1º de Bachillerato TEMA 8 Dinámica

Física y Química

1º de Bachillerato

TEMA 8

Dinámica

1. Desde lo alto de un edificio de 80 m de altura se deja caer una bola de corcho que debido al rozamiento con el aire experimenta una fuerza de 2 N hacia arriba. Sabiendo que su masa es de 400 g, calcular la aceleración de caída y el tiempo que tarda en llegar al suelo

Solución: 4’8 N 5’8 s

2. Se enrolla un hilo alrededor de un cilindro de 2’5 Kg de masa y se fija por el otro extremo al techo del laboratorio. Se deja caer y se observa que lo hace con un MRUA, tardando 1’37 s en llegar al suelo desde una altura de 3 m. Calcular la tensión del hilo

Solución: 16’5 N

3. Un cuerpo de 24 Kg se ata a dos hilos de 3 m y 4 m de longitud y los extremos libres se fijan al techo, quedando el cuerpo colgando de ellos. Averiguar la tensión que soporta cada uno de los hilos si la distancia entre los puntos de sujeción al techo es de 5 m

Solución: 188’16 N 141’12 N

4. Desde la parte inferior de un plano inclinado 25º se lanza hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 18 Km/h. Calcular la altura máxima que alcanzará en el plano y el tiempo que tardará en volver a la posición inicial si consideramos nulo el rozamiento

Solución: 127 cm 2’4 s

5. Un cuerpo de 2 Kg está situado en un plano inclinado un ángulo α = 40º con la horizontal y lleva atado un hilo del cual se tira con una tensión de 20 N a través de una polea, tal y como se indica en el dibujo.

Suponiendo que la fuerza de rozamiento es despreciable, calcular la aceleración del cuerpo

Solución: 3’7 m/s2

6. Un cuerpo de 6 Kg reposa en una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento estático de 0’30 y dinámico de 0’25. El cuerpo lleva atado una cuerda de la cual se estira, formando un ángulo de 23º con la horizontal.

a) Calcula la fuerza mínima con que se debe estirar de la cuerda para que el cuerpo comience a moverse

b) Si se estira con una fuerza doble a la anterior, ¿qué aceleración tendrá el cuerpo?

7. Resolver el problema número 4 suponiendo que existe rozamiento con un coeficiente estático de 0’5 y dinámico de 0’3

Solución: 0’78 cm No vuelve a bajar

8. Un viento constante empuja a un objeto de corcho de 250 g con una fuerza de 3 N manteniéndolo en contacto contra una pared mientras cae. Si el coeficiente de rozamiento dinámico con la pared es de 0’42 y el estático de 0’55, calcular

a) La aceleración de caída

b) La velocidad con que choca contra el suelo si cae desde una altura de 2’7 m

c) La fuerza con que debería empujarle el viento para que permaneciera pegado a la pared sin caer

Solución: 4’76 m/s 25’07 m/s

9. En la figura adjunta el cuerpo A tiene una masa de 5 Kg y el cuerpo B de 8 Kg. El ángulo α es de 40º y el β de 25º. Despreciando las fuerzas de rozamiento con los planos inclinados, calcular

a) El sentido en el que se moverán los dos cuerpos

b) La aceleración de ambos cuerpos c) La tensión del hilo

Solución: El B baja y el A sube

0’126 m/s2 32’13 N

10.En el sistema de cuerpos de la figura adjunta el cuerpo A tiene una masa de 4 Kg y un coeficiente de rozamiento estático con la superficie de 0’35 y dinámico de 0’27.

a) Hallar el valor mínimo que debe tener la masa B para que el conjunto se ponga en movimiento

b) Si la masa del cuerpo B fuese 2 Kg superior a la calculada en el apartado anterior ¿cuál sería la aceleración de los cuerpos?, ¿y la tensión del hilo?

Solución: 1’4 Kg 3’07 m/s2 22’87 N

11.El cuerpo A de la figura tiene una masa de 4 Kg, el cuerpo B de 3 Kg y el C de 10 Kg. El cuerpo A no experimenta rozamiento alguno pero el B tiene un coeficiente dinámico de rozamiento con el plano de µD = 0’21. El ángulo de inclinación es α = 35º.

Averiguar la aceleración con que se mueven los cuerpos y las tensiones de los dos hilos

Solución: 4’08 m/s2 38’8 N 57’2 N

α _β

A B

A

B

A

B

C

PROBLEMA 1

Sobre el cuerpo solo actúan dos fuerzas: el peso y la fuerza de rozamiento con el aire

La ley fundamental de la Dinámica para el cuerpo será

F_R+ = ⋅P m a

que descompuesta para cada uno de los ejes y teniendo en cuenta el sistema de referencia de la figura

0 0

0 0

R y

eje X

eje Y F P m a eje Z

=

 

− = ⋅



 ₌



a) La única ecuación que nos da información es la del eje Y. Sustituimos en ella los datos conocidos y obtenemos que

2 0 ' 4 9 '8− ⋅ =0 ' 4⋅a_y → a_y = −4 '8m s/ 2

Es negativa porque va hacia abajo, en sentido opuesto al del eje Y

b) Como la aceleración es constante y la trayectoria rectilínea, se trata de un MRUA con una velocidad inicial cero y posición inicial de 80 m en el eje Y. Las ecuaciones del movimiento son

      

− =

− =

− =

8 ' 4

8 ' 4

2 8 ' 4

80 2

y y

a

t v

t y

Cuando llegue el cuerpo al suelo la componente y del vector de posición será igual a cero

2

2 9 ' 4 80

0= − tm →

8 ' 4

2 80⋅

=

m

t → tm =5'77s P

FR

PROBLEMA 2

Elegimos el eje X vertical y la dirección positiva hacia abajo, tal y como se indica en el dibujo

Las ecuaciones de la dinámica para este sistema físico son

     = = ⋅ = − 0 0 0 0 Z eje Y eje a m T P X eje _x

Como se trata de un MRUA utilizaremos la ecuación de la posición en función del tiempo de dicho tipo de movimientos para calcular su aceleración, teniendo en cuenta que el cilindro parte del reposo y no tiene velocidad inicial

2 0 0 2 1 t a t v x

x= + _x + _x → 1'372 2

1 0 0

3= + + a_x → a_x =3'2m/s2

Sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la dinámica para el eje X

2 ' 3 5 ' 2 8 ' 9 5 '

2 ⋅ −T = ⋅ → T =16'5N

Si el cuerpo está en equilibrio su aceleración será cero a lo largo de todos los ejes del sistema de referencia y la ecuación de la dinámica será la siguiente

0

2 1+ =

En el dibujo se pueden apreciar los ángulos α y β y las relaciones siguientes      = = 5 4 cos 5 3

α

α

β

β

Sustituyendo en las ecuaciones de la dinámica

   = + + = − 0 0 cos cos 2 1 1 2 g m sen T sen T T T

β

α

α

β

Despejamos las incógnitas T1 y T2 y su valor es

N T N T 16 ' 188 22 ' 141 2 1 = =

PROBLEMA 4

Como sabemos, un cuerpo que se mueve en un plano inclinado sin rozamiento describe un MRUA, con una aceleración que viene dada por la ecuación a=gsenα

En nuestro caso el ángulo es de 25º y por lo tanto

2 / 14 ' 4 25 8 '

9 sen m s

a= ⋅ =

El móvil inicialmente tiene una velocidad de 18 Km/h = 5 m/s y al final se detiene, luego

t a v

vf = i− → 0=5−4'14t → t=1'2s

La aceleración va en sentido opuesto de la velocidad inicial y por lo tanto es negativa. La distancia d recorrida hasta detenerse será

2 0 2 1 t a t v

d = − → d 4'14 1'2 3m

2 1 2 ' 1

5⋅ − ⋅ ⋅ 2 =

=

a) Cálculo de la altura máxima

d

v0

α

h

De la figura se deduce que h=dsenα =3 sen⋅ 25 → h=1'27m

b) Cálculo del tiempo que tarda en volver

Al no existir rozamiento el cuerpo tarda lo mismo en subir que en bajar y por tanto el tiempo total invertido en el trayecto total es

2 ' 1 2

2 = ⋅

= t

t_T → t=2'4s

PROBLEMA 5

Al no existir rozamiento las fuerzas que actúan sobre le cuerpo son: el peso, la reacción del plano y la tensión de la cuerda, que tiene un valor de 20 N

La ley fundamental de la dinámica para este cuerpo es

a m T R P+ + =

    

= = −

= −

0 0

0

Z eje

P R Y eje

a m P T X eje

Y

X X

Observando la figura se deduce que la componente X del peso es PX =Psen

α

consideración la ecuación en el eje X

X

a m sen P

T−

α

α

X

_R

T

P

P

P

PROBLEMA 6

Las fuerzas que actúan son: el peso, la reacción del plano, el rozamiento y la tensión con la que se estira de la cuerda

La 2ª ley de la dinámica aplicada a este sistema físico es

a m F T R

P+ + + R =

    

=

= − +

= −

0 0

0

Z eje

P T R Y eje

a m F T X eje

Y

X R

X

a) Fuerza mínima de tensión para que se mueva el cuerpo

A la vista de la ecuación de la dinámica en el eje X tenemos que si

TX > FR (max) ⇒ El cuerpo se mueve con aceleración

TX < FR (max) ⇒ El cuerpo no se mueve

TX = FR (max) ⇒ Caso límite. El cuerpo comienza a moverse con velocidad

constante

Considerando la última de las posibilidades

(

)

R X F

T = → Tcos

α

µ

α

µ

(

)

(

α

)

µ

α

Tcos = _E − →

α µ

αµ sen

g m T

E E

+ =

cos

23 30

' 0 23 cos

8 ' 9 6 30 ' 0

sen T

⋅ +

⋅ ⋅

= y finalmente T =17N

P

T

FR

R

TX TY

b) Aceleración al estirar con una tensión T = 2 · 17 = 34 N

En este caso sucede que TX > FR (max) con lo cual el cuerpo estará moviéndose con una cierta

aceleración. Hay que calcular esta aceleración teniendo en cuenta que se debe utilizar el coeficiente de rozamiento dinámico.

Consideramos de nuevo la ecuación de la dinámica en el eje X

( )

R

X F din ma

T − = → Tcos

α

µ

(

)

D mg Tsen ma

Tcos

α

µ

α

(

)

Resolviendo la ecuación calculamos la aceleración 2

/ 32 '

3 m s a_X =

PROBLEMA 7

Las fuerzas que actúan en este caso son las mismas que en el problema 4 más la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado

El 2º principio de la dinámica para el cuerpo es

P+R+F_R =ma

    

= = − −

= − −

0 0

0

Z eje

R P Y eje

a m F P X eje

Y

X R

X

Teniendo en cuenta la ecuación en el eje X

X D

X N ma

P − =

−

µ

µ

α

µ

α

X Dmg ma

sen g

m − =

−

α

µ

α

(

µ

α

α

)

(

)

8 '

9 sen

aX =− + y finalmente

2

/ 81 '

6 m s aX =−

v

X

Y

F

P

R

PX

Como se ve, la aceleración resulta negativa pues es una aceleración de frenado y va en contra del movimiento del cuerpo, que lo hemos elegido como sentido positivo.

El cuerpo describirá un MRUA con aceleración negativa y por lo tanto utilizaremos las ecuaciones cinemáticas de dicho tipo de movimiento.

a) Cálculo de la altura máxima alcanzada

El tiempo que transcurre desde el inicio hasta el final del recorrido, donde se detiene, lo

obtenemos a partir de la ecuación de la velocidad

t a v

v_X = _0X + → 0=5−6'81t

despejamos el tiempo y t=0'73s

El espacio recorrido eX será

2 0

0

2 1

t a t v e

e_X = _X + _X + _X → e_X t

(

)

2 1 5

0+ ⋅ + − ⋅ 2 =

=

El seno del ángulo α relaciona la altura buscada con el camino recorrido eX

X

e h

senα = →

81 ' 1 25 h

sen = → h=0'78m

b) Tiempo que tarda en volver a bajar

Si el cuerpo se detiene, para volver a bajar la pendiente del plano la inclinación debe ser superior a la dada por su coeficiente de rozamiento estático según la relación que obtenemos a partir de la ecuación de la dinámica en el eje X

a m F

P_X − _R(max)= → P_X −

µ

Cuando comienza a caer la velocidad es constante y la aceleración es cero

0

cos = ⋅

− mg m

sen g

m

α

µ

α

Si eliminamos la masa m, la gravedad g y despejamos el coeficiente estático de rozamiento obtenemos que

Si µE = tg α ⇒ El cuerpo comienza a caer hacia abajo con velocidad constante

Si µE < tg α ⇒ El cuerpo cae hacia abajo con aceleración

Si µE > tg α ⇒ El cuerpo no cae hacia abajo

En nuestro caso estamos en la tercera posibilidad pues µE = 0’5 y tg 25 =0’466, luego el

cuerpo cuando llega arriba se queda parado y NO vuelve a caer hacia abajo

α

O

eX

h

X

P

PROBLEMA 8

El viento ejerce una fuerza sobre el objeto que lo empuja contra la pared, apareciendo entonces la fuerza de rozamiento

La ecuación de la dinámica es

P+R+FR +FV =ma

     = = − = − 0 0 0 Z eje F R Y eje a m F P X eje V X R

a) Cálculo de la aceleración de caída

De la ecuación en el eje X tenemos que

X

a m N g

m −

µ

µ

Obtenemos finalmente aX =4'76m/s2

b) Cálculo de la velocidad final

El cuerpo inicia su movimiento estando en reposo y cae con una aceleración constante luego describe un MRUA. Utilizamos las ecuaciones cinemáticas de dicho movimiento

       = + = + + = te cons a t a v v t a t v x x X X X X tan 2 1 0 2 0 0        = + = + + = 76 ' 4 76 ' 4 0 76 ' 4 2 1 0 0 2 a t v t t x X

De la primera de ellas obtenemos que 4'76 2 2 1 0 0 7 '

2 = + + t m y el tiempo tm =1'07s

Al sustituir en la segunda calcularemos el valor de la velocidad buscada

07 ' 1 76 ' 4

0+ ⋅

=

X

v → v_X =5'07m/s

c) Cálculo de la fuerza mínima para que el cuerpo no caiga

De la ecuación de la dinámica en el eje X se puede deducir que Si P > FR⇒ El cuerpo cae hacia abajo con aceleración

Si P < FR⇒ El cuerpo no cae hacia abajo

Si P = FR⇒ Caso límite. El cuerpo comienza a caer con velocidad constante P

FR

X

A partir del caso límite podemos deducir el valor mínimo de la fuerza del viento para que el cuerpo no caiga hacia abajo

( )

N g

m =

µ

µ

( )

( )

55 ' 0

8 ' 9 25 ' 0

min = = ⋅

E V

g m F

µ

El resultado es FV

( )

PROBLEMA 9

Observando el dibujo esquemático de la figura de abajo podemos escribir las ecuaciones de la dinámica para este sistema de cuerpos

Cuerpo A

    

=

= −

= −

0 0

0

Z eje

P R Y eje

a m P T X eje

AY A

A A AX

Cuerpo B

    

=

= −

= −

0 0

0

Z eje

P R Y eje

a m T P X eje

BY B

B B BX

Ecuación de ligadura aA =aB =a

Se han elegido los ejes de referencia de manera que el sentido positivo es el del movimiento de los cuerpos. De esta manera las aceleraciones deben salir positivas. Si al resolver el problema el resultado produce aceleraciones negativas, nos indicaría que el movimiento de los cuerpos es el opuesto al considerado inicialmente.

De la figura que hay mas arriba se puede deducir que

cos AX A AY A

P P sen

P P

α

α

=

 

=

 cos

BX B BY B

P P sen

P P

β

β

=

 

=



De todas las ecuaciones obtenidas para resolver las incógnitas del problema utilizamos las que corresponden a los ejes X y la de ligadura. A partir de ellas se puede escribir el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

α _β

PA _PB

X X

Y

Y

PAX

PAY

PBX

AX A

BX B

T P m a

P T m a

− = 



− = 

A A

B B

T P sen m a P sen T m a

α

β

− = 



− = 

5 9 '8 40 5

8 9 '8 25 8

T sen a

sen T a

− ⋅ ⋅ = ⋅ 



⋅ ⋅ − = ⋅ 

31'5 5

33'1 8

T a

T a

− = 



− = 

Resolviendo este último sistema se obtienen las incógnitas del problema

2

0 '126 /

32 '13

a m s

T N

= =

Como la aceleración tiene signo positivo nos confirma que el sentido elegido para el movimiento de los cuerpos es el correcto. Es decir, el cuerpo A sube y el B baja por el plano inclinado

PROBLEMA 10

A partir del dibujo que hay más abajo y eligiendo los sistemas de referencia ahí señalados, podemos escribir las ecuaciones de la dinámica para los dos cuerpos que configuran el sistema físico del problema

Cuerpo A 0

0 0

R A A A

eje X T F m a eje Y R P

eje Z

− =

 

− =



 ₌



Cuerpo B 0 0

0 0

B B B

eje X P T m a eje Y

eje Z

− =

 

=



 ₌



Ecuación de ligadura a_A =a_B =a

A

B

X Y

X

PA

T

T FR

a) Valor mínimo de la masa B para que el sistema se mueva

Tomando las ecuaciones del eje X y la de ligadura obtenemos que

R A

B B

T F m a P T m a

− = 



− =  sumándolas PB−FR =

(

)

Cuando el sistema empiece a moverse la fuerza de rozamiento será la máxima y se deducen tres posibilidades

Si PB > FR(max) ⇒ a > 0 Los cuerpos se mueven con aceleración

Si PB < FR(max) ⇒ a = 0 Los cuerpos no se mueven

Si PB = FR(max) ⇒ Caso límite Los cuerpos comenzarían a moverse con velocidad

constante

Tomamos el caso límite para averiguar la mínima masa que debe tener el cuerpo B

B E

P =

µ

µ

Finalmente m_B =1' 4Kg

b) Aceleración y tensión si la masa es mB = 1’4+2 = 3’4 Kg

En las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior sustituimos los datos conocidos, teniendo en cuenta ahora que el sistema estará en movimiento y habrá que utilizar el coeficiente de

rozamiento dinámico

R A

B B

T F m a P T m a

− = 



− = 

D A A

B B

T P m a

P T m a

µ

− = 



− = 

0 ' 27 4 9 '8 4 3' 4 9 '8 3' 4

T a

T a

− ⋅ ⋅ = 



⋅ − = 

10 '58 4 33'32 3' 4

T a

T a

− = 



− = 

Resolviendo el sistema

2

3'07 /

22 '87

a m s

T N

PROBLEMA 11

Suponemos que el cuerpo A sube por el plano inclinado, el cuerpo B se desplaza a la derecha y el cuerpo C cae hacia abajo

Cuerpo A

1

0

0 0

AX A A A AY

eje X T P m a eje Y R P

eje Z

− =

 

− =



 ₌



Cuerpo B

2 1

0

0 0

R B B B B

eje X T T F m a eje Y R P

eje Z

− − =

 

− =



 ₌



Cuerpo B

2

0 0

0 0

C C C

eje X P T m a eje Y

eje Z

− =

 

=



 ₌



Ecuación de ligadura a_A =a_B =a_C =a

Para las incógnitas que plantea el problema elegimos las ecuaciones que son útiles, que en este caso son las que corresponden a los ejes X. Conseguimos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (a, T1 y T2)

1 2 1

2

AX A R B

C C

T P m a

T T F m a

P T m a

− = 



− − = 



− = 

1 2 1

2

A A

D B B

C C

T m g sen m a

T T m g m a

m g T m a

α

µ

− = 



− − = 



− = 

A

B

C

α X

X

X Y

Y

PA

PB

PC

PAX

PAY RA

T1

T1 T2

T2 FR

Y

1 2 1

2

4 9 '8 35 4

0 ' 21 3 9 '8 3

10 9 '8 10

T sen a

T T a

T a

− ⋅ ⋅ = 



− − ⋅ ⋅ = 



⋅ − = 

1 2 1

2

22 ' 48 4

6 '17 3

98 10

T a

T T a

T a

− = 



− − = 



− = 

Como siempre las soluciones se obtienen resolviendo este sistema y son

2 1

2

4 '08 /

38'8

57 ' 2

a m s

T N

T N

= =