Prof. JULIO METRE Página 1 CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Rotación y revolución:
Antes de comenzar a describir el movimiento circular, es preciso aclarar la diferencia entre los términos rotación y revolución.
Cuando el eje está dentro del cuerpo en estudio, su movimiento se llama de rotación, un ejemplo de ello lo constituye el giro que realiza una patinadora al realizar una pirueta.
En cambio, si el eje se encuentra fuera del objeto, es decir, el cuerpo se mueve alrededor de un eje
externo, entonces su movimiento de rotación es una
revolución.
Nuestro planeta, rota sobre sí mismo
cada 24 horas y al mismo tiempo experimenta una
revolución alrededor del Sol cada 364 días. En la figura 1, el profesor Jean Pierre D’ Lanuc, se encuentra sobre una plataforma giratoria. Mientras la plataforma efectúa una rotación alrededor de su eje, el célebre catedrático efectúa una revolución.
Cinemática del Movimiento circular, desplazamiento y velocidad angulares:
Supongamos que atamos una piedra a una cuerda y la hacemos girar. Si quisiéramos especificar la posición de la piedra en cualquier instante, podríamos dar sus coordenadas x e y, de un sistema de referencia arbitrario. Sin embargo, resulta más conveniente una descripción en función de variables angulares.
En la figura 2 se representan dos posiciones cualesquiera de la piedra, ∆∆∆θθθθ∆ corresponde al desplazamiento angular. El valor de esta magnitud corresponde al ángulo comprendido por el hilo.
Para especificar el radio utilizaremos la unidad ya conocida para la longitud en el Sistema Internacional (S.I. o M.K.S.): el metro (m).
Para especificar el ángulo podemos utilizar dos formas; expresarlo en grados (1/360 de un círculo) o expresarlo en radianes.
Un radián (rad) es el ángulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio del círculo, tal como se ilustra en la figura 3.
Es decir, el ángulo en radianes, está dado por la relación entre la longitud del arco de circunferencia y el radio, de la siguiente forma:
r s ∆ = ∆θ
Como la longitud del círculo completo es igual a 2.π.r, entonces podemos conocer el valor de cualquier ángulo en radianes, mediante una simple regla de tres, y sabiendo que:
2π rad = 360º, entonces 1 rad = 57,3º
completa la siguiente tabla, expresando los siguientes ángulos en radianes y en función de π:
30º = 45º = 60º = 90º = 180º =
De aquí en adelante todos los ángulos serán indicados en radianes. Las ventajas que ofrece usar el radián aparecerán más adelante cuando analicemos algunas situaciones.
Fig. 1
θθθθ = 1 rad
R
∆s = r
Fig. 3
∆θ ∆s
Además, ten en cuenta lo siguiente: como el ángulo se define a partir de la relación entre el arco de circunferencia y el radio, el ángulo es una variable adimensional1. Esto quiere decir que el RADIÁN no es una
unidad física2, así como el grado sexagesimal tampoco lo es (recordemos que el grado sexagesimal lo definimos
como la 1/360 de la circunferencia).
Al igual que el movimiento rectilíneo, podemos definir una velocidad angular media, que representaremos con el símbolo ωωωω (letra griega omega):
t ∆ ∆ = θ ω
r r
Al expresarse el desplazamiento angular en radianes y el intervalo de tiempo en segundos, queda entonces definida la unidad de medida de la velocidad angular: rad/s = 1/s = s-1.
La velocidad angular es una magnitud vectorial, al igual que el desplazamiento angular (aspecto al cual no habíamos hecho referencia). Como no es posible adoptar una única dirección en el plano de giro de los objetos (dado que los vectores son segmentos de recta orientados, y por lo tanto no son curvos), se definen las direcciones de ambas magnitudes perpendiculares al
plano de giro, o lo que es lo mismo, colineales al eje de giro (figura 4). Los sentidos se determinan por medio de la regla de la mano derecha; cerrando la mano en el sentido de giro, el dedo pulgar nos indica la dirección y el sentido de ambas magnitudes, tal como se muestra en la figura 5.
La velocidad angular instantánea se obtiene por el mismo procedimiento aplicado en el curso para llegar a la velocidad lineal instantánea, cuando el intervalo de tiempo “tiende a cero” (∆t→0).
Estamos ahora en condiciones de definir al movimiento circular uniforme, en el cual la velocidad angular es constante. Esto quiere decir que si un cuerpo experimenta este tipo de movimiento (que abreviaremos con las siglas M.C.U.), elradiovector3barre ángulos iguales en tiempos iguales, por
lo tanto los cocientes ∆∆∆∆θθθθ/∆∆∆∆t son iguales.
Ahora bien, en un gran número de casos no ocurre esto, de modo que existe un cambio en la velocidad angular por cada unidad de tiempo. La aceleración angular media expresa esto de la siguiente manera:
t ∆ ∆ = ω α
r r
En donde αααα es el símbolo utilizado para la aceleración angular, cuya unidad de medida es el rad/s2
= 1/s2
= s-2.
. Aplicándose igual procedimiento al límite (cuando ∆t→ 0), se obtiene la aceleración angular instantánea. Caben las
mismas aclaraciones en cuanto al carácter vectorial de esta magnitud, la dirección es perpendicular al plano de giro, estando su sentido determinado por el sentido del vector ∆ωr (variación de la velocidad angular).
Período y frecuencia:
El M.C.U. es un movimiento periódico, esto significa que es un fenómeno que se repite cada cierto tiempo; la piedra atada a una cuerda al cabo de cierto intervalo de tiempo vuelve a pasar por la misma posición. El tiempo que demora en regresar a la posición inicial, es decir, cuando completa una vuelta, se llama período, que simbolizaremos con la letra “T”. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo (s).
Si especificamos cuánto tiempo demora en dar una vuelta, también podemos especificar cuántas vueltas efectúa por cada unidad de tiempo. Determinar esto es justamente conocer la frecuencia del movimiento.
1
Una magnitud adimensionada no posee dimensiones, es decir, no posee unidades. Un ejemplo lo constituye el coeficiente de rozamiento.
2
Unidades físicas son por ejemplo, el metro, el segundo, el Newton, etc. El radián, en el S.I., se conoce como “unidad suplementaria”.
3 Se entiende como “radiovector” al vector que une el centro de la circunferencia trayectoria con el objeto. Obviamente va cambiando M.C.U.
Velocidad angular constante.
⇓ ⇓⇓ ⇓
θ
r
∆
ω
r
θ
r
∆
ω
r
Fig. 4θ
r
∆
ω
r
Prof. JULIO METRE Página 3 La frecuencia nos dice cuántas veces se repite un determinado fenómeno por cada unidad de tiempo (por ejemplo: cuántas veces comes en un día, cuántas veces acudes al baño en una semana, etc.).
Si has observado con atención, el período y la frecuencia nos otorgan la misma información pero
de manera inversa, esto quiere decir que la frecuencia se puede hallar mediante el inverso del período:
T f = 1
de esta relación se desprende que la unidad de medida de la frecuencia es 1/s = s-1. A esta unidad se le llama Hertz (Hz).
De este modo, tenemos que: [ T ] = segundos/vuelta y [ f ] = vueltas/segundo Esto es coherente con lo expresado anteriormente, pues la “vuelta” no es una unidad física.
Cuando ∆∆∆∆t = T (el intervalo de tiempo es igual a un período), el cuerpo ha completado una vuelta, entonces su desplazamiento angular ∆∆∆∆θθθθ es igual a 2π rad. Por lo tanto calcularemos ω utilizando una vuelta completa:
T t
π θ
ω = ⋅
∆ ∆
= 2
sabiendo que
f
T= 1 , podemos expresar lo mismo pero de la siguiente manera: ω=2⋅π⋅f
¡Recuerda! Estas ecuaciones son válidas únicamente para el M.C.U., ya que para deducirlas utilizamos la hipótesis de que se recorren arcos iguales en tiempos iguales (ω cte.), lo que hizo que pudiéramos elegir el ∆θ más conveniente (2π rad en este caso).
Relación entre movimiento de traslación y rotación:
Regresemos ahora al ejemplo de la piedra amarrada a una cuerda, que se mueve con M.C.U. ¿Qué ocurre con la velocidad lineal del cuerpo en este caso?
De temas anteriores, sabemos que para que un objeto se mueva con velocidad constante, debe desplazarse en línea recta, debido a que la velocidad es una magnitud vectorial. Para que permanezca constante la velocidad, no deben alterarse ni el valor, ni su dirección sentido. Entonces resulta evidente que en el M.C.U. la velocidad linealno permanece constante, y por lo tanto, es un movimiento acelerado.
Para responder la pregunta inicialmente expuesta en este apartado, primero representaremos la velocidad lineal, en varias posiciones, de un cuerpo que describe un M.C.U.
En la figura 6 se eligieron arbitrariamente algunas posiciones para representar la velocidad lineal del cuerpo. Podemos observar que dicho vector está trazado de manera tangencial a la circunferencia. Si la cuerda que sujeta a la piedra se rompe en un instante determinado, despreciando cualquier otra acción externa, la piedra saldría despedida en la dirección de la tangente al punto en el cual se rompió la cuerda (y continuaría con M.R.U. debido a la inercia).
Más adelante demostraremos que el valor de la velocidad es el mismo durante toda la trayectoria circular. Por esto es que en la figura 6 todos los vectores que representan la velocidad instantánea en cada posición, aparecen con la misma longitud.
¿Se relacionarán de alguna manera la velocidad lineal y la angular? Si observas un yo-yo al desenrollar en hilo, ¿existe alguna relación entre el movimiento de rotación y de traslación del yo-yo?
Cuanto más rápido giran las ruedas de una bicicleta, más rápido se trasladan. Veamos entonces como se relacionan estos movimientos.
Únicamente cuando el ángulo está expresado en radianes, es válida la siguiente relación:
r s ∆ = ∆
θ
vemos aquí por qué es útil el uso del radián para la medición de los ángulos.
C
v
r
A
v
r
E
v
r
D
v
r
B
v
r
BA
C
D
E
A partir de la definición de velocidad angular, sabemos que:
t
∆
∆
=
θ
ω
y comoR s
∆ =
∆θ , podemos
sustituir esta expresión en la primera
R
t
s
⋅
∆
∆
=
ω
siendov
t
r
t
s
=
∆
∆
=
∆
∆
cuando ∆t→ 0.4
Entonces:
R
v
=
ω
⇒ despejando:ω
⋅
R
=
v
Como la velocidad angular permanece constante en el M.C.U., entonces el valor de la velocidad lineal del objeto también permanecerá constante.
Es posible vincular todas las relaciones anteriores con el movimiento de traslación que experimenta un cuerpo al moverse con M.C.U.
Prof. JULIO METRE Página 5
Fig. 9
v
Br
A
v
r
−
AB
v
r
∆
∆ ∆∆ ∆θθθθ
∆ ∆ ∆ ∆θθθθ
B A
∆ ∆ ∆ ∆s
R R
Fig. 10 ∆
∆ ∆ ∆r
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Aceleración y fuerza centrípeta:
Al comprenderse este tipo de movimiento dentro de los movimientos acelerados, determinaremos entonces qué características posee la aceleración que experimenta un cuerpo cuando su velocidad angular es constante.
Consideremos el mismo ejemplo de la piedra. En las figuras 7 y 8, se representa la velocidad instantánea de la piedra en dos posiciones cualesquiera (por medio de un vector tangente a la circunferencia en dichos puntos).
Según la definición de aceleración:
t v a
∆ ∆ =
r r
Debemos determinar, entonces, la variación de la velocidad que experimentó el objeto en el respectivo intervalo de tiempo, o lo que es lo mismo:
∆
v
r
AB=
v
r
B−
v
r
A, transformando esta resta vectorial en una suma:(
A)
B
AB
v
v
v
r
=
r
+
−
r
∆
.Lo primero que debemos hacer es trasladar uno de los vectores para poder utilizar alguno de los métodos geométricos de suma de vectores. Aquí utilizaremos el método del polígono, con lo cual invertimos el sentido del vector
v
r
A y lo colocamos de modo que elextremo de este vector coincida con el origen del vector
v
r
B, tal como aparece en la figura 9.Uniendo el origen del primer vector con el extremo del último, obtenemos el vector variación de velocidad entre las posiciones A y B. A partir de la definición de aceleración, sabemos que estas dos magnitudes (
a
r
y∆
v
r
AB) tienen la misma dirección y sentido.Supongamos ahora que consideramos sucesivamente intervalos de tiempo cada vez más pequeños, incluso hasta llegar a que dicho intervalo tienda a cero (∆t→0, procedimiento matemático que ya hemos aplicado anteriormente). En tal situación podremos determinar entonces la aceleración del cuerpo en un instante determinado.
Al hacer que el intervalo de tiempo sea muy pequeño, también lo serán el desplazamiento angular ∆∆θθθθ∆∆ , el arco de circunferencia correspondiente ∆∆∆∆s y el desplazamiento ∆∆∆∆r.
Consideremos el triángulo formado por el eje de giro O y los puntos A y B (figura 10). Al ser el ángulo muy pequeño, el arco de circunferencia ∆∆∆∆s será prácticamente recto, y coincidirá con la cuerda AB, de modo que tendremos un triángulo isósceles de dos lados iguales r. Además, los ángulos que se forman entre estos lados y la cuerda ABserán casi rectos, aproximándose a ser paralelos entre sí los dos lados R.
Este mismo análisis, puede realizarse en el triángulo que se forma en el
A
v
r
B
v
r
AB ∆ ∆ ∆ ∆θθθθ
R R
Fig. 7
A
v
r
A∆ ∆ ∆ ∆θθθθ
B
v
r
BR
R
diagrama vectorial de las velocidades, determinado por los lados
v
r
A,v
r
B y∆
v
r
AB (figura 9). Como los vectores velocidad representados en las posiciones A y B son tangentes a la circunferencia, son perpendiculares a los respectivos radios. Por consiguiente, el ángulo comprendido entrev
r
A yv
r
B será igual a ∆∆∆θθθθ∆ . Siendo iguales los valores de estas velocidades, tenemos otro triángulo isósceles (con dos lados iguales vr), semejante al primer triángulo considerado, formado por los puntos OAB.En estas condiciones, ¿qué dirección y sentido posee ∆vrAB? Este vector es paralelo al radio de giro y su
sentido es hacia el centro (es “centrípeto”), cuando ∆t→0. Como la
a
r
tiene igual sentido y dirección que este vector, le llamamos aceleración centrípeta.Pero, ¿qué implica que dos triángulos sean semejantes? La respuesta es muy sencilla, la relación entre los lados es la misma. Así tendremos que:
v v r AB = ∆
(siendo
v
A=
v
B=
v
, debido a que el valor de la velocidad permanece constante)Como expresamos anteriormente
AB
≈
∆
s
, entonces la anterior expresión queda:v v r
s ∆ = ∆
Dividiendo ambos lados de la igualdad entre ∆∆∆∆t obtenemos:
Y como v t s
= ∆ ∆
y a t v= ∆ ∆
podemos escribir:
v
a
r
v
=
y finalmente despejando, llegamos a una expresión que nos permite determinar el módulo de la aceleración instantánea que experimenta un objeto que se mueve con M.C.U.:
Centrípeta
a
r
v
=
2Desde el punto de vista de las unidades:
Lo cual es correspondiente a la unidad de medida de la aceleración en el sistema internacional de unidades (S.I.).
En la figura 11 aparecen representadas la velocidad y aceleración instantáneas en varias posiciones, para un cuerpo que se mueve con M.C.U.
Observa que la aceleración ya tiene incorporado el subíndice que le da el carácter de centrípeta, en cualquier posición, está dirigida hacia el centro de giro, en la dirección del radio.
Como ya hemos visto en el curso, si un objeto experimenta una aceleración determinada, es porque existe una fuerza neta aplicada sobre el cuerpo, tal como lo establece el enunciado de la Segunda Ley de Newton (o Principio Fundamental de la Dinámica).
Hasta aquí nos hemos ocupado de la descripción de este tipo de movimiento, analizando desde el punto de vista de la cinemática, las características fundamentales. Pues bien, ahora estudiaremos cuáles son las causas, o sea, haremos un análisis dinámico de la situación.
Aplicamos la Segunda Ley de Newton: FNETA m a
r r
⋅ =
entonces, en este caso particular, sabemos que la aceleración que experimenta el cuerpo es la aceleración centrípeta, entonces podemos escribir: FNETA m arCp
r
⋅ =
t
v
v
t
r
s
∆
⋅
∆
=
∆
⋅
∆
v a
[ ]
22 2
s m m
s m
aCp = =
Cp
a
r
v
r
v
r
v
r
v
r
Cp
a
r
Cp
a
r
Cp
a
r
Prof. JULIO METRE Página 7 Como la ecuación que expresa el enunciado de la Segunda Ley de Newton es una relación vectorial, en donde la masa (magnitud escalar) multiplica a la aceleración (magnitud vectorial), como ya hemos visto en otras instancias, el resultado es otro vector que tendrá igual dirección y sentido que la aceleración. Por lo tanto, la fuerza neta aplicada sobre el cuerpo, también estará dirigida hacia el eje de giro en la dirección del radio, para cualquier posición.
El valor de la fuerza centrípeta estará dado por la siguiente ecuación:
Cp Cp m a
F r
r ⋅
= como r v aCp
2
= ⇒
r
v
m
F
Cp2
⋅
=
Como ejercicio, verifica que la fuerza quede expresada en unidades correctas.
Entonces, la condición dinámica para que un cuerpo se mueva con M.C.U. es simplemente que la fuerza neta apunte en todo momento a un mismo punto, manteniendo constante su módulo.
A modo de conclusión te presentamos un esquema con algunas observaciones importantes:
Cuando un cuerpo Cuando un cuerpo Cuando un cuerpo Cuando un cuerpo experimenta un M.C.U. experimenta un M.C.U.experimenta un M.C.U. experimenta un M.C.U. Desde un punto de
vista cinemático:
Desde un punto de vista dinámico:
1) La velocidad angular se mantiene constante.
2) El valor de la velocidad lineal se mantiene siempre constante, siendo su dirección tangencial a la circunferencia.
3) Por consiguiente el movimiento es acelerado, aunque no cambie el módulo de la velocidad. Esta aceleración se llama centrípeta, está dirigida hacia el centro de giro en la dirección del radio.
4) El valor de la aceleración centrípeta se mantiene constante, pues el valor de la velocidad no cambia (aCp= v
2
/r).
1) La fuerza neta aplicada sobre el objeto es una fuerza centrípeta:
Cp
NETA F
F
r r
= .
2) Esta fuerza siempre se dirige hacia el centro de giro, en la dirección del radio.
3) Como esta fuerza es perpendicular a la velocidad, no puede alterar el valor de ésta. Por ello el valor de la velocidad tangencial se mantiene invariable.
