PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2004 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

SEPTIEMBRE - 2004

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.

OPCIÓN A

1º) Determinar el punto de inflexión de abscisa positiva de la curva ₂

1 1

x y

+

= . Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva en este punto. ¿Cuál es la posición de la curva respecto de la recta tangente?

---

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

''

1 2 6

1

8 2 2 1

8 1

· 2 1

2 · 1

· 2 · 2 1

· 2 ' '

; ; 1

2 '

3 2 2

3 2

2 2 3

2

2 2

4 2

2 2

2 2 2

y x

x

x x x

x

x x

x

x x x

x y

x x y

= +

− =

= +

+ − − = +

+ + −

= +

+ −

− +

− =

+ − =

3 3 ;

; 3

3 3

1 ;

; 0 1 3 ; ; 0 2 6 0 '

' 1 2

2 2

2 − = − = = _⇒ = =−

⇒

= x x x x x

y

Para que exista el punto de inflexión es necesario que no se anule la tercera deri-vada para ese valor:

(

) (

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

'''

1 1 24 1

24 24 1

12 36

12 12

1

2 6 · 6 1

· 12 1

2 · 1

· 3 · 2 6 1

· 12 ' ' '

4 2

2 4

2 3 4

2 3 3

4 2

2 2

6 2

2 2 2

3 2

y x

x x

x x x

x

x x

x x

x

x x x

x

x

x x

x x

x y

= +

− =

+ − =

+

+ −

+ =

= +

− −

+ =

+

+ −

− +

. 3

3 .

. 0

3 4

3 2 · 3 8

3 1 1

3 1 1 · 3

3 · 24 '

'

' _{4 4}

3

3 ≠ ⇒ =

     

=

      ₊

      ₋

=

      

 P I para x

y

   

  ⇒

= = + =

     

+ =

       

4 3 , 3

3 . . 4

3 3 4 1 3 1 1

1 3

3 1

1

2 3

3 PI

y

La recta que pasa por el punto de inflexión tiene por pendiente el valor de la pri-mera derivada para ese punto:

(

)

m y m

x x

y =− =− =

     

− = =

⇒

+ − =

       

8 3 3 16

3 3 · 2 3

4 3

3 · 2 '

1 2

' ₂

3 3 2

2

(

)

(

3 3

)

;; 8 6 3 3 3 0 ;; 3 3 8 9 0

3 6

8

; ; 3

3 3

3 3 6 8 ; ; 3

3 8

3 3 4 3

0 0

= − + ≡

= + −

= − −

− = −

   



 ₋

− = −

   

 

− −

= −

⇒

− =

−

y x t

x y

x y

x y

x y

x x m y y

Para interpretar la posición de la tangente con respecto a la curva, estudiamos la concavidad y convexidad de la misma en el entorno del punto de inflexión estudiado:

(

)

( )

( )

  

  

 

∪

⇒

>

⇒

>

∩

⇒

<

⇒

<

⇒

+ − =

Convexa y

x Para

Cóncava y

x Para

x x y

0 ' ' 3

3

0 ' ' 3

3

1 2 6 '

' ₂

2 2

De lo anterior se deduce que:

A la izquierda del punto de inflexión está la curva por encima de la recta y a la derecha, al contrario.

2º) Decir para que valores de k el siguiente sistema es compatible determinado. ¿Cómo es el sistema para k = 2?

(

) (

) (

)

(

) (

)

     + − = − + + + + = + = + + + + − 2 2 9 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 k k z k y k x k ky kx k z k y k x k ---

Para que el sistema sea compatible determinado, según el Teorema de Rouché-Fröbenius, es necesario que la matriz de coeficientes tenga rango tres, igual que la ma-triz ampliada y también igual al número de incógnitas; es decir, que el determinante de la matriz de coeficientes tiene que ser distinto de cero:

(

)(

)

(

)

(

) (

)(

)

(

) (

)

(

)

(

3 2

)

0 ;; 0

2 3 2 4 4 2 4 2 2 1 2 2 4 4 1 2 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 1 1 2 0 2 2 1 2 1 0 1 1 2 0 2 2 1 2 1 ; ; 1 1 2 0 2 2 1 2 1 1 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 = = + − − = = − + − = + + − − − + + + − + − = = − − + − − − + + + + − − = = + − − + − + + − − = − + + + − ⇒ ⇒ ≠ − + + + − =           − + + + − = k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k M k k k k k k k M 1 ; ; 2 2 1 3 2 8 9 3 ; ; 0 2

3 2 3

2 − + = = ± − = ± _⇒ = =

k k

k k

k

{

0, 2, 1

}

,

minado ∀k∈R tal que k ≠ k ≠ k ≠ Deter

Compatibla es

sistema El

Para k = 2 el sistema resulta:

     = + + = + = + + − 9 3 2 3 2 6 5 z y x y x z y x .

La matriz ampliada es

         − = 9 3 2 1 3 2 0 1 1 6 5 1 '

{

}

9 6 30 4 9 45 26 49 13 0 9

3 2

3 1 1

2 5 1 ,

, 2 3

1 =− + + − + − = − =− ≠

−

⇒

C C C

El rango de la matriz ampliada es 3.

le Incompatib M

Rango M

Rango k

Para =2 ⇒ ≠ ' ⇒

3º) Enunciar el Teorema de Bolzano. Dar un ejemplo que demuestre que el Teorema de Bolzano requiere que la función sea continua en el intervalo

[ ]

a, b .

---

El teorema de Bolzano se puede enunciar de la siguiente forma:

“Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al menos un valor c∈

(

a, b

)

tal que

( )

c =0

f ”.

Si una función f es no es continua en un intervalo cerrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, no se puede asegurar que exista al menos un va-lor c∈

(

a, b

)

tal que f

( )

c =0; esto es evidente en el grafico siguiente:

Como puede observarse, la función f(x) cumple las condiciones del teorema, ex-cepto la de ser continua, y en este caso no existe ningún valor del intervalo

[ ]

a, b para el cual se anule la función.

Un ejemplo puede ser la función

( )

  

≥ −

−

< +

=

0 3

0 1

2

x si x

x si x

x

f en el intervalo

[

−1,1

]

.

En los extremos del intervalo la función toma valores de distinto signo: O

f(x)

a Y

b c

f(a)

f(b) O

f(x)

a Y

b c

f(a)

f(b)

O

f(x)

a Y

b c

f(a)

( ) ( )

−1 = −1 2 +1=1+1=2>0 ;; f

( )

1 =1−3=−2<0

f

Sin embargo no existe ningún valor c∈

(

−1, 1

)

para el cual se anule la función, como puede comprobarse en el gráfico siguiente.

********** O

f(x)

-1 _X

1 f(-1)

4º) Dadas las rectas    = + = − + ≡ + = − + = − − ≡ 1 2 0 2 1 1 1

2 x z

z y x s y z y a x

r , calcular el valor de a

de tal manera que las rectas se corten. Determinar el punto de corte. ---

La expresión por unas ecuaciones paramétricas de la recta s la siguiente:

     − = − = = ≡ ⇒ − = − = →    − = − = − ⇒ = ⇒    = + = − + ≡ λ λ λ λ λ λ λ λ 2 1 3 1 3 1 2 1 1 2 0 z y x s z y z z y x z x z y x s

Un punto y un vector director de cada una de las rectas pueden ser:

(

)

(

)

(

)

(

)

_           _{= − −} ⇒             − − − − = ⇒ 1 , 1 , 0 2 , 3 , 1 Re ; ; 1 , 1 , 2 , 1 , 2 Re B v s cta a A u r cta

El vector w que tenga como origen el punto de r, A(a, -1, -1) y como extremo el punto de s, B(0, 1, 1) es:

(

) (

a

) (

a

)

w

A B AB

w = = − = 0, 1, 1 − , −1, −1 = − , 2, 2 =

Si los tres vectores u , v y w son coplanarios, las rectas están en un mismo plano y (como no son paralelas) se cortan, por tanto es necesario que el determinante que forman los tres vectores sea nulo, es decir:

4 5 ; ; 0 10 8 ; ; 0 2 8 6 2 4 12 ; ; 0 2 2 2 3 1 2 1 2 = = + − = + − − − + = − − − − − a a a a a

El punto de corte se puede obtener sustituyendo en r los valores de x, y, z de s:

OPCIÓN B

1º) Se considera la función f

( ) (

x = x x−a

)(

x−b

)(

x−c

)

, con 0<a <b<c. Demostrar que la ecuación f

( )

0 =0 tiene tres raíces reales.

---

De la observación de la función expresada factorialmente se deduce que:

( )

0 = f

( )

a = f

( )

b = f

( )

c =0

f

Como f(x) es una función polinómica es continua en su dominio que es R, por lo cual le es aplicable el Teorema de Rolle a cualquier intervalo finito.

Aplicando sucesivamente el Teorema de Rolle:

( )

( )

0

(

0,

)

'

( )

0

( )

0

0 0

f de real raíz una es m m

f a m

a f f

⇒

=

⇒

∈ ∃

⇒     

= =

( )

( )

0

(

,

)

'

( )

0

( )

0

0

f de real raíz una es n n

f b a n b

f a f

⇒

=

⇒

∈ ∃

⇒     

= =

( )

( )

0

(

,

)

'

( )

0

( )

0

0

f de real raíz una es p p

f c b p c

f b f

⇒

=

⇒

∈ ∃

⇒     

= =

2º) Calcular los puntos de la recta

2 3

1 2

1 y z

x

r ≡ + = − = que equidistan de los siguientes planos: π ≡3x+4y =1 y π'≡4x−3z=1.

---

La recta r expresada por unas ecuaciones paramétricas es

     = + = + − = ≡ λ λ λ 2 3 1 2 1 z y x r .

Un punto genérico de la recta r es P

(

−1+2λ, 1+3λ, 2λ

)

.

La distancia de un punto a un plano es:

(

)

2 2 2 0 0 0 , C B A D Cz By Ax P d + + + + + =

π ;

aplican-do la fórmula a los planos π y π':

(

)

(

) (

)

(

)

(

) ( )

( )

3 ;;

0 4 1 2 3 2 1 4 ' , ; ; 0 4 3 1 3 1 4 2 1 3 , 2 2 2 2 2 2 − + + − − + − = + + − + + + − = λ λ π λ λ

π d P

P d

(

) (

)

        = = + − = − = − = − = ⇒ − = − − + − = − + + + − ⇒ = 4 1 ; ; 5 20 ; ; 5 2 18 16 5 ; ; 5 16 ; ; 5 2 18 5 2 18 ; ; 5 1 6 8 4 5 1 12 4 6 3 ' , , 2 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ π

π d P

3º) Hacer un dibujo del recinto limitado por las curvas 100 101

x y e x

y = = . Calcular el área de este recinto.

--- Los puntos de corte de las dos funciones son:

(

)

(

)

( )

    

⇒

= → = −

⇒

= → =

⇒

= − =

− =

⇒   

= =

1 , 1 1

0 1

0 , 0 0

0 0

1 ;

; 0 ;

;

2 1 100

100 101

100 101

100 101

100

A x

x

O x

x

x x

x x x

x x

y x y

Teniendo en cuenta que la primera función es par y la segunda impar, es decir, que son simétricas con respecto al eje Y la primera y con respecto al origen la segunda, la representación gráfica es, aproximadamente, la indicada en la figura.

Para determinar el área tendremos en cuenta que en el intervalo

( )

0, 1 todas las ordenadas de la función 100

x

y = son mayores que las de la función

101

x

y = , como a continuación se demuestra, to-mando un valor intermedio del intervalo:

( )



   

    

∈ ∀

>

⇒

    

 

=

     

=

⇒

=

=

     

=

⇒

=

     

     

1 , 0

,

2 1 2

1

2 1 2

1 _{100 101}

101 101

2 1 101

100 100

2 1 100

x x x

y x

y

y x

y

(

)

S u

x x dx x

x dx x dx x S

= =

− = −

=

= −

   

 

− =

   

 

− =

− =

−

=

_∫

_∫

_∫

2

102 100 1

0 102 101

1

0

101 100 1

0 101 1

0 100

10302 1 102

· 101

101 102 102

1 101

1

0 102 1 101 1 102

101 ·

· ·

********** 1

y = x101

y = x100

Y

O

S

4º) Determinar todas las matrices A, tales que A · A

0 1

1 1 0 1

1 1

· _

    

=

     

. De estas matrices, determinar las que tienen la suma de todos sus elementos igual a cero.

---

Sea la matriz pedida _

  

 

=

d c

b a

A ; sería: · ;;

0 1

1 1 0 1

1 1

· _

  

       

=

         

 

d c

b a

d c

b a

{ }

a b R

b a b

b a A

b c

a d c

d b a

c a b a

b a

d b c a

c d c

a b a

∈ ∀

   

 

− =

⇒

      

      

= = +

+ =

+ = +

⇒    



 + +

=

   

 

+ +

, ; ;

Las matrices cuya suma de todos sus elementos es cero son:

   

 

−

− =

⇒

− = =

+ =

− + +

a a

a a

A a

b b

a b

a b a

3 2

2 2

; ; 0 2

; ; 0 2