1. Movimiento oscilatorio. - UNIDAD 5 VIBRACIONES Y ONDAS MAS

VIBRACIONES Y ONDAS

1. Movimiento oscilatorio.

Todo movimiento que se repite cada cierto tiempo se denomina periódico, como por ejemplo los movimientos de un resorte y un péndulo. También son periódicos los latidos del corazón, el movimiento de la Tierra en torno al Sol...

Si en el movimiento periódico se recorre una trayectoria de ida y vuelta a ambos lados de una posición de equilibrio, se le denomina movimiento oscilatorio. Realizan un movimiento de este tipo, por ejemplo, un péndulo o el pistón de un motor de explosión.

Una oscilación es exactamente lo mismo que una vibración, por lo que ambos conceptos pueden emplearse de forma indistinta. Sin embargo, el término vibración suele emplearse para designar una oscilación muy rápida o de alta frecuencia, mientras que en los demás casos se prefiere hablar de oscilación.

Para estudiar estos movimientos, se utilizan las siguientes magnitudes:

- Período (T): tiempo que tarda en realizar una oscilación completa. Se mide en segundos.

- Frecuencia (f ó

ν

): es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Se mide en s-1 _{ó Hz. Se relaciona con el período:}

T

1

=

ν

- Amplitud (A): es el máximo desplazamiento, desde la posición de equilibrio, que tiene lugar durante una oscilación. Se mide en metros.

- Elongación (x): es la posición que ocupa el objeto que describe el movimiento oscilatorio. Se determina respecto a un punto de referencia que normalmente coincide con el punto de equilibrio.

Origen del movimiento oscilatorio.

“ Cualquier sistema o cuerpo que se aparta de su situación de equilibrio, tiende de nuevo a dicha situación, mediante movimientos oscilatorios alrededor de la posición de equilibrio.”

Se pueden distinguir dos tipos de oscilaciones:

- Oscilaciones libres: se producen si sobre el cuerpo no actúa ninguna fuerza disipativa; por tanto, el sistema oscilará indefinidamente.

- Oscilaciones amortiguadas: se producen cuando actúa alguna fuerza disipativa; por tanto, el sistema volverá a su situación de equilibrio, realizando oscilaciones cada vez más cercanas a dicha posición.

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante y sencillo de analizar matemáticamente es el movimiento armónico simple (M.A.S.), que constituye además una descripción bastante precisa de muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza (péndulo, muelle deformado, cuerda desplazada de su posición de equilibrio, lámina elástica flexionada, etc.). Por otra parte, conocer el movimiento armónico simple es esencial para el estudio de los fenómenos ondulatorios relacionados con el sonido y la luz.

El movimiento armónico simple.

Para ilustrar este tipo de movimiento se van a proponer dos ejemplos. En primer lugar, considérese que se dispone de una

masa unida a un resorte. Estando inicialmente en equilibrio, se efectúa el desplazamiento de la masa a otra posición. Como ya se conoce, aparece una fuerza restauradora que intenta que la masa vuelva a su posición de equilibrio. Se trata de una fuerza proporcional al desplazamiento, según nos dice la ley de Hooke, y de sentido contrario al desplazamiento.

x

k

F

_restauradora

=

−

⋅

Esta fuerza haría que la masa oscilase indefinidamente a un lado y otro de la posición de equilibrio. Como se verá a continuación, la posición del cuerpo es una función sinusoidal del tiempo y, puesto que estas funciones suelen denominarse armónicas, se dice que el cuerpo tiene un movimiento armónico simple.

También aquí se observa que el movimiento oscilatorio no es uniforme, pues existe una aceleración que depende del desplazamiento experimentado por el cuerpo que oscila; acelera cuando se dirige al centro (punto de equilibrio) y frena cuando se desplaza desde el centro a los extremos. Por tanto, el movimiento oscilatorio es producido por una fuerza periódica que depende del desplazamiento.

Inicialmente, en su posición de equilibrio, la masa permanecería en reposo debido a que la tensión compensa el valor del peso. En cambio, cuando se desplaza de dicha posición, aparece una componente tangencial del peso que no se ve compensada y que origina el movimiento.

x

k

x

g

m

g

m

sen

g

m

F

_t

=

−

⋅

⋅

=

−

⋅

⋅

=

−

⋅

⋅

=

−

⋅

l

θ

θ

El desarrollo anterior es válido para ángulos pequeños (aproximadamente

hasta 5°). En este caso

l

l

x

s

sen

θ

≈

θ

=

≈

.

Ahora, igual que en el caso del muelle, se tiene una fuerza periódica (depende del desplazamiento), su dirección es la misma que la del desplazamiento y su sentido hacia la posición de equilibrio, indicándose con signo negativo.

En casos como éstos, en los que la fuerza es directamente proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, el movimiento vibratorio recibe el nombre de movimiento armónico simple.

“Toda partícula que oscila bajo la acción de fuerzas recuperadoras que sean proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio, se dice que realiza un movimiento armónico simple”

Por tanto, se llama oscilador armónico a cualquier partícula con movimiento armónico simple.

Para abordar el estudio cinemático del movimiento armónico simple y deducir la ecuación que lo rige, se partirá de la relación entre éste y el movimiento circular uniforme.

El M.A.S. de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre el diámetro de un movimiento circular uniforme.

θ

θ

P

x

P

y

T

l

-1 ,5 -1 -0 ,5 0 0 ,5 1 1 ,5

0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0,9 9 ωt / ra d x / m

2

π

π

2 3π

π 2

A −

A

t = 0 s

x

A

t

ωt

Considérese la figura siguiente, en ella se representa la trayectoria circular, de radio A, que describe un móvil que inicialmente ocupa la posición “0” y cuya velocidad

angular es

ω

.

La proyección sobre el diámetro será “0’ ”.

Cuando el móvil realiza el movimiento circular uniforme va tomando las posiciones 1, 2,... y las proyecciones sobre el diámetro correspondientes serán 1’, 2’,...

Se observa que el movimiento circular uniforme, origina un movimiento armónico simple en las proyecciones sobre el diámetro.

Por ejemplo, se observa que cuando el móvil ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido será un cuarto de período y el movimiento vibratorio (la proyección) ha recorrido un radio (A), que es el valor máximo del desplazamiento.

Cuando el movimiento circular recorre una circunferencia completa, el tiempo será un período y en el diámetro se ha realizado una oscilación completa.

El diagrama x-t correspondiente a este movimiento es el que se muestra a continuación.

En la figura siguiente se observa que cuando se

produce un desplazamiento angular igual a

θ

=

ω

t, realizado en el movimiento circular uniforme en un tiempo t, se corresponde con un desplazamiento x en la proyección sobre el diámetro, de manera que:

t

sen

A

)

t

(

t = 0 s

x

A

t

ωt

ϕ Si en el instante inicial (t = 0 s) ya se ha

recorrido un cierto ángulo

ϕ

, el valor de x

vendrá dado por la expresión:

(

ω

+

ϕ

)

⋅

=A sen t )

t ( x

Las términos que aparecen en esta expresión son:

- x: elongación. Es la posición de la partícula vibrante en cualquier instante referida a su posición de equilibrio.

- A: amplitud. Es el máximo valor que puede tomar la elongación.

-

ω

: frecuencia angular o pulsación. Representa la velocidad angular constante del movimiento que se ha proyectado. Se relaciona con la frecuencia y el período:

T

π

πν

ω

=

2

=

2

-

ω

t +

ϕ

: fase del movimiento. Su valor determina el estado de vibración. Al cabo de una oscilación completa, la fase aumenta en 2

π

radianes.

-

ϕ

: constante de fase o fase inicial. Su valor determina el estado de vibración para t = 0 s. Si se empieza a contar el tiempo cuando la partícula pasa por su

posición de equilibrio, entonces,

ϕ

= 0.

- T: período. Es el tiempo que tarda el movimiento en realizar una vibración completa. El período es constante para un movimiento vibratorio aunque este sea amortiguado.

-

ν

o f: frecuencia. Es el número de vibraciones completas realizadas en un segundo. En el S.I. se mide en Hz o s-1_{. Es inversa al período:}

T

1

=

υ

Incluso haciendo la misma consideración de proyección sobre el eje x, también se podría haber expresado la elongación en función del coseno, si se introduce una

constante de fase

π

/2:

(

)

_

  



 _{+ +}

⋅ = ↔ +

⋅ =

2

π

ϕ

ω

ϕ

ω

t x A cos t

sen A x

Velocidad y aceleración en un movimiento armónico simple.

• Velocidad.

Para obtener la velocidad se deriva la posición con respecto al tiempo:

(

)

(

ω

ϕ

)

_ω

₍

_ω

_ϕ

₎

+

⋅

⋅

=

+

⋅

=

=

A

cos

t

dt

t

sen

A

d

dt

dx

v

Si se aplica que:

_sen

2

(

_ω

_t

₊

_ϕ

)

₊

_cos

2

(

_ω

_t

₊

_ϕ

)

₌

1

(

)

2 2 2

(

)

2 2

2

1

sen

t

A

A

sen

t

A

x

A

v

=

⋅

ω

⋅

−

ω

+

ϕ

=

ω

⋅

−

⋅

ω

+

ϕ

=

ω

⋅

−

En consecuencia hay dos expresiones para la velocidad:

- En función del tiempo: v =A⋅

ω

⋅cos

(

ω

t +

ϕ

)

- En función de la posición:

v

=

ω

⋅

A

2

−

x

2

en este caso hay que tener en cuenta las dos soluciones (+ y -) de la raíz.

Se deduce, por tanto, que:

- la velocidad es función periódica del tiempo.

- Su valor depende de la posición de la partícula. El valor máximo se tiene en el centro de la trayectoria (x = 0) y el los extremos (x = A) vale cero.

A

A

v

_max

=

ω

⋅

2

=

±

ω

⋅

• Aceleración.

La aceleración se obtiene derivando la velocidad con respecto al tiempo:

(

)

(

)

_A

_sen

₍

_t

₎

_x

dt

t

cos

A

d

dt

dv

a

=

=

⋅

ω

⋅

ω

+

ϕ

=

−

⋅

_ω

2

⋅

_ω

+

_ϕ

=

−

_ω

2

⋅

Se deduce de la aceleración que: - La aceleración también es periódica.

- Es proporcional a la posición, pero de sentido contrario a ella. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de

ω

.

- La aceleración está desfasada

π

/2 respecto de la velocidad.

En base a lo anterior se puede dar otra definición del movimiento armónico simple: “es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario”.

A continuación se representan la velocidad y la aceleración en función del

tiempo.

Dinámica del movimiento armónico simple.

Como ya se conoce el M.A.S. se produce por una fuerza recuperadota proporcional al desplazamiento.

(

ω

+

ϕ

)

⋅ ⋅ − = ⋅ −

= K x K A sen t

F

Aplicando la segunda ley de la dinámica y la expresión de la aceleración obtenida anteriormente se deduce:

(

2

)

2

2

ω

ω

ω

Σ

⋅

=

→

⋅

−

⋅

=

⋅

−

→







⋅

−

=

⋅

=

m

K

x

m

x

K

x

a

a

m

F

De aquí se obtienen las siguientes expresiones:

Por lo tanto, se puede concluir:

- El período de las oscilaciones, cuando la fuerza recuperadora es de naturaleza elástica, depende de la masa del móvil.

- El período de las oscilaciones de un péndulo, cuya fuerza recuperadora es de naturaleza gravitatoria, no depende de la masa.

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5

ωt (ra d) v (m /s)

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5

ωt (rad) a (m/s2₎

2

π

2

π

π _2π π 2π

Aspectos energéticos de un oscilador mecánico.

Cuando una partícula se mueve realizando una movimiento armónico simple, se dice que es un oscilador mecánico armónico. El término mecánico se le aplica porque posee energía mecánica; es decir cinética y potencial.

• Energía cinética.

Ya que la partícula se encuentra en movimiento, posee energía cinética. A partir de la expresión general de la energía cinética y de la velocidad de un M.A.S. se obtiene una expresión para la energía cinética en función de la posición:

(

ω

ϕ

)

ω

(

ω

ϕ

)

(

ω

ϕ

)

ω

_



→

=

⋅

⋅

⋅

+

=

⋅

⋅

+



+

⋅

⋅

=

⋅

=

t

cos

A

K

t

cos

A

m

E

t

cos

A

v

v

m

E

c c 2 21 2 2 2 2 1 2 2 1

(

)

(

)

(

2 2

)

2 1 2

2 2

1

_K

_A

₁

_sen

_t

_K

_A

_x

E

_c

=

⋅

⋅

−

ω

+

ϕ

=

⋅

−

Como se deduce de la expresión, la energía potencial es proporcional al cuadrado de la amplitud; depende de la posición, siendo su valor máximo cuando x = 0 y es periódica.

• Energía potencial.

Al tratarse la fuerza elástica de una fuerza conservativa, el trabajo realizado por la fuerza restauradora al desplazar un móvil desde la posición de equilibrio (x = 0) hasta la posición “x”, será igual a la variación negativa de energía potencial:

p

E

W

=

−

∆

A partir de la definición de trabajo:

p x x E dx K Fdx

W =

∫

=

∫

− ⋅ =−

∆

0 0 2 0 2 0 2 1

2 K x

x K dx K E x x

p  = ⋅ ⋅

   ⋅ = ⋅ =

∫

∆

Si se tiene en cuenta que Ep = 0, en el punto de equilibrio (x = 0), entonces:

2 2

2

1

2

1

0

)

K

x

E

(

x

)

K

x

(

E

)

x

(

E

_p

−

_p

=

⋅

⋅

→

_p

=

⋅

⋅

También se puede escribir como: E_p = ⋅K⋅A2⋅sen2

(

ω

t +

ϕ

)

2 1

De la expresión obtenida, se deduce que la energía potencial de un oscilador armónico, es proporcional al cuadrado de la amplitud y varía de forma periódica entre un valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) y un valor máximo en los extremos

(

2

)

2

1 _{K A}

• Energía mecánica.

La energía mecánica, como en cualquier caso de fuerzas conservativas, permanece constante siempre que no actúen fuerzas disipativas, y su valor es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud:

(

A x

)

K x K A cos ( t ) K A sen( t ) K

E E

E_m = _c + _p = ⋅ − + ⋅ = ⋅ ⋅

ω

+

ϕ

+ ⋅ 2⋅

ϖ

+

ϕ

21 2 2 21 2 2 1 2 2 2 1 2 2

1

_K

_A

E

_m

=

⋅

Composición de vibraciones.

Cuando una masa m está suspendida de dos resortes, está sometida simultáneamente a dos fuerzas recuperadotas; esto quiere decir que está animada por dos movimientos vibratorios distintos.

Para resolver estos casos se aplica el Principio de superposición, que es aplicable a cualquier movimiento:

“Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales”.

Para aplicar este principio, se suman por separado desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc.

) t ( sen A ) t ( sen A r r

r = ₁+ ₂ = ₁⋅

ω

₁ +

ϕ

₁ + ₂⋅

ω

₂ +

ϕ

₂

Un caso particular que se nos puede presentar es aquel en el que tenemos dos movimientos vibratorios de la misma dirección y con el mismo período..

En este caso se usará un solo eje, por tanto, en vez de r se usará x y, además,

ω1 = ω2:

)

t

(

sen

A

)

t

(

sen

A

x

x

x

)

t

(

sen

A

x

)

t

(

sen

A

x

x

r

x

r

2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

+

⋅

+

+

⋅

=

+

=







+

⋅

=

+

⋅

=









=

=

=

Desarrollando las funciones trigonométricas, se llega a la expresión:

Oscilaciones forzadas. Resonancia.

En los sistemas reales, al existir fuerzas de fricción, la energía del oscilador y la amplitud de sus oscilaciones irán decreciendo paulatinamente hasta que finalmente cesa el movimiento. En este caso se dice que las oscilaciones son amortiguadas.

Si se quiere mantener las oscilaciones con amplitud constante se debe aplicar, para compensar la pérdida de energía por ciclo, una fuerza externa que aporte, mediante su trabajo, la energía que se disipa en el sistema. Estas oscilaciones que tienen lugar bajo la acción de fuerzas periódicas externas se denominan oscilaciones forzadas.

Por ejemplo, un niño puede columpiarse durante horas si alguien impulsa periódicamente el columpio en la dirección y sentido de la velocidad.

En general, la frecuencia angular

ω

de la fuerza periódica es distinta de la

frecuencia natural de oscilación del sistema.

Sin embargo, cuando la frecuencia angular de la fuerza se asemeja a la frecuencia natural de oscilación del sistema, surge un fenómeno muy interesante que se conoce como resonancia y que consiste en el aumento de la amplitud de las oscilaciones del sistema.

El fenómeno de la resonancia ha sido el responsable de algunos desastres: - El puente de Tacoma, en Estado Unidos se vino abajo cuando el viento suave

que lo atravesaba, creó unas turbulencias que igualó la frecuencia natural de torsión del puente; así, el puente comenzó un movimiento de torsión oscilante que acabó con su estructura.

- Cuando los soldados siguen una cadencia de marcha por un puente, pueden producir vibraciones resonantes en la estructura que pueden provocar su desplome.

Pero no siempre este fenómeno es responsable de resultados desagradables: - La caja de una guitarra está diseñada de manera que la frecuencia de las

cuerdas se acople con la frecuencia del aire que vibra dentro de la caja y así aumentar la intensidad del sonido.