Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Monterrey, Nuevo León a
Lic. Arturo Azuara Flores:
Director de Asesoría Legal del Sistema
Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra
titulada"
", en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que
efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución y
reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o
propios al objeto de EL INSTITUTO.
El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a
otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas
anteriormente de la obra.
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por cualquier violación a los derechos de autor y propiedad intelectual que
cometa el suscrito frente a terceros.
Análisis de Fluidos Mediante una Formulación Lagrangiana
Title
Análisis de Fluidos Mediante una Formulación
Lagrangiana
Authors
Pulido Banda, Iván A.
Affiliation
ITESM
Abstract
Se presenta una investigación, un desarrollo y un código de
elementos finitos con la intención de empezar una línea de
investigación basados en el uso de los procedimientos y
métodos de varios autores para solucionar problemas en los
cuales existen fluidos con superficie libre e interacción con
sólidos. El énfasis que se pone en este trabajo consiste en
comparar los distintos métodos de solución, así como
proponer y mostrar los algoritmos de diferentes casos,
además de presentar casos resueltos con el código propio.
En este trabajo se muestra el desarrollo para llegar a la
formulación y realización del código de elementos finitos.
Este desarrollo comienza desde el tipo de formulación
empleada, en este caso, el método del Cálculo Finito; la
representación de las ecuaciones generales para un flujo
incompresible viscoso; la adhesión de ecuaciones para
lograr su estabilización; la representación del sistema de
ecuaciones en su forma de residuos ponderados; y, por
Último, la discretización de las variables y matrices que
conforman el sistema con elementos triangulares. Como
parte final, se expone de manera detallada el algoritmo
empleado, tanto en su forma esquemática como en la
programación; se muestran y comparan resultados de
ejemplos generales por medio del código y de referencias
en la literatura; y como parte final de este complemento se
presentan casos de referencias para próximas
investigaciones y también ejemplos sencillos de las
diferentes matrices y vectores utilizados.
Discipline
Ingeniería y Ciencias Aplicadas / Engineering & Applied
Sciences
Item type
Tesis
???pdf.cover.sheet
.dc.contributor.adv
isor???
Sergio Gallegos Cázares
???pdf.cover.sheet
.thesis.degree.disci
pline???
Graduados e Investigación
???pdf.cover.sheet
.thesis.degree.prog
ram???
Campus Monterrey
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
ANÁLISIS DE FLUIDOS MEDIANTE
UNA FORMULACIÓN LAGRANGIANA
T E S I S
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL
PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DE MANUFACTURA
POR:
IVÁN ALBERTO PULIDO BANDA
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis
presentado por el Ing. Iván Alberto Pulido Banda sea aceptado como requisito parcial
para obtener el grado académico de:
Maestro en Ciencias en Sistemas de Manufactura
Especialidad en Diseño e Innovación de Productos
Comité de Tesis:
_____________________________
Sergio Gallegos Cázares, Ph. D.
Asesor
___________________________
_______________________________
Carlos Iván Rivera Solorio, Ph. D.
Miguel Xicoténcatl Rodríguez Paz, Ph. D.
Sinodal
Sinodal
_______________________________
Federico Ángel Viramontes Brown, Ph. D.
Director del Programa de Graduados en Ingeniería
Dedicatoria
A mi familia por educarme con sus principios, instruirme en mi mente y mi corazón con
sus valores, y por ser un ejemplo de dedicación y entrega.
En especial dedicación a mis padres Hilario Pulido y Sara Banda, y a mis queridos
familiares María de Jesús López y Norma Pulido.
A mis hermanos Ricardo y César, cuyo ejemplo me ha ayudado a tener la fortaleza para
seguir adelante.
Agradecimientos
A Dios primeramente por brindarme la oportunidad de alcanzar todo aquello que me he
propuesto.
A mi asesor, el Dr. Sergio Gallegos Cázares por su dedicación y cooperación para la
realización de este trabajo. Especialmente le agradezco la paciencia y el interés en el
desarrollo y cumplimiento de los objetivos.
Al Dr. Carlos Rivera por su valiosa aportación y comentarios sobre el área de fluidos
comprendida en esta tesis.
Al Dr. Miguel Rivera por su interés en formar parte del comité de tesis y por sus
comentarios en el área de métodos numéricos aplicados a fluidos.
Al Ing. Pedro Orta por brindarme la oportunidad de trabajar y aprender en sus proyectos.
Su amistad, confianza y ayuda son invaluables.
Al Centro de Diseño e Innovación de Productos y al ITESM/CONACYT por el apoyo
que me brindaron para realizar los estudios de maestría.
A mis profesores Dr. Salvador García, Dr. Noel León, Dr. Sergio Gallegos, Dr. Arturo
Molina, Dr. José Luis Gonzáles, por sus valiosas enseñanzas, sobre todo por mostrar con
su propio ejemplo de vida su entrega al desarrollo e investigación.
i
Resumen
Se presenta una investigación, un desarrollo y un código de elementos finitos con
la intención de empezar una línea de investigación basados en el uso de los
procedimientos y métodos de varios autores para solucionar problemas en los cuales
existen fluidos con superficie libre e interacción con sólidos. El énfasis que se pone en
este trabajo consiste en comparar los distintos métodos de solución así como proponer y
mostrar los algoritmos de diferentes casos, además de presentar casos resueltos con el
código propio.
En este trabajo se muestra el desarrollo para llegar a la formulación y realización
del código de elementos finitos. Este desarrollo comienza desde el tipo de formulación
empleada, en este caso, el método del Cálculo Finito; la representación de las ecuaciones
generales para un flujo incompresible viscoso; la adhesión de ecuaciones para lograr su
estabilización; la representación del sistema de ecuaciones en su forma de residuos
ponderados; y por último, la discretización de las variables y matrices que conforman el
sistema con elementos triangulares.
Índice
Capítulo 1
Introducción
1.1
Introducción
1
1.2
Antecedentes
2
1.3
Objetivo
de
la
investigación
3
1.4
Organización
de
la
tesis
4
Capítulo 2
Ecuaciones generales y Método de Formulación
2.1
Objetivo
5
2.2 Ecuaciones gobernantes de la mecánica de fluidos
5
2.2.1
Esfuerzos 5
2.2.2
Conservación
de
masa
8
2.2.3 Conservación de momentum o equilibrio dinámico
9
2.2.4 Conservación de energía y ecuación de estado
9
2.2.5
Ecuaciones
de
Navier-Stokes
11
2.3
Tipos
de
fluidos
13
2.3.1
Fluido
incompresible
14
2.4
Método
de
Cálculo
Finito
16
2.4.1 Ejemplo: El problema convectivo-difusivo en una dimensión 16
2.5 Ecuaciones generales para un flujo viscoso incompresible
por el Método de
Cálculo
Finito
23
2.6
Formas
integrales
estabilizadas
26
2.7
Formato
de
residuos
pesados
27
iii
Capitulo 3 Discretización de formato débil a matricial
3.1
Objetivo
31
3.2 Ecuaciones integro-diferenciales gobernantes
31
3.3
Flujo
tipo
Stokes
34
3.4
Selección
de
tipo
de
elemento
35
3.5 Funciones de interpolación particulares
36
3.5.1 Velocidad y proyecciones de gradiente de presión
36
3.5.2
Presión
37
3.6 Resumen de funciones de interpolación
37
3.7
Ecuación
de
momentum
38
3.8 Ecuación de balance de masa, con términos estabilizadores
52
3.9
Ecuación
adicional
para
estabilización
57
Capítulo 4 Algoritmos de solución
4.1
Objetivo
61
4.2 Aproximaciones de las variables
en
el
tiempo
62
4.3 Esquema de solución transitoria
63
4.4
Esquema
de
paso
fraccional
65
4.5
Explicación
de
variables
66
4.6
Caso
7
68
4.7
Caso
3
70
4.8
Caso
1
73
4.9
Caso
extra
76
Capitulo 5 Explicación de código y formulación de casos especiales
5.1
Objetivo
79
5.2
Ejercicio
de
prueba 79
5.2.2
Matriz
de
incidencias
81
5.2.3 Condiciones iniciales y propiedades de material
81
5.2.4
Velocidades
82
5.2.5
Presiones 83
5.2.6 Proyección de gradiente de presión
83
5.2.7 Condiciones iniciales para velocidad
84
5.2.8 Condiciones de presión en la
superficie
libre
84
5.2.9
Fuerzas
de
cuerpo
85
5.2.10
Matriz
M
86
5.3
Explicación
de
Código
87
5.3.1
Código
para
lectura
88
5.3.2
Código
de
solución
90
5.4 Ejemplos base para verificación
de
resultados
103
5.4.1 Distribución de presión para tracción cero
(presión atmosférica)
103
5.4.1.1 Resultados de distribución de presión
104
5.4.2 Distribución de presión para tracción diferente de cero
105
5.4.2.1 Resultados de distribución
de
presión 105
5.4.3
Columna
de
Agua
106
5.4.3.1 Resultados de código con respecto a este problema 111
5.4.3.2 Distribución de presión para una corrida esperada
de
3.5
segundos 112
5.4.3.3 Representación gráfica de vectores de velocidad
en
nodos
114
5.4.3.4 Comparación del comportamiento de pérdida
de
volumen
116
5.4.3.5 Observación sobre elemento no deformado
116
5.4.4
Problema
de
Oscilación
117
5.4.4.1 Resultados de código con respecto a este problema 118
5.4.4.2 Distribución de presión para una corrida
v
5.4.4.3
Representación
gráfica
de vectores de velocidad
en nodos
120
5.4.4.4. Comparación del comportamiento
121
Conclusiones y trabajo futuro
6.1
Objetivo
123
6.2
Investigación
123
6.3
Desarrollo
124
6.4
Continuación
de
la
investigación
125
6.4.1
Remalleo 125
6.4.2
Parámetros
de
estabilización
125
6.4.3
Interacción
fluido-sólido 126
6.4.4
Elementos
libre
de
malla 126
6.4.5 Extensión de conocimientos a sólidos
126
6.4.6 Formulación euleriana a partir de una lagrangiana
127
6.4.7 Programación en un código eficiente
127
6.4.8 Solución del problema en tres dimensiones
127
6.4.9 Desarrollo y elaboración de los diferentes algoritmos
de solución
127
Apéndice A Programas en MatLab
A 1 Código de lectura de datos.
135
A
2
Código
de
solución
de
problema.
137
Apéndice B Temas adicionales
Apéndice
B
3.1 153
Apéndice
B
3.2 154
Apéndice
B
3.3 155
Apéndice
B
3.4 159
Apéndice
B
3.5 161
Apéndice
B
3.6 163
Apéndice
B
4.1 166
Apéndice
B
5.1 167
Apéndice
B
5.2 168
Apéndice C Ejemplos para futuras investigaciones
C 1 Oscilación en recipiente trapezoidal, aplicación a tres dimensiones
169
C 2 Problema de oscilación con restricciones en la parte inferior
170
C
3
Propagación
de
onda
171
C 3.1 Velocidad en eje x
171
C 3.2 Velocidad en eje y
171
C
3.3
Altura
172
C 4 Cambio de dimensiones de contenedor
173
C 5 Llenado de un contenedor con un fluido viscoso
174
C 6 Impacto de ola en superficie
175
vii
Índice de Figuras
Figura 2.1 Tipos de fluidos según su
formato
general. 13
Figura 2.2 Tipos de fluidos según su
formato
general. 13
Figura
2.3
Dominio
real
del
problema. 17
Figura 2.4 Dominio discretizado del problema.
17
Figura 2.5 Equilibrio de flujos en un dominio finito
de balance con una fuente
externa
lineal.
21
Figura
3.1
Áreas
coordenadas. 35
Figura 4.1 Esquema de ciclos iterativos para algoritmo implícito.
72
Figura
5.1
Nodos
ejemplo
prueba
1.
80
Figura 5.2 Elementos para ejemplo prueba 1.
80
Figura 5.3 Valores en archivo de prueba.
81
Figura 5.4 Velocidades iniciales para ejemplo1.
82
Figura 5.5 Presiones iniciales. 83
Figura 5.6 Proyecciones de gradiente
de
presión.
83
Figura 5.7 Proceso para realizar solución del problema.
87
Figura
5.8
Código
de
lectura
1.
88
Figura
5.9
Código
de
lectura
2.
88
Figura
5.10
Código
de
lectura
3.
89
Figura
5.11
Código
de
lectura
4.
89
Figura
5.12
Código
de
lectura
5.
89
Figura
5.13
Código
de
solución
1
90
Figura 5.14 Distribución de presión hidrostática
y presión cero en cara superior y lateral derecha.
90
Figura 5.15 Corrección de presión
sobre
eje
x.
90
Figura 5.16 Distribución de presión hidrostática
y presión cero en cara superior y lateral derecha,
y distribución con respecto al eje x.
91
Figura 5.17 Distribución de presión
hidrostática.
91
Figura
5.19
Datos
de
corrida
a
Excel.
92
Figura 5.20 Variables iji y contj.
92
Figura 5.21 Valores para el tamaño de ventana que muestra resultados.
93
Figura 5.22 Banderas y valores de convergencia.
93
Figura 5.23 Variable para forzar salida de ciclo interno.
94
Figura 5.24 Variable contabilizar el tiempo total de la solución.
94
Figura 5.25 Vector y contador para tiempos a investigar.
94
Figura 5.26 Ciclo interno y externo, valores de convergencia.
95
Figura 5.27 Ciclo para llenado de matrices por elemento.
95
Figura
5.28
Obtención
de
arreglos.
96
Figura
5.29
Obtención
de
arreglos.
96
Figura
5.30
Tracciones.
97
Figura 5.31 Alta de matrices para ensamble.
97
Figura
5.32
Velocidad
para
primer
calculo
98
Figura
5.33
Cálculo
de
primera
velocidad.
98
Figura 5.34 Cálculo de cambio de presión.
99
Figura
5.35
Cálculo
de
nueva
presión. 100
Figura
5.36
Corrección
de
velocidad.
100
Figura 5.37 Cálculo de nueva proyección del gradiente de presión.
100
Figura 5.38. Actualización de posiciones y velocidad,
cálculo de variable de estabilización hm. 101
Figura
5.39
Criterios
de
convergencia. 101
Figura 5.40 Actualización de valores convergidos.
Reiniciar valores para ciclo interior.
102
Figura 5.41 Escritura de valores deseados
a
archivos. 102
Figura 5.42 Esquema de problema para presión cero.
103
Figura 5.43 Malla inicial del problema
de
referencia. 104
Figura
5.44
Resultados
de
presión
cero.
104
ix
Figura
5.48
Malla
inicial.
107
Figura
5.49
Resultados
t
=
1.
108
Figura
5.50
Resultados
t
=
2.
108
Figura
5.51
Resultados
t
=
2.
108
Figura
5.52
Dimensiones
iniciales.
109
Figura
5.53
Resultados
t
=
0.05
110
Figura
5.54
Resultados
t
=
0.10.
110
Figura
5.55
Resultados
t
=
0.15.
110
Figura
5.56
Resultados.
111
Figura
5.57
Esquema
de
columna
de
agua.
112
Figura 5.58 Malla inicial del problema
de
referencia. 112
Figura 5.59 Contorno de presión
tiempo
0.35
s.
112
Figura 5.60 Contorno de presión
tiempo
0.7
s. 112
Figura 5.61 Contorno de presión
tiempo
1.05
s.
113
Figura 5.62 Contorno de presión
tiempo
1.4
s. 113
Figura 5.63 Contorno de presión
tiempo
1.75
s.
113
Figura 5.64 Contorno de presión
tiempo
2.1
s. 113
Figura 5.65 Contorno de presión
tiempo
2.45
s.
113
Figura 5.66 Contorno de presión
tiempo
2.8
s. 113
Figura 5.67 Contorno de presión
tiempo
3.15
s.
114
Figura 5.68 Contorno de presión
tiempo
3.5
s. 114
Figura 5.69 Vectores de velocidad tiempo 0.35s.
114
Figura 5.70 Vectores de velocidad
tiempo
0.7
s.
114
Figura 5.71 Vectores de velocidad tiempo 1.05s.
115
Figura 5.72 Vectores de velocidad
tiempo
1.4
s.
115
Figura 5.73 Vectores de velocidad tiempo 1.75s.
115
Figura 5.74 Vectores de velocidad tiempo 2.1s.
115
Figura 5.75 Vectores de velocidad tiempo 2.45s.
115
Figura 5.76 Vectores de velocidad tiempo 2.8s.
115
Figura 5.77 Vectores de velocidad tiempo 3.15s.
115
Figura 5.79 Comportamiento de pérdida de volumen.
116
Figura
5.80
Comparativo
de
códigos.
116
Figura
5.81
Observación
sobre
elemento.
116
Figura
5.82
Observación
sobre
elemento.
116
Figura
5.83
Variables
del
problema.
117
Figura
5.84
Esquema
de
oscilación.
118
Figura
5.85
Contorno
de
presión
tiempo
1s.
119
Figura
5.86
Contorno
de
presión
tiempo
2s.
119
Figura
5.87
Contorno
de
presión
tiempo
3s.
119
Figura
5.88
Contorno
de
presión
tiempo
4s.
119
Figura
5.89
Contorno
de
presión
tiempo
5s.
119
Figura
5.90
Contorno
de
presión
tiempo
6s.
119
Figura
5.91
Contorno
de
presión
tiempo
7s.
120
Figura
5.92
Contorno
de
presión
tiempo
8s.
120
Figura 5.93 Vectores de velocidad tiempo 2s.
120
Figura 5.94 Vectores de velocidad tiempo 3s.
120
Figura 5.95 Vectores de velocidad tiempo 4s.
120
Figura 5.96 Vectores de velocidad tiempo 5s.
120
Figura 5.97 Vectores de velocidad tiempo 6s.
121
Figura 5.98 Vectores de velocidad tiempo 7s.
121
Figura 5.99 Vectores de velocidad tiempo 8s.
121
Figura 5.100 Vectores de velocidad tiempo 9s.
121
Figura
5.101
Comportamiento
de
extremos.
121
Figura 6.1 Variables para el algoritmo relacionadas con la estabilización
124
Figura B 3.1 Representación de control de volumen.
154
Figura B 3.2 Representación de control de masa.
154
Figura C 1 Movimientos oscilatorios en contenedor trapezoidal.
169
Figura C 2 Esquema de problema oscilatorio con restricciones inferiores.
170
Figura C 3 Esquema de onda solitaria.
171
Figura C 4 Movimientos por cambio en la pared.
173
xi
Figura C 6 Esquema de comportamiento de ola al
impactarse contra una superficie.
175
Índice de Tablas
Tabla
4.1
Variables
de
procedimientos.
65
Tabla 4.2 Posibles valores para las
diferentes
variables.
67
Tabla 5.1 Nodos y coordenadas para ejemplo.
80
Tabla 5.2 Matriz de incidencias de ejemplo 1.
81
Tabla
5.3
Componentes
de
velocidad. 82
Tabla
5.4
Presiones
iniciales.
83
Tabla 5.5 Proyecciones de gradiente
de
presión.
84
Tabla 5.6 Condiciones de frontera para
velocidad.
84
Tabla 5.7 Condiciones de presión atmosférica
(este
caso).
84
Tabla 5.8 Elemento y caras con tracción.
85
Tabla
5.9
Fuerzas
de
cuerpo.
85
Tabla 5.10 Matriz M para elemento 1.
86
Tabla 5.11 Matriz M para elemento 2.
86
Tabla 5.12 Matriz M para elemento 3.
86
Tabla 5.13 Matriz M para elemento 4.
86
xiii
Simbología
ˆ
,
A K
=
Arreglos relacionados a términos convectivos
c =
Velocidad de onda acústica
i
c
=
Proyección de gradiente de término convectivo
D
=
Gradiente de deformación
ij
δ
=
Delta de Kronecker
i
u
δ
=
Campo virtual de velocidad
q
=
Campo virtual de presión
i
c
δ
=
Campo virtual de proyección de gradiente de término convectivo
i
δπ
=
Campo virtual de proyección de gradiente de presión
e =
Energía interna por unidad de masa
E =
Energía total por unidad de masa
ijε
=
Rapidez de deformación
, ,
ξ η ζ
=
Coordenadas
triangulares
G =
Matriz asociada a la velocidad
h =
Longitud característica
e
h
=
Entalpía
específica
eH
=
Entalpía
κ
=
Viscosidad
volumétrica
K
=
Matriz de rigidez del elemento
λ
=
Constante de Lamé
µ
=
Viscosidad cortante o viscosidad
j
n
=
Dirección
normal
Γ =
Frontera
d
n
=
Número de dimensiones
kˆ
L
=
Matriz asociada a la velocidad
M =
Matriz asociada a la rigidez del elemento
ˆ
M
=
Matriz asociada a la proyección del gradiente de presión
Ω =
Dominio
i
π
=
Proyección de gradiente de presión
p
=
Presión
0
p
=
Presión
hidrostática
inicial
qi
=Flujo de calor conductivo
Q =
Matriz asociada a la proyección del gradiente de presión
im
r
=
Residuo de ecuación de momentum
dr
=
Residuo de ecuación de balance de masa
R =
Constante de los gases ideales
ρ
=
Densidad
S
=
Operador de deformación
s
=
Esfuerzos
desviadores
ijσ
=
Esfuerzos
ij
τ
=
Esfuerzos
desviadores
i
τ
=
Parámetro de tiempo intrínseco
( )
nˆ it
=
Tracción
, ,
θ β α
=
Parámetros para indicar tipos de algoritmo de solución
i i
u
= =
v
Velocidad formato indicial
u
= =
v
Velocidad formato arreglo
jCapítulo 1
Introducción.
1.1 Introducción
En la actualidad se cuenta con una gran cantidad de programas o paquetes de
ingeniería para la solución de problemas por medio del método de elementos finitos,
tanto como para sólidos, por ejemplo, Patran, Nastran, Cosmos/M, Ansys, Algor, y para
fluidos, Cosmos/Flow, Dytran, Fluent, (este último basado en el método de volúmenes
finitos). Y dichos paquetes, conforme se van especializando, van adquiriendo nuevas
capacidades de resolver problemas de ingeniería. Con esto no se quiere decir que el
avance tecnológico esté regido por el alcance de la compra, adquisición o uso de
tecnología en alguna parte del mundo, sino más bien el entendimiento de desarrollo de la
tecnología misma.
Esta investigación nace como la inquietud de poder desarrollar dentro del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey, un código que
pueda obtener la mayor cantidad de beneficios posibles de los trabajos presentados en la
conferencia “Posibilidades del Cálculo Finitesimal en Mecánica Computacional”
expuesta por Eugenio Oñate [1]. En el presente trabajo se muestra la investigación,
análisis y aplicación de la rama del método de elementos finitos aplicada a fluidos.
La investigación sigue, en su mayoría, los pasos del procedimiento presentado por
Eugenio Oñate y sus colaboradores [2, 6, 12, 13, 14], con la más fiel intención de poder
adquirir en nuestro instituto el conocimiento logrado hasta entonces en esta área en
particular, siempre tomando en cuenta el punto de vista de varias investigaciones y
procedimientos aplicados, para confrontar los procedimientos y poder tener una visión
Tomando en cuenta las diferentes investigaciones y procedimientos utilizados en
cada paso del desarrollo, se planea presentar más de una manera de proponer los métodos
utilizados y así darle un valor didáctico a la tesis.
1.2 Antecedentes
El planteamiento de solucionar el problema de fluidos nace como la continuación
de una investigación para resolver problemas de tipo advectivo-difusivo, [2]. Una de las
características del sistema de ecuaciones para fluidos es que la solución no puede ser
alcanzada sin incluir términos necesarios para la estabilización. Para esto, varios autores
han propuesto diferentes tipos de formulaciones para resolver el problema, tanto aquellos
autores que están más orientados al desarrollo matemático, como lo son Hauke [3] o
Codina, [4], como autores concentrados en resolver algún problema en específico
basándose más en la discretización y desarrollo de algún código como lo son Feng
et al
[5] u Oñate [6].
Partiendo de ciertas condiciones investigadas, por ejemplo la condición de
Babuska-Brezzi [7], para solucionar este tipo de problemas, se indagaron y desarrollaron
métodos para poder cumplir con las condiciones y poder formular problemas con
interpolaciones de mismo orden para velocidad y presión, pero haciendo un pequeño
cambio en la forma de solución. Uno de lo métodos planteados para solucionar este
problema es el trabajo realizado por Hughes
et al
[8], basado en subescalas, donde se
trata de plantear la obtención de términos estabilizadores dentro de las variables ya
utilizadas. Es necesario resaltar que este trabajo está sustentado en una base matemática
más estricta. Un enfoque más específico es el que realiza Codina, [9], en el cual se
muestra la aplicación de subescalas ortogonales a fluidos incompresibles. El presente
trabajo realiza un estudio del trabajo hecho por Codina, y la formulación presentada
Introducción
3
La forma de estabilizar las ecuaciones para representar el fluido es por medio de
la adición de nuevos términos, basados en valores inherentes de la formulación, cuando
esta se expande a más términos de la serie de Taylor. [2]
Los resultados presentados en la conferencia “Posibilidades del Cálculo
Finitesimal en Mecánica Computacional” expuesta por Eugenio Oñate [1] han sido la
referencia para darnos una idea del desarrollo que ha tenido esta investigación, y las
posibilidades de continuar con ella y poder crear cogidos basados en estas propuestas.
1.3
Objetivo de la Investigación
El objetivo de la tesis consiste en desarrollar un código basado en un algoritmo
que funcione, implementando un elemento triangular de tres nodos, para resolver
problemas de fluidos con superficie libre y con capacidades para entrar en contacto con
un elemento sólido. El alcance de la tesis es obtener un código que pueda resolver desde
problemas sencillos para el cálculo de presiones hidrostáticas hasta ejemplos dinámicos.
Para cumplir con este objetivo se pretende explicar de manera detallada y
didáctica los diferentes pasos a seguir, desde su formulación de la mecánica del medio
continuo, pasando por la expansión de series de Taylor propuestas para lograr otro
enfoque de aproximación, [1.1], el método de residuos pesados, la discretización y por
último la demostración del uso del código a través de ejemplos.
Un objetivo particular es el poder realizar un trabajo que pueda ser utilizado por
las siguientes generaciones interesadas tanto en la materia de elemento finito, como
mecánica del continuo y fluidos. La explicación de los conceptos será por medio de
ejemplos numéricos para lograr una mejor compresión del tema. Finalmente en los
anexos se presentarán desarrollos de forma detallada de aquellos conceptos que así lo
1.4
Organización de la Tesis
La tesis está distribuida en cinco capítulos, organizados de tal manera que se
pueden ir leyendo, a manera de material didáctico, en el cual los capítulos predecesores
contienen información previamente explicada.
El capítulo primero presenta un panorama general del tema abarcado en la tesis,
explica conceptos básicos y delimita los temas de estudio cubiertos.
En el segundo, tenemos la parte introductoria a los problemas de fluidos,
presentando algunas características de los mismos, así como el planteamiento de las
ecuaciones generales de Navier-Stokes. Asimismo, se presenta de manera resumida el
procedimiento empleado por el Método de Cálculo Finito para encontrar aquellos
parámetros de estabilización para ser utilizados en la formulación.
En el capítulo tres, se muestra primeramente, las diferentes maneras de
representar el sistema de ecuaciones por los diferentes autores y posteriormente la
discretización del elemento, en este caso el elemento triangular de tres nodos.
En el capítulo siguiente se muestran los diferentes tipos de algoritmos de
solución, así como la presentación del algoritmo empleado.
En el capítulo cinco se muestran los resultados obtenidos con el código así como
posibles problemas que a futuro pueden servir para validar y orientar el desarrollo de esta
formulación.
Por último, un listado de códigos programados en MATLAB
®, para la
comprobación de los casos, se encuentra en el Apéndice A. En el apéndice B se
encuentran temas y conceptos explicados con más detalle. Y en el Apéndice C se
Capítulo 2
Ecuaciones generales y Método de Formulación
2.1 Objetivo
El presente capítulo tiene como finalidad mostrar conceptos básicos para el
manejo de los fluidos en su formato de ecuaciones generales. Asimismo se presentará el
inicio de la formulación y el cumplimiento de las leyes principales que rigen el
comportamiento del medio.
2.2
Ecuaciones gobernantes de la mecánica de fluidos
Primeramente se presentará un resumen de la información acerca de fluidos
encontrada en la literatura [10].
2.2.1 Esfuerzos
Las características para los esfuerzos en los fluidos son que poseen una
inhabilidad para resistir los esfuerzos de corte en reposo y solamente esfuerzos
hidrostáticos son posibles. Dadas estas condiciones, el análisis se concentra en adoptar la
velocidad
u
icomo la variable independiente. Partiendo de este punto tenemos que la
rapidez de deformación es la causa principal de los esfuerzos generales, que se pueden
establecer de manera análoga a la mecánica de sólidos como:
2
i j j i
ij
u
X
u
X
Su
Las relaciones esfuerzo-deformación para fluidos isotrópicos lineales
(newtonianos) requieren de dos constantes. La primer relación se encuentra en los
esfuerzos desviadores
τ
ijy la rapidez de deformación desviadora
ε
ijdada por:
2
3
3
ij ij kk kk
ij ij ij
ε
δ ε
σ
τ
≡
σ
−
δ
=
µ
−
(2.2)
Donde
µ
es conocido como viscosidad cortante o simplemente viscosidad, que es
análoga al módulo
G
en elasticidad lineal para sólidos.
La segunda relación es entre los esfuerzos promedio y la rapidez de deformación
volumétrica. Esto define la presión como:
0
3
ii
ii
p
=
σ
= −
κε
+
p
(2.3)
Donde
κ
es la viscosidad volumétrica, análoga al módulo volumétrico K en
elasticidad lineal, y
p
0es la presión hidrostática inicial independiente de la rapidez de
deformación. (
p
y
p
0se definen positivas en compresión).
Si de las relaciones despejamos el término
σ
ij, e igualamos tenemos:
0
2
3
ij kk
ij ij ij kk ij
p
ij ijp
δ ε
σ
=
µ ε
−
+
δ κε
−
δ
=
τ
−
δ
(2.4)
Ecuaciones generales y método de formulación
7
0
2
2
3
ij ij ij kk ij
p
σ
=
µε
+
δ κ
−
µ ε
−
δ
(2.5)
Donde podemos utilizar el término de Lamé
2
3
κ
−
µ λ
≡
, comúnmente empleado.
Dado que existe poca evidencia de la existencia de la viscosidad volumétrica [10],
se toma:
0
ii
κε
=
⇒
p
=
p
0de (2.3)
Obteniendo como resultado lo siguiente:
0 0
2
3
ij kk
ij ij ij
p
ij ijp
δ ε
σ
=
µ ε
−
−
δ
≡
τ
−
δ
(2.6)
2
2
3
3
ij kk i j i
ij ij ij
j i i
u
u
u
x
x
x
δ ε
τ
=
µ ε
−
=
µ
∂
∂
+
∂
∂
−
δ
∂
∂
(2.7)
Una alternativa para describir el esfuerzo es la siguiente: el vector de esfuerzos en
un elemento arbitrario de la superficie en cualquier punto de un fluido en reposo es
proporcional a la normal
n
ide ese elemento, pero independiente de su dirección:
( )
ˆ0
n
i ij j i
t
=
σ
n
= −
p n
(2.8)
Donde la constante
p
0es la mencionada presión hidrostática o termoestática.
0
ij
p
ijσ
= −
δ
0
1
3
iiPara un fluido en movimiento los esfuerzos cortantes usualmente no son cero,
esto es:
ij
p
ij ijσ
= −
δ
+
τ
(2.10)
Donde
τ
ijes llamado el tensor de esfuerzo de viscosidad. Ahora, si la relación
( )
ij
f
ijD
τ
=
es no lineal, se trata de un fluido no newtoniano, y si el fluido es newtoniano
la relación es lineal,
τ
ij=
K
ijpqD
pq.
2.2.2 Conservación de Masa
Si
ρ
es la densidad del fluido entonces el balance de flujo de masa
ρ
u
ientrando
y saliendo de un control de volumen infinitesimal es igual a la razón de cambio de la
densidad [20]:
( )
i T( )
0
i
u
u
t
x
t
ρ
ρ
ρ
ρ
∂
+
∂
≡
∂
+ ∇
=
∂
∂
∂
(2.11)
O en coordenadas cartesianas:
( )
u
( )
v
( )
w
0
t
x
y
z
ρ
ρ
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
Ecuaciones generales y método de formulación
9
2.2.3 Conservación de momentum o equilibrio dinámico
El balance de momentum en la dirección j-ésima, esto es (
ρ
u
j)
u
isaliendo y
entrando el volumen de control, tiene que estar en equilibrio con los esfuerzos
σ
ijy las
fuerzas de cuerpo
ρ
f
j[20].
( )
( )
( )
0
j
j i ij j
i i
u
u u
f
t
x
x
ρ
ρ
σ
ρ
∂
∂
∂
+
−
−
=
∂
∂
∂
(2.13)
Utilizando (2.6) tenemos:
( )
( )
( )
0
j ij
j i j
i i i
u
p
u u
f
t
x
x
x
ρ
τ
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
+
−
+
−
=
∂
∂
∂
∂
(2.14)
Y una vez más referenciado a las coordenadas cartesianas, en la dirección x:
( )
( )
2(
)
(
)
0
xy
xx xz
j i
u
u
uv
uw
t
x
y
z
p
f
x
y
z
x
ρ
ρ
ρ
ρ
τ
τ
τ
ρ
∂
∂
∂
∂
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
−
−
+
−
=
∂
∂
∂
∂
(2.15)
2.2.4 Conservación de energía y ecuación de estado
Se definen como las variables principales la velocidad
u
i, la presión
p
y la
densidad
ρ
. Aunque en general la presión, la densidad y la temperatura absoluta están
relacionados con la ecuación de estado:
(
p T
,
)
Y para un gas ideal, por ejemplo, esta es:
p
RT
ρ
=
(2.17)
Donde
R
es la constante de los gases ideales y
T
es la temperatura absoluta.
Para la derivación de la ecuación de conservación de energía se definen unas
nuevas cantidades: la energía interna por unidad de masa,
e
, la cual es dependiente de la
ecuación de estado del fluido, esto es:
(
,
)
e
=
e T p
(2.18)
La energía total por unidad de masa,
E
, incluye la energía cinética por unidad de
masa, (sin considerar la energía potencial), esto es:
2
i i
u u
E
= +
e
(2.19)
La entalpía específica
h
ey la entalpía
H
ese definen como:
e
p
h
e
ρ
= +
2
i i e e
u u
p
H
h
E
ρ
= +
= +
(2.20)
La energía puede ser transferida por convección y por conducción, siendo el flujo
de calor conductivo,
q
i, definido como:
i
i
q
k
T
x
∂
= −
∂
Ecuaciones generales y método de formulación
11
Para completar la relación es necesario determinar los términos de fuente de calor.
Estos pueden ser especificados por unidad de volumen
q
Hdebido a que puede haber
reacciones químicas y deben incluir energía de disipación debida a esfuerzos internos, así
utilizando (2.7):
(
ij j)
( )
ij j( )
ji i i
u
u
pu
x
σ
x
τ
x
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
∂
(2.22)
El balance de energía por unidad de volumen puede ser escrito como:
( )
(
)
( )
( )
0
i
i i i
i ij j i i H
i i
E
T
u E
k
t
x
x
x
pu
u
f u
q
x
x
ρ
ρ
τ
ρ
∂
+
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
−
−
=
∂
∂
(2.23)
O en forma alternativa:
( )
(
)
( )
0
i
i i i
ij j i i H i
E
T
u H
k
t
x
x
x
u
f u
q
x
ρ
ρ
τ
ρ
∂
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
∂
∂
∂
−
−
−
=
∂
(2.24)
2.2.5 Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones gobernantes anteriormente descritas generan un formato general
conservativo como:
0
0
i i
i i
F
G
Q
t
F
G
Q
t
x
x
Para los cuales los vectores que lo conforman son los siguientes, en su formato
indicial (
Φ
) y cartesiano (
U
):
1 2 3
u
u
u
E
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Φ =
u
U
v
w
E
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=
(2.26a)
1 1 2 2 3 3 i i ii i i
i i
i
u
u u
p
F
u u
p
u u
p
Hu
ρ
ρ
δ
ρ
δ
ρ
δ
ρ
+
=
+
+
2 x
u
u
p
F
uv
uw
Hu
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
=
(2.26b)
( )
1 2 30
i i i i ij j iG
T
u
k
x
τ
τ
τ
τ
−
−
=
−
∂
−
−
∂
(
)
0
xx yx x zxxx xy xz
G
T
u
v
w
k
x
τ
τ
τ
τ
τ
τ
−
−
=
−
∂
−
+
+
−
∂
(2.26c)
1 2 30
i i H
f
Q
f
f
f u
q
ρ
ρ
ρ
ρ
−
=
−
−
−
−
(
)
0
x y zx y z H
f
f
Q
f
f u
f v
f w
q
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
=
−
−
+
+
−
(2.26d)
Con la ecuación constitutiva desviadora, ec. (2.7), se conforma el conjunto de
Ecuaciones generales y método de formulación
13
2.3
Tipos de fluidos
Las ecuaciones gobernantes de fluidos y de transferencia de calor en general
pueden ser una mezcla de los tipos: ecuaciones diferenciales parciales elípticas,
parabólicas e hiperbólicas [11]. La siguientes Figura 2.1 y 2.2 muestra los tipos de fluidos
[image:36.612.89.529.200.699.2]según sus características y tipos de problemas a resolver.
Figura 2.1 Tipos de fluidos según su formato general.[11]
2.3.1 Fluido
incompresible
Las características para este tipo de fluido son: el problema es isotérmico, la
variación de la densidad a la presión es muy pequeña y en casos extremos o particulares
pueden llegar a permitir pequeñas compresiones. Dado que estas suposiciones permiten
un pequeño cambio en la compresibilidad, los cambios de densidad son relacionados al
cambio de presión como consecuencia de la deformación elástica, esto se expresa como:
d
dp
K
ρ
ρ
=
(2.27)
Donde K es el módulo elástico volumétrico. Esto también se puede escribir como:
2
1
d
dp
c
ρ
=
2
1
d
dp
dt
c
dt
ρ
=
(2.28)
Con
c
=
K
/
ρ
siendo la velocidad de onda acústica.
Las ecuaciones (2.25) y (2.26) pueden escribirse ahora omitiendo los términos de
transporte de energía como:
2
1
0
i i
u
dp
dt
x
c
ρ
∂
+
=
∂
(2.29a)
( )
1
1
0
j
j i ij i
i j i
u
p
u u
f
t
x
ρ
x
ρ
x
τ
∂
∂
∂
∂
+
+
−
−
=
∂
∂
∂
∂
Ecuaciones generales y método de formulación
15
O escrita en coordenadas cartesianas:
2
1
0
dp
u
v
w
dt
x
y
z
c
ρ
ρ
ρ
∂
∂
∂
+
+
+
=
∂
∂
∂
(2.30)
Donde el primer término se puede eliminar para formular incompresibilidad
completa
(
c
= ∞
)
:
( )
2( )
( )
1
1
0
xx xy xz x
u
u
uv
uw
t
x
y
z
p
f
x
x
τ
y
τ
z
τ
ρ
ρ
∂
+
∂
+
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
+
+
−
=
∂
∂
∂
∂
(2.31)
Con formas similares para
y
y
z
. En ambas formas:
1
2
3
j
i k
ij ij
j i k
![Figura 2.1 Tipos de fluidos según su formato general.[11]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4427000.34438/36.612.89.529.200.699/figura-tipos-fluidos-segun-formato-general.webp)
![Figura 5.48 Malla inicial. [5]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4427000.34438/130.612.205.408.152.364/figura-malla-inicial.webp)
![Figura 5.49 Resultados t = 1. [5]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4427000.34438/131.612.105.511.153.386/figura-resultados-t.webp)
![Figura 5.55 Resultados t = 0.15 . [23]](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_es/4427000.34438/133.612.139.466.54.712/figura-resultados-t.webp)
