Víctor Hugo Ibarra Mercado

(1)

L

a nueva edición de esta prestigiosa obra conserva y

refuerza la orientación de las aplicaciones a la administración y la

econo-mía, sin descuidar aplicaciones generales a otras áreas, como ciencias

sociales, biológicas y físicas, con el propósito de que la obra siga siendo

una herramienta útil para una amplia gama de estudiantes.

Los cambios más importantes realizados son los siguientes:

• Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de capítulo, en las

cuales se presentan casos prácticos probados en el salón de clases.

• En todos los capítulos se presenta la solución del caso al término del

capítulo y se concluye con algunas preguntas, cuya finalidad es estimular

el intercambio de ideas entre profesores y alumnos, así como conducir a

un análisis más profundo del tema.

• Prácticamente todos los ejercicios de la sección Problemas de repaso

del capítulo se actualizaron y la solución de los problemas con número

impar se incluye al final del texto.

• En varios ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulo se

presentan conceptos nuevos, cuyo estudio amplía lo expuesto en el texto.

Para los profesores está disponible material de apoyo, que incluye

la solución a todos los problemas de repaso, en el sitio Web:

Matemáticas aplicadas

a la Administración y a la Economía

QUINTA

EDICIÓN

ARYA

I

LARDNER

I

IBARRA

Pr

entice Hall

Matemáticas aplicadas

a la Administración y a la Economía

ARYA

LARDNER

I

BARRA

Vísitenos en:

www.pearsoneducacion.net

Prentice Hall

es una marca de

(2)

MATEMÁTICAS

APLICADAS

a la administración

y a la economía

Jagdish C. Arya

Robin W. Lardner

Departament of Mathematics, Simon Fraser University

Con la colaboración de

Víctor Hugo Ibarra Mercado

Universidad Anáhuac-México Norte

TRADUCCIÓN Y REVISIÓN TÉCNICA:

Víctor Hugo Ibarra Mercado

Universidad Anáhuac-México Norte

(3)

832 Formato: 20 ⫻ 25.5 cm

México, 2009

ISBN: 978-607-442-302-0 Área: Universitarios

ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Quinta edición

Adaptation of the authorized translation from the English language edition, entitled Mathematical analysis for business, economics, and the life and social sciences, Fourth Edition, by Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner,published by Pearson Education, Inc., publis-hing as Prentice Hall, Copyright © 1993. All rights reserved.

ISBN 0-13-564287-6

Adaptación de la traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Mathematical analysis for business, economics, and the life and social sciences, cuarta edición, por Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner,publicada por Pearson Education, Inc., publi-cada como Prentice Hall, Copyright © 1993. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en español

Editor: Rubén Fuerte Rivera

e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco

Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Edición en inglés:

Editor-in-chief: Tim Bozik Design director: Florence Dara Silverman Senior editor: Steve Conmy Interior design: Patricia McGowan Executive editor: Priscilla McGeehon Prepress buyer: Paula Massenaro Senior managing editor: Jeanne Hoeting Manufacturing buyer: Lori Bulwin Production editor: Nicholas Romanelli

QUINTA EDICIÓN VERSIÓN IMPRESA, 2009 QUINTA EDICIÓN E-BOOK, 2009

Col. Industrial Atoto

53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnéti-co o electroóptimagnéti-co, por fotomagnéti-copia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIÓN IMPRESA 978-607-442-302-0 ISBN E-BOOK 978-607-442-305-1

PRIMERA IMPRESIÓN

(4)

A

(5)

(6)

PREFACIO xi

PARTE UNO

ÁLGEBRA

1 ÁLGEBRA

1

1-1 Los números reales 2 1-2 Fracciones 10 1-3 Exponentes 18

1-4 Exponentes fraccionarios 23 1-5 Operaciones algebraicas 29 1-6 Factorización 38

1-7 Fracciones algebraicas 46 Repaso del capítulo 1 55

Problemas de repaso del capítulo 1 56

♦CASO DE ESTUDIO 58

2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE

59

2-1 Ecuaciones lineales 60

2-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 68 2-3 Ecuaciones cuadráticas 73

2-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas 81 Repaso del capítulo 2 88

♦ CASO DE ESTUDIO 90

v

(7)

3 DESIGUALDADES

91

3-1 Conjuntos e intervalos 92

3-2 Desigualdades lineales de una variable 98 3-3 Desigualdades cuadráticas de una variable 105 3-4 Valores absolutos 111

Repaso del capítulo 3 117

4 LÍNEAS RECTAS

121

4-1 Coordenadas cartesianas 122

4-2 Líneas rectas y ecuaciones lineales 130 4-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales 140 4-4 Sistemas de ecuaciones 148

4-5 Aplicaciones a administración y economía 158 Repaso del capítulo 4 168

5 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

172

5-1 Funciones 173

5-2 Funciones cuadráticas y parábolas 187 5-3 Más funciones elementales y sus gráficas 193 5-4 Operaciones de funciones 204

5-5 Relaciones implícitas y funciones inversas 209 Repaso del capítulo 5 215

6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES

219

6-1 Interés compuesto y temas relacionados 220 6-2 Funciones exponenciales 231

6-3 Logaritmos 237

6-4 Aplicaciones y propiedades adicionales de los logaritmos 248 Repaso del capítulo 6 260

(8)

PARTE DOS

MATEMÁTICAS FINITAS

7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

265

7-1 Progresiones aritméticas e interés simple 266 7-2 Progresiones geométricas e interés compuesto 273 7-3 Matemáticas financieras 280

7-4 Ecuaciones en diferencias 290

7-5 Notación de sumatoria (sección opcional) 305 Repaso del capítulo 7 312

8 ÁLGEBRA DE MATRICES

316

8-1 Matrices 317

8-2 Multiplicación de matrices 323 8-3 Solución de sistemas lineales

por reducción de renglones 334 8-4 Sistemas singulares 343

9 INVERSAS Y DETERMINANTES

354

9-1 La inversa de una matriz 355 9-2 Análisis insumo-producto 362 9-3 Cadenas de Markov (opcional) 369 9-4 Determinantes 380

9-5 Inversas por determinantes 388 Repaso del capítulo 9 394

10 PROGRAMACIÓN LINEAL

399

10-1 Desigualdades lineales 400

10-2 Optimización lineal (enfoque geométrico) 407 10-3 Tabla símplex 418

10-4 Método símplex 427

(9)

PARTE TRES

CÁLCULO

11 LA DERIVADA

441

11-1 Incrementos y tasas 442 11-2 Límites 450

11-3 La derivada 460

11-4 Derivadas de funciones elevadas a una potencia 466 11-5 Análisis marginal 473

11-6 Continuidad y diferenciabilidad (sección opcional) 482 Repaso del capítulo 11 491

12 CÁLCULO DE DERIVADAS

496

12-1 Derivadas de productos y cocientes 497 12-2 La regla de la cadena 503

12-3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas 511 12-4 Derivadas de orden superior 520

Repaso del capítulo 12 524 Problemas del capítulo 525

13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS

529

13-1 La primera derivada y la gráfica de la función 530 13-2 Máximos y mínimos 535

13-3 La segunda derivada y la concavidad 543 13-4 Bosquejo de curvas polinomiales 552 13-5 Aplicaciones de máximos y mínimos 557 13-6 Máximos y mínimos absolutos 571 13-7 Asíntotas 576

14 MÁS SOBRE DERIVADAS

593

14-1 Diferenciales 594

14-2 Diferenciación implícita 600

(10)

15 INTEGRACIÓN

620

15-1 Antiderivadas 621

15-2 Método de sustitución 629 15-3 Tablas de integrales 636 15-4 Integración por partes 640

16 LA INTEGRAL DEFINIDA

650

16-1 Áreas bajo curvas 651 16-2 Más sobre áreas 660

16-3 Aplicaciones en la administración y la economía 669 16-4 Valor promedio de una función 680

16-5 Integración numérica (sección opcional) 683 16-6 Ecuaciones diferenciales: una introducción 689 16-7 Ecuaciones diferenciales separables 698

16-8 Aplicaciones a probabilidad (sección opcional) 704 Repaso del capítulo 16 713

17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

719

17-1 Funciones y dominios 720 17-2 Derivadas parciales 730

17-3 Aplicaciones para análisis en la administración 737 17-4 Optimización 745

17-5 Multiplicadores de Lagrange (sección opcional) 751 17-6 Método de mínimos cuadrados 759

Apéndices

773 Soluciones a problemas con número impar

791 Índice

807

(11)

(12)

En esta versión se conservó y reforzó la orientación de las aplicaciones a la admi-nistración y la economía, sin descuidar aplicaciones generales a otras áreas, tales co-mo ciencias sociales, biológicas y físicas, a fin de que la obra pueda seguir siendo útil a una amplia gama de estudiantes.

Las aplicaciones referidas a estas áreas se han integrado por completo en el de-sarrollo de la obra; a veces una aplicación particular se utiliza para motivar ciertos con-ceptos matemáticos; en otros casos, determinado resultado matemático se aplica, ya sea de inmediato o en una sección subsecuente, a un problema concreto, digamos, de análisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanía con el tratamiento del concepto matemático específico en cuestión. No obstante, cabe aclarar que las matemáticas de esta obra se presentan inicialmente en un estilo “lim-pio”, es decir, fuera del contexto de cualquier aplicación particular. Sólo después de es-tablecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica éste a un problema práctico.

Aunque se conservaron las características principales del libro, que han hecho de esta obra una de las preferidas por muchos profesores y alumnos, los cambios más importantes realizados son los siguientes.

• Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de capítulo. En ellas se presentan casos prácticos probados en el salón de clases.

• Para que la obra tuviera una mayor unidad, ahora en todoslos capítulos se presenta un caso práctico como lectura inicial. Una vez que se estudia el material del mismo, la solución del caso se presenta al término del capítu-lo, y se concluye con algunas preguntas que tienen la finalidad de estimu-lar el intercambio de ideas entre profesores y alumnos, así como conducir a un análisis más profundo del tema, o bien, sirven de introducción para el material que se estudiará en los siguientes capítulos.

PREFACIO A LA NUEVA EDICIÓN xi

Prefacio

(13)

• Prácticamente todos los ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulose actualizaron y, al igual que con los ejercicios de cada sección, la solución de los problemas con número impar se incluye al final del texto. • En varios ejercicios de la sección Problemas de repaso del capítulose

pre-sentan conceptos nuevos, cuyo estudio amplía lo expuesto en el texto. Se recomienda resolver estos problemas con la finalidad de ampliar la teoría expuesta; sin embargo, si se omite la resolución de éstos, se puede conti-nuar con los siguientes temas sin mayor dificultad.

• Con base en los excelentes comentarios y observaciones de muchos usua-rios de esta obra, se hizo una revisión cuidadosa de todo el libro, con la finalidad de enmendar las erratas de la versión anterior.

Como antes, el libro está orientado a la enseñanza de las aplicaciones y a la utilización de las matemáticas más que a las matemáticas puras. No se hace hinca-pié en las demostraciones de los teoremas ni se da a éstas un lugar predominante en el desarrollo del texto. Por lo regular, después de enunciar un teorema, procedemos a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se da la demos-tración. Las demostraciones más difíciles se han omitido por completo.

Este relativo desinterés por los pormenores matemáticos da a los estudiantes el tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas técnicas. Se-gún nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las técnicas por lo común desarrollan una intuición razonablemente clara del proceso, y la carencia de un completo rigor matemático no constituye una grave deficiencia.

Distribución del contenido

El libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el álgebra previa al cálculo; la Parte Dos, las matemáticas finitas; y la Parte Tres, el cálculo propiamente dicho. Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes entres sí y pueden estu-diarse en orden distinto.

El álgebra previa al cálculo abarca los primeros seis capítulos del libro. En los primeros tres de ellos presentamos un repaso bastante detallado del álgebra de nivel intermedio y de la solución de ecuaciones y desigualdades en una variable. El resto de la primera parte consta de un capítulo sobre funciones, y otro sobre exponencia-les y logaritmos.

La parte del libro dedicada a las matemáticas finitas se compone por sí mis-ma en dos partes casi independientes: el capítulo 7, sobre mis-matemáticas financieras; y los capítulos 8, 9 y 10 sobre matrices, determinantes y programación lineal. El ca-pítulo 10, dedicado a la programación lineal, exige conocer un poco lo tratado en el capítulo 8, pero no requiere lo referente al capítulo 9.

Los capítulos 11 al 14 tratan el cálculo diferencial en una variable. Los prime-ros dos temas de estos dos capítulos explican las antiderivadas y se ofrece una opción sobre cómo enfocar la integración. Después de exponer el método de sustitución, de inmediato se presentan las tablas de integrales, de modo que el profesor que desee pasar rápidamente a las aplicaciones pueda hacerlo.

Por otro lado, si el profesor desea dedicar más tiempo a las técnicas de inte-gración, puede posponer la sección sobre las tablas y tratar primero la sección final del capítulo 15. El segundo de estos capítulos estudia la integral definida y sus apli-caciones al cálculo de áreas, análisis gerencial y ecuaciones diferenciales.

(14)

Seleccionando capítulos y/o secciones de capítulos en forma apropiada, el li-bro puede adaptarse a una gran variedad de cursos. Por ejemplo, puede impartirse adecuadamente con cursos de álgebra superior, álgebra y matemáticas finitas, álge-bra y cálculo o matemáticas finitas y cálculo, si se seleccionan los capítulos perti-nentes. El siguientediagrama ilustra la estructura del libro en cuanto a requisitos previos de conocimientos.

PREFACIO A LA NUEVA EDICIÓN xiii

1, 2 Y 3 REPASO DE ÁLGEBRA

4 LÍNEAS RECTAS

5 Y 6 FUNCIONES Y

GRÁFICAS, LOGARITMOS Y EXPONENCIALES

8 7

MATRICES PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

9 10

DETERMINANTES PROGRAMACIÓN LINEAL

11-14 CÁLCULO DIFERENCIAL

15-16 17 CÁLCULO FUNCIONES DE INTEGRAL VARIAS VARIABLES ÁLGEBRA UNIVERSITARIA

(15)

(16)

1

C A P Í T U L O

1 Álgebra

1-1 LOS NÚMEROS REALES 1-2 FRACCIONES

1-3 EXPONENTES

1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 1-6 FACTORIZACIÓN

1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS REPASO DEL CAPÍTULO

Este capítulo revisa las técnicas fundamentales de álgebra. Está dirigido a los estudiantes que, por una u otra razones, lo necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas básicas.

T

E M A R I O

Objetivo del capítulo

Álgebra y algunos cálculos mentales

Una compañera nos sorprendió cuando, en una clase, nece-sitábamos calcular el área de un cuadrado de 75 cm por lado y ella de inmediato respondió que el área era de 5625 cm2_.

El profesor intrigado le preguntó que cómo había hecho la operación tan rápido; a lo que ella contestó diciendo que al 7 le sumó 1, cuyo resultado es 8, multiplicó éste (el 8) por 7 obteniendo 56 y colocó el número 25 después del 56. Así obtuvo la respuesta. Nuestra compañera agregó que este método lo había aprendido de su papá, quien le comentó que sólo servía para números que terminaran en 5. El profesor se quedó pensativo probando con varios números y, después de un rato, nos explicó lo siguiente:

“Este caso, realizar una operación con rapidez, se puede explicar con el apoyo del álgebra”. “Veamos —di-jo—, para representar un número que termine en 5, indica-mos con del número de decenas y así formamos el núme-ro:

10d5

Al elevar este número al cuadrado —recuerden la forma de elevar un binomio al cuadrado—, obtenemos:

(10d5)2₁₀₀_d ₁₀₀_d₂₅

Si factorizamos los primeros dos términos del lado dere-cho, cuyo factor común es 100d, tenemos:

(10d5)2₁₀₀_d₍_d₁₎₂₅

Con esto podemos entender la ‘regla’ para elevar con rapi-dez al cuadrado un número que termine en 5. Para ilustrar el uso de esta regla, apliquémosla al ejemplo siguiente:

Elevemos (35)2_.

a) Nos fijamos en el número de decenas, en este caso, tres.

b) Éste lo multiplicamos por el dígito que es uno mayor a él; cuatro.

c) Formamos el número que inicia con el resultado anterior, 12, y termina con 25; es decir, 1225”. El profesor terminó comentando sobre la utilidad del álgebra y de todo lo que nos puede ayudar en nuestra vida profesional.

Con ayuda de esta regla, realice las siguientes ope-raciones:

1.252 _2. ₆₅2 _3. ₉₅2

(17)

Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los

números 1, 2, 3, etc., se denominan números naturales. Si sumamos o

multiplica-mos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural.

Por ejemplo, 8 5 13 y 8 5 40; la suma 13 y el producto 40 son números

naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado

nosiempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 3 y 8 2 4 son

núme-ros naturales; pero 5 8 y 2 7 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre pode-mos restar o dividir.

Con la finalidad de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sis-tema de los números naturales al sissis-tema de los números enteros. Los enteros in-cluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número ce-ro (0). De este modo, podemos representar el sistema de los entece-ros mediante

. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .

Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo,

385, (3)(5) 15 y 38 5 son enteros. Pero aún no podemos

dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos

que: 8 (2) 4 es un entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del

sis-tema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir.

Para superar la limitación de la división, extendemos el sistema de los enteros al sistema de los números racionales. Este sistema consiste de todas las fracciones a/b, donde a y bson enteros con b0.

Un número es racional si podemos expresarlo como la razón de dos enteros con denominador distinto de cero. Así 8

3,57,03y 6 61son ejemplos de números

racio-nales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos números racionales (exceptuando la división entre cero)* y el resultado siempre es un núme-ro racional. De esta manera las cuatnúme-ro operaciones fundamentales de la aritmética: adición, multiplicación, sustracción y división son posibles dentro del sistema de los números racionales.

Cuando un número racional se expresa como un decimal, los decimales termi-nan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo,1

4 0.25 y

9

8301.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que160.1666. . .

y 4

70.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten.

También existen algunos números de uso común que no son racionales (es de-cir, que no pueden expresarse como la razón de dos enteros). Por ejemplo,2,3

y no son números racionales. Tales números se denominan números

irraciona-les. La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advier-te en sus expresiones decimales. Cuando un número irracional se presenta por

me-1-1

LOS NÚMEROS REALES

(18)

dio de decimales, los decimales continúan indefinidamente sin presentar ningún pa-trón repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales 21.4142135623. . . y

3.1415926535. . . No importa con cuántos decimales expresemos estos números,

nunca presentarán un patrón repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de los números racionales.

El término número realse utiliza para indicar un número que es racional o

irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los núme-ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los númenúme-ros irracionales.

☛ 1

Geométricamente, los números reales se pueden representar por los puntos so-bre una línea recta denominada recta numérica. Con la finalidad de hacer esto, se-leccionemos un punto arbitrario Osobre la línea que represente al número cero. Los números positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de Oy los ne-gativos por los puntos a la izquierda de O. Si A₁es un punto a la derecha de Otal que OA₁tiene longitud unitaria, entonces A₁representa al número 1. Los enteros 2, 3, . . . ,n, . . . están representados por los puntos A₂,A₃, . . . ,A_n, . . . , están a la de-recha de Oy son tales que

OA₂2OA₁, OA₃3OA₁, . . . , OA_nnOA₁, . . .

De manera similar, si B₁,B₂, . . . ,B_n, . . . , son los puntos a la izquierda de Otales que las distancias OB₁,OB₂,OB₃, . . . , son iguales a las distancias OA₁,OA₂, . . . , OA_n, . . . , respectivamente, entonces los puntos B₁,B₂,B₃, . . . ,B_n, . . . , representan a los números negativos1,2,3, . . . ,n, . . . En esta forma, todos los enteros pueden representarse mediante puntos sobre la recta numérica. (Véase la figura 1).

SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 3

Los números racionales pueden representarse por puntos sobre la recta numé-rica que están situados un número apropiado de unidades fraccionarias a partir de

O. Por ejemplo, el número 9

2está representado por el punto situado cuatro unidades

y media a la derecha de Oy 7

3está representado por el punto que está situado dos

unidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo número racional puede representarse por un punto sobre la línea.

Se deduce que todo número irracional también puede representarse por un punto sobre la recta numérica. En consecuencia, todos los números reales, tantos los racionales como los irracionales, pueden representarse por tales puntos. Más aún, cada punto sobre la recta numérica corresponde a uno y sólo un número real. Debi-do a esto, es bastante común el uso de la palabra punto con el significado de núme-ro real.

B_n B₃ B₂ B₁ O A₁ A₂ A₃ A_n

1 2 3

O

⫺n _⫺₃ _⫺₂ _⫺₁ n

FIGURA 1

☛ 1. ¿Qué tipo de número es cada uno de los siguientes?: a)

2 3

b) (2)2

c) 2

(19)

Propiedades de los números reales

Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de manera similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamenta-les en el sistema de los números reafundamenta-les y poseen ciertas propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades por sí mismas parecen ser más bien elementales, quizás aun obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones al-gebraicas que efectuaremos después.

PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si ay bson dos números reales cualesquie-ra, entonces,

abba y abba

Por ejemplo, 3773, 3(7)(7)3, 3 77 3 y (3)(7)

(7)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos núme-ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier

or-den que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adición yde

la multiplicación, respectivamente.

PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a,by cson tres números reales cualesquiera, entonces,

(ab)ca(bc) y (ab)ca(bc)

Por ejemplo, (23)72(37)12 y (2 3) 72 (3 7)42. Estas

propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición yde la

mul-tiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multi-plican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en pri-mer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos.

En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los paréntesis en las ex-presiones anteriores. Podemos escribir abcpara indicar la suma de a,b y cy

abcpara su producto sin ninguna ambigüedad.

PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a,by cson números reales cualesquiera, entonces,

a(bc)abac y (bc)abaca

Por ejemplo, 2(37)2(3)2(7)61420. Esto es sin duda cierto

por-que 2(37)2 1020. Por otra parte, (2)[3(7)](2)(3)

(2)(7) 6148. Podemos evaluar la expresión dada directamente,

(20)

La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera, dado que, por la propiedad conmutativa

(bc)aa(bc) y también bacaabac

Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera pro-piedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales.

Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los cálculos al-gebraicos. Como veremos, éstas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplifi-cación de expresiones y, si se leen “hacia atrás”, esto es, de derecha a izquierda, forman la base para los métodos de factorización. ☛ 2

Los ejemplos siguientes ilustran algunos usos elementales de estas propiedades de los números reales al simplificar las expresiones algebraicas.

EJEMPLO 1

a) x(y2) xyx(2) (propiedad distributiva)

xy2x (propiedad conmutativa)

b) 2x3x (23)x (propiedad distributiva)

5x

c) 2(3x) (2 3)x (propiedad asociativa)

6x

d) (2x)(3x)[(2x) 3]x (propiedad asociativa)

[3 (2x)]x (propiedad conmutativa)

[(3 2)x]x (propiedad asociativa)

(6x)x

6(x x) (propiedad asociativa)

6x2

donde x2_denota_x_x_.

Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los términos semejantes en el producto original: los números 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos xmultiplicadas dan x2_{. La parte siguiente ilustra este procedimiento.}

e) [5(3ab)] (2a)(5 3 2)(a a)b30a2_b

Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesión de pasos que emplean las leyes asociativa y conmutativa, como en la parte d).

f) 2x(3yx)2x(x3y) (propiedad conmutativa)

(2xx)3y (propiedad asociativa)

(2x1x)3y

(21)x3y (propiedad distributiva)

3x3y

☛ 2. ¿Cuáles propiedades de los números reales son utilizadas en cada una de las siguientes igualdades? a) 23 424 3 b) 23 43 42 c) 2(34)(34)2 d) 2(34)4(23) e) 3x3x(3 3)x f) 3xxyx(3y)

Respuesta a) conmutativa; b) conmutativa;

c) conmutativa;

d) ambas, conmutativa y asociativa; e) distributiva;

(21)

g) 2x(4y3x)(2x)(4y)(2x)(3x) (propiedad distributi-va)

(2 4)(x y)(2 3)(x x) [propiedades

asocia-tiva y conmutaasocia-tiva como en la parte a)]

8xy6x2

La propiedad distributiva puede usarse en el caso en que más de dos cantida-des se sumen dentro de los paréntesis. Esto es,

a(bcd)abacad

etcétera.

EJEMPLO 2

4(x3y4z)4x4(3y)4(4z) (propiedad distributiva)

4x(4 3)y(4 4)z (propiedad asociativa)

4x12y16z

ELEMENTOS IDENTIDAD Si aes un número real cualquiera, entonces,

a0a y a 1a

Es decir, si 0 se suma a a, el resultado aún es ay si ase multiplica por 1, el

resul-tado de nuevo es a. Por esta razón, los números 0 y 1 a menudo se conocen como

elementos identidadpara la adición y la multiplicación, respectivamente, porque

no alteran número alguno bajo sus respectivas operaciones.

INVERSOS Si aes un número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el negativo de a(denotado por a) tal que

a(a)0

Sia no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recí-proco de a(denotado por a1_{) tal que}

a a1₁

Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando ase suma a a, el resulta-do es el elemento identidad para la adición y cuanresulta-do a1_{se multiplica por}_a_{, el}

re-sultado es el elemento identidad para la multiplicación. A menudo nos referiremos a acomo el inverso aditivo de ay a a1_{como el}_{inverso multiplicativo de}_a_.

(22)

EJEMPLO 3

a) El inverso aditivo de 3 es 3 dado que 3(3)0. El inverso aditivo

de 3 es 3 puesto que (3)30. Como el inverso aditivo de 3 se denota por

(3), se sigue que (3)3. En realidad, un resultado correspondiente vale pa-ra cualquier número real a:

(a)a

b) El inverso multiplicativo de 3 es 31_{dado que 3}₃1_{1. El inverso}

mul-tiplicativo de 31_{sería denotado por (3}1₎1_{y estaría definido por el requerimiento}

de que 31₍₃1₎1_{1. Pero dado que 3}1₃_{1, se sigue que (3}1₎1_{es igual}

a 3.

De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier número real a dis-tinto de cero:

(a1₎1_a

(El inverso del inverso de aes igual a a).

Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po-demos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustracción y división. Definimos ab como el número a(b), es decir, amás el negativo de b. De manera similar, definimos a bcomo el número ab1_{, es decir,}_a_{multiplicado por}

el recíproco de b. La expresión a b está definida sólo cuando b 0. También se indica por la fracción a/by tenemos que

Definición de a

b:

a

b ab

1 ₍₁₎

Haciendo a1 en la ecuación (1), resulta que

1

b 1 b

1_b1

De aquí, la fracción 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b1_{. Por}

ejemplo, 311

3. Por tanto, se sigue de la ecuación (1) que

a

b a

1 b

dado que b1₁_/_b_. ☛ ₃

☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los números reales se utilizan en cada una de las igualdades siguientes? a) x3x1x3x

(13) x4x b) (21)(1)2

[1(1)]202 c) 3 1

31

Respuesta a) propiedad del ele-mento idéntico multiplicativo y propiedad distributiva; b) propiedad asociativa, inverso aditivo y neutro aditivo;

c) idéntico multiplicativo y defini-ción de 1

(23)

EJEMPLO 4

a) 7

1

3

1

(Ecuación (1), con a7 yb1

3)

7(31₎1₇₍₃₎₂₁

Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a yb (b0):

1 a

/b ab

b) Para cualquier número real, (1)b b. Esto se debe a que

b(1)b1 b(1)b

[1(1)]b (propiedad distributiva)

0 b0

Por tanto, (1)bdebe ser el inverso aditivo de b, es decir b.

c) a(b) a[(1)/b] [por la parte b)]

(1)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa)

(ab)

Por ejemplo, 3(7) (3 7) 21

d) 3(x 2y)3[x(2y)] (definición de sustracción)

3x3(2y) (propiedad distributiva)

3x[3(2y)] [de la parte c)]

3x[(3 2)y] (propiedad asociativa)

3x6y

En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos. Por ejemplo,

a(bc)abac

De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa.

3(x2y)3x3(2y)3x6y

Observe que cuando una expresión dentro de paréntesis debe multiplicarse por una cantidad negativa, todo término dentro del paréntesis cambia de signo.

(ab)(1)(ab)(1)a(1)b ab

EJEMPLO 5

2(x3y)(2)x(2)(3y) 2x6y

Note que tanto xcomo 3y que están dentro de los paréntesis cambian de signo, quedando como 2xy 6y, respectivamente.

7

(24)

1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea co-rrecta.

a) 3x 4x 7x b) (3x)(4x) 7x c) 2(5 4y) 10 4y

d) (x y) x y e) 5x (2 3x) 2x 2 f) 5 2x 3x

g) 3(x 2y) 3x 6y

h) (a)(b)(c) (d) (abc d) i) a (b c) (ac) b

j) a (b c) (a c) b k) (x)(y) xy

l)

ab a b m) 0

x 0 para todos los números reales x (2-60) Simplifique las siguientes expresiones.

2. 5 (3) 3. 7 (3) 4. 5(3) 5. (3)(7) 6. 8 (2) 7. (9) (3) 8. (2 6) 9. (4 3) 10.(3)(2)(4) 11. (5)(3)(2) 12.3(1 4) 13. 2(2 3) 14.2(4 2) 15. 4(3 6)

16.6 2(3 2) 17. 3(x 2y) 18.4(2x z) 19. 2(2x y) 20.3(4z 2x) 21. (x 6) 22.(x 3) 23. 3(x 4) 24.2(x 3) 25. 2(x 2) 26.4(x 6) 27. x(y 6) 28.x(y 6) 29. 2(x y) 4x 30. 3y 4(x 2y) 31. 2z 3(x 2z) 32. 4x 2(3z 2x) 33. (x y) 4(x y) 34. 3(y 2x) 2(2x 2y) 35. 5(7x 2y) 4(3y 2x) 36. 4(8z 2t) 3(t 4z) 37. x(y)(z)

38. (x)(y)(z) 39. (2)(x)(x 3) 40. (x)(y)(2 3z) 41. 2(a)(3 a) 42. (37 p)(2q)(q p) 43. x(2)(x 4) 44. (2x)(3)(y 4) 45. x(x 2) 2(x 1) 46. 2(3x)(2y 1) (y)(4 5x)

47. 2x 5 2(x 2) 48. 3x t2(x t) 49. 2(x y) x 50. 4x(x y) x2

51.4[2(x 1) 3] 52. x[3(x 2) 2x 1] 53.x[3(4 5) 3]

54.4[x(2 5) 2(1 2x)] 55. x1 ₍_x₂₎

56.x1 ₍₂_x₁₎ _57. ₍₂_x₎1₍₃_x₁₎

58.(3x)1 ₍₆₂_x₎ _59. ₍_xy₎1₍_x_y₎

60.(xy)1 ₍₂_x₃_y₎

SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 9 Observación sobre la división entre cero. La afirmación a/b ces cierta si y sólo si la proposición inversa a b ces válida. Consideremos una fracción en la cual el denominador bes cero, tal como 3

0. Ésta no puede ser igual a ningún

nú-mero real cporque la afirmación inversa 3 0cno puede ser válida para ningún real c. Por tanto 3

0no está bien definido. Asimismo,00no es un número real bien

de-finido porque la proposición inversa 0 0 ces válida para cada número real c. Así, concluimos que cualquier fracción con denominador cero no es un número real bien definido o, en forma equivalente, que la división entre cero es una operación que carece de sentido. Por ejemplo,x/x 1 es cierto sólo si x0. ☛ 4

☛ 4. ¿Están definidas las expre-siones siguientes?

a)

b(3 a b4b) b) b(3b

a

4b)

Respuesta a) no;

b) sí, siempre y cuando a0

(25)

En la sección 1-1, vimos que la fracción a/b está definida como el producto de ay el inverso de b:

a_b ab1 ₍_b₀₎

En particular,

1_b b1

Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usan al manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar es-te tipo de operaciones.*

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y luego los dos denominadores.

a_b

_dc

_ba_dc

EJEMPLO 1

a)

2

3

5 9

2 3

5 9

1₂0₇

b)

2 3

x

4_y

(

3 2x

) y 4

8₃x_y

c) 3x

5 4

y

3₁x ₅4_y

1₅2_yx ☛ 5

División de fracciones

Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte y después se multiplica por la primera. En otras palabras,

a_b

_dc

a_b d_c

a_bd_c

(3x) 4

1 (5y)

1-2

FRACCIONES

☛ 5. Evalúea) 2 3

7 3 b)

2 x

7₅

Respuesta a) 1 9

4

; b) 1 7 0 x

(26)

EJEMPLO 2

a)

3

5

7

9

3

5

9 7

2 3 7 5

b)

3 2

x

4_y

3₂x ₄y

3₈xy

c) 5y

5 6

x

5₁y 5₆x

25₆xy

d)

2 3

x

(2y)

2 3

x

2₁y

₂3_x ₂1_y

4 3 xy

e)

a b

1

a

b

1 b

a

b a

(Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el

numera-dor y el denominanumera-dor de la fracción). ☛ 6

En vista de este último resultado, podemos reescribir la regla anterior para la división:para dividir entre una fracción, debe multiplicar por su recíproco.

Cancelación de factores comunes

El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o divi-dirse por un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac-ción.

a_b a_bc_c (c 0)

EJEMPLO 3

(a) a

b

2 2 a b

(b) 3

5 1

6 0

₁9₅ 1₂2₀

(c) 5 6

x

1₁0₂x_x2 (con tal que x0)

Esta propiedad de las fracciones puede usarse con la finalidad de reducir una fracción a su mínima expresión, lo que significa dividir el numerador y el denomi-nador entre todos los factores comunes. (Esto se llama también simplificación de la fracción).

SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 11

☛ 6. Evalúe a) 2

3 3 2; b) 2

x

7₅

Respuesta a) 4 9; b) 1

5 4 x

(27)

EJEMPLO 4

a) 7 8 0 4

2 2

2

5

3

7

Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en tér-minos de sus factores primos y, luego, el numerador y el denominador se dividen entre aquellos factores que son comunes a ambos números, como el 2 y el 7. (Este proceso algunas veces se denomina cancelación).

b) 6 8

x x

2

y y

2

3 4 x y

(xy 0)

En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xyen la

simplificación.

c) 2

4 x y ( ( x x

1 1 ) )

₂x_y (x 1 0)

Aquí el factor común 2(x 1) fue cancelado del numerador y del denominador.

☛ 7

Adición y sustracción de fracciones

Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simplemen-te sumando sus numeradores.

a_c b_c a _cb

Una regla similar se aplica a la sustracción:

a_c b_c a _cb

EJEMPLO 5

a) 1 5

2

₁11₂ 5 ₁₂ 11 1₁6₂ 4₃

b) 2 3

x

₂5_x 3₂_x 5 ₂ _x2 1

x

(Note la cancelación de factores comunes al llegar a las respuestas finales).

Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restar-se, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador.

23 xx y

₂₂₂_x_y_y

2 3 x x y

₂₂₂_x_y_y

5

₆

5

₂₃

257

22 3 7

☛ 7. Evalúe a) 2

3 1 4

5

; b) 2 x

3₈x_y

Respuesta a) 5 2; b)

4 3

y

(28)

EJEMPLO 6 Simplifique:

a) 5

6

1

2 b)

5

6

3 4

Solución

a) Podemos escribir 1 2

3

6. Entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador, de modo que podemos sumarlas.

5₆ 1₂ 5₆ 3₆ 5 ₆ 3 8₆ 4₃

b) En la parte a), multiplicamos el numerador y el denominador de 1 2por 3

para obtener un denominador igual al de la otra fracción. En esta parte, ambas frac-ciones deben modificarse para que tengan un factor común. Escribimos

5₆ 1₁0₂ y 3

4 1

9 2

Por tanto,

5₆ 3₄ 1₁0₂ ₁9₂ 10₁₂ 9 ₁1₂

En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife-rentes, primero reemplazamos cada fracción por una equivalente que tenga un de-nominador común. Con el propósito de mantener los números tan pequeños como sea posible, elegimos el más pequeño de tales denominadores comunes,

denomina-do el mínimo común denominador (m.c.d.). Aún obtendríamos la respuesta

correcta utilizando un denominador común más grande, pero es preferible usar el

mínimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte b) del ejemplo 6, pudimos

emplear 24 como un denominador común:

5₆ 3₄ 2₂0₄ 1₂ ₄8 20₂₄ 18 ₂2₄ ₁1₂

La respuesta final es la misma, pero habríamos tenido que trabajar con números más grandes.

Para calcular el m.c.d. de dos o más fracciones, los denominadores deben es-cribirse en términos de sus factores primos. El m.c.d. se forma entonces tomando to-dos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 5

6y 3

4, se encuentra escribiendo los

denominadores en la forma 6 2 3 y 4 2 2. Los factores primos que ocurren

son 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es 2 2 3 12.

Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2_y_.

Es-cribimos

12x 2 2 3 x y 10x2_y₂₅_x_x_y

Tomando cada factor el mayor número de veces que aparezca, tenemos que

m.c.d. 2 2 3 5 x x y 60x2_y ☛ ₈

1 3

2 3

☛ 8. En cada caso, ¿cuál es míni-mo común denominador?

a) 2 3y

5 6; b) 2

1 xyy8

x y

(29)

EJEMPLO 7 Simplifique:

a) 6 x

3₄y b) 9 1

x

1₆ c) a

c

b d

d) e) 3x

3 1

x 2 ₄

3 xy

Solución

a) El m.c.d. es 12

₆x ₁2₂x y 3 4

y

3(₁3₂ y) ₁9₂y

Por tanto,

₆x 3₄ y ₁2₂ x ₁9₂y 2x₁₂9y

b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que

₉1 _x ₁2₈_x y 1

6 1

3 8

x x

Entonces,

₉1_x 1₆ ₁2₈ _x ₁3₈ x_x 2₁₈_x3x

c) El m.c.d. es cd

a_c b_d a_cdd b_cd c ad_c_dbc ☛ 9

d) Aquí tenemos una fracción cuyo denominador a su vez incluye una

frac-ción. Primero simplificamos el denominador:

5b b

3

15b 3

b

14₃b

Entonces la expresión dada es

₁₄4_ba₃ 4a

14 3 b

14a

1

3 4b

6 7 a b

e) Primero simplificamos la expresión que se encuentra entre paréntesis. El mínimo común denominador es 12x2_y_.

₃1_x 2 ₄

3 xy 12

4 x

y

2_y

₁₂9_xx 2_y

4y 12

x2_y

9x

4a

5b b

3

☛ 9. Evalúe y simplifique a) 2

3 5 4; b) 2

x y

₈7_yx

Respuesta a) 2 1 3 2

; b) 3 8 x y

(30)

Por tanto la expresión dada es igual a

3x

4y 12

x2_y

9x

3₁x₄_y12x 2y₉_x ₄_y36x3y₉_x

(en donde x3_x_x2_x_x_x_).

Demostraciones de los teoremas

Concluimos esta sección demostrando las propiedades básicas de las fracciones que hemos utilizado en los ejemplos anteriores.

TEOREMA 1

1_b 1_d

_b1_d

DEMOSTRACIÓN Por definición,

1

b

b1y

1

d

d1, de modo que

1_b 1_d

b1_d1

Como,

(b1_d1_{) (}_bd₎₍_b1_b₎₍_d1_d₎ _{(usando las propiedades asociativa y}

conmutativa)

1 1 1

Por tanto,b1_d1_{debe ser el inverso multiplicativo de}_db_{, es decir,}

b1_d1

b 1

d

como se requería.

Observación Este resultado puede reescribirse en la forma (bd)1_b1_d1_.

TEOREMA 2

a_b _dc

_ba_dc

DEMOSTRACIÓN

a_b ab1_a

1

b

y también

_dc c

1 d

(31)

Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir

a_b _dc

a

1 b

c

1

d

ac

1 b

1 d

ac

b 1

d

(por el teorema 1)

b a d c

como se pedía.

TEOREMA 3

a_b

1 b

a

DEMOSTRACIÓN Por definición,a/b ab1_{. Por tanto, por el teorema 1,}

a_b

1

(ab1₎1_a1₍_b1₎1_.

Pero (b1₎1_b_{, de modo que}

a_b

1

a1_b_ba1 b

a

como se requería.

TEOREMA 4

a_b

_dc

a_b

d_c

DEMOSTRACIÓN Por definición,x y xy1_{. Por tanto, tenemos las}

igualda-des:

a_b

_dc

a_b

_dc

1

a_b

d_c

(por el teorema 3)

TEOREMA 5

a_b a_bc_c (c 0)

DEMOSTRACIÓN Para cualquier c0, la fracción c/c 1, puesto que, por de-finición c/c cc1_{. Por tanto, por el teorema 2,}

a_bc_c

a_b

c_c

a_b1 a b

(32)

1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una verdadera.

a) 3 x 4 x 7 x b) 3 x

₄x ₇x

c) a b d

c

_ba_dc

d) a b

d

c

e_f

a_bc_de_f

e)

a b d

c

e_f b a c d e f

f) a b

d

c e_f

b a c d e f

g) 1 a

1 b a

1 b h) 1 1 y

i) 6 7

8 9

j) 1

2 1 2 3 4 5

₂₄₆₈₁₀

6 9 7 8

₇₉

x

_x_y

(2-58) Evalúe cada una de las siguientes expresiones. Escriba las respuestas en los términos más simples.

2. 2 9

6

5 3.

8 3 1 4 5

4. 3 4

8 5

4

9 5. 2 5 3 6 1 7 0 6.

2 3 5 x

2₉5_x

7.

1 1 4 5 x y

2₂5₄y

8. 7x2

2 6

1 y x

9.

2 3 x y

(5xy) 10.

1

1 8 1

₃8₃

11.

1 3

4

₁6₅

12.4 9

2

38

13.

1 2 2 5

1₇5

2₇0

14.

1 7 0 x

2₅1x

15. (2x)

3 5 xy

16.4

9 8 x

17.

8 3 x

₁4₅x

18.

3 2 x

0

2

4y

6 2 x

5 y

19.

5 2

x

3₄y

x₁2₂y

20.8xy

2 3

x

2₅x_y

21. 6x2

4

y x

3₂y2

TEOREMA 6

a_c b_c a _cb (c 0)

DEMOSTRACIÓN Por definición,

a_c ac1 _y b

c bc1

Por tanto,

a_c b_c ac1_bc1₍_a_b₎_c1 _{(por la propiedad distributiva)}

a c

b

como se requería.

(33)

22.

9 8 t

₃1_st

₄s 23.

4 3 xy x y

2 9 xy

24.

2 x 2

z

4_z 25.

2 3

xt

₄x_t

2₃t

26. 2 z

2

z

4_z

27. 2 3

xt

₄x _t 2₃t

28. 1 6

1

2 29. 1 1

0

₁1₅

30. 4 5

x

₁x₀ 31. 1 x 2

1 x 32. 2 x

₃x 33. 2 y

x

₃1_x

34. 6 a

b

₂a_b 35. 6 a

b

2₉a_b

36. 6 7

x

₄3_x2 37. ₁

3 0 y x2

₆1_x

38. p x

2

_py_q 39. x y

y z x

z

40. x y

y

x 41. 3

x y

2

4y

42. 1 6

2 x 2

x

43. 1 6

2 x 2

x

44. 3 a b 2

a b 2

b a

45.

2 x

2_x

6_x

46.

9 x y

₆1_xy

₃1_xy

47.

1 4 2 5

1 2 1 5

48.

2

3 1 1

2

₁7₀ 1₄

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57.

a b 2 3 a b

3 8 x

9 x

1 4 58.

x

6 y

2

3

6 x

3 4 x

5 2 p q p

3

8 p q 2 4p 1 p 2

2 3 a b 4 5 b

a 2b 1 b 5 2 1 x 3 1 x 4 1 y 5 1 y

7x 2 3 x 15y 3 y

23 4

3 1 8

1 314

1 5 1 6 8 5 2 3

2 4 7 1 2 1 3 1 4 1 5

Si m es un entero positivo, entonces am_(léase_a_{a la}_{potencia m}_{o la}_m-ésima

po-tencia de a) se define como el producto de mfactores amultiplicados a la vez. Por lo que

am_a_a_a _a

En este producto, el factor aaparece mveces. Por ejemplo,

24₂₂₂₂₁₆ _{(cuatro factores de 2)}

35₃₃₃₃₃₂₄₃ _{(cinco factores de 3)}

En la expresión am_,_m_{se llama la}_potencia_o_exponente_y_a_la_base_{. Así en 2}4_(la

cuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35_{, 3 es la}

ba-se y 5 el exponente. Esta definición de am_{cuando el exponente es un entero} positi-vo es válida para todos los valores reales de a.

Observe el patrón en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en or-den decreciente. Tratemos de completar la tabla. Notemos que cada vez que el ex-ponente disminuye en 1, el número de la derecha se divideentre 5.

(34)

Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la división entre 5 con cada re-ducción del exponente. De esta manera, llegamos a las igualdades siguientes:

TABLA 1

51₅ ₅0₁ ₅1 1

5 5

1

52

2 1

5

₅12 53 ₁1₂₅ ₅13 54 ₆1₂₅

5 1

4

Este patrón en forma natural nos conduce a la definición siguiente de am_{en el caso}

de que el exponente msea cero o un número negativo.

DEFINICIÓN Si a 0, entonces a0_{1 y si}_m_{es un entero}_positivo_cualquiera

(de modo que mes un entero negativo),

am _a1m

Por ejemplo, 40_1,

3

7

0

1, (5)0_{1, etc. Asimismo,}

34

3 1

4

8 1

1

y (2)5

(

1 2)5

1

32 3

1 2

☛ 10

De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denomi-nadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuación.

Propiedad 1

am_an_amn

Esto es,cuando dos potencias de una base común se multiplican, el

resulta-do es igual a la base elevada a la suma de los resulta-dos exponentes. Este resultado vale para cualquier número real a, excepto en el caso de que mo nsea negativo, reque-rimos que a 0.

EJEMPLO 1

a) 52₅3₅23₅5

Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto.

52₅3₍₅₅₎₍₅₅₅₎₅₅₅₅₅₅5

SECCIÓN 1-3 EXPONENTES 19

☛ 10. Evalúe a) (1

5)0; b) ( 1 2)3

Respuesta a) 1; b) –23 ₈

54 ₆₂₅

53 ₁₂₅

52 ₂₅

51 ₅

50 _?

51 _?

52 _?

53 _?