Anexo A Introducci´on a las Matrices

Anexo A

Introducci´on a las Matrices

A.1.

Definiciones y teor´ıa b´

asicas

Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son n´umeros o funciones. Los designaremos con el apelativo com´un de escalares.

Definici´on A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recor-demos, n´umeros o funciones):

A=

    

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ...

am1 am2 . . . amn     

Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tama˜no es m por n (se escribe

m×n). Una matriz n×n se llama matriz cuadrada de orden n.

El t´erminoaij representa el elemento de la i-´esima fila y la j-´esima columna de una matriz

A de tama˜no m×n; con ello, una matrizA, m×n, se escribe en la forma A= (aij)m×n, o simplemente A= (aij). Una matriz A, 1×1, es s´olo un escalar (un n´umero o una funci´on).

Definici´on A.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices m ×n, A y B, son iguales si

aij =bij para toda i yj.

Definici´on A.3 (Matriz columna) Una matriz columnaX es cualquier matriz connfilas y una columna:

X=

    

x11 x21

...

xn1

   

= (xi1) n×1

Una matriz columna se llama tambi´en vector columna o simplemente vector.

Definici´on A.4 (Producto de matrices por escalares) Si k es un escalar yAuna ma-trizm×n, el producto de k por A es una nueva matriz que se define de la siguiente manera:

kA=     

ka11 ka12 . . . ka1n

ka21 ka22 . . . ak2n

... ...

kam1 kam2 . . . akmn    

= (kaij) m×n,

en donde k es un escalar; es decir, un n´umero o una funci´on.

Ejemplo 1. Productos de matrices por escalares

a) 5 

 2₄ −3₋₁

1

6 6

 ₌



 10₂₀ −15₋₅ 1 30

 

b) et   ₋₂1

4  ₌

  e

t

−2et 4et

 

Es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al productoAk, por ejemplo,

e−3t µ

2 5

¶ =

µ 2e−3t 5e−3t

¶ =

µ 2 5

¶

e−3t

Definici´on A.5 (Suma de matrices) La suma de dos matrices m×n, A y B, se define como la matriz

A+B = (aij +bij) m×n

Ejemplo 2. Suma de matrices

La suma de A= 

 2₀ −1₄ 3₆ −6 10 −5



 _{y B =} 

 4₉ 7₃ −8₅ 1 −1 2

  _es

A+B = 

 2 + 4_{0 + 9} −1 + 7_{4 + 3} 3 + (−8)_{6 + 5} −6 + 1 10 + (−1) −5 + 2

 ₌



 6₉ 6_{7 11}−5 −5 9 −3

 

Ejemplo 3. Matriz expresada en forma de suma de matrices columna

La matriz   3t

2_−2et

t2_{+ 7t}

5t



_{se puede expresar como la suma de tres vectores columna:}

  3t

2_−2et

t2_{+ 7t}

5t

 ₌

  3t

2 t2 0  ₊   ₇0_t

5t

 ₊

  −2e

t 0 0  ₌   3₁

0  _t2₊

  0₇

5  _t+

  −2₀

0  _et

La diferencia de dos matrices m×nse define en la forma acostumbrada: A−B =A+ (−B), en donde −B = (−1)B.

Definici´on A.6 (Multiplicaci´on de matrices) Sea A una matriz conm filas yn colum-nas, y B otra con n filas y p columnas. El productoAB se define como la siguiente matriz

m×p cuyo elemento en la posici´on (i, j) es n X

k=1

aikbkj. Es decir,

AB =     

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ...

am1 am2 . . . amn          

b11 b12 . . . b1p

b21 b22 . . . b2p

... ...

bn1 bn2 . . . bnp     = = 

 a_a11₂₁b_b11₁₁+₊a_a12_22bb21₂₁+₊. . ._{. . .}+₊a_a1_2nnb_b1_nn_{1 . . .}. . . _aa₂₁11_bb₁1_pp+_+aa₂₂12_bb₂2_pp₊+_{. . .}. . .₊+_aa₂1_nn_bbnp_np

am1b11+am2b21+. . .+amnbn1 . . . am1b1p+am2b2p+. . .+amnbnp   = Ã _n X k=1 aikbkj

!

Obs´ervese con detenimiento la Definici´on A.6. El producto AB = C s´olo est´a definido cuando el n´umero de columnas en la matriz A es igual al n´umero de filas en B. El tama˜no del producto se puede determinar con

Am×nBn×p =Cm×p.

Se debe observar tambi´en que los elementos de la i-´esima fila de la matriz producto AB

se forman aplicando la definici´on del producto escalar de la i-´esima fila de A por cada una de las columnas de B. En efecto, recordemos que dado dos vectores de n componentes:

a= (a1, a2, . . . , an) y b= (b1, b2, . . . , bn), el producto escalar de a por b se define como

a·b =a1b1+a2b2+· · ·+anbn.

As´ı, el elemento de la posici´on (i, j) de AB es ai·bj, siendo ai la i-´esima fila de A y bj la j-´esima columna de B.

Ejemplo 4. Multiplicaci´on de matrices

a) SiA = µ

4 7 3 5

¶

y B = µ

9 −2 6 8

¶ ,

AB =

µ

4·9 + 7·6 4·(−2) + 7·8 3·9 + 5·6 3·(−2) + 5·8

¶ =

µ

78 48 57 34

¶

b) SiA =   5 8_{1 0}

2 7 

 _{y B =} µ

−4 −3

2 0

¶ ,

AB =



 5₁·_·(−4) + 8_{(−4) + 0·}·2 5_{2 1}·_{·(−3) + 0}(−3) + 8_··0₀ 2·(−4) + 7·2 2·(−3) + 7·0

 ₌



 −4₋₄ −15₋₃ 6 −6

 

En general, la multiplicaci´on de matrices no es conmutativa; esto es, AB 6= BA. En la parte a) del Ej´emplo 4 obs´ervese que BA =

µ

30 53 48 82

¶

, mientras que en la parte b) el

producto BA no est´a definido porque en la Definici´on A.6 se pide que el n´umero de filas de la primera matriz, en este caso B, sea el mismo n´umero que el n´umero de columnas de la segunda, en este caso A. Cosa que no sucede en el el caso b) del Ejemplo 4.

Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna.

Ejemplo 5. Multiplicaci´on de matrices y vectores El producto de una matriz A,

a) 

 2₀ −1 3_{4 5} 1 −7 9

 

  −3₆

4  ₌



 2·₀(−3) + (−1)_{·(−3) + 4·6 + 5}·6 + 3_·4·4 1·(−3) + (−7)·6 + 9·4

 ₌

  ₄₄0

−9  

b) µ

−4 2 3 8

¶ µ

x y

¶ =

µ

−4x+ 2y

3x+ 8y

¶

La matriz Identidad. Para un entero positivo n, la matriz n×n

In=     

1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0

... ... 0 0 0 . . . 1

    

es la matriz identidad. Seg´un la Definici´on A.6, para toda matriz A,n×n,

AIn =InA=A

Tambi´en se comprueba con facilidad que siX es una matriz columna n×1, entoncesInX =

X.

La matriz Cero. Una matriz,m×n, formada cuyos elementos son todos el n´umero cero se llama matriz cero y se representa con 0m×n; por ejemplo,

02×1 =

µ 0 0

¶

, 02×2 =

µ 0 0 0 0

¶

, 03×2 =

  0 0_{0 0}

0 0  

y as´ı sucesivamente. Cuando el tama˜no de la matriz cero se puede deducir por el contexto, o cuando se ha dado expl´ıictamente con anterioridad, se suele prescrindir del sub´ındice que indica el tama˜no y se ecribe simplemente 0. Por ejemplo, si A y 0 son matrices de m×n, entonces

A+ 0 = 0 +A=A

Propiedad asociativa. Aunque no lo demostraremos, la multiplicaci´on matricial es asociativa. Si A es una matriz m×p, B una matriz p×r y C una matrizr×n, entonces

A(BC) = (AB)C

Propiedad distributiva. Si todos los productos est´an definidos, la multiplicaci´on es distributiva respecto la suma:

A(B +C) = AB+AC y (B+C)A =BA+CA

Determinante de una matriz. Con toda matriz cuadradaA, hay un n´umero asociado llamado determinante de la matrizque se representa mediante detA. La f´ormula general para calcular el determinate de la matriz cuadrada A de orden n es

X

σ

a1σ(1)a2σ(2)· · ·anσ(n

donde el sumatorio est´a extendido a lasn! permutacionesσde los n´umeros (1,2, . . . , n). As´ı, sin= 3, las 3! = 6 permutaciones posibles de (1,2,3) son: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) y (3,2,1). Por lo tanto, siA es 3×3 entonces

detA=a11a22a23+a11a23a32+a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32+a13a22a31.

Por lo general para matrices cuadradas de tama˜no grande el c´alculo del determinante es una labor costosa cuando se hace a mano y el uso de ordenadores es aconsejable. Los m´etodos ideados para el c´alculo de determinantes mediante ordenadores (m´etodos num´ericos) no se basan en la definici´on, sino en ciertas propiedades de las matrices. En este curso s´olo habr´a que calcular determinantes de matrices de tama˜no 3 a lo m´as. Para ello la f´ormula de m´as arriba es suficiente. No obstante, hay una f´ormula que permite reducir el c´alculo del determinante de una matriz n ×n a la suma de n determinantes de matrices de tama˜no (n−1)×(n−1). Es la f´ormula conocida comodesarrollo del determinante por los elementos de una fila y que se debe, aunque con una formulaci´on mucho m´as general, a Laplace:

detA=ai1Ai1+ai2Ai2+· · ·+ainAin

en dondeAij = (−1)i+jdet ˜Aij y ˜Aij es la matriz que se obtiene de Aal quitar la i-´esima fila y la j-esima columna.

Ejemplo 6. Determinante de una matriz cuadrada.

As´ı, si A= 

 3₂ 6 2_{5 1} −1 2 4



_{, y desarrollamos detA por los elementos de la primera fila:}

detA= det 

 3₂ 6 2_{5 1} −1 2 4



_{= 3 det} µ

5 1 2 4

¶

−6 det µ

2 1 −1 4

¶

+ 2 det µ

2 5 −1 2

¶

= 3(20−2)−6(8 + 1) + 2(4 + 5) = 18

Definici´on A.7 (Rango de una matriz) .- Se define el rango de una matriz A, m×n, como el tama˜no de la mayor submatriz cuadrada de A con determinante distinto de cero

El c´alculo del rango de una matriz es una tarea muy costosa cuando se quiere utilizar esta definici´on. De hecho, casi nunca se utiliza. Veremos que mediante operaciones elementales por filas se obtiene el rango de una matriz de una manera mucho m´as sencilla. Hay que decir, no obstante, que para matrices muy grandes el c´alculo del rango de una matriz es un problema muy complicado, en general.

Definici´on A.8 (Transpuesta de una matriz) Latranspuesta de la matriz A= (aij),

m×n, es la matriz AT _{n×m representada por}

AT ₌     

a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2

... ...

a1n a2n . . . amn     

En otras palabras, las filas de A se convierten en las columnas de su traspuesta, AT_.

Ejemplo 7. Transpuesta de una matriz

a) La transpuesta de A= 

 3 6 2_{6 5 2} 2 1 4



_{es A}T ₌ 

 3 2_{6 5} −1₂ 2 1 4

 _.

b) Si X =   5₀

3 

_{, entonces X}T _{= (5 0 3).}

Definici´on A.9 (Inversa de una matriz) Sea A una matriz n×n. Si existe una matriz

B n×n tal que

AB =BA=In,

en donde In es la matriz identidad, entonces B es la inversa de A y se representa con

B =A−1_.

El siguiente teorema especifica una condici´on necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada de n´umeros reales o complejos tenga inversa.

Teorema A.11 (La no singularidad implica que A tiene una inversa) Una matriz de n´umeros reales o complejos A n×n tiene inversa A−1 _{si y s´olo si A es no singular.}

El teorema que sigue describe un m´etodo para hallar la inversa de una matriz no singular.

Teorema A.12 (F´ormula de la inversa de una matriz) Sea A una matriz no singular

n×n, y sea, como m´as arriba,Aij = (−1)i+jMij, donde Mij es el determinante de la matriz de (n−1)×(n−1)obtenido al eliminar la i-´esima fila y la j-´esima columna de A. Entonces

A−1 ₌ 1

detA(Aij)

T _(A.1)

Cada Aij en el Teorema A.12 es tan s´olo el cofactor (o menor con signo) del elemento

aij correspondiente a A. Obs´ervese que en la f´ormula (A.1) se utilizan las transpuesta.

Para una matriz 2×2

A=

µ

a11 a12 a21 a22

¶

se tieneA11=a22, A12 =−a21, A21=−a21 y A22=a11. Entonces

A−1 ₌ 1

detA

µ

a22 −a21

−a12 a11

¶_T

= 1 detA

µ

a22 −a12

−a21 a11

¶

.

Para una matriz no singular 3×3

A =



 a_a11₂₁ a_a12₂₂ a_a13₂₃

a31 a32 a33

 _,

A11= det

µ

a22 a23 a32 a33

¶

, A12=−det

µ

a21 a23 a31 a33

¶

, A13 = det

µ

a21 a22 a31 a32

¶

,

etc´etera. Para calcuar la inversa, trasponemos y llegamos a

A−1 = 1 detA



 A_A11₁₂ A_A21₂₂ A_A31₃₂

A13 A23 A33

 

Vamos a calcular la inversa deA= µ

1 4 2 10

¶

En primer lugar detA= 10−8 = 26= 0, de modo que A es no singular y por el Teorema A.12, A−1 _{existe. De acuerdo con (A.1),}

A−1 = 1 2 µ 10 −4 −2 1 ¶ = µ 5 −2 −1 1 2 ¶ .

No toda matriz cuadrada tiene inversa. La matrizA= µ

2 2 3 3

¶

es singular porque detA=

0; por consiguiente, A−1 _{no existe.}

Ejemplo 9. Inversa de una matriz 3×3

Calculemos la inversa deA = 

 _{−2 1 1}2 2 0 3 0 1

 _.

Puesto que detA= 126= 0, la matriz dada es no singular. Los cofactores correspondientes a los elementos de cada fila de A son

A11= det

µ 1 1 0 1

¶

= 1 A12 = det

µ

−2 1 3 1

¶

= 5 A13= det

µ

−2 1 3 0

¶ =−3

A21= det

µ 2 0 0 1

¶

=−2 A22 = det

µ 2 0 3 1

¶

= 2 A23= det

µ 2 2 3 0

¶ = 6

A31= det

µ 2 0 0 1

¶

= 2 A32 = det

µ

2 0 −2 1

¶

=−2 A13= det

µ

2 2 −2 1

¶ = 6

De acuerdo con (A.1)

A−1 ₌ 1

12 

 1₅ −2_{2 −2}2 −3 6 6

 ₌   1 12 − 1 6 1 6 5

12 16 −16

−1

4 12 12

 _.

Se puede, y conviene, comprobar que, en efecto, A−1_A=AA−1 _=I 3.

encontrarse en cualquier libro de Algebra Lineal Num´erica. No los discutiremos aqu´ı porque el tama˜no de nuestras matrices no ser´a, en la pr´actica, nunca mayor que 3.

Como nuestra meta es utilizar las matrices para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, necesitaremos otras definiciones adicionales:

Definici´on A.13 (Derivada de una matriz de funciones) Si A(t) = (aij(t)) es una matriz m×n cuyos elementos son funciones diferenciables en un intervalo com´un, enton-ces se define la derivada de A(t) como la matriz cuyos elementos son las derivadas de los elementos de A(t). Es decir:

dA

dt (t) =

µ daij

dt (t)

¶

(m×n).

Definici´on A.14 (Integral de una matriz de funciones) SiA(t) = (aij(t))es una ma-triz m×n cuyos elementos son funciones continuas en un intervalo que contiene a t y a t0, entonces la integral deA(t)es una matriz cuyos elementos son las integrales de los elementos de A(t). Es decir: _Z

t

t0

A(s)ds= µZ _t

t0

aij(s)ds ¶

(m×n)

En otras palabras, para derivar o integrar una matriz de funciones, tan s´olo hay que derivar o integrar cada uno de sus elementos. La derivada de una matriz tambi´en se representa con A0(t).

Ejemplo 10. Derivada o integral de una matriz

Si

X(t) = 

 sen 2_e3t t 8t−1

 

entonces

X0(t) =  

d

dt(sen 2t)

d dt(e3t)

d

dt(8t−1)  ₌



 2 cos 2_3e3t t 8

 _.

Y

Z _t

0

X(x)ds=  

R_t

0_Rsen 2sds

t

0 e3sds

R_t

0(8s−1)ds

 ₌

  −

1

2cos 2t+12 1

3e3t− 13

4t2_−t

A.2.

Eliminaci´

on de Gauss-Jordan

Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de ecuaciones lineales. Recordemos que ´estos son de la forma:

a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn=b2

...

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn =bm

(A.2)

donde m es el n´umero de ecuaciones y n el de inc´ognitas.

SiArepresenta la matriz de los coeficientes en (A.2), sabemos que se puede usar la regla de Cramer para resolver el sistema, siempre que m = n y detA 6= 0. Sin embargo, seguir esta regla es pr´acticamente imposible si el tama˜no de A es mayor que 3. El procedimiento que describiremos tiene la ventaja de ser no s´olo un m´etodo eficiente para manejar sistemas grandes, sino tambi´en un m´etodo para saber si el sistema (A.2) es consistente (es decir, admite alguna soluci´on), y, en su caso, hallar todas las soluciones.

Definici´on A.15 (Matriz aumentada) La matriz aumentada del sistema (A.2) es la ma-triz de m×(n+ 1) _

   

a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2

... ...

an1 an2 . . . ann bn     

Si B =     

b1 b2

...

bm    

, la matriz aumentada de (A.2) se expresa como (A/B).

Operaciones elementales por filas.

i) Multiplicaci´on de una fila por una constante distinta de cero.

ii) Intercambio de dos filas cualesquiera.

iii) Suma de un m´ultiplo constante, distinto de cero, de una fila a cualquier otra fila.

M´etodos de eliminaci´on.

Uno de los m´etodos que m´as utlizamos para resolver sistemas es el llamado m´etodo de eliminaci´on (tambi´en es famoso el m´etodo de sustituci´on que a veces es ´util para sistemas peque˜nos).

El m´etodo de eliminaci´on consiste, precisamente, en realizar operaciones elementales por filas eligiendo las constantes con buen tino. Cuando es aplicado directamente sobre la matriz aumentada del sistema se conoce con el nombre de m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan. Este m´etodo consiste en efectuar una sucesi´on de operaciones elementales por filas hasta llegar a una matriz aumentada que tenga laforma reducida de escalera por filas.

´

Esta es una matriz que tiene la siguiente forma:

i) El primer elemento distinto de cero en cada fila es 1.

ii) En las filas consecutivas distintas de cero, el primer elemento 1 en la fila inferior aparece a la derecha del primer 1 en la fila superior.

iii) Las filas formadas ´unicamente por ceros est´an en la parte inferior de la matriz.

iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos los dem´as lugares.

Es decir, la forma de una matriz en forma reducida de escalera por filas ser´ıa como sigue: 

           

0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 ∗ · · · ∗

... ... ... ... ... ...

0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0

... ... ... ... ... ...

0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0             

donde los elementos indicados con ∗ pueden ser cero o distintos de cero. El n´umero de filas que son distintas de cero es, precisamente, el rango de la matriz.

Las matrices aumentadas 

 1 0 0_{0 1 0 −1}2 0 0 0 0

  _y

µ

0 0 1 −6 0 2 0 0 0 0 1 4

¶

est´an en la forma escalera por filas.

En la eliminaci´on de Gauss-Jordan nos detenemos una vez obtenida una matriz aumen-tada en su forma de escalera reducida por filas. Cualesquiera que sean las operaciones que realicemos para llegar a la forma de escalera reducida produce siempre la misma forma reducida. Una vez obtenida esta matriz la soluci´on del sistema se obtiene de forma muy sen-cilla. Los 1’s significativos nos aislan unas cuantas inc´ognitas (tantas como filas distintas de cero haya en la forma reducida) que pueden despejarse en funci´on de las dem´as. Enseguida veremos un ejemplo. Para facilitar el trabajo introducimos la siguiente notaciu´on: :

S´ımbolo Significado

Rij Intercambio de las filas i y j

cRi Multiplicai´on de la i-´esima fila por la constantec, distinta de cero

cRi+Rj Multiplicai´on de la i-´esima fila por cy suma del resultado a la j-´esima fila

Ejemplo 12. Soluci´on por eliminaci´on

Resolvamos el sistema

2x1+ 6x2+x3 = 7 x1+ 2x2−x3 =−1 5x1+ 7x2−4x3 = 9

eliminaci´on de Gauss-Jordan.

SOLUCI ´ON

Efectuamos operaciones elementales por filas en la matriz aumentada del sistema para obtener



 2 6_{1 2 −1}1 ₋₁7 5 7 −4 9

  R12

−→ 

 1 2_{2 6} −1₁ −1₇ 5 7 −4 9

 

−2R1+R2

−5R1+R3

−→



 1₀ 2₂ −1₃ −1₉ 0 −3 1 14

 

1 2R2

−→ 

 1₀ 2₁ −13 −1 2

9 2

0 −3 1 14 

3R2+R3

−→ 

 1 2_{0 1} −13 −1 2

9 2

0 0 11 2 552

  112R3

−→ 

 1 2_{0 1} −13 −1 2

9 2

0 0 1 5

−2R2+R1

−→ 

 1 0_{0 1} −43 −10 2 92

0 0 1 5

 

4R3+R1

−3

2R_−→3+R2



 1 0 0 10_{0 1 0 −3} 0 0 1 5

 

Esta matriz ya se encuentra en su forma reducida de escalera por filas. El sistema corres-pondiente es

x1 = 10

x2 =−3 x3 = 5

,

de forma que la solcui´on del sistema es x1 = 10, x2 =−3 y x3 = 5.

Ejemplo 13. Eliminaci´on de Gauss-Jordan

Resu´elvase

x+ 3y−2z =−7 4x+y+ 3z = 5 2x−5y+ 7z = 19

SOLUCI ´ON

Resolveremos este sistema con la eliminaci´on de Gauss-Jordan:



 1₄ 3₁ −2₃ −7₅ 2 −5 7 19

 

−4R1+R2

−2R1+R3

−→



 1_{0 −11 11}3 −2 −7₃₃ 0 −11 11 33

 

−1 11R2

−1 11R3

−→ 

 1 3_{0 1} −2₋₁ −7₋₃ 0 1 −1 −3

 

−3R2+R1

−R2+R3

−→



 1 0_{0 1 −1}1 ₋₃2

0 0 0 0

 _.

Esta es la forma reducida. El sistema correspondiente es

x+z = 2

y−z =−3

Por lo tanto el sistema dado de tres ecuaciones y tres inc´ognitas equivale a otro de dos ecuaciones y tres inc´ognitas. La soluci´on general del sistema ser´a

x= 2−z y=−3 +z

Si el sistema original fuera

x+ 3y−2z =−7 4x+y+ 3z = 5 2x−5y+ 7z= 20

entonces la forma reducida de escalera por filas de la matriz ampliada ser´ıa: 

 1 0_{0 1 −1}1 ₋₃2 0 0 0 −1 11

 

y el sistema correspondiente

x+z = 2

y−z =−3 0 =−1

11

Debido a la tercera ecuaci´on este sistema no tiene soluci´on. Es decir el sistema es incompa-tible.

En conclusi´on, el m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan nos proporciona una forma de conocer si un sistema algebraico de ecuaciones lineales tiene o no soluci´on y, en su caso, todas las soluciones del sistema.

A.3.

El problema de los valores propios

La resoluci´on anal´ıtica de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en la b´usqueda de vectores y valores propios de la matriz del sistema. Para sistemas de dimensi´on peque˜na (a lo m´as 3) la forma m´as sencilla y r´apida de calcular los valores propios es obteniendo las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la matriz. Para sistemas de dimensi´on mayor que 3 (y muy especialmente, por motivos que ser´ıa largo y complicado de explicar, para sistemas de dimensi´on 5 o m´as) el uso de programas apropiados de ordenador puede ser el ´unico modo de calcular los valores propios de una matriz. Una vez obtenidos ´estos por el m´etodo que sea, la eliminaci´on de Gauss-Jordan sirve para hallar los vectores propios.

Definici´on A.16 (Valores propios y vectores propios) SeaAuna matrizn×n. Se dice que un n´umero λ es un valor propio de A si existe un vector soluci´on v, no cero, del sistema lineal

Av =λv (A.3)

El vector soluci´on v se dice que es un vector propio de A correspondiente al valor propio

El t´ermino h´ıbr´ıdo eigenvalor se usa como traducci´on de la palabra alemana eigenwert que significa ”valor propio”. A los valores propios y vectores propios se les llama tambi´en valores caracter´ısticos y vectores caracter´ısticos, respectivamente.

Ejemplo 14. Vector propio de una matriz

Compru´ebese que v =   ₋₁1

1 

_{es un vector propio de la matriz}

A=



 0₂ −1₃ −3₃ −2 1 1

 

En efecto, al multiplicar Av obtenemos

Av = 

 0₂ −1₃ −3₃ −2 1 1

 

  ₋₁1

1  ₌

  −2₂

−2 

_{= (−2)}   ₋₁1

1 

_{= (−2)v.}

Por lo tantoAv = (−2)vcon lo que−2 es valor propio deAyvvector propio correspondiente al valor propio −2.

Si aplicamos las propiedades del ´algebra de matrices, podemos expresar la ecuaci´on (A.3) en la forma alternativa

λv−Av = 0 y tambi´en

(λIn−A)v = 0 (A.4)

en donde In es la matriz identidad. Si escribimos v en funci´on de sus componentes:

v =     

v1 v2

...

vn     ,

la ecuaci´on (A.4) equivale a

(λ−a11)v1 − a12v2 − · · · − a1nvn = 0

−a21v1 + (λ−a22)v2 − · · · − a2nvn = 0

... ... ... ...

−an1v1 − an2v2 − · · · + (λ−amn)vn = 0

Una vez conocido el valor propioλ, el sistema (A.5) es un sistema algebraico lineal homog´eneo denecuaciones conninc´ognitas. Es homog´eneo porque los t´erminos independientes son todos iguales a cero (es decir, bi = 0,i= 1,2, . . . , nen (A.2)), y las inc´ognitas son las componentes de un vector propio correspondiente al valor propio λ.

Por ser un sistema homog´eneo hay siempre un soluci´on obvia (o trivial):v1 =v2 =· · ·= vn = 0. Pero para que v sea un vector propio, por definici´on, debe ser distinto de cero. As´ı pues, la soluci´on trivial no nos sirve.

Ahora bien, se sabe que un sistema homog´eneo den ecuaciones lineales con n inc´ognitas tiene una soluci´on no trivial si y s´olo si, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero. As´ı, para hallar una soluci´on v distinta de cero de la ecuaci´on (A.5) se debe cumplir

det (λIn−A) = 0 (A.6)

Al examinar (A.6) se ve que el desarrollo del det (λIn−A) por cofactores da un polinomio de grado n enλ. La ecuaci´on (A.6) se llama ecuaci´on caracter´ısticadeA. As´ı los valores propios de A son las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica. Para hallar un vector propio que corresponda al valor propioλ, se resuelve el sistema de ecuaciones (λIn−A)v = 0, aplicando la eliminaci´on de Gauss-Jordan a la matriz aumentada (λIn−A|0n×1).

Unos ejemplos pueden servir para clarificar estos conceptos.

Ejemplo 15. Valores propios y vectores propios

Determ´ınense los valores y h´allese un vector propio para cada valor propio de

A=



 1_{6 −1}2 1₀ −1 −2 −1

 _.

SOLUCI ´ON.

Calculamos el determinante para encontrar la ecuaci´on caracter´ıstica (podemos hacerlo, por ejemplo, usamos los cofacotres de la segunda fila):

det (λI3−A) = det



 λ₋₆−1 _λ−2_{+ 1} −1₀

1 2 λ+ 1



_=λ3_+λ2_{−12λ= 0}

Puesto que λ3_+λ2_{−12λ =λ(λ+ 4) (λ−3) = 0, los valores propios son λ}

1 = 0, λ2 =−4

y λ3 = 3. Para hallar los vectores propios debemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a

Para λ1 = 0,

(0I3−A|0) =



 −1₋₆ −2₁ −1 0_{0 0}

1 2 1 0

 −1R1

−→ 

 _{−6 1 0 0}1 2 1 0 1 2 1 0

 

6R1+R2

−R1+R3

−→



 1_{0 13 6 0}2 1 0 0 0 0 0

 

−₁₃1R2

−→ 

 1 2 1 0_{0 1} 6 13 0

0 0 0 0 

−2R2+R1

−→   1 0

1 13 0

0 1 6 13 0

0 0 0 0  

As´ı, el sistema es compatible (deb´ıa serlo porque ya hemos visto que det(0I3 −A) = 0) y tiene infinitas soluciones. El m´etodo de Gauss-Jordan nos indica que se pueden despejar las inc´ognitas v1 y v2 en funci´on de v3. Es decir, las soluciones son:

v1 =−

1

13v3 y v2 =− 6 13v3.

La infinitas soluciones del sistema se obtienen dando valores distintos av3. Como se nos pide

encontrar un vector propio damos a v3 un valor cualquiera. En efecto, cualquier valor de v3

valdr´ıa para obtener un vector propio, pero si queremos que las componentes de este vector sean n´umeros enteros podemos escoger v3 =−13. As´ı un vector porpio ser´ıa:

v1 =

  1₆

−13  _.

Procedemos de la misma forma con λ2 =−4,

(−4I3−A|0) =



 −5₋₆ −2₋₃ −1 0_{0 0} 1 2 −3 0

  R31

−→ 

 ₋₆1 ₋₃2 −3 0_{0 0} −5 −2 −1 0

 

−6R1+R2

−5R1+R2

−→



 1 2_{0 9 −18 0}−3 0 0 8 −16 0

  19R2

−→ 

 1 2_{0 1} −3₋₂ 0₀ 0 8 −16 0

 

−2R2+R1

−8R2+R3

−→



 1 0_{0 1 −2 0}1 0 0 0 0 0

 

La soluci´on general del sistema ser´a:

v1 =−v3 y v2 = 2v3.

Eligiendo v3 = 1 se obtiene un vector propio correspondiente al valor propioλ2 =−4:

v2 =

  −1₂

Por ´ultimo, cuandoλ3 = 3, la eliminaci´on de Gauss-Jordan da

(3I−A|0) = 

 ₋₆2 −2₄ −1 0_{0 0}

1 2 4 0

 

operaciones por filas

−→



 1 0 1 0_{0 1} 3 2 0

0 0 0 0  

As´ı

v1 =−v3 y v2 =−3 2v3.

Escogiendo v3 =−2 obtenemos un vector propio asociado al valor propio λ= 3:

v3 =

  2₃

−2  _.

Cuando una matriz A de tama˜no n× n tiene n valores propios distintos, λ1, λ2, . . . , λn, se puede demostrar que se puede obtener un conjunto de n vectores propios linealmente independientes v1,v2, . . . ,vn; cada uno correspondiente a un valor propio. (Quen vectores

v1, v2, . . . , vn sean linealmente independientes significa que la ´unica forma de que la suma

α1v1+α2v2+· · ·+αnvn sea el vector cero es cuando α1 =α2 =· · ·=αn = 0. Por ejemplo, los vectores v1 =

µ 1 1

¶

yv2 =

µ 2 2

¶

no son linealmente indepencientes porque adem´as de

0v1+ 0v2 =

µ 0 0

¶

tambi´en −2v1+v2 =

µ 0 0

¶

. Sin embargo,v1 =

µ 1 0

¶

y v2 =

µ 0 1

¶ si

son linealmente independientes porque la ´unica forma en que α1v1 +α2v2 =

µ 0 0

¶

es que

α1 =α2 = 0.)

Cuando la ecuaci´on caracter´ıstica tiene ra´ıces repetidas, quiz´a no sea posible hallarn vec-tores propios de A linealmente independientes. El siguiente ejemplo muestra esta situaci´on.

Ejemplo 16. Valores propios y vectores propios repetidos

Determ´ınense los valores propios y vectores propios de

A=

µ

3 4 −1 7

¶

.

Partimos de la ecuaci´on caracter´ıstica

det (λI2−A) = det

µ

λ−3 −4

1 λ−7 ¶

=λ2_{−10λ+ 25 = (λ−5)}2 _{= 0}

y vemos que λ1 =λ2 = 5 es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matriz

2× 2, no es necesario la eliminaci´on de Gauss-Jordan, se pueden obtener las soluciones mediante inspecci´on directa. En este caso, para determinar un vector propio correspondiente a λ1 = 5, recurriremos al sistema (5I2−A|0), en su forma equivalente

−2v1+ 4v2 = 0 −v1+ 2v2 = 0

De aqu´ı se deduce que v1 = 2v2. De modo que todos los vectores propios correspondientes al valor propio λ= 5 tienen la siguiente forma

v = µ

2v2 v2

¶

con v2 6= 0. Y no podemos encontrar dos vectores propios linealmente independientes. En

efecto, si

v= µ

2v2 v2

¶

y v0 = µ

2v0

2 v0

2

¶

con v2 6=v20 y ambos distintos de cero, entonces v20v−v2v0 = 0. Es decir, hay n´umeros α1 y α2 distintos de cero tales queα1v+α2v0 = 0, lo que significa que v y v0 no son linealmente

independientes.

En particular, si escogemos v2 = 1, obtenemos un vector propio:

v= µ

2 1

¶

El siguiente y ´ultimo ejemplo nos muestra que tambi´en puede suceder que haya dos vectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio repetido.

Ejemplo 17. Valores propios y vectores propios repetidos

H´allense los valores propios y vectores propios de

A=



 9 1 1_{1 9 1} 1 1 9

SOLUCI ´ON

La ecuaci´on caracter´ıstica

det (λI3−A) = det



 λ₋₁−9 _λ−1₋₉ −1₋₁ −1 −1 λ−9



_{= (λ−11) (λ−8)}2 _{= 0}

indica que λ1 = 11 es un valor propio simple (de multiplicidad 1) y λ2 =λ3 = 8 es un valor

propio de multiplicidad dos.

Paraλ1 = 11, la eliminaci´on de Gauss-Jordan da

(11I3−A|0) =



 ₋₁2 −1₂ −1 0_{−1 0} −1 −1 −2 0

 

operaciones por filas

−→



 1 0_{0 1} −1 0_{−1 0} 0 0 0 0

 _.

Por consiguiente, v1 =v3 y v2 =v3. Si v3 = 1,

v1 =

  1₁

1  

es un vector propio correspondiente al valor propio λ1 = 11.

Cuando λ2 = 8,

(8I3−A|0) =



 −1₋₁ −1₋₁ −1 0_{−1 0} −1 −1 −1 0

 

operaciones por filas

−→



 1 1 1 0_{0 0 0 0} 0 0 0 0

 _.

En la ecuaci´on v1+v2 +v3 = 0 podemos despejar una de las inc´ognitas en funci´on de las otras dos. As´ı, por ejemplo

v1 =−v2−v3.

Podr´ıamos decir que tenemos 2 grados de libertad: dando valores av2yv3 podemos conseguir

dos vectores soluci´on que sean linealmente independientes. Por ejemplo, si por una parte optamos por v2 = 1 yv3 = 0 y, por otrav2 = 0 yv3 = 1, tenemos que

v2 =

  −1₁

0 

 _{y v3 =}   −1₀

1  