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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

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Academic year: 2018

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(1)

1

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Prof. V. Contreras T. FIME Sistemas de ecuaciones generales

Un sistema de n ecuaciones y n incógnitas se representa por:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2 ...

...

(1)

... n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

    

    

  

    

Donde

a

i j son los coeficientes,

x

j las incógnitas y bi los términos independientes, siendo 1 i n ; 1 j n.

A la matriz formada por los coeficientes:

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

Se llama matriz de coeficientes.

Si a la matriz de coeficientes le ampliamos una columna con los términos independientes, se forma la matriz:

11 12 1 1 21 22 2 2 *

1 2

n n

n n nn n

a

a

a

b

a

a

a

b

A

a

a

a

b

Que lo llamaremos matriz aumentada.

El sistema (1) se puede resolver en notación matricial por :

AXB donde

1 2

n

x

x

X

x

y

1 2

n

b

b

B

b

 

 

 

 

 

 

Para resolver un sistema de ecuaciones (1), recordemos tres transformaciones permitidas en la resolución de ecuaciones.

1) Un ecuación

E

i puede multiplicarse (dividirse) por cualquier constante k (distinta de cero). Obteniéndose otra ecuación equivalente a la 1era. Esta operación lo indicaremos por:

E

i

k E

i.

2) La ecuación

E

j puede multiplicarse por cualquier constante k y sumársela (restársela) a la ecuación

E

i obteniéndose una ecuación equivalente a ésta. Esta operación la indicaremos por:

E

i

E

i

kE

j.

(2)

2

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

Dado el sistema general (1), el método de eliminación de Gauss consiste en efectuar las transformaciones necesarias, hasta conseguir un sistema equivalente triangular de la forma:

* * * *

11 1 12 2 1 1

* * *

22 2 2 2

* *

...

...

(2)

n n n n

nn n n

a x

a x

a x

b

a x

a x

b

a x

b

 

Obtenido siempre que

a

ii* sea distinto de cero (elemento pivote) por la transformación:

* * ji

j j i

ii

a

E

E

E

a

Para cada j j 1 , j2 , ... , n

Efectuando en (2) sustitución regresiva de la última ecuación se obtiene:

*

*

(3)

n

n

n n

b

x

a

Sustituyendo en la n – 1 ecuación el valor de

x

n , se obtiene:

* *

1 1,

1 *

1, 1

n n n n

n

n n

b

a

x

x

a

 

 

Y continuando el proceso, llegamos a que :

* *

1

*

(4)

n

i ij j

j i i

ii

b

a x

x

a

 

Para i n 1 , n2, ..., 2,1.

Existe una variante del proceso anterior, que consiste en hacer que todos los pivotes sean iguales a uno, es decir,

(3)

3

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN

Dado el sistema general (1), el método de Gauss – Jordan consiste en realizar las transformaciones adecuadas, hasta conseguir un sistema equivalente de la forma:

* *

11 1 1

* *

22 2

* *

0 ... 0

... 0

(5)

i

nn n n

a x

b

a

x

b

a

x

b

 

 

 

 

Así las soluciones se obtienen directamente de cada ecuación es decir:

*

*

1, 2,...,

(6)

i

i i

ii

b

x

n

a

 

Este método tiene la ventaja respecto al método de Gauss, de evitar la sustitución regresiva y la desventaja de, requerir un mayor número de transformaciones.

ERRORES DE REDONDEO Y ALGUNAS ESTRATEGIAS DE PIVOTE

Cuando se apliquen los métodos de Gauss y Gauss – Jordan y se obtenga algún elemento pivote *

0

ji

a

será necesario intercambiar ecuaciones para proseguir con el algoritmo iniciado, pues bien, en la práctica no solamente es necesario intercambiar ecuaciones cuando

a

ii*

0

sino en otras muchas cosas, en los que se producen errores múltiples de redondeo al utilizar un número de dígitos limitados.

ESTRATEGIAS DE PIVOTE PARCIAL O PIVOTAMIENTO MÁXIMO DE COLUMNAS

Esta estrategia consiste en seleccionar siempre como elemento pivote el elemento de la misma columna (por debajo de la diagonal), que tenga mayor valor absoluto, e intercambiar las ecuaciones si fuera necesario, antes de realizar las transformaciones.

Ejemplo:

Los valores

x

1

x

2

1, 000

son la solución del sistema

1 2

1 2

1,133 5, 281 6, 414 24,14 1, 210 22,93

x x

x x

 

 

Empleando una aritmética de 4 dígitos resolver el sistema mediante: a) Método de Gauss

b) Método de Gauss con pivotamiento parcial.

Solución

a)

1,133

5, 281

6, 414

2

24,14

1

1,133

5, 281

6, 414

24,14

1, 210

22,93

E

1,133

E

0

113, 7

113,8

(4)

4

2 113,8 1, 001

113, 7

x  



1

6, 414

5, 281 1, 001

0,9956

1,133

x

b)

24.14

es mayor de bajo de diagonal  intercambiamos ecuaciones.

2 1

24,14

1, 210 22,93

1,133

24,14

1, 210 22,93

1,133

5, 281

6, 414

E

24,14

E

0

5,338

5,338

 

2

1

1

22,93

1, 210 1

1

24,14

x

x

ESTRATEGIAS DE PIVOTE ESCALADO DE COLUMNA En esta estrategia se sigue los siguientes pasos:

1er paso

Definir el factor de escala

S

i para cada ecuación lineal.

max

1, 2,...,

i ij

S

a

j

n

Si

S

i

0

para algún i entonces el sistema no tiene solución única y el procedimiento se detiene. 2do paso

El intercambiador apropiado de la ecuación lineal para obtener ceros en la 1era columna queda

determinado escogiendo el primer entero k con:

1

1,2,....,

max

k ji

j n

k j

a

a

S

S

Y realizando

E

1

E

k

El efecto de escalar consiste en asegurar que el elemento mayor de cada renglón tenga magnitud relativa de uno antes de que se empiece la comparación para el intercambio de renglones. El escalamiento tiene por objeto comparar, así que la división entre los factores de escala no produce un error de redondeo en un sistema.

Ejemplo:

Los valores

x

1

x

2

1, 000

son la solución del sistema.

1 2

1 2

113, 528,1 641, 4 24,14 1, 210 22,93

x x

x x

 

 

(5)

5

b) Método de Gauss con pivote escalado.

Solución

a) 113,3 528,1 641, 4 2 24,14 1 113,3 528,1 64,14

24,14 1, 210 22,93 E 113,3E 0 113,7 113,8

   

 

   



2

1

113,8

1, 001 113, 7

641, 4 528,1 1, 001

0,9956 113,3

x

x

 

 

b) 1

 

11 12

1,2

max ij max , max 113,3 , 528,1

j

S a a a

  

1

528,1

S

2 max 21 , 22 24,14

Sa a

Luego: 11 1

113,3

0, 2145 528,1

a

S  

21 2

24,14 1 24,14 a

S  

11 21 21

1 2

1 2 2

max a , a 1 a E E

S S S

 

   

 

 

k = 2

1 2

1 2

24,14

1, 210

22,93

113,3

528,1

641, 4

x

x

x

x

2 1

24,14

1, 210

22,93

113,3

24,14

1, 210

22,93

113,3

582,1

641, 4

E

24,14

E

0

533,8

533,8

 

1 2

22,93 1, 210 1

1 1

24,14

x x

   

Nota :

 Este método tiene utilidad en la minimización de los errores de redondeo en aquellos casos en los que algunas de las ecuaciones de un sistema tiene coeficientes mucho más grande que otros.

 Los

S

i se calculan solo por única vez al inicio del proceso y Luego se intercambia

de la misma forman que se intercambian las filas. Ejemplo:

Resuelva el sistema lineal usando el método de Gauss con pivoteo escalado

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2,11

4, 21

0,921

2, 01

4, 01

10, 2

1,12

3, 09

1, 09

0,987

0,832

4, 21

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

(6)

6

Solución

Los valores de

S

i son:

1 4, 21

SS2 10, 2 S3 1, 09 luego

31 31

11 21

1 3

1 2 3 3

2,11

4, 01 1, 09

max

,

,

max

,

,

4, 21

10, 2

1, 09

a

a

a

a

E

E

S

S

S

S

Luego los nuevos valores de

S

i son:

1

1, 09

S

S2 10, 2 S3 4, 21

1, 09

0,987

0,832

4, 21

4.01

10, 2

1,12

3, 09

2,11

4, 21 0,921

2, 01

2 1

3 1

4, 01 1, 09 2,11 1, 09

E E

E E

1, 09

0,987

0,832

4, 21

0

6,57

4,18

18, 6

0

6,12

0, 689

6,16

Ahora

32 32

22

2 3

2 3 3

6,57

6,12

max

,

max

,

10, 2

4, 21

a

a

a

E

E

S

S

S

1, 09

0,987

0,832

4, 21

0

6,12

0, 689

6,16

0

6,57

4,18

18, 6

3 1

6, 57 6,12

EE

1, 09

0,987

0,832

4, 21

0

6,12

0, 689

6,16

0

0

4,92

25,19

La solución del sistema es:

1

0, 435

x

 

x2 0, 430

x

3

5,12

PIVATAMIENTO TOTAL O MÁXIMO

Consiste en encontrar el elemento de máximo valor absoluto y elegido de pivote, intercambiador tanto ecuación como incógnitas si fuera necesario.

Ejemplo:

Los valores

x

1

x

2

1, 000

son las soluciones del sistema. 1 2

1 2

113.3

528,1

641, 4

24, 4

1, 210

22,93

x

x

x

x

Empleando una aritmética de 4 dígitos resolver el sistema mediante el método del pivotamiento total.

Solución

El máximo valor de los coeficientes de las variables

x

1 y

x

2 en valor absoluto es 528,1 entonces se ordena el sistema como sigue:

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

528,1 113,3 641, 4 528,1 113,3 641, 4 1, 210

1, 210 24,14 22,93 0 24, 40 24, 40 528,1

x x x x

x x E E x x

   

     

 

1 2 1 2

641, 4

113,3 1

1

1

1

1

528,1

x

x

x

x

(7)

7

FACTORIZACIÓN TRIANGULAR

Definición.- Diremos que una matriz A invertible admite una factorización triangular, si puede ser expresar como el producto de una matriz triangular inferior L (cuyos elementos diagonales son todos iguales a 1) y por una matriz triangular superior U, esto es:

(1)

A

LU

 

11 12 1 11 12 1

21

21 22 2 22 2

31 32

1 2 1

1 2

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

n n

n n

n n n n

n n nn nn

A L U

a

a

a

u

u

u

m

a

a

a

u

u

m

m

m

m

m

a

a

a

u

 

Donde:

ij ij

u

a

Si i = 1 y para j1, 2,3,...n

1 1

11 i i

a

m

u

Si j = 1 y para j2,3,...n

1

1 j

ij ik k j k

ij

j j

a

m u

m

U

Si

i

j

para i2,3,...,n

1

1 i

ij ij ik k j k

u

a

m u

Si

i

j

y para j2,3,...n

A este método de factorización se le conoce como el método de Doolittle.

La condición de que A sea invertible implica que Ukk 0, para todo k. La notación para los elementos de L es

m

ij en vez de

l

i j.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL

Supongamos que la matriz de los coeficientes A de un sistema lineal

A X

B

admite una factorización triangular como (1), entonces la solución de:

(2)

LUX

B

Puede obtenerse definiendo

Y

UX

y resolviendo dos sistemas lineales: Primero se halla Y en LYB y luego X en UXY.

Ejemplo:

(8)

8

3 0

3 3 9 16, 5 3 3 5 12, 5

x y z

x y z

x y z

        

Solución

Sea:

2

1 1

0

3

3

9

16, 5

3

3

5

12, 5

.

x

y

z

A

X

B

  

  

  

  

  

A = LU donde 21 31 32

1

0

0

1

0

1

L

m

m

m

 

11 12 13 22 23 33

0

0

0

U

U

U

U

U

U

U

 

11 11 2

U a

  

12 12

13 13

1

1

U

a

U

a

 

11 11 ij

a

m

U

si j = 1 para i = 2,3

21 21

11

3

1,5

2

a

m

U

 

31 31

11

3

1,5

2

a

m

U

 

1

1 j

ij ik kj k

ij

ij

a

m U

m

U

Si

i

j

para i = 2,3

  

1

32 3 2

1 32 31 12 32

22 22 22

3

1,5

1

4,5

1

4,5

j

k k k

a

m U

a

m U

m

U

U

U

22

?

U

1 1 i

ij ij ik kj

k

U a m U

(9)

9

  

1

22 22 2 2 22 21 12 22

1

3

1,5

1

4,5

4,5

k k k

U

a

m U

a

m U

U

 

 

  

1

23 23 2 3 23 21 13 1

9

1,5

1

7,5

k k k

U

a

m U

a

m U

 

 

     

2

33 33 3 3 33 31 13 32 23 1

5

1,5 1

1 7,5

k k k

U

a

m U

a

m U

m U

 

.

2 1 1 1 0 0 2 1 1

3 3 9 1,5 1 0 0 4,5 7,5 3 3 5 1,5 1 1 0 0 4

AL

 

    

    

    

   

    

U

AXB

LUX

B

, si

Y

UX

LY

B

; LYB 1

2 3

1

0

0

0

1,5 1

0

16,5

1,5 1

1

12,5

y

y

y

y

1

0

1 2 2

1 2 3 3

1,5 16,5 16,5

1,5 12,5 4

Y Y Y

Y Y Y Y

   

     

0

16, 5

4

Y

  

Luego:

2

1

1

0

0

4, 5

7, 5

16, 5

0

0

4

4

UX

Y

x

y

z

  

  

  

  

  

NORMAS DE MATRICES

1

1 max

n ij j i

A a

(máx. de suma de columnas)

1

max

n ij i j

A

a

(máx. de suma de filas)

2 1 1 m n

ij e

i j

A a

 

 

(Normas euclidiana)

2

0

0,5

4,5

7,5

16,5

2

4

4

1

x

y

z

x

y

z

y

z

z

  

 

 

(10)

10

VALORES PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y RADIO ESPECTRAL Sea A una matriz de orden n, el polinomio definido por:

P k

 

 

A KI

Se le llama polinomio característico de A.

Los ceros o raíces del polinomio característico se denominan valores propios o valores característicos de A. Así k es un valor propio de A si y solo si

P k

 

0

.

Sea k un valor propio de una matriz A llamaremos vector propio ó característico de la matriz A asociado al valor propio k, a todo vector u que verifique la ecuación:

A KI U

.

0

U

0

Se denomina radio espectral de una matriz A y se designa por

R A

 

a

R A

 

máx k

i , donde i

k

son los valores propios de A.

Diremos que una matriz es convergente si y solo si

R A

 

1

. Ejemplo:

Dadas las matrices:

2 1 1 2 A   

  y

2

1

0

1

2

0

0

0

3

B

 

a) Calcule los valores característicos y vectores propios de A y B b) ¿Son A y B convergentes?

Solución

i)

 

2

1

1

0

2

1

1

2

0

1

1

2

k

P k

A KI

k

k

 

  

2

1 2

2

1 0

1 2

1

3

P k

k

k

k

k

      

 

 

Valores propios

El vector propio de A asociado a: k11 es:

1 1

2 2

2 1

1

0

1

1

0

1

2 1

0

1

1

0

u

u

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 2 1 2

1 2

0

0

0

u

u

u

u

u

u

u

u

  

 

 

1

1 1

1

1

u

u

u

u

   

   

 

 

(11)

11

1 1 1 2

2 2 1 2

0

2 3

1

0

1

1

0

1

2 3

0

1

1

0

u

u

u

u

u

u

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

1

2 1

1

1

u

u

u

u

u

u

  

  

 

  

  

 

  

Un vector propio de A asociado a

k

2

3

es 1 1      

 

max 1 , 3

 

3 1

R A

  

A no es convergente.

ii)

 

2 1 0

1 2 0

0 0 3

k

P k B KI k

k

 

 

  

 

  

 

2

1 2

3 2 1 0 3 ; 1

P k k k k k

         (doble)

1

1 2 1 2

2

1 2 1 2

3

1

1

0

0

0

0

1

1 0

0

0

0

0

0

0

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

2 1 1 3

3 3

1

0

1

0

0

1

u

u

u

u

u

u

u

u

u

     

 

     

 

     

 

 

 

   

 

 

   

Los vectores

1

0

1

0

0

1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

son vectores propios asociados a

k

1

3

El vector propio de B asociado a

k

2

1

es : 1

2 3

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

2

0

u

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

1 2 2 1

1 2

3 3

0

0

0

2

0

0

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

 

 

 

 

 

1

1 1

1

1

0

0

u

u

u

u

  

  

  

  

 

  

  

. Un vector propio asociado a

k

2

1

es

1

1

0

 

 

 

 

 

 

max 1 , 3

3 1

(12)

12

MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEALES

En esta parte describiremos los métodos iterativos de Gauss-Seidel. Los métodos iterativos se usan en el caso de sistemas grandes con un alto porcentaje de elementos cero, son eficientes tanto en almacenamiento de computadora como en el tiempo de cómputo.

Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal AXB comienza con una aproximación inicial

X

(0) a la solución X se genera una sucesión de vectores

(

X

k

)

k0 que converja a X .

Método de iteración de Jacobi

Ejemplo: Sea el sistema:

4 7

* 4 8 21

2 5 15

x y z x y z

x y z

   

     

    

Resolver con un punto inicial

P

0

1, 2, 2

Solución

De * se tiene:

(1) 1 7 1 21 4 1 15 2

4 8 5

k k k k k k

k k k

y z x z x y

x    y    z   

0

1, 2, 2

P

Tabla 1

k

x

k yk

z

k

0 1 2 2

1 1,75 3,375 3

2 1,84375 3,875 3,025

19 2,00000 4,00000 3,0000

A este método se llama el Método Iterativo de Jacobi Algunas veces este método no funciona.

Ejemplo:

Reordenemos el sistema (*) como sigue:

2 5 15

4 8 2 21

4 7

x y z

x y

x y z    

      

Entonces

(2) 1 15 5

2

k k

k

y z

x    ; 1 21 4 8

k k

k

x z

(13)

13

Vemos que si empezamos con el punto

P

0

1, 2, 2

entonces el proceso (2) diverge (ver la siguiente tabla):

Tabla 2

k

x

k yk

z

k

0 1 2 2

1 -1,5 3,375 5

2 6,6875 2,5 16,375

6 502,62793 -124,929688 1202,56836

MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS – SEIDEL

Algunas veces podemos acelerar la convergencia, observemos que por el método iterativo de Jacobi (1) produce 3 sucesiones

 

x

k ,

 

y

k y

 

z

k que converge a (2, 4,3) (ver tabla 1).

Si consideramos en vez de (1) la siguiente aproximación

(3) 1 1 1 1 1 1

7

21 4

15 2

;

;

4

8

5

k k k k k k

k k k

y

z

x

z

x

y

x

 

Y

z

Vemos que si empezamos con

P

0

1, 2, 2

entonces el proceso iterativo (3) converge a la solución (2,4,3) más rápidamente que en el método de Jacobi.

k

x

k yk

z

k

0 1,0 2,0 2,0

1 1,75 3.75 2,95

2 1,95 3,96875 2,98625

10 2,0000 4,0000 3,0000

Definición:

Se dice que una matriz A de orden

n n

es de diagonal estrictamente dominante cuando:

1 N

kk kj

j j k

a

a

 

para k = 1,2,... N

Ejemplo:

En el sistema (*) A es de diagonal estrictamente diagonal , pues :

11 22 33

4 1 1 2

8 4 1 5

5 2 1 3

a a a

    

    

(14)

14

TEOREMA DE ITERACIÓN DE JACOBI

Supongamos que

A

es una matriz de diagonales estrictamente dominante. Entonces el sistema de ecuaciones lineales

AX

B

, tiene solución única

X

P

. Además el proceso iterativo dado por la fórmula:

1 1

1 1 1 1 1 1

1

...

...

k k k k

j j ji j jj j JN N

k j

jj

b

a x

a

x

a

x

a

x

x

a

 

   

Para j = 1,2,... N

Produce una sucesión convergente

 

P

k que converge cualquiera que sea el vector de partida P0.

En el primer ejemplo, en el sistema:

4 7

4 8 21

2 5 15

x y z

x y z

x y z

         

La matriz

4

1 1

4

8 1

2

1

5

A

es de diagonal estrictamente dominante entonces por el teorema

anterior el sistema AXB tiene solución única. Nótese que el proceso iterativo produce una sucesión

1 1 1

7

21 4

15 2

,

,

,

,

4

8

5

k k k k k k

k k k

y

z

x

z

x

y

x

y

x

 

que converge a P = (2,4,3) cualquiera que fuera el punto de partida.

MÉTODO DE ITERACIÓN DE GAUSS SEIDEL

La resolución de un sistema lineal AXB mediante la generación de una sucesión

 

1 1 1 1

1k

,

2k

, ...,

k

,....,

k

k j N

P

x

x

x

x

Donde:

1

1 1 1 1

1

...

....

k k k

j j jj j jN N

k j

jj

b

a x

a

x

a

x

x

a

 

 

Para j = 1,2,..., N

Que converge a la solución x = P a partir de un punto inicial

P

0, se llama Método Iterativo de Gauss Seidel. Una condición suficiente para que el método sea aplicable es que A sea de diagonal estrictamente dominante.

Ejemplo

Aplique el método de Gauss Seidel para obtener la solución exacta del sistema.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6

2

15

6

3

6

9

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

(15)

15

Solución

Recordemos las ecuaciones para que la matriz de coeficientes sea estrictamente diagonal

dominante

3 1 ,

1, 2,3

ij ij i

j j i

a

a

 

 

.

11 12 13

;

22 21 23

;

33 31 32

a

a

a

a

a

a

a

a

a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6

9

6

2

15

6

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1 2 3

1 9 6

k k k

xx x

   

1 1

2 1 3

1

15 2

6

k k k

x   x   x

1 1 1

3 1 2

1 3 6

k k k

x     x  x  Consideremos x0 

0, 0, 0

k

0 1 2 3 4 5

1

x

- 1,5 0,938 1,008 0,999 1

2

x

0 2,25 1,969 2,004 2,000 2

3

x

0 1,125 0,985 1,002 1,000 1

 Han sido necesarios 5 iteraciones para obtener la solución exacta :

1 1 2 2 3 1

xxx  .

A fin de estudiar la convergencia de los métodos generales de iteración, consideremos la fórmula:

( )k (k 1)

XT X  C para cada k1, 2,3... donde

X

(0) es arbitrario.

Teorema. Para cualquier

X

(0)

n, la sucesión (Xk)k1 definida por ( )k (k 1)

XT X  C, para cada k1, 2,3... converge a la solución única de XT XC si y solo sí

R T

 

1

. La rapidez de convergencia de un procedimiento depende del radio espectral de la matriz relacionada con el método, por ello una forma de seleccionar un procedimiento que acelere la convergencia consiste en seleccionar un método cuya matriz asociada tenga radio espectral mínima.

MÉTODO DE REFINAMIENTO ITERATIVO

DEFINICIÓN. Supongamos que n

(16)

16

Sea el sistema AXB. Resolviendo por el método de Gauss simple, se obtendrá una solución X k . A continuación, se calcula el valor residual de dicha aproximación mediante la expresión:

 

k

 

k

r

 

B

AX

Luego se resuelve por Gauss el sistema: Ayr, obteniendo así como solución:

y

 k . Finalmente, se obtiene la nueva aproximación por la expresión: X k1 Y kX k llamada fórmula de refinamiento iterativo.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema, mediante el método de refinamiento iterativo. 3,9 1, 6 5,5

6,8 2,9 9, 7

x y

x y

 

 

Utilizando dos cifras significativos redondeando en los cálculos. Solución

2 1

3,9

1, 6

5,5

6,8

3,9

1, 6

5,5

6,8

2,9 9, 7

E

3,9

E

0

0, 2

0,3

0,3

1,5

0, 2

y

  

5,5

1, 6 1,5

0, 79

3,9

x

 1 0, 79 1,5

x  

 

 

 

1

 

1

 

1

5,5

3,9

1, 6

0, 79

5,5

5,5

9, 7

6,8

2,9

9, 7

9, 7

9,8

r

 

B

AX

r

 

 





 

 

 

 

 



 

 

 

1

0

0,1

r

 

Ahora resolvamos:

2 1

3,9 1, 6 0 6,8 3,9 1, 6 0 6,8 2,9 0,1 3,9 0 0, 2 0,1

Ay rEE

 

   

1, 6



0,5

3,9 0, 21 x

x

 

 

0, 21 '

0,5

y  

 

(17)

17

 

2

 

1

 

1

0, 79

0, 21

1

 

2

1

1,5

0,5

1

1

x

x

y

 

  

x

 

 

  

 

 

  

 

 

2

 

2

5,5

3,9

1, 6

1

0

9, 7

6,8

2,9

1

0

r

 

B

AX

 

 

   

   

 

   

 La solución es:

1

1

X

  

 

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dado el siguiente sistema:













8

.

304

235923

.

954

.

8

237

.

9

235789

0005

.

0

2 1

x

x

resolverlo, usando

Eliminación Gaussiana: simple, con Pivoteo Parcial, Escalonada y con pivoteo tota. Con una aritmética de cuatro dígitos.

2. Hallar el vector X , si:

                                                                         2 3 2 0 1 1 . 1 3 2 1 0 2 1 3 2 0 1 3 2 1 0 1 3 2 4 0 2 1 0 1 3 1 2 1 1 0 4 3 2 1 1 0 6 5 4 3 2 1 z z z z z z y si

aplicando Eliminación Gaussiana con Pivoteo total.

3. Dada la matriz:

3

1

1

1

1

1

1

3

2

A

a) Descomponer por medio del Método de Doolittle. b) Hallar: A-1.

c) Calcular las normas:

A

1,

A

,

A

e.

d) Hallar los valores y vectores propios de A. Es convergente A?. e) Resolver el sistema: A X. 

6 4 5

T

4. Resolver el Sistema:

20

.

4

.

08

.

0

.

04

.

0

9

.

15

.

0

.

3

.

09

.

0

8

.

08

.

0

.

24

.

0

.

4

3 2 1 3 2 1 3 2 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

mediante el Método Iterativo de Gauss-Seidel, realizando los cálculos con dos decimales redondeados y hasta que se cumpla que: 1

0

.

01

  r i r i

x

x

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 2 3 4 1 1

2 0 1 1 2 3 1 2 3 2 1 3

. 4 1 2 3 2 1 0 1 1 2 2 0 1 0 1 2 2 1

(18)

18

5. Resolver el sistema:

8 .

3 .

12

61 .

9 .

4 .

4

51 .

3 .

7

3 2

1

3 2

1

3 2

1

 

 

  

x x

x

x x

x

x x

x

mediante el Método Iterativo de Gauss-Seidel, realizando los cálculos con dos cifras significativas y hasta que se cumpla: 1

0

.

05

  r

i r

i

x

x

6. Resolver el sistema mediante Refinamiento Iterativo, utilizando dos cifras significativas redondeadas en los cálculos:

7 . 9 .

9 . 2 .

8 . 6

5 . 5 .

6 . 1 .

9 . 3

 

 

y x

y x

7. Una empresa necesita 4800 unidades del material A, 5810 unidades del material B y 5690 unidades del material C para la construcción de un determinado proyecto. Existen en la actualidad tres localizaciones donde se pueden obtener esos materiales. La composición en cada localización, en porcentaje, viene dada por la siguiente tabla:

Material Localización A B C

1 52 30 18 2 20 50 30 3 25 20 55

Cuántas unidades de cada material se deben elegir en cada localización para cumplir con las necesidades de la empresa?.

8. Resolver los siguientes sistemas lineales utilizando el método de eliminación de Gauss

1 2

2

3 4

8

x

x

x

x

 

……….

E

1

1 2 3 4

2

x

2

x

3

x

3

x

 

20

……..…….

E

2

1 2 3

2

x

x

x

 

………..

E

3

1 2

4

3

3

4

4

x

x

x

x

……….

E

4

9. Resolver la ecuación lineal aplicando el método de Doolittle

1 3

1 2 3

1 2 3

4

2

6

3

3

5

5

x

x

x

x

x

x

x

x

 

10.Resolver la ecuación lineal aplicando el método de Doolittle

1 2 4

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

3

4

2

1

3

2

3

2

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

(19)

19

1.41 2 1 1.41 1 2 1.41 1

x y x y z

y z

  

  

 

Haciendo uso del método de eliminación Gausina , con las estrategias de: a) Pivote Parcial

b) Pivote Escalonado

12. a) Demostrar que 1 1 1 4 2

0

0

A

 

no es convergente, pero

1 2

2 1

2

0

16

A

 

.

b) Encontrar los valores característicos y vectores propios

13.Resolver el sistema por el método de Jacobi

1 2 1 2 3 2 3 4 3 4

4

1

4

1

4

1

4

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

14.Resolver el siguiente sistema

10

3

5

2

10

3

1

3

2

10

2

x

y

z

x

y

z

x

y

z

 

15.Resolver el sistema del ejemplo anterior a través del método de Gauss – Seidel 1 2

1 2 3

2 3 4

3 4

4

1

4

1

4

1

4

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

16.Resolver el sistema lineal

1 2 3

3

1

0

1

1 3 1

1

0

2

3

0

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, con

x

 0

0

Referencias

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