1
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Prof. V. Contreras T. FIME Sistemas de ecuaciones generales
Un sistema de n ecuaciones y n incógnitas se representa por:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2 ...
...
(1)
... n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Donde
a
i j son los coeficientes,x
j las incógnitas y bi los términos independientes, siendo 1 i n ; 1 j n.A la matriz formada por los coeficientes:
11 12 1
21 22 2
1 2
n n
n n nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
Se llama matriz de coeficientes.
Si a la matriz de coeficientes le ampliamos una columna con los términos independientes, se forma la matriz:
11 12 1 1 21 22 2 2 *
1 2
n n
n n nn n
a
a
a
b
a
a
a
b
A
a
a
a
b
Que lo llamaremos matriz aumentada.
El sistema (1) se puede resolver en notación matricial por :
AX B donde
1 2
n
x
x
X
x
y
1 2
n
b
b
B
b
Para resolver un sistema de ecuaciones (1), recordemos tres transformaciones permitidas en la resolución de ecuaciones.
1) Un ecuación
E
i puede multiplicarse (dividirse) por cualquier constante k (distinta de cero). Obteniéndose otra ecuación equivalente a la 1era. Esta operación lo indicaremos por:
E
i
k E
i.2) La ecuación
E
j puede multiplicarse por cualquier constante k y sumársela (restársela) a la ecuaciónE
i obteniéndose una ecuación equivalente a ésta. Esta operación la indicaremos por:E
i
E
i
kE
j.2
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSSDado el sistema general (1), el método de eliminación de Gauss consiste en efectuar las transformaciones necesarias, hasta conseguir un sistema equivalente triangular de la forma:
* * * *
11 1 12 2 1 1
* * *
22 2 2 2
* *
...
...
(2)
n n n n
nn n n
a x
a x
a x
b
a x
a x
b
a x
b
Obtenido siempre que
a
ii* sea distinto de cero (elemento pivote) por la transformación:
* * ji
j j i
ii
a
E
E
E
a
Para cada j j 1 , j2 , ... , n
Efectuando en (2) sustitución regresiva de la última ecuación se obtiene:
*
*
(3)
nn
n n
b
x
a
Sustituyendo en la n – 1 ecuación el valor de
x
n , se obtiene:
* *
1 1,
1 *
1, 1
n n n n
n
n n
b
a
x
x
a
Y continuando el proceso, llegamos a que :
* *
1
*
(4)
n
i ij j
j i i
ii
b
a x
x
a
Para i n 1 , n2, ..., 2,1.
Existe una variante del proceso anterior, que consiste en hacer que todos los pivotes sean iguales a uno, es decir,
3
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDANDado el sistema general (1), el método de Gauss – Jordan consiste en realizar las transformaciones adecuadas, hasta conseguir un sistema equivalente de la forma:
* *
11 1 1
* *
22 2
* *
0 ... 0
... 0
(5)
i
nn n n
a x
b
a
x
b
a
x
b
Así las soluciones se obtienen directamente de cada ecuación es decir:
*
*
1, 2,...,
(6)
i
i i
ii
b
x
n
a
Este método tiene la ventaja respecto al método de Gauss, de evitar la sustitución regresiva y la desventaja de, requerir un mayor número de transformaciones.
ERRORES DE REDONDEO Y ALGUNAS ESTRATEGIAS DE PIVOTE
Cuando se apliquen los métodos de Gauss y Gauss – Jordan y se obtenga algún elemento pivote *
0
jia
será necesario intercambiar ecuaciones para proseguir con el algoritmo iniciado, pues bien, en la práctica no solamente es necesario intercambiar ecuaciones cuandoa
ii*
0
sino en otras muchas cosas, en los que se producen errores múltiples de redondeo al utilizar un número de dígitos limitados.ESTRATEGIAS DE PIVOTE PARCIAL O PIVOTAMIENTO MÁXIMO DE COLUMNAS
Esta estrategia consiste en seleccionar siempre como elemento pivote el elemento de la misma columna (por debajo de la diagonal), que tenga mayor valor absoluto, e intercambiar las ecuaciones si fuera necesario, antes de realizar las transformaciones.
Ejemplo:
Los valores
x
1
x
2
1, 000
son la solución del sistema1 2
1 2
1,133 5, 281 6, 414 24,14 1, 210 22,93
x x
x x
Empleando una aritmética de 4 dígitos resolver el sistema mediante: a) Método de Gauss
b) Método de Gauss con pivotamiento parcial.
Solución
a)
1,133
5, 281
6, 414
224,14
11,133
5, 281
6, 414
24,14
1, 210
22,93
E
1,133
E
0
113, 7
113,8
4
2 113,8 1, 001113, 7
x
1
6, 414
5, 281 1, 001
0,9956
1,133
x
b)
24.14
es mayor de bajo de diagonal intercambiamos ecuaciones.2 1
24,14
1, 210 22,93
1,133
24,14
1, 210 22,93
1,133
5, 281
6, 414
E
24,14
E
0
5,338
5,338
2
1
1
22,93
1, 210 1
1
24,14
x
x
ESTRATEGIAS DE PIVOTE ESCALADO DE COLUMNA En esta estrategia se sigue los siguientes pasos:
1er paso
Definir el factor de escala
S
i para cada ecuación lineal.
max
1, 2,...,
i ij
S
a
j
n
Si
S
i
0
para algún i entonces el sistema no tiene solución única y el procedimiento se detiene. 2do pasoEl intercambiador apropiado de la ecuación lineal para obtener ceros en la 1era columna queda
determinado escogiendo el primer entero k con:
1
1,2,....,
max
k ji
j n
k j
a
a
S
S
Y realizando
E
1
E
kEl efecto de escalar consiste en asegurar que el elemento mayor de cada renglón tenga magnitud relativa de uno antes de que se empiece la comparación para el intercambio de renglones. El escalamiento tiene por objeto comparar, así que la división entre los factores de escala no produce un error de redondeo en un sistema.
Ejemplo:
Los valores
x
1
x
2
1, 000
son la solución del sistema.1 2
1 2
113, 528,1 641, 4 24,14 1, 210 22,93
x x
x x
5
b) Método de Gauss con pivote escalado.Solución
a) 113,3 528,1 641, 4 2 24,14 1 113,3 528,1 64,14
24,14 1, 210 22,93 E 113,3E 0 113,7 113,8
2
1
113,8
1, 001 113, 7
641, 4 528,1 1, 001
0,9956 113,3
x
x
b) 1
11 12
1,2
max ij max , max 113,3 , 528,1
j
S a a a
1
528,1
S
2 max 21 , 22 24,14
S a a
Luego: 11 1
113,3
0, 2145 528,1
a
S
21 2
24,14 1 24,14 a
S
11 21 21
1 2
1 2 2
max a , a 1 a E E
S S S
k = 2
1 2
1 2
24,14
1, 210
22,93
113,3
528,1
641, 4
x
x
x
x
2 1
24,14
1, 210
22,93
113,3
24,14
1, 210
22,93
113,3
582,1
641, 4
E
24,14
E
0
533,8
533,8
1 2
22,93 1, 210 1
1 1
24,14
x x
Nota :
Este método tiene utilidad en la minimización de los errores de redondeo en aquellos casos en los que algunas de las ecuaciones de un sistema tiene coeficientes mucho más grande que otros.
Los
S
i se calculan solo por única vez al inicio del proceso y Luego se intercambiade la misma forman que se intercambian las filas. Ejemplo:
Resuelva el sistema lineal usando el método de Gauss con pivoteo escalado
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2,11
4, 21
0,921
2, 01
4, 01
10, 2
1,12
3, 09
1, 09
0,987
0,832
4, 21
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
Solución
Los valores de
S
i son:1 4, 21
S S2 10, 2 S3 1, 09 luego
31 31
11 21
1 3
1 2 3 3
2,11
4, 01 1, 09
max
,
,
max
,
,
4, 21
10, 2
1, 09
a
a
a
a
E
E
S
S
S
S
Luego los nuevos valores de
S
i son:1
1, 09
S
S2 10, 2 S3 4, 211, 09
0,987
0,832
4, 21
4.01
10, 2
1,12
3, 09
2,11
4, 21 0,921
2, 01
2 1
3 1
4, 01 1, 09 2,11 1, 09
E E
E E
1, 09
0,987
0,832
4, 21
0
6,57
4,18
18, 6
0
6,12
0, 689
6,16
Ahora
32 32
22
2 3
2 3 3
6,57
6,12
max
,
max
,
10, 2
4, 21
a
a
a
E
E
S
S
S
1, 09
0,987
0,832
4, 21
0
6,12
0, 689
6,16
0
6,57
4,18
18, 6
3 16, 57 6,12
E E
1, 09
0,987
0,832
4, 21
0
6,12
0, 689
6,16
0
0
4,92
25,19
La solución del sistema es:
1
0, 435
x
x2 0, 430x
3
5,12
PIVATAMIENTO TOTAL O MÁXIMOConsiste en encontrar el elemento de máximo valor absoluto y elegido de pivote, intercambiador tanto ecuación como incógnitas si fuera necesario.
Ejemplo:
Los valores
x
1
x
2
1, 000
son las soluciones del sistema. 1 21 2
113.3
528,1
641, 4
24, 4
1, 210
22,93
x
x
x
x
Empleando una aritmética de 4 dígitos resolver el sistema mediante el método del pivotamiento total.
Solución
El máximo valor de los coeficientes de las variables
x
1 yx
2 en valor absoluto es 528,1 entonces se ordena el sistema como sigue:2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
528,1 113,3 641, 4 528,1 113,3 641, 4 1, 210
1, 210 24,14 22,93 0 24, 40 24, 40 528,1
x x x x
x x E E x x
1 2 1 2
641, 4
113,3 1
1
1
1
1
528,1
x
x
x
x
7
FACTORIZACIÓN TRIANGULARDefinición.- Diremos que una matriz A invertible admite una factorización triangular, si puede ser expresar como el producto de una matriz triangular inferior L (cuyos elementos diagonales son todos iguales a 1) y por una matriz triangular superior U, esto es:
(1)
A
LU
11 12 1 11 12 1
21
21 22 2 22 2
31 32
1 2 1
1 2
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
n n
n n
n n n n
n n nn nn
A L U
a
a
a
u
u
u
m
a
a
a
u
u
m
m
m
m
m
a
a
a
u
Donde:
ij ij
u
a
Si i = 1 y para j1, 2,3,...n1 1
11 i i
a
m
u
Si j = 1 y para j2,3,...n1
1 j
ij ik k j k
ij
j j
a
m u
m
U
Sii
j
para i2,3,...,n1
1 i
ij ij ik k j k
u
a
m u
Sii
j
y para j2,3,...nA este método de factorización se le conoce como el método de Doolittle.
La condición de que A sea invertible implica que Ukk 0, para todo k. La notación para los elementos de L es
m
ij en vez del
i j.SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL
Supongamos que la matriz de los coeficientes A de un sistema lineal
A X
B
admite una factorización triangular como (1), entonces la solución de:(2)
LUX
B
Puede obtenerse definiendo
Y
UX
y resolviendo dos sistemas lineales: Primero se halla Y en LYB y luego X en UX Y.Ejemplo:
8
3 0
3 3 9 16, 5 3 3 5 12, 5
x y z
x y z
x y z
Solución
Sea:
2
1 1
0
3
3
9
16, 5
3
3
5
12, 5
.
x
y
z
A
X
B
A = LU donde 21 31 32
1
0
0
1
0
1
L
m
m
m
11 12 13 22 23 33
0
0
0
U
U
U
U
U
U
U
11 11 2
U a
12 12
13 13
1
1
U
a
U
a
11 11 ij
a
m
U
si j = 1 para i = 2,321 21
11
3
1,5
2
a
m
U
31 31
11
3
1,5
2
a
m
U
1
1 j
ij ik kj k
ij
ij
a
m U
m
U
Sii
j
para i = 2,3
1
32 3 2
1 32 31 12 32
22 22 22
3
1,5
1
4,5
1
4,5
j
k k k
a
m U
a
m U
m
U
U
U
22
?
U
1 1 i
ij ij ik kj
k
U a m U
9
1
22 22 2 2 22 21 12 22
1
3
1,5
1
4,5
4,5
k k k
U
a
m U
a
m U
U
1
23 23 2 3 23 21 13 1
9
1,5
1
7,5
k k k
U
a
m U
a
m U
2
33 33 3 3 33 31 13 32 23 1
5
1,5 1
1 7,5
k k k
U
a
m U
a
m U
m U
.
2 1 1 1 0 0 2 1 1
3 3 9 1,5 1 0 0 4,5 7,5 3 3 5 1,5 1 1 0 0 4
A L
U
AX B
LUX
B
, siY
UX
LY
B
; LY B 12 3
1
0
0
0
1,5 1
0
16,5
1,5 1
1
12,5
y
y
y
y
1
0
1 2 2
1 2 3 3
1,5 16,5 16,5
1,5 12,5 4
Y Y Y
Y Y Y Y
0
16, 5
4
Y
Luego:
2
1
1
0
0
4, 5
7, 5
16, 5
0
0
4
4
UX
Y
x
y
z
NORMAS DE MATRICES
1
1 max
n ij j i
A a
(máx. de suma de columnas)1
max
n ij i j
A
a
(máx. de suma de filas)2 1 1 m n
ij e
i j
A a
(Normas euclidiana)2
0
0,5
4,5
7,5
16,5
2
4
4
1
x
y
z
x
y
z
y
z
z
10
VALORES PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y RADIO ESPECTRAL Sea A una matriz de orden n, el polinomio definido por:
P k
A KI
Se le llama polinomio característico de A.
Los ceros o raíces del polinomio característico se denominan valores propios o valores característicos de A. Así k es un valor propio de A si y solo si
P k
0
.Sea k un valor propio de una matriz A llamaremos vector propio ó característico de la matriz A asociado al valor propio k, a todo vector u que verifique la ecuación:
A KI U
.
0
U
0
Se denomina radio espectral de una matriz A y se designa por
R A
aR A
máx k
i , donde ik
son los valores propios de A.Diremos que una matriz es convergente si y solo si
R A
1
. Ejemplo:Dadas las matrices:
2 1 1 2 A
y
2
1
0
1
2
0
0
0
3
B
a) Calcule los valores característicos y vectores propios de A y B b) ¿Son A y B convergentes?
Solución
i)
2
1
1
0
2
1
1
2
0
1
1
2
k
P k
A KI
k
k
21 2
2
1 0
1 2
1
3
P k
k
k
k
k
Valores propiosEl vector propio de A asociado a: k11 es:
1 1
2 2
2 1
1
0
1
1
0
1
2 1
0
1
1
0
u
u
u
u
1 2 1 2 1 2
1 2
0
0
0
u
u
u
u
u
u
u
u
1
1 1
1
1
u
u
u
u
11
1 1 1 2
2 2 1 2
0
2 3
1
0
1
1
0
1
2 3
0
1
1
0
u
u
u
u
u
u
u
u
1 1
1
2 1
1
1
u
u
u
u
u
u
Un vector propio de A asociado a
k
2
3
es 1 1
max 1 , 3
3 1
R A
A no es convergente.ii)
2 1 0
1 2 0
0 0 3
k
P k B KI k
k
2
1 2
3 2 1 0 3 ; 1
P k k k k k
(doble)
1
1 2 1 2
2
1 2 1 2
3
1
1
0
0
0
0
1
1 0
0
0
0
0
0
0
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
1 1
2 1 1 3
3 3
1
0
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Los vectores
1
0
1
0
0
1
y
son vectores propios asociados a
k
1
3
El vector propio de B asociado a
k
2
1
es : 12 3
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
2
0
u
u
u
1 2
1 2 2 1
1 2
3 3
0
0
0
2
0
0
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
1
1 1
1
1
0
0
u
u
u
u
. Un vector propio asociado a
k
2
1
es1
1
0
max 1 , 3
3 112
MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEALES
En esta parte describiremos los métodos iterativos de Gauss-Seidel. Los métodos iterativos se usan en el caso de sistemas grandes con un alto porcentaje de elementos cero, son eficientes tanto en almacenamiento de computadora como en el tiempo de cómputo.
Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal AX B comienza con una aproximación inicial
X
(0) a la solución X se genera una sucesión de vectores(
X
k)
k0 que converja a X .Método de iteración de Jacobi
Ejemplo: Sea el sistema:
4 7
* 4 8 21
2 5 15
x y z x y z
x y z
Resolver con un punto inicial
P
0
1, 2, 2
SoluciónDe * se tiene:
(1) 1 7 1 21 4 1 15 2
4 8 5
k k k k k k
k k k
y z x z x y
x y z
0
1, 2, 2
P
Tabla 1
k
x
k ykz
k0 1 2 2
1 1,75 3,375 3
2 1,84375 3,875 3,025
19 2,00000 4,00000 3,0000
A este método se llama el Método Iterativo de Jacobi Algunas veces este método no funciona.
Ejemplo:
Reordenemos el sistema (*) como sigue:
2 5 15
4 8 2 21
4 7
x y z
x y
x y z
Entonces
(2) 1 15 5
2
k k
k
y z
x ; 1 21 4 8
k k
k
x z
13
Vemos que si empezamos con el punto
P
0
1, 2, 2
entonces el proceso (2) diverge (ver la siguiente tabla):Tabla 2
k
x
k ykz
k0 1 2 2
1 -1,5 3,375 5
2 6,6875 2,5 16,375
6 502,62793 -124,929688 1202,56836
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS – SEIDEL
Algunas veces podemos acelerar la convergencia, observemos que por el método iterativo de Jacobi (1) produce 3 sucesiones
x
k ,
y
k y
z
k que converge a (2, 4,3) (ver tabla 1).Si consideramos en vez de (1) la siguiente aproximación
(3) 1 1 1 1 1 1
7
21 4
15 2
;
;
4
8
5
k k k k k k
k k k
y
z
x
z
x
y
x
Y
z
Vemos que si empezamos con
P
0
1, 2, 2
entonces el proceso iterativo (3) converge a la solución (2,4,3) más rápidamente que en el método de Jacobi.k
x
k ykz
k0 1,0 2,0 2,0
1 1,75 3.75 2,95
2 1,95 3,96875 2,98625
10 2,0000 4,0000 3,0000
Definición:
Se dice que una matriz A de orden
n n
es de diagonal estrictamente dominante cuando:1 N
kk kj
j j k
a
a
para k = 1,2,... NEjemplo:
En el sistema (*) A es de diagonal estrictamente diagonal , pues :
11 22 33
4 1 1 2
8 4 1 5
5 2 1 3
a a a
14
TEOREMA DE ITERACIÓN DE JACOBISupongamos que
A
es una matriz de diagonales estrictamente dominante. Entonces el sistema de ecuaciones linealesAX
B
, tiene solución únicaX
P
. Además el proceso iterativo dado por la fórmula:1 1
1 1 1 1 1 1
1
...
...
k k k k
j j ji j jj j JN N
k j
jj
b
a x
a
x
a
x
a
x
x
a
Para j = 1,2,... N
Produce una sucesión convergente
P
k que converge cualquiera que sea el vector de partida P0.En el primer ejemplo, en el sistema:
4 7
4 8 21
2 5 15
x y z
x y z
x y z
La matriz
4
1 1
4
8 1
2
1
5
A
es de diagonal estrictamente dominante entonces por el teorema
anterior el sistema AX B tiene solución única. Nótese que el proceso iterativo produce una sucesión
1 1 1
7
21 4
15 2
,
,
,
,
4
8
5
k k k k k k
k k k
y
z
x
z
x
y
x
y
x
que converge a P = (2,4,3) cualquiera que fuera el punto de partida.
MÉTODO DE ITERACIÓN DE GAUSS SEIDEL
La resolución de un sistema lineal AX B mediante la generación de una sucesión
1 1 1 1
1k
,
2k, ...,
k,....,
kk j N
P
x
x
x
x
Donde:
1
1 1 1 1
1
...
....
k k k
j j jj j jN N
k j
jj
b
a x
a
x
a
x
x
a
Para j = 1,2,..., N
Que converge a la solución x = P a partir de un punto inicial
P
0, se llama Método Iterativo de Gauss Seidel. Una condición suficiente para que el método sea aplicable es que A sea de diagonal estrictamente dominante.Ejemplo
Aplique el método de Gauss Seidel para obtener la solución exacta del sistema.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6
2
15
6
3
6
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
15
SoluciónRecordemos las ecuaciones para que la matriz de coeficientes sea estrictamente diagonal
dominante
3 1 ,
1, 2,3
ij ij i
j j i
a
a
.11 12 13
;
22 21 23;
33 31 32a
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6
9
6
2
15
6
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1 2 3
1 9 6
k k k
x x x
1 1
2 1 3
1
15 2
6
k k k
x x x
1 1 1
3 1 2
1 3 6
k k k
x x x Consideremos x0
0, 0, 0
k
0 1 2 3 4 51
x
- 1,5 0,938 1,008 0,999 12
x
0 2,25 1,969 2,004 2,000 23
x
0 1,125 0,985 1,002 1,000 1 Han sido necesarios 5 iteraciones para obtener la solución exacta :
1 1 2 2 3 1
x x x .
A fin de estudiar la convergencia de los métodos generales de iteración, consideremos la fórmula:
( )k (k 1)
X T X C para cada k1, 2,3... donde
X
(0) es arbitrario.Teorema. Para cualquier
X
(0)
n, la sucesión (Xk)k1 definida por ( )k (k 1)X T X C, para cada k1, 2,3... converge a la solución única de XT X C si y solo sí
R T
1
. La rapidez de convergencia de un procedimiento depende del radio espectral de la matriz relacionada con el método, por ello una forma de seleccionar un procedimiento que acelere la convergencia consiste en seleccionar un método cuya matriz asociada tenga radio espectral mínima.MÉTODO DE REFINAMIENTO ITERATIVO
DEFINICIÓN. Supongamos que n
16
Sea el sistema AX B. Resolviendo por el método de Gauss simple, se obtendrá una solución X k . A continuación, se calcula el valor residual de dicha aproximación mediante la expresión:
k
kr
B
AX
Luego se resuelve por Gauss el sistema: Ayr, obteniendo así como solución:
y
k . Finalmente, se obtiene la nueva aproximación por la expresión: X k1 Y k X k llamada fórmula de refinamiento iterativo.Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema, mediante el método de refinamiento iterativo. 3,9 1, 6 5,5
6,8 2,9 9, 7
x y
x y
Utilizando dos cifras significativos redondeando en los cálculos. Solución
2 1
3,9
1, 6
5,5
6,8
3,9
1, 6
5,5
6,8
2,9 9, 7
E
3,9
E
0
0, 2
0,3
0,3
1,5
0, 2
y
5,5
1, 6 1,5
0, 79
3,9
x
1 0, 79 1,5
x
1
1
15,5
3,9
1, 6
0, 79
5,5
5,5
9, 7
6,8
2,9
9, 7
9, 7
9,8
r
B
AX
r
10
0,1
r
Ahora resolvamos:
2 1
3,9 1, 6 0 6,8 3,9 1, 6 0 6,8 2,9 0,1 3,9 0 0, 2 0,1
Ay r E E
1, 6
0,5
3,9 0, 21 x
x
0, 21 '
0,5
y
17
2
1
10, 79
0, 21
1
21
1,5
0,5
1
1
x
x
y
x
2
25,5
3,9
1, 6
1
0
9, 7
6,8
2,9
1
0
r
B
AX
La solución es:
1
1
X
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dado el siguiente sistema:
8
.
304
235923
.
954
.
8
237
.
9
235789
0005
.
0
2 1x
x
resolverlo, usando
Eliminación Gaussiana: simple, con Pivoteo Parcial, Escalonada y con pivoteo tota. Con una aritmética de cuatro dígitos.
2. Hallar el vector X , si:
2 3 2 0 1 1 . 1 3 2 1 0 2 1 3 2 0 1 3 2 1 0 1 3 2 4 0 2 1 0 1 3 1 2 1 1 0 4 3 2 1 1 0 6 5 4 3 2 1 z z z z z z y si
aplicando Eliminación Gaussiana con Pivoteo total.
3. Dada la matriz:
3
1
1
1
1
1
1
3
2
A
a) Descomponer por medio del Método de Doolittle. b) Hallar: A-1.
c) Calcular las normas:
A
1,A
,A
e.d) Hallar los valores y vectores propios de A. Es convergente A?. e) Resolver el sistema: A X.
6 4 5
T4. Resolver el Sistema:
20
.
4
.
08
.
0
.
04
.
0
9
.
15
.
0
.
3
.
09
.
0
8
.
08
.
0
.
24
.
0
.
4
3 2 1 3 2 1 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
mediante el Método Iterativo de Gauss-Seidel, realizando los cálculos con dos decimales redondeados y hasta que se cumpla que: 1
0
.
01
r i r i
x
x
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 2 3 4 1 12 0 1 1 2 3 1 2 3 2 1 3
. 4 1 2 3 2 1 0 1 1 2 2 0 1 0 1 2 2 1
18
5. Resolver el sistema:8 .
3 .
12
61 .
9 .
4 .
4
51 .
3 .
7
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
mediante el Método Iterativo de Gauss-Seidel, realizando los cálculos con dos cifras significativas y hasta que se cumpla: 1
0
.
05
r
i r
i
x
x
6. Resolver el sistema mediante Refinamiento Iterativo, utilizando dos cifras significativas redondeadas en los cálculos:
7 . 9 .
9 . 2 .
8 . 6
5 . 5 .
6 . 1 .
9 . 3
y x
y x
7. Una empresa necesita 4800 unidades del material A, 5810 unidades del material B y 5690 unidades del material C para la construcción de un determinado proyecto. Existen en la actualidad tres localizaciones donde se pueden obtener esos materiales. La composición en cada localización, en porcentaje, viene dada por la siguiente tabla:
Material Localización A B C
1 52 30 18 2 20 50 30 3 25 20 55
Cuántas unidades de cada material se deben elegir en cada localización para cumplir con las necesidades de la empresa?.
8. Resolver los siguientes sistemas lineales utilizando el método de eliminación de Gauss
1 2
2
3 48
x
x
x
x
……….E
11 2 3 4
2
x
2
x
3
x
3
x
20
……..…….E
21 2 3
2
x
x
x
………..E
31 2
4
33
44
x
x
x
x
……….E
49. Resolver la ecuación lineal aplicando el método de Doolittle
1 3
1 2 3
1 2 3
4
2
6
3
3
5
5
x
x
x
x
x
x
x
x
10.Resolver la ecuación lineal aplicando el método de Doolittle
1 2 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
3
4
2
1
3
2
3
2
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
19
1.41 2 1 1.41 1 2 1.41 1
x y x y z
y z
Haciendo uso del método de eliminación Gausina , con las estrategias de: a) Pivote Parcial
b) Pivote Escalonado
12. a) Demostrar que 1 1 1 4 2
0
0
A
no es convergente, pero1 2
2 1
2
0
16
A
.b) Encontrar los valores característicos y vectores propios
13.Resolver el sistema por el método de Jacobi
1 2 1 2 3 2 3 4 3 4
4
1
4
1
4
1
4
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14.Resolver el siguiente sistema
10
3
5
2
10
3
1
3
2
10
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
15.Resolver el sistema del ejemplo anterior a través del método de Gauss – Seidel 1 2
1 2 3
2 3 4
3 4
4
1
4
1
4
1
4
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
16.Resolver el sistema lineal
1 2 3
3
1
0
1
1 3 1
1
0
2
3
0
x
x
x
, con