Análisis de la interacción de grietas en placas

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN DE GRIETAS

EN PLACAS.

T E S I S

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A :

ING. RICARDO GUSTAVO RODRÍGUEZ CAÑIZO

DIRIGIDA POR : Dr. LUIS HÉCTOR HERNÁNDEZ GÓMEZ

AGRADECIMIENTOS

Un sincero agradecimiento para:

El Instituto Politécnico Nacional por las facilidades brindadas.

El Programa S.U.P.E.R.A. – A.N.U.I.E.S por el apoyo económico otorgado para la

realización de éste trabajo.

A la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de

Ingeniería Mecánica y Eléctrica por el apoyo técnico brindado.

Estoy especialmente agradecido y en deuda con:

El M. en C. Gabriel Villa y Rabasa por el apoyo incondicional que siempre otorgo para

la realización de èste trabajo de tesis, pero sobre todo por la amistad que nos une.

y

Al Dr. Luis Héctor Hernández Gómez por el tiempo, la experiencia y el esfuerzo que

dedico para la realización de esta tesis.

Así mismo agradezco muy sinceramente a:

Al Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón y Al M. en C. Ricardo López por sus

sugerencias de cambios importantes en éste trabajo de tesis.

Al los miembros del Jurado elegidos para mi examen de tesis.

CONTENIDO

RESUMEN...i

ABSTRACT...ii

OBJETIVO...iii

JUSTIFICACIÓN...iv

ÍNDICE DE FIGURAS...viii

ÍNDICE DE TABLAS...x

SIMBOLOGÍA...xi

INTRODUCCIÓN...xii

CAPÍTULO I. Mecánica Clásica de la Fractura. 1.1 Antecedentes...1

1.2 Criterio de Griffith...2

1.3 Modos de carga...5

1.4 Campo de esfuerzos en un elemento agrietado en Modo I...6

1.5 Determinación del Factor de Intensidad de Esfuerzos...10

1.6 Relación de energía liberada en el proceso de agrietamiento G...13

1.7 El Balance Energético de Griffith...14

1.8 Plasticidad en la punta de la grieta...17

1.9 La Intergral J...19

1.10El Desplazamiento de Abertura de Grieta CTOD....20

1.11Planteamiento del problema...21

CAPÍTULO II. Campo de Esfuerzos en grietas que interactúan. 2.1 Método iterativo de Kuang y C.K. Chen...23

2.2 Modelo de grieta equivalente... 29

2.3 Factores de Intensidad de esfuerzos de grietas que interactúan...31

2.3.1 Dos grietas colineales de diferente longitud bajo tensión uniforme...31

2.3.2 Dos grietas de diferente longitud bajo esfuerzo de corte uniforme... 33

2.3.3 Dos grietas finitas con una concentración arbitraria de fuerza...34

2.3.4 Dos grietas semi-infinitas con concentración arbitraria de fuerzas...36

2.3.5 Placa con doble grieta bajo tensión uniforme...37

2.4 Discusión sobre el Factor de intensidad de Esfuerzos para dos grietas colineales...37

2.4.1 Establecimiento del problema...38

2.4.2 Verificación experimental del Factor de Intensidad de Esfuerzos...42

2.5 Sumario...45

CAPÍTULO III. Análisis Experimental del problema de Interacción de Grietas.

3.1 Concepto de Fotoelasticidad...47

3.2 Interpretación de las franjas isocromáticas...48

3.3 Interpretación de las franjas isóclinas...50

3.4 Esfuerzos principales y birrefringencia...51

3.5 Métodos para determinar el Factor de Intensidad de Esfuerzos a partir de franjas isocromáticas...53

3.6 Descripción del equipo fotoelástico...58

3.7 Selección del material...59

3.8 Fabricación de la probeta...62

3.9 Calibración del modelo fotoelástico... .66

3.10Calculo de los Factores de Intensidad de Esfuerzos...68

3.10.1 Caso de una placa con una grieta lateral...68

3.10.2 Caso de una placa con dos grietas colineales...77

3.10.3 Caso de una placa con dos grietas escalonadas...84

3.11Sumario...92

CAPÍTULO IV. Análisis Numérico del problema de Interacción de Grietas. 4.1 Generalidades del programa ANSYS...94

4.2 Calculo de los parámetros de fractura...96

4.3 Modelado de la zona agrietada...100

4.4 Obtención del Factor de Intensidad de Esfuerzos KI por medio de ANSYS...101

4.5 Calculo del Factor de Intensidad de Esfuerzos...102

4.5.1 Análisis de una placa con una grieta lateral... ...103

4.5.2 Análisis de una placa con dos grietas colineales...105

4.5.3 Análisis de una placa con dos grietas escalonadas...106

4.6 Cálculo analítico del Factor de Intensidad de Esfuerzos...112

4.6.1 Caso de una placa agrietada lateralmente...112

4.6.2 Caso de una placa con dos grietas colineales...113

4.7 Simulación de la propagación de grietas...115

4.8 Sumario...125

CAPÍTULO V. Análisis de resultados. 5.1 Variación del Factor de Intensidad de Esfuerzos...129

5.2 Validación de los métodos para la obtención del Factor de Intensidad de Esfuerzos...130

5.3 Interacción de campos de esfuerzos...133

5.4 Esfuerzos principales...134

CONCLUSIONES...136

TABAJOS FUTUROS...137

AXEXOS...138

RESUMEN

De manera general, el presente trabajo trata sobre el tema de interacción de grietas, se analizan dos casos de estudio, el primero de ellos es el de una placa con dos grietas colineales y el segundo el de una placa con dos grietas escalonadas. El propósito es

determinar el comportamiento del campo de esfuerzos en la punta de la grieta (KI) para este

tipo de singularidades. Para fines de comparación de analiza un tercer caso de una placa con una grieta lateral.

Los primeros dos capítulos sientan las bases teóricas para la comprensión del tema de interacción de grietas, más adelante, en los capítulos siguientes, se efectúa el cálculo del Factor de Intensidad de Esfuerzos (FIE), que es el parámetro dentro de la mecánica de fractura que define la magnitud de los esfuerzos en la punta de la grieta, este cálculo del FIE, se efectúa de tres maneras, la primera de ellas, es empleando la técnica experimental fotoelástica, la segunda es a través de un análisis numérico y por último se hace uso de medios analíticos.

Cabe mencionar, que existe un apartado en donde se hace la simulación de la propagación de las grietas para ambos casos de estudio, analizando la manera en la cual falla el material dependiendo de la configuración de sus grietas.

Por último, se hace un análisis de los resultados del FIE obtenidos tanto de manera experimental como numérica y analítica, además de efectuar una comparación de los mismos, con la finalidad de validar cada uno de ellos.

ABSTRACT

In a general way, this work is about the topic of interaction of cracks, two cases of study are analyzed, the first of them is a plate with two collinear cracks and the second is related with a plate with two staggered cracks. The purpose of this work is to determine the behavior of the

stress field in the tip of the crack (KI) for this kind of singularities. As purposes of validation of

the methodology follower it is analyzed a third case of a plate with a lateral crack.

The first two chapters establish theoretical bases to understand the topic of interaction of cracks. In the following chapters, the Stress Intensity Factor (SIF) is calculated, which is the parameter inside the fracture mechanics that defines the magnitude of the stresses in the tip of the crack. The calculation is made by three methods, in the first of them, it is used a photoelastic experimental technique; in the second it is used a numeric analysis and the third uses analytical methods.

It is important to mention that there exists a section where the simulation of the propagation of the cracks is made for both cases of study, analyzing the behavior of the material when it fails depending on the configuration of its cracks.

Lastly, it is made an analysis and a comparison of the results for SIF obtained by experimental, numeric and analytical methods, with the purpose to validate each one of them.

OBJETIVO

El objetivo de este trabajo es determinar el estado del campo de esfuerzos en placas agrietadas sometidas a cargas de tensión, enfocando el estudio a la interacción de grietas. Se pretende realizar el análisis numérico–experimental de este tipo de singularidades, haciendo uso de la prueba fotoelástica y de paquetes que trabajan el método del elemento finito.

JUSTIFICACIÓN

La falla de los elementos mecánicos a causa de la presencia de grietas, es muy frecuente en Ingeniería, por eso es importante predecir como y cuando sucederá esta falla. Pero desafortunadamente, el análisis necesario para este efecto no es tan simple, ya que intervienen muchos factores determinantes para la propagación de las grietas. En primer lugar, la forma y ubicación de las grietas son parte importante para su análisis; por otro lado, las grietas no se encuentran aisladas, sino que interactúan con otras grietas, o bien con características propias del elemento mecánico como lo son orificios, ranuras, muescas, entre otros, complicando aún más el problema.

Este último punto es de vital importancia, ya que el conocer de manera confiable el campo de esfuerzos producido por la interacción de grietas, es factor determinante en aplicaciones de la Mecánica de Fractura en Ingeniería. Actualmente, existen métodos diseñados para resolver problemas con singularidades de este tipo, hablando específicamente de la interacción de dos grietas colineales. Estas reglas se basan en el establecimiento de grietas equivalentes al grupo de grietas original, o bien en métodos iterativos, que por lo general son procedimientos algo complejos.

De esta manera, existe incertidumbre sobre la exactitud de los resultados que se obtienen a partir de éstos métodos, de ahí que sea necesario analizar el alcance de la soluciones propuestas que brinda el uso de métodos experimental-numéricos.

Desafortunadamente estos trabajos se están desarrollando en el extranjero y debido a que por lo general no es literatura abierta muchas de las veces es difícil la obtención de los resultados generados en estos trabajos. Es por esto que en el IPN se está iniciando en el análisis de cuerpos agrietados con el fin de poder tener los resultados de primera mano.

En base a ésto, se realiza este trabajo en busca de poder analizar el campo de esfuerzos que se genera cuando se aplica una carga en cuerpos que presentan una o más grietas, esto con la finalidad de determinar la integridad estructural en elementos mecánicos agrietados.

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1 Modelo de Griffith de fractura frágil...3

1.2 Modos de carga en un cuerpo agrietado...5

1.3 Sistemas de coordenadas alrededor de una grieta...6

1.4 Factores de Intensidad de Esfuerzos para geometrías simples...11

1.5 Curva Carga-Desplazamiento para una placa con una grieta lateral en Modo I...14

1.6 Extensión de la zona plástica...18

1.7 Formas establecidas de la zona plástica para una placa isotrópica...18

1.8 Secuencia de Carga-Descarga típica...20

1.9 Aplicación del CTOD como criterio de fractura...20

2.1 Interacción de dos grietas paralelas y escalonadas...22

2.2 Descomposición del problema de dos grietas paralelas y apiladas...23

2.3 Parámetros geométricos de una grieta simple...25

2.4 Proceso de iteración para las tensiones en la superficie de las grietas...28

2.5 Predicción de la longitud de grieta equivalente para el caso de dos grieta colineales...30

2.6 Grietas colineales de diferentes longitudes sujetas a tensión uniforme... .31

2.7 Función de ƒ de Isida para el caso de dos grietas colineales...32

2.8 Grietas colineales de diferente longitud sujetas a corte uniforme...33

2.9 Grietas colineales finitas con concentración arbitraria de fuerzas...34

2.10Grietas colineales semi-infinitas con concentración arbitraria de fuerzas...36

2.11Placa con dos grietas colineales...37

2.12Interacción de dos grietas colineales...38

2.13Placa de aluminio sometida a un esfuerzos de tensión...42

3.1 Patrones de franjas en una estructura bajo carga...48

3.2 Proceso del fenómeno fotoelástico...51

3.3 Selección de los puntos sobre una franja isocromática...54

3.4 Eje de referencia y trazado de puntos sobre la franja isocromática...55

3.5 Polariscopio Serie 060...58

3.6 Marco de carga del polariscopio serie 060...59

3.7 Especificaciones de la probeta con una grieta lateral...63

3.8 Especificaciones de la probeta con dos grietas colineales...64

3.9 Especificaciones de la probeta con dos grietas escalonadas...65

3.10Campo de esfuerzos observado en una placa con una grieta lateral al aplicarle carga: a) 245.25 N, b) 686.7 N...69

3.11Campo de esfuerzos observado en una placa con dos grietas colineales: a) 147.15 N., b) 245.25 N...78

3.12Campo de esfuerzos observado en una placa con dos grietas escalonadas: a) 245.25 N, b) 490.5 N...85

4.1 Sistema de coordenadas en la punta de la grieta...97

4.2 Elemento PLANE 2 en modalidad de cuarto de distancia...100

4.3 Nodos utilizados para el calculo de desplazamientos en la punta de la grieta...102

4.4 Modelo sólido creado en ANSYS para el análisis de fractura. Caso de una placa con una grieta lateral...103

4.5 Mallado o red del modelo. Caso de una placa con una grieta lateral...104

4.6 Condiciones de carga y de frontera...105

4.7 Modelo sólido creado en ANSYS para el análisis de fractura. Caso de una placa con dos grietas colineales...105

4.8 Mallado o red del modelo. Caso de una placa con dos grietas colineales...106

4.9 Modelo sólido creado en ANSYS para el análisis de fractura. Caso de dos grietas escalonadas...106

4.10Mallado o red del modelo. Caso de una placa con dos grietas escalonadas...107

4.11Modelo sólido creado en ANSYS usando condiciones de simetría para el caso de una grieta lateral...109

4.12 Modelo sólido creado en ANSYS usando condiciones de simetría para el caso de dos grietas colineales...110

4.13Formulas empleadas para la determinación de KI. para el caso de una grieta lateral...112

4.14Formulas empleadas para la determinación de KI. para el caso dos grietas colineales...113

4.15Modelo creado en CASCA...115

4.16Modelo con una grieta lateral...116

4.17Trayectoria de la propagación de la grieta para el caso de una grieta lateral...117

4.18Gráfica de KI contra longitud de grieta para las condiciones de carga: a) 1275.3 N, b) 1569.6 N...117

4.19Gráfica de KI contra longitud de grieta para las condiciones de carga: c) 1962 N, d) 2452.5 N...118

4.20Modelo de dos grietas colineales...119

4.21Trayectoria de la propagación de grietas para el caso de dos grietas colineales...119

4.22Gráfica de KI contra longitud de grieta para las condiciones de carga: a) 1471.5 N, b) 1962 N, c) 2452.5 N...120

4.23Modelo de dos grietas escalonadas...121

4.24Trayectoria de propagación para el caso de dos grietas escalonadas...122

4.25Gráfica de KI contra longitud de grieta para las condiciones de carga: a) 1471.5 N, b) 1962 N, c) 2452.5 N...123

4.26Ángulo de propagación para el caso de dos grietas escalonadas...124

5.1 Comparación de métodos para la obtención de KI. para el caso de una grieta lateral...131

5.2 Comparación de métodos para la obtención de KI. para el caso de dos grietas colineales...131

5.3 Comparación de métodos para obtener KII para el caso de dos grietas escalonadas...132

5.4 Comparación de los campos de esfuerzos...133

ÍNDICE DE TABLAS

2.1 Comparación de factores de intensidad de esfuerzos para diferentes configuraciones...40

2.2 Comparación entre factores de intensidad de esfuerzos...42

2.3 Resultados experimentales de ε...43

2.4 Valor teórico de K1+a...43

2.5 Comparación entre los valores de K1x/K110 vs. εx/ε10...43

2.6 Comparación de la nueva formula con el MEF...44

3.1 Características de franjas isocromáticas...56

3.2 Propiedades mecánicas y ópticas de algunos materiales fotoelásticos...61

3.3 Ordenes de franja ƒσ calculados...67

3.4 Valores de carga aplicada en el ensayo fotoelástico para el caso de una placa con una grieta lateral...68

3.5 Valores de carga aplicada en el ensayo fotoelástico para el caso de una placa con dos grietas colineales...77

3.6 Valores de carga aplicada en el ensayo fotoelástico para el caso de una placa con dos grietas escalonadas...84

3.7 Resultados experimentales de KI...91

4.1 Tipos de análisis realizados en ANSYS...95

4.2 Datos de la probeta de Policarbonato PSM-1 utilizados en ANSYS...103

4.3 Resultados numéricos de KI obtenidos de ANSYS para todos los casos de estudio...107

4.4 Resultados numéricos de KI obtenidos de ANSYS para dos casos de estudio usando condiciones de simetría...111

4.5 Resultados analíticos de KI para el caso de una placa agrietada lateralmente...113

4.6 Resultados analíticos de KI para el caso de una placa con dos grietas colineales...115

4.7 Resultados de KI para el caso de una placa con una grieta lateral obtenidos por medio de FRANC2D/L...118

4.8 Resultados de KI para el caso de una placa con dos grietas colineales obtenidos por medio de FRANC2D/L...121

4.9 Resultados de KI para el caso de una placa con dos grietas escalonadas obtenidos por medio de FRANC2D/L...122

4.10Resultados del ángulo de propagación para el caso de dos grietas escalonadas...124

5.1 Resultados generales de KI para ambos casos de estudio...128

5.2 Resultados generales de KII para el caso de dos grietas escalonadas...129

5.3 Resultados de σ1 calculados por fotoelasticidad para el caso de una placa con una grieta lateral...134

5.4 Resultados de σ1 calculados por fotoelasticidad para el caso de una placa con dos grietas colineales...135

SIMBOLOGIA

σ Esfuerzo normal aplicado. ε Deformación unitaria. π Constante matemática. ν Relación de Poisson.

ρ Densidad.

τ Esfuerzo cortante. ζ Variable compleja. α Ángulo de incidencia. β Ángulo de reflexión. γ Ángulo de refracción. φ Función de esfuerzos de Airy. σ1 Esfuerzo principal máximo.

σ2 Esfuerzo principal mínimo.

τmáx Esfuerzos cortante máximo.

σX Esfuerzo normal en la dirección x.

σY Esfuerzo normal en la dirección y.

σZ Esfuerzo normal en la dirección z.

εX Deformación unitaria en la dirección x.

εY Deformación unitaria en la dirección y.

εZ Deformación unitaria en la dirección z.

τxy, τyz, τzx Componentes del esfuerzo cortante.

a Longitud de grieta. b, t Espesor de placa. E Modulo de Elasticidad. ƒσ Orden de franja.

G Energía liberada de deformación.

KI, KII, KIII Factor de Intensidad de Esfuerzos en Modo I, II y III.

KIC Factor de Intensidad critico.

N Número de franja. Q Figura de calidad R Coeficiente de reflexión.

rp Tamaño corregido de la zona plástica.

U Energía elástica de deformación. u, v Componentes de desplazamiento.

P Carga aplicada.

r, θ Coordenadas polares.

C Complianza. rj Radio proyectado

ri Radio real.

INTRODUCCIÓN

La fractura es la separación o fragmentación de un sólido bajo la acción de una carga externa, a

través de un proceso de creación de nuevas superficies, conocidas como superficies de fractura. Usualmente, para fracturar un material se requiere incrementar la carga progresivamente hasta que un proceso de nucleación y propagación de grietas ocurra. Dependiendo de las condiciones de carga, geometría del cuerpo y de las propiedades mecánicas del material, para fracturar un componente estructural, puede ser necesario sostener e incluso aumentar la carga después de que la iniciación de la grieta ha tenido lugar; mientras que en otros casos bastará con alcanzar el punto de iniciación de la grieta para que después se propague espontáneamente. Una circunstancia muy importante es que la fractura se puede iniciar a partir de una grieta ya existente en el material, entonces la etapa de nucleación es suprimida y el proceso se reduce a iniciar la propagación de la grieta.

La fractura es un fenómeno que ha recibido atención constante desde que se comenzaron a utilizar en gran medida las máquinas y estructuras cuya función es la de resistir cargas externas. En general, la utilización de componentes mecánicos está acompañada del riesgo de fractura, razón por la cual es de gran importancia el conocer la manera en que influyen las grietas en el desempeño de los componentes mecánicos. La fractura de grandes estructuras ha causado considerables pérdidas materiales y económicas debido a fallas catastróficas ocurridas durante su operación, como es el caso de accidentes aeronáuticos, la explosión de grandes ductos de gas o bien las fallas ocurridas en reactores nucleares; pero estas fallas atribuidas a la fractura no sólo se limitan a pérdidas económicas o materiales, sino que también afectan vidas humanas, lo que hace que el fenómeno de fractura sea considerado seriamente dentro del diseño mecánico.

Por su parte, la mecánica de fractura es la disciplina que provee las bases y metodologías para el

diseño y evaluación de componentes agrietados a fin de desarrollar estructuras más resistentes y tolerantes a los defectos. Sin embargo, aún se encuentra en una fase de desarrollo y actualmente se

realizan grandes esfuerzos en todo el mundo para comprender mejor este fenómeno y así poder desarrollar mejores métodos de medición y de análisis de componentes agrietados. Esta es precisamente una de las razones de ser de este trabajo, el buscar contribuir en las investigaciones referentes a la mecánica de fractura.

Debido a ésto, el tema principal de esta tesis es analizar el campo de esfuerzos en placas agrietadas sometidas a cargas externas, analizando como tema central la interacción de dos grietas colineales y la de dos grietas escalonadas. Se analizan los casos de dos maneras, la primera de ellas es de forma experimental en donde por medio de la prueba fotoelástica se determina el Factor de

intensidad de esfuerzos (KI) producido por cargas aplicadas a placas agrietadas que sirven de

modelo experimental, la segunda de ellas es a través del análisis numérico y matemático, en donde

de igual forma se calcula el KI producido por las mismas cargas externas. Se hace uso de diferentes

métodos para calcular el KI, con la finalidad de emitir un juicio referente a la efectividad de cada uno

de ellos. Se determina el valor de KI ya que es el parámetro dentro de la mecánica de fractura que

indica la severidad de los esfuerzos en la vecindad de la grieta de un elemento agrietado, y es precisamente lo que se busca determinar en este trabajo.

De esta manera el trabajo presentado aquí consta de cinco capítulos, el capítulo I está dedicado al estudio de la mecánica clásica de fractura sentando las bases teóricas para la comprensión del tema de fractura en elementos que presentan una sola grieta. En este capítulo se afrontan temas

esenciales como el criterio de Griffith, el Factor de intensidad de esfuerzos K, la integral J, entre

otros más.

El capítulo II presenta la teoría sobre temas relacionados a la interacción de grietas en elementos

mecánicos, en él se presentan los métodos más utilizados en la determinación de KI para este tipo

de singularidades, específicamente para el caso de dos grietas colineales, tanto en una placa infinita como en una finita.

En el capítulo III, con ayuda de la prueba fotoelástica se determina de forma experimental el Factor

de Intensidad de Esfuerzos KI, para ambos casos de estudio, extendiendo el cálculo a KII para el

caso de dos grietas escalonadas. Así mismo, se determina el FIE para el caso de una grieta lateral, el cual servirá como patrón de comparación para los dos casos de interacción de grietas.

El capítulo IV trata sobre el cálculo de KI por medios numéricos y analíticos, se emplean el paquete

ANSYS 5.5.1 y algunas fórmulas matemáticas para este fin. Además, de que por medio del paquete Franc se simula la trayectoria probable que seguirían las grietas al estar aplicando carga a los elementos mecánicos.

Por último, el capítulo V discute los resultados obtenidos para KI y KII tanto de forma experimental

como de forma numérica.

Cabe mencionar que esta tesis esta ligada al proyecto 34950-U financiado por el CONACYT, y que

además pertenece a la línea de investigación de Mecánica de Fractura que se desarrolla en el

Departamento de Ingeniería Mecánica de la S.E.P.I. – E.S.I.M.E Zacatenco; específicamente dentro del programa Evaluación Numérico-Experimental de Esfuerzos en Elementos Mecánicos de Materiales Metálicos y Óseos, con número de registro CGPI 2001-1001.

CAPÍTULO I

MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Este capítulo está dedicado al estudio de los aspectos fundamentales de la mecánica de fractura, la cual permite cuantificar en forma conjunta la relación que existe entre el estado de tensiones, tamaño de defecto y tenacidad del material. Es aplicable a diferentes procesos de fisuración tales como fractura frágil, fractura dúctil, corrosión bajo tensión, fatiga, creep, etc.

Además, permite la consideración de defectos o fisuras detectables mediante ensayo no destructivo, determinando su integridad estructural y consecuentemente la vida útil remanente del componente. Se aplica en las etapas de diseño, selección de materiales e inspección en la fabricación así como en servicio y como ayuda al diagnóstico en el análisis de falla.

Esta disciplina es de gran aplicación en los códigos de diseño para construcciones y estructuras importantes, tal es el caso de recipientes a presión y componentes de centrales nucleares, entre otros.

1.1 ANTECEDENTES

Han transcurrido más de 100 años desde los primeros estudios sistemáticos de la fractura de componentes de uso en ingeniería; sin embargo, ha sido en los últimos 50 años que la mecánica de fractura se ha expandido rápidamente desde sus bases teóricas hasta sus aplicaciones en la industria.

Existen diversos casos que se remontan al siglo XIX en donde se reportan fallas en estructuras de acero, más adelante a principios del siglo XX se tiene conocimiento de fallas en recipientes a presión y en diversas estructuras pesadas. Pero no es sino hasta principios del siglo pasado cuando Inglis [1] plantea la primera contribución al campo de la mecánica de fractura al estudiar el comportamiento del campo de esfuerzos alrededor de huecos elípticos en una placa plana. Se mostró que la concentración de esfuerzos en la punta de la grieta era infinita.

Más tarde, los trabajos realizados por Griffith y Taylor [2] con películas de jabón aplicadas a problemas que involucraban torsión, determinaron que existían líneas de contorno para esfuerzos de corte.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Pero fue la aproximación de Griffith hacia el problema de fractura, lo que realmente marco el inicio

de la Mecánica de Fractura. En los trabajos realizados por él, se estableció el concepto de

propagación de grieta, lo que hizo necesario calcular los esfuerzos y deformaciones debidos a

pequeñas grietas superficiales basándose en el trabajo matemático desarrollado por Inglis y en el uso del método de la película de jabón.

Considerando estos hechos se llega a la conclusión de que las grietas superficiales que ordinariamente se encuentran en los materiales, podrían incrementar los esfuerzos a razón de dos a seis veces dependiendo de su forma, y que este incremento del esfuerzo podría ser suficiente para hacer que el material fallara.

En los años cuarenta, Irwin [3] define el parámetro G, que por definición es la razón de energía

liberada, y posteriormente demuestra que el factor de intensidad de esfuerzos K es equivalente a

G, lo que implica que la grieta se propague cuando K alcance un valor crítico. Con esto se

establece la Mecánica de Fractura Lineal Elástica.

En el campo elasto-plástico de la Mecánica de Fractura se puede decir que en 1961 Wells [4]

introduce el concepto de CTOD (apertura de grieta) y, en 1968, Rice[5] a partir de un planteamiento

energético propone la integral J, ya hacia 1971, Begley y Landes [6] proponen un método

experimental para evaluarla.

1.2 CRITERIO DE GRIFFITH.

Precisamente Griffith [7] hizo el primer intento significativo para analizar matemáticamente el fenómeno de fractura en materiales como el vidrio. Griffith partió del hecho de que un cuerpo deformado elásticamente almacena energía potencial, la cual es la fuerza impulsora del crecimiento de grietas, siempre y cuando la demanda de energía para la extensión de la grieta sea satisfecha por la conversión de la energía elástica almacenada. Desde el punto de vista de Ingeniería este hecho se puede ejemplificar por un resorte, del cual pende un peso. Mientras cuelgue el peso, el resorte permanecerá estirado y almacenará energía potencial, la cual una vez retirado el peso se

convertirá en energía cinética. Análogamente a este hecho, Griffith propuso que la energía elástica

se convierte en energía de superficie de fractura, lo que provoca un crecimiento de la grieta.

Griffith atacó el problema de la fractura de sólidos elásticos empleando el teorema de mínima

energía, que establece que el estado de equilibrio de un sólido elástico, deformado por fuerzas

específicas, es tal que, la energía potencial de todo el sistema es mínimo.

Sin embargo, para estar en posición de aplicar el teorema al problema de encontrar las cargas de rotura de sólidos elásticos, Griffith determinó que es necesario considerar el incremento de energía potencial que se presenta al ocurrir la formación de nuevas superficies en el interior de dichos sólidos. Su razonamiento fue que en la formación de una fractura en un cuerpo compuesto de moléculas que se atraen entre sí, se debe efectuar un trabajo que contrarreste las fuerzas de

cohesión de las moléculas en cada lado de la fractura. Este trabajo realizado se denomina energía

de superficie, y si el ancho de la fractura es mayor que una muy pequeña distancia llamada radio de acción molecular, entonces la energía por unidad de área es una constante del material, la cual

es llamada tensión superficial.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Así Griffith enunció y probó un teorema general que indica que en un cuerpo sólido, elástico,

deformado por fuerzas específicas aplicadas a su superficie, la suma de la energía potencial de las fuerzas aplicadas y la energía de deformación del cuerpo permanecen invariables mediante la introducción de una fractura cuyas superficies están libres de tensión.

Pero quizá uno de los enunciados de mayor importancia que aparece en las publicaciones de Griffith describe lo siguiente:

Se puede llegar a la conclusión general de que el debilitamiento de sólidos isotrópicos, que comúnmente se presenta, es debido a la presencia de discontinuidades o vacíos, cuyas dimensiones normales, son grandes comparadas con las distancias moleculares. La resistencia efectiva de éstos materiales podrá ser incrementada cuando menos de 10 a 20 veces, si estos vacíos pudieran ser eliminados.

En relación al trabajo de Griffith, es necesario hacer notar que él considera en su teoría situaciones de fractura frágil pura, lo que podría ser discutido ampliamente.

Con respecto al trabajo matemático realizado por Griffith, la derivación del criterio de fractura es como sigue:

considerando una placa con una grieta central, que es deformada elásticamente como se muestra en la figura 1.1, la energía potencial es :

(1.1)

E

a

U

=

2

πσ

FIGURA 1.1 Modelo de Griffith de Fractura frágil.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Donde σ es el esfuerzo que actúa en la placa, a es la semilongitud de la grieta y E es el módulo de

Young. En un proceso de fractura completamente frágil (sin deformación plástica), la energía de fractura es la energía necesaria para crear dos superficies de fractura; una en cada cara de la grieta,

de modo que la energía almacenada se convierte en energía de superficie γs; así, el cambio de

energía es:

σ∆

U = U + 2

γ

Al propagarse la grieta se requiere que la rapidez de conversión de energía almacenada, al menos sea igual a la rapidez de creación de energía de superficie. Matemáticamente esto se expresa como:

d

∆

U / da = 0

Al sustituir términos y resolver para el esfuerzo se obtiene la ecuación del esfuerzo de fractura propuesto por Griffith.

(1.4)

a

E

σ

=

π

γ

2

Posteriormente Irwin y Orowan observaron que siempre existía una componente de energía de deformación plástica que debía ser tomada en cuenta, la modificación a la ecuación de Griffith

incluye el término εp que representa precisamente, la energía necesaria para deformar

permanentemente el material, obteniendo que:

(1.5)

a E γ_S ε_p

σ = 2 − )

π

(

El problema del criterio de Griffith fue la enorme dificultad para evaluar, experimentalmente, la energía de superficie, por lo que nunca pudo aplicarse extensamente; sin embargo, este razonamiento produjo dos aportaciones fundamentales:

♦ La primera de ellas es que la ecuación de Griffith provee una relación entre el esfuerzo de

fractura y el tamaño de la grieta, del tipo σα ( 1/ a ), la cual se ha comprobado con éxito.

♦ La segunda, es que la fractura resulta de un proceso de conversión de energía, que depende no

solamente del esfuerzo, sino también del tamaño de grieta.

Esta última aportación sentó las bases de la mecánica de fractura moderna y por ello a Griffith se le

reconoce como el padre de la Mecánica de Fractura.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

1.3 MODOS DE CARGA.

Como se mencionó antes, la mecánica de fractura se apoya en el cálculo del campo de esfuerzos y deformaciones alrededor de una grieta, los cuales provocan el desplazamiento relativo de las superficies de fractura de un cuerpo. La fractura de componentes agrietados también puede ser analizada por medio del análisis de esfuerzos basados en los conceptos de la teoría de elasticidad. En todos estos casos la forma en que se carga el cuerpo agrietado influye en la evaluación de la integridad estructural.

En la mecánica de fractura, los estados de carga se descomponen en modos de carga, siendo estos, de acuerdo a como cada una de las componentes carga la grieta:

♦ Modo I. Abertura de la grieta en la dirección perpendicular al plano de fractura.

♦ Modo II. Deslizamiento de las superficies en sentidos opuestos, pero en la dirección de avance

de la grieta.

♦ Modo III. Desgarre o desplazamiento fuera del plano en dirección perpendicular a la dirección

de avance.

En la figura 1.2 se muestra convenientemente los desplazamientos de las superficies de la grieta para cada modo.

FIGURA 1.2 Modos de Carga en un cuerpo agrietado.

El caso más general es la combinación de los tres modos, el cual resulta muy complicado de analizar. Afortunadamente la gran mayoría de los casos prácticos corresponden al Modo I. De ahí que alrededor de este modo de carga se haya creado la mayor parte de la teoría de la mecánica de fractura; además este es el modo más crítico.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

1.4 CAMPO DE ESFUERZOS EN UN ELEMENTO AGRIETADO EN MODO I.

Se puede decir que el inicio de fractura dependerá del criterio de falla que sea físicamente aplicable al material del que está fabricado el elemento sometido a esfuerzo; por otro lado, las propiedades mismas del material determinarán si su comportamiento es frágil o dúctil. Una vez que se produce la falla se rompe el material, esto es, se genera una grieta o fractura y a partir de ese momento se aplica la teoría de la mecánica de fractura, al estudio de su propagación.

Básicamente el problema consiste en calcular el campo de esfuerzos alrededor de una grieta, ya que estos esfuerzos son los que realizarán el trabajo de deformar el material y crear las nuevas superficies de la grieta.

Sea una placa de espesor uniforme sometida a un esfuerzo de tensión también uniforme. En un

punto cualquiera situado en una posición ( r,θ ) de la punta de la grieta, hay un esfuerzo particular

σjj, como se muestra en la figura 1.3. Si la placa es muy delgada, no habrá suficiente material en la

dirección transversal z para transmitir fuerzas y por lo tanto el esfuerzo en esta dirección es cero.

σyy

τxy

σxx

r θ

FIGURA 1.3 Sistema de coordenadas alrededor de una grieta.

Como los únicos esfuerzos mayores de cero son los que están en el plano xy, se dice que se tiene la

condición de esfuerzo plano. Por el contrario, si la placa es muy gruesa, el gran espesor del material

resiste la contracción en la dirección z y se genera un estado de deformación plana, con

componentes de deformación sólo en las direcciones x y y.

Irwin estableció el procedimiento de cálculo de los esfuerzos alrededor de una grieta, para una placa de dimensiones infinitas deformada elásticamente; sin embargo el nivel de su desarrollo matemático es algo complejo y extenso, y no es razón de estudio de este trabajo, por tanto sólo se mostrará el planteamiento del problema, el cual es de la siguiente manera:

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

En primera instancia, las ecuaciones de equilibrio según la teoría clásica de elasticidad se definen como: 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y x xy x τ σ 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x y xy y τ σ (1.6)

Por otra parte, las deformaciones están expresadas como:

y u x v xy y v y x u x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =

ε

γ

ε

Donde u y ν son los desplazamientos en las direcciones X y Y respectivamente. Por último las

relaciones esfuerzo-deformación elástica son:

E

ε

=

σ

-

νσ

E

ε

=

σ

-

νσ

G

γ

=

τ

El problema consiste en encontrar una función de esfuerzo que satisfaga simultáneamente las

ecuaciones anteriores. Esto es posible haciendo uso de la función Ψ tal que:

2 2 2 2 2 2 2 ; ; x y x

y y x

x _{∂ ∂}

∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =

ψ

σ

ψ

τ

ψ

σ

La combinación de estas ecuaciones lleva a la ecuación conocida como función de esfuerzos de Airy, y se expresa de la siguiente forma:

∇

ψ

_{= 0}

o bien la forma compleja se expresa como:

Φ

=

R

⎯φ

(z) + y I

⎯φ

(z)

donde:

z ( x + iy ) : es una función de variable compleja

⎯φ

(z) y

⎯φ

(z) :

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

En forma general se tiene que:

σ

R

φ

(x) - y I

φ′

(z)

σ

R

φ

(x) + y I

φ′

(z)

τ

- y I

φ′

(z)

Las condiciones de frontera que deben cumplirse para resolver estas ecuaciones son:

Cuando ( x, y ) ∞

σ

=

σ

=

σ

;

τ

= 0

σ

=

τ

= 0

Por tanto la solución a la función de Airy para una placa infinita con una grieta central, fue encontrada por Westergard [8], quedando establecido que los esfuerzos alrededor de la grieta para la condición de esfuerzo plano son:

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 2 3 2 1 2 cos 2 θ θ θ σ

σ sen sen

r a xx (1.13) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 3 2 1 2 cos 2 θ θ θ σ

σ sen sen

r a yy (1.14) 2 3 cos 2 cos 2 2 θ θ θ σ σ sen r a

xy = (1.15)

Mientras que para deformación plana:

σ

=

ν

(

σ

+

σ

)

Estas ecuaciones se pueden generalizar mediante la siguiente ecuación:

) (

2 θ

σ

σ_ij f_ij

r a

= (1.17)

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Donde i y j pueden tomar cualquier valor x, y ó z a la vez. Para una grieta de cualquier longitud ésta

ecuación se puede rescribir como sigue:

) (

2

π

θ

σ

r K = (1.18) Donde: (1.19) a K =σ π

El término K representa la magnitud de la interacción del esfuerzo en la región de la punta de una

grieta y se ha definido como el Factor de Intensidad de Esfuerzos.

Por otra parte, los esfuerzos principales el la zona de la grieta están definidos como sigue:

(1.20) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 2 cos 2 1 θ θ π σ sen r K ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 2 cos 2 2 θ θ π σ sen r K _(1.21) 2 cos 2 ( 2 3 2 ) 1 θ π ν σ σ ν

σ = + = (para deformación plana) (1.22)

r K

(para esfuerzo plano) (1.23)

0

3 =

σ

También resulta de interés conocer los desplazamientos de un punto alrededor de una grieta. Estos son u en la dirección x y v en la dirección y, siendo éstos:

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− +} + = 2 2 1 2 cos 2 ) 1 ( 2

u θ _ν 2 θ

π

ν r sen

E K_I (1.24) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− +} + = 2 cos 2 1 2 2 ) 1 ( 2

v θ _ν 2 θ

π

ν r sen

E K_I

(1.25)

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Cabe destacar que la introducción del factor de intensidad de esfuerzos K es de enorme

trascendencia en la mecánica de fractura, ya que define la magnitud de los esfuerzos alrededor de

una grieta; de esta manera K se convierte en el parámetro único significativo para conocer el efecto

de la introducción de una grieta en una estructura, ya que una vez conocido K, el campo de

esfuerzos alrededor de la grieta queda definido por completo.

1.5 DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS

En la actualidad existen varios métodos para poder evaluar el factor de intensidad de esfuerzos K,

los cuales se pueden clasificar en:

♦ Solución analítica.

♦ Solución por métodos numéricos como los son: elemento finito, elemento frontera, integral de

límite, entre otros.

♦ Métodos experimentales como: complianza, fotoelasticidad, extensometría, etc.

♦ Métodos indirectos como: propagación de grietas por fatiga, fractográfico, etc.

La mayoría de las fórmulas para determinar K se encuentran publicadas en compendios en los

cuales se especifican las condiciones de geometría del cuerpo, configuración de grieta y cargas

para cada solución específica. La figura 1.4. muestra algunos ejemplos de expresiones de K en

cuerpos y condiciones de carga simples.

Los trabajos más conocidos para la determinación de K son :

1. Tada, París and Irwin: THE STRESS ANALYSIS OF CRACKS HANDBOOK. University Of St.

Louis EUA ( 1973 ).

2. Sih: HANDBOOK OF STRESS INTENSITY FACTORS. Institute of Fracture and Solid

Mechanics, Lehigh Univ. , Bethelehem, Pa, EUA ( 1973 ).

3. Roocke and Cartwright: COMPENDIUM OF STRESS INTENSITY FACTORS, Her Majestery´s

Stationary Office, London ( 1976 ).

4. Marahams: STRESS INTENSITY HANDBOOK. Persuman Press New York ( 1988 ).

Las expresiones para el factor de intensidad de esfuerzos en realidad pueden llegar a ser bastante complicadas, en particular, para cuerpos de dimensiones finitas con geometrías complicadas. Además, ocurre con frecuencia que los cuerpos no presentan esfuerzos uniformes en su sección

transversal, de manera que K es expresado en función de la carga P en lugar del esfuerzo. En

general el factor de intensidad de esfuerzos puede expresarse como:

K = P g ( B, W )

ƒ

( a/W )

Donde B y W son el espesor y el ancho del cuerpo respectivamente. Las funciones ƒ( a/W ) y

g( B, W ) presentan una gran variedad de formas, siendo las más comunes las polinomiales y las

trigonométricas.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

GEOMETRÍA K

Placa con una grieta central.

Placa con una grieta lateral.

Para a/W < 0.7

Espécimen compacto de tensión.

[

]

B = espesor del espécimen.

2 1

sec _⎥⎦⎤

⎢⎣ ⎡ = W a a

K_I σ π π

a K_II =τ π

a Y K_I = σ

4 3 2 ´ 85 . 53 ´ 8 . 34 ´ 7 . 18 ´ 4 . 0 99 .

1 a a a a

Y = − + − +

W a a´=

W a a´=

FIGURA 1.4 Factores de Intensidad de esfuerzos para geometrías simples. [12]

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

Continuación...

GEOMETRÍA K

Viga sometida a una carga de flexión.

( )

[

(

)(

)

]

(

)(

)

2 2 1 3 ´ 1 ´ 2 1 2 ´ 7 . 2 ´ 93 . 3 15 . 2 ´ 1 ´ 99 . 1 ´ 3 a a a a a a a BW PS K_I − − + − − − =

Cavidad con carga interna.

P = Fuerza por unidad de espesor.

Grieta semielíptica con esfuerzo normal σ

Semieje menor: (interior) Semieje mayor: (superficie) 2 2 8 8 3 c a π π ₊ = Φ

Grieta radial en un tubo sometido a presión interna. W

a a´=

a P K_I = π

a

K_{I máx} σ π

Φ 12 .

)

( =1

c a

K_I = σ π

2 (min) 1.12_Φ

a Rt c t

PR

K_{I ⎟⎟}π

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

= 1 1 61 2

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

En base a esto, se establece un principio que es muy importante en toda aplicación práctica de la

mecánica de fractura y es el principio de similitud . Esto establece que si dos grietas diferentes, en

estructuras diferentes, poseen la misma K, su comportamiento será idéntico, ya que tienen el mismo

campo de esfuerzos. La única restricción es que el modo de los desplazamientos de grieta debe ser

el mismo y que las deformaciones en los cuerpos sean elásticas. Se puede demostrar que K

también representa la rapidez de liberación de energía en un cuerpo agrietado, por lo que K también

es un criterio de fractura.

1.6 RELACIÓN DE ENERGÍA LIBERADA G EN EL PROCESO DE AGRIETAMIENTO.

El problema de fractura, bajo la aproximación de Irwin [3] indica que el principal parámetro está

definido como la liberación de energía denominado G, y que K, está directamente relacionado con la

liberación de energía G en una situación totalmente lineal-elástica, mediante la siguiente relación:

K

_{= EG}

Irwin hizo notar que:

K = lim ½

σ

(

πρ

)

En esta relación K será insensible al radio de la punta de fractura siempre que σm sea inversamente

proporcional a ρ1/2_{. Se ha demostrado experimentalmente que, en un espécimen con una grieta,}

cuya punta tiene un radio finito, es posible alcanzar y exceder el rango de liberación de energía de deformación. Sin embargo, no siempre se obtiene el inicio de propagación de grieta, lo que hace evidente que para obtener una fractura inestable, es necesario que la punta de la grieta se aproxime lo más que se pueda a la intersección de los planos de la superficie de la grieta.

Además, se cree que son necesarias dos condiciones para caracterizar totalmente la fractura inestable de los materiales, una de ellas tiene que ver con las condiciones que se obtienen en una muy pequeña región ubicada en la vecindad de la punta de la grieta y que estas condiciones son necesarias para iniciar el proceso inestable de fractura.

Irwin [3] hizo un análisis detallado de las condiciones de esfuerzo en la vecindad de la punta de la grieta y usó el factor de intensidad de esfuerzos del campo local de esfuerzos para definir la severidad del campo de esfuerzos. Así mismo, se encontró que la grieta se empieza a propagar cuando se alcanza un valor crítico. Este parámetro depende de la existencia de condiciones de esfuerzo o deformación plana al inicio de la propagación, siendo más crítico este último caso. Por tanto a este último se le establece como una constante del material llamada tenacidad de fractura

KIC. Es importante hacer notar que puede ser demostrado que hay una correspondencia entre las

aproximaciones de Griffith e Irwin al problema de fractura.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

1.7 EL BALANCE ENERGÉTICO DE GRIFFITH

Griffith [9] postula que la fractura de un cuerpo agrietado sobrevendrá cuando la rapidez de conversión de energía disponible sea mayor que un valor crítico, que es una propiedad del material

( KIC ). Si el cuerpo permanece deformado elásticamente durante la aplicación de la carga, éste

almacenará cierta cantidad de energía potencial debido a la deformación elástica y además existirá una parte del trabajo suministrado por las cargas que estará disponible. Irwin, haciendo uso de esta

idea estableció que durante la fractura, la extensión de la grieta se hace a expensas de esas

energías y a este criterio le llamo Criterio de Energía.

En otras palabras, este criterio postula que el crecimiento de una grieta en un material frágil

ocurre cuando la energía suministrada a la punta de la grieta durante un pequeño incremento de ésta, es igual o mayor a la magnitud de la energía elástica potencial que puede almacenar dicho cuerpo agrietado.

Para explicar este criterio de fractura, consideremos una placa delgada, elásticamente cargada, con

una grieta de longitud a, una carga aplicada P y cuya abertura de grieta en el borde sufre un

desplazamiento ν; como se muestra en la figura 1.5. La curva P contra ν, es la recta OA y la

pendiente M, es definida como la rigidez del cuerpo agrietado. En la mecánica de fractura lineal elástica, es más común utilizar la complianza C, definida como el inverso de la pendiente ( C = 1/M )

para poder determinar el valor de K. La complianza aumenta, al incrementarse el tamaño de grieta.

FIGURA 1.5 Curva carga-desplazamiento

para una placa con una -

Grieta lateral en Modo I

Si definimos a U como la energía elástica almacenada, la F como el trabajo suministrado por las cargas y W como la energía necesaria para extender la grieta, el balance de energía durante la extensión de la grieta es:

F – U – W = 0

La diferencia ( U – F ), es la energía que entra menos la energía almacenada y representa la energía disponible en el sistema para realizar trabajo. La razón de cambio de la diferencia ( U – F ) con respecto a la variación del tamaño de grieta, representará entonces la rapidez de liberación de

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

energía durante el agrietamiento, esto es: qué tanta energía está liberando el sistema y que tanto se

está transfiriendo como trabajo para extender la grieta. Si esta rapidez de liberación de energía es G

y R es la cantidad de trabajo necesaria para provocar una extensión de la grieta, se puede escribir

que:

G = d ( F – U ) / da

R = d W/ da

De acuerdo con lo anterior, si G > R, significa que la rapidez de liberación de energía es mayor que

la energía requerida para extender la grieta y la grieta se propagará. Este es por lo tanto el criterio

de energía de fractura.

De la figura 1.5 puede observarse que el cambio de energía durante la extensión de la grieta es igual al área OAC, para condiciones de desplazamiento constante e igual al área OAB, para carga

constante. Ha sido demostrado que G para condiciones de carga constante, está dado por:

G = ½ P

_{d ( 1/M ) / da}

Mientras que para el desplazamiento constante la expresión es idéntica pero de signo negativo.

El cambio de signo de Gsegún se trate de condiciones de desplazamiento o carga constantes tiene

una enorme consecuencia práctica, ya que significa que si una grieta se propaga bajo condiciones de carga constante, la rapidez de liberación de energía aumenta a medida que crece la grieta y por lo tanto entre más crece, hay más energía disponible para su propagación; haciendo la propagación autoacelerada; mientras que en condiciones de desplazamiento constante sucede lo opuesto, esto

es G disminuye progresivamente de manera que la grieta crecerá hasta una determinada longitud y

de detendrá.

Es posible relacionar el valor de G con el factor de intensidad de esfuerzo K, para un sólido lineal

elástico, de la siguiente manera:

en una placa infinita, el esfuerzo en la punta de la grieta es:

σ

= K

( 2

π

r )

el desplazamiento de abertura de una grieta de longitud a es:

v

= 2 ( 2/

π

)

α

_{( K/E )(}

δ

_{a – r )}

donde r es la distancia desde la punta de la grieta, α = ( 1 –ν2 _{), y} ν _{es la relación de Poisson. El}

trabajo por unidad de espesor, bajo una extensión de la grieta es:

dW =

∫σ

v

dr =

∫

K (

π

r )

_v

_dr

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

sustituyendo :

dW = ( 2/

π

)

α

( K

_{/ E )}

∫

_{[ (}

δ

_{a – r ) / r ]}

_dr

para resolver la integral, se toman las siguientes condiciones de frontera:

sea r = δa sen2θ _{en la posición r=0 ;} θ _{= 0}

cuando: r = δa θ = π/2

obteniendo: dr = 2δa sen θ cos θ dθ

entonces:

∫

[ (

δ

a – r ) / r ]

_{dr = (}

π

_{/2 )}

δ

_a

que sustituyendo en dW resulta que:

dW =

α

( K

_{/ E )}

δ

_a

Tomando como límites δa 0, dW / da que es la variación del trabajo requerido para un

incremento infinitesimal de la extensión de la grieta, es equivalente a la rapidez de liberación de

energía G, por lo que queda demostrado que:

G = ( K

_{/ E) ( 1 -}

ν

₎

_{Para Deformación Plana}

G = ( K

_{/ E ) Para Esfuerzo Plano}

Este resultado es de gran trascendencia, pués queda establecido que la rapidez de liberación de energía disponible para el agrietamiento es proporcional al factor de intensidad de esfuerzos, de

manera que cuando la condición para la extensión de la grieta G = R se satisface, implica que K ha

alcanzado un valor crítico y la fractura ocurre. A este valor crítico de K, se le ha llamado tenacidad

de fractura. En otras palabras, como la rapidez de liberación de energía G en un cuerpo agrietado es

proporcional a K, éste es un criterio de fractura y se ha establecido que si K > KIC la fractura

ocurrirá, siendo que KIC es la tenacidad de fractura.

Cabe mencionar que la prueba que determina la tenacidad de fractura KIC para el Modo I, ha sido

normalizada con el fin de obtener resultados reproducibles. El procedimiento recomendado aparece en la norma americana ASTM E-399 y en la norma británica BS7448; que esencialmente son similares.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

1.8 PLASTICIDAD EN LA PUNTA DE LA GRIETA.

La distribución de esfuerzos en la dirección perpendicular al plano de una grieta en Modo I ( θ = 0 ),

se ilustra en la figura 1.6. Aquí, se puede deducir claramente que el esfuerzo de tensión en la punta de la grieta tiende al infinito. Esto en realidad no sucede, puesto que el material alcanza su esfuerzo

de cedencia σO y se deforma plásticamente. La extensión de esta deformación es conocida como

zona plástica y su tamaño puede ser calculado en primera instancia, sustituyendo el esfuerzo de

cedencia en la ecuación del esfuerzo en la dirección normal a la grieta para θ = 0 y resolviendo para

r se obtiene que la extensión de la zona plástica frente a la grieta rp es:

r

= ( 1 / 2

π

) ( K

/

σ

)

Para Esfuerzo Plano

r

= ( 1 / 2

π

) ( K

/ c

σ

)

Para Deformación Plana

se ha estimado que c = 1.7

Los efectos de la formación de la zona plástica son muy importantes en la mecánica de fractura. El

tamaño de la zona plástica depende de K y éste a su vez depende del tamaño de grieta, de manera

que el tamaño de la zona plástica, difiere del calculado en la solución anterior. Considerando éste efecto, Irwin calculó una corrección al tamaño de la zona plástica y encontró que el tamaño de la zona plástica es el doble del calculado en la primera estimación, esto es:

r

= ( 1 /

π

) ( K

/

σ

)

En realidad, el tamaño y forma de la zona plástica son mucho más complejos que la estimación de Irwin y dependen principalmente del modo de desplazamiento de la grieta, del estado de esfuerzos y de las características del material como: microestructura, textura, tamaño de grano, anisotropía, entre otros.

La forma de la zona plática, se puede calcular de la siguiente manera, considerando el esfuerzo de falla de la teoría de Von Misses.

σ

< ½ [ (

σ

-

σ

)

+ (

σ

-

σ

)

+ (

σ

-

σ

)

]

Sustituyendo los esfuerzos principales y resolviendo para r, obtenemos una expresión para el

contorno de la zona plástica. Para condiciones de deformación plana en Modo I, la forma de la zona plástica está dada por:

R

= ( K

/ 4

πσ

) [ 1.5 sen

θ

+ ( 1 - 2

ν

)

( 1 + cos

θ

)

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

σyy σyy

σyy=∞

σyy=σ0 σyy (θ=0)

a r=0 r a r

rp

(a) (b)

FIGURA 1.6 (a) Valor del esfuerzo en la dirección perpendicular al plano de una grieta; (b) extensión de la zona plástica. FIGURA 1.6 (a) Valor del esfuerzo en la dirección perpendicular al plano de una grieta; (b) extensión de la zona plástica.

La figura 1.7 muestra la forma de la zona plástica para los tres modos de carga de un material isotrópico, calculadas a partir de los esfuerzos principales y del criterio de cedencia de Von Misses. La figura 1.7 muestra la forma de la zona plástica para los tres modos de carga de un material isotrópico, calculadas a partir de los esfuerzos principales y del criterio de cedencia de Von Misses.

FIGURA 1.7 Formas establecidas de la zona plástica para una placa isotrópica. FIGURA 1.7 Formas establecidas de la zona plástica para una placa isotrópica.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

1.9 LA INTEGRAL J.

Jim Rice [5] desarrolló un método de análisis matemático para determinar la energía de fractura de

un cuerpo involucrando deformaciones tanto elásticas como plásticas, en el que define la Integral J

como el parámetro que caracteriza el comportamiento de la grieta en tales condiciones. Desde un

punto de vista físico, la integral J es el balance de energía en la vecindad de la punta de una grieta.

Los valores de J pueden ser usados para el análisis de la fractura debido a que es totalmente

equivalente a la rapidez de liberación de energía G, es decir J = G. La equivalencia entre K y J está

dada por la siguiente relación, que es válida siempre y cuando la plasticidad no sea extensa.

J = G = K

_{/ E Para Esfuerzo Plano}

J = G = K

_{/ E ( 1 -}

ν

₎

_{Para Deformación Plana}

Esto indica que J describe la fuerza motriz aplicada a la punta de la grieta, en forma análoga a como

lo hace K. El valor de J puede ser calculado para diferentes geometrías y condiciones de carga por

varios métodos como lo son: la complianza, elementos finitos, etc.

Para comprender las condiciones en que se puede aplicar J para el análisis de fractura, debe

recordarse que en realidad, J es la solución al problema elástico no lineal; lo que ocurre es que el

comportamiento P contra desplazamiento cuando existe plasticidad limitada es no lineal, de ahí que

J se haya adoptado como parámetro característico del comportamiento elasto-plástico de cuerpos

agrietados.

Por tanto, está claro que para que la grieta se propague es necesario que se cumpla la condición de que:

J > J

Sin embargo, dependiendo de las propiedades del material, la grieta puede presentar una considerable extensión estable antes de que comience a propagarse de manera rápida, es decir antes de la inestabilidad. De acuerdo con el criterio de energía, la propagación inestable ocurrirá cuando la rapidez de conversión de energía disponible en la punta de la grieta supera la demanda de energía para extender la grieta.

En la práctica, J puede aplicarse al análisis de cualquier comportamiento, pues el área bajo la curva

carga desplazamiento (ver fig 1.8) puede evaluarse independientemente de que la curva sea lineal o

no. Aparentemente esto hace que J sea un parámetro general para establecer un criterio de

fractura; sin embargo, el valor de J depende del esfuerzo de cedencia y de la forma de la curva

esfuerzo-deformación y estos dos aspectos dependen del tipo de material, por lo que J no es tan

general en su aplicación como el factor de intensidad de esfuerzos.

CAPÍTULO I MECÁNICA CLÁSICA DE LA FRACTURA

FIGURA 1.8 Secuencia de carga-descarga típica.

1.10 EL DESPLAZAMIENTO DE ABERTURA DE GRIETA ( CTOD )

La extensión de la componente de deformación en la dirección normal al plano de fractura es

llamada desplazamiento de abertura de grietas o CTOD ( por sus siglas en inglés Crack Tip

Opening Displacement ) y depende básicamente de la magnitud de los esfuerzos en la punta de la grieta, como muestra la figura 1.9.

FIGURA 1.9 Aplicación del CTOD como criterio de fractura.