada de Laplace es:

L(g)(s) = G(s) =

Z 1

0

1 e−st

dt= −e

−st

s

1

0

= −e

−s

s +

(6)

Ejercicio

Calcular la transformada de Laplace de f(t), donde f(t) está dado por:

f(t) =

t si 06t61 1 si 1< t <

1.1.1. Definición

Diremos quef es seccionalmente continua en R+

0 sif es seccionalmente continua en

[0, t0] ∀t0 >0.

1.1.2. Definición

Diremos que una funciónf es de orden exponencial en [0,[ si existen constantes

α, C R, C > 0 tal que |f(t)| ≤Ceαt t >0.

Ejemplos

1. f(t) = 1

2. f(t) =tn

3. f(t) =eat

4. f(t) = senbt, f(t) = senbt

5. f(t) =tn

eat

senbt

6. f(t) =et2

no es de orden exponencial.

1.1.3. Teorema

Sif es seccionalmente continua y de orden exponencial en R+

0 entonces ∃a >0 tal que f tiene transformada de Laplace para s > a.

1.2.

Linealidad de la transformada de Laplace

Supongamos quef yg son funciones seccionalmente continuas y de orden exponen-cial, y que α y β son constantes. Luego,

L(α f(t) +β g(t)) (s) =α L(f(t))(s) +β L(g(t))(s)

Este sencillo hecho permite y facilita el cálculo de la transformada inversa de Laplace.

Ejercicios:

1. Calcular la transformada de Laplace de f(t) = 3 sen 2t4t+ 5e3t

L{3 sen 2t4t+5e3t

}= 3L{sen 2t}−4L{t}+5L{e3t

}= 3 2 s2+ 4−4

1 s2+5

(7)

2. Calcular la transformada de Laplace de f(t) = sen2(at)

Notar que cos 2α = cos2αsen2α = 12 sen2α

∴ sen2α = 1−cos 2α

2

Por lo tanto, L(sen2(at)) = L

1cos 2at 2

= 1

2(L(1)− L(cos 2at)) =

= 1 2 1 s − s s2+ 4a2

= 2a

2

s(s2+ 4a2)

3. Calcular L1

1 s(s2+ 1)

Notar que 1

s(s2+ 1) =

A

s +

Bs+C s2+ 1 =

(A+B)s2+Cs+A

s(s2+ 1)

Resolviendo, obtenemos que A = 1, B = 1, C = 0. Luego:

L−1

1 s(s2+ 1)

= L1

1 s

− L−1

s s2+ 1

= 1cost

4. Dada F(s) = 15

s2+ 17 encontrar f(t).

L−1

15 s2 + 17

= L1 15

17

17 s2+ 17

!

= √15

17 sen(

17t)

5. Dada F(s) = 5

s7 encontrar f(t).

L−1

5 s7

= L1 5 6! 6! s7 = 5 6! t 6.

6. Calcular la transformada de Laplace inversa de: F(s) = 1 s5−

16 s2+ 4

f(t) =L1

(F)(s) =L1

1 s5

− L−1

16 s2+ 4

=L1

1 s5

−8 L1

2 s2 + 4

=e5t8 sen(2t)

7. CalcularL−1

s+ 9 s22s3

s+ 9 s22s3 =

s+ 9

(s+ 1)(s3) = A (s+ 1) +

B (s3) =

A(s3) +B(s+ 1) (s+ 1)(s3)

= A(s−3) +B(s+ 1) (s+ 1)(s3) =

(8)

A+B = 1

−3A+B = 9 =⇒

A = 2

B = 3

luego, podemos reescribirlo como:

F(s) = s+ 9 s22s3 =

−2 (s+ 1) +

3 (s3)

f =L1

(F) = L1

−2 (s+ 1)

+L1

3 (s3)

=2e−t

+ 3e3t

8. CalcularL1

s s2+ 4s+ 13

s

s2+ 4s+ 13 =

s

s2+ 2(2s) + 44 + 13 =

s

(s2+ 2(2s) + 4) + 9 =

s

(s+ 2)2+ 32 =

= s+ 2−2 (s+ 2)2+ 32 =

s+ 2 (s+ 2)2+ 32 −

2

(s+ 2)2+ 32 =

= s+ 2 (s+ 2)2+ 32 −

2 3

3 (s+ 2)2+ 32

f =L1

(F) =L1

s+ 2 (s+ 2)2+ 32

−2

3L

1

3 (s+ 2)2+ 32

=e−2t

cos(3t)2 3e

2t

sen(3t)

1.3.

Propiedades Básicas de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace de derivadas

La relación existente entre la transformada de Laplace de la derivada de una función y la transformada de Laplace de la función misma es sorprendente, y nos permitirá aplicar esta herramienta para resolver ecuaciones diferenciales.

1.3.1. Proposición

Supongamos quey=f(t) es una función diferenciable por tramos y de orden expo-nencial. Supongamos también que y′

es de orden exponencial. Luego a partir de algún

sR:

L(y′

)(s) = s L(y)(s)y(0) =s Y(s)y(0)

(9)

Demostración

L(y′

)(s) =

Z ∞

0

y′

(t) e−st

dt= l´ım

T→∞ Z T

0

y′

(t) e−st

dt

Usando integración por partes:

u=e−st

⇒ du=s e−st

dt dv=y′

(t)dt v =y(t)

L(y′

)(s) = l´ım

T→∞ "

y(t) e−st

T

0

+s

Z T

0

y(t) e−st

dt

#

= l´ım

T→∞ "

y(T)e−sT

−y(0) +s

Z T

0

y(t) e−st

dt

#

= l´ım

T→∞y(T) e −sT

− l´ım

T→∞y(0) +sTl´ım→∞ Z T

0

y(t) e−st

dt

= l´ım

T→∞y(T) e −sT

−y(0) +s

Z ∞

0

y(t)e−st

dt

= l´ım

T→∞y(T) e −sT

−y(0) +s Y(s)

Ya que y es de order exponencial, existen constantes C y a tal que |y(t)| 6 C eat

, por lo tanto:

e−sT

|y(T)|6C e−(s−a)T

lo cual converge a 0para s > a cuando T −→ ∞. Por lo tanto,

L(y′

)(s) =s Y(s)y(0).

1.3.2. Proposición

Supongamos que y e y′

son funciones diferenciables por tramos y continuas y que

y′′

es continua por tramos. Supongamos que las tres son de orden exponencial. Luego,

L(y′′

)(s) = s2 L(y)(s)s y(0)y′

(0) =s2 Y(s)s y(0)y′

(0)

donde Y(s) es la transformada de Laplace dey. Inductivamente, puede probarse que en general:

L(y(k))(s) = sk L(y)(s)sk−1

y(0)− · · · −s y(k−2)

(0)y(k−1)

(0)

Observación

1. Sif es continua en R+ y f(0+) existe, entonces

L(f′

)(s) = s L(f)f(0+).

2. Si f es discontinua en x1,· · · , xn ∈ R+ y f(x+i ) y f(x

i ) existen, ∀i = 1,· · ·n,

entonces:

L(f′

)(s) = s L(f)f(0+)

n

X

i=1

e−xis

f(x+i )−f(x

i )

(10)

Ejemplos

1. Resolver y′′

−y= 1, y(0) = 0, y′

(0) = 1

Aplicamos L a la ecuación, obteniendo: L(y′′

)− L(y) = 1 s

i.e. s2L(y)sy(0)y

(0)− L(y) = 1 s

Luego, Y(s)(s21) = 1

s + 1 ⇒ Y(s) = 1 s(s1)

∴ y(t) = L−1

1 s(s1)

= et

−1

2. Encontrar la solución del problema de valor inicial:

y′′

+y= cos 2t con y(0) = 0, y′

(0) = 1

L{y′′

+y} = L{cos 2t}

L{y′′

}+L{y} = L{cos 2t}

s2 Y(s)s y(0)y

(0) +Y(s) = s s2+ 4

Y(s)(s2+ 1)1 = s

s2+ 4

Y(s) = 1 (s2+ 1)

s

s2+ 4 + 1

Y(s) = s

2+s+ 4

(s2+ 1)(s2+ 4)

Y(s) = 1 3

s (s2+ 1) +

1 (s2+ 1)

1 3

s (s2+ 4) ya que:

s2+s+ 4

(s2+ 1)(s2+ 4) =

As+B (s2+ 1) +

Cs+D (s2+ 4)

= (As+B)(s

2+ 4) + (Cs+D)(s2+ 1)

(s2+ 1)(s2+ 4)

= As

3+ 4As+Bs2+ 4B +Cs3+Cs+Ds2+D

(s2+ 1)(s2+ 4)

= (A+C)s

3+ (B+D)s2+ (4A+C)s+ (4B +D)

(11)

A+C = 0

B+D = 1

4A+C = 1 4B+D = 4

=

A = 1/3

B = 1

C = 1/3

D = 0

s2+s+ 4

(s2+ 1)(s2+ 4) = 1 3s+ 1

(s2+ 1) +

−13s

(s2+ 4)

= 1 3

s (s2+ 1) +

1 (s2+ 1)

1 3

s (s2+ 4)

Finalmente para encontrar el valor de y que es solución del problema de valor inicial, utilizamos la inversa de la transformación de Laplace:

y(t) = L1

(Y)

= 1 3L

1

s (s2+ 1)

+L1

1 (s2+ 1)

− 13L−1

s (s2+ 22)

= 1

3cos(t) + sen(t)− 1

3cos(2t)

3. Resolver y′′

+ 4y′

+ 3y= 0, y(0) = 3, y′

(0) = 1

4. Sif(t) = tsenωt, determine L(f).

f(t) = tsenωt, entonces f(0) = 0 y f′

(t) = senωt+ωcosωt

Luego, f′

(0) = 0 y f′′

(t) = 2ωcosωtω2f(t)

Así, L(f′′

) = 2ωL(cosωt)ω2L(f)

El lado izquierdo de la igualdad es igual a: s2L(f)sf(0)f

(0)

Por lo tanto: (s2 +ω2)L(f) = 2ωL(cosωt)

L(f) = 2ωs (s2+ω2)2

5. DetermineL(f), si

a) f(t) = tcosωt b) f(t) = teat

c) f(t) = tn

(12)

La transformada de Laplace de la integral

1.3.3. Proposición

Sif es seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces Z t

a

f(x)dx es de orden exponencial y se tiene que

L

Z t

a

f(x)dx

= 1

sL(f)− 1 s

Z a

0

f(x)dx

Observación

Sia= 0, entonces

L

Z t

0

y(u) du

(s) = 1 s Y(s)

Aplicando la transformada inversa a esta relación:

L−1

1 s Y(s)

=

Z t

0

y(u) du

Cuadro 2: Transformada de Laplace

y(t) L(y)(s) =Y(s)

y′

(t) s Y(s)y(0)

y′′

(t) s2 Y(s)s y(0)y

(0)

y(n)

(t) sk

Y(s)sk−1

y(0)− · · · −s y(k−2)

(0)y(k−1)

(0)

Z t

0

y(u) du 1

s Y(s)

Ejemplos

1. Si L(f) = 1

s(s2+ω2), determinar f(t).

2. Si L(f) = 1

(13)

1.3.4. Teorema (1◦

de traslación)

Sea f una función continua por tramos y de orden exponencial. Sea F(s) la trans-formada de Laplace de f, y sea cuna constante. Entonces,

L{ec t

f(t)}(s) =F(sc)

Demostración

L{ec t

f(t)}(s) =

Z ∞

0

ec t

f(t)e−st

dt =

Z ∞

0

f(t) e−(s−c)t

dt=F(sc)

Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de g(t) =e2t

sen 3t

L{e2t

sen 3t}=F(s2) = 3

(s2)2+ 9 =

3 s24s+ 13

Cuadro 3: Transformada de Laplace

f(t) L(f)(s) = F(s)

eat

sen(bt) b

(sa)2 +b2 s > a

eat

cos(bt) s−a

(sa)2 +b2 s > a

eat

tn n!

(sa)n+1 s > a

Observación

Supongamos quef es una función continua por tramos de orden exponencial, y sea

F(s) su transformada de Laplace. Luego,

F (s) =

Z ∞

0

f(t)e−st

dt

Derivando con respecto a la variable s, suponiendo que, en este caso, es posible intercambiar la integral con la derivada:

F′

(s) = d

dsF(s) = d ds

Z ∞

0

f(t) e−st

dt

=

Z ∞

0

f(t) ∂ ∂s(e

−st

) dt

=

=

Z ∞

0

t f(t) e−st

dt

(14)

es decir:

L{t f(t)}(s) =F ′

(s)

Inductivamente, si n es cualquier entero positivo, entonces:

L{tn

f(t)}(s) = (1)n

F(n)

(s)

donde F(n)

(s) = d

n

dsnF(s)

Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de la función t2e3t

Aqui f(t) =e3t

= F(s) = 1 (s3)

con F ′

(s) = d

ds(F(s)) =− 1

(s3)2 y F ′′

(s) = d ds(F

(s)) = 2 (s3)3

luego,

L{t2e3t

}(s) = (1)2F ′′

(s) = 2 (s3)3

1.4.

Funciones Discontinuas

Consideremos las siguientes funciones:

Función intervalo:

Hab(t) =

  

0 , t < a 1 , a6t < b 0 , b6t <

Función escalón unitario:

H(t) =

0 , t <0 1 , t>0

Función escalón unitario trasladada hasta el punto c:

Hc(t) =H(t−c) =

0 , t < c 1 , t>c

Podemos expresar la función intervalo Hab(t) en términos de la función escalón

unitario Ha(t)y Hb(t) del siguiente modo:

(15)

Ejercicio: Exprese la función g(t) en términos de la función escalón unitario:

g(t) =

2t , 06t <1 2 , 16t <

g(t) = 2t H01(t) + 2 H1(t)

= 2t[H0(t)−H1(t)] + 2 H1(t)

= 2t H0(t) + (−2t+ 2) H1(t)

= 2t H(t0)2(t1)H(t1) = 2t H(t)2(t1) H(t1)

Ejercicio: Exprese la función f(t) en términos de la función escalón unitario:

f(t) =

  

3 , 06t <4

−5 , 46t <6 e−t

, 66t <

f(t) = 3 H04(t)−5H46(t) +e−

t

H6(t)

= 3 [H0(t)−H4(t)]−5 [H4(t)−H6(t)] +e−t H6(t)

= 3 H0(t)−8 H4(t) + 5 H6(t) +e−

t

H6(t)

= 3 H(t)8H(t4) + 5 H(t6) +e−t

H(t6)

La transformada de Laplace de la función escalón unitario

L(Hc(t))(s) =

Z ∞

0

Hc(t) e

−st

dt

=

Z c

0

0· e−st

dt+

Z ∞

c

1· e−st

dt

= l´ım

T→∞ Z T

c

1· e−st

dt

= l´ım

T→∞

−e−st

s

T

c

= l´ım

T→∞

−e−T s

s +

e−cs

s

= e

−cs

s

Luego,

L(Hab(t))(s) =L(Ha(t))(s)− L(Hb(t))(s) =

e−as

−e−bs

(16)

1.4.1. Teorema 2◦

de Traslación

Sea f(t) una función continua por tramos y de orden exponencial. Sea F(s) la transformada de Laplace de f. Luego para c > 0, la transformada de Laplace de la función H(tc) f(tc) esta dado por:

LH(tc)f(tc) =e−cs

F(s)

Demostración

LH(tc) f(tc) =

Z ∞

0

H(tc) f(tc) e−st

dt

=

Z c

0

0e−st

dt+

Z ∞

c

f(tc)e−st

dt

=

Z ∞

c

f(tc) e−st

dt (haciendo τ =tc)

=

Z ∞

0

f(τ) e−s(τ+c)

dτ =e−cs

Z ∞

0

f(τ)e−sτ

= e−cs

F(s)

Ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace de la funciónH(tπ/4) sen(t)

La función sen(t) debe estar expresado en términos de(tπ/4)

sen(t) = sen((tπ/4) +π/4)

= sen(tπ/4) cos(π/4) + cos(tπ/4) sen(π/4)

= sen(tπ/4)

2

2 + cos(t−π/4)

2 2

Luego,

H(tπ/4) sen(t) =

2

2 H(t−π/4) sen(t−π/4) +

2

2 H(t−π/4) cos(t−π/4)

Finalmente,

LH(tπ/4) sen(t) =

2 2 L

H(tπ/4) sen(tπ/4) +

+

2 2 L

H(tπ/4) cos(tπ/4)

LH(tπ/4) sen(t) =

2 2 e

−π

4s 1

s2+ 1 +

2 2 e

−π

4s s

s2+ 1 =

2 2 e

−π

4s

1 +s s2+ 1

(17)

1.4.2. Proposición

Supongamos que f(t) es una función continua por tramos y de orden exponencial. Supongamos que F(s) = L{f}(s). Luego,

L−1

{e−cs

F(s)}(t) = H(tc)f(tc)

Ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace inversa de la función

F(s) = e

2s

s(s2+ 9)

Para determinar L−1

(F(s)), descomponemos la parte racional de F usando frac-ciones parciales:

1 s(s2+ 9) =

A

s +

Bs+C s2+ 9 =

A(s2 + 9) + (Bs+C)s

s(s2+ 9) =

(A+B)s2+Cs+ 9A

s(s2+ 9)

A+B = 0

C = 0

9A = 1

=

A = 1/9

B = 1/9

C = 0

1 s(s2+ 9) =

1/9

s +

−1/9s

s2+ 9 =⇒

e−2s

s(s2+ 9) =

1 9e

2s 1

s − 1 9e

2s s

s2+ 9

Luego,

L−1

e−2s

s(s2+ 9)

= 1 9 L

−1

e−2s 1

s

− 1

9 L

−1

e−2s s

s2+ 9

= 1

9 H(t−2) 1− 1

9H(t−2) cos(3(t−2))

= 1

9 H(t−2) (1−cos(3(t−2)))

=

0 , t <2

(18)

Función Periódica

Una función f es periódica con período T si f(t+T) = f(t) t. El período T es el menor número positivo que satisface esta propiedad.

A partir de una función periódica f de período T, podemos construir una nueva función (considerando solo un período de la función f y definiéndola como 0 en el resto del dominio) del siguiente modo:

fT(t) =

f(t) , 06t < T 0 , T 6t <

Proposición

Supongamos que f es periódica con períodoT y continua por tramos. Sea FT(s)la

transformada de Laplace de fT(t). Luego:

L{f}(s) =

Z T

0

f(t) e−st

dt

1e−T s =

FT(s)

1e−T s

Demostración

L{f}(s) =

Z ∞

0

f(t)e−st

dt =

Z T

0

f(t)e−st

dt+

Z 2T

T

f(t)e−st

dt+

Z 3T

2T

f(t)e−st

dt+· · ·

=

Z T

0

f(t)e−st

dt+

Z τ

0

f(τ+T)e−s(τ+T)

dτ+

Z T

0

f(τ+2T)e−s(τ+2T)

dτ+· · ·

z }| {

τ =tT en la 2a integral zτ =t2T en la 3a integral}| {

=

Z T

0

f(t)e−st

dt + e−sT

Z τ

0

f(τ) e−sτ

dτ + e−2sT

Z T

0

f(τ) e−sτ

dτ+· · ·

=

Z T

0

f(t)e−st

dt

%

1 +e−sT

+e−2sT

+e−3sT

+· · ·

=

Z T

0

f(t)e−st

dt

1 1e−sT

Ejemplo

Calculemos la transformada de Laplace de la función definida por

g(t) =

t 0< t1

2t 1t 2 , g(t+ 2) = g(t) ∀t >0

Claramente,g es una función periódica de período 2. Luego, para calcular su trans-formada de Laplace construimos la función:

(19)

= t2 (t1)H(t1)) + (t2)H(t2)

Luego: L(g) = 1

1e−2s L(gT(t))

= 1

1e−2s

1 s2 −2

e−s

s2 +

e−2s

s2

Ejercicios

Determine las transformadas de Laplace de las siguientes: 1. Onda cuadrada:

f(t) =

k 0< ta

−k a 2a2 , f(t+ 2a) = f(t) ∀t >0

2. Onda diente de sierra:

g(t) = k

pt, 0< t < p, g(t+p) = g(t) ∀t >0

3. Rectificador de media onda:

h(t) =

senωt 0< t π ω

0 π

ω < t <

2π ω

, h(t+2π

ω) = h(t) ∀t >0

1.5.

Convolución

Sabemos que L−1

(F +G) = L−1

(F(s)) +L−1

(G(s)). Pero, no es cierto que

L−1

(F ·G) = L1

(F(s))· L1

(G(s)). Basta considerar, por ejemplo,

F(s) = 1

s, G(s) =

1

s2.

El siguienteproducto de convoluciónde funciones, tiene una propiedad muy útil para calcular la transformada de Laplace inversa de un producto de transformadas conocidas. Definamos, en primer lugar, este producto:

Definición

Seanf yg dos funciones continuas por tramos. La convolución def yges la función

f g definida por:

(f g)(t) =

Z t

0

(20)

Observación

En la integral anterior, notar que si hacemos el cambio de variable v = tu, tenemos:

Z t

0

f(u)g(tu)du =

Z 0

t

f(tv) g(v)dv =

Z t

0

f(tv) g(v)dv = (gf)(t)

Así, hemos probado la primera de las afirmaciones del siguiente teorema. Dejamos las demás como ejercicio.

1.5.1. Teorema

Supongamos quef, g y h son funciones continuas por tramos. Luego, 1. f g =gf

2. f (g+h) =f g+f h

3. (fg)h=f(gh)

4. f 0 = 0

1.5.2. Teorema

Supongamos quef y g son funciones de orden exponencial. Supongamos que

L(f) =F(s) y L(g) =G(s). Luego,

L(f g)(t) =F(s)·G(s)

ó, equivalentemente,

L−1

{F(s)·G(s)}(t) =

Z t

0

f(u) g(tu)du

Ejemplo 1: Sea f(t) = t22t y g(t) = t. Calcular (f g)(t)

(fg)(t) =

Z t

0

f(u) g(tu)du

=

Z t

0

(u2 2u) (tu)du

=

Z t

0

(tu22tuu3+ 2u2) du

= t

4

12 − t3

3

Ejemplo 2: Sea f(t) = sent y g(t) =t. Calcular la convoluciónf g:

a) Directamente de la definición f g =

Z t

0

f(u) g(tu)du

b) EvaluandoF =L(f) y G=L(g)y luego calculando f g =L1

(21)

a) fg =

Z t

0

f(u) g(tu) du

=

Z t

0

senu (tu) du=t

Z t

0

senu du

Z t

0

u senu du

= t hcosui

t

0

−h−u cosui

t

0

Z t

0 −

cosu du

= t hcosui

t

0

−h−u cosui

t

0

+hsenui

t

0

= t hcos(t) + cos(0)iht cos(t) + 0 cos(0)i +

h

sen(t)sen(0)i

= t cos(t) +t+t cos(t)sen(t) =tsen(t)

b) F(s) = L(f) = L(sent) = 1

s2+ 1, G(s) =L(g) = L(t) =

1 s2

F(s)G(s) = 1 (s2+ 1) ·

1 s2 =

1

(s2+ 1)s2 =

As+B (s2+ 1) +

C

s +

D s2

= (As+B)s

2+Cs(s2+ 1) +D(s2+ 1)

(s2+ 1)s2

= As

3+Bs2+Cs3+Cs+Ds2+D

(s2+ 1)s2

= (A+C)s

3+ (B +D)s2+Cs+D

(s2+ 1)s2

A+C = 0

B+D = 0

C = 0

D = 1

=

A = 0

B = 1

C = 0

D = 1

luego,

F(s)G(s) = −1 (s2+ 1) +

1 s2

L−1

{F(s)G(s)} = −L−1

1 (s2+ 1)

+L−1

1 s2

(22)

Ejemplo 3: Resolver: y′′

+ 4y′

+ 4y =

0 t2 e−(t−2)

t >2 con las condiciones

iniciales y(0) = 0, y′

(0) = 0. Solución:

Sea g(t) =

0 t2 e−(t−2)

t >2

Usando la función de Heaviside, escribimos g en la forma g(t) = e−(t−2)

H(t2). La ecuación diferencial queda como:

y′′

+ 4y′

+ 4y = e−(t−2)

H(t2). Aplicamos transformada de Laplace:

L(y′′

) + 4L(y′

) + 4L(y) = L%e−(t−2)

H(t2)

s2Y(s)sy(0)y′

(0) + 4sY(s)4y(0) + 4Y(s) = e−2s

· 1

s+ 1

s2Y(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = e−2s

· s+ 11

(s2+ 4s+ 4)Y(s) = e2s

· 1

s+ 1

Y(s) = e

2s

(s+ 1) (s2+ 4s+ 4) =

e−2s

(s+ 1) (s+ 2)2 Usamos fracciones parciales:

1

(s+ 1) (s+ 2)2 =

A s+ 1 +

B s+ 2 +

C (s+ 2)2 =

= A(s+ 2)

2 + B(s+ 1) (s+ 2) + C(s+ 1)

(s+ 1) (s+ 2)2

= (A+B)s

2 + (4A+ 3B +C)s + 4A+ 2B+C

(s+ 1) (s+ 2)2

de donde

A+B = 0

4A+ 3B+C = 0

4A+ 2B+C = 1 ⇒

A = 1

B = 1

C = 1

Luego:

Y(s) = e

2s

(s+ 1) −

e−2s

(s+ 2) −

e−2s

(s+ 2)2

y(t) = H(t2)e−(t−2)

−H(t2)e−2(t−2)

−H(t2) (t2)e−2(t−2)

Ejercicios

Calcular las transformadas inversas de: 1. F(s) = s

(s2+ 1)2 2. F(s) =

s s2(s2+ 1)2

3. F(s) = e

−as

Figure

Cuadro 1: Transformada de Laplace

Cuadro 1:

Transformada de Laplace p.4
Cuadro 2: Transformada de Laplace

Cuadro 2:

Transformada de Laplace p.12
Cuadro 3: Transformada de Laplace

Cuadro 3:

Transformada de Laplace p.13

Referencias

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