Teoría y ejercicios de Cálculo de Primitivas

(1)

2º Bachillerato A

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

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MaTEX

Integrales

Fco Javier Gonz´alez Ortiz

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(2)

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B

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Tabla de Contenido

1. Primitiva de una funci´on

1.1.Notaci´on de la integral indefinida

1.2.Propiedades de integraci´on

• Homogeneidad•Aditividad•Regla de la potencia

2. Integrales B´asicas

• Ejercicios para practicar

3. M´etodos de Integraci´on

3.1.Integrales Racionales

• Denominador de grado 1•Denominador de grado 2 con ra´ıces

3.2.Cambio de variable

• Ejercicios de cambios de variable

3.3.Integraci´on por Partes

3.4.Integrales trigonom´etricas

Soluciones a los Ejercicios

(3)

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B

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JDoc Doc_I Volver Cerrar Secci´on 1: Primitiva de una funci´on 3

1. Primitiva de una funci´on

Definici´on 1.1 Seaf una funci´on definida en el intervalo(a, b). Llamamos

primitiva, integral indefinidaoantiderivada def a una funci´on F en el

in-tervalo(a, b)que cumple

F

0

(

x

) =

f

(

x

)

para todo

x

∈

(

a, b

)

(1)

Hallar primitivas es el proceso inverso de hallar derivadas.

La expresi´onantiderivadaes muy intuitiva pero para el uso habitual del concepto se usa m´as frecuentementeprimitivaointegral indefini-da.

Ejemplo 1.1.Comprobar queF(x) =x3 es una primitiva def(x) = 3x2

Soluci´on: Comprobamos siF0(x) =f(x). En efecto

F(x) =x3=⇒F0(x) = 3x2=f(x)

Ejemplo 1.2.Comprobar queF(x) =x3+ 1 yG(x) =x3+ 5 son primitivas def(x) = 3x2.

Soluci´on: Comprobamos queF0(x) =G0(x) =f(x). En efecto

F(x) =x3+ 1 =⇒ F0(x) = 3x2=f(x)

G(x) =x3+ 5 =⇒ G0(x) = 3x2=f(x)

(4)

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejemplo 1.3. Comprobar que F(x) =x4, G(x) =x4+ 5 y H(x) =x4−3 son primitivas def(x) = 4x3.

Soluci´on: Comprobamos queF0(x) =G0(x) =H0(x) =f(x). En efecto

F(x) =x4 =⇒ F0(x) = 4x3=f(x)

G(x) =x4+ 5 =⇒ G0(x) = 4x3=f(x)

H(x) =x4−3 =⇒ H0(x) = 4x3=f(x)

Estos ejemplos nos muestran que una función puede tener más de una prim-itiva. En realidad tiene infinitas. Nos preguntamos ¿qué relación hay entre ellas?. La respuesta nos la da el siguiente teorema

Teorema 1.1.SeanF(x) yG(x) dos primitivas de la funci´onf(x) entonces existe una constanteC con

F(x) =G(x) +C (2)

Soluci´on: Definimos la funci´onH(x) =F(x)−G(x). Se tiene que

H0(x) =F0(x)−G0(x) =f(x)−f(x) = 0 comoH0(x) = 0, la funci´onH(x) es una constanteC. Luego

F(x)−G(x) =C

y por tanto

F(x) =G(x) +C

(5)

s = B + m v r = A + l u

B

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1.1. Notaci´on de la integral indefinida

La notación utilizada para referirnos a la primitiva o integral indefinida de una funciónf se debe a Leibniz. Siendof una función dex, escribimos la primitiva def como

Z

f(x)dx

y representa la funci´on cuya derivada es f(x). Fijarse en los detalles

f(x) es elintegrando

el s´ımbolodxes ladiferencial dex, y

xes la variable deintegraci´on.

Puesto que una primitiva F de f en la variable x se va a expresarF(x) =

Z

f(x)dx, se tiene

F0(x) =f(x) =⇒ d

dx

Z

f(x)dx=f(x)

Test.La derivada de la funci´onF(x) =

Z

(1 +x2)dxes

(6)

s = B + m v r = A + l u

B

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1.2. Propiedades de integraci´on

•

Homogeneidad

Teorema 1.2.(Homogeneidad) Para una funci´onf(x) y una constantec∈R

se tiene,

Z

cf

(

x

)

dx

=

c

Z

f

(

x

)

dx

(3)

Soluci´on: Derivando la ecuaci´on (3). Se tiene que

d dx

Z

cf(x)dx = cf(x)

d dxc

Z

f(x)dx = c d dx

Z

f(x)dx=cf(x)

•

Aditividad

Teorema 1.3.(Aditividad) Para las funcionesf(x) yg(x) se tiene,

Z

(

f

(

x

) +

g

(

x

))

dx

=

Z

f

(

x

)

dx

+

Z

g

(

x

)

dx

(4)

Soluci´on: Es inmediata de la derivada de la suma de dos funciones, que es la

(7)

s = B + m v r = A + l u

B

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•

Regla de la potencia

Teorema 1.4.(Regla de la potencia) Sea a∈R cualquier n´umero real dis-tinto de−1,

Z

xadx= x

a+1

a+ 1 a6=−1 (5)

Soluci´on: Es inmediata, pues,

d dx

xa+1 a+ 1 =x

a

Ejercicio 1.Calcular las integrales.

a)

Z

x2dx b)

Z

7x4dx c)

Z

x−2dx

a)

Z

x−5/2dx b)

Z

6√4x5_dx _c₎

Z

(3x−5+ 8x10)dx

a)

Z ₁₋_x3

x2 dx b)

Z _{2 +}_x2

√

x dx c)

Z _x₋_x3/2 5

√

(8)

s = B + m v r = A + l u

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JDoc Doc_I Volver Cerrar Secci´on 2: Integrales B´asicas 8

2. Integrales B´asicas

A partir de las derivadas de las funciones elementales es f´acil determinar las primitivas inmediatas de la siguiente tabla:

Integrales B´asicas

Z

senx dx −cosx+C

Z

cosx dx senx+C

Z

(1 + tan2x)dx tanx+C

Z

sec2x dx tanx+C

Z

exdx ex+C

Z

axdx 1

lnaa

x₊_C

Z ₁

xdx lnx+C

Z ₁

1 +x2dx arctanx+C

Z ₁

√

1−x2dx arc senx+C

Z ₋₁

√

1−x2dx arc cosx+C

(9)

s = B + m v r = A + l u

B d CIENCIAS CIENCIAS

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JDoc Doc_I Volver Cerrar Secci´on 2: Integrales B´asicas 9

•

Ejercicios para practicar

a)

Z

(senx+ex)dx b)

Z

(e3x+ 2x)dx

c)

Z ₃

x+

3

x+ 1

dx d)

Z

cos 2x+ 3 2x+ 5

dx

a)

Z

( 1

x+ 5+ 1

2√x)dx b)

Z

1

2x+ 5+ sen 2x

dx

c)

Z

e2x+5+ 53x−1

dx d)

Z ₂

1−x+ 3 cos(2x)

dx

a)

Z ₃

1 +x2 −sec 2₍₃_x₎

dx

b)

Z

e2x+1−5 sen(3x)

dx

c)

Z

(10)

s = B + m v r = A + l u

B

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JDoc Doc_I Volver Cerrar Sección 3: Métodos de Integración 10

3. M´etodos de Integraci´on

3.1. Integrales Racionales

Denominamos integral racional a las integrales de las funciones racionales del tipo

Z _N₍_x₎

D(x)dx

donde el numeradorN(x) y el denominadorD(x) son polinomios.

Para el nivel de este curso solo consideramos los casos en que el denomi-nador sea un polinomio de grado 1 o bien un polinomio de grado 2. Los casos inmediatos son:

Z ₁

xdx= ln(x) +C

Z ₁

1 +x2dx= arctanx+C

(11)

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•

Denominador de grado 1

Si el numerador N(x) es un n´umero todas la primitivas corresponden a un logaritmo. En efecto:

Z ₁

2x+ 1dx= 1 2

Z ₂

2x+ 1dx= 1

2ln(2x+ 1) +C

Z ₇

3x+ 5dx= 7 3

Z ₃

3x+ 5dx= 7

3ln(3x+ 5) +C El caso general es sencillo

Z _c

a x+bdx= c

a ln(a x+b) +C

Si el numerador es de grado igual o mayor que el denominador, se divide:

Ejemplo 3.1.Hallar

Z _x2

x+ 1dx

Soluci´on: ComoGra(x2)≥Gra(x+ 1) se divide:

x2

x+ 1 =x−1 + 1

x+ 1

Z _x2

x+ 1dx =

Z

(x−1)dx+

Z ₁

x+ 1dx

= 1 2x

2

−x+ ln(x+ 1) +C

(12)

s = B + m v r = A + l u

B

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•

Denominador de grado 2 con ra´ıces

En este caso se utiliza ladescomposici´on en fracciones simples.

Ejemplo 3.2.Hallar

Z ₂

x2₋₁dx

Soluci´on:

Se descompone en factores el denominador,

x2−1 = (x−1)(x+ 1)

y el integrando en fracciones simples, es decir

2

x2₋₁ = A x−1 +

B x+ 1 =⇒

2

x2₋₁ =

A(x+ 1) +B(x−1)

x2₋₁

Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad

2 =A(x+ 1) +B(x−1)

Se dan valores ax. Las ra´ıces de los factores facilitan el c´alculo Parax= 1 =⇒2 = 2A=⇒A= 1

Parax=−1 =⇒2 =−2B =⇒B=−1

Z ₂

x2₋₁dx =

Z ₁

x−1dx+

Z ₋₁

x+ 1dx

= ln(x−1)−ln(x+ 1) +C

(13)

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejemplo 3.3.Hallar

Z ₈_x

x2₋₄dx

Soluci´on:

Se descompone en factores el denominador,

x2−4 = (x−2)(x+ 2)

y el integrando en fracciones simples, es decir

8x x2₋₄ =

A x−2 +

B x+ 2 =⇒

8x x2₋₄ =

A(x+ 2) +B(x−2)

x2₋₄

Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad

8x=A(x+ 2) +B(x−2)

Se dan valores ax. Las ra´ıces de los factores facilitan el c´alculo Parax= 2 =⇒16 = 4A=⇒A= 4

Parax=−2 =⇒ −16 =−4B =⇒B= 4

Z ₈_x

x2₋₄dx =

Z ₄

x−2dx+

Z ₄

x+ 2dx

= 4 ln(x−2) + 4 ln(x+ 2) +C

(14)

s = B + m v r = A + l u

B

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a)

Z _x2_{+ 1} x+ 2 dx

b)

Z _x3₊_x_{+ 2} x+ 3 dx

c)

Z _x2_{+ 5}_x_{+ 1} x+ 1 dx

a)

Z ₃

1 +x2dx

b)

Z ₂_x_{+ 1}

1 +x2 dx

c)

Z ₃_x₋₅

1 +x2 dx

d)

Z _x₋₇

1 +x2dx

Ejercicio 9.Hallar

Z ₈_x₋₂₁

x2₋₅_x_{+ 6}dx

Ejercicio 10.Hallar

Z ₃_x₋₁

(15)

s = B + m v r = A + l u

B

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3.2. Cambio de variable

Consiste en sustituir una parte del integrando por otra variable para lograr que la nueva integral sea m´as sencilla.

Consideremos la integral

Z

(2x+ 3)3dx

Efectuamos el cambio de variable t = 2x+ 3

y derivamos 1dt = 2dx

La t´ecnica consiste en sustituir la variablexpor la variable ty ladx por la

dt. Ya que

dt= 2dx=⇒dx= 1 2dt la integral buscada queda

Z

(2x+ 3)3dx =

Z

t31

2dt= 1 2

Z

t3dt

= 1 2 1 4t

4₌1

8t

4₊_C

= 1

8(2x+ 3)

(16)

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejemplo 3.4.Calcular por cambio de variable

Z √

3x−1dx

Soluci´on:

Con una ra´ız cuadrada es frecuente igualar el radicando at2. As´ı pues,

3x−1 =t2

3dx= 2t dt=⇒dx=2 3t dt

La t´ecnica consiste en sustituir la variablexen funci´on de la variable ty la

dxpor ladt.

Z √

3x−1dx =

Z √

t22

3t dt

= 2 3

Z

t2dt

= 2 3 1 3t

3₌2

9t

3₊_C

= 2 9(

√

3x−1)3+C

(17)

s = B + m v r = A + l u

B

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Z ₁

ex₊_e−xdx

Soluci´on: Efectuamos el cambio de variableex=t

Ya que

exdx=dt=⇒dx= 1

t dt

la integral buscada queda

Z ₁

ex₊_e−xdx =

Z ₁

t+t−1

1

tdt=

Z ₁

t2_{+ 1}dt

= arctant+C= arctanex+C

Z _ex

1 +e2xdx

Soluci´on: Efectuamos el cambio de variableex=t

exdx=dt=⇒dx= 1

t dt

Z _ex

1 +e2xdx =

Z _t

1 +t2

1

t dt=

Z ₁

1 +t2dt

= arctant+C= arctanex+C

(18)

s = B + m v r = A + l u

B

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•

Ejercicios de cambios de variable

Ejercicio 11.Calcular por cambio de variable

Z ₁

√

x+√3_xdx

Ejercicio 12.Calcular

Z

x√x+ 2dx

Z ₁

(1 +x)√xdx

Z ₁

cos2_x√_{1 + tan}_xdx

Z ₁

x√1−lnxdx

Z _e3x₋_ex

1 +e2x dx

Z

ex√1−ex_dx

Z _sen(ln_x₎

(19)

s = B + m v r = A + l u

B

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3.3. Integraci´on por Partes

Sean dos funciones enx, u(x) yv(x) si designamos

du= 1

dxu(x) dv=

1

dxv(x)

Por la derivada de un producto se tiene

d

dx(u v) =v du+u dv

ahora, integrando la expresi´on anterior

Z _d

dx(u v) =

Z

v du+

Z

u dv

como

Z _d

dx(u v) = u v y despejando uno de los sumandos de la expresi´on

anterior se obtiene

Z

u dv

=

u v

−

Z

(20)

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejemplo 3.7.Calcular por partes

Z

xsenx dx

Soluci´on:

u=x dv= senx dx du=dx v=−cosx

Z

xsenx dx = −xcosx+

Z

cosx dx

= −xcosx+ sinx+C

Z

lnx dx

Soluci´on:

u= lnx dv=dx

du=1

xdx v=x

Z

lnx dx = xlnx−

Z ₁

xdx

= xlnx−lnx+C

(21)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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MaTEX

Integral

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J I

Z

x exdx

Soluci´on:

u=x dv=exdx du=dx v=ex

Z

x exdx = x ex−

Z

exdx

= x ex−ex+C

Z

4x3lnx dx

Soluci´on:

u= lnx dv= 4x3dx du=1

xdx v=x

4

Z

4x3lnx dx = x4lnx−

Z

x41 xdx

= x4lnx−1 4x

4₊_C

(22)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Z

x2exdx

Soluci´on:

u=x2 dv=exdx du= 2x dx v=ex

Z

x2exdx =x2ex−2

Z

x exdx

| {z }

I1

Ahora calculamos de nuevo por partes la integral,I1

u=x dv=exdx du=dx v=ex

I1 =x ex−

Z

exdx

=x ex−ex

Sustituyendo se obtiene:

Z

x2exdx=x2ex−2(x ex−ex) +C

(23)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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J I

3.4. Integrales trigonom´etricas

Son aquellas cuyo integrando es una expresión trigonométrica. Aqu´ı solo consideramos el caso más sencillo, que es cuando se tiene un producto de potencias de senos y cosenos, es decir las del tipo

Z

senmxcosn x dx

a) Simes impar,m= 2k+ 1 se desglosa como

Z

sen2k+1 xcosn x dx=

Z

sen2kxsenxcosn x dx

=

Z

(1−cos2x)k senxcosn x dx

b) Sines impar,n= 2k+ 1 se desglosa como

Z

cos2k+1 xsenmx dx=

Z

cos2kxcosxsenmx dx

=

Z

(1−sen2x)k cosxsenm x dx

c) Simynson pares se utilizan las expresiones del ´angulo doble

sen2x= 1−cos 2x

2 cos

2_x₌ 1 + cos 2x

(24)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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J I

Ejemplo 3.12.Calcular

Z

sen3xcosx dx.

Soluci´on: Como la derivada del senxes cosxla integral es inmediata

Z

sen3 xcosx dx=1 4sen

4 _x₊_C

Z

cos2 xsenx dx.

Soluci´on: Como la derivada del cosxes−senxla integral es inmediata

Z

cos2 xsenx dx=−1 3cos

3 _x₊_C

Z

sen3x dx.

Soluci´on: Como el exponente es impar se separa de la siguiente forma

Z

sen3 x dx=

Z

sen2xsenx dx=

Z

(1−cos2x) senx dx

=

Z

senx dx−

Z

cos2xsenx dx=−cosx+1 3cos

3_x₊_C

(25)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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J I

Z

cos3 x dx.

Z

cos3x dx=

Z

cos2xcosx dx=

Z

(1−sen2x) cosx dx

=

Z

cosx dx−

Z

sen2xcosx dx= senx−1 3sen

3 _x₊_C

Z

cos3xsen2x dx.

Z

cos3xsen2x dx=

Z

cos2xcosxsen2x dx

=

Z

(1−sen2x) cosxsen2x dx

=

Z

cosxsen2x dx−

Z

sen4xcosx dx

= 1 3sen

3 _x₋1

5sen

5 _x₊_C

(26)

s = B + m v r = A + l u

MaTEX

Integral

e

s

JJ II J I

Z

cos2x dx.

Soluci´on: Como el exponente es par se utiliza el ´angulo doble

Z

cos2x dx=

Z _{1 + cos 2}_x

2 dx

=1 2

Z

dx+1 2

Z

cos 2x dx=1 2x+

1

4sen 2x+C

Z

cos2xsen2x dx.

Soluci´on: Como los exponentes son pares se utiliza el ´angulo doble

Z

cos2xsen2x dx=

Z _{1 + cos 2}_x

2

1−cos 2x

2 dx

= 1 4

Z

(1−cos22x)dx

= 1 4

Z

1−1 + cos 4x 2

dx=1 8

Z

(1−cos 4x)dx

= 1 8

x−sen 4x 4

+C

(27)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Integral

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J I

Z

cos4x dx.

Z

sen3xcos2x dx.

Z

ln(x2+ 1)dx

Z

arc senx dx

Ejercicio 23.Dada la funci´on f(x) = exsen(bx) donde b 6= 0 es una con-stante, calcular

Z

f(x)dx.

Z

cos(lnx)dx.

Ejercicio 25. Calcular la integral Cn =

Z

x2cos(nx)dx donde n es un

n´umero natural.

Z

|1−x|dx

Z

(28)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Integral

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J I

JDoc Doc_I Volver Cerrar Soluciones a los Ejercicios 28

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1.

a)

Z

x2dx=1 3x

3₊_C

b)

Z

7x4dx = 7

Z

x4dx (prop. homog.)

= 7 5x

5₊_C _{(regla pot.)}

c)

Z

x−2dx=−x−1+C

(29)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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J I

Ejercicio 2.

a)

Z

x−5/2dx=−2 3x

−3/2₊_C

b)

Z

6√4x5_dx_{= 24}_x1/4₊_C

c)

Z

(3x−5+ 8x10)dx =

Z

3x−5dx+

Z

8x10dx C(prop. aditi.)

= 3

Z

x−5dx+ 8

Z

x10dx C(prop. homog.)

= −3 4x

−4₊ 8

11x

11

C(regla pot.)

(30)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Ejercicio 3.

a)

Z ₁₋_x3 x2 dx =

Z

x−2dx−

Z

xdx _C(dividiendo)

= −x−1−1 2x

2₊_C

C(regla pot.)

b)

Z _{2 +}_x2

√

x dx =

Z

2x−1/2dx+

Z

x3/2dx _C(dividiendo)

= 4x1/2+2 5x

5/2₊_C

C(regla pot.)

c)

Z _x₋_x3/2 5

√

x dx =

Z

x4/5dx−

Z

x13/10dx _C(dividiendo)

= 5 9x

9/5₋10

23x

23/10₊_C

C(regla pot.)

(31)

s = B + m v r = A + l u

MaTEX

Integral

e

s

JJ II J I

Ejercicio 4.

a)

Z

(senx+ex)dx =

Z

senx dx+

Z

exdx

= −cosx+ex+C

b)

Z

(e3x+ 2x)dx =

Z

e3xdx+

Z

2xdx

= 1 3e

3x

− 1

ln 22

x

+C

c)

Z ₃

x+

3

x+ 1

dx = 3

Z ₁

xdx+ 3

Z ₃

x+ 1dx = 3 lnx+ 3 ln(x+ 1) +C

d)

Z

cos 2x+ 3 2x+ 5

dx =

Z

cos 2x dx+ 3

Z ₃

2x+ 5dx

= 1

2senx+ 3

2 ln(2x+ 5) +C

(32)

s = B + m v r = A + l u

MaTEX

Integral

e

s

JJ II J I

Ejercicio 5.

a)

Z

( 1

x+ 5 + 1

2√x)dx =

Z ₁

x+ 5dx+

Z ₁

2√xdx

= ln(x+ 5) +√x+C

b)

Z ₁

2x+ 5+ sen 2x

dx =

Z ₁

2x+ 5dx+

Z

sen 2xdx

= 1

2 ln(2x+ 5)− 1

2 cos 2x+C

c)

Z

e2x+5+ 53x−1dx =

Z

e2x+5dx+

Z

53x−1dx

= 1 2e

2x+5₋ 1

3 ln 55

3x−1₊_C

d)

Z

2

1−x+ 3 cos(2x)

dx =

Z ₂

1−xdx+ 3

Z

cos(2x)dx

= −2 ln(1−x) +3

2 sen(2x) +C

(33)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 6.

a)

Z ₃

1 +x2 −sec 2₍₃_x₎

dx = 3

Z ₁

1 +x2dx−

Z

sec2(3x)dx

= 3 arctanx−1

3 tan(3x) +C

b)

Z

e2x+1−5 sen(3x)

dx =

Z

e2x+1dx−5

Z

sen(3x)dx

= 1 2e

2x+1₊5

3 cos(3x) +C

c)

Z

25x+1−3 cos(8x)dx =

Z

25x+1dx−3

Z

cos(8x)dx

= 1

5 ln 22

5x+1₋3

8 sen(8x) +C

(34)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 7.

a) Como el grado del numerador es≥que el denominador se divide:

Z _x2_{+ 1} x+ 2 dx =

Z

(x−2)dx+

Z ₅

x+ 2dx = 1/2x2−2x+ 5 ln(x+ 2) +C

b) Como el grado del numerador es≥que el denominador se divide:

Z _x3₊_x_{+ 2} x+ 3 dx =

Z

(x2−3x+ 10)dx−

Z ₂₈

x+ 3dx = 1/3x3−3/2x2+ 10x−28 ln(x+ 3) +C

c) Como el grado del numerador es≥que el denominador se divide:

Z _x2_{+ 5}_x_{+ 1} x+ 1 dx =

Z

(x+ 4)dx−

Z ₃

x+ 1 = 1/2x2+ 4x−3 ln(x+ 1) +C

(35)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 8.

a) Es del tipo arcotangente:

Z ₃

1 +x2dx = 3

Z ₁

1 +x2dx= 3 arctanx+C

b) Se separa en dos sumandos:

Z ₂_x_{+ 1}

1 +x2dx =

Z ₂_x

1 +x2dx+

Z ₁

1 +x2dx

= ln(1 +x2) + arctanx+C

c) Se separa en dos sumandos:

Z ₃_x₋₅

1 +x2 dx =

Z ₃_x

1 +x2dx−5

Z ₁

1 +x2dx

= 3/2 ln(1 +x2)−5 arctanx+C

d) Se separa en dos sumandos:

Z _x₋₇

1 +x2dx =

Z _x

1 +x2dx−7

Z ₁

1 +x2dx

= 1/2 ln(1 +x2)−7 arctanx+C

(36)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 9. Como

x2−5x+ 6 = (x−2)(x−3) se descompone en fracciones simples:

8x−21

x2₋₅_x_{+ 6} = A x−2 +

B x−3 =⇒

8x−21

x2₋₅_x_{+ 6} =

A(x−3) +B(x−2)

x2₋₅_x_{+ 6}

Se tiene que cumplir la identidad 8x−21 =A(x−3) +B(x−2) Parax= 2 =⇒ −5 =−A=⇒A= 5

Parax= 3 =⇒3 =B=⇒B= 3

Z ₈_x₋₂₁

x2₋₅_x_{+ 6}dx = 5

Z ₁

x−2dx+ 3

Z ₁

x−3dx

= 5 ln(x−2) + 3 ln(x−3) +C

(37)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 10. Como

x2−x=x(x−1) se descompone en fracciones simples:

3x−1

x2₋_x = A x +

B x−1 =⇒

3x−1

x2₋_x =

A(x−1) +B(x)

x2₋_x

Se tiene que cumplir la identidad 3x−1 =A(x−1) +B(x) Parax= 0 =⇒1 =−A=⇒A=−1

Parax= 1 =⇒2 =B=⇒B= 2

Z ₃_x₋₁

x2₋_xdx = −

Z ₁

xdx+

Z ₂

x−1dx

= −ln(x) + 2 ln(x−1) +C

(38)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 11.Efectuamos el cambio de variable

x=t6=⇒dx= 6t5dt

Z ₁

√

x+√3_xdx =

Z ₁

√

t6₊√3 t66t

5_dt

= 6

Z _t5

t3₊_t2dt= 6

Z _t3

t+ 1dt

= 6

Z

t2−t+ 1− 1

t+ 1

dt

= 6

₁

3t

3₋1

2t

2₊_t₋_ln(_t_{+ 1)}

+C

= 2√6x3₋₃√6

x2_{+ 6}√6_x₋_{6 ln(}√6_x_{+ 1) +}_C

(39)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

x+ 2 =t2=⇒dx= 2t dt

Z

x√x+ 2dx =

Z

(t2−2)t2t dt

= 2

Z

t4dt−4

Z

t2dt

= 2 5t

5₋4

3t

3₊_C

= 2 5(

√

x+ 2)5−4 3(

√

x+ 2)3+C

(40)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

x=t2=⇒dx= 2t dt

Z ₁

(1 +x)√xdx =

Z ₁

(1 +t2₎_t2t dt

= 2

Z ₁

1 +t2dt

= 2 arctant+C= 2 arctan√x+C

(41)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

1 + tanx=t2=⇒sec2x dx= 2t dt=⇒dx= cos2x2t dt

Z ₁

cos2_x√_{1 + tan}_xdx =

Z ₁

cos2_{x t} cos

2_x₂_{t dt}

= 2

Z

dt

= 2t+C= 2√1 + tanx+C

(42)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 15.Efectuamos el cambio de variable 1−lnx=t2=⇒ −1

xdx= 2t dt=⇒dx=−2x t dt

Z ₁

x√1−lnxdx = −

Z ₁

x t2x t dt

= −2

Z

dt

= −2t+C= 2√1−lnx+C

(43)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

ex=t=⇒exdx=dt=⇒dx= 1

t dt

Z _e3x₋_ex

1 +e2x dx =

Z _t3₋_t

1 +t2

1

t dt

=

Z _t2₋₁

1 +t2dt /(dividiendo)

=

Z

(1− 2 1 +t2)dt

= t−2 arctant+C

= ex−2 arctanex+C

(44)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

1−ex=t2=⇒ −exdx= 2t dt=⇒dx=−2t

exdt

Z

ex√1−ex_dx ₌ ₋

Z

(1−t2)t 2t

1−t2dt

= −

Z

2t2dt

= −2 3t

3

= −2 3(

√

1−ex₎3₊_C

(45)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 18.Efectuamos el cambio de variable lnx=t=⇒ 1

xdx=dt=⇒dx=x dt

Z _sen(ln_x₎

x dx =

Z _sen(_t₎

x x dt

=

Z

sent dt

= −cost

= −cos(lnx) +C

(46)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 19.Como el exponente es par se utiliza el ´angulo doble

Z

cos4x dx=

Z

(cos2x)2=

Z _{1 + cos 2}_x

2

dx

= 1 4

Z

1 + 2 cos 2x + cos22x

dx

= 1 4

Z

1 + 2 cos 2x +1 + cos 4x 2

dx

= 1 8

Z

(3 + 4 cos 2x+ cos 4x)dx

= 1 8

3x+ 2 sen 2x +1 4sen 4x

+C

(47)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 20.Como el exponente es impar se separa de la siguiente forma

Z

sen3xcos2x dx=

Z

sen2xsenxcos2x dx

=

Z

(1−cos2x) senxcos2x dx

=

Z

senxcos2x dx−

Z

cos4xsenx dx

=−1 3cos

3 _x₊1

5cos

5 _x₊_C

(48)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 21.SeaI=

Z

ln(x2+ 1)dx

u= ln(x2+ 1) dv=dx du= 2x

x2_{+ 1}dx v=x

I =xln(x2+ 1)−2

Z

x2 x2_{+ 1}dx

| {z }

I1

Ahora calculamos la integral racional ,I1

I1=

Z _x2

x2_{+ 1}dx=

Z

1− 1

x2_{+ 1}

dx=x−arctanx

Ahora sustituyendoI1 enI:

I=xln(x2+ 1)−2(x−arctanx) +C

(49)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 22.SeaI=

Z

arc senx dx

u= arc senx dv=dx

du=√ 1

1−x2dx v=x

I =xarc senx−

Z

x

√

1−x2dx

| {z }

I1

Ahora calculamos la integral, I1

I1=

Z _x

√

1−x2dx=−

p

1−x2

sustituyendoI1 enI:

I=xarc senx+p1−x2₊_C

(50)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 23.SiendoI=

Z

exsen(bx)

u= senbx dv=exdx du=bcosbx dx v=ex

I =exsenbx−b

Z

excosbx dx

| {z }

I1

Ahora calculamos la segunda integral

u= cosbx dv=exdx du=−bsenbx dx v=ex

I1 =excosbx+b

Z

exsenbx dx

I=exsenbx−b(excosbx+b I) (1 +b2)I=exsenbx−b excosbx=⇒

Z

exsenbx dx=e

x_sen_bx₋_{b e}x_cos_bx

1 +b2

(51)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 24.SiendoI=

Z

cos(lnx)dx

u= cos(lnx) dv=dx

du=−1

x sen(lnx)dx v=x

I =xcos(lnx) +

Z

sen(lnx)dx

| {z }

I1

u= sen(lnx) dv=dx

du=1

x cos(lnx)dx v=x

I1 =xsen(lnx)−

Z

cos(lnx)dx

| {z }

I

I=xcos(lnx) + (xsen(lnx)−I)

I= xcos(lnx) +xsen(lnx)

2 +C

(52)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 25.SiendoCn =

Z

x2 cos(nx)dx

u=x2 dv= cos(nx)dx du= 2x dx v= 1

nsen(nx)

Cn =x2

1

nsen(nx)− 2 n

Z

xsen(nx)dx

| {z }

Sn

u=x dv= sen(nx)dx

du=dx v=−1

ncos(nx)

Sn =−

x

ncos(nx) + 1 n

Z

cos(nx)dx

= −x

ncos(nx) + 1

n2sen(nx)

Cn=x2

1

nsen(nx)−

2

n(− x

ncos(nx) +

1

n2sen(nx))

Cn=

1

nx

2_sen(_nx_{) +}2x

n2cos(nx)−

2

n3sennx+C

(53)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 26.Siendo

f(x) =|1−x|=

1−x x≤1

x−1 1≤x

hallaremos la primitiva para cada rama def La integral buscada queda

Z

f(x)dx=



 

 

Z

(1−x)dx=x−1 2x

2₊_C 1

Z

(x−1)dx= 1 2x

2

−x+C2

(54)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Ejercicio 27.Siendo

f(x) = 3− |x|=

3 +x x≤0 3−x 0≤x

hallaremos la primitiva para cada rama def La integral buscada queda

Z

f(x)dx=



 

 

Z

(3 +x)dx= 3x+1 2x

2₊_C 1

Z

(3−x)dx= 3x−1 2x

2₊_C 2

(55)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

Soluciones a los Tests 55

Soluciones a los Tests

Soluci´on al Test:En efecto

F0(x) = d

dx

Z

(1 +x2)dx= (1 +x2)

(56)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Integral

e

s

JJ II

J I

´_{Indice alfab´}_etico

integral indefinida,3

integrales b´asicas,8

m´etodo, 10

para las racionales,10

para trigonom´etricas,23

por cambio de variable,15

por partes,19

primitiva,3

notaci´on,5

propiedad aditiva,6

homog´enea,6

regla

de la potencia,7