ANALISIS DE RUIDO TERMICO EN PISTAS DE TARJETAS DE CIRCUITO IMPRESO A TRAVES DE LA UTILIZACION DE CIRCUITOS ELECTRICOS EQUIVALENTES.

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(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO

NACIONAL.

UNIDA PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA.

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E

INVESTIGACIÓN.

“ANÁLISIS DE RUIDO TÉRMICO EN PISTAS DE TARJETAS DE

CIRCUITO IMPRESO A TRAVÉS DE LA UTILIZACIÓN DE

CIRCUITOS ELÉCTRICOS EQUIVALENTES”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA.

PRESENTA:

ING. MOISÉS ISAAC ESPINOSA ESPINOSA.

DIRECTOR:

M. EN C. RAÚL PEÑA RIVERO.

(2)
(3)
(4)

Resumen.

En este trabajo de tesis se analiza el ruido térmico que se genera en una tarjeta de circuito impreso (TCI) con pistas que tienen una estructura micro-cinta, utilizando como fuente principal de ruido la resistencia propia de la pista. Este análisis se hizo utilizando el circuito equivalente por unidad de longitud de la TCI en el intervalo de frecuencia de 100KHz a 500MHz a temperatura ambiente (290 °K). En estas frecuencias la resistencia por unidad de longitud R [Ω/m] de la pista incrementa su magnitud a una razón de f , donde f es la

frecuencia, debido al efecto pelicular. Este incremento es descrito por la ecuación matemática determinada en función de la frecuencia, parámetros por unidad de longitud (Inductancia L y capacitancia C), función de transferencia de TCI e impedancias de fuente y carga.

También se reporta la ecuación que describe el ruido térmico generado por pistas de TCI en función de las dimensiones físicas de la pista (espesor t y ancho w) y de la profundidad de penetración de la corriente que circula por las mismas pistas (δ ).

(5)

Abstract.

In this thesis work the thermal noise is analyzed, that is generated in a printed circuit board (PCB) with PCB strips that have a microstrip structure, using as main source of noise the characteristic resistance of the PCB strip.

This analysis was made using the per-unit-length equivalent circuit of the PCB in the frequency range of 100KHz - 500MHz at room temperature (290 °K). At these frequencies the per-unit-length resistance R [Ω/m] of the PCB strip increases its magnitude to a reason of f , where f is the frequency. This increment is described by the mathematical equation

determined as a function of the frequency, per-unit-length parameters (inductance L and capacitance C), the transfer function of the PCB and the source and load impedances.

The equation that describes the thermal noise generated by PCB strips of the PCB is also reported as a function of its physical dimensions (thickness t and widew) and of the

penetration depth (δ ) of the current that circulates for the same PCB strips.

(6)

Dedicatorias.

Este trabajo se lo dedico a mis padres Ernesto y Olga por el especial apoyo, cariño, paciencia y consejos que me han brindado toda la vida. Y porque ellos representan el acicate que evita que claudique ante las dificultades que he encontrado en la búsqueda de mis metas.

A mis hermanos: Adriana, Juan Ernesto, Marco Antonio e Iván por su apoyo y cariño en todo momento.

(7)

Agradecimientos.

Agradezco al Instituto Politécnico Nacional por el apoyo económico recibido a través de las becas PIFI (proyecto: Desarrollo de modelos para el análisis de conformidad de compatibilidad Electromagnética en sistemas electrónicos con número de registro: 200303354) e institucional que permitieron cubrir los gastos propios generados por los estudios de la maestría.

Mi profundo agradecimientos a los profesores Dr. Roberto Linares y Miranda y al M. en C. Raúl Peña Rivero de SEPI - ESIME por su comentarios, consejos y criticas que enriquecieron este trabajo de tesis.

También quiero agradecer a los profesores de SEPI – ESIME por sus enseñanzas y consejos recibidos durante mi estancia en dicha sección:

(8)

Contenido.

Pag.

Índice de Figuras. IX

Índice de Tablas. XII

Objetivo. XIII

Justificación. XIII

Lista de Abreviaturas XIV

Capítulo I. Introducción. 1

1.1. Mecanismos de Ruido en Sistemas Electrónicos. 1

1.2. Tarjetas de circuito impreso (TCI o PCB). 3

1.3. Circuito Equivalente de una Línea de Transmisión TCI. 4

1.4. Alcances. 6

1.5. Organización de la tesis. 6

Capítulo II. Ruido Térmico. 7

2.1. Antecedentes. 7

2.2. Definición de Ruido Térmico. 7

2.3. Características del Ruido Térmico. 8

2.4. Definición matemática del Ruido Térmico. 10

a) Deducción matemática del Voltaje de Ruido Térmico. 10

2.5. Modelos de Fuentes de Ruido Térmico. 14

2.6. Ancho de Banda de Ruido Térmico (∆f ). 15

Capítulo III. Ruido Térmico en Tarjetas de Circuito Impreso. 17 3.1. Ruido Térmico en Tarjetas de Circuito Impreso (TCI). 17 3.2. Variación del Parámetro Resistivo de la TCI debido al Efecto Pelicular. 18

3.2.1.Efecto pelicular en TCI. 18

3.2.2. Análisis del efecto pelicular en una pista de la TCI. 20 Capítulo IV. Potencia Disipada de Ruido Térmico en una TCI. 30

4.1. Potencia de Ruido Térmico Disipada por la TCI. 30

4.2. Transmisión de Ruido Térmico a través de la TCI. 30

4.2.1. Teorema Generalizado de Nyquist. 30

4.2.2. Teorema de Wiener-Khintchine. 31

4.3. Potencia Promedio de Ruido Térmico en TCI. 32

4.4. Deducción matemática de la Potencia Disipada de Ruido Térmico en la TCI. 32 4.4.1. Obtención del Espectro de Carga del Circuito Equivalente de la TCI. 33 4.4.2. Obtención del Espectro de Corriente del Circuito Equivalente de la TCI 35 4.4.3. Potencia Disipada de Ruido Térmico en la TCI. 37

(9)

5.1. Medición de Ruido Térmico en TCI. 39

5.2. Metodología de Medición de Ruido Térmico. 39

5.3 Obtención de la Constante de Boltzmann. 40

5.3.1 Sistema de Obtención de la Constante de Boltzmann. 40 5.3.2 Análisis Matemático del Sistema de Medición. 41 5.4. Obtención de la Potencia Promedio de Ruido Térmico de la Red Equivalente

de TCI.

43 5.5. Obtención de la Variación del Parámetro Resistivo de la TCI. 44

a) Definición matemática de la resistencia interna de la pista de TCI en función de la frecuencia y de los parámetros por unidad de longitud.

45

Capítulo VI. Resultados. 49

6.1. Obtención del Ancho de Banda de Ruido del Sistema de Medición. 49 6.2. Medición de Ruido Térmico de una fuente resistiva. 50 6.2.1. Medición de Ruido Térmico del Sistema (VS). 51 6.2.2. Medición de Ruido Térmico del Amplificador-Filtro. (VA). 52

6.3. Obtención de la Constante de Boltzmann. 52

6.4. Correcciones del Sistema de Medición. 53

6.5. Obtención de la Potencia Promedio del Circuito Equivalente. 54 6.5.1 Medición de Ruido Térmico (rms) de los Circuitos Equivalentes. 55

6.5.2 Cálculo de la Potencia Disipada. 56

6.6. Medición de la Variación del Parámetro Resistivo de una TCI debido al Efecto Pelicular.

57 6.6.1. Medición de la Función de Transferencia de la TCI. 57 6.6.2. Obtención de la Variación de la Resistencia de la TCI. 59 6.6.3. Efecto pelicular en el Dominio del Tiempo en la TCI. 60 6.6.4. Cálculo del Espectro Ruido Térmico en la TCI. 63

6.7 Discusión de los resultados. 64

Conclusiones. 66

Tareas por realizar. 67

Apéndice A. 68

A.1. Efecto pelicular en un conductor cilíndrico. 68

a) Campo electromagnético y condiciones de frontera para un conductor cilíndrico. 71

Apéndice B. 77

B.1. Diseño de la Fuente de Ruido. 77

B.2. Diseño del Amplificador. 77

B.2.1. Análisis de Ruido Térmico del Amplificador. 77

B.2.2. Análisis de Ruido Térmico del Amplificador AD620. 79

B.2.3. Construcción del Amplificador. 81

B.3. Diseño de los Circuitos Equivalente de una TCI. 82

a) Cálculo de las Características de los Circuitos Equivalentes RLC. 82

(10)

a). Cálculo de los Parámetros por Unidad de Longitud. 85

Apéndice C. 88

C.1. Software de Control del Instrumento. 88

C.2. Software de Interpretación de Datos. 88

Índice de Figuras.

Pag. Figura 1.1. Ruidos externos e internos en un sistema electrónico. 3

Figura 1.2. Clasificación general de ruido. 3

Figura 1.3. Nivel de ruido interno, el cual define la sensibilidad del sistema electrónico.

4 Figura 1.4. Tipos de TCI, (a) Micro-cinta, (b) Pistas coplanares, y (c) Pistas

coplanares opuestas.

6 Figura 1.5. Circuito equivalente de una línea de transmisión TCI. 7 Figura 2.1. Movimiento de electrones en función de la temperatura. 11 Figura 2.2. Forma de onda y distribución gaussiana de ruido térmico. 12

Figura 2.3. Suma de voltajes rms de ruido térmico. 13

Figura 2.4. Espectro de frecuencia de ruido térmico. 14 Figura 2.5. Línea de transmisión de longitud l, (a) con terminales acopladas, (b)

circuito equivalente de la línea con fuente de ruido térmico.

15 Figura 2.6. Modelos de fuentes ruido térmico, (a) de corriente, (b) de voltaje. 20

Figura 2.7. Respuesta de un filtro ideal. 21

Figura 2.8. Determinación del ancho de banda de ruido por el método gráfico. 22 Figura 2.9. Comparación de los anchos de banda de ruido (∆f ) y de –3dB. 22

Figura 3.1. Diagrama eléctrico de la red equivalente de parámetros por unidad de longitud (R, L, C y G) de una TCI.

23 Figura 3.2. Curva de comportamiento del parámetro resistivo de una TCI en

función de la frecuencia.

25 Figura 3.3. Propagación de los campos magnético y eléctrico en una pista de

TCI.

26 Figura 3.4. Curvas de comportamiento de los parámetros resistivo e inductivo de

un conductor de radio a, debido al efecto pelicular.

27 Figura 3.5. Corte transversal de una pista (a) Propagación homogénea en toda la

sección transversal, (b) Propagación en una sección transversal de ancho δ debido al efecto pelicular.

28

Figura 3.6. Pista de Tarjeta de Circuito Impreso analizada en un sistema de coordenadas rectangulares.

30 Figura 3.7 Grafica en 3D de la densidad espectral de ruido térmico que presenta

una pista de TCI en función de sus dimensiones físicas (ancho y espesor).

(11)

Figura 4.1. Diagrama eléctrico de la conexión de una fuente térmica con una impedancia Z(ω) como carga.

40 Figura 4.2. Diagrama a bloques de un sistema Lineal. 40 Figura 4.3. Definición del ancho de banda de ruido equivalente. 43 Figura 4.4. Tarjeta de circuito impreso, (a) Red equivalente infinitesimal, (b) Red

equivalente con fuente térmica.

45 Figura 4.5. Diagrama eléctrico de una red RLC serie excitada por fuente térmica. 47 Figura 5.1. Diagrama a bloques del método de medición onda sinusoidal. 51 Figura 5.2. Diagrama a bloques del sistema de Medición. 53 Figura 5.3. Conexión de la fuente de ruido y el amplificador por medio de una

línea coaxial de capacitancia C, (a) diagrama esquemático de la conexión física, (b) circuito eléctrico equivalente.

54

Figura 5.4. Diagrama eléctrico del circuito RLC, con la capacitancia equivalente

P

C en paralelo.

56 Figura 5.5. Diagrama a bloques de un sistema lineal con función de transferencia

) (ω

H .

57 Figura 5.6. Diagrama esquemático de la conexión entre el dispositivo bajo

estudio (TCI) y el analizador de redes HP4195A para medir la función de transferencia de la TCI.

58

Figura 5.7. Diagrama eléctrico de la red equivalente RLC de una sección infinitesimal de una TCI.

59 Figura 5.8. Diagrama eléctrico de la red equivalente acoplada con las

impedancias de fuente y carga.

59 Figura 6.1. Diagrama esquemático de la conexión física del sistema de medición

para la determinación del ancho de banda de ruido.

62 Figura 6.2. Gráfica normalizada de la ganancia de transferencia del sistema. 63 Figura 6.3. Imagen del sistema utilizado para la medición de ruido térmico de un

resistor.

64 Figura 6.4. Gráfica de voltaje de Ruido térmico medido con el osciloscopio TeK

TDS360 correspondiente al sistema completo.

65 Figura 6.5. Gráfica de voltaje de ruido térmico medido con el osciloscopio TeK.

TDS 360 correspondiente al amplificador - filtro.

66 Figura 6.6. Diagrama esquemático del sistema de medición de voltaje de ruido

térmico utilizando el milivoltmetro Booton.

67 Figura 6.7. Diagramas eléctricos de los circuitos RLC propuestos (a) circuito A,

(b) circuito B.

69 Figura 6.8. Diagrama esquemático de la conexión del sistema para medir el

voltaje de ruido térmico generado por los circuitos RLC propuestos.

70 Figura 6.9. Vista frontal de la tarjeta de circuito impreso del tipo de micro-cinta

utilizada para medir el efecto pelicular en el dominio de la frecuencia. 73 Figura 6.10 Imagen de la conexión entre la TCI y analizador de redes (HP 4195A)

para medir la magnitud de la función de transferencia de la TCI.

(12)

Figura 6.12. Gráficas de comportamiento del parámetro resistivo de la TCI en función de la frecuencia (a) comportamiento teórico, (b) comportamiento práctico.

77

Figura 6.13. Vista frontal de la TCI empleada para medir el efecto pelicular en el dominio del tiempo.

78 Figura 6.14. Diagrama esquemático de la conexión del sistema para medir la

atenuación de una señal rectangular en una TCI.

79 Figura 6.15. Comparación de la atenuación de que sufre una señal rectangular

que se transmite en las líneas de TCI y coaxial a diferentes frecuencias, (a) 1MHz, (b) 20MHz, (c) 80MHz y (d) 120MHz.

80

Figura 6.16. Gráfica de comparación entre las atenuaciones que presentan las líneas TCI y coaxial.

81 Figura 6.17. Gráfica resultante del cálculo de la densidad espectral de ruido

térmico de la pista de TCI.

82 Figura A1. Propagación de los campos magnético y eléctrico en un conductor

cilíndrico.

88 Figura B1. Imagen de la fuente de ruido térmico con su blindaje (resistor de

22KΩ).

100 Figura B.2. Diagrama eléctrico de un amplificador en la configuración de

instrumentación con sus fuentes de ruido térmico.

103 Figura B.3. Diagrama eléctrico del amplificador AD620 con sus fuentes de ruido

térmico.

103 Figura B.4 Diagrama eléctrico del amplificador AD620. 105 Figura B.5. Vista superior del amplificador construido dentro de su blindaje. 106 Figura B.6. Diagrama eléctrico del filtro A con ancho de banda B=7.95MHz. 107 Figura B.7. Diagrama eléctrico del filtro B con ancho de banda B=50.8MHz. 108 Figura B.8. Imágenes de los circuitos RLC construidos con sus respectivos

blindajes, (a) Circuito A, (b) Circuito B.

108 Figura B.9. Vista lateral y frontal de la tarjeta de circuito impreso del tipo

micro-cinta.

109 Figura B.9. Imagen de la tarjeta de circuito impreso fabricada del tipo micro-cinta. 112 Figura C.1. Interfaz gráfica de usuario del software de control del osciloscopio

LeCroy 9361.

113 Figura C.2. Diagrama de flujo general del software de control del osciloscopio

LeCroy.

114 Figura C.3. Interfaz gráfica de usuario del software de interpretación denominada

manipulación.

(13)

Índice de Tablas

Pag.

Tabla 1.1. Parámetros físicos y eléctricos de las TCI. 5 Tabla 6.1. Comparación de los valores de ruido térmico medidos a la fuente

ruidosa (resistor).

68 Tabla 6.2. Voltajes rms de ruido térmico medidos a los circuitos A y B propuestos. 71 Tabla 6.3. Comparación de las Potencias medidas de los circuitos A y B con la

potencia teórica.

72 Tabla 6.4. Cálculo de la profundidad de penetración y resistencia de la TCI bajo

prueba a diferentes frecuencias.

(14)

Objetivo.

Analizar el efecto del ruido térmico que se presenta en pistas de tarjetas de circuito impreso a través del uso de circuitos eléctricos equivalentes en un intervalo de frecuencia de 100KHz a 500MHz.

Justificación.

(15)

Lista de Abreviaturas.

A

A Área transversal.

vo

A Magnitud pico del voltaje de la respuesta del sistema.

2

vo

A Cuadrado de la magnitud del voltaje de la respuesta del sistema. a Radio del conductor.

α Constante de atenuación [Neper/m]

f

α Coeficiente de ruido de baja frecuencia (=1,2,…).

B

B Ancho de banda de media potencia ó −3dB.

β Constante de fase [rad/m]. C

T

C

C, Parámetro capacitivo por unidad de longitud de la TCI [Farad/m].

P

C Capacitancia paralela entre el parámetro capacitivo y la capacitancia de la línea coaxial

(

=Ccoaxial C

)

.

D

z

∆ Incremento infinitesimal.

f

∆ ,∆fE Ancho de banda de ruido.

e

f

∆ Ancho de banda de ruido equivalente.

R R G

f =

∆ Ancho de banda de ruido del circuito RLC propuesto.

ds

,

δ Profundidad de penetración de la corriente en la pista. E

1

n

E Voltaje de ruido de entrada inversora.

2

n

E Voltaje de ruido de entrada no inversora.

ni

E Voltaje de ruido de entrada del amplificador 1 de la 1er etapa.

nii

E Voltaje de ruido de entrada del amplificador 2 de la 1er etapa.

ntp

E Voltaje de ruido del resistor de entrada no inversora (2da. etapa).

1

t

E Voltaje de ruido del resistor de entrada inversora (2da. etapa).

2

t

E Voltaje de ruido del resistor de entrada de retroalimentación (2da. etapa).

no

E Voltaje de ruido de salida del amplificador 1 de la 1er etapa.

noi

E Voltaje de ruido de salida del amplificador 2 de la 1er etapa.

not

E Voltaje de ruido de salida.

i

E Voltaje de ruido térmico generado por la fuente (resistor).

2

i

(16)

0

i

E Voltaje de ruido térmico medido en la salida del amplificador.

2 0

i

E Cuadrado del voltaje de ruido térmico medido en la salida del amplificador.

z

E

Eˆ, ) Campo eléctrico.

2 2

e

e

e , Voltaje cuadrático medio de ruido térmico.

2

p

e Voltaje cuadrático medio de ruido térmico en la pista de la TCI.

ε Energía total promedio de una cavidad electromagnética unidimensional

nhf =

ε

r

ε Constante dieléctrica relativa (permitividad).

0

ε Constante dieléctrica (permitividad) del medio.

F

f Frecuencia.

a

f

f1, Límite inferior del ancho de banda.

b

f

f2, Límite superior del ancho de banda.

c

f Frecuencia de corte. )

(x

f Función de densidad de probabilidad gaussiana. G

G Parámetro conductivo por unidad de longitud de la TCI [Siemens/m].

V

G Ganancia del amplificador.

t k f g g = ) ( ), (ω

Factor de ganancia del amplificador.

2

) (ω

g Cuadrado de la magnitud de la ganancia del amplificador. H

h Espesor del substrato de la TCI.

h Constante de Planck ( 34

10 625 .

6 x − J-s)

H) Campo magnético.

θ

H) Campo magnético en la superficie del conductor.

) ( ), ( ), ( S H f H Hω

Función de transferencia de voltaje.

2 2 ) ( , ) ( f H H ω

Cuadrado de la magnitud de la ganancia de voltaje en frecuencia de la red. )

(t

h Respuesta al impulso. I

1

n

I Corriente de ruido de entrada no inversora (2da. etapa).

2

n

I Corriente de ruido de entrada inversora (2da. etapa).

± m

(17)

TCI. )

(z

I) Corriente en la línea de transmisión [A]. )

(a

Iz Corriente axial en el conductor.

2

i Corriente cuadrática media de ruido térmico.

J

J) Densidad de corriente en un conductor. K

) (t

Kn Función de autocorrelación de la señal de ruido de entrada.

k Constante de Boltzmann ( . x 23 J/K

10 38

1 − ).

x

k Constante de fase. )

(f g

kt = Factor de ganancia del amplificador. L

L Parámetro inductivo por unidad de longitud de la TCI [Henrys/m].

cd

L

L0, Inductancia por unidad de longitud en baja frecuencia o corriente directa.

l Longitud de la línea de transmisión.

g

λ Longitud de onda.

M

p

µ Media o valor promedio de la variable x.

c

µ

µ, Permeabilidad del medio, para el cobre: 4πx10−7 H/m.

N

N Número entero

n Niveles de energía en electromagnética unidimensional. P

P Potencia.

P Potencia promedio.

) (ε

P Distribución de probabilidad de Boltzmann ( kT Ae

P(ε)= −ε ).

) (f P

Factor de Planck ( ) 

(

−1

)

    

= hf kT

e kT hf f

p

Q

q Carga del electrón.

R

p

R

R, Parámetro resistivo por unidad de longitud [Ohms/m].

in

R

R1, Resistencias de fuente [Ω].

L c R

R

(18)

i cd cd r r r R R , , , , 0 0

Resistencia por unidad de longitud en baja frecuencia o corriente directa.

S ac ac r r

R , , Resistencia por unidad de longitud en alta frecuencia o corriente alterna. }

{ZC e

ℜ Parte real de la impedancia característica de una línea de transmisión.

G

R Resistencia que determina la ganancia del amplificador. S

S Factor de Laplace (= jω). max

)

(So Densidad espectral máxima.

... , , , ), ( ), ( I Q s e x S f

Sx x

=

ω

Densidad espectral de potencia de ruido térmico

(

=4kTR

)

.

x

σ Desviación estándar.

2

x

σ Varianza.

d

σ Conductividad dieléctrica del medio.

c m σ

σ

σ, , Conductividad eléctrica del medio, para el cobre: 5.7x107 S/m

T

T Temperatura [Kelvin o K]. TCI Tarjeta de Circuito Impreso.

y

t, Espesor de la pista de la TCI [m].

. , ., , disp señal osc x trx

= Tiempo de subida de una señal rectangular (osciloscopio, señal, sistema o

medido, dispositivo bajo prueba).

U ) (ω

U Densidad de energía por modo electromagnético. V

rms R V

V = Voltaje rms de la fuente (resistor).

S

V Voltaje de ruido medido del sistema.

A

V Voltaje de ruido medido del amplificador y filtro.

1

V Voltaje de entrada de un circuito RLC.

2

V Voltaje de salida de un circuito RLC.

±

m

V Amplitud compleja de las ondas de voltaje incidente y reflejada en la TCI. )

(z

V) Voltaje en la línea de transmisión [V/m].

ph

v Velocidad de fase.

0

v Velocidad de la luz

(

=3x108 m/s

)

(19)

W

x

w, Ancho de la pista de la TCI[m].

0 ω

ω, Frecuencia angular (=2πf ).

0

ω Frecuencia angular de corte.

2 0

ω Frecuencia de resonancia de la red equivalente de la TCI

    =

LC 1

F

ω

Ancho de banda angular o ancho del filtro      =

L R 2 1

ω 2 2

1 ωo ωF

ω = −

X

C

X Reactancia capacitiva.

L

X Reactancia inductiva.

x Variable bajo estudio.

i

x Reactancia interna del conductor por unidad de longitud.

Z

c

Z , Z0 Impedancia característica [Ω].

Conversión de temperatura.

De grados Celsius (TC) a grados Kelvin (TK):

C

K T

T =273.15+

De grados Kelvin a grados Celsius:

(20)

Capítulo I.

Introducción.

La sensibilidad de los sistemas de medición y de los sistemas de radiocomunicación está limitada por el nivel de ruido de la etapa de entrada de amplificación. En la medición y detección de señales es posible aumentar la sensibilidad del sistema por varias técnicas, tales como; promediación, modulación, filtraje y otras. Cuando se quiere cuantificar un fenómeno físico que genera señales de magnitud similar a la del ruido, se asume que la primer etapa del amplificador de entrada es quien define la sensibilidad del sistema; en este caso el limite mínimo del ruido corresponde al ruido de entrada equivalente. Las componentes del ruido de entrada equivalente se asocian con las fuentes de ruido generadas por los elementos activos y pasivos del sistema, los cuales típicamente se colocan en “Tarjetas de Circuito Impreso” (TCI). Las pistas de TCI que conectan a los componentes del sistema son conductores que generan ruido térmico a temperatura arriba del cero absoluto. Este ruido no se ha considerado debido a que las dimensiones de las pistas son pequeñas, y desde luego su resistencia también. Sin embargo, con las nuevas tendencias de alta demanda de proceso de información se requiere trabajar en altas frecuencias y en cualquier conductor se presenta el fenómeno del efecto pelicular, cuya consecuencia es el aumento de resistencia de los conductores, teniendo como condiciones de frontera de las pistas de TCI el doble del espesor respecto al factor de penetración del campo eléctrico. En este trabajo se tiene como objetivo analizar las pistas de las TCI como fuente de ruido térmico, sobre todo en frecuencias mayores a 100 MHz donde el efecto pelicular tiene presencia, que cubre los efectos colaterales tales como el de derivación en la conexión y lateral.

(21)

parte experimental en el capítulo VI.

1.1 Mecanismos de Ruido en Sistemas Electrónicos.

En sentido general, el ruido es una señal eléctrica indeseable presente en cualquier sistema electrónico que perturba o interfiere con la señal deseada (información). El ruido puede representar un problema en muchos sistemas, especialmente en aquellos que procesan señales muy pequeñas, porque éstas pueden ser modificadas.

.En cualquier sistema electrónico se presenta ruido externo y ruido interno, un esquema de este proceso se muestra en la figura 1.1. El ruido externo puede ser radiado, inducido o conducido. Este tipo de fuentes de ruido puede reducirse usando varias técnicas; por ejemplo, si es radiado se puede blindar el sistema, si es inducido, haciendo la distribución de componentes y blindajes y si es conducido se utilizan filtros.

El ruido interno no se puede eliminar, sólo se manipula para minimizarlo, las fuentes generadoras son los componentes activos y pasivos (resistores, transistores, etc.). Los mecanismos de ruido interno se clasifican principalmente en: Ruido térmico, de granalla y de baja frecuencia. El ruido térmico lo presenta cualquier conductor arriba de una temperatura del cero absoluto, su densidad espectral [1] es S(f)=kT

[

W/Hz

]

, donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura ambiente en grados Kelvin. El ruido de granalla se presenta siempre que exista una barrera de potencial, por lo que todos los dispositivos semiconductores son fuentes generadoras de ruido granalla, su densidad espectral [1] es S(f)=2qI

[

ARMS2 Hz

]

, donde I es la corriente que pasa a través de la barrera de potencial y q es la carga del electrón. El ruido de baja frecuencia se genera básicamente debido a los procesos de fabricación y construcción, tanto de los dispositivos como de los sistemas electrónicos; su densidad espectral [1] es f

f f

S( )=1 α , donde f es la frecuencia y αf depende del proceso de generación de ruido, en la figura 1.2 se presenta la clasificación general de ruido.

(22)

que ilustra este proceso se muestra en la figura 1.3.

Figura 1.1. Ruidos externos e internos en un sistema electrónico.

Figura 1.2. Clasificación general de ruido.

Los mecanismos de ruido mencionados en general han sido estudiados para diferentes situaciones, en el caso de ruido térmico generado por las pistas de las TCI no se tiene antecedente alguno, lo más cercano es un trabajo de análisis de ruido térmico en líneas de transmisión [2].

Ruido

Naturales.

Artificiales.

Interna o Intrínsecos.

Relámpagos.

Tormentas eléctricas. Ruido intergaláctico. Disturbios atmosféricos. Maquinas eléctricas. Alumbrado fluorescente. Etc.

Ruido Térmico.

(23)

En este caso se tiene que considerar el ruido Johnson, el cual esta referido a la resistencia de carga a partir del teorema de máxima transferencia de potencia, cuya densidad espectral [1] es S(f)=4kTR

[

VRMS2 Hz

]

, donde Res la resistencia del conductor.

Figura 1.3. Nivel de ruido interno, el cual define la sensibilidad del sistema electrónico.

1.2. Tarjetas de Circuito Impreso (TCI).

Las líneas de transmisión en las TCI son elementos básicos pasivos en diseños de circuitos de microondas, éstas pueden ser usadas para transmitir señales de microondas; o para construir acopladores direccionales, filtros, divisores de potencia, y otros. Las TCI están formadas por conductores planos de sección transversal rectangular colocados sobre la cara o caras de un substrato. Uno de los substratos de uso común para diseños de baja y media frecuencia es el FR-4 que es una combinación de vidrio con resina epóxica y presenta una permitividad relativa entre 4.1 y 4.5. Para diseños de alta frecuencia se emplea el substrato GETEK con una permitividad relativa entre 3.6 y 4.2, el cual está formado de resina epóxica y oxido polifenileno [3].

(24)

muestra los tipos de tarjetas se presenta en la figura 1.4. El comportamiento general de una TCI se describe por los parámetros eléctricos y físicos. Estos parámetros caracterizan las TCI y determinan el intervalo de aplicación. En la tabla 1 se presentan los parámetros físicos y eléctricos [4] [5].

Una de las líneas de transmisión más importante es la línea micro-cinta y su uso en los diseños de circuitos integrados de microondas se ha generalizado debido principalmente al hecho de que su modo de propagación es cuasi -TEM, es decir que en la dirección de propagación el campo eléctrico y magnético son despreciables.

Tabla 1.1. Parámetros físicos y eléctricos de las TCI.

Físicos Eléctricos

w Ancho de la pista de la TCI. Z0 Impedancia característica.

h Espesor del substrato de la TCI. α Atenuación (Neper/m).

t Espesor de la pista de la TCI. β Constante de fase (Rad./m)

ph

υ Velocidad de fase. ´

r

∈ Constante dieléctrica efectiva.

g

λ Longitud de onda.

m

σ Conductividad eléctrica del metal.

d

σ Conductividad dieléctrica.

R Resistencia por unidad de longitud.

L Inductancia por unidad de longitud

G Conductancia por unidad de longitud.

C Capacitancia por unidad de longitud.

(25)

Figura 1.4. Tipos de TCI, (a) Micro-cinta, (b) Pistas coplanares, y (c) Pistas coplanares opuestas.

1.3. Circuito Equivalente de una línea de transmisión de TCI.

En bajas frecuencias, la longitud de la línea de transmisión TCI es mucho menor que la longitud de onda de la señal, por lo que el voltaje y la corriente de la línea se consideran constantes, sin embargo en altas frecuencias, la longitud de onda de la señal podría ser comparable con la longitud física de la línea TCI, consecuentemente el voltaje y corriente variaran a lo largo de la línea debido a sus efectos inductivos y capacitivos.

El método de circuitos distribuidos representa a una línea de transmisión por medio de un circuito equivalente de parámetros distribuidos, que describe el comportamiento de la línea. Este método permite analizar la línea tomando en cuenta las impedancias de fuente y de carga. El circuito equivalente de una sección eléctricamente pequeña (infinitesimal) de línea de longitud ∆z está conformada por una resistencia R∆z, la cual es la resistencia de los conductores o pistas de la línea, y una inductancia L∆z, que corresponde a la inductancia debida al flujo magnético interno y externo de los conductores de la línea, estos dos elementos están conectados en serie, y los elementos en paralelo son: una capacitancia

z

C∆ , que corresponde a la capacidad generada por el campo eléctrico existente entre los conductores de la línea, y una conductancia G∆z que representa las perdidas internas de dieléctrico, un esquema que muestra el circuito equivalente se presenta en la figura 1.5, las unidades de estos elementos son [Ohms/m], [Henrys/m], [Farad/m] y [Siemens/m], respectivamente.

Si la TCI tiene una longitud física que es una fracción apreciable de la longitud de onda (λ) de la señal de microonda, entonces la TCI actúa como una línea de transmisión

(a) (b) (c)

(26)

convencional (bifilar o coaxial) y toda la teoría concerniente a la propagación de ondas en líneas de transmisión es aplicable.

Figura 1.5. Circuito equivalente de una línea de transmisión TCI.

Las ecuaciones de voltaje y de corriente que describen el comportamiento eléctrico de la TCI (sección infinitesimal) de la figura 1.5, están definidas como [4] [6].

( ) (R j L)I(z) dz

z

dV = +

ω

(1.1)

( ) (G j C)V(z) dz

z

dI = +

ω

(1.2)

Las soluciones de las expresiones (1.1) y (1.2), son;

m z z

m

e

V

e

V

z

V

(

)

=

+ −γ

+

− +γ [V] (1.3)

I(z)=Im+e−γ z +Imez [A] (1.4) I(z, t) I(z+∆z, t)

V(z+∆z, t) V(z, t)

∆z

C∆z G∆z

R∆z L∆z

(27)

donde;

γ ≡α+ jβ = (R+ jωL)(G+ jωC)

α es la constante de atenuación [Neper/m]. β es la constante de fase [rad/m].

1.4. Alcances.

El alcance del trabajo de investigación de tesis es determinar el comportamiento de la resistencia interna de TCI en el intervalo de frecuencias de 100KHz a 500MHZ, como también las consecuencias de éste comportamiento en el mecanismo de ruido térmico de la TCI.

1.5. Organización de la tesis.

Este trabajo está formado por seis capítulos que describen el mecanismo de ruido, su análisis y los resultados obtenidos.

En el primer capítulo se trata de forma general los diferentes mecanismos de ruido en especial en las TCI, también se describe la TCI como línea de transmisión.

El capítulo dos presenta una descripción del mecanismo de ruido térmico en donde se exhiben características, modelo eléctrico y matemático.

El tercer capítulo aborda la problemática de las TCI como fuentes de ruido térmico, como también el efecto pelicular presente en las pistas en altas frecuencias que modifica el nivel de ruido térmico.

La información que cubre el capítulo cuatro es referente a la potencia promedio de ruido térmico disipada por la TCI, la cual establece la potencia mínima de señal que puede ser transmitida en la línea sin que sea perturbada.

(28)

ruido.

(29)

Capítulo

II.

Ruido

Térmico

.

2.1. Antecedentes.

El ruido térmico es el primer mecanismo de ruido interno o intrínseco estudiado a detalle, debido a la relación que tiene con el movimiento Browniano de partículas de carga libre (electrones) en un conductor. Una valiosa aportación experimental en el estudio del ruido térmico fue presentada por J. B. Johnson de los laboratorios de Telefonía Bell en 1927 [7], cuando por primera vez, observó el ruido térmico en la salida de un amplificador. Un año más tarde, H. Nyquist [3] confirmó teóricamente los experimentos de Johnson, partiendo del principio de equipartición de energía. El ruido térmico también es conocido como ruido Johnson o ruido Nyquist, en honor a sus descubridores.

2.2. Definición de Ruido Térmico.

Los conductores a temperatura por arriba del cero absoluto presentan electrones (portadores de carga libre) en movimiento aleatorio continuo como consecuencia de la agitación térmica. La velocidad cuadrática media de este movimiento es afectada por la temperatura del conductor de tal forma que la densidad espectral de ruido térmico producida por dicho conductor es directamente proporcional a su temperatura. En la figura 2.1 se muestra el movimiento de los electrones causado por la agitación térmica. J. Johnson pionero en el tratamiento de este ruido, lo define como: “La fluctuación estadística de carga eléctrica existe en todos los conductores, produciendo variaciones aleatorias de potencial entre los extremos del conductor. Las cargas eléctricas en un conductor se encuentran en un estado de agitación térmica, en equilibrio termodinámico con el movimiento de calor de los átomos del conductor. La manifestación del fenómeno es una fluctuación de diferencia de potencial entre las terminales del conductor” [8].

2.3. Características del Ruido Térmico.

(30)

Los electrones libres de un conductor llevan carga negativa unitaria, y su velocidad media cuadrática es proporcional a la temperatura absoluta. Consecuentemente, cada vuelo de un electrón entre colisiones con moléculas constituye un pulso corto de corriente. Y debido a que el movimiento de los electrones es aleatorio; la componente de corriente directa (cd) o voltaje promedio de ruido en el conductor es cero (0 Vdc), pero este comportamiento origina en el conductor una componente de corriente alterna (ca), la cual recibe el nombre de ruido térmico.

Figura 2.1. Movimiento de electrones en función de la temperatura.

Este ruido presenta una distribución Gaussiana o normal de amplitudes instantáneas con el tiempo con media igual a cero [8] [9], un esquema de este tipo de distribución se muestra en la figura 2.2. Esta distribución predice la probabilidad de que el ruido térmico medido tenga un valor en un momento específico en el tiempo, con una alta probabilidad de que sea igual a cero. La función de probabilidad de densidad gaussiana con media cero se expresa matemáticamente como [8] [9] [10]

[

2 2

]

2

1 x x x

x e x

f σ

π σ

/ ) (

)

( = − − (2.1)

donde,

x es la media o valor promedio de la variable x. σx es la desviación estándar.

Movimiento a una temperatura de cero

absoluto.

Movimiento a temperatura por arriba

del cero absoluto.

Movimiento a temperatura alta. e

-e -e

-e -e -e

-e -e -e

-e

(31)

σ2x es la varianza.

Figura 2.2. Forma de onda y distribución gaussiana de ruido térmico.

Para un circuito formado por fuentes de voltaje de ruido térmico conectadas en serie, la característica de ausencia de correlación (C=0, coeficiente de correlación), permite obtener

el voltaje cuadrático medio total de un sistema ( 2 2 2

2 1

2 ...

n

t e e e

e = + + + ) sumando

algebraicamente los voltajes cuadráticos correspondientes a cada fuente. En el esquema de la figura 2.3 se muestra esta característica. Este principio, también es válido para obtener la potencia promedio total del circuito.

En el dominio de la frecuencia, el ruido térmico se caracteriza por tener una densidad espectral de potencia plana o constante, de forma general, la densidad espectral se define como [1]

) ( )

(f kTP f

S = [W/Hz] (2.2)

donde,

k es la constante de Boltzmann (1.38x10−23 J/K ).

Valor Medio

σx

2σx

3σx

-σx

Valor rms

Señal de ruido

Probabilidad 99.7%

-2σx

(32)

T es la temperatura [K].

) (f

P es el factor de Planck (P(f)=1),

Figura 2.3. Suma de voltajes rms de ruido térmico.

Para el intervalo de frecuencias f <0.1kT/h≈1012 [Hz], donde h es la constante de

Planck ( 34

10 625 .

6 x − J-s), el factor de Planck P(f) tiene un valor unitario, por lo tanto, la densidad espectral es independiente de la frecuencia y la potencia media de ruido en cualquier ancho de banda es igual a la potencia de ruido medida en cualquier otro ancho de banda igual, sin importar la frecuencia central, un esquema de esta característica se muestra en la figura 2.4. Por ejemplo; en un ancho de banda de 1Hz, la potencia máxima es directamente proporcional a la temperatura (T ) y a la constante de Boltzmann (k), y se

define como [11] [12]

P=kT [W/Hz]

Para frecuencias en la banda infrarroja, la densidad espectral es dependiente de la frecuencia debido a que el factor de Planck toma valores diferentes a la unidad (P(f)<<1),

definiendo a la densidad espectral como S(f)=hf /e((hf/kT)−1), donde f es la frecuencia, esto conlleva a que el espectro de potencia pierda la característica plana.

*

*

*

2 2

2 2 1 2

n

t e e e

e = + +...+ 2

1 e

2 2 e

2

(33)

Figura 2.4. Espectro de frecuencia de ruido térmico.

2.4. Definición matemática del Ruido Térmico.

Nyquist demostró en su planteamiento teórico que la componente de voltaje de corriente alterna que cruza el conductor en equilibrio térmico es directamente proporcional a su resistencia y temperatura, y define el modelo matemático que lo describe.

a) Deducción matemática del Voltaje de Ruido Térmico.

El proceso de deducción del modelo matemático que cuantifica el ruido térmico o Johnson es referido a una resistencia de carga de un circuito eléctrico en equilibrio térmico [13]. El circuito está formado por una línea de transmisión de longitud l y de impedancia característica Zc=R, cuyas cargas son resistivas, una con ruido (R1) y la otra sin ruido

(R2), el circuito presenta acoplamiento de impedancias para proporcionar una máxima

transferencia de energía. Un esquema que ilustra la configuración del circuito eléctrico se muestra en la figura 2.5a. Para la deducción, se sustituye la carga ruidosa por un circuito equivalente que está formado por una fuente de ruido térmico conectada en serie con una resistencia idealizadaR1 (sin ruido). La fuente de ruido (e2 ) tiene la misma magnitud de ruido térmico que presenta la resistencia (R1). En la figura 2.5b se presenta un esquema que ilustra el circuito equivalente.

La corriente cuadrática promedio que fluye en el circuito de la figura 2.5b es

(W/Hz)

) (Hz f )

(f S

10M 100M

1M 100k

10k 1G

(34)

(

)

2 2 1

2 2

R R

e i

+

= (2.3)

Considerando el circuito como un sistema lineal, la potencia media disipada en la carga (R2) se define como

(

)

2

1 2

2 2

2 2

R R

R e R

i

+ = =

Ρ (2.4)

De acuerdo al teorema de máxima transferencia de energía, tenemos que R2 =R1=Zc, por lo tanto, la potencia media se define como

Ρ=e2 4R1 (2.5)

Figura 2.5. Línea de transmisión de longitud l, (a) con terminales acopladas, (b) circuito equivalente de la línea con fuente de ruido térmico.

Debido a que la fuente del circuito bajo estudio es de origen térmico, su potencia promedio se puede definir desde el punto de vista de radiación de un cuerpo negro unidimensional. El teorema de equipartición considera que una línea de transmisión es en esencia una cavidad electromagnética unidimensional, que posee dos modos fonónicos o

(a) (b)

l

ZC R1

R2

2

(35)

electromagnéticos (uno en cada dirección) cuyo promedio de energía está definido como (aplicación de la función de distribución de bosones) [14].

kT e nhfe P P n nhf n nhf n n 1 0 0 0

0 = =

=

∞ = − ∞ = − ∞ = ∞ = α ε ε ε ε α α , ) ( ) ( (2.6) donde,

La ec. (2.6), se puede reescribir de la siguiente manera

∞ = − − = 0 n nhf e d d α α

ε ln (2.7)

Desarrollando la sumatoria del término de la derecha de la ecuación (2.7), tenemos

=( + − + − + − +...)

∞ =

nhf nhf nhf

n

nhf

e e

e

e α α 2α 3α

0

1 (2.8)

ó ...) ( + + + + =

∞ = 3 2 0

1 x x x x

n

donde xe−αhf

La ec. (2.8) puede ser representada por la serie (1±x)−1 para x<1, por lo que la ec. (2.7)

ε es la energía total promedio (ε =nhf ). )

P es la distribución de probabilidad de Boltzmann ( kT Ae

P(ε)= −ε ).

(36)

se puede escribir como

=− ln(1−ehf )−1

d

d α

α

ε (2.9)

Entonces, la energía promedio de cada modo electromagnético de la línea es definida por la distribución de Planck

1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − − − = − − =         − − = − − − − − − − − − kT hf hf hf hf hf hf hf hf e hf e hfe hf e e e d d e e d d α α α α α α α ε α α ε ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ln

Tomando el limite clásico de la distribución de Planck para circuitos hf «kT, la energía térmica de cada modo se define como [13] [14] [15]

∈≈kT (2.11)

La densidad de un modo electromagnético se define de la siguiente forma [13] [15]

f d dk dk dN d dN l D x

x ω π

ω ω

2 1

1 = =

=

)

( (2.12)

donde,

l es la longitud de la línea. kx es la constante de fase.. ω es la frecuencia angular. N es un número entero.

[W/Hz]

(37)

De este modo, la densidad de energía por unidad de frecuencia U(ω) es

f kT D

U

π ω ω ω

2 ) ( ) ( )

( = ∈ = (2.13)

Entonces, la potencia por unidad de frecuencia se define como

kT f P

kT fU P

= =

=

) (

2 ) ( ) (

π ω ω

Finalmente, la potencia promedio de la línea en un ancho de banda de frecuencia ∆f se define de la siguiente manera

P=kTf (2.15)

Entonces, de acuerdo al teorema de máxima transferencia de energía, la potencia promedio de la línea es absorbida totalmente por su carga, y ésta es igual a

f kT R

i c = ∆

=

Ρ 2

(2.16)

De acuerdo con la ec. (2.16), la potencia promedio en la carga (R2 o Rc) de la línea es igual al producto de la corriente promedio por la impedancia de carga. Esta corriente está determinada por la ec. (2.3), por lo tanto, la ec. (2.16) se puede escribir como

R kT f

R R

e

c = ∆

+ 2

2 1

2

)

( (2.17)

(38)

Como R2 =R1, entonces la ec. (2.17) queda de la siguiente manera

f kT R R e

c = ∆

2 1 2

2 )

( (2.18)

Debido al acoplamiento de impedancias R1 =R2 =Rc, de la ec. (2.18) se obtiene la ecuación matemática de Nyquist para el voltaje de ruido térmico referenciado a una resistencia de carga (Rc =R).

f kTR

e2 =4 ∆ [V2] para 12 10

0 f (2.19)

donde,

f es el ancho de banda de ruido [Hz].

La corriente de ruido térmico se define como

R f kT

i2 = 4 ∆ [A2] (2.20)

La ec. (2.19) es válida sólo para frecuencias propias del intervalo f <0.1kT/h≈1012 (Hz). La ecuación general de voltaje de ruido térmico que cubre todo el espectro de frecuencia se define de la siguiente manera [9]

e2 =4kTRp(f)∆f [V2] (2.21)

donde, ) (f

p es el factor de PlancK: ( ) 

(

−1

)

    

= hf kT

e kT hf f

(39)

El valor resistivo R de las ecs. (2.20) y (2.21) no necesariamente debe ser el valor físico de un resistor, éste puede ser la parte real ℜe{Z} de la impedancia compleja de una red de dos terminales.

En la realización del presente trabajo de tesis se empleó la ec. (2.19) para cuantificar el voltaje de ruido térmico debido a que su intervalo de validez en frecuencia satisface las necesidades del trabajo.

2.5. Modelo de Fuentes de Ruido Térmico.

Un elemento conductor de resistencia R´o un resistor (R) presentan un voltaje rms de ruido térmico, ésto puede ser representado por medio del circuito equivalente de Thévenin [9], en donde el generador es de ruido térmico (e2) y de la misma magnitud que la fuente original (conductor o resistor). La resistencia conectada en serie con el generador es ideal (sin ruido) y representa el valor resistivo de la fuente de ruido. En la figura 2.6a se presente dicho modelo. Por dualidad, se recurre al circuito equivalente de Norton formado por un generador de corriente de ruido en paralelo con una conductancia ideal, como se muestra en el esquema de la figura 2.6b. En la figura 2.6 las fuentes de ruido térmico son representadas por un asterisco.

Figura 2.6. Modelos de fuentes ruido térmico, (a) de corriente, (b) de voltaje.

2.6. Ancho de Banda de Ruido (f ).

El teorema de Nyquist especifica que el voltaje rms total de ruido térmico ( 2 e ) en

= kTR f e2 4

R (sin ruido)

(b)

= f

R kT i2 4

(a)

(40)

las terminales de salida de una red es directamente proporcional al ancho de banda de ruido (∆f ). El ancho de banda de ruido de una red equivale a encontrar el contenido de potencia o energía de la respuesta de un filtro ideal que tiene una amplitud de potencia constante dentro de un intervalo de frecuencia especifico, y fuera de dicho intervalo la amplitud es igual a cero [1], la respuesta de un filtro ideal se muestra en la figura 2.7.

En la realidad los filtros ideales no existen, sin embargo el ancho de banda de ruido de una red se obtiene de dos formas: analítica y gráfica. De forma analítica, el ancho de banda de ruido se define como la integral del área bajo la curva de respuesta normal de voltaje del sistema, y se define matemáticamente como [9]

∆ =

0

2 2

1

df f Av A

f vo

)

( [Hz] (2.22)

donde,

Avo es la magnitud pico del voltaje de la respuesta del sistema.

Av(f)2 es el cuadrado de la magnitud del voltaje de la respuesta del sistema.

Figura 2.7. Respuesta de un filtro ideal.

El método gráfico para obtener el ancho de banda de ruido de un sistema se realiza en una escala lineal, y equivale a obtener de forma aproximada el área bajo la curva de respuesta normal de voltaje del sistema; Para esto, la curva de respuesta se sitúa en un eje de coordenadas xy, y se procede a dividir en n-franjas el área acotada superiormente por la curva de respuesta, inferiormente por el eje x y lateralmente por las frecuencias

2

) (f Av

2

vo A

(41)

( fa y fb) que son los límites de interés. Estas franjas son perpendiculares al eje x y presentan la forma geométrica de un rectángulo, por lo tanto, se calcula el área individual de cada uno de los rectángulos y posteriormente se suman para obtener el área total bajo la curva, esta área corresponde al ancho de ruido del sistema. En la figura 2.8 se presenta el método gráfico.

Figura 2.8. Determinación del ancho de banda de ruido por el método gráfico.

El ancho de banda de ruido (∆f ) difiere del ancho de banda de -3dB (B), esta diferencia se debe a que el ancho de banda de ruido contiene la misma potencia o energía que presenta la respuesta del sistema, no así el ancho de banda de -3dB, que solo presenta la mitad de la potencia o energía de la respuesta del sistema. Sin embargo, para redes de alto orden el ancho de banda –3dB llega a ser igual al ancho de banda de ruido (∆ =1

B

f ). En la

figura 2.9 se presenta el contenido de la potencia correspondiente a los anchos de banda de ruido y de -3dB.

Figura 2.9. Comparación de los anchos de banda de ruido (∆f ) y de –3dB.

2

) (f Av

2

vo

A

∆f

Límites de lancho de banda de ruido

Respuesta normal del sistema f

Rectángulos o franjas

fa fb (Escala lineal)

∆f

Ancho de banda de ruido.

Ancho de banda -3dB. 2

) (f Av

2

vo

A

(42)

Capítulo III.

Ruido Térmico en Tarjetas de Circuito

Impreso.

3.1. Ruido Térmico en Tarjetas de Circuito Impreso (TCI).

Las tarjetas de circuito impreso presentan fuentes de ruido térmico en sus pistas debido a su material conductor (comúnmente cobre) y al hecho de que se encuentran a una temperatura por arriba del cero absoluto. Con estás condiciones y de acuerdo con el planteamiento de Nyquist cada pista de TCI presenta un nivel de voltaje de ruido térmico. La cuantificación del nivel de voltaje de ruido térmico involucra una variable resistiva, la cual puede corresponder a la parte real de la impedancia ℜe(Z0)de una red lineal de dos puertos. Una TCI puede ser representada por una red lineal de dos puertos de parámetros por unidad de longitud y con una impedancia característica definida en función de estos parámetros como Z0 =R+ jX = (R+ jωL)/(G+ jωC), donde (R) es el parámetro resistivo, (L) es el inductivo, (C) es el capacitivo y (G) es el conductivo, un esquema que ilustra la red equivalente de una TCI se muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1. Diagrama eléctrico de la red equivalente de parámetros por unidad de longitud (R, L, C y G) de una TCI.

La parte real de la impedancia de la red equivalente de TCI corresponde al parámetro resistivo (R), el cual determina las pérdidas internas del material conductor de las pistas,

z

z

R∆ L∆z

z

C∆ G∆z

) (z

V V(z+f)

) (z

I I(z+∆f)

z z+z

(43)

esta resistencia junto con el ancho de banda de ruido determina el nivel de voltaje de ruido térmico presente en la pista. La ecuación matemática de Nyquist en función del parámetro resistivo está representada por [2]

e2p =4kTRe(Z)∆f =4kTRf [V2] (3.1)

donde,

R es la resistencia por unidad de longitud de la TCI. [Ω/m]

3.2. Variación del Parámetro Resistivo de la TCI debido al Efecto Pelicular.

Las pérdidas causadas por las imperfecciones de la TCI son significativas a partir del intervalo bajo de frecuencia de GHz. Estas perdidas son principalmente representadas por el parámetro resistivo (R) por unidad de longitud de la TCI. En bajas frecuencias, el parámetro (R) es constante y su valor depende de las características y dimensiones físicas de la pista (conductividad del material σ, ancho w, espesor t y longitud l ), sin embargo, a partir de una frecuencia de corte (fc) , la cual está determinada por la profundidad de penetración (δ ) de la señal en la pista, el comportamiento de este parámetro no es constante, sino que varia de forma ascendente a una razón de [5] [16] [17] [18] f , donde

f es la frecuencia de la señal que transporta la TCI, un esquema que muestra este comportamiento se presenta en la figura 3.2.

Este incremento en el valor del parámetro resistivo es originado por el efecto pelicular, el cual se presentan en cualquier medio conductor en altas frecuencias. La afección que sufre el parámetro resistivo producida por el efecto pelicular repercute directamente al nivel de voltaje de ruido térmico que presenta la pista de la TCI debido a su dependencia lineal, lo que origina que la tasa de variación del voltaje de ruido térmico de la pista sea igual a la tasa de variación del parámetro resistivo, lo que hace significativo el nivel de voltaje de ruido térmico generado por las pistas de TCI.

3.2.1 Efecto pelicular en la TCI.

(44)

finita para transporte de energía electromagnética en el modo cuasi-TEM, esto origina dos problemas: La distorsión del campo eléctrico en el dieléctrico respecto a una verdadera condición transversal (TEM) y la penetración de la corriente al interior del conductor llamada efecto superficial.

Figura 3.2. Curva de comportamiento del parámetro resistivo de una TCI en función de la frecuencia.

Cuando se transporta una corriente alterna longitudinal I(z,t) en una pista (colocada en el plano xy de un sistema de coordenada rectangulares x,y,z) se genera una campo magnético tangencial y variable en el tiempo en la pared de la pista (Hˆ ), este campo a su

vez da lugar a una componente de campo eléctrico (Eˆ ) que se propaga en el interior de la

pista en la dirección z relacionado con la densidad de corriente JZcEZ, donde σc es la conductividad del conductor (pista), un esquema que ilustra esta configuración se presenta en la figura 3.3. Para frecuencias bajas, la variación del flujo magnético (ϕ) genera una fuerza electromotriz fem=−dϕdt prácticamente despreciable en el interior de la pista, la cual

no afecta el flujo de propagación de la densidad de corriente, y la densidad se propaga de forma homogénea en toda la sección transversal de la pista. Sin embargo, para frecuencias grandes, la fem generada por el flujo magnético llega a ser máxima en la sección central de la pista obligando a que la densidad de corriente disminuya en esta sección, y se incremente en una área reducida de la sección transversal de la pista cercana

R

f f

c f o

(45)

a las paredes o caras de la pista. La disminución del área transversal de propagación de la densidad de corriente da como consecuencia el incremento de la resistencia interna de la pista. A este efecto de propagación de señales electromagnéticas prácticamente en la superficie del medio conductor se llama efecto pelicular.

Figura 3.3. Propagación de los campos magnético y eléctrico en una pista de TCI.

Esta disminución en la área transversal de propagación de corriente en la pista causado por el efecto pelicular se puede determinar por medio de la profundidad de penetración δ , la cual determina la profundidad de penetración de la señal electromagnética en la pista [5] [18].

c c

fµ σ

π

δ = 1 [m] (3.2)

donde,

δ es la profundidad de penetración.

σ es la condutividad del cobre (5.7x107 S/m).

c

µ es la permeabilidad del cobre (4πx10−7 H/m).

El efecto pelicular afecta directamente a la resistencia e inductancia interna de la pista, causando un incremento de f para la resistencia y un decremento de la misma proporción

z

y

x

Flujo de H.

C z z

J E

(46)

para la inductancia, un esquema de este comportamiento se muestra en la figura 3.4 [16].

Figura 3.4. Curvas de comportamiento de los parámetros resistivo e inductivo de un conductor de radio a, debido al efecto pelicular [16].

Para frecuencias bajas donde las dimensiones de la pista son mucho menores que una profundidad de penetración (δ ), la corriente es uniforme en toda la sección transversal, y la resistencia interna por unidad de longitud de la pista es rdc =1σcwt (Ω m), donde w es el ancho y t es el espesor de la pista, en la figura 3.5a se muestra un esquema que describe este comportamiento. Para frecuencias altas en donde las dimensiones físicas de la pista son mucho más grandes que la profundidad de penetración, el efecto pelicular se desarrolla totalmente en la pista, la corriente es uniformemente distribuida en una área de pista de ancho δ y es cero en cualquier otro lugar. La resistencia de la pista a corriente alterna (ca) es rca =1

[

cδ(w+t)

]

, en la figura 3.5b se muestra un esquema que describe este comportamiento. Para las pistas en donde w>>t, la dependencia de frecuencia f de la resistencia interna de la pista comienza en donde el espesor (t) es igual al doble de la profundidad de penetración (t ≈2δ) [5 ] [6] [18].

0 R

R

0 L

L

6.0 4.0

2.0 1.0 8.0 10

0.2 0.4 0.6 1 2 4 6

Rcd R

Lcd L

0.8 0.6 0.4 0.2 0.1

8 10 20

(47)

3.2.2. Análisis del efecto pelicular en una pista de la TCI.

La ec. (3.1) define el voltaje rms de ruido térmico de una pista de la TCI en función de su resistencia por unidad de longitud. Esta resistencia es afectada por el efecto pelicular incrementándose en una tasa f , consecuentemente, esta variación se refleja directamente en el nivel de ruido térmico de la pista. El efecto pelicular comienza a desarrollarse a partir de una frecuencia de corte originando que el comportamiento de la resistencia distribuida de la pista sea dependiente de la frecuencia. Esto genera la necesidad de analizar el efecto pelicular en conductores con sección transversal rectangular o pistas de TCI con el fin de determinar la frecuencia de corte o pelicular y por ende, el modelo matemático que defina la resistencia por unidad de longitud de la TCI en función de la frecuencia.

(a) (b)

Figura 3.5. Corte transversal de una pista (a) Propagación homogénea en toda la sección transversal, (b) Propagación en una sección transversal de ancho δ debido al efecto pelicular.

Este análisis se realiza empleando las ecuaciones de Maxwell en un sistema de coordenadas rectangulares en donde el plano xz coincide con la superficie de la pista, en la figura 3.6 se muestra el conductor en el sistema de coordenadas. A continuación se presenta dicho análisis.

Las ecuaciones de Maxwell para el sistema de la figura 3.6, se definen como

Figure

Figura 1.1. Ruidos externos e internos en un sistema electrónico.

Figura 1.1.

Ruidos externos e internos en un sistema electrónico. p.22
Tabla 1.1. Parámetros físicos y eléctricos de las TCI.

Tabla 1.1.

Parámetros físicos y eléctricos de las TCI. p.24
Figura 2.2. Forma de onda y distribución gaussiana de ruido térmico.

Figura 2.2.

Forma de onda y distribución gaussiana de ruido térmico. p.31
Figura 2.3. Suma de voltajes rms de ruido térmico.

Figura 2.3.

Suma de voltajes rms de ruido térmico. p.32
Figura 2.4. Espectro de frecuencia de ruido térmico.

Figura 2.4.

Espectro de frecuencia de ruido térmico. p.33
Figura 2.5. Línea de transmisión de longitud l , (a) con terminales acopladas, (b) circuito equivalente de la línea con fuente de ruido térmico

Figura 2.5.

Línea de transmisión de longitud l , (a) con terminales acopladas, (b) circuito equivalente de la línea con fuente de ruido térmico p.34
Figura 2.6. Modelos de fuentes ruido térmico, (a) de corriente, (b) de voltaje.

Figura 2.6.

Modelos de fuentes ruido térmico, (a) de corriente, (b) de voltaje. p.39
Figura 3.4. Curvas de comportamiento de los parámetros resistivo e inductivo de un

Figura 3.4.

Curvas de comportamiento de los parámetros resistivo e inductivo de un p.46
Figura 3.5. Corte transversal de una pista (a) Propagación homogénea en toda la sección transversal, (b) Propagación en una sección transversal de ancho δ  debido al efecto pelicular

Figura 3.5.

Corte transversal de una pista (a) Propagación homogénea en toda la sección transversal, (b) Propagación en una sección transversal de ancho δ debido al efecto pelicular p.47
Figura 3.6.  Pista de Tarjeta de Circuito Impreso analizada en un sistema de coordenadas

Figura 3.6.

Pista de Tarjeta de Circuito Impreso analizada en un sistema de coordenadas p.49
Figura 3.7. Grafica en 3D de la densidad espectral de ruido térmico que presenta una pista

Figura 3.7.

Grafica en 3D de la densidad espectral de ruido térmico que presenta una pista p.57
Figura 4.3. Definición del ancho de banda de ruido equivalente.

Figura 4.3.

Definición del ancho de banda de ruido equivalente. p.62
figura 4.4 se muestra el circuito equivalente.

figura 4.4

se muestra el circuito equivalente. p.63
Figura 4.4. Tarjeta de circuito impreso, (a) Red equivalente infinitesimal, (b) Red equivalente con fuente térmica

Figura 4.4.

Tarjeta de circuito impreso, (a) Red equivalente infinitesimal, (b) Red equivalente con fuente térmica p.64
Figura 4.5. Diagrama eléctrico de una red RLC serie excitada por fuente térmica.

Figura 4.5.

Diagrama eléctrico de una red RLC serie excitada por fuente térmica. p.66
Figura 5.6. Diagrama esquemático de la conexión entre el dispositivo bajo estudio (TCI) y el

Figura 5.6.

Diagrama esquemático de la conexión entre el dispositivo bajo estudio (TCI) y el p.77
Figura 6.10. Imagen de la conexión entre la TCI y analizador de redes (HP 4195A) para

Figura 6.10.

Imagen de la conexión entre la TCI y analizador de redes (HP 4195A) para p.93
Figura 6.11. Gráfica de la atenuación medida que presenta la TCI bajo prueba.

Figura 6.11.

Gráfica de la atenuación medida que presenta la TCI bajo prueba. p.94
Tabla 6.4.  Cálculo de la profundidad de penetración y resistencia de la TCI bajo prueba a diferentes frecuencias

Tabla 6.4.

Cálculo de la profundidad de penetración y resistencia de la TCI bajo prueba a diferentes frecuencias p.95
Figura 6.12. Gráficas de comportamiento del parámetro resistivo de la TCI en función de la

Figura 6.12.

Gráficas de comportamiento del parámetro resistivo de la TCI en función de la p.96
Figura 6.14. Diagrama esquemático de la conexión del sistema para medir la atenuación de

Figura 6.14.

Diagrama esquemático de la conexión del sistema para medir la atenuación de p.98
Figura 6.15. Comparación de la atenuación de que sufre una señal rectangular que se

Figura 6.15.

Comparación de la atenuación de que sufre una señal rectangular que se p.99
Figura A1. Propagación de los campos magnético y eléctrico en un conductor cilíndrico

Figura A1.

Propagación de los campos magnético y eléctrico en un conductor cilíndrico p.106
Figura  B.3.  Diagrama eléctrico del amplificador  AD620 con sus fuentes de ruido térmico

Figura B.3.

Diagrama eléctrico del amplificador AD620 con sus fuentes de ruido térmico p.121
Figura B.6. Diagrama eléctrico del filtro A con ancho de banda  B=7.95MHz.

Figura B.6.

Diagrama eléctrico del filtro A con ancho de banda B=7.95MHz. p.125
Figura B.8. Imágenes de los circuitos RLC construidos con sus respectivos blindajes, (a)

Figura B.8.

Imágenes de los circuitos RLC construidos con sus respectivos blindajes, (a) p.126
Figura B.7. Diagrama eléctrico del filtro B con ancho de banda  B=50.8MHz.

Figura B.7.

Diagrama eléctrico del filtro B con ancho de banda B=50.8MHz. p.126
Figura B.10. Imagen de la tarjeta de circuito impreso fabricada del tipo micro-cinta.

Figura B.10.

Imagen de la tarjeta de circuito impreso fabricada del tipo micro-cinta. p.130
Figura C.2. Diagrama de flujo general del software de control del osciloscopio LeCroy

Figura C.2.

Diagrama de flujo general del software de control del osciloscopio LeCroy p.132
Figura C.5. Interfaz gráfica de usuario denominada gráficas.

Figura C.5.

Interfaz gráfica de usuario denominada gráficas. p.134

Referencias

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