Ecuación de primer grado

Unidad 5

Ecuaciones

Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• Resolverá ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita usando las propiedades de la igualdad.

• Resolverá ecuaciones de segundo grado con una incógnita utilizando la fórmula general.

• Resolverá ecuaciones que involucren números complejos. • Resolverá ecuaciones con radicales.

Introducción

E

l álgebra está íntimamente relacionada con el estudio de las ecuaciones y en la práctica son muchos los problemas que se modelan y se resuelven a través de una ecuación. En la Antigüedad, los babilónicos ya hacían álgebra; sin embargo, la notación, o sea, la forma como ellos expresaban sus desarrollos dista mucho de la usada en la actualidad.

Uno de los grandes problemas fue que el alfabeto aún no había sido inventado, por lo cual en esos tiempos no podían utilizarse letras para representar las incógnitas y, en su lugar, usaban pequeños símbolos. Las primeras ecuaciones se deben a Diofanto, quien utilizó de letras para representar las incógnitas.

Es conveniente mencionar que la palabra “álgebra” se deriva del término árabe al–jabr que significa “unir”. En la Edad Media un algebrista era un “pega– huesos” o bien alguien que resolvía ecuaciones.

En esta unidad revisaremos los distintos tipos de ecuaciones, iniciando desde la ecuación de primer grado con una incógnita (el caso más simple) pasando por la ecuación de segundo grado con una incógnita incrementando la complejidad al adicionar radicales; finalmente resolveremos sistemas de ecuaciones de primer grado que involucren otras variables.

5.1. Ecuaciones lineales

Una ecuación (del latín acquare que significa “igualar”) es una igualdad que involucra variables; es, dicho de esta manera, un enunciado que asegura la igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es aquella en donde el exponente de cada una de las variables es 1. Tiene la forma general:

1 1 2 2 3 3 n n

1, 2,..., n

a a a _{se llaman} coeficientes; x x1, 2,...,xn se llaman variables

(incógnitas). La b se llama término independiente.

Una ecuación entera de primer grado es una ecuación lineal donde los coeficientes y el término independiente son números enteros. Finalmente, cuando el número de variables no es muy grande, se acostumbra utilizar las últimas letras del alfabeto: x, y ó z

Ejemplo 1

a) –4x= 8 es una ecuación entera de primer grado con una incógnita “ x”. El coeficiente de x es –4 y el término independiente es 8.

b) 3x+2y= −5 es una ecuación entera de primer grado con dos incógnitas: “x” y “y”. El coeficiente de x es 3, el de y es 2 y el término independiente es –5.

c) –7x + 9y + 6z = –1 es una ecuación entera de primer grado con tres incógnitas: “x” , “y” y “z”. El coeficiente de x es –7, el de y es 9, el de z

es 6 y el término independiente es

–1.

5.1.1. Propiedades de la igualdad

La igualdad es una relación entre los números reales que tiene las siguientes propiedades:

Sean a, b, c, x números reales, entonces:

1.Propiedad simétrica

a = x es lo mismo que x = a, por ejemplo: –10 = x es lo mismo que

x = –10

2. Propiedad transitiva

3. Si a = b,entonces a + c = b + c , por ejemplo: 3 = 2 + 1, 3 + 2 = (2 + 1) + 2.

4. Si a = b, entonces a – c = b – c , por ejemplo: 3 = 2 + 1, 3 – 1 = (2 + 1) – 1.

5. Si a = b, entonces (a)(c) = (b)(c) , por ejemplo: 3 = 2 + 1, (3)(2) = (2 + 1)(2).

6. Si a = b y x≠0, entonces a b

x = x , por ejemplo: 3 = 2 + 1,

3 2 1

2 2

+ =

Cuando se encuentran todos los valores reales que pueden tomar las variables de tal forma que se satisface la igualdad, entonces se ha encontrado la solución de la ecuación, y sólo entonces puede decirse que la ecuación está resuelta.

Ejemplo 2

x = –2 es solución de 3x – 2 = 7x + 6, ya que:

3(–2) –2 = 7(–2) +6 –6 – 2 = –14+6 –8 = –8

5.1.2. Solución de ecuaciones lineales

Se llaman ecuaciones lineales a las ecuaciones con una sola variable cuyo exponente es 1.

1. Eliminación de paréntesis. Si hay, suprimimos todos los niveles de paréntesis que aparezcan de adentro hacia fuera y resolviendo las operaciones indicadas.

2. Eliminación de denominadores. Si hay, suprimimos todos los denominadores multiplicando por el m.c.m.(de los denominadores) en ambos lados de la ecuación.

3. Agrupación de términos semejantes. Colocamos las expresiones con la variable en un lado de la igualdad y las expresiones numéricas en el otro lado.

4. Despeje de la variable. Despejamos la variable aplicando las propiedades de la igualdad obteniendo así la solución.

5. Comprobación. Si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir, si aparece una identidad verdadera.

6. Otros. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que es igual a cero para algún valor de x, quizá la ecuación resultante no equivalga a la original.

Ejemplo 3

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 6x− =7 2x+5

Como no tiene paréntesis ni denominadores, procedemos a “pasar” los términos con la variable x a un lado de la igualdad y los términos numéricos del otro lado; reducimos términos semejantes y despejamos la variable obteniendo así la solución.

6 7 2 5

6 2 5 7

4 12 12 4

x x

x x x

x

− = +

− = +

b)

(

8x−2 3

)(

x+ =4

) (

4x+3 6

)(

x−1

)

En este caso tenemos paréntesis, por lo que procedemos a realizar las operaciones indicadas para eliminarlos, de este modo nos queda una ecuación sin paréntesis la cual procedemos, como en el caso anterior, a encontrar la solución.

2 2

(8 2)(3 4) (4 3)(6 1)

24 32 6 8 24 4 18 3

26 14 3 8

12 5 5 12

x x x x

x x x x x x

x x

x

x

− + = + −

+ − − = − + −

− = − +

= =

c)

3 2 2 3 5x− =4 x+

En este caso se tienen denominadores de los dos lados de la igualdad, procedemos a multiplicar cada uno de los lados por el denominador logrando así una ecuación sin denominadores, a continuación, procedemos a resolverla como en los casos anteriores.

3 2

2 3

5 4

3 2

5 2 4 3

5 4

3 10 2 12

3 2 12 10

22

x x

x x

x x

x x x

− = +

 ₋ ₌  ₊ 

   

   

− = +

− = +

=

d)

3 2 3 4

5 2

x− − x =

(

) (

)

3 2 3 4

5 2

3 2 3 4

10 10

5 2

2 3 2 5 3 4 6 4 15 20 6 20 15 4 26 19

19 26

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

− ₌ −

− −

 ₌  

   

   

− = −

− = −

+ = +

= =

Ejercicio 1

Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.

1.

6x− + =2 4 18 9− x+24

2.

3 4

(

x+ − =9

)

9 31x+4 16

(

+x

)

3.

3 8 7 5 2

4 2 3 3

x

x+ − = x+ − x

4.

(

5x+2 8

)

(

x− =4

) (

4x−7 10

)(

x+9

)

5.

2 1 2

3 4

5.1.3. Solución de ecuaciones lineales con variable en el denominador

Cuando se tienen ecuaciones donde la variable se encuentra en el

denominador, como en 3 2

x = , es necesario definir un nuevo concepto llamado

valor prohibido. Éste se define como el conjunto de valores que no pueden ser

asumidos por la variable, ya que la división entre 0 no está permitida.

Para determinar los valores prohibidos de una ecuación, se iguala a cero el denominador y se despeja la variable.

Ejemplo 4

Determina los valores prohibidos de las siguientes ecuaciones:

a)

5 3

x =

En este caso, al igualar el denominador a cero, obtenemos el valor prohibido: x = 0

b)

2 2

5 7

x− =

Para determinar el valor prohibido se iguala a cero el denominador y se despeja la variable:

5 0 5

x x

− = =

Por lo tanto, el valor prohibido para esta ecuación es 5

c) 3 2

3 2 1

x+ = x−

3 0 2 1 0 1 3

2

x x

x x

+ = − =

= − =

Por lo tanto, los valores prohibidos para esta ecuación son –3 y 1

2

Ahora procederemos a determinar la solución de una ecuación cuya variable se encuentra en el denominador. Ésta no debe coincidir con el valor prohibido, ya que en este caso, la ecuación no tendrá solución.

Para determinar la solución de este tipo de ecuaciones lo primero será quitar la variable del denominador “pasándola” del otro lado de la igualdad multiplicando, posteriormente se despejará la variable.

Determinemos la solución de las ecuaciones que se plantearon en el Ejemplo 4.

Ejemplo 5

a)

5 3

x =

5 5

3 5 3

3

x x

x = ⇒ = ⇒ =

Como es diferente al valor prohibido x = 0, la solución de la ecuación es

5 3

x= .

b)

2 2

5 7

x− =

En este caso se requiere quitar los denominadores para lo cual se “pasan” multiplicando al otro lado de la igualdad y después despejar la variable para determinar la solución.

2 2

5 7

x− =

( )

(

)

2 7 2 5

14 2 10

14 10 2 24 2

24 12 2

x x

x x

x

= −

= −

+ =

=

= =

Como es diferente al valor prohibido x=5, la solución de la ecuación es

12

x=

c) 3 2

3 2 1

x+ = x−

Primero se quitan los denominadores y posteriormente se procede a resolver la ecuación

3 2

3 2 1

3(2 1) 2( 3)

6 3 2 6

6 2 6 3

4 9

9 4

x x

x x

x x

x x x

x =

+ −

− = +

− = +

− = +

= =

Como este valor es distinto de los valores prohibidos –3 y 1

2, 9 4

Ejercicio 2

Resuelve las siguientes ecuaciones lineales con variable en el denominador y determina su valor prohibido.

1. 2 3

2x+1= −7

2. 2 1

3x+1= x

3. 8 5

5x−4 =3x−1

4. 1 4

5 4

x x

x x

+ ₌ +

− −

5. 1 2

3− =x x−4

5.2. Ecuaciones cuadráticas

En este apartado estudiaremos las ecuaciones cuadráticas, llamadas también

ecuaciones de segundo grado, de gran importancia puesto que son la representación analítica de curvas tan importantes como: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola (cónicas) que posteriormente se estudiarán.

Una ecuación de segundo grado o una ecuación cuadrática es una ecuación que, después de haberse simplificado al máximo, puede tomar la forma general

2

ax +bx+c=0 donde a, b y c son números reales con la única restricción de que

a

≠

0 ya que, de lo contrario, la expresión _ax2_{+bx+c se convertiría en bx+c y}

perdería su naturaleza cuadrática; x es la variable de la ecuación, a es el coeficiente del término cuadrático x2, b el coeficiente del término lineal x y c es el termino independiente.

5.2.1. Solución de ecuaciones cuadráticas

Considerando la ecuación cuadrática de la forma _ax2_{+ bx + c = 0, a}

continuación realizaremos la deducción de la fórmula general, la cual permitirá encontrar las raíces o soluciones de cualquier ecuación cuadrática y la naturaleza de las mismas.

Se inicia a partir de la ecuación _ax2_{+ bx + c = 0}

Restando c en ambos miembros tenemos _ax2_{+ bx = –c}

Tomando como factor el coeficiente de 2

x en el primer miembro obtenemos

2 b

a x x c

a

 ₊ _{= −}

 

 

Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2

b b b

a x x c a

a a a

b b b

a x x c a

a a a

 _{  }  _{  } + + = − +  _ _{ } _{ }_  _ _{ } _{ }_      _{+ + } _{= − +  }  _ _  _ _  

Dividiendo ambos miembros entre a:

2 2

2

2 2

b b c b

x x

a a a a

 _{+ +}   −_{= +} 

 _ _  _ _

 

Factorizando el primer miembro y realizando las operaciones en el segundo: 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4

b c b

x

a a a

b ac b

x a a −  ₊  _{= +}          − +  ₊  ₌    

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros y despejando x

2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 4 4 2 2 4 2

b ac b

x

a a

b b ac

x

a a

b b ac

x

a a

b b ac

x a − + + = ± − = − ± − = − ± − ± − =

De aquí obtenemos dos soluciones de la ecuación cuadrática

2

ax + bx + c = 0:

2 1 2 2 4 2 4 2

b b ac

x

a

b b ac

x a − + − = − − − =

A la expresión

2 ₄

2

b b ac

x

a

− ± −

= se le denomina fórmula general para resolver la ecuación general de segundo grado.

Ejemplo 6

Aplica la fórmula general para resolver la ecuación _187x2 −₅₇= −_158x

Escribiendo la ecuación en su forma estándar obtenemos

2

187x +158x−57=0

Determinando los valores de a, b y c se tiene a = 187, b = 158, c = –57. Aplicando la fórmula general:

2

158 (158) 4(187)( 57) 2(187)

158 24964 42636 374

− ± +

=

1

1

158 260 102 51

158 67600 158 260 374 374 187

158 260 418 19

374 374

374 374 17

x

x

− +

= = =

− ± − ±

= = ⇒ _{− −}

= = − =

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 187x2 +158x−57=0 son

y

3 19

11 −17

La expresión en la fórmula que se encuentra dentro de la raíz b2 −4ac

se conoce como discriminante y determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.

• Si el discriminante b2 −4ac es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

• Si el discriminante _b2 −_{4aces cero, la ecuación tiene dos soluciones}

reales iguales.

• Si el discriminante b2 −4aces negativo, la ecuación tiene dos soluciones complejas distintas.

Ejemplo 7

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) x2 −6x= −9

Primero se pone la ecuación en su forma estándar: _x2 −_6x+ =_{9 0}

Se identifican los valores de las variables: a = 1; b = –6; c = 9

( ) ( )

( )( )

( )

2 2 4 2

6 6 4 1 9

2 1

6 36 36 6 0 6

3

2 2 2

b b ac

x a x x − ± − = − − ± − − = ± − ± = = = =

Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales: x = 3

b) _x2 + =_{6 5x}

Primero se pone la ecuación en su forma estándar: _x2 −_5x+ =_{6 0}

Se identifican los valores de las variables: a = 1; b = –5; c = 6

Se sustituyen en la fórmula general, se realizan las operaciones y se determinan las soluciones:

( ) ( )

( )( )

( )

2 2 1 2 4 2

5 5 4 1 6

2 1

5 25 24

2

5 1 3

5 1 5 1 2

5 1

2 2

2 2

b b ac

x a x x x x x − ± − = − − ± − − = ± − = + = = ± ± = = ⇒ − = =

Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales

diferentes: 1

c) _2x2 =_9x−₆

Primero se pone la ecuación en su forma estándar: _2x2 −_9x+ =_{6 0}

Se identifican los valores de las variables: a = 2; b = –9; c = 6

Se sustituyen en la fórmula general, se realizan las operaciones y se determinan las soluciones:

( ) ( )

( )( )

( )

2

2

1

2

4 2

2 2 4 2 6

2 2

2 4 48 2 44

4 4

2 2 11 1 11

2 2 11 4 4 2 2

4 _{2 2 11 1 11}

4 4 2 2

b b ac

x

a

x

x

i i

x i x

i i

x

− ± −

=

− ± −

=

− ± − − ± −

= =

= − + = − +

− ±

= ⇒

= − − = − −

Como el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos soluciones

complejas conjugadas: 1 11

2 2

i

− + y 1 11

2 2

i = − −

Ejercicio 3

Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general.

1. −_5x2 +_3x+ =_{9 0}

2. _16x2−_9x− =_{1 0}

3. _3x2−_2x− =_{1 0}

5.3. Solución de ecuaciones con una incógnita que contengan números

complejos

En este apartado se determinará el procedimiento para resolverecuaciones que contengan números complejos. Una vez que se conoce cómo realizar las operacionesbásicasconnúmeroscomplejos, la tarea es sencilla.

Ejemplo 8

a) Consideralaecuación(3 + 2i)x + 8ix + 4 = 0

Tenemos dos números complejos que acompañan a la variable x. Estos números se pueden sumarde acuerdo conelálgebra delosnúmeroscomplejos ysimplificar.Entonces,la ecuación queda como:

[(3 + 2i) + (0 + 8i) ]x + 4 = 0, que se puede escribir como:

(3 + 10i)x + 4 = 0

Por último despejamos x de la siguiente manera: restamos 4 a cada miembrode la ecuación para obtener la siguiente ecuación:

(3+10i)x = –4

y luego dividimos el complejo (3+10i) para obtener:

4 3 10

x

i − =

+

Multiplicando por el conjugado del denominador tenemos:

4 3 10 12 40

3 10 3 10 9 100

12 40 12 40

109 109 109

i i

x

i i

i

x i

− − − +

= ⋅ =

+ − +

− + −

= = +

Agrupamos los términos que tienen una variable x en el primer miembro de la ecuación y a los que no la tienen en el segundo:

(2 + i)x + (4 + 2i)x = (1 + 3i) – (2 + 4i), factorizamos a la variable x:

x[(2 + i) + (4 + 2i)] = (1 + 3i) – (2 + 4i)

y sumamos los números complejos

(6 + 3i)x = (–1 – i)

Ahora despejamos x y hacemos las operaciones para llegar a lo siguiente:

1 6 3

1 6 3 9 3

6 3 6 3 18 9

9 3 1 1

27 3 9

i x

i

i i i

x

i i

i

x i

− − =

+

− − − − −

= ⋅ =

+ − +

− −

= = − −

Ejercicio 4

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. (1 + 3i)x = 5

2. (1 + 2i)x + (4 + 3i)x – (5 + 2i) = 0 3. (1 + i)x + (4 + 6i) = (3 + 5i)x + (2 – 5i)

5.4. Ecuaciones con radicales

Existen otros tipos de ecuaciones como x+ =5 6 ó x2 + −8 2x =3

que aún no sabemos resolver. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones con radicales

Para resolverlas se siguen los siguientes pasos:

1. Se despeja uno de los radicales.

2. Se elevan ambos miembros de la ecuación a una potencia igual a la del índice del radical, así desaparecerá dicha raíz.

3. Si quedan radicales se repite el proceso siguiendo los pasos 1 y 2. 4. Se resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo 9

a) Resuelve la ecuación 5x− =6 8

Primero, como el radical ya está despejado, elevemos al cuadrado toda la expresión

2 2

( 5 6) (8) 5 6 64

x x

− =

− =

Resolvemos la ecuación lineal resultante:

5 6 64 5 70

70 5 14

x x

x

x − = = = =

b) Resuelve la ecuación x2 −5x − +x 3x =0

Primero despejamos uno de los radicales:

2 _{5 3}

x − x = −x x,

2 2 2

2 2

( 5 ) ( 3 )

5 2 3 3

x x x x

x x x x x x

− = −

− = − +

Simplificando los términos semejantes:

2 ₅ 2 _{2 3 3}

5 3 2 3

8 2 3

x x x x x x

x x x x

x x x

− = − +

− − = −

− = −

Para despejar el segundo radical se requiere introducir al mismo el factor 2x que lo está multiplicando, para ello se eleva al cuadrado y se multiplica por 3x dentro del radical

( )

2 3

2 3 8

2 3 8

12 8

x x x

x x x

x x

= = =

y elevando al cuadrado

( )

3 2 3 2 3 2 3 2 12 8

( 12 ) 8

12 64

12 64 0

x x x x x x x x = = = − =

Resolviendo la ecuación se tiene que la solución es:

(

)

y 16 y = 3 2 2

4 3 16 0

4 0 3 16 0

0 x x x x x x − = = − = =

c) Resuelve la ecuación

Primero despejamos al radical quitando denominadores

(

)

2

5

4 8 32

3 −x = x − x+ ,

elevando al cuadrado los dos lados de la expresión:

(

)

2 2 2

2 2

5

4 ( 8 32)

3 25

(4 ) 8 32

9

x x x

x x x

 ₋  _{= − +}

 

 

− = − +

Realizando las operaciones indicadas se llega a la ecuación:

(

)

2 2

2 2 2 2 2 2 2 25

4 8 32

9 25

(16 8 ) 8 32

9

400 200 25

8 32

9 9 9

112 128 16

0,

9 9 9

16 128 112 0

8 7 0

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x − = − + − + = − + − + = − + − + = − + = − + =

cuyas soluciones se pueden determinar mediante la fórmula general:

2 _{4 8 64 4(1)(7)}

2 2(1)

b b ac x a ± − − ± − = = obteniendo

Ejercicio 5

Resuelve las ecuaciones:

1. _3x2 − =_{4 4x}

2. 2 _{6 2}

x + x = +x x

3. x − =4 8x−1

5.5. Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método algebraico

Hasta ahora sólo hemos encontrado la solución de ecuaciones con una sola variable, ¿cuál será la solución de una ecuación lineal con dos o más variables?

Consideremos la ecuación lineal con dos variables de la forma ax + by = c;

si despejamos una de las variables, por ejemplo y obtendremos:

ax by c

a c

y x

b b

+ =

= − +

De aquí que para cada valor que demos a la variable x obtendremos uno para y, así tendremos una infinidad de parejas (x, y) donde y es de la forma

a c

y x

b b

−

= + que satisfacen la ecuación ax + by = c

Generalizando podemos decir que una ecuación lineal con dos o más variables puede tener muchas soluciones, así que el conjunto de todas las soluciones de la ecuación se denomina conjunto solución y cuando éste se determina se dice que se ha resuelto la ecuación.

Ejemplo 10

a) Obtén el conjunto solución de la ecuación 3x₁ – 5x₂ = 7

Para obtener el conjunto solución se despeja una de las variables en función de todas las demás.

Despejando a x₁ se tiene:

2 1

7 5 3

x x = +

La variable despejada, x₁, dependerá del valor que tenga la variable x₂, llamada libre o independiente. Una variable es libre cuando puede asumir cualquier valor real que es independiente del valor de las otras variables. En este caso x₂ es la variable libre, mientras que x₁ no lo es.

Para representar al conjunto solución es conveniente introducir otra variable, t, llamada parámetro. El parámetro se iguala a la variable libre y el conjunto solución será:

x₂ = t y 1

7 5 3

t x = + ,

donde t es cualquier número real.

Los pares de números que son solución de la ecuación lineal, se pueden obtener asignándole valores al parámetro t. Por ejemplo, si t = 1, entonces se obtiene los valores

1

7 5(1) 12 4

3 3

x = + = = y x₂ = 1,

que es solución a la ecuación 3x₁ – 5x₂ = 7, ya que: 3(4) – 5(1) = 12 – 5 = 7

b) Determina el conjunto solución de x₁ – x₂ + 6x₃ = 2

Despejando la primera variable, x₁, en términos de las otras, se tiene que

x₂ y x₃ serán las variables libres

x₁ = 2 + x₂ – 6x₃

x₂ = s,x₃ = t y x₁ = 2 + s – 6t

Donde s y t son números reales cualesquiera. Una solución numérica se obtiene sustituyendo un valor para s y otro para t en las relaciones anteriores. Por ejemplo, sea s = 2 y t = –1, entonces una solución a la ecuación lineal es:

x₂ = 2, x₃ = –1 y x₁ = 2 + 2 – 6(–1) = 4 + 6 = 10

Verificando que la terna (10, 2, –1) es solución de la ecuación x₁ – x₂ + 6x₃ = 2, se tiene:

10 – 2 + 6(–1) = 8 – 6 = 2, por lo tanto, sí es solución.

Pero si en vez de tener una ecuación lineal con más de una variable se tienen varias y se busca obtener el conjunto solución que satisfaga a todas las ecuaciones simultáneamente, entonces se tiene un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de ecuaciones cuya característica es que cada una de ellas es lineal en las mismas variables

a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+...+a_1nx_n=b₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+...+a_2nx_n=b₂ a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+...+a_3nx_n=b₃

...

a_m1x₁+a_m2x₂+a_m3x₃+...+a_mnx_n=b_m

y donde los números a_mn son números reales.

Al igual que cuando se tenía sólo una ecuación lineal, los sistemas de ecuaciones lineales también tienen soluciones.

Así, el sistema de ecuaciones lineales:

3x₁ + 4x₂ = 2 7x₁ + 11x₂ = 3, tiene como una solución

x₁ = 2 y x₂ = –1,

ya que al sustituir estos valores en las ecuaciones anteriores se obtiene: 3(2) + 4(–1) = 6 – 4 = 2

7(2) + 11(–1) = 14 – 11 = 3

Sin embargo, los valores x₁ = 1/3 y x₂ = 1/4 no son soluciones del sistema de ecuaciones, ya que, aunque satisfacen a la primera ecuación, no cumplen con la segunda.

¿Cómo encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones? Para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables existen varios métodos, por ejemplo:

5.5.1. Método por igualación

Para ilustrar este método resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones

x₁ + 4x₂ = 4

x₁ –7x₂ = –18

Se elige y despeja una incógnita en las ecuaciones, por ejemplo si se despeja

x₁ en ambas ecuaciones:

x₁ = 4 – 4x₂ x₁ = –18 + 7x₂

Enseguida se igualan los dos valores de x₁ y se obtiene la siguiente ecuación:

4 – 4x₂ = –18 + 7x₂

Agrupando los términos con x₂ de un lado de la ecuación y los términos restantes del otro lado queda de la siguiente manera:

4 + 18 = 4x₂ + 7x₂

Haciendo las sumas se tiene:

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones en las que se despejó x₁, por ejemplo en la primera, se obtiene:

x₁ = 4 – 4(2) = 4 – 8 = –4, por lo que la solución al sistema es:

x₁ = –4 y x₂ = 2

5.5.2. Método por sustitución

Encontremos la solución del siguiente sistema:

x₁ + 5x₂ = 6 3x₁ – 7x₂ = –4

usando el método de sustitución. Para esto, despejemos la variable x₁ de la primera ecuación y tenemos:

x₁ = 6 – 5x₂

y ahora sustituyamos x₁ en la segunda ecuación 3(6 – 5x₂) – 7x₂ = –4

donde sólo tenemos una ecuación de primer grado con una incógnita, x₂. Despejando x₂ para obtener:

(

2

)

2

2 2

2 2

2

2

3 6 5 7 4

18 15 7 4

15 7 4 18

22 22

22 1 22

x x

x x

x x

x

x

− − = −

− − = −

− − = − −

− = −

−

= =

−

Ahora, para encontrar el valor de la otra variable, sustituimos el valor de x₂

en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la primera

x₁ + 5(1) = 6 Se obtiene:

x₁ = 1 Por lo que la solución al sistema es:

5.5.3. Método por reducción

Para ilustrar este método encontremos las soluciones al siguiente sistema: 2x₁ + 9x₂ = 7

–x₁ + 4x₂ = 5

Este método consiste en igualar los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. En este caso elegimos a x₁ y, para esto, multiplicamos por 2 la segunda ecuación:

2(–x₁ + 4x₂) = 2(5) Por lo que obtenemos:

–2x₁ + 8x₂ = 10

Ahora, como los coeficientes de x₁ en el sistema de ecuaciones son iguales con signo contrario:

2x₁ + 9x₂ = 7 –2x₁ + 8x₂ = 10 sumando las dos ecuaciones se obtiene:

0 + 17x₂ = 17 y despejando x₂ se llega a:

x₂ = 17/17 = 1

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la primera, se llega a:

2x₁ + 9(1) = 7 Despejando a x₁ se llega a:

x₁ = –2/(2) = –1, Por lo que la solución al sistema es:

x₁ = –1 y x₂ = 1

5.5.4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables e infinitas

soluciones

3x₁ + 2x₂ = 1 –6x₁ – 4x₂ = –2

Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por 2 para obtener el sistema de ecuaciones:

6x₁ + 4x₂ = 2 –6x₁ – 4x₂ = –2 Ahora, sumando las dos ecuaciones se obtiene:

0x₁ + 0x₂ = 0

La ecuación 0x₁ + 0x₂ = 0 es la igualdad 0 = 0, esto es, tenemos un sistema de ecuaciones que al multiplicar una de ellas por un número obtenemos la otra; en efecto, si multiplicaramos la primera ecuación por –2 se obtendría:

–2(3x₁ + 2x₂) = –2(1) –6x₁ – 4x₂ = –2,

que es la segunda ecuación dada. Cuando se tiene este tipo de sistemas, en los que una ecuación se obtiene multiplicando o sumando las demás, se dice que se tiene un sistema de ecuaciones con una infinidad de soluciones.

En nuestro caso, las soluciones al sistema son las mismas de cualquiera de las dos ecuaciones, por lo tanto obtendremos el conjunto de soluciones de manera paramétrica.

Despejamos x₁ de la primera ecuación:

2 1

1 2 3

x x = −

y hacemos x₂ igual al parámetro t, de lo que el conjunto solución es:

x₂ = t y 1

1 2 3

t x = −

5.5.5. Sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución

También existen sistemas de ecuaciones que no tienen ninguna solución, por ejemplo tratemos de encontrar las soluciones del sistema:

Para esto utilizaremos el método de sustitución; primero despejamos x₁ de la primera ecuación:

x₁ = 3 + 2x₂

Y la sustituimos en la segunda:

–2(3 + 2x₂) + 4x₂ = 9 Realizando las operaciones indicadas:

–6 – 4x₂ + 4x₂ = 9 y sumando los términos semejantes:

–6 = 9 que es un absurdo.

Recordemos que en el ejemplo anterior se llegó a una igualdad 0 = 0 y el sistema tenía una infinidad de soluciones. ¿Qué pasa cuando se llega a un absurdo?

La respuesta es que el sistema no tiene solución, cuando esto sucede se dice que son inconsistentes.

Los sistemas de ecuaciones lineales se dividen en:

a) Consistentes.

i) Pueden tener sólo una solución.

ii) Pueden tener infinidad de soluciones. Las soluciones son paramétricas.

b) Inconsistentes. Sin solución.

A dos o más sistemas de ecuaciones que tienen un mismo conjunto solución, les llamaremos sistemas equivalentes.

Así, en el método de reducción se tenía el sistema original: 2x₁ + 9x₂ = 7

–x₁ + 4x₂ = 5

Los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, ya que ambos tienen como única solución x₁ = –1 y x₂ = 1, la comprobación es la siguiente:

Sustituyendo los valores en el primer sistema: 2(–1) + 9(1) = –2 + 9 = 7

–(–1) + 4(1) = 1 + 4 = 5

Por lo tanto, sí es solución del primer sistema y en el segundo sistema también es solución, entonces los sistemas son equivalentes.

2(–1) + 9(1) = –2 + 9 = 7 –2(–1) + 8(1) = 2 + 8 = 10

5.5.6. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Como caso especial de los sistemas de ecuaciones, se va a revisar la situación en donde se tienen 3 ecuaciones con tres incógnitas.

Ejemplo 11

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 5y + 2z = 195………(1) 4x + 6y + 2z = 200………(2) 4x + 5y + 3z = 190………(3)

Se va a utilizar el método de reducción, por lo que para iniciar se toman las ecuaciones 1 y 2 con la finalidad de eliminar la variable x, por lo que se multiplican los coeficientes invertidos:

–4(5x + 5y + 2z = 195), con lo que se tiene –20x – 20y – 8z = –780 5(4x + 6y + 2z = 200), de la misma manera 20x + 30y + 10z = 1000 y realizando la suma algebraica de las dos ecuaciones obtenidas tenemos una nueva ecuación:

Para continuar con el proceso tomamos ahora las ecuaciones 2 y 3 para eliminar también a x:

–(4x + 6y + 2z = 200), con lo que se tiene –4x – 6y – 2z = –200

4x + 5y + 3z = 190, como ya se tiene el 4 se queda igual 4x + 5y + 3z = 190 Realizando pues la suma algebraica de las dos ecuaciones obtenidas tenemos una nueva ecuación:

–y + z = –10 ……….. (5)

Ahora, juntando las ecuaciones 4 y 5 llevamos a cabo el mismo proceso: 10y + 2z = 220 analizando, ésta se queda igual 10y + 2z = 220 10(–y + z = –10) con lo que se tiene –10y + 10z = –100 Realizando la última suma tenemos:

12z=120

120 12

z=

z = 10

Sustituyendo este valor en la ecuación 5 se tiene: –y + (10) = –10 y despejando obtenemos que y = 20

Finalmente, sustituimos las dos variables obtenidas en la ecuación 1 para obtener x:

5x + 5(20) + 2(10) = 195

Y así obtenemos el valor de la variable que faltaba: x = 15

Ejercicio 6

1. Relaciona correctamente la columna de las soluciones con el sistema al que pertenecen.

Sistemas Soluciones

a)

5 8 115

3 5 70

x y x y

+ =

+ =

b)

3 6

2 3 7

x y x y

− = −

+ =

2. El sistema es inconsistente.

c)

2 1 0

3 2 5 0

x y x y

+ + =

− + =

3. x = 15, y = 5

d)

2 5

2 7 4

x y

y x

− =

= +

4. x = t, y = 3t

−

6

e)

21 7 42

3 6

x y x y

− =

− + = −

5. x =

−

1, y =1

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación.

a) 2 6 8

3 9 12

x y x y

+ =

− =

b) 8 8 24

3 9 x y x y − + = + =

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.

a) 5 1

2 5

x y x y

+ =

+ =

b) 4 18 14

2 8 10

x y

x y

+ =

− + =

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción.

a) 3 2 4

3 6

x y x y

+ =

+ = −

b) 4 1

2 2 2

x y x y

+ =

5.6. Solución de ecuaciones con una incógnita que contengan números

complejos

Para completar el álgebra de los números complejos sólo falta saber si se pueden resolver ecuaciones que contengan números complejos. Una vez conociendo la manera de realizar todas las operaciones básicas con números complejos la tarea es sencilla.

Por ejemplo, veamos la ecuación (3+2i)x+8ix+4=0. Tenemos dos números complejos que acompañan a la variable x. Estos números complejos se pueden sumar, siguiendo el álgebra de los números complejos, y simplificar. Entonces, la ecuación queda como:

[(3+2i)+(0+8i)]x+4=0, que se puede escribir como:

(3+10i)x+4=0

Por último despejamos x de la siguiente manera: restamos 4 a cada miembro de la ecuación y hacemos las simplificaciones para obtener:

(3+10i)x=–4 luego dividimos el complejo (3+10i) para obtener:

x

i = −

+

4 3 10

Multiplicando por el conjugado del denominador tenemos:

x i

i i

i

= − −

+ − = − +

4 3 10 3 10 3 10

12 40 109

( )

( )( ) ,

que es la solución de la ecuación.

Veamos un segundo ejemplo. Tomemos la ecuación:

(2+i)x+(4+2i)x+(2+4i)=(1+3i)

(2+i)x+(4+2i)x=(1+3i)– (2+4i)

factorizamos a la variable x:

x[(2+i)+(4+2i)]=(1+3i)– (2+4i)

sumamos los números complejos:

(6+3i)x=(–1–i)

Ahora despejamos x y hacemos las operaciones para llegar a:

45 3 9 ) 3 6 )( 3 6 (

) 3 6 )( 1 ( 3 6

1 i

i i

i i i

i

x =− −

−

+− −

− = +− − =

Ejercicio 7

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (1+3i)x=5

b) (1+2i)x+(4+3i)x–(5+2i)=0 c) (1+i)x+(4+6i)=(3+5i)x+(2–5i)

Problemas resueltos

Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de la igualdad.

1. 8 4 3 7 14

8 3 7 14 4

3 18 18

6 3

x x x x

x x x x

x

x

− + = + +

+ − − = + +

=

= =

2. 1 3

4 3 2

3

12 1 12

4 3 2

3 12 4 18

3 4 18 12

6 6

x x

x x

x x

x x x x

− = −

 _{− =}  ₋ 

   

   

− = −

− = − +

− = − =

3. Resuelve: −5x2 + 13x + 6 = 0

Se identifican los coeficientes cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la variable x de forma descendente. Con esta condición tenemos:

a = − 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula general:

2

13 (13 ) 4( 5)(6) 2( 5)

x= − ± − −

−

13 169 120 13 289

10 10

x= − ± + =− ±

− −

13 17 10

x=− ± −

1

13 17 4 2

10 10 5

x =− + = = −

− −

2

13 17 30 3

10 10

x = − − = − =

− −

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3 resulta: −5(3)2 + 13(3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0

tal como se esperaba. Probando x = −2/5 se tiene:

2

2 2 4 26 30 20 26 30

5 13 6 5 0

5 5 5 5 5 5 5 5

− − −

     

− _{ } + _{ }+ = − _{ }− + = − + =

     

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y

−2/5 son las soluciones de −5x2_{+ 13x + 6= 0}

4. Resuelve 6x − x2 _{= 9}

No pueden identificarse los coeficientes directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma

deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: −x2_{+ 6x} − 9 = 0_{. Ahora}

se identifican los coeficientes a = −1; b = 6; c = −9 y se aplica la fórmula

general:

2

6 (6 ) 4( 1)( 9) 6 36 36 6 0

2( 1) 2 2

x= − ± − − − = − ± − = − ±

− − −

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir x₁ = x₂ = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación

original se verifica que 6(3) − 32 = 18 − 9 = 9_{, con lo cual se ha comprobado la}

respuesta.

5. Resuelve: −6x + 13 = − x2

Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2− 6_{x + 13 = 0}

Aplicando la fórmula general se tiene:

2

6 ( 6 ) 4(1)(13) 6 36 52 6 16

2( 1) 2 2

x= − ± − − = − ± − =− ± −

− − −

El discriminante es negativo por lo que las soluciones son números complejos. Las raíces quedan, entonces de la siguiente forma:

x

1= −3+ 2i; x2=−3 − 2i.

6. Determina cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es consistente o inconsistente, y en su caso encuentra la solución.

a) 1 2

1 2

6 4 2

3 2 6

x x

x x

+ =

+ =

b) 1 2

1 2

2 3 1

4 6 2

x x

x x

+ =

+ =

c) 1 2

1 2

5 5 3

2 x x x x + = + = Respuesta

a) Utilizando el método de sustitución despejamos x₁ de la segunda ecuación:

1 2

2 1

3 2 6

6 2 3 x x x x + = − =

Sustituyendo x₁ en la primera ecuación se obtiene 2

2

6 2

6 4 2

3 x x −  _{ + =}     de donde: 2 2 2 2 6 2

6 4 2

3

12 4 4 2

b) Utilizando el método de reducción se igualan los coeficientes de x₁

multiplicando la primera ecuación por 2, con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

1 2 1 2

1 2 1 2

2(2 3 1) 4 6 2

4 6 2 4 6 2

x x x x

x x x x

− + = − − = −

⇒

+ = + =

Sumando estas dos ecuaciones se tiene que 0 = 0

Por lo tanto, es un sistema con una infinidad de soluciones y en consecuencia consistente.

Su solución son las ecuaciones paramétricas

1 2

1 1

2

2

2 3 1

1 2

1 2 3

3

x x

x t x

x t

x

+ =

= −

= ⇒ ₋

=

c) Utilizando el método de sustitución despejamos x₁ de la segunda ecuación:

1 2 2

x = −x

y sustituimos en la primera ecuación 5(2−x2) 5+ x2 =3 _{de donde:}

2 2

2 2

5(2 ) 5 3

10 5 5 3

10 3,

x x

x x

− + =

− + =

=

7. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución 1 2 1 2 3 3 6 9 x x x x − − = + = Respuesta

Despejando de la segunda ecuación la variable x₁:

1 2

1 2

6 9

9 6 ,

x x

x x

+ =

= −

Sustituyendo x₁ en la primera ecuación obtenemos:

(

1 22

)

2

3 3

9 6 3 3

x x

x x

− − =

− − − =

Haciendo las operaciones se llega a:

2 2

2 2

2

2

9 6 3 3

6 3 3 9

3 12 12 4 3 x x x x x x − + − = − = + = = =

Ahora, sustituyendo x₂ en la segunda ecuación y despejando x₁ se llega a:

( )

1 2 1 1 1 6 9

6 4 9 9 24 15, x x x x x + = + = = − = −

Por lo que la solución al sistema de ecuaciones es:

x₁= −15 y x₂ = 4

8. Resuelve el sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación

2 10

Respuesta

Despejando x₁ de ambas ecuaciones:

1 2 1 2

1 2 1 2

2 10 10 2

3 9 9 3 ,

x x x x

x x x x

− = = +

⇒

− = = +

igualando los dos valores de x₁ obtenemos:

2 2

10 2+ x = +9 3x

Agrupando términos semejantes se llega a:

−x₂ = −1

Ahora multiplicando por –1 tenemos:

x₂ = 1

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones que se despejó x₁

se obtiene:

( )

1 2

1

1

10 2 10 2 1 12,

x x

x x

= +

= +

=

Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones es:

x₁=12 y x₂=1

Problemas propuestos

1. Resuelve la siguiente ecuación:

16 + 7x −5 + x = 11x −3 − x 2. Encuentra el valor de x.

18 2

2

5 5

3. Simplifica y despeja la variable x.

(

x−1

)(

x+ =2

) (

x+2

)(

x−3

)

4. Aplica la fórmula general para resolver la siguiente ecuación:

2

2x − − =x 3 0

5. Simplifica y resuelve.

2

4x =5(4x−5)

6. Encuentra las raíces de:

2

3

4 1 0

2z − z− =

7. Simplifica y encuentra la solución de:

a) x+ =2 4−x

b) − + = −x 2 x 2

c) x− =9 2x−3

8. Encuentra la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 4 2

12 3 6

x y x y − − = −

+ =

b) 3 5 7

2 4

x y x y

+ =

− = −

c) 13 11 163

8 7 94

x y

x y

− + = −

− + =

8x 7y 94

− + = −

− + =

d) 36 11 14

24 17 10

x y

x y

− = −

9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

2 4 6 18

4 5 6 24

3 2 4

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ − =

b)

6

2 5

3 10

x y z x y z x y z + + =

− − =

− − = −

10. Resuelve los siguientes problemas:

a) La suma de tres cifras de un número es 10. La suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas excede en 4 a la cifra de las unidades, así como la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades excede en 6 a la cifra de las decimales. Encuentra los números de unidades, decenas y centenas.

Autoevaluación

1. La solucion de la ecuación 2 5

2 12 6 4

x _{+ −} x _{= −}x

es:

a) −3

b) 5

c) No tiene. d) 13

2. La solucion de la ecuación 5 1

6 3

x

x + = − es:

a) −7

b) 8

c) −4

d) 1

3. Las raíces de la ecuación _x2−_4x+ =_{3 0 son:}

a) x₁ =3 y x₂ =1

b) x₁ = −3 y x₂ =1

c) x1 =3 y x2 = −1

d) x1 = −3 y x2 = −1

4. Las raíces de la ecuación _6x2 +_6x−_{12 0}= _son:

a) x1 =2 y x2 =1

b) x₁ =2 y x₂ = −1

c) x₁ = −2 y x₂ =1

d) x1 = −2 y x2 = −1

5. La solución de la ecuación 3+ x− =1 5 es:

6. La solución al sistema de ecuaciones 1 2

1 2

5 1

x x x x

+ =

− = es:

a) x₁ = 3 y x₂ = 2 b) x₁ = 6 y x₂ = –1 c) x₁ = 2 y x₂ = 1 d) x₁ = –2 y x₂ = –1

7. La solución al sistema de ecuaciones 1 2

1 2

3 4 8

8 9 77

x x

x x

+ =

− = − es:

a) x₁ = 0 y x₂ = 2 b) x₁ = –5/8 y x₂ = 8 c) x₁ = t y x₂ = (8 – 3t)/4 d) x₁= –4 y x₂ = 5

8. La solución al sistema de ecuaciones 4 5 1

12 15 6

x y

x y

− =

− + = es:

a) x = −1 y y = −1

b) x = 2 y y = 2 c) No hay solución. d) x = t y y = (4t–1)/5

9. La solución al sistema de ecuaciones 2

2 2 4

x y x y − =

− + = − es:

a) x = 1 y y = –1 b) x = t y y = t–2 c) No hay solución. d) x = 2 y y = 0

10. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58, halla ambos números.

a) 3 y 7 b) 8 y 2 c) 5 y 4

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio1

Despejando x utilizando las propiedades de la igualdad obtenemos:

1. 8

3

x=

2.x = −2

3. 36

17

x=

4. 11

6

x= −

5. 2

11

x= −

Ejercicio2

1. Valor prohibido: 1

2

x= − ; solución: 17

6

x= −

2. Valores prohibidos: x = 0, 1

3

x= − ; solución: x= −1

3. Valores prohibidos: 4

5

x= y 1

3

x= ; solución x=12

4. Valores prohibidos: x=5 y x=4; solución x=8

5. Valores prohibidos: x=0 y x=4; solución 4

7

Ejercicio 3

Aplicando la fórmula general se tiene:

1. x₁ =1.674 y x₂ = −1.074

2. x1 =0.65 y x2 = −0.095

3. 1 2

1 1 y

3

x = x = −

4. x1 = −1 y x2 =5

Ejercicio 4

1. 1 3

2−2i

2. 7 3

10−10i

3. 1 1

4+ 4i

Ejercicio 5

1. 2 13

13 i;

2 13 13 i

−

2. 0; 2

Ejercicio 6

1. a) 3 b)1 c) 5 d) 2 e) 4

2. a) Despejamos de ambas ecuaciones x. De la primera ecuación se tiene:

8 6

4 3 2

y

x= − = − y

y de la segunda:

12 9

4 3 3

y

x= + = + y

Igualando las dos expresiones para x se obtiene:

4 – 3y = 4 + 3y,

agrupando los términos con la variable y de un lado de la ecuación y los términos restantes del otro lado:

4 – 4 = 3y + 3y

de lo que: 6y = 0 y por lo tanto y = 0

Si sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones en las que se despejó x, por ejemplo en la segunda, se obtiene:

x = 4 + 3(0) = 4

Por lo tanto la solución al sistema es:

x = 4 y y = 0

b) Despejamos a y en ambas ecuaciones obteniendo en la primera ecuación:

24 8 3 8

x

Igualando los dos valores de y se obtiene:

3 + x = 9 – 3x

Agrupando sólo los términos con x de un lado de la ecuación se tiene:

x + 3 x = 9 – 3 de lo que 4x = 6

y por lo tanto, x = 6/4 = 3/2

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones en la que se despejó a y, por ejemplo en la primera, se obtiene:

y = 3 + (3/2) = 9/2 Y por lo tanto, la solución al sistema es:

x = 3/2 y y = 9/2

3. a) Despejamos de la primera ecuación la variable y:

y = 1 – 5x

sustituimos y en la segunda ecuación:

x + 2(1 – 5x) = 5 haciendo las operaciones se tiene:

–9x + 2 = 5 y despejando x se llega a:

5 2 3 1

9 9 3

x= − = − = − −

Para encontrar el valor de y sustituimos x en la primera ecuación: 5(–1/3) + y = 1

despejando a y:

y = 1 + 5/3 = 8/3 Por lo tanto, la solución al sistema es:

x = –1/3 y y = 8/3

b) Despejando de la segunda ecuación a la variable x:

10 8

5 4 2

y

x= − = − + y

−

sustituyendo a x en la primera ecuación: 4(–5 + 4y) + 18y = 14, y haciendo las operaciones se llega a:

de lo que:

y = 34/34 = 1

ahora sustituyendo y en la segunda ecuación obtenemos: –2x + 8(1) = 10

y despejando a x se tiene que:

x = 2/–2 = –1 y por lo tanto, la solución al sistema es:

x = –1 y y = 1

4. a) Igualamos los coeficientes de x en ambas ecuaciones multiplicando la segunda ecuación por 3:

3(x + 3y) = 3(–6) llegando a:

3x + 6y = –18

ahora, se tiene el sistema de ecuaciones equivalente: 3x + 2y = 4

3x + 6y = –18,

donde los coeficientes de x en ambas ecuaciones son iguales entonces, restando la segunda ecuación a la primera obtenemos

0 – 2y = 22 y despejando y obtenemos:

y = –22/2 = –11

Para obtener el valor de x sustituimos y en la segunda ecuación:

x + 3(–11) = –6 Y despejando a x se llega a:

x = 33 – 6 = 27 Por tanto la solución al sistema de ecuaciones es:

x = 27 y y = –11

b) Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para igualar los coeficientes de la variable y en ambas ecuaciones

y se tiene el sistema de ecuaciones equivalente

x + 4y = 1 4x + 4y = 4,

como los coeficientes de y en ambas ecuaciones son iguales entonces restando la primera ecuación a la segunda se llega a:

3x + 0 = 3 y despejando x obtenemos:

x = 3/3 = 1

ahora sustituyendo el valor de x en la primera ecuación se tiene: 1 + 4y = 1

restando uno en ambos lados de la igualdad: 4y = 0,

de donde:

y = 0

Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:

x = 1 y y = 0.

Ejercicio 7

a) x

i

i

i i

i

i

= ₊5 = ₊ − ₋ = − = −

1 3

5 1 3 1 3 1 3

5 15 10 1 2 3 2 ( ) ( )( )

b) (5+5i)x=5+2i,

x i i i i i i i i i = + + = ++ −− = + + − = − = + 5 2 5 5

5 2 5 5 5 5 5 5

10 10 25 50 35 15 50 7 10 3 10 ( )( ) ( )( )

(25 ) ( )

c) (4+6i)+(–2+5i)=[(3+5i)+(–1–i)]x,

entonces 2+11i=(2+4i)x de lo que:

(2 11 )(2 4 ) (4 44) (22 8)

2 11 48 14 12 7

2 4 (2 4 )(2 4 ) 20 20 5 10

i i i

i i

x i

i i i

+ − + + −

+ +

Respuestas a los problemas propuestos

1.x = 7

2.x = 4

3.x = –2

4. x₁ =1.5 y x₂ = −1

5. x₁ =2.5 y x₂ =2.5

6. x1 =2.89 y x2 = −0.23

7. a) x= 1

b)x₁ =1 y x₂ =2; c) x₁ =14 y x₂ =6

8. a) x = t y y = 2–4t

b) x = –1 y y = 2 c) x = –3 y y = 10 d) x = –1 y y = –2

9. a) x = 1, y = 4, z = 3 b) x = 13, y = –22, z = 15

10. a) 5, 2, 3, b)

Respuestas a la autoevaluación

1.

d)

2.

b)

3.

a)

4.

c)

5.

b)

6.

a)

7.

d)

8.

c)

9.

b)