ÁLGEBRA TEORÍA Y PRÁCTICA

ÁLGEBRA

TEORÍA Y PRÁCTICA

Autores:

Prof. Javier castellano

Prof. Luís Capace

INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL

DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA

LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD

LA VICTORIA

Á

Á

L

L

G

G

E

E

B

B

R

R

A

A

M

M

O

O

D

D

U

U

L

L

O

O

I

I

:

:

V

V

E

E

C

C

T

T

O

O

R

R

E

E

S

S

CONTENIDO

-Escalares y vectoriales.

-Componentes de un vector.

-Operaciones con vectores: Adición, multiplicación por escalar, producto

vectorial, triple producto vectorial (representación parcial)

-Rectas, planos (rectas analíticas)

OBJETIVO GENRAL

Al finalizar la unidad el estudiante deberá mediante resolución de problemas, demostrar habilidad en el manejo de vectores tanto gráfica como analíticamente.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1-Definir un vector en R3 establecer sus componentes. 2-Definir vector libre en el espacio.

4-Establecer la biyección entre R3 y el conjunto de los vectores libres del espacio. 5-Dados dos vectores

U

Y

V

calcular y

U

+

V

6-Aplicar las propiedades de la adición de vectores.

7-Dado el vector calcular

U

α

U

α℮ R

8-Aplicar las propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector. 9-Establecer el espacio vectorial V3.

10-Dados vectores en V3 determinar el vector resultante de combinarlos linealmente.

11-Dados vectores de V3 decidir si son linealmente dependientes.

12-Dados vectores de V3 decidir si son linealmente independientes

13-Establecer la Base Cónica de V3

14-Establecer la Dimensión de V3.

15-Dados dos vectores, calcular su producto escalar o producto interior. 16-Aplicar las propiedades del producto escalar.

17-Dados dos vectores decidir si son ortogonales. 18-Dado un vector en V3 calcular su norma o longitud.

19-Interpretar geométricamente el producto escalar de dos vectores. 20-Dados los vectores

U

y V determinar el vector proyección

U

_v

21-Dados dos vectores determinar su producto vectorial o producto cruz. 22-Aplicar las propiedades del producto vectorial.

23-Interpretar geométricamente el producto vectorial y aplicarlo a problemas de áreas. 24-Interpretar geométricamente el triple producto vectorial y aplicarlo a problemas de volumen.

25-Dado un vector en R3 y un punto y tiene la misma dirección del vector.

26-Dada una recta y un punto fuera de ella determinar la distancia del punto a la recta. 27-Dados tres puntos, determinar la ecuación del plano que los contiene.

28-Dados dos planos, determinar el ángulo entre ellos.

VECTORES

Dos puntos en el espacio determinan un vector.

“P” Es el ORIGEN del vector. “Q” Es el EXTREMO del vector. ║PQ║ Es la LONGITUD del vector y se

denomina MODULO o NORMA.

COMPONENTES DE UN VECTOR

El vector PQ, de la figura anterior se determina:

PQ= (x1 –x, y1, z1-z)

Donde x1-x , y1-y , z1-z son las componentes del vector.

Si dos o mas vectores tienen iguales componentes, serán equivalentes. El vector Nulo tiene sus componentes iguales a cero. Dos vectores opuestos tienen sus respectivas componentes opuestas.

OPERACIONES CON VECTORES 1) ADICION:

Sean

V



(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

W



(

x

2

,

y

2

,

z

2

)

Así

PROPIEDADES: Sean V , W y Z vectores i) V + W = W + V

ii) V + (W + Z ) = ( V +W ) + Z

iii) V +O = O + V O = ( O, O, O ) Vector nulo. Es el Neutro. iv)

V + (-V ) = (-V ) + V = O

El vector opuesto. Es el simétrico.

EJEMPLO: Sean los puntos P((-1, 3/2, 3); Q (7, -5, 0) y R (1/3, 1, 1) Así PQ = (8, -13/2, -3) y PR = (4/3, ½,-2) luego PQ + PR = (28/3, -6, -5)

2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: Sean V = (X, Y, Z) un vector y α εR. Así α V = (α x, α y, α z)

PROPIEDADES: Sean los vectores V y W y los escalares.

i ) α (V+W) = α V + α W

ii) (α + β ) V = α V + β V.

iii) α (βV) = (α.β) V

iv) 1.V = V

Demostraremos i) Sean V= ( x1, y1, z1) y W = (x2, y2, z2)

(V+W) = α [( x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ]

(V+W) = α (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2) def. de adición

(V+W) = [ α (x1 + x2), α (y1 + y2) , α (z1 + z2)] def. del producto de un escalar por un vector.

(V+W) = ( α x1 , + α x2 , α y1 + α y2 , α z1 + α z 2) Distributiva de la multiplicación respecto

a la adición. (V+W) = ( α x1, α y1 , α z1) + ( α x 2 ,α y2, α z2 ) Def de adición

(V+W) = α ( x1, y1, z1) + α ( x2, y2, z2 )

(V+W) = α V + α W

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Sea V un vector

V V

α V

α V α > 1

-1 < α < 0

El conjunto de todos los vectores del espacio con las operaciones: adición y la multiplicación de un escalar por un vector y sus respectivas propiedades se denomina espacio vectorial V3.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES:

Dado un conjunto finito de vectores { V1 , V2,...Vp } , se dice que U es una combinación lineal

de esos vectores, si existen escalares α 1 , α 2,.... α P tales que:

U = α 1 V1 + α 2 V2 + ... + α PVP

Así U = -5V + 3W, diremos que U es combinación lineal de V y W

Si U = 4/3 V, entonces U es combinación lineal de V.

EJEMPLO:

El vector U = ( 2, -7, -5 ) es combinación lineal de los vectores V = ( 1, 1, 2) y W (1, -1,0). Así existen escalares α, β tales que:

( 2, -7, -5) = α (1, 1, 2) + β (1, -1, 0)

y se tiene: α + β = 2 , α – β = -7; 2 α = -5

INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL: Los vectores V1, V2...VP

Son linealmente independientes si se verifica:

α1V1 + α 2 V2 +...+ α P VP = O

Donde los escalares α 1, α 2,... α P son todos nulos.

En caso contrario serán linealmente independientes; esto es, existen escalares α 1, α 2,..., α P

no todos nulos tales que :

α1V1 + α 2 V2 +...+ α P VP = O

Cualquier vector del espacio se puede escribir como combinación lineal de los vectores i, j, y k, la base canónica de V3.

Una base para V3 es un conjunto de vectores linealmente independientes, de manera que

cualquier vector de V3 se pueda escribir como una combinación lineal de dicho vectores. Como

se dijo anteriormente la base canónica esta formada por los vectores: i = (1, 0, 0) ; j = (0,1, 0) y

k = (0, 0,1).

La dimensión de V3 es 3 ya que es el mayor número de vectores que puede tener un conjunto

linealmente independiente.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES:

El producto interior es una función

π (U, V) = π [ ( u1, u2, u3) (v1, v2,v 3) ]

π (U, V) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3

Ejemplo: V = ( ½, √3, -3) y W = (4, √3, 1)

luego, V, W = ½.4+ √3. √3+ (-3) .1= 2

PROPIEDADES:

1) Simetría : U.V=V.U

2) Aditividad: (U+V).W=..+V.W

3) Homogeneidad: (α.U ) .V = α (U V ) α ε R

4) Positividad: U.U ≥ O

Dos vectores U,V son ortogonales si su producto interior es igual a cero. Es decir U . V = O

LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR

Sea U = (u1,u2,u3) un vector de V3 la norma o longitud de U se define por:

║U║= √ U.U = √ u12 + u22 + u32

Ejemplo: Sea U = (1/√2, -1/√2, √3

Así ║U║= √ (1/√2)² + (-1//√2)² +(√3)² = √½ + ½ + 3 = √4 = 2

Tomemos como representante del vector AB el vector posición OP.

Según Pitágoras: PO² = PP’² + OP’² ( I )

Aplicando de nuevo Pitágoras OP’² = OP²x + Px P’² (II)

Sustituyendo ( II ) en ( I ) tenemos OP²=PP’² + OP²x + PX P’² pero

Opx² = x²; PxP’² = OP2y = y²; PP’² = OP ²z =z²

Así OP² = X² +y² y² +z² de donde OP = √x² +y² +z²

Z B

AB

A

z

Pz

OP P

y

Py Y

Px

P’

X

PROPIEDADES:

1) ║U║> O y ║U║= O sí y sólo sí U = O

2) ║λ U║= ║λ║ ║U║

3) ║U + V║ ≤ ║U║ +║V║

5) U es unitario si ║U║ = 1

NOTA: La norma es una función de R3 en R. Ahora no toda función de R3 es una norma. Para ser una norma debe cumplir con las propiedades dadas en el párrafo anterior.

Demostraremos que ║λ U║² = (λU ) (λU )

║λ U║²= λ² U.U

Tomando la raíz cuadrada tenemos ║λ U║ = ﺍ λ ﺍ ║U ║

La demostración de las otras propiedades se deja de ejercicio al alumno.

O

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR.

z

Q (X2, Y2, Z2)

OQ

OP P (x1, y1, z1)

α

y

x

Por la ley del coseno: PQ² = OP²+ OQ² - 2OP.OQ. cos α (I)

PQ = (x2 – x1, y2 –y1, z2-z1)

PQ= ║PQ ║ = √(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²

Por otra parte ║OP║= √x12 + y1 2 + z12 y ║OQ║ = √x22 + y22 + z22

Sustituyendo en (I) tenemos:

(x2 – x1) 2

+ (y2 – y1) 2

+ (z2 – z1) 2

= (x1 2

+ y1 2

+ z1 2

) + (x2 2

+ y2 2

+ z2 2

) - 2 . √ x1 2

+ y1 2

+ z1 2 _{• √ x}

2 2

+ y2 2

+ z2

2 _{• cos α}

Al desarrollar y simplificar tenemos:

x1. x2 + y1. y2 + z1 . z2 = √ x12 + y1 2 + z12 • √ x22 + y22 + z22 • cos α

Así. si U .V = ║U║. ║V║ . cos α entonces cos α = U.V ║U║. ║V║

Ejemplo: Determinar el ángulo entre los vectores U = (1,2,-1), V = (3,-1,0 ) cos α = (1,2,-1) (3,-1,0) = 3-2+0 = 1

√ 6 . √10 √60 2 √15

luego α = 82º, 58

Sea un V un vector V es un vector unitario paralelo a V. ║ V║

UV es la proyección ortogonal del vector U sobre V. ║UV║ = ║U║. cos α

║Uv║= ║U║. U . V = ║U║. ║V║

║U║.║V║ ║V║

Luego Uv = U . V . V = U. V V

║V║ ║V║ ║V║ 2

Ejemplo: Calcular la proyección del vector U = (3,2,1) y V = ( -1,2,0 ) Así Uv = U . V . V = (3,2,1 ) . ( -1,2,0 ) . (-1,2,0 )

(-1 )2 + 22+ 02

Uv= 1 . (-1,2,0 ) = (-1/5 , 2/5 , 0 ) luego Uv = (-1/5, 2/5, 0 )

PRODUCTO VECTORIAL

Solo tiene validez en V3 o cualquier otro espacio de 3 dimensiones.

Sean A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1, b2 , b3 ) vectores de V3

A x B = (a2b3 - a3b2 , a3.b1 - a1b3 , ab2 - a2 b1 )

Ejemplo: se A= (2, 1, - 3) y B= (3, -1, 4) entonces AxB = (1, -17, -5)

AXB

PROPIEDADES:

I. A X B =-(BXA)

II. AX (B+C) = AXB + AXC

III. (KA) XB = AX(KB) IV. KAXB = K (AXB)

V. ║AXB║=║A║ .║B║-(A.B)

Si los vectores se expresan como combinación lineal de los vectores de la base i, j, y k

tenemos que tomar en cuenta que:

i x i = 0 ; j x j = 0 ; k x k = 0 ;

I x j = k ; j x k = i , k x i = j

En el ejemplo anterior A = 2i + j –3k y B= 3i – j + 4k

AxB = i –17j – 5k

B

A

AxB y BxA siempre son perpendiculares al plano que contiene a A y B

Sean A y B dos vectores en V3 y α el ángulo en radianes entre A y B. De la propiedad v)

podemos establecer: ║AxB ║² = ║A║² .║B║²

Sustituyendo ║AxB ║² = ║A║² .║B║² - ║A║² .║B║² . cos² α

║AxB ║² = ║A║² .║B║² (1- cos² α) Factorizando

║AxB ║² = ║A║² .║B║² . sen² α 0 < α ≤ π

Extrayendo raíz cuadrada Sen α ≥0

Ejercicio: Hallar el área del paralelogramo que tiene sus vértices en los puntos P (1, -2, 3) , Q (4, 3, -1) , R (2, 2, 1) y S (5, 7, -3).

Si A y B son vectores paralelos no nulos entonces AxB = 0 .

Si A y B no son paralelos AxB es perpendicular al plano que los contiene.

Ejemplo: Dados los puntos P (-1, -2,-3) Q (-2, 1, 0) y R (2, 1, 3). Hallar un vector unitario perpendicular al plano que pasa por P, Q y R.

A = PQ = (-1, 3, 3) B = PR = (1, 7, 4)

AxB = (-9,7,-10) = -9i + 7j -10k

║AxB║ = √230 luego el vector unitario perpendicular es

k

j

i

AxB

AxB

230

10

230

7

230

9









Para un Paralelogramo

h = ║B║ Sen α

Por otra parte el área del paralelogramo es b. h. Así A = ║A║.║B║ Sen α

luego el Área del paralelogramo es:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL

N

S

h 

C R

B

P

A Q

Sean A = PQ ; B = PR y C = PS

Los vectores AxB y - (AxB) son normales al plano que contiene PQ y PR. Llamemos N al que forme menor ángulo con C.

π 2

Las representaciones de N y C están a un mismo lado con relación al plano que contiene a PQ y PR. La base del paralelepipedo tiene por área ║AxB║ unidades cuadradas y si h unidades

es la altura entonces:

V =║AxB║ . h (I)

Consideremos N.C = ║ N ║ . ║ C║. cos α pero h =║ C║ . cos α.

Así N.C=║N║.h (II)

además N = ║AxB║

ya que N es AxB o – (AxB) y en consecuencia N.C= ║AxB║ . h De (I) Y (II) se tiene que N.C = V.

Luego el volumen del paralelepípedo es (AxB) . C o -(AxB) . C, es decir el valor absoluto de (AxB) .C

Ejemplo: Hallar el volumen de un paralelepípedo que tiene sus vértices en P(5,4,5) , Q(4,10,6), R (1,8,7) y S (2,6,9 ) y aristas PQ , PR y PS

Solución: P= PQ = (-1, 6, 1) , B = PR = (-4, 4, 2) , C = PS= (-3, 2, 4 )

Así AxB = 8i - 2j + 20k por lo tanto (AxB) . C = (8, -2, 20) . (-3, 2, 4) (AxB) . C = 52 unidades cúbicas

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Sea U un vector de componentes

U



(

u

1

,

u

2

,

u

3

)



U = (u1, u2, u3) y M1 un punto de

Así M1 M = λ U , esto es: (x - x1, y – y1 , z – z1 ) = λ (u1, u2, u3) donde λ es un parámetro. Luego

x - x1 = λu1 r= y – y1 = λu2

z – z1 = λu3

y son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta r . Si u1 , u2 son diferentes de cero

entonces:

1 2

1 1

1 3

y y u

x

x

z

z

u

u











_,

denominada ecuación continua de la recta y los tres cocientes son igual a



. El vector

U

paralelo a la recta se denomina VECTOR DIRECTOR de la r .

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A (-1, 2, 0) y B (3, 1, -1

Así

U

=BA=(4,-1,-1) como la recta pasa por A o por B tenemos :

1

2

4

1

1

x



y



z









2) Hallar la recta que pasa por A ((2,3, -1 ) y es paralela a la recta r cuyas ecuaciones son: x =2+3 λ

r = y =1+2 λ

z = 1

Solución: De las ecuaciones paramétricas tenemos que

U

= (3,2,0). Así las ecuaciones de la recta buscada son:

2

3

3

2

x



y





z + 1= 0

3) Determinar si los puntos A (-1,1,0 ) ; B ( 2,-1,1) y C (3,0,-1) son colineales.

Solución: tomemos como vector director

AB

= (3,-2,1) y el punto A. Así

1

1

3

2

1

x



_

y



_

z



Vemos que el punto C no satisface la ecuación, luego A, B y C no son colineales.

ECUACIONES DE PLANO

En R3, La gráfica de una ecuación de tres variables es una superficie y la más simple de las superficies es el plano.

DEFNICION: Sí

N

es un vector no nulo y P0 es un punto dado, entonces el conjunto de todos

P (x, y, z )

N

Y

PoP

P0 (x0 , y0 , z0 )

X

Si P0 (x0, y0, z0 ) es un punto del plano y

N

= (a,b,c) es un vector normal al plano, entonces:

A (x-x0 ) +b ( y-y0) +c (z-z0 ) = 0 Ecuación del plano

Esta se tiene ya que

PoP

= (x-x 0 , y-y0 , z-z0 ) y

N

= (a,b,c)

Luego

PoP

.

N

= 0 (son ortogonales ) así (x-x0) +b (y –y0 ) +c ( z-z0 ) =0

Ejemplos: Hallar la ecuación del plano que contenga al punto (2,1,3) y que tenga a

3i

- 4j +

k

como vector normal.

Solución: P0 (2,1,3) y N = (3, -4, 1) la ecuación del plano pedida es 3 (x-2) –4 (y-1) + (z-3) = 0

Z

Si a, b, c no son todos nulos la gráfica de una ecuación ax + by + cz d = 0 es un plano y (a, b, c ) es un vector normal a ese plano.

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.

2) Encontrar la medida del ángulo en radianes entre los planos:

5x–2y +5z-12 = 0 y 2x +y –7z + 11 = 0

Solución:

Sea N1 el normal al primer plano. Y N2 el normal al segundo plano. Así N1= (5. –2, 5 ) y

N2= (2,1, -7)

Luego

1 2

1 2

cos

N

N

N

N











(5, 2,5) (2,1, 7)

1

2

54

54





_





2 / 3







3) Hallar la distancia del plano 2x-y +2z + 10 = 0 al punto ( 1,4,6)

Solución: QP = (6,4,6 ) Entre N y – N tomemos el que forme menor

N

= (2,-1, 2 ) ángulo α<

2



-

N

= (-2,1,-2 con QP y lo llamaremos N1

P (1,4,6 )

α

N QP d=?

R

1 1

cos

N

QP

d

RP

QP

peroCos

N

QP













Luego :

1 1

1

(

)

(2, 1, 2) (6, 4,6)

3

1

QP

_{N QP}

N

QP

d

N

QP

N

















20

3

unidades



AUTOEVALUACIÓN Nº 1

1.- Determine si los puntos

A



0, 2,1 ;



 

B

3, 1, 2 ;

 

 

C

2, 5,1



yD





1, 2, 6



son coplanares.

2.- Determine la distancia del punto

P

₀





1, 2,



1



a la recta de ecuación

2

1

2

1

2

1

X



_

Y



_

Z





3.- Encuentre la medida del ángulo entre los planos de ecuaciones 5x2y5z 12Y y

2

X



Y



7

Z

 

11

4.- Halle la ecuación del plano que contenga al punto



1,



1, 3



y que sea paralelo al

plano de ecuación

6

X



Y



3

Z



7

5.- Halle las coordenadas del punto P de intersección de la recta;

1

1

2

1

3

X

Y

Z

L













con el plano de ecuación:

3

X



2

Y



Z



25



0

RESPUESTAS:

1.- No son coplanares.

2.-

d



7

3 3

unidades

3.-

cos

1





1 2





120

así





120

4.-

6

X



Y



3

Z



14



0

5.-

P



9, 5,12





BIBLIOGRFÍA

LEITHOLD, Louis: El cálculo, (con Geometría Analítica)

México. Editorial Harper. Segunda edición 1973

LANG, Serge: Algebra lineal, México. Editorial Fondo Educativo Interamericano. 1975.

A

A

L

L

G

G

E

E

B

B

R

R

A

A

M

M

O

O

D

D

U

U

L

L

O

O

I

I

I

I

:

:

N

N

Ú

Ú

M

M

E

E

R

R

O

O

S

S

C

C

O

O

M

M

P

P

L

L

E

E

J

J

O

O

S

S

CONTENIDO:

- Definición.

- Forma rectangular, polar, interpretación geométrica. - Álgebra de los números complejos.

- Números complejos conjugado. - Raíces, potencia.

- Formula de Moivre. - Formula de Euler. - Vectores, fasores

OBJETIVO

Al término de este tema, el estudiante deberá ser capaz de demostrar habilidad en el manejo de los números complejos, cualquiera sea su expresión.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Establecer la necesidad de ampliar R.

- Definir número complejo.

- Dados números complejos representarlos en el plano.

- Definir la unidad imaginaria.

- Calcular potencias de la unidad imaginaria.

- Dado un número complejo en forma de par ordenado, expresarlo de manera polar o trigonométrica.

- Interpretar geométricamente un complejo en forma polar.

- Dado dos números complejos calcular su diferencia.

- Dado dos números complejos calcular su producto.

- Aplicar las propiedades de la multiplicación de números complejos.

- Dado un numero complejo Z, definir su conjugado

Z

.

- Dado dos números complejos calcular su cociente.

- Dado un número complejo calcular potencias de él.

- Determinar la raíz de un número complejo dado.

- Aplicar la formula de Moivre.

- Aplicar la formula de Euler.

- Definir fasores.

- Aplicar el concepto de favor a problemas de circuitos eléctricos.

NÚMERO COMPLEJO

DEFINICION: Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a, b). El primer elemento representa la parte real y se indica con el símbolo Re, el segundo elemento representa la parte imaginaria y se indica con el símbolo Im, entonces:

 

Re

z



a

y

Im

 

z



b

.

El número complejo z se representa en el plano complejo como se muestra:

Dos números complejos

Z

₁





a b

,



,

Z

₂





c d

,



son iguales si , y solo sí, a=c y b=d. Una igualdad en el conjunto de los números complejos equivalentes a un par de igualdades en el conjunto de los números reales.

FORMA RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

Todo número complejo (a,b) se puede escribir en forma a  bi, que es la llamada forma rectangular de un número complejo.

El número complejo (0,1) esta representado por

i

.

0

1

2

3

1

1

i

i

i

i

i

i





 

 

EJE IMAGINARIO

b (a, b)

FORMA POLAR

Un número complejo también se puede expresar de la siguiente forma

Z



Z e

i

,

que es la llamada forma polar o exponencial.

El termino

Z

representa la magnitud de Zy



representa el argumento de Z.

SUMA Y RECTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La suma de dos números complejos es otro número complejo que encuentra al sumar las partes reales y las imaginarias.

1 2 2 1

,

Z



Z



Z



Z



Z

donde

Z

₁

 

a

ib Z

,

₂

 

c

id

,

entonces:

Z





a



c





i b





d



.









1 2

.

Z



Z



a



c



i b



d

MULTIPLICACIÓN

Utilizando los números complejos

Z

₁

yZ

₂ anteriores, su producto es:





 







1 2

.

Z Z



a



ib

c



id



ac



bd



i ad



bc

lo que indica que el producto de dos números complejotes otro número complejo. En la forma polar, se tiene que:



1 2



1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

,

i i

i

Z

Z

e

Z

Z

e

Z Z

Z

Z

e

 

 







EJE IMAGINARIO

Z



La multiplicación de números complejos se logra más fácilmente en la forma polar o exponencial que en la forma rectangular.

La suma y la multiplicación de números complejos son conmutativas y asociativas y la multiplicación es distributiva con respecto a la suma en los números complejos, por lo tanto:

1.-

Z

₁



Z

₂



Z

₂



Z

₁

2.-

Z

₁

.

Z

₂



Z

₂

.

Z

₁

3.-



Z

₁



Z

₂





Z

₃



Z

₁





Z

₂



Z

₃



4.-



Z

₁

.

Z

₂



.

Z

₃



Z

₁

.



Z

₂

.

Z

₃



5.-

Z

₁

.



Z

₂



Z

₃

 



Z Z

₁

.

₂

 



Z Z

₁

.

₃



CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El conjugado del número complejo Z  a ib, por definición, es

Z



a



ib

.

Con frecuencia la multiplicación de un número complejo Z por su conjugado Z, cuyo resultado es un número real.

En la forma polar,

Z



Z e

i

,

entonces el conjugado será:

Z



Z e

i

.

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para cada par de números complejos

Z yZ

_{1 2}

,

Z

₂



0,

se define la división como:

1. 2

1 1 2

1 2

2 2 2 2 2

1

. . Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z

   

2 2 2 2

ac

bd

bc

ad

Z

i

c

d

c

d













En la forma polar o exponencial:

 

1

1 2 2

1 1

1

i

i i

Z

e

Z

Z

e

Z

Z

e

Z



 

 

RAÍCES Y POTENCIAS DE Z

Las raíces y las potencias de números complejos se encuentran utilizando la ley de los exponentes. Por lo tanto:

n _n

n i i n

Z



Z e





Z

e



Si se sustituye 1/m en lugar de n y también se suma k2

 

a , se obtiene:

 2 

1M M i k M

Z



ze

  , donde K es un entero y para K=0 se tiene

el valor principal. Este resultado se conoce como teorema De Moivre.

IDENTIDAD DE EULER

Existen ecuaciones útiles para convertir de polar a rectangular, que se derivan principiando con la identidad de Euler:

 

 

cos

i

e 



 isen



LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El logaritmo de un número complejo se encuentra expresando es número en forma polar y observando también que

 

 2



para cualquier valor entero de k con



en radianes.

Entonces:

 2 

_

_

2

i i

LnZ



Ln Z e





Ln Z e

 



Ln Z



i







PROPLEMAS PROPUESTOS:

1.- En las siguientes expresiones, hallar los valores de m y n que hacen ciertas la proposición dada:

































. 3, 2 1, 2

. , 4, 2

. 3 2 5

. 3 5

. 5 6, 7 ,

a m n

b m n

c m i n m i

d m n i n m i

e m n m n

  

 

    

          

2.- Exprese los siguientes números complejos en forma polar:



 

 

 











.

3

3

,

3

4

,

3

2

,

2

2

1

3

.

1

3

,

.

4

2

2

2

3

12

5

.

3

,

2

13

13

a

i

i

i

i

b

i

i

i

c

i

i





















_

_



_

_









_{ }

_



_

_



_{ }



_

 







3.-Exprese los siguientes números complejos en forma rectangular:



 

 





 



45 30 120

120 105

. 3 , 4 , 3

. 2 , 15

i i i

i i

a e e e

b e e





 

4.- Dado los siguientes números complejos:













1 2 3 4

2

2 3 , 1 3 , 3 3 2 3 .

2

Z   i Z  i Z  _ i _yZ  i

 

Determine las siguientes cantidades, indicando cada número complejos y la suma o la resta en el plano complejo:

1 2 3

1 4

1 2 3 4

2 3 4

.

.

3

.

.

4

5

a

Z

Z

Z

b

Z

Z

c

Z

Z

Z

Z

d

Z

Z

Z











 















11 2 3

 

2 4



1 2

.

.

.

.

.

.

a

Z Z

c

Z

Z

Z

Z

e

Z Z











1 3 4

1 2 1 1 4 4

.

.

.

.

.

.

.

b

Z

Z

Z

c

Z

Z

Z

Z

f

Z

Z









6.- Utilizando los mismos números complejos del problema 4, determine las siguientes cantidades, expresándolas en forma rectángula y en forma polar, presente en el plano complejo. 1 2 3 4

.

.

Z

a

Z

Z

c

Z









1 2 3 4 1

3 2 4

.

.

.

.

Z Z

b

Z Z

Z

c

Z Z

Z







7.- Si

1

,

cos





isen



 

a

ib

determine los valores de a y b.

8.- Hallar dos números complejos, sabiendo que su suma es

4



i

3,

la parte real de uno de ellos es 4 y el cociente es imaginario puro.

9.- Hallar el valor de x para que el producto



x



i

4 .





3



i



sea un número real. 10.- Hallar el valor de x para que el cociente



4

3



5

2

x

i

i





sea imaginario puro.

11.- Determinar el valor de x y p de modo que el siguiente producto sea igual a



 

9

i

11 :





x



i

2 .

 

p



i

5 .



12.- Hallar Z, sabiendo que

Z



Z



5

y que

Z Z

.



19.

13.- Hallar dos números complejos, cuya diferencia es un número real, su suma tiene como

14.- Dar la expresión más simple de cada una de las siguientes: 31 504 4 16

.

.

.

n

a

i

c

i

e

i









23 4 1 4

.

.

.

n n

b

i

d

i

f

i

 







15.- Si

6

2

6

2

,

4

4

Z







i



_hallar:

2 6

.

.

a

Z

c

Z





3 24

.

.

b

Z

d

Z





16.- Efectúe y escriba en la forma

a



ib

:













3 2

43

1

.

2

. 1

3

i

i

i

i







17.- Efectúe:

.

i

a



i

b

.



i

i

18.- Efectúe:



 









 



3 2 2 10 2

2 cos 30

. 3 cos 45

.

1

3 cos 60 .

cos

60

2

.

3 cos15

. 1

3

a

b

i





_















19.- Desarrolle y exprese en la forma a ib :





1

1

1

1

7

2

1

2

i

2

i









20.- Desarrolle las siguientes expresiones:



 





















 







2 5 3 9 2 37 3 3

5

3

. 3

3

.

4

4

2

. 1

4

.

.

5

s

45

cos 60

.

60

.

3

2

i

i

a

i

i

i

b

i

i

en

i

isen

c

i

 













 









21.- Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones y simplificar:





2

2

2

.

9

0

.

32

0

.

1

5

0

a

x

b

x

c

x





















22.- Que restricción debe imponerse a x para que

1

1 ?

x





i

x



23.- Un estudiante expuso la siguiente “demostración” de que 1=-1, encontrar el error.



1

1

1

1









1

1

1

1









1

1

1

1









1

1

i

i





1

.

1

i

i





1



i i

.

 2

1 i

24.- Hallar:

4

3

.

1

.

64

a

i

b









25.- Resolver las siguientes ecuaciones:

3

5

2

.

5

15

0

.

1

0

.

24

5

0

a

Z

i

b

Z

i

c

Z

i











  









26.- Sea

f

 

x



x

2



i

.

a.- Hallar 2 2

2 2

f _ i _

 

b.- Hallar 2 2

2 2

f _ i _

 

c.- Hallar dos soluciones de la ecuación x2  i 0.

27.- Calcule:

















 

.

2

3

.

2

2

.

2

2

.

cos 3

2

.

2

a

Ln

i

b

Ln

i

c

Sen

i

d

i

e

Tag

i



















AUTOEVALUACIÓN 2

1.- Efectúe y escriba en la forma

x iy



:



 







3 2

48

1

2

1

3

i

i

i

i





2.-Escriba en forma exponencial:

.

2

2

a



Z

 

i

b

.

 



3



Z

3.-Efectúe:



 







3 2

2

2 cos 30

3 cos 45

1

3 cos 60

cos

60

2



_











4.-Calcule las raíces quinta de

Z

 

1

i

.

5.-Dado

Z

 

2

2 .

i

Calcule LnZ y SenZ.

RESPUESTAS

1.-

 

3

171

2.- a)

e

z



e

2 2 i



e e

2

.

2i



e

2



cos 2



isen

2





0, 69627



i



0, 02419



b)

e

3z



e

 6 6i



e e

6

.

6i



e

6



cos

 

 

6

isen

 



6





0, 0002478 1 0, 0000025902







3.- 48 cos 330

4.- 5 5 1 10

4

2

1

2 cos 45

2

cos

5

k

i

















_

_





Para k=0 z₁  21 10cos



20

Para k=1 z₂ 21 10cos 9



20 Para k=2 z₃  21 10 cos17



20

Para k=3 z₄  21 10 cos 5



4

Para k=4

z

₅



2

1 10

cos 33



20

5.-

Lnz



Ln



2



2

i





Ln

2

2



i





4



2

k





k



0,

  

1,

2,

3...

Valor principal: Lnz  Ln2 2 i



4

6.-





   





2 2 2 2

2 2 0,1312985 3, 624650

2

i i i i

e e

senz sen i i

i

 _  

BIBLIOGRAFÍA

- BURGOS, A. (1978) Matemáticas Generales. Tomo II Selecciones Científicas. Madrid.

- LANG, S. (1975) Álgebra Lineal.

Fondo Educativo Interamericano, S.A.

- SPIEGEL, M. (1971) Variable completa. McGraw-Hill. México.

- QUEYSANNE, M(1979) Álgebra Básica.

Á

Á

L

L

G

G

E

E

B

B

R

R

A

A

M

M

O

O

D

D

U

U

L

L

O

O

I

I

I

I

I

I

:

:

M

M

A

A

T

T

R

R

I

I

C

C

E

E

S

S

CONTENIDO

-

Definición de Matrices

-

Operaciones con matrices

-

Matrices especiales

OBJETIVOS GENERALES

- Al finalizar el estudio, el estudiante deberá mostrar destreza en el manejo de matrices a través de la resolución de problemas.

- Al finalizar el tema, el estudiante deberá ser capaz de mostrar destrezas en el cálculo y aplicación de los determinantes.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Definir Matriz.

- Definir Matriz asociada a una transformación lineal.

- Definir matrices notables.

- Dadas dos matrices calcular su suma.

- Aplicar las propiedades de la adición de matrices.

- Calcular el producto de un escalar dado por una matriz.

- Aplicar propiedades del producto de un escalar por una matriz.

- Determinar el producto de dos matrices.

- Determinar la matriz equivalente a una matriz dada, usando las operaciones elementales entre filas.

- Determinar la matriz escalonada reducida por filas, equivalente a una matriz dada.

- Definir determinante de una matriz.

- Calcular el valor de determinantes de segundo y tercer orden.

- Calcular el valor de determinantes de orden mayor o igual que cuatro.

MATRICES

Una matriz real es un conjunto ordenado de números reales arreglados en filas y columnas.

Sean I =



1, 2,3, 4,....

n



y J =



1, 2,3,...

m



dos conjuntos de números reales de n y m elementos, respectivamente. Se llama Matriz de Orden n x m sobre R, a toda función:

:

A IxJ



R

En este capitulo usaremos las siguientes nomenclaturas:

a. La imagen de un par (i, j) se denota por aij, ósea a (i,j) = aij.

b. Los escalares aij se denominan elementos de la matriz A en donde el primer subíndice indica la posición de la fila y el segundo la posición de la columna. c. Emplearemos letras mayúsculas para representar las matrices y letras

minúsculas con o sin subíndices para sus elementos.

d. Se acostumbra presentar el arreglo de los elementos de una matriz A entre paréntesis o corchetes, como se indica a continuación:

A =

11 12 13

21 22

23

a a a

a a a













Ö A =

11 12 13

21 22

23

a a a

a a a













e. Se emplea la notación A = (aij)nxm para identificar una matriz de orden nxm,

cuyos elementos son aij.

f. Se acostumbra a decir que una matriz A= (aij)nxm es una matriz n filas y m

columnas, que es el orden de la matriz.

g. El conjunto de las matrices de n filas y m columnas sobre R, se denota por Mnxm( R ).

(a11 a12 a13 a14) matriz fila,

11

21

31

a

a

a

 

 

 

 

 

matriz columna

i. Cuando n=m se dice que A es una matriz cuadrada de orden n. El conjunto de las matrices cuadradas de orden n , sobre R, se denota por Mn( R).

j. Para todo elemento i de la matriz 1xm, cuya representación es:

(a11 a12 a13…….an) se denomina la i-enésima fila de A IGUALDAD DE MATRICES

Sean A= (aij)nxm y B = (bij)pxq dos matrices. La matriz A es igual a la matriz B, si solo si n=p,

m=q y además aij = bij , para todo par de índice (i, j).

MATRICES ESPECIALES

Ahora vamos a definir unos tipos especiales de matrices, que nos van a permitir expresar relaciones importantes mas adelante.

En el caso especial en que las matrices sean cuadradas, es posible destacar los elementos aij

con i = j, los cuales forman la diagonal de la matriz.

1- Consideremos una matriz cuadrada de orden n tal que aij = 0 cuando i≠j, por ejemplo:

11

22

33

0

0....0

0

0....0

0

0

...0

a

a

a





















A esta matriz se le llama matriz diagonal.

Un caso particular de matriz es la llamada matriz escalar.

En ella se tiene que aij =

,

,

k

R sii

j

o sii

j











_



Por ejemplo :

3

0

0

0

3

0

0..

0

0

3

































Toda matriz escalar es diagonal, pero lo contrario es falso.

2.- Si se tiene una matriz cuadrada de orden n, tal que:

aij=

1

0







si

si

i

j

i

j





se tiene In

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1



























3.- Sea A (aij) nxm, una matriz con coeficientes en R, la matriz (aij)mxn, que se obtiene de la

matriz A al intercambiar filas por columnas, se llama transpuesta de la matriz A y se denota At .

Ejemplo: A=

4

0

3 1

5

6





















entonces At =

4

6

0

3

5 1





















4.- La matriz A = (aij) nxm se llama triangular inferior, si solo si aij=, cuando i < j. Se llamara

triangular superior, si solo si aij = 0, cuando i  j. Las matrices siguientes son, respectivamente,

A =

1

0

0

0

0

7

0

0

9

5

2

0

1

1

3

2















_

















Y

3

2

1

0

7

9

0

0

7

B











_



_









OPERACIONES CON MATRICES

En el siguiente punto vamos a estudiar definidas con matrices para establecer el tipo de estructura que estos conjuntos tienen.

SUMA DE MATRICES

Dadas las matrices A = ( aij) y B = (bij) que tienen el mismo orden, se llama matriz suma de A Y

B C = (cij), tal que Cij = aij + bij para todo par (ij) y se denota como : C = A + B . Ejemplo:

2 5

3

5 0

7

2 5 5 0

3 ( 7)

6

4

0

0 8 1

6 0

4 8 0 1









  



 

 









 

 

_

_

_





 

 



7

5

10

6 12 1







 







La matriz suma C es del mismo orden de A y B. La suma de matrices satisface las siguientes propiedades:

 La suma es conmutativa.

 La adición es asociativa.

 Existe el elemento neutro: la matriz nula de orden nxm.

 Toda matriz de orden nxm, tiene simétrica u opuesto.

RESTA DE MATRICES.

Sean A y B dos matrices del mismo orden, la resta A-B = A + (-B). Ejemplo:

8

4

3

7

8

4

3

7

5

3

2

5

5

3

2

5











 

 

 











 

 

 

_

_





 

 

 



8 ( 3)

4 ( 7)

5 ( 2)

3 ( 5)

  

 





 

_{ }

_{ }







=

11

3

3

2









_







Es evidente que la resta se puede efectuar restando los elementos correspondientes.

MULTIPLICACION ESCALAR

Sean



R

y A = (aij) una matriz. Al par (



, A) le asociamos una matriz B= (bij)nxm, tal que

llamaremos multiplicación de un escalar por una matriz y que denotaremos B =



A. Ejemplo:

2

3

4.2

4.( 3)

4

6

7

4 6

4.7







 







 





 



8

12

4 6

28







 







Esta operación tiene las propiedades que se indican a continuación:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

A

A

A

A

B

A

B

A

A

A

A

 













 

 















