OSCILACIONES FORZADAS EN SISTEMAS MECÁNICOS PROBLEMA

OSCILACIONES FORZADAS EN SISTEMAS MECÁNICOS

PROBLEMA

2

TEORÍA

OSCILATORIOS MECÁNICAS FORZADAS. RESONANCIA

 Cuando sobre un sistema oscilatorio está actuando una fuerza externa de forma periódica F(t)=Fsin t, donde



Cualquier sistema oscilatorio en su movimiento libre oscila con una frecuencia



 Al pasar un tiempo después del inicio del proceso oscilatorio las oscilaciones propias de frecuencia  con el tiempo se apagan debido al a presencia de la amortiguación, y el sistema empieza a oscilar con la frecuencia de la fuerza externa ..

 A continuación, analicemos ¿Cómo amplitud y la energía de estas oscilaciones llamadas forzadas dependen de la diferencia entre  y ?

Para responder a esta pregunta consideramos un sistema masa-resorte con amortiguamiento viscoso, y con una fuerza externa armónica F_e(t)=F₀sin_ t, como se indica en la figura anexa. Hay tres fuerzas aplicadas al bloque de masa m: fuerza recuperadora, F_e=-kx, amortiguadora F_a=-bV=-bdx/dt y la externa F_e(t)=F₀sin_ t. Según II ley de Newton:

r a e

ma  F  F  F ²

2 0 sin

d x dx

m kx b F t

dt dt

    

3

 Dividendo ambas partes de la igualdad por m se obtiene:

2

2 2

0 0

2 2 ; ;

2

d x dx F b k

x sen t

dt m m m

dt

   

      Ecuación Diferencial para magnitud de

desplazamiento en función de tiempo x(t) en las oscilaciones forzadas

 Teniendo en cuenta que en un régimen estacionario oscilaciones forzadas suceden las oscilaciones con la frecuencia  , busquemos la solución de esta ecuación en la forma:

  ^sin     ^sin  

x t  A   t   A       t   

 La función (2) describe vibraciones forzadas estacionarias. Son vibraciones armónicas con una frecuencia igual a la de la fuerza externa. La amplitud A y el retraso de la fase  son dos incógnitas que dependen de la frecuencia de la fuerza externa A=A () y =(). Al sustituir (2) en (1) y haciendo unas transformaciones algebraicas simples, pero un poco tediosas se encuentran las dependencias correspondientes:

(2) (1)

   

  ^{   }

0

2 2

2 2

2 2 0

0

/ 2

; arctan

2 F m

A

 

  

  

 

   

   

 

   

(3)

 Se ve a que la amplitud A=A () de las vibraciones forzadas además es proporcional a la fuerza externa. La fase vibraciones forzadas se retardan por fase de la fuerza externa, con la particularidad de que la magnitud del retardo =() también depende de la frecuencia externa.

4

Resonancia

La dependencia entre la amplitud de las vibraciones forzadas de la frecuencia de la fuerza externa, conduce a que con cierta frecuencia, determinada para el sistema dado, la amplitud de las vibraciones alcanza su valor máximo. El sistema vibratorio con dicha frecuencia se hace sensible en extremo a la acción que ejerce la fuerza externa.

Este fenómeno se denomina resonancia y la frecuencia que le corresponde, frecuencia resonante. Para analizar los gráficos de las funciones (3) utilizaremos las unidades adimensionales:

  



^{ }

^{ }

1 2

; arctan

1 2 1

A

 



 

     

 

 

   

   

A

 

 

       

En estas unidades las dependencias de la amplitud y de la fase del retraso adquieren la siguiente forma simple:

Fig. 2 Curvas de Resonancia (4)

(5)

En Fig.2 se ve que la amplitud de las vibraciones forzadas alcanza su valor máximo para una frecuencia resonante. Este fenómeno se denomina resonancia y la frecuencia _res,, que le corresponde, frecuencia resonante. El valor de _resse puede encontrar minimizando la expresión del denominador de (5).

VELOCIDAD EN LAS OSCILACIONES FORZADAS

     

     

 

   

     

  ^{ }

0

2 2

2 2

0

sin

cos sin

2 /

2

V

V A

V

x t A t

V t dx t A t A t

dt

F m

A A



  

 



 

      

 

            

 

     

   

     

2

2 2 2

0 0 0

2 2 ; ; 3; 81; 18

2

6 81 18sin

d x dx F b k F

x sen t

dt m m m m

dt

x t x t x t t

     

         

   

   





^{ }





^{ }

^{ }

/ 18 2

; arctan

2 81 6

x

F m

A  

  

  

 

    

   

 

       

2 2 2

0 2 81 2 3 63 8

res  

         

  ^

^

0

/ 18

2 3 81 9 0.35

res res 2

A A F m

  

    

 



     





^{ }





^{ }

^{ }

/ 18 2

; arctan

2 81 6

v x

F m

A A  

  

 

    

       

   

 

       

SOLUCIÓN