Orden y desigualdad en el conjunto de los números reales

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(1)

Recta num´

erica

La recta num´erica es un objeto matem´atico que formaliza la cinta de medir o las reglas.

En una recta ilimitada se elige un punto O que se llama origen y una unidad, es decir decimos que el segmento OU mide 1. Tambi´en se incluye una flecha que indica el sentido de crecimiento, como se indica en la figura 1.1:

O U

Figura 1.1

En la figura 1.2, “desboblamos” la recta en una recta geom´etrica, donde hay puntos, y una recta num´erica donde ubicaremos los n´umeros. Al punto O haremos corresponder el n´umero 0,al punto U haremos corresponder el n´umero 1 puesto que, al elegir OU como unidad, ese segmento medir´a 1. Si tomamos V a la derecha de U de manera que el segmento U V mida lo mismo que el segmento OU, entonces al punto V corresponder´a el n´umero 2.

Tomamos cualquier puntoAa la derecha del origenOen la recta geom´e-trica y le hacemos corresponder el n´umero a en la recta num´erica. Esto significa que el segmento OA mideacuando tomamos OU como unidad.

O U V A

B W recta geom´etrica

recta num´erica

0 1 2 a

−2 w

Figura 1.2

(2)

Tomemos ahoraB el punto sobre la recta geom´etrica sim´etrico al punto V con respecto al origen. Entonces el segmento BO mide 2 unidades. El

n´umero que asociamos aB es−2.

Para un punto W que se encuentra a la izquierda de O, asignamos un n´umero negativow.Por lo tanto el segmentoOW mide−w.De esta manera asociamos a cada punto sobre la recta unn´umero.

Definici´on 1.1: N´umeros reales

Llamamosn´umero real a todos los n´umeros que se obtienen de esta manera.

A los puntos situados a la derecha de O se asignan n´umeros

posi-tivos, a los puntos situados a la izquierda de O se asignan n´umeros

negativos.

Se˜nalemos de nuevo que en la recta hay dos puntos especiales:

• O al que asignamos el n´umero 0; • U al que asignamos el n´umero 1.

Dada una longitudℓ,hay dos puntosAyA′en la recta de manera que los segmentosOAyOA′tienen longitud: Ellos est´an situados sim´etricamente con respecto al origen sobre la recta num´erica. En la figura 1.3 hemos puesto ejemplos de esta situaci´on

O A

A′ B

B

0 1

−1 3

−3

Figura 1.3

Ejemplo 1.1

Si al punto P le corresponde el n´umero 2 y ℓ = 3, encontrar los puntos X sobre la recta para los cuales el segmentoP X mide 2.

Soluci´on ◮

(3)

O U P

1

0 2

Figura 1.4

Hay dos puntos sobre la recta que cumplen con esta condici´on: uno a la derecha deP y uno a la izquierda. Para obtener el punto a la derecha debe-mos movernos 3 unidades a la derecha, y de manera semejante, para obtener el que est´a a la izquierda debemos movernos 3 unidades a la izquierda:

O S

R P

2 1 0

Figura 1.5

Las soluciones son los puntosRySa los que corresponden,respectivamente,

los n´umeros −1 y 5. ◭

En la recta num´erica se interpretan las propiedades y las operaciones de los n´umeros.

Ejemplo 1.2

Si al punto Ale corresponde el n´umero 2 yB est´a situado a la izquierda de A, ¿qu´e n´umero le corresponde aB si la longitud del segmento AB es 3?

Soluci´on ◮

Podemos referirnos solamente a la figura 1.6: Ubicamos el puntoAy despu´es contamos 3 unidades a la izquierda para localizar a B

0 A≡2

B ≡b

Figura 1.6

Obtenemos que

b=−1.

(4)

1.1

Orden en la recta n´

umerica

La recta num´erica est´a orientada a la recta. En lo que hemos hecho vamos de izquierda a derecha, y representamos esto por la flecha de crecimiento. Esto significa que siaes un n´umero en la recta que se encuentra a la derecha de b, entonces b es m´a chico que a. Veamos qu´e sucede cuando los puntos est´an a la derecha del origen yA est´a a la derecha deB.

B O

0

A

b a

Figura 1.7

Por lo que dijimos anteriormente, a mide la longitud del segmento OA mientras que b mide la longitud del segmento OB. Como el segmento OB est´a inclu´ıdo (contenido) en el segmentoOA, bes menor queay escribimos

b < a.

• A todo punto a la izquierda del origen le corresponde un n´umero negativo.

• Todo n´umero negativo es menor que todo n´umero positivo.

Cuando A est´a a la derecha de B y ambos a la izquierda del origen, la situaci´on es la siguiente,

A O

0 B

a b

A′ B

a′ b

Figura 1.8

TomemosA′ yBlos sim´etricos con respecto al origen deAyB respectiva-mente. Entonces

(5)

y ahora B′ est´a a la derecha de A. Por lo tanto b < a equivale a que −a′<−b.

Observemos que siA′ es el sim´etrico de A,con respecto al origen, igual-mente se tiene queAes el sim´etrico deA′ con respecto al origen. Usando las notaciones de la figura 1.8, tenemos que a′=−a y a=−aes decir

a=−(a′) =−(−a).

Propiedades del orden

Con lo que hemos construido hasta el momento tenemos las siguientes propiedades del orden;

• Todo n´umero distinto de 0 o bien es positivo o bien es negativo;

• si a < byb < centonces a < c.

M´as adelante veremos c´omo se comporta el orden con respecto a las opera-ciones.

Para no tener que hacer cada vez la observaci´on siAest´a a la derecha o a la izquierda del origen para calcular la longitud del segmentoOA definimos

Definici´on 1.2: Valor absoluto

Elvalor absolutode un n´umeroase escribe|a|y se calcula mediante

la regla

|a|=

a si a >0 0 si a= 0 −a si a <0

Por lo tanto el segmento que une A con O tiene longitud (o magnitud) |a|.Denotamos por|OA|a la longitud del segmentoOA.Observemos que

OA=AO

1.2

Suma geom´

etrica de n´

umeros reales

(6)

O

0

A B

a b

Figura 1.9

Lo que hacemos es “deslizar” el segmento OA hasta que el extremo izquierdo coincida con B. El extremo derecho, que llamamos C, es tal que la magnitid del segmento OC es igual a a+b,

|OC|=|OB|+|BC|=|OB|+|OA|.

O

0

A B

a b

C

a+b

Figura 1.10

Cuando queremos sumar cualquier par de n´umeros debemos tener en cuenta la orientaci´on. Si A est´a a la izquierda de O entonces el n´umero a que corresponde aA es negativo (a <0).

Interpretamos lo que hicimos para la suma de la manera siguiente:

Pusimos−→OAa continuaci´on de−−→OB.

SiA est´a a la izquierda de B y ambos a la izquierda de O, la situaci´on se ve en las figuras 1.10 y 1.11

A

a

B O

b 0

C

Figura 1.11

y hacemos lo mismo que antes, es decir “deslizamos” el segmentoOAa hasta que el extremo izquierdo coincida con B y as´ı obtenemos un puntoC a la izquierda deB de manera que|CB|=|OA|y

(7)

A

a B

C O

b 0

a+b

B

C O

b 0

a+b

Figura 1.12

Ejemplo 1.3

Encontrar de manera geom´etrica la suma de −3 con 2.

Soluci´on ◮

Comencemos con la figura 1.13

A

a

B O

b 0

Figura 1.13

Ponemos −→OA a continuaci´on de −−→OB

A

2

B O

−3 0

Figura 1.14

Por lo tanto, geom´etricamente hemos llegado a que

(−3) + 2 =−1

(8)

a b

Figura 1.15

El lector se puede entretener viendo esto ubicando el origen en todas las posibles posiciones (hay 5).

Si a es m´as chico que b, es decir cuando ase localiza a la izquierda de b,el segmento que los unemideb−a. Usando la definici´on 1.2, la longitud del segmento que une los puntosaybde la recta num´erica es |a−b|.

Esto permite resolver el ejemplo 1.3 de manera puramente algebraica:

Tenemos que a = 2. Como el punto B se encuentra a la izquierda de A entonces la longitud del segmento est´a dada pora−b.Obtenemos la ecuaci´on

3 =a−b= 2−b.

Al resolverla obtenemos que

b= 2−3 =−1.

Ejercicios

Resuelva los siguientes ejercicios geom´etrica y algebraicamente.

1. Si al puntoAle corresponde el n´umero 1 yB est´a situado a la derecha de A,¿qu´e n´umero le corresponde a B si la longitud del segmentoAB es 4?

2. Si al puntoAle corresponde el n´umero−1 yBest´a situado a la derecha de A,¿qu´e n´umero le corresponde a B si la longitud del segmentoAB es 5?

3. Si al punto A le corresponde el n´umero −1 y B est´a situado a la izquierda de A, ¿qu´e n´umero le corresponde a B si la longitud del segmento AB es 2?

(9)

En lo que sigue identificaremos el punto geom´etrico con el n´umero que asignamos. Esta es la versi´on geom´etrica de los n´umeros. Se dice

geom´etrica porque hemos asignado a cada punto de la recta, que es un objeto geom´etrico, un n´umero.

Vale la pena recordar las propiedades algebraicas de los n´umeros. Estas propiedades aparecer´an m´ultiples veces en lo que sigue:

Propiedades de la suma de n´

umeros reales

• La suma es conmutativa. Dados dos n´umeros reales ayb siempre

se tiene que

a+b=b+a

• La suma es asociativa. Dados tres n´umeros reales a, byc siempre

se tiene que

(a+b) +c=a+ (b+c).

Notemos que la suma se define entredos n´umeros. La asociatividad nos permite no tener que especificar cu´ales de las posibles sumas se hacen primero.

• Existencia de elemento neutro para la suma. Dado un n´umero

real asiempre se tiene que

a+ 0 = 0 +a=a.

Notemos que 0 es la longitud de un “segmento” que se reduce a un punto (es decir, un segmento que tiene el mismo extremo izquierdo y extremo derecho).

• Existencia de un inverso aditivo. Dado un n´umero real a existe

un ´unico n´umero realb que hace que

a+b= 0.

Notemos que cuando tenemos un n´umero real ubicado en la recta num´erica, el inverso aditivo es el n´umero sobre la recta sim´etrico

(10)

0 a −a

0 −b

b

Figura 1.5

1.3

Multiplicaci´

on geom´

etrica de dos n´

umeros

Dados dos n´umeros reales positivosaybde manera natural su productoabes el ´area del rect´angulo de ladosayb.Si queremos un n´umero que represente el producto, la manera de conseguirlo es obteniendo un rect´angulo de lado 1 con ´area ab. Con esto en mente, consideremos el rect´angulo ABCD de la figura 1.6. Sobre la diagonal AC tomamos un punto P y trazamos el segmentoRR′ que es perpendicular al segmento QQ.

A B

C D

P

Q′ Q

R R′

Figura 1.6

(11)

Si el segmento QB midea,el segmento QP mideby el segmento AQ mide 1, y RC midde C, entonces el ´area del rect´angulo QBR′P es ab(unidades cuadradas) y la del rect´angulo RP Q′C esc=c·1 (unidades cuadradas).

A a

1 1

B

b

C D

P

Q′ Q

R R′

c

Figura 1.7

Propiedades del producto de n´

umeros reales

El producto entre n´umero real fijo tiene que ver con la noci´on de

propor-cionalidad y para su interpretaci´on gem´etrica requerimos usar el plano

cartesiano y la abordaremos m´as adelante.

• El producto es conmutativo. Dados dos n´umeros reales a y b

siempre se tiene que

ab=ba

• El producto es asociativo. Dados tres n´umeros reales a, b y c

siempre se tiene que

(ab)c=a(bc).

Al igual que la suma, el producto se define entredos n´umeros y, de nuevo, la asociatividad nos permite no tener que especificar cu´ales de los posibles productos se efect´uan primero.

• Existencia de elemento neutro para el producto. Dado un

n´umero real asiempre se tiene que

(12)

• Existencia de un inverso multiplicativo. Dado un n´umero reala

no nulo (esto se escribe: a 6= 0) existe un ´unico n´umero real b que

hace que

ab= 1.

El inverso aditivo de ase denota por

1

a o bien a −1

Propiedad que vincula la suma y el producto de

umeros

• La suma distribuye con respecto al producto. Dados tres n´umeros

reales a, byc siempre se tiene que

(a+b)c=ac+bc.

Tambi´en

a(b+c) =ab+ac.

Hacemos expl´ıcita esta ´ultima propiedad,aunque se puede derivar de la primera, debido a la conmutatividad de la suma y del producto

Propiedades que relacionan el orden y las

opera-ciones

• Si a >0 y b >0 entonces

a+b >0

• Si a >0 y b >0 entonces

ab >0

• Si a <0 y b <0 entonces

ab >0

Veamos que, a partir de estas propiedades, podemos concluir otras propiedades de las operaciones de los n´umeros. Las deducciones que siguen tienen por objetivo dar una idea de la manera como funciona un sistema deductivo.

Ejemplo 1.4

(13)

a0 = 0.

Soluci´on ◮

Como 0 + 0 = 0 Entonces

a0 =a(0 + 0)

Por la distributividad del producto con respecto a la suma

a(0 + 0) =a0 +a0.

Por lo tanto

a0 = a(0 + 0) = a0 +a0.

Sumamos a ambos lados de la igualdad el inverso aditivo dea0 y obtenemos

0 = a0 + (−a0) = (a0 +a0) + (−a0) = a0 + (a0 + (−a0)) = a0.

Cuando juntamos las igualdades anteriores, obtenemos

0 =a0.

Ejemplo 1.5

Siab= 0 ya6= 0 entonces b= 0.

Soluci´on ◮

Como a6= 0, atiene inverso multiplicativo. Entonces

a−1(ab) =a−1(0) (∗)

Por la asociatividad del productoa−1(ab) = (a−1a)by por la propiedad que define el inverso, (a−1a)b= 1(b) =b.Hemos mostrado que el lado izquierdo de (*) es igual a b. Ya vimos que el lado derecho es igual a 0. por lo tanto

(14)

Propiedades del Valor Absoluto

• Si a= 0 entonces |a|= 0.Adem´as si|a|= 0 entoncesa= 0.

• Desigualdad del tri´angulo

|a+b| ≤ |a|+|b|.

Adem´as

|a+b|=|a|+|b|

significa que aybtienen el mismo signo.

• El valor absoluto se comporta de manera m´as simple con el producto:

|ab|=|a| |b|.

Otras propiedades de los n´

umeros reales.

• −a= (−1)a.

• Si a6= 0 entonces a2 >0.

Figure

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Referencias

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