Ejercicios resueltos de
Muestreo
Ejercicio 1 Sea una población …nita de 4 elementos: P = f3;4;1;2g: Se consideran muestras de 3 elementos que se suponen extraidos y no devueltos a la población y que el muestreo es aleatorio simple. Las muestras se consideran distintas si se diferencian en algún elemento. Se pide: 1) Escribir todas las muestras posibles 2) Calcular la probabilidad de cada muestra. 3) Calcula la media, ;la varianza, 2 de la población. 4) Calcula la media,x;la varianza,
S2; y la cuasivarianza, s2c de cada muestra. 5) Describe las funciones de probabilidad de estos estadísticos. 6) Calcula la esperanza E(x); y decide si x es un estimador centrado o insesgado de la media de la población 7) Calcula la esperanza S2;y de s2c y decide si alguno de estos estadísticos son estimadores centrados o insesgados de la varianza de la población. 8) Cálcula la varianza de x: 9) Comprueba la concordancia de los valores obtenidos en los anteriores apartados con los resultados teóricos.
1. Las muestras posibles son f3;4;1g;f3;4;2g;f3;1;2g;f4;1;2g:
2. La probabilidad de extración de cada una de estas muestra es 14 = 1 (4 3)
=
0:25
3. La media de P =f3;4;1;2g es = 2:5 y su varianza es 2 = 1:25
4. Las medias varianzas y cuasivarianzas de cada una de estas muestras están dadas en la tabla siguiente:
muestra media,x Varianza, S2 cuasivarianza,s2c f3;4;1g 2:b6 1.b5 2.b3
f3;4;2g 3 0.b6 1 f3;1;2g 2 0.b6 1 f4;1;2g 2:b3 1.b5 2.b3
5. La función de probabilidad de la medias de la muestra es la siguiente: x Probabilidad
2:b6 1/4
3 1/4
2 1/4
2:b3 1/4
La función de probabilidad de la varianza de la muestra es:
S2 cuasivarianza 1.b5 1/2
0.b6 1/2 La función de probabilidad de la cuasivarianza de la muestra es:
s2
c cuasivarianza 2.b3 1/2
1 1/2
6. La esperanza de la media de las muestra, teniendo en cuenta su función de probabilidad es.
E(x) = 2:666667 14+ 3 14 + 2 14 + 2:333333 14 = 2:5 = :
por tanto x es un estimador insesgado de la media poblacional :
7. La esperanza de la varianza de la muestra, teniendo en cuenta su función de probabilidad es.
E(S2) = 1:5555556 21+ 0:6666667 12 = 1:111 1
La esperanza de la cuasivarianza de la muestra, teniendo en cuenta su función de probabilidad es.
E(s2c) = 2:3333333 12 + 1 12 = 1:666 667
Ninguna de estas esperanzas coincide con la poblacional, 2 = 1:25; así que ninguno de estos estadísticos son estimadores centrados de la varianza de la población.
8. La varianza de la media muestral es:
V ar(x) =E(x) = 2:6666672 1 4+32
1 4+22
1
4+2:3333332 1
4 2:52 =
0:138 89
9. En el caso del muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento se cumple:
a) La esperanza de la media muestral es la media poblacional, tal como se ha puesto de mani…esto en el apartado 6)
Por otra parte:
E(S2) =E(sc2nn1) =E(s2c)nn1 = 2NN1nn1 = 1:666 7 23 = 1:111 1
coincidiendo con el valor obtenido en el primer cálculo del apartado 7).
c) V ar(x) = n2(1 Nn 11) = 1:325(1 23) = 0:138 89 que es el valor obtenido para la varianza de la media muestral en el apartado 8).
Ejercicio 2 Considerando en la población P = f3;4;1;2g ya dada en el problema 1, se realiza un cierto tipo de muestreo en el que las únicas mues-tras posibles son f3;4;1g y f4;1;2g; con la distribución de probabilidad y características indicada en la siguiente tabla
muestra Probabilidad media,x Varianza, S2 cuasivarianza,s2c
f3;4;1g 0.3 2:b6 1.b5 2.b3
f4;1;2g 0.7 2:b3 1.b5 2.b3
1. Calcular la esperanza, la varianza, el sesgo y el error cuadrático medio del estadísticox
2. ¿Es mejor este tipo de muestreo, o el aleatorio simple del problema 1, para estimar la media poblacional?.
1. E(x) = 2:6666667 0:3 + 2:3333333 0:7 = 2:433 3
V ar(x) = 2:66666672 0:3+2:33333332 0:7 2:433 32 = 2:349 5 10 2
Sesgo(x) =E(x) = 2:4333 2:5 = 0:066 7
ECM(x) =E(x )2 =E x2 2x + 2 =E x2 2 E(x) + 2 = 2:66666672 0:3 + 2:33333332 0:7 2 2:5 2:433 3 + 2:52 = 0:02:
794 4:
También podíamos haber empleado la expresión:
ECM(x) =V ar(x) +Sesgo2(x) = 0:023495 + ( 0:0667)2= 2:794 4 10 2
Este estimador no es centrado como el del muestreo aleatorio simple, pero a cambio tiene menos varianza. Para decidir entre ambos com-paramos los errores cuadrático medio del estadístico x:
2. Calculamos el error cuadrático medio del primero, es decir, del muestreo aleatorio simple:
ECM(x) =V ar(x) +Sesgo2(x) = 0:138892+ 02= 0:019 29:
Ejercicio 3 Para estimar la media de una cierta variable se ha dividido los datos de la variable en 4 estratos. Cada uno de estos estratos contiene el número de elementos que se indica:
Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4
Tamaño del estrato 110 512 653 221
1. Si se desea extraer una muestra que globalmente contenga 150 elemen-tos, ¿Cuántos elementos han de asignarse han de seleccionarse de cada estrato.
2. Una vez seleccionada esta muestra, se ha estimado la media y la var-ianza de cada estrato, usando los valores muestreados dentro de el, obteniéndose los valores siguientes.
Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4
media de la muestra 48.3 151 62.5 321
Cuasivarianza de la muestra 25.1 121.2 26.5 423.7
A partir de estos datos realizar un estimación para la media y de la varianza de esta estimación
1. Para calcular el tamaño de la muestra de cada estrato en la a…jación proporcional usamos la siguiente relación:
n1
N1
= n2
N2
= = nl
Nl
= n
N ) ni =Ni
n N =n
Ni N
El tamaño de la población es: N =N1+N2+N3+N4 = 110 + 512 +
653 + 221 = 1496:Por tanto:
n1 =nNN1 = 150 1496110 = 11:029 11
n2 =nNN2 = 150 1496512 = 51:337 51
n3 =nNN3 = 150 1496653 = 65:475 66
n1 =nNN4 = 150 1496221 = 22:159 22:
Se ha redondeado por exceso el mayor de ellos para conseguir que el número de elementos de la muestra global sea 150.
2. Resumiendo la información que tenemos hasta ahora:
X=Phi=1 Ni
Nxi=
110
1496 48:3 + 512
1496 151 + 653
1496 62:5 + 221
1496 321 =
129:93;
V ar(X) =Phi=1 Ni
N
2 (sc)2i
ni
Ni ni
Ni =
110 1496
2 25:1 11
110 11
110 +
512 1496
2 121:2 51
512 51
512 +
653 1496
2 26:5 66
653 66
653 +
221 1496
2 423:7 22
221 22
221 = 0:708 96
Ejercicio 4 Con los mismos datos del ejercicio 3, realizar todos los aparta-dos del mismo, sustituyendo en el enunciado la a…jación proporcional por la óptima.
1. Para calcular el tamaño de la muestra de cada estrato en la a…jación óptima usamos la siguiente relación:
n1
1N1
= n2
2N2
= = nl
lNl = n Pl
1 iNi
)
) ni= iNiPl n j=1 jNj
=nPl iNi j=1 jNj
Estimando la varianza de la población la cuasivarianza de la muestra. Pl
j=1sjNj =s1N1+s2N2+s3N3+s4N4 = 110
p
25:1 + 512p121:2 + 653p26:5 + 221p423:7 =
551:10 + 5636:7 + 3361:5 + 4549:1 = 14098:Por tanto: n1=nPls1N1
j=1sjNj
= 150 55114098:10 = 5:863 6 6
n2=nPls2N2
j=1sjNj = 150
5636:7
14098 = 59:973 60
n3=nPls3N3 j=1sjNj
= 150 336114098:5 = 35:766 36
n4=nPls4N4
j=1sjNj = 150
4549:1
14098 = 48:402 48
Resumiendo la información que tenemos hasta ahora:
Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4 Tamaño del estrato 110 512 653 221
Tamaño de la muestra 6 60 36 48
media de la muestra 48.3 151 62.5 321 Cuasivarianza de la muestra 25.1 121.2 26.5 423.7
2. X=Phi=1 Ni
Nxi=
110
1496 48:3 + 512
1496 151 + 653
1496 62:5 + 221
1496 321 =
129:93;
V ar(X) =Phi=1 Ni
N
2 (sc)2i
ni
Ni ni
Ni =
110 1496
2 25:1 6
110 6
110 +
512 1496
2 121:2 60
512 60
512 +
653 1496
2 26:5 36
653 36
653 +
221 1496
2 423:7 48
221 48
Ejercicio 5 Considerando como población los número naturales impares del 1 al 40 estima la media poblacional por medio de una muestra aleatoria de 8 elementos usando las siguientas técnicas de muestreo:
1. Extrayendo la muestra por medio de un muestreo aleatorio simple con sustitución.
2. Considerando la población en dos estratos: El primer estrato formado por los números de 1 a 10 y el segundo por los números del 10 al 40. Usar asignación proporcional.
3. Considerando la población en dos estratos: El primer estrato formado por los números de 1 a 10 y el segundo por los números del 10 al 40. Usar asignación óptima.
4. Usando un muestreo sistemático.
1. La población esP =f1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29;31;33;35;37;39g: con N = 20 Para seleccionar una muestra de 10 elementos usaremos
el siguiente procedimiento: Tomamos una tabla de numeros aleatorios y consideramos 20 grupos de dos cifras. Los números obtenidos por este procedimiento en la tabla son 03 47 43 73 86, etc. Dividimos estos números por 100, para conseguír un número comprendido entre 0 y 1. A continuación los multiplicamos por 20 y elegimos la parte entera. +1 para conseguir el orden del número que hay que seleccionar. Vamos a seleccionar detalladamente los tres primeros:
0:03 20 + 1 = 1:6:El primer elemento de la muestra es el 1, que ocupa el lugar correspondiente a la parte entera.
0:47 20 + 1 = 10:4: El segundo elemento es el 19 (ocupa el lugar décimo)
0:43 20 + 1 = 9:6:El tercer elemento es el 17
No obstante, como este método sería muy tedioso, por lo que se ha usado un procedimiento de Excel para seleccionar muestras de una población (seleccionar: herramientas !análisis de datos ! muestra): Por este procedimiento se ha obtenido la muestra de 8 elementos sigu-iente
f7:3;37;29;3;19;17;19gcuya media resulto ser xalea= 16:75:
2. La asignación proporcional consiste en elegir 2 elementos del primer estrato y 6 del segundo estrato. Realizando este trabajo con excel se han obtenido las muestras de los dos estratos siguientes: M1 =f7;3gy
segundo estrato 22 estimando ahora la media de la muestra del global resulta:
xprop = 28 5 +68 22 = 17:75
3. Para estimar la desviación de los estratos usamos la cuasidesviación de los estratos extraidos en el apartado 2, cuyos valores son 2.83 y 9.36 respectivamente.
N1s1 = 5 2:83 = 14:15
N2s2 = 15 9:38 = 140:7
N1s1+N2s2 = 14:15 + 140:7 = 154:85:
Así que la signación óptima se realiza de la siguiente forma:
n1= 8 15414:15:85 = 0:731 03
n2= 8 154140::857 = 7:269 0
Redondeando a los enteros más cercanos seleccionamos 1 elemento del primer estrato y 7 del segundo estrato. realizando de nuevo la selección con Excel obtenemos las dos muestras de cada estrato M1 = f9g y
M2 = f25;35;29;15;15;21;17g:La media de la primera muestra es 9
y la media de la segunda es 22.43.
La estimación de la media poblacional usando la a…jación óptima ha resultado ser:
xopt = 28 9 +68 22:43 = 19:073:
Considerando que la media de la población total es 20 resulta que la a…jación óptima da mejor resultado que la a…jación proporcional. El peor resultado se consigue con el muestreo aleatorio. Este resultado no es sorprendente, ya que se demuestra que las varianzas de las estima-ciones de las medias en el muestreo aleatorio es mayor que la varianza de la estimación en el estrati…cado con asignación proporcional y esta a su vez mayor que la varianza de la estimación con a…jación óptima:
V ar(xalea) V ar(xprop) V ar(xopt)
Ejercicios resueltos de
Estimación
Ejercicio 6 Consideremos la variable aleatoria cuya función de densidad es f(x; ) = 1e 1x para x 0 y > 0: Supongamos que disponemos de dos estimadores posible de ; basados en muestras aleatorias simples de tres elementos:
1= x1+x22+x3; 2= x1+x42+x3:
Se pide:
1. Deducir si estos estimadores son insesgados y, si procede calcular su sesgo.
2. Deducir cuál de estos estimadores es más e…ciente.
3. Seleccionar cuál de ellos es mejor estimador.
4. Calcular el error cuadrático medio de ambos estimadores.
5. Si consideramos muestra de n elementos y los estimadores de :
1 = x1+xn2+ +1 xn; 2 = x1+xn2+ ++1 xn: ¿Son estos estimadores
consis-tentes?
1. E( 1) =E x1+x22+x3 = 12[E(x1) +E(x2) +E(x3)] = 32E(x) = 32 ;ya
que la variablex es exponencial
E( 2) =E x1+x42+x3 = 14[E(x1) +E(x2) +E(x3)] = 34E(x) = 34
El sesgo del primero es 32 = 12
El sesgo del segundo es 34 = 14
Ninguno de los estimadores es insesgado, y el segundo es, en este as-pecto, mejor que el primero, porque tiene menos sesgo.
2. V ar( 1) = V ar x1+x22+x3 = 14V ar(x1+x2+x3) = 34V ar(x) = 34 2
ya que la varianza de la xes 2:
V ar( 2) = V ar x1+x42+x3 = 161 V ar(x1+x2+x3) = 163 V ar(x) = 3
16 2:
El segundo estimador tiene menor varianza, así que es más e…ciente que el primero.
3. Considerando estos dos aspectos es mejor el segundo, ya que además de tener menos sesgo, tiene menos dispersión.
4. ECM( 1) =V ar( 1) +sesgo2( 1) = 34 2+14 2 = 2
ECM( 2) =V ar( 2) +sesgo2( 2) = 163 2+ 161 2 = 14 2
5. Tiene que cumplirse: limn!1E(T) = y limn!1Var(T) = 0
limn!1E( 1) =E x1+xn2+ +1 xn = limn!1 n11[E(x1) +E(x2) + +E(xn)] =
limn!1nn1E(x) = :
Veamos si 1 cumple también la segunda propiedad:
limn!1Var( 1) = limn!1Var x1+xn2+ +1 xn = limn!1 1
(n 1)2nV ar(x) =
limn!1(nn1)2 2 = 0 2 = 0:
Así que 1 es un estimador consistente de . Por un razonamiento
parecido puede comprobarse que también 2es un estimador consistente
de :
Ejercicio 7 Dada una distribución binomial B(n,p) y sus muestras de tres elementos fx1; x2; x3g, comprobar que el estimador de p conseguido por el
método de los momentos igualando la media muestral y la media poblacional es al mismo tiempo un estimador de máxima verosimilitud para p.
Calculamos la expresión del estimador. La media poblacional es, en el caso de la binomial np la media muestral de las muestras de tres elementos es:
:Igualando ambas expresiones obtenemos: np=x= x1+x2+x3
2 :Despejandop;se obtiene pb=
x n:
Hallamos ahora el estimador de máxima verosimilitud parap:
La función de verosimilitud, sería ahora el producto de las probabilidades correspondientes a los valores de la muestra:
Como la función de probabilidad de la binomial es, llamandox a la vari-able,P(X=b) = nb pb(1 p)n b;entonces la función de verosimilitud sería:
V(x1; x2; x3;p) =
h n x1 p
x1(1 p)n x1
i h n x2 p
x2(1 p)n x2
i h n x3 p
x3(1 p)n x3
i
=
ln [V(x1; x2; x3;p)] = ln
h n x1
n x2
n x3
i
+(x1+x2+x3) lnp+[3n (x1+x2+x3)] ln(1
p)
Hallando ahora la derivada con respecto ap e igualando a 0 obtenemos
(x1+x2+x3)1p [3n (x1+x2+x3)] 1 1p = 0;
Ejercicio 8 x1+x2+x3
p =
3n (x1+x2+x3)
1 p ;
Despejandopobtenemospb= x1+x2+x3
3n =
x
n:Por lo tanto el estimador que se había obtenido por el método de los momentos es también el de máxima verosimilitud. Conviene sustituir este valor depen la derivada segunda para asegurarse que es un máximo y no un mínimo (La derivada segunda ha de ser negativa). Como el intervalo de de…nición de p es cerrado se debe hallar la verosimilitud en los extremos de p que son 0 y 1. Pero se puede observar fácilmente que V(x1; x2; x3; 0) = 0yV(x1; x2; x3; 1) = 0:
Ejercicio 9 La siguiente tabla es la tabla de frecuencias de la edad en meses en la que empezaron a andar una m. a. s. de 240 niños.
Edad 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
frecuencia 13 35 44 69 36 24 7 3 2 5 1 1
1. Construir una Diagrama de Barras para la variable edad. A la vista de esta grá…ca decida si la variable edad parece ser normal y si el promedio de la muestra se distribuirá como una normal.
2. Calcular la media, el error estándar y un intervalo de con…anza para la edad media en que estos niños han comenzado a andar.
3. Si se desea que el margen de error sea de sólo de 0.5 meses, ¿Cuán-tos niños debería contener la muestra manteniendo el mismo nivel de con…anza
1. El Diagrama de barras presenta este aspecto:La distribución de la edad no parece normal, pues no parece que la grá…ca sea simétrica. No obstante, el promedio de edad, según el teorema central del límite se aproximará a una normal, ya que el tamaño de la muestra es amplio (n= 240>>30):
2. La media es:
x= N1 PNn=1nixi= 2401 (13 9 + 35 10 + + 20 1) = 12:08meses
El error estándar de la muestra es psc
Diagrama de barras para edad
0 10 20 30 40 50 60 70 80
9 11 13 15 17 19
edad
frecu
en
ci
as
frecuencias
s2c = NN1S2= NN1 N1 PNn=1nix2i x2 =
= 240239 2401 (13 92+ 35 102+ + 1 202) 12:082 = 3:71
Error estándar = psc
n = p
3:71=p240 = 0:124 33. Este valor es una estimación de la deviación típica del promedio de edad para muestras con 240 elementos.
Para calcular el intervalo de con…anza hay que considerar que la vari-anza es desconocida. Por tanto el intervalo de con…vari-anza sería:
(x tn 1;1 2pscn; x+tn 1;1 2 pscn):No obstante como la muestra es muy
grande puede sustituirse la t de Student por la normal estándar. Así que este intervalo se obtendría:
(x z1 2 pscn; x+z1 2pscn) = (12:08 1:96 0:124 33;12:08 + 1:96
0:124 33) = (11:836;12:324)
3. El error de precisión es z1 2 pscn
Asi que queremos quez1
2
sc
p
n <0:5
1:96 pp3:71
Ejercicio 10 Calcular estimadores de máxima verosimilitud para los parámet-ros y de una distribución normal, suponiendo que ambos parámetros son desconocidos. Considerar muestras de muestras con 3 elementos
En este caso la función de densidad es: p1
2 e
1 2(
x )2
, así que la función de verosimilitud será:
L(x1; x2; ::::xn; ) =f(x1; )f(x2; ):::f(xn; ) =
= p1
2 e
1 2
x1 2
1
p
2 e
1 2
x2 2
1
p
2 e
1 2
x3 2
El logaritmo neperiano de esta función de verosimilitud es:
3 ln p1
2 1 2
x1 2 1
2
x2 2 1
2
x3 2
Considerando las derivadas parciales con relación a y a e igualando ambas a 0, se obtiene el sistema. La derivada con respecto a igualada a 0 es:
0 22 x1 1 2
2
x2 1 2
2
x3 1 = 0
31 x1 (x
1 ) 12
x2 (x
2 ) 12
x3 (x
3
) 12 = 0
Despejando de la primera ecuación , obtenemos su estimación máximo-verosímil:
^ = x1+x2+x3
3 =x
Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del sistema obten-emos, trás multiplicar por :
3 + (x1 x)2 12 + (x2 x)2 12 + (x3 x)2 12 = 0:despejando se obtiene:
c2 = (x1 x) 2+ (x
2 x)2+ (x2 x)2
3
Así que la varianza muestral es estimador de máxima verosimilitud de 2; que es una propiedad deseable para un estimador, teniendo sin embargo el inconveniente de no ser un estimador insesgado: El estimador de máxima verosimilitud para es la desviación típica de la muestra.
b=
r
(x1 x)2+ (x2 x)2+ (x2 x)2
3
Ejercicio 11 Sea una variable aleatoria cuya función densidad viene dada por f(x) =ax2; 0 x ::Se pide:
2. Se ha extraido una muestra de 4 elementos de esta distribución,f2;3;3:5;4g:
Se pide calcular una estimación de máxima verosimilitud para el parámetro
3. Usando la media anterior hallar una estimación para por el método de los momentos.
4. Considerando muestras de n elementos calcula un estimador de por el método de los momentos calcula su media, su varianza, su sesgo, y su consistencia.
5. Una muestra de 60 elementos de esta distribución tiene una media de 24. Estima el valor de y calcula un intervalo de con…anza al 90% (aproximadamente) para la media poblacional.
1. R0 ax2 dx= 13a 3= 1; a= 33
2. La función de veromilitud para la muestra es:
V(2;3;3:5;4; ) = 3322 3332 333:52 3342= 5:715 4 10 5
12 :y 0 x :
Esta última función nos indica que ha de ser mayoro igual que los valores de la muestra. Esta función es decreciente en el intervalo[0; ]; y no está de…nida para = 0; por lo que no tiene máximos relativos en este intervalo. Si hacemos su derivada observaremos que no puede anularse. Así que habrá que usar otros recursos. Es obvio que mientras más pequeño sea mayor será la función de verosimilitud,. pero además debe ser mayor o igual que todos los valores de la muestra, el mejor valor es el mayor valor de la muestra, y por tanto damos a el valor 4, siendo este valor su estimación de máxima verosimilitud.
3. Igualamos la media muestral y la media poblacional. x= 2+3+34:5+4 = 3:125:
La media poblacional es: =E(x) =R0 x 33x2 dx= 34 :Igualando
ambas medias3:125 = 34 ; = 4:166 7:
4. 34 =x;b= 43x;
E(b) = E(43x) = 34E(x1+x2+ +xn
n ) =
4
3nnE(x) =
4 3nn
3
4 = ; asi
que es un estimador insesgado.
V ar(b) =V ar x1+x2+ +xn
n =
1
n2nV ar(x) =
V ar(x)
n : Calculamos ahora la varianza de x:
V ar(x) = R0 x2 33x2 dx 34
2
= 35 2 34 2 = 803 2:Por tanto
Como el estimador es insesgado y el límite de la varianza es 0 para n! 1; :el estimador es consistente.
b= 43x= 43 24 = 32:
5. Como la muestra es amplia podemos suponer que la media se distribuye aproximadamente como una normal y que su intervalo de con…anza puede aproximarse con la expresión:
(X pSc
ntn 1;1 =2; X+ Sc p
ntn 1;1 =2) (2.1)
Como no se conoceSc;que es la cuasivarianza de la muestra, el único recurso disponible es estimar su valor por medio de la expresión:
V ar(x) = 803 2; Sbc = q
3 80
2 = p0:037 5 = 0:193 65 = 0:193 65
32 = 6:196 8:
El valor de = 1 0:90; yt59;0:95 = TInv(0:95; 59) = 1:671 1;así que
el intervalo de con…anza resultará:
(24 6:p1968
60 t59;0:95; 24 + 6:1968
p
60 t59;0:95) = (24
6:1968
p
60 1:6711; 24 + 6:1968
p
60 1:6711) =
