“CIRC
UITO DE CHUA EN LA
SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS
CAOTICOS”
TESIS
Q U E P A R A O B T E N E R E L T Í T U L O D E :
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
P R E S E N T A N
Alcalá Martínez Minerva Berenice
Ángeles García Francisco
ASESOR:
DR. ALEJANDRO VIVAS HERNÁNDEZ
MÉXICO, D.F. SEPTIEMBRE 2013
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZMATEOS"
TEMA DE TESIS
INGENIÉRIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA QUE PARA OBTENER EL TITULO DE
TESIS COLECTIVA Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN
ANGELES GARCÍA FRANCISCO DEBERA(N) DESARROLLAR
MINERVA BERENICE ALCALA MARTÍNEZ
CIRCUITO DE CHUA EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS CAÓTICOS
OBJETIVO DEL TEMA: CONSTRUIR E IMPLEMENTAR UN CIRCUITO DE CHUA PARA SU APLICACIÓN EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS CAÓTICOS USADOS EN LAS TELECOMUNICACIONES.
PUNTOS A DESARROLLAR: ｾ＠ ÍNDICE
ｾ＠ INTRODUCCIÓN ｾ＠ JUSTIFICACIÓN >- OBJETIVO
ｾ＠ CAPÍTULO 1 SINCRONIZACIÓN Y TEORÍA DEL CAOS. ｾ＠ CAPÍTULO 2 SISTEMAS DINÁMICOS
ｾ＠ CAPÍTULO 3 DIODO DE CHUA ｾ＠ CAPÍTULO 4 CIRCUITO DE CHUA
ｾ＠ CAPÍTULO 5 APLICACIÓN DEL CIRCUITO DE CHUA EN LAS TELECOMUNICACIONES.
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA REFERENCIAS APÉNDICE A APÉNDICE B APÉNDICE C
A mis padres, hermana y
abuelos con mucho amor y
cariño les dedico todo mi
esfuerzo y trabajo puesto
para la realización de esta
Tesis.
A mi madre, por sus enseñanzas e incondicional apoyo.
A mi hermano, por su motivación y confianza.
Índice Pág.
i. Introducción………... 7
ii. Justificación………... 8
iii. Objetivo………... 9
Capítulo 1 Teoría del caos, sincronización y método de Fourier...………. 10
1.1 Caos………... 11
1.2 Determinismo……….. 12
1.3 Caos determinista……….. 12
1.4 Sincronización……….... 13
1.4.1 Importancia de la sincronización………. 14
1.5 Análisis de señales por el método de Fourier... 14
1.5.1 Serie exponencial de Fourier... 16
1.5.2 Transformada de Fourier... 19
1.5.3 Propiedad de convolución en el dominio del tiempo... 23
1.5.3.1 Convolución de una señal con un impulso unitario ... 23
Capítulo 2 Sistemas dinámicos………...…... 25
2.1 Modelo matemático……….……….. 26
2.2 Sistemas………... 27
2.2.1 Sistema no lineal………... 28
2.2.2 Sistema complejo……….. 29
2.2.3 Sistemas lineales………... 29
2.2.4 Sistemas no lineales………..….. 30
2.2.5 Sistema determinista……….…... 31
2.2.6 Sistema dinámico………..…... 31
2.3 Espacio de estados……….….... 32
2.4 Ecuación diferencial……….……... 32
2.5 Reduccionismo………... 33
2.6 Atractor………... 33
2.7 Punto fijo………... 35
Capítulo 3 Implementación del diodo de Chua………... 36
3.1 El diodo de Chua………... 37
3.2 Análisis del diodo de Chua……….... 39
3.3 Simulación del diodo de Chua en Pspice……….... 41
3.4 Desarrollo experimental………... 43
Capítulo 4 Implementación del circuito de Chua………... 46
4.1 Circuito de Chua………... 47
4.2 Simulación del circuito de Chua en Pspice.………... 49
4.2.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en simulación...53
4.3 Desarrollo experimental del circuito de Chua……… 56
4.3.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en laboratorio... 61
Capítulo 5 Aplicación del circuito de Chua en las telecomunicaciones… 63
5.1 Circuito de Chua aplicado en el encriptado y desencriptado de una señal caótica………...…….. 64
5.2 Implementación del sistema básico de comunicaciones…… 72
5.3 Pruebas……….. 74
5.4 Consideraciones generales para un buen funcionamiento del circuito de Chua... 77
Conclusiones……….... 84
Apéndice A……….... 88
Apéndice B………..….. 97
Apéndice C……….…... 99
Apéndice D……….…... 103 88
97
99
i.
Introducción.
El estudio de los sistemas no lineales en la rama de la ingeniería se había limitado solamente al aspecto teórico, en la actualidad se ha tomado interés por estudiarlos de manera más completa, ya sea, llevarlos a la simulación o pasar a un nivel más complejo, refiriéndonos a su implementación, la cuál es de fácil manejo y construcción con las herramientas que hoy tenemos al alcance de nuestras manos gracias a la tecnología, dentro de esta Tesis se desarrolló una de las tantas aplicaciones que se le puede dar a la teoría del caos, la cuál hace uso de los sistemas no lineales de un circuito en particular denominado “circuito de Chua”,
empleando recursos electrónicos para su construcción.
En el capítulo uno se abordan los principios básicos de la teoría del caos, partiendo de simples definiciones de los elementos que conforman dicha teoría, tales como el determinismo y el caos en si mismo, revisando la sincronización, propiedad fundamental dentro del circuito de Chua y pieza clave para una transmisión exitosa, así como el estudio de señales a través del método de Fourier, ya que éste es fundamental en el tratado de comunicaciones.
Posteriormente el capítulo dos trata los conceptos elementales para comprender la construcción del diodo de Chua, que consta de un modelo matemático y un sistema de ecuaciones.
El capítulo tres se enfoca a la implementación de diodo de Chua, ya que se considera el elemento más importante para el correcto funcionamiento del circuito de Chua.
ii.
Justificación.
Hoy en día se requiere hacer uso de nuevas teorías para la protección de información dentro de los equipos de comunicaciones, es así que se decidió poner en práctica lo propuesto por la teoría del caos.
Se decidió implementar un circuito que ayudará en el enmascaramiento de información a nivel hardware, con esta implementación se comprobó el comportamiento caótico al simular e implementar una transmisión de datos de forma segura.
iii.
Objetivo.
“Construir e implementar un circuito de Chua para su aplicación en la sincronización
CAPÍTULO 1
“Teoría del caos
,
sincronización y
Los siguientes conceptos hacen referencia al marco teórico de la teoría del caos y método de Fourier en los que se fundamenta esta Tesis.
1.1 Caos.
Antítesis del cosmos clásico y, por extensión, todo lo que carece de un orden discernible. Situación errática en la que toda previsión es imposible.
El caos es la misma esencia del orden [1], si bien establece que cambios diminutos pueden causar fluctuaciones gigantescas, uno de los conceptos más importantes de esta ciencia es que aunque resulte imposible predecir exactamente el estado futuro de un sistema, es algo casi trivial modelar su conducta global [2].
Cualquier sistema que no sea perfectamente aleatorio puede ser caótico [3].
El caos es la conducta efectivamente impredecible a largo plazo, que surge de un sistema dinámico determinista, la clave para la impredictibilidad a largo plazo radica en una propiedad que se conoce como sensibilidad a las condiciones iníciales [4].
Para que un sistema dinámico sea caótico debe tener un gran conjunto de condiciones iníciales que sean altamente inestables, de modo que sin importar con que precisión se midan, la predicción de su futuro se volverá radicalmente errónea luego de poco tiempo.
De las observaciones anteriores se establece la teoría del caos, la cuál consiste de manera muy general, en el estudio de los sistemas complejos siempre cambiantes, de manera inconstante y aperiódica, que están basados en la recursión y sofisticados algoritmos matemáticos que se ejecutan a través de un conjunto de ecuaciones diferenciales sirviendo como modelo a un sistema físico [5].
es decir, su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iníciales.
1.2 Determinismo.
Movimiento filosófico que pretende establecer la veracidad de que todo hecho o acto resulta de las causas que lo determinan desde una perspectiva extrema de causa y efecto.
1.3 Caos determinista.
Se refiere a un comportamiento determinista pero impredecible a largos tiempos, de sistemas no lineales con muy pocos grados de libertad.
Tres son aquí las palabras clave:
a) Sistemas deterministas. Sistemas descritos, sin ninguna clase de ruido o fluctuación, por sistemas de ecuaciones diferenciales o por sistemas de aplicaciones iterativas.
b) Sistemas no lineales. Se trata de sistemas controlados por aplicaciones o ecuaciones diferenciales no lineales. Esta característica es imprescindible pues los sistemas lineales no pueden presentar comportamientos Caóticos.
1.4 Sincronización.
Definimos a la sincronización como la satisfacción de restricciones temporales en la interacción de los procesos. Podemos decir que sincronizar se refiere a que dos o más elementos, fenómenos, eventos u operaciones sean programados para que ocurran en un orden y/o momento predefinido de tiempo o lugar.
Los conceptos de sincronización y comunicación se interrelacionan: La comunicación requiere normalmente sincronización y la sincronización se puede considerar comunicación sin contenido [7].
Al sincronizar el caos nos referimos a procesos donde dos o más sistemas caóticos (equivalentes o no equivalentes entre ellos) se ajustan para dar propiedades de movimiento común debido al acoplamiento o a una fuerza (periódica o ruidosa) [8].
La idea que subyace bajo el fenómeno de sincronización es que dos sistemas caóticos, que inicialmente evolucionan sobre atractores diferentes, al acoplarse de algún modo, finalmente siguen una trayectoria común. La sincronización entre dos sistemas (consultar capítulo 2) se consigue cuando uno de los dos sistemas cambia su trayectoria a la seguida por el otro sistema o bien a una nueva trayectoria común a ambos sistemas.
Un factor decisivo dentro de la sincronización es el tipo de acoplamiento, para esta Tésis y por conveniencia utilizaremos el acoplamiento unidireccional.
configuración es conocida como maestro-esclavo. Lo cuál resulta óptimo en la aplicación a comunicaciones seguras.
1.4.1 Importancia de la sincronización.
La sincronía dentro de un sistema de comunicaciones se vuelve crítica conforme la información a transmitir aumenta, de ahí que nos interese emplear los recursos que nos brinda la teoría del caos para poder manipularla y obtener un dispositivo confiable para ser usado dentro de las comunicaciones seguras.
Al existir sincronización se obtiene precisión de la información y la incertidumbre de tener datos de calidad se reduce, ya que se asegura que los datos intercambiados entre el transmisor y receptor sean exactos. Se genera la capacidad de detección de conflictos, por ejemplo, cuando hay algún archivo que no está sincronizado correctamente (diferentes versiones de ambos lados).
Se eliminan redundancias onerosas en los sistemas y procesos internos. Ya que el sistema no comparte recursos, no se comunica, no afecta ni es afectado por otros procesos.
El proceso de sincronización puede hacerse manualmente o automáticamente utilizando alguna herramienta de software, lo que permite más confiabilidad. Y aunque en esta Tésis la sincronización solo sea de transmisor a receptor, existe la posibilidad de compresión de datos, si es que la sincronización se hace a través de una red.
1.5 Análisis de señales por el método de Fourier.
La idea básica de la serie de Fourier es que toda señal periódica de período puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo
sus puntos, por el contrario, la excitación no sinusoidal de un sistema impide determinar su respuesta.
De ahí que el análisis de Fourier establezca que cualquier señal no sinusoidal periódica se puede expresar como suma de un número finito o infinito de funciones sinusoidales.
No esta de más el recordar que el principio de superposición, al que obedecen todos los sistemas lineales, específica que cuando un sistema queda sometido a un conjunto de excitaciones, la salida total del sistema (respuesta) es la suma de las respuestas a cada una de las excitaciones individuales.
En consecuencia, el análisis de Fourier y el teorema de superposición proporcionan un método para determinar la respuesta de sistemas lineales sometidos a excitaciones no sinusoidales.
El teorema de Fourier el cuál especifica que cualquier señal periódica
se
puede representar en términos de señales sinusoidales en cualquier intervalo
en donde:
Siendo la frecuencia angular de la señal periódica que se forma con base en
en el intervalo
, es decir:
Las constantes
y se calculan con
:
es el valor promedio de
en el intervalo
.
Es decir, es la componente de corriente directa deen ese intervalo.
Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro, dado lo anterior nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio del tiempo tienen su dual en el dominio de la frecuencia.
1.5.1 Serie exponencial de Fourier.
La señal
es también expresable en términos de componentes exponenciales
en un intervalo
:
Considerando las ecuaciones de Euler:
Retomando la ecuación (1) de una función periódica
y sustituyendo en ella
las ecuaciones (5) y (6):
Llamando:
Haciendo referencia a las ecuaciones correspondientes que toman y , y si
toma valores negativos
en tanto que
, podemos simplificar la siguiente ecuación:
Considerando que:
Obteniendo:
Donde la ecuación (11) es la serie exponencial de Fourier y es el factor de forma.
Para la demostración de considere la expresión obtenida.
Sustituyendo los valores de y , en la expresión:
Considerando los límites de integración de Fubini:
La serie trigonométrica de Fourier y la exponencial son dos formas diferentes de expresar la misma serie, ya que los coeficientes de una serie pueden obtenerse a
partir de los coeficientes de la otra, así sumando y restando las ecuaciones
obtenemos:
1.5.2 Transformada de Fourier.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función (por lo general aperiódica), esta comprende todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal.
Considerando la serie exponencial de Fourier y que
se
Figura. 1.1. Si consideramos podemos pasar de una señal periódica a una señal aperiódica.
La transformada de Fourier presenta un espectro continuo de frecuencia para toda la función. Por tanto, es más fácil saber sobre que ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
Considerando las ecuaciones (11) y (12):
Sustituyendo el factor de forma en la serie exponencial de Fourier:
Y como:
Implica que:
Al sustituir este valor de en la ecuación (13) tenemos:
A medida que aumenta aparecen más armónicas en el espectro y, en el límite
cuando
, el espectro se convierte en función continua de
, que
ahora se transforma en variable continua, es decir
, y así:
En resumen cuando
:
Considerando todo lo anterior, la ecuación (15) y sustituyendo en la ecuación (14) tendremos:
Se obtuvo:
En la ecuación (17) la
constituye el espectro de frecuencias de
; se le
llama función de densidad espectral o simplemente espectro de
y
matemáticamente
se conoce como la transformada directa de Fourier de
.
La ecuación (18) es la transformada inversa de Fourier de
,
es decires la transformada inversa de Fourier de
.
Las ecuaciones (17) y (18) se conocen como par de transformadas de Fourier; simbólicamente se les representa por:De esta manera:
1.5.3 Propiedad de convolución en el dominio del tiempo.
Convolución es un proceso matemático el cuál permite obtener de manera estricta y sencilla la solución real a la interacción de dos señales en el tiempo y en el espacio.
Esta interacción produce una tercera señal la cuál esta conformada por características de ambas señales originales.
Dadas dos señales:
y
La operación convolución entre ellas se define de la siguiente manera.
Considerando que:
Entonces:
Que corresponde a:
Hablar de la convolución en el tiempo es hablar de la multiplicación de los espectros de frecuencia.
1.5.3.1 Convolución de una señal
con un impulso unitario
Empleando el teorema de convolución en el tiempo:
Observamos que la convolución de la función impulso unitario
con cualquier
señal
reproduce la misma señal
.
CAPÍTULO 2
Para respaldar que la teoría del caos parte de un sistema determinista y predecible a largo plazo, se tomaron en cuenta los siguientes conceptos.
2.1 Modelo matemático.
Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.
Obtenemos un modelo a partir de una abstracción de un sistema real eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo, como se observa en la siguiente figura.
Se utiliza para analizar el comportamiento de sistemas complejos ante situaciones que resultan difíciles de observar en la realidad.
Los modelos constituyen una traducción de la realidad física para posibilitar la aplicación de los instrumentos y las técnicas de las teorías matemáticas en el estudio del comportamiento de sistemas complejos. Siguiendo el camino inverso, pueden traducirse los resultados numéricos a la realidad física.
Los modelos matemáticos pueden dividirse en:
a) Deterministas. Son aquellos en los que no hay incertidumbre respecto a la forma del resultado y los datos utilizados son completamente conocidos y determinados.
b) Estocásticos. Son modelos probabilísticos, ya que no se conoce el resultado esperado si no su probabilidad.
Respecto a la función del origen de la información utilizada, los modelos matemáticos pueden clasificarse en:
a) Heurísticos. Se basan en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
b) Empíricos. Se basan en las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.
2.2 Sistemas.
Vamos a considerar que un sistema es una representación matemática de una entidad física que ante el estímulo de una o varias magnitudes físicas (señales) ofrece como respuesta otras magnitudes (señales).
Un sistema puede ser físico o concreto (una computadora, un televisor, un humano) o puede ser abstracto o conceptual (un software).
Ahora bien, los sistemas pueden clasificarse en función de que cumplan o no determinadas propiedades:
a) Memoria. Un sistema es sin memoria cuando la salida en un determinado instante no depende de valores pasados ni futuros de la entrada. Se dice que el sistema tiene memoria cuando no cumple esta propiedad.
b) Causalidad. Es también llamado Anticipativo cuando la salida en un determinado instante no depende de valores futuros de entrada.
c) Invertibilidad. Es Invertible cuando siempre es posible recuperar la entrada al sistema conociendo la salida.
d) Estabilidad. Existen varios criterios de estabilidad, el más utilizado en el
estudio de sistemas es el denominado “entrada acotada, salida acotada”, es decir el sistema es estable sí para una entrada dada existe una salida dada.
e) Linealidad. Es lineal si cumple con las condiciones de superposición.
f) Invarianza. El sistema es invariante, o dicho de otra manera invariante en el tiempo, si el comportamiento del sistema no depende del instante en que se le aplique la excitación.
2.2.1 Sistema no lineal.
2.2.2 Sistema Complejo.
Es aquel que está compuesto por muchas partes y, de hecho, en el campo de las matemáticas se conoce como teoría de la complejidad, está integrado por una gran cantidad de temas complementarios traslapados entre sí; se podría decir que es un sistema con muchos grados de libertad no equivalentes entre si y, a diferencia del caos que es el estudio de cómo los sistemas simples pueden generar conductas complicadas, la complejidad es el estudio de cómo los sistemas complejos pueden generar conductas sencillas , lo que quedaría ejemplificado por la sincronización de los sistemas biológicos desde las luciérnagas hasta las neuronas .
Cada sistema existe dentro de otro más grande, por lo tanto un sistema puede estar formado por subsistemas y partes, y a la vez puede ser parte de un súper sistema.
2.2.3 Sistemas lineales.
En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.
Aditividad:
Homogeneidad:
Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como principio de superposición.
Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en que espacio matemático se encuentra la solución. Podría ser un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.
Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.
2.2.4 Sistemas no lineales.
Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento o evolución que regulan el comportamiento del sistema son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.
Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.
Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento caótico, por lo tanto, no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento caótico son las olas gigantes. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de interés general han sido extensamente estudiados, la vasta mayoría son pobremente comprendidos.
Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.
2.2.5 Sistema determinista.
En este sistema el azar no está involucrado en los futuros estados de éste. Es decir, si se conoce el estado actual del sistema, las variables de ambiente y el comportamiento del sistema ante los cambios, entonces está totalmente determinado por el estado futuro del sistema.
Un sistema físico es determinista sí, dado las mismas condiciones experimentales, repite siempre la misma conducta. En forma más precisa, su conducta es una sucesión de valores de un conjunto de variables dinámicas que aparecen en el transcurso del tiempo y que especifican el estado del sistema en cada instante t. Si el
conjunto inicial de estas variables dinámicas es el mismo cada vez, el sistema bajo estudio experimental pasará siempre por la misma sucesión de valores (evolución temporal). En términos matemáticos, se le puede asociar al sistema un espacio de estados y la evolución temporal es una curva si la variación ocurre de manera continua, o de puntos cuando los cambios son discretos.
En estos casos se recurre a una estructura matemática que se llama sistema dinámico y se dice que el modelo sigue una evolución determinista. Técnicamente, se utilizan para la descripción las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
2.2.6 Sistema dinámico.
sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.
Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.
Formalmente un sistema dinámico es el objeto matemático formado por un espacio de estados y una regla que prescribe como varían estos estados a lo largo del tiempo.
2.3 Espacio de estados.
Se refiere al espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estado. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.
2.4 Ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva.
Una ecuación diferencial es una relación entre una función y una o varias de sus derivadas sucesivas. Desafortunadamente no existe un método único para solucionarlas.
química, como rapidez de reacciones, las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos, entre otros más.
En diversos modelos matemáticos, para obtener una ecuación diferencial que describa un problema real, se asume que la situación se rige por leyes simples. Una vez que se construye el modelo en forma de ecuación diferencial, lo que viene es solucionarla y con estas soluciones, se hacen predicciones relativas al comportamiento del problema en cuestión.
2.5 Reduccionismo.
El reduccionismo indica que todo el resto de la realidad, no es finalmente más que partículas en movimiento.
2.6 Atractor.
Se define como el punto ubicado dentro de un espacio n-dimensional que genera una fuerza de atracción hacia si mismo, a partir de un campo infinito y cuyo grado de atracción, depende de determinada función de la distancia.
Es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas.
Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, o una variedad.
El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.
Los atractores, son patrones en un espacio matemático que describen el comportamiento de los sistemas a lo largo de su recorrido. Los atractores dibujan los distintos tipos de comportamientos que pueden tener lugar en un sistema teniendo en cuenta las condiciones que afectan a ese sistema. De alguna manera capturan las soluciones, también llamadas órbitas, del sistema.
A la transición de un atractor a otro se le llama bifurcación. En la teoría del caos, los sistemas dinámicos se estudian a partir de su "espacio de fases", es decir; la representación coordenada de sus variables dependientes.
Existen algunos tipos de atractores:
a) Atractor de punto fijo. Corresponde al más simple, el sistema que cuente con este tipo de atractor tenderá a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto a la vertical.
b) Atractor de ciclo límite o atractor periódico. Este tipo de atractor tiende a mantenerse en un periodo igual para siempre.
c) Atractor caótico. Aparece en sistemas no lineales que tienen una gran sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el atractor de Lorenz.
d) Atractores extraños. Punto que ejerce una fuerza de atracción radial de manera no lineal y genera una cuenca orbital que produce trayectorias aperiódicas e irregulares en los objetos que caen dentro de su horizonte de influencia.
diferentes escalas. A estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas se les llama "objetos fractales".
Los atractores extraños tiene algunas propiedades: las trayectorias permanecen confinadas en una región del espacio de fases pero se separan de sus vecinas a velocidad exponencial.
El mecanismo básico que subyace bajo esta dinámica es conocido como
“estiramiento y plegado” (stretching and folding), en un atractor extraño el flujo típicamente estira los volúmenes y luego los pliega sobre sí mismo. Este proceso genera como veremos una dependencia sensible respecto condiciones iníciales.
2.7 Punto fijo.
CAPÍTULO 3
Una vez presentadas las bases teóricas se dio paso a la implementación del diodo de Chua.
3.1
El diodo de Chua.Dentro del desarrollo de los sistemas caóticos existen varios tipos de circuitos desarrollados para la generación de caos, entre ellos el circuito de Chua, el cuál se muestra en la siguiente figura.
Figura. 3.1. Diagrama eléctrico del circuito de Chua.
alguna fuente externa de potencia al que llamamos diodo de Chua (NR; non linear resistor) o memristor, que es el elemento más importante.
El comportamiento de NR es descriptible a través de una aproximación a segmentos como una curva de transferencia. Podemos también, llamar a esta curva como una respuesta de corriente contra voltaje no lineal. Debido a la implementación de este diodo también llamado resistor activo se da lugar a una curva cuya pendiente es negativa. Aunque diversos estudios han arrojado resultados en los que la curva de transferencia puede tener muchas formas, el circuito original de Chua nos especifica una curva impar o línea por partes, esto es de tres segmentos como se observa en la siguiente figura.
Figura. 3.2. Muestra de la curva característica de la función lineal (Curva de transferencia del diodo de Chua).
implementación del elemento NR requiere solo de amplificadores operacionales (consultar apéndice A) y resistores como se observa a continuación.
Figura. 3.3. Síntesis del elemento no lineal NR en el circuito de Chua.
3.2 Análisis del diodo de Chua.
Observemos que el circuito sustituye la resistencia no lineal NR o memristor, se tienen que tomar en cuenta tres puntos de funcionamiento del amplificador operacional para el análisis del diodo:
Saturación negativa
Saturación positiva
Donde es el voltaje de entrada del amplificador y el voltaje de offset. Tomando en cuenta que el amplificador operacional tiene una entrada máxima de voltaje, por lo tanto, consideramos lo siguiente:
Multiplicamos la ecuación (25) por
:
Obtenemos:
Para voltaje máximo de salida:
3.3 Simulación del diodo de Chua en Pspice.
Se estudió el comportamiento del diodo de Chua para ser empleado como circuito generador de caos. El software Pspice es complejo pero a su vez más exacto en simulaciones y modelados debido a ello se decidió utilizar dicho software.
Los valores y cantidades de elementos utilizados se muestran a continuación en la tabla 1, dichos valores tomados para representar no linealidad fueron recomendados en la referencia [10].
Elemento Valor
OPAM 1, OPAM 2 TL082
R1, R2 220 Ω
R3 1.8 kΩ
R4, R5 22 kΩ
R6 3.3 KΩ
RS 1000 Ω
VSIN 1 10 V,31 Hz
VDC 2 15 V
Para comprobar el comportamiento del diodo de Chua y obtener su curva característica (Figura. 3.2) el prototipo se simuló inyectando una fuente sinusoidal, el arreglo experimental para medir dicha curva también funciona en la simulación.
Se aplica un voltaje Vs de una función sinusoidal al circuito en serie compuesto por una resistencia sensible Rs, y el diodo de Chua o elemento no lineal NR, se recomienda alimentar al TL082 con 15 V como se observa en la siguiente figura.
Figura. 3.4. Circuito utilizado para la simulación en Pspice del diodo de Chua.
La resistencia sensible Rs fue utilizada para poder medir la corriente IR que fluye por todo el diodo cuando se aplica un voltaje a sus terminales. Por comodidad Rs es
En la siguiente figura se observa la curva característica del diodo de Chua obtenida por medio de la simulación con el circuito de la figura 3.4.
Figura. 3.5. Curva característica del diodo de Chua obtenida en la simulación.
3.4 Desarrollo experimental.
Figura. 3.6. Desarrollo experimental del diodo de Chua.
Como ya se mencionó anteriormente este diodo NR o memristor tiene una respuesta de corriente contra voltaje no lineal, esta es su principal característica, experimentalmente obtuvimos una curva impar, que tiene forma lineal por partes de tres segmentos (Figura. 3.7).
Figura. 3.7. Curva característica del diodo de Chua obtenida en el laboratorio.
Al comparar las tres curvas: teórica (Figura. 3.2), simulada (Figura. 3.5) y experimental (Figura. 3.7), la similitud en ellas es grande, pero si se observa detalladamente la pendiente negativa del lado derecho de la figura 3.7 se puede ver que no es totalmente recta y tiende a tomar una forma de curva, esto se debe a que en la práctica los elementos y dispositivos no son ideales y en la teoría y la simulación si lo son.
De esta forma se comprobó que los resultados obtenidos en la implementación corresponden a los resultados en simulación y teoría.
CAPÍTULO 4
“Implementación
del circuito de
Ya analizado el diodo de Chua se dio paso a implementar el circuito de Chua haciendo las pruebas pertinentes para corroborar su funcionamiento.
4.1 Circuito de Chua.
El circuito de Chua del cuál ya se describió su estructura física en el capítulo anterior es un circuito muy manipulable en el estudio de los sistemas no lineales ya que es autónomo, lo que significa que no es necesario que lo alimentemos con fuentes de A.C, para que produzca un comportamiento caótico, solo es necesaria una fuente sinusoidal para polarizarlo.
Cabe mencionar que presenta una gran dependencia a las condiciones iníciales como valores de los elementos y voltajes de entrada.
El circuito esta formado por dos partes como se muestra en la siguiente figura.
La parte A la llamaremos oscilador amortiguado ya que esta formada por elementos pasivos, condensadores, resistores y bobinas. La parte B es el elemento no lineal denominado diodo de Chua o memristor. Este elemento actúa como una fuente de energía de todo el circuito, su función es retroalimentarlo y mantenerlo oscilando [10].
El análisis del diodo de Chua el cuál arroja un sistema de tres ecuaciones autónomas fue tomado de la referencia [10] dichas ecuaciones se muestran a continuación.
Con estas ecuaciones verificamos por medio de la corriente en la resistencia de pendiente negativa que:
4.2 Simulación del circuito de Chua en Pspice.
Una vez que el diodo de Chua simulado en el capítulo 3 funcionó correctamente procedimos a conectarlo al circuito de Chua, para llevar acabo la simulación en conjunto.
Cabe mencionar que se conecto a una fuente sinusoidal de 15V para que en la pantalla arrojada por Pspice la imagen sea clara y se pueda observar en forma correcta, este circuito se muestra en la siguiente figura.
Figura. 4.2. Simulación del circuito de Chua.
Elemento Valor
C1 10 n
C2 100 n
L1 18 mH
Rs 1750Ω
Tabla 2. Valores correspondientes a los elementos empleados para la simulación de la parte A del circuito de Chua.
Las curvas o señales obtenidas (Figura 4.3) corresponden a los valores de voltajes del C1 (
) y C2 (
).
La señal de color azul muestra
y la señal de color amarillo muestra
obtenidas en el dominio del tiempo.
Posteriormente obtuvimos las señales en el dominio de la frecuencia (Figura 4.4 y Figura 4.5) sabiendo que Pspice es capaz de obtener este espectro de una forma sumamente sencilla.
Simplemente se debe simular la variable seleccionada (en nuestro caso el voltaje en cada uno de los capacitores) y presionar el botón de transformada rápida de Fourier (FFT), de inmediato la gráfica se transformará en una señal cuyos puntos máximos muestran en el eje Y la magnitud de cada onda y en el eje X la frecuencia de dicha onda.
Figura. 4.5. Transformada rápida de Fourier (FFT) de
.
Podemos observar en la figura 4.2 que Rs tiene un valor de 1750Ω, es importante mencionar que esta resistencia es variable y que este valor es el adecuado para que junto con las condiciones iniciales el circuito de Chua nos arroje la mejor respuesta de caos.
Para demostrar esto, la simulación tiene que ser vista en modo XY con las mismas condiciones que en la simulación en dominio del tiempo, en Pspice a esto se le conoce como barrido en DC.
Por esta razón se tomó como imagen del doble scroll la siguiente figura.
Figura. 4.6. Doble scroll o atractor de Chua [12].
4.2.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en simulación.
Como se estudio en el capítulo uno, la convolución entre la función impulso unitario y cualquier otra señal tiene como resultado la misma señal, es así como al implementar un tren de impulsos en la entrada del circuito de Chua se logró conocer tanto la respuesta al impulso (Figura. 4.8) como la función de transferencia (Figura. 4.9) del circuito de Chua.
Figura. 4.7. Circuito de Chua con un tren de impulsos para obtener su función característica.
Es importante mencionar que para que el tren de pulsos cuadrados se aproxime a un tren de impulsos es necesario que la duración de cada pulso cuadrado sea lo mas pequeño posible.
Figura. 4.8. Respuesta al impulso del circuito de Chua.
4.3 Desarrollo experimental del circuito de Chua.
Manejando las mismas condiciones que en la simulación se llevo acabo la implementación del diodo del circuito de Chua, primero se construyó un prototipo en protoboard el cuál se muestra en la figura siguiente.
Figura. 4.10. Prototipo del circuito de Chua en protoboard.
Figura. 4.11. Señales obtenidas de la implementación del circuito de Chua.
Por medio de la herramienta de la transformada rápida de Fourier (FFT) del osciloscopio se obtuvieron las señales en el dominio de la frecuencia de
Figura. 4.13. Transformada rápida de Fourier (FFT) de
.
Como ya se mencionó en el capítulo dos, los atractores extraños son aquellos atractores que exhiben una dependencia extremadamente grande a las condiciones iniciales o mejor dicho dependen de estas, todas las trayectorias que se encuentren o comiencen en un atractor extraño se separan de forma exponencial.
El atractor puede considerarse extraño (Figura. 4.6) si el punto ejerce una fuerza de atracción radial de manera no lineal y genera una cuenca orbital que produce trayectorias aperiódicas e irregulares en los objetos que caen dentro de su horizonte de influencia [13].
El circuito de Chua como ya se mostró es un circuito caótico el cual genera como
respuesta un atractor de nombre “atractor de Chua”.
De la misma manera que en la simulación, la forma de corroborar que estamos en las condiciones óptimas para generar caos es viendo el modo XY en el osciloscopio.
En esta ocación fue posible obtener el atractor de Chua o doble scroll, el cuál se muestra en la siguiente figura.
Figura. 4.14. Doble scroll o atractor de Chua obtenido en el laboratorio .
Como ya se mencionó la figura anterior es obtenida mediante la medición en C1 y C2 en modo XY del osciloscopio.
Observemos que la trayectoria se detiene en un punto, permanece invariante hasta que una perturbación física lo modifique, en nuestro caso la perturbación física esta dada por el valor del potenciómetro.
A medida que se llega a un valor (1750 Ω) donde las oscilaciones con un mismo
plano de fase muestran una ruta caótica (Figura 4.14).
Esto significa que hay aparición de caos en el sistema o circuito, no es posible cuantificar las orbitas ya que no se distinguen de manera clara, pero si sabemos que están oscilando y manteniendo su fase (estados sucesivos de un sistema en evolución, tienen la misma intensidad pero retrasadas en el tiempo una respecto de la otra).
Para la figura 4.14 se encuentra el comportamiento dinámico y el plano de fases para las condiciones donde el circuito de Chua genera caos.
La gráfica que representa el comportamiento del circuito de Chua (Figura 4.6), se compone de tres señales correspondientes a cada uno de los planos(X, Y, Z).
X toma el valor del voltaje a través del capacitor C1, Y es el valor del voltaje a través del capacitor C2, y Z representa el valor de la corriente a través de la bobina (inductor).
La corriente de la bobina determina la trayectoria y el comportamiento de los primeros valores del doble scroll en el tiempo, debido a esto se observó como el sistema se acopla a las dos frecuencias de corte (orbitas).
4.3.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en laboratorio.
Para confirmar que la implementación del circuito de Chua arrojó los mismos resultados que la simulación se decidió obtener la respuesta al impulso (Figura 4.15) del circuito de Chua en el laboratorio tal y como se realizó en la simulación, los resultados se muestran a continuación.
Figura. 4.15. Respuesta al impulso del circuito de Chua.
Figura. 4.16. Función característica del circuito de Chua.
CAPÍTULO 5
“
Aplicación del
circuito de Chua en
las
5.1 Circuito de Chua aplicado en el encriptado y desencriptado de una señal caótica.
En el capítulo anterior se mencionó que el circuito de Chua es de gran utilidad para producir una señal caótica (cuando obtenemos el doble scroll), esta señal se usa en la transmisión segura de la información.
El siguiente diagrama a bloques muestra el sistema lineal básico de comunicaciones, el cual se conforma de un transmisor (Tx), un canal (r (t)) y un receptor (Rx).
Figura. 5.1. Sistema lineal básico de comunicaciones.
necesario para que la sincronización exista y con ello la señal
del receptor se
acople perfectamente con la del transmisor
. Al recibir la señal se pasa por otro circuito similar al del transmisor y después se separan comprobando que se obtiene la señal
tal y cuál se envió.
Cabe resaltar que la transformada de Fourier de la señal
es de suma importancia para corroborar si el circuito del sistema básico de comunicaciones funciona correctamente, si tomamos la señal:
Y calculamos su trasformada de Fourier (para revisar la transformada de Fourier algunas señales útiles consultar apéndice B).
Para fines analíticos diremos que,
y
de tal manera que:
[image:66.612.152.474.479.684.2]
Ya que la función
es un seno perpetuo no cumple con la propiedad de integrabilidad (ya que no es finita):
Por lo tanto, no podemos usar la integral de Fourier para encontrar la transformada de la función seno perpetuo de la señal.
Para poder usar la integral de Fourier será necesario multiplicar la señal seno perpetuo por un pulso cuadrado que tenga las siguientes características.
[image:67.612.164.477.388.643.2]Pulso cuadrado
Del cuál su representación geométrica se presenta en la siguiente figura.
Con ello nuestra función cumplirá con la propiedad de integrabilidad (la señal es finita) por lo que ahora, calcularemos la transformada de Fourier de la siguiente señal.
[image:68.612.138.488.217.478.2]
Su representación geométrica la podemos observar a continuación.
Figura. 5.4. Representación geométrica de un seno limitado en el tiempo.
Por lo tanto:
Sustituyendo a la función seno con las ecuaciones de Euler utilizadas en el capítulo 1:
Factorizando:
Aplicando el límite:
Factorizando el signo (-):
Considerando nuevamente la formula de Euler:
Sustituimos la función seno por la función
:
Acomodando la ecuación:
Así la ecuación (43) es la transformada de Fourier de un seno limitado en el tiempo.
Para conocer los parámetros que caracterizan la señal se considera que:
Entonces:
Para conocer los nulos de la función:
Por lo tanto:
[image:71.612.121.502.276.535.2]
Podemos observar la representación geométrica del espectro de la ecuación (43) en la siguiente figura.
Figura. 5.5. Representación geométrica del espectro de la transformada de Fourier un seno limitado en el tiempo.
Considerando la siguiente igualdad:
(
Seno perpetuo)De tal manera que si aplicamos el límite a la ecuación (43):
La representación gráfica de la ecuación (44) se muestra a continuación:
[image:72.612.182.451.158.386.2]
Figura. 5.6. Representación geométrica del seno perpetuo.
Por lo tanto, graficando el valor absoluto de la transformada de Fourier tendremos:
[image:72.612.180.452.462.663.2]Considerando que la transformada de Fourier es puramente imaginaria, es necesario calcular el espectro de fase Vs frecuencia (Figura. 5.8), por lo tanto:
[image:73.612.161.466.142.617.2]
5.2 Implementación del sistema básico de comunicaciones.
Previamente realizados los circuitos de Chua, se pasó a construir el prototipo del sistema lineal básico de comunicaciones, de igual manera que se realizó el diodo y el circuito de Chua primero probamos el prototipo en protoboard como se muestra en la siguiente figura.
[image:74.612.100.522.215.486.2].
Figura. 5.9. Prototipo del sistema.
Debido a que se presentaron problemas en el momento de conectar el circuito de Chua con el sistema básico de comunicaciones por que se tenían bastantes cables, se decidió que para una mejor manipulación y presentación los circuitos fueran llevados a Pcb (consultar apéndice C).
Figura. 5.10. Pcb de cada uno de los circuitos.
5.3 Pruebas
Se decidió una vez conectado el circuito mostrar las figuras con las cuáles se comprobó que la señal enviada fuera la misma que la señal recibida.
Primero, se sincronizaron ambos circuitos de Chua, los dos debian de arrojar la figura de un atractor doble scroll (Figura. 4.14) y solo en esas condiciones y con esos valores se tendría sincronización en ambos lados del sistema, tanto en transmisor como en receptor.
Figura. 5.11. Señal caótica
(azul) y la señal del mensaje (amarilla).
Previamente sincronizados y una vez comprobado que los circuitos tenian las mismas condiciones iniciales que en la simulación se decidio conectar el canal 1 del osciloscopio en la señal del mensaje
y el canal 2 del
osciloscopio en la señal
.
Figura. 5.12. (1) Sincronizacióin en fase señal del mensaje ; (2) señal desencriptada .
Figura 5.13. Sincronizacion en fase vs .
5.4 Consideraciones generales para un buen funcionamiento del circuito de Chua.
Llevar acabo la implementación del circuito de Chua fue complicado, esto debido a errores humanos asi como a variaciones en los dispositivos y elementos que componen el circuito de Chua.
Figura 5.14. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de CD o pila.
Y solo se obtuvó un gráfica mostrando una linea recta equivalente al valor de la fuente que colocaba, como se observa en la siguiente figura.
[image:79.612.113.514.418.679.2]
Para obtener un óptimo resultado se decidió seguir la recomendación de la referencia [10] y fue asi como se obtuvieron los resultados requeridos (Figura 4.3).
[image:80.612.105.522.401.657.2]Figura 5.17. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de 20V.
Como se mencionó en el capítulo 1, el circuito de Chua es un circuito muy sensible a las condiciones iniciales, debido a ello Rs no debe variar y debe colocarse en un
valor de 1750Ω, para nuestro caso, puede variar 5Ω, pero si se revasa ese margen de error la gráfica en tiempo y la obtencion del atractor de Chua es imposible.
A continuación se muestran las grafícas obtenidas para cuatro variaciones: Rs=
Figura 5.19. Gráfica obtenida con un valor de Rs = 1650Ω
Figura 5.20. Gráfíca obtenida con un valor de Rs = 1800Ω
Conclusiones
El circuito de Chua desde su construcción resulta ser un dispositivo aunque simple, muy eficiente, y al ser implementado con un sistema básico de comunicaciones fungió como pieza fundamental para la sincronización de transmisor y receptor y así poder enviar una señal de manera confiable. El circuito de Chua no realiza encriptación ni es la solución para ello, solo es un respaldo a nivel hardware.
La técnica que se utilizó es la de enmascaramiento caótico de la señal, que no es más que la suma de la señal de la portadora de la información con la señal caótica y su posterior separación utilizando una copia exacta del circuito de Chua en el receptor, ya que tanto el transmisor como el receptor deben contar con el mismo tipo de circuito para que la comunicación sea llevada acabo exitosamente, no es un clon exactamente, es una copia por lo que en la práctica nada es ideal, se trató de buscar los valores mas cercanos para cada uno de los elementos que conforman el circuito de Chua y el sistema básico de comunicaciones, si esto no es así no habrá comunicación, para corroborar si el circuito tanto simulado como práctico funcionaron correctamente se tuvo que utilizar el análisis de Fourier que es una herramienta básica en el manejo de comunicaciones.
La importancia de lo antes dicho radica en que este dispositivo puede ser manipulado a conveniencia del usuario, debido a que él únicamente podrá conocer la información enviada y/o recibida, para emplearla de acuerdo a sus necesidades.
Comprendimos también que el analizar y el construir son procesos muy diferentes ya que al analizar solo abordamos aspectos teóricos y fundamentos, y el construir requiere primero, un amplio conocimiento del tema, para después llevarlo a la práctica y tener un sistema tangible.
Durante el desarrollo de la Tesis, se vivieron momentos de tensión y algunas discrepancias, qué aunque por instantes hicieron tedioso el proceso, dejaron ver que el tener diferentes formas de pensar es bueno, ya que se puede observar el problema desde diferentes ángulos, y que valores como la tolerancia, responsabilidad, compromiso y muchos otros son necesarios tanto para culminar un proyecto como para trabajar en equipo.
Bibliografia
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- Stanley I. Grossman. Algebra lineal, segunda edicion, grupo editorial Iberoamerica, 1987.
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Referencias
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[11] Mauricio Espinoza, Analisis y diseño de circuitos analogicos asistido por computadora. 2008; Edicion. No 1, pp.18,39.
[12] Prof. Massimiliano de Magistris. Modulo di teoria dei circuiti, “Una implementazione del circuito di CHUA con operazionali”. Dipartimento di ingegneria elettrica. Università di Napoli, IItaly, 2008; Vol. No 1, pp.12.
Apéndice A
Amplificador operacional.
El amplificador operacional (OPAM) es un circuito integrado monolítico que en primera aproximación proporciona una ganancia y una resistencia de entrada infinita. Originalmente los amplificadores operacionales se empleaban para operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, integración, derivación, etc.) en calculadoras analógicas, de ahí su nombre.
El modelo ideal de un amplificador operacional es un circuito tiene dos entradas y una salida, una ganancia infinita, una impedancia de entrada infinita, un ancho de banda también infinito, una impedancia de salida nula, un tiempo de respuesta nulo y ningún ruido.
[image:89.612.182.452.404.650.2]El esquema de su modelo ideal se puede observar en la siguiente figura:
