0.1.
Homomorfismos de Grupos
Definici´on 1 Sean (G,·) y (H,◦) dos grupos. Una funci´on f de G a H f :G→H
se dice ser
a) Un homomorfismo si f(x·y) = f(x)◦ f(y), ∀x, y ∈ (G,·), se puede prescindir de las operaciones y escribir simplemente f(xy) = f(x)f(y). b) Un monomorfismo si es un homomorfismo inyectivo de G en H.
c) Un epimorfismo si es un homomorfismo sobreyectivo de G en H.
d) Un isomorfismode H en G si es un homomorfismo biyectivo entre estos dos grupos. G yH se dicen isomorfos, y se escribe G∼=H.
e) Un automorfismo si es un isomorfismo de G en G.
Ejemplo 1.
Sea h: (IR,+) −→(IR− {0},·), se define h(x) = 3x. Vemos que
h(x+y) = 3x+y,
= 3x3y, = h(x)h(y).
As´ıh es un homomorfismo. Por otro lado, se tiene que
dh(x)
dx = ln3·3
x >0, ∀x∈IR,
esto significa quehes creciente estrictamente y por lo tanto inyectiva, as´ı que
h es un monomorfismo. Ejemplo 2.
Sea A cualquier grupo abeliano definimosh(a) = a2, esta funci´on es un
homomorfismo de ´este grupo en si mismo. En efecto,
h(ab) = (ab)2,
= a2b2,
= h(a)h(b).
Ejemplo 3.
Consideremosh, una funci´on definida por:
h : (ZZ,+) −→ ({1,−1},·), n −→ h(n) = (−1)n.
Es claro que h(m+n) = (−1)m+n = (−1)m(−1)n = h(m)h(n). Evidente-mente no es un monomorfismo. ¿Por qu´e ?.
Ejemplo 4.
Consideremos los grupos de C y el grupo Klein cuyas tablas damos a continuaci´on:
C :
e x x2 x3
e e x x2 x3
x x x2 x3 e
x2 x2 x3 e x
x3 x3 e x x2
K :
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Asumamos que exista un isomorfismo de h : C −→ K, entonces deber´ıa ser que:h(x) = e, a, b, ´o c, entonces h(x2) = e2, a2, b2 ´o c2. Supongamos que h(x) = e, entonces
:
h(x2) = h(x)h(x) = e2 = e, h(x3) = h(x2)h(x) = e3 = e,
asi que h(e) = h(e2) = h(e)h(e) = e=⇒h no puede ser inyectivo.
Ejemplo 5.
Sea G = {e, g, g2}un grupo c´ıclico de orden 3 con
e g g2
e e g g2
g g g2 e
g2 g2 e g
y h:G−→G definido por
h es un isomorfismo deGen si mismo. Veamos primero que es un homomor-fismo. En efecto,
h(ee) = h(e)h(e) = e2 =e h(eg) = h(e)h(g) = eg2 =g2, h(eg2) = h(e)h(g2) = eg=g, h(gg2) = h(g)h(g2) = g2g =e,
Claramente es inyectiva y sobreyectiva, as´ı que hes un automorfismo. Ejemplo 6.
El siguiente es un ejemplo de un automorfismo de grupos. Sea a ∈ G, y sea fa :G−→G la funci´on definida por
fa(g) = a−1ga para todo g ∈G. Pruebe que fa es un homomorfismo de grupos.
Prueba
En efecto, pues
fa(gg1) = a−1gg1a,
= (a−1ga)(a−1g 1a),
= fa(g)fa(g1).
Finalmente para demostrar que fa es un isomorfismo y por lo tanto un auto-morfismo es suficiente ver que fa−1 es el inverso de fa. Dejamos este ´ultimo
hecho como un ejercicio al lector. Ejemplo 7.
Si A es un grupo abeliano finito de orden n, y m.c.d(n,k) = 1, muestre
f :A−→A definido por f(a) = ak es un isomorfismo. Prueba
Si se muestra que f es sobreyectivo, entonces f es inyectivo, ya que A es un conjunto finito y f va de AenA. En efecto, seaa un elemento cualquiera en
A considerado como conjunto de llegada del homomorfismo y tomemosad en
A conjunto de salida y entonces calculemos
f(ad) = (ad)k,
= akdanc, = akd+nc, = a1,
ya que (ac)n = e, donde e es elemento neutro de A, y del hecho de que
kd+nc = 1.
Nota
El siguiente teorema es especialmente ´util para determinar cuando dos grupos no son isomorfos. En general para demostrar que dos grupos no son isomor-fos se muestra que uno de ellos tiene una propiedad estructural y el otro no. As´ı por ejemplo algunas propiedades estructurales posibles son que uno de los grupos sea c´ıclico, abeliano, el n´umero de subgrupos, el ser grupo finito o no, el orden del grupo, que el grupo tenga por ejemplo exactamente dos elementos de un orden dado, o que por ejemplo la ecuaci´on x2 = a, tenga exactamente una soluci´on para cada a en el grupo.
Por otro ladono son propiedades estructuralesque el grupo contenga al n´umero 5 como elemento, que todos elementos sean n´umeros , que la operaci´on del grupo se llame composici´on, que los elementos del grupo sean permutaciones, que el grupo sea un subgrupo de (IR,+).
Teorema 1 Sihes un isomorfismo de un grupoGen un grupo H,entonces 1. h(e) = e.
2. h(x−1) = (h(x))−1.
3. h(xk) = (h(x))k, ∀k ∈ZZ, k >0
4. Si g y g0 conmutan en G⇐⇒h(g) y h(g0) conmutan en H.
5. G es abeliano ⇐⇒H es abeliano.
6. gk = g0 en G⇐⇒(h(g))k = h(g0) en H.
7. g y h(g) tienen el mismo orden.
8. xk = g tiene el mismo n´umero de soluciones en G que h(g) = xk en
H.
Prueba
1. Dado que e2 = e,se tiene queh(e) = h(e2) = (h(e))2,se sabe que en
un grupo si un elemento x2 = x=⇒x = e, as´ı si tomamosx = h(e) en H concluimos quee = h(e).
2. Si xx−1 = e=⇒h(xx−1) = h(e) = e = h(x)h(x−1). Peroh(x) tiene un inverso ´unico, as´ı que h(x−1) = (h(x))−1.
3. h(xk) = (h(x))k ∀k entero. Sik es negativo, entonces
h(x−k) = h((x−1)k) = h((h(x))−1)k = (h(x))−k.
4. (=⇒) Sigg0 = g0g =⇒h(g)h(g0) = h(g0g) = h(g0)h(g), as´ı sig y g0
conmutan implica que h(g) y h(g0) conmutan.
(⇐=) Por otro lado si h(g)h(g0) = h(g0)h(g), entonces h(gg0) =
h(g0g) y dado queh es inyectivo, entonces gg0 = g0g.
5. (=⇒) Seanf, f0dos elementos cualesquiera del grupoH, existeng, g0
enGtales queh(g) = f yh(g0) = f0 dado quehes sobreyectivo. Luego
f f0 = h(g)h(g0) =h(gg0) = h(g0g) = h(g0)h(g) = f0f, esto significa que H es abeliano. Este argumento es v´alido en el sentido inverso. 6. gk = g0 enG=⇒(h(g))k = h(gk) = h(g0)∈H aplicando
h−1 a (h(g))k = h(gk) dado que gk = g0.
7. Seakel menor entero para el quegk = e,entonces por la parte anterior esto es equivalente a (h(g))k = h(e) = e.
8. (=⇒) Si a satisface xk = g, entoncesak = g, as´ı, de donde
(h(a))k = h(g), de modo que h(a) satisface la ecuaci´on xk = h(g) en
H. Este argumento es v´alido en el sentido inverso. 9. G y H tienen la misma cardinalidad.
Ejemplo 8.
Consideremos el conjunto de matrices
Gl(2, IR) =
(
a b
c d
!
|a, b, c, d ∈IR,donde ad−bc 6= 0
)
Gl(2, IR) con la multiplicaci´on usual de matrices es un grupo, y (IR,+) no son isomorfos por la parte (4) del teorema anterior.
Ejemplo 9.
El grupo de Klein K y D4 no son isomorfos por la parte (8) del teorema
precedente. Ejemplo 10.
Consideremos los grupos siguientes (Ql −{0},·) no son isomorfos a (ZZ,+) por la parte (8), dado quex2 = 4 tiene dos soluciones en (Ql − {0},·). Pero
como h(4) = k para alg´un entero k, y del hecho que x2 = x·x = k, se
convierte en x+x = 2x en (ZZ,+), la que tiene a lo m´as una soluci´on en (ZZ,+).
Ejemplo 11.
El grupo (IR− {0},·) no es isomorfo a (IR,+) ya quex+x = a siempre tiene soluci´on para cadaa ∈IR, 2x = a =⇒x = a
2,mientrasx·x = a, que
es la ecuaci´on equivalente no tiene siempre soluci´on en (IR− {0},·), t´omese
a = −1. Ejemplo 12.
Los grupos (Cl−{0},·) (IR−{0},·) no son isomorfos ya quex2 = −1 tiene
dos soluci´ones{i, −i}en (Cl − {0},·), mientras que no tiene en (IR− {0},·). Ejemplo 13.
Sea G cualquier grupo, la funci´on identidad de un grupo en si mismo definida por I :G−→G, i(g) = g es un automorfismo de G.
Ejemplo 14.
El grupo de Klein, es isomorfo a (ZZ2,+)×(ZZ2,+).
En efecto, sea K = {e, a, b, c} y ZZ2 ×ZZ2 = {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)},
entonces se define:
f(e) = (0,0), f(a) = (1,0), f(b) = (0,1), f(c) = (1,1).
obviamente es inyectivo y sobreyectivo.Para ver que es homomorfismo revisar
Otra manera de probar lo mismo es observando que (ZZ2 × ZZ2) no tiene
elementos de orden cuatro y as´ı este no puede ser c´ıclico de modo que la ´
unica posibilidad es que sea isomorfo al grupo de Klein. Ejemplo 15.
Sea K = {e, a, b, c} el grupo de Klein y H = {e, g} un grupo de orden 2. Definimos h:K −→H por
h(e) = e, h(a) = e, h(b) = g, h(c) = g.
evidentemente no es un isomorfismo. Veamos sin embargo que es un homo-morfismo.
h(a ◦ b) = h(c) = g mientras que h(a) ◦ h(b) = e ◦ g = g tambi´en,
h(e◦b) = h(b) = g y h(e)◦h(b) = e ◦g = g,mientras que
h(b)◦h(c) = g ◦g = e,· · ·, hay que verificar en total 16 productos. Ejemplo 16.
Sea (ZZ,+) y sea H = {e, g}el grupo c´ıclico de orden 2. Definimos
h(n) =
(
e ,si n es par,
g ,si n es impar.
evidentemente h no puede ser un isomorfismo ya que no es inyectivo. Para ver que es homomorfismo veamos dos casos:
1) Sinymson ambos pares o impares, entoncesn+mes par yh(n+m) = e
mientras que
h(n)h(m) =
(
ee = e si n y m son pares,
gg = e si n y m son impares.
2) Sin es par y m es impar, entonces n+m es impar y as´ıh(n+m) = g
Ejemplo 17.
SeanG = {a, a2, a3,· · ·, a11, a12 = e}este grupo es c´ıclico y su subgrupo G0 = {a2, a4, a6,· · ·, a12 = e} se ve que
G: −→ G0,
an −→ h(an) = a2n. es un homomorfismo deG enG0. (pru´ebelo!) Ejemplo 18.
Demostrar que el grupo G, cuya tabla se da continuaci´on · 1 -1
-1 -1 1 1 1 -1 y el grupo H del cual tambi´en damos su tabla
0 1 0 0 1 1 1 0
son isomorfos. En efecto, basta definirh(1) = 0, h(−1) = 1 claramenteh
es una funci´on biyectiva, solo debemos comprobar quehes un homomorfismo.
a) h(1·1) = h(1)h(1), b) h(−1·1) = h(−1)h(1), c) h(−1· −1) = h(−1)h(−1), d) h(1· −1) = h(1)h(−1).
as´ı que G∼=H.
Definici´on 2 Sea G un grupo, entonces
A(G) = {f :G−→G|fes un isomorfismo},
es decir, A(G) es el conjunto de automorfismos de G en G. Ejemplo 19.
Prueba
Probemos que◦es una operaci´on cerrada enA. Primero notemos quef◦ges una biyecci´on de G en G ya que la composici´on de dos funciones biyectivas es una funci´on biyectiva. Verifiquemos que f ◦g es un homomorfismo de A
en A. se tiene que mostrar que
(f ◦g)(ab) = (f ◦g)(a)(f ◦g)(b), ∀a, b∈G.
En efecto,
(f ◦g)(ab) = f(g(ab)),
= f(g(a)g(b)),
= f(g(a))f(g(b)),
= (f ◦g)(a)(f ◦g)(b).
con lo que se prueba que ”◦” es una operaci´on binaria sobreA(G),las dem´as propiedades de grupo se dejan como ejercicio.
NotaLas propiedades de los grupos de automorfismos son muy interesantes. As´ı si G, H son grupos tales G ∼= H, entonces A(G) ∼= A(H) tambi´en. Es importante hacer notar que el rec´ıproco no es cierto.
Ejemplo 20.
Consideremos el siguiente conjunto G = {a, b}con siguiente tabla es un grupo
(a)
· a b a a b b b a
(b)
· a b a a b b b a
Encuentre el grupo de automorfismos de (G,·). Mostremos que la funci´on identidad, es el ´unico automorfismo posible ya que la otra posibilidad ser´ıa:
h(a) = b, h(b) = a.
Ahora bien h(bb) = h(a) = b, pero h(b)h(b) = aa = a, de donde se sigue queh(bb) 6= h(b)h(b) y de este modohno es un homomorfismo y as´ı el ´unico automorfismo es la identidad.
Prueba
Dado queG∼=H, entonces existe f :G−→H la cual es un isomorfismo de
Gen H.Para cualquier h∈A(G), definimos Tf por
Tf(h) = f ◦h◦f−1.
Claramente f−1 es un isomorfismo de H en G, ya que f lo es de G en H.
Por lo tanto, es claro Tf(h)∈A(H),y as´ıTf,es un isomorfismo de A(G) en
A(H), con lo que A(G)∼=A(H).
0.1.1.
Im´
agen y n´
ucleo de un homomorfismo
Definici´on 3 Sean G y H grupos y considere un homomorfismo
f :G−→H
se define
a) Im´agen de F como el conjunto de las imagenes del homomorfismo f, es decir
I(f) = {f(g)|g ∈G}
b) N´ucleo de f,o kernel de f como el conjunto de preimagenes del neutroeH de H, es decir
N(f) = {g ∈G|f(g) = eH} NotaEl N(f) 6= ∅ siempre, ya que e∈G, f(e) = e.
Ejemplo 21.
Volvamos al ejemplo del homomorfismo h : K = {e, a, b, c} −→ {e, g} dondeh(e) = e, h(a) = e, h(b) = g, h(c) = g.
As´ı el n´ucleo de est´a funci´on es N(h) = {e, a}, mientras que el conjunto im´agen es I(h) = {e, g}
Ejemplo 22.
El homomorfismo h:ZZ −→ {e, g} definido por:
h(n) =
(
e si n es par,
Ejemplo 23.
Sea G = {e, g, g2} el grupo c´ıclico de orden 3
e g g2
e e g g2
g g g2 e
g2 g2 e g
definimos h:{e, g, g2} −→S 3 por:
h(e) = f0, h(g) = f3, h(g2) = f4,
cuyo n´ucleo es {e}. Muestre que h es un homomorfismo, probando que los nueve productos de pares de elementos de G son preservados por h.
I(h) = {h(g)|g ∈G} = {f0, f3, f4}.
Ejemplo 24.
Considere (ZZm,+) y (ZZn,+) grupos aditivos donde n|m. Se define la funci´on
f :ZZm −→ZZn donde
f(a) = a (mod m) y (mod n) respectivamente a∈ZZ.
Probaremos que la funci´on es un isomorfismo, y hallaremos su n´ucleo. Prueba
a) En primer lugar notemos que f est´a bien definido, es decir,
a(mod m) = a0 (mod m)
,entonces f(a) (mod n) = f(a0) (mod n). En efecto,
a(mod m) = a0 (mod m),
=⇒ m|(a0−a),
=⇒ n|(a0−a),
=⇒ a0 (mod n) = a (mod n),
Se ha mostrado as´ı que f est´a bien definida.
b) Ahora mostremos que f es un homomorfismo. En efecto, sean a, b∈ZZm
f(a+b) = f(a+b),
= (a+b) (mod n),
= a(mod n) +b(mod n),
= f(a) +f(b).
c) Es claro quef es sobreyectivo. ¿Por qu´e?
d) Para analizar la inyectividad hay analizemos el n´ucleo. En efecto, sea
a(mod n)∈ n´ucleo de f,
=⇒ f(a(mod n)) = 0 (mod n),
=⇒ a(mod n) = 0 (mod n),
=⇒ n|a.
Por lo tanto, si escribimos m = nd, entonces n´ucleo de f consiste en los siguientesd elementos
{0, n, 2n, 3n,· · ·,(d−1)n} el cual es un subgrupo normal de ZZm.
Teorema 3 Si f :G−→H un homomorfismo de grupos, entonces a) La im´agen de f es un subgrupo de H
b) El n´ucleo de f es un subgrupo normal de G.
Prueba
a)Seanf(g1), f(g2)∈Im(f), entonces
f(g1)[f(g2)]−1 =f(g1)f(g−21) = f(g1g2−1)
lo cual pertenece aIm(f), pues g1g2−1 ∈G. Por lo tanto I(f) es un subgrupo
deH.
b) Hay que demostrar que sig1, g2 ∈N(f),entoncesg1◦g2−1 ∈N(f).Si tanto g1 como g2 ∈N(f), entonces esto significa que f(g1) = e, f(g2) = e, donde e es el elemento identidad deH. As´ı:
f(g1g2−1) = f(g1)f(g−21),
= f(g1)(f(g2))−1,
= ee,
lo cual implica que g1g2−1 ∈ N(f) y por lo tanto N(f) es un subgrupo de G.
Mostremos ahora que I(f) es un subgrupo normal de G. Sea g ∈Gy sea n∈N(f), entonces
f(g−1ng) =f(g−1)f(n)f(g) = [f(g)]−1ef(g) = e
por lo queg−1ng ∈N(f) y comon, geran arbitrarios, se cumple queg−1N(f)g ⊆
N(f), o sea que N(f)G.
Teorema 4 Si f :G−→H un homomorfismo de grupos, entonces f es un monomorfismo ⇔N(f) = {eG}
Prueba
⇒ Supongamos que f es inyectiva, y sea g ∈N(f), entonces
f(g) = eH =f(eG)⇒=eG ⇒N(f) ={eG} ⇐ Supongamos ahora que N(f) = {eG}. Entonces si
f(g1) =f(g2)⇒f(g1)[f(g2)]−1 =eH ⇒ f(g1)f(g2−1) =eH, ⇒ f(g1g2)−1 =eH, ⇒ g1g−21 ∈N(f),
⇒ g1g−21 =eG, ⇒ g1 =g2
0.1.2.
Grupos c´ıclicos e isomorfismos
Teorema 5 Dos grupos c´ıclicos del mismo orden son isomorfos.
Prueba
Sean C =< c > y D =< d > dos grupos c´ıclicos de orden n, es decir, |D|=|C |= n, definimos:
f :C −→ D,
ck −→ f(ck) = dk.
para 0≤k ≤n−1,es sobreyectivo por teorema anterior y como|C |=|D|,
Corolario Sea C =< c > tal que | C |= n, entonces C es isomorfo a (ZZn,+).
Nota As´ı hemos contestado algunas preguntas con respecto a los grupos c´ıclicos.
(a) ¿ Son c´ıclicos los subgrupos de los grupos c´ıclicos?
(b) ¿ Cu´antos subgrupos distintos se obtienen a partir de un grupo c´ıclico (con orden menor que el orden del grupo)?
(c) Un hecho interesante que puede responderse acerca de los grupos c´ıcli-cos es la siguiente: ¿ Existen grupos c´ıclic´ıcli-cos de cualquier ordenmpara cualquier entero (finito) m > 0 ?. La respuesta es afirmativa como se muestra a continuaci´on,
Cm =
1 2 · · · m−1 m
2 3 · · · m 1
!
,
Cm2 = 1 2 · · · m−2 m−1 m 3 4 · · · m 1 2
!
,
Cmm = 1 2 · · · m 1 2 · · · m
!
= I.
Es claro que todos los elementos{I, σm, σm2,· · ·, σmm−1} son distintos y
H =< σm >es c´ıclico de orden m.
(d) ¿Existen dos grupos c´ıclicos de orden m, que sean esencialmente difer-entes?. Dicho de otro modo: si dos grupos c´ıclicos son de orden m, ¿ son estos isomorfos ?. Ya sabemos cual es la respuesta.
Teorema 6 Todos los grupos c´ıclicos de orden infinito son isomorfos.
Prueba
Sean G =< g > y H =< h > dos grupos c´ıclicos infinitos cualesquiera. Definimos
f :H −→ G,
hk −→ f(hk) = gk, ∀k ∈ZZ.
es evidente que f es una funci´on, la cual es sobreyectiva ya que si gm ∈<
suficientemente claro que
f(hkhl) = f(hk+l), = gk+l, = gkgl,
= f(hk)f(hl),
es decir, f es un homomorfismo. Veamos que f es inyectivo, En efecto, si
f(hm) = f(hn), =⇒ gm = gn,
=⇒ m = n,
(por teorema anterior y su corolario) =⇒hm = hn =⇒f es inyectivo y por lo tanto un isomorfismo.
Corolario Sea G =< g >, un grupo c´ıclico infinito, entonces < g > es isomorfo en (ZZ,+).
Prueba Consideremos
f :ZZ −→ < g >, n −→ gn = f(n).
NOTA: a) As´ı solo hay esencialmente un grupo c´ıclico de orden 2. b) Solo existe un grupo c´ıclico de orden 3.
c) Existen al menos dos grupos de orden 4 distintos, el Klein y el c´ıclico de orden 4.
d) Existen al menos dos grupos diferentes de orden 6, (ZZ6,+) y (S3,◦). f) Los grupos (ZZ,+) y (Ql ,+) no son isomorfos ya que ZZ =< 1 > es c´ıclico y (Ql ,+) no lo es.
Ejemplo 25.
Considere ZZ2 × ZZ3, con el producto directo usual de grupos, el cual sabemos tiene 2·3 = 6 elementos,
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1) y (1,2). Afirmamos ZZ2 ×ZZ3 es c´ıclico. En
efecto,
1(1,1) = (1,1),
2(1,1) = (1,1) + (1,1) = (0,2),
3(1,1) = (1,1) + (1,1) + (1,1) = (1,3),
4(1,1) = 3(1,1) + (1,1) = (1,0) + (1,1) = (0,1),
5(1,1) = 4(1,1) + (1,1), = (0,1) + (1,1) = (1,2),
As´ı que (1,1) genera a (ZZ2×ZZ3) y tiene orden 6, entonces ZZ2×ZZ3 ∼=ZZ6.
Ejemplo 26.
Consideremos el grupo cocienteZZ/3ZZ, (ZZ,+) y
N = 3ZZ, de donde {3ZZ,1 + 3ZZ,2 + 3ZZ} = ZZ/3ZZ, es un grupo c´ıclico de orden 3, isomorfo a ZZ3. Construya la tabla.
Ejemplo 27.
El grupo (ZZ4×ZZ6)/ < (0,1) > aqu´ı< (0,1) > es un subgrupo c´ıclico
deZZ4 ×ZZ6 generado por (0,1),as´ı
<(0,1)>= {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)}.
Dado que ZZ4×ZZ6 tiene 24 elementos y H =< (0,1) >tiene 6 elementos,
entonces (ZZ4,×ZZ6)/H debe tener orden 4. Dado queZZ4×ZZ6,es abeliano, as´ı (ZZ4×ZZ6)/H es abeliano tambi´en, adem´as note que
(ZZ4×ZZ6)/H = {(0,0) +H,(1,0) +H,(2,0) +H,(3,0) +H},
que es isomorfo aZZ4.
Ejemplo 28.
Halle un isomorfismo entre el grupo c´ıclico general de orden 4 y (ZZ4,+).
En efecto, sea < a > el grupo c´ıclico de orden cuatro; as´ı:
< a > = {e, a, a2, a3}, ZZ4
f
−→ < a >,
0 −→ a0 = f(0) = e,
1 −→ a1 = f(1),
2 −→ a2 = f(2),
3 −→ a3 = f(3).
es claramente un isomorfismo, en realidad basta 1←→a.
Teorema 7 Si N es un subgrupo normal de un grupoG, yh:G−→G/N,
el cual se defineh(g) = gN,entonceshes llamado elhomomorfismo can´onico
de G en G/N.
hes sobreyectivo, para xN ∈G/N, h(x) = xN.Que hes homomorfismo. En efecto,
h(g1g2) = g1g2N,
= g1N ·g2N,
= h(g1)h(g2).
Ejemplo 29.
SeaG = {e, g, g1}yH = {e, h, h1}y consideremos los grupos de orden 3 asociados a estos grupos dados en la siguiente tabla.
◦ e g g1
e e g g1
g g g1 e
g1 g1 e g
◦ e h h1
e e h h1
h h h1 e
h1 h1 e h
Es claro que ”e” es la identidad de G y F es la identidad de H. Se nota en las tablas de estos grupos su similitud desde el punto estructural y y el hecho de que pueden ser sustituidos e por e, g por h, g1 por h1 para
as´ı obtener exactamente la tabla de H. En otras palabras estos grupos son esencialmente el mismo. Lo importante es saber que no siempre es posible identificar dos grupos con el mismo n´umero de elementos como en presente ejemplo. As´ı podemos definir la funci´onf deG enF tal que
f(x◦y) = f(x)◦f(y)∀x, y ∈G
del siguiente modo
y adem´as
f(e)◦f(e) = e◦e = e = f(e◦e), f(e)◦f(g) = e◦h = h = f(e◦g), f(g)◦f(e) = h◦e = h = f(g◦e), f(e)◦f(g1) = e◦h1 = h1 = f(e◦g1), f(g1)◦f(e) = h1◦e = h1 = f(g1◦e), f(g)◦f(g1) = h◦h1 = e = f(g◦g1), f(g1)◦f(g) = h1◦h = e = f(g1◦g), f(g)◦f(g) = h◦h = h1 = f(g◦g), f(g1)◦f(g1) = h1◦ h1 = h = f(g1◦g1).
Ejercicios Propuestos
1. Determine cual de las siguientes funciones son homomorfismos: a) h:ZZ −→IR ambos conjuntos con la suma yh(n) =n, b) h:IR−→ZZ ambos conjuntos con la suma y
h(x) = el mayor entero menor o igual a x,
c) h:IR∗ →IR∗ con la multiplicaci´on y h(x) = |x|,
d)h:ZZ6 −→ZZ2 con la suma yh(x) = el residuo de dividir x entre 2,
e)h:ZZ9 −→ZZ2 con la suma yh(x) = el residuo de dividir x entre 2.
2. Halle todos los automorfismos de un grupo c´ıclico de orden 3. 3. Halle todos los automorfismos del grupo de Klein en si mismo.
4. Sean grupos G1 y G2, considere la funci´on h1 : G1 ×G2 −→ G1 dada
por h1(x, y) = x. Muestre que h1 es un homomorfismo. ¿C´ual es el
n´ucleo?.
5. Determine cuales de las siguientes funciones son homomorfismos. Si la funci´on es un homomorfismo, describa su n´ucleo y la imagen de este. a) h:ZZ −→IR ambos grupos bajo la suma usual y donde
h(n) = n.
b) h:IR−→ZZ ambos grupos bajo la suma usual y donde
h(n) = el entero m´as grande ≤x.
6. Pruebe que un automorfismo queda totalmente determinado por su definici´on en el generador del grupo, si este es c´ıclico.
7. Muestre que hx :G−→G, definido por f(g) = g−1 para cada g ∈G, es un automorfismo si y solo si G es abeliano.
8. Si A es un grupo abeliano de orden n y h un homomorfismo de A en
A definido por h(a) = ak, dondek es un entero, muestre que: (a) h es un homomorfismo.
(b) h es un isomorfismo si m.c.d(n,k) = 1.
9. Sea G el grupo de polinomios de grado n con coeficientes en IR si
h:G−→G, definido por
h( n
X
i=1
aixi) = ( n
X
i=1
aixi)0 = ( n−1
X
i=1
iaix−i)
a) Determine si h es o no un homomorfismo. b) Determine si inyectivo. Si es sobreyectivo.
10. SiG = IR3,y G = IR2,con la suma como aperaci´on para ambos para h: IR3 −→IR2, se define por f(a, b, c) = (a, b) determine si f es o no un homomorfismo. Determine su n´ucleo.
11. Sea h: (IR,+) −→GL(2, IR) definido por
h(x) = cos(x) sin(x) −sin(x) cos(x)
!
.
Muestre queh es un homomorfismo sobreyectivo. 12. ¿C´ual de los siguientes grupos son isomorfos entre si?
(ZZ,+), (2ZZ,+), (ZZ20,+), (Ql +,+), (Ql+,·), (ZZ8,+), D4, GL(2, IR).
R:Resulta queD4 y GL(2, IR) no son isomorfos a ninguno de los otros
grupos, pues todos los otros grupos son abelianos mientras que estos dos no lo son. Por otro lado los grupos ZZ20, ZZ8, D4 y GL(2, IR) son
isomorfos solo a ellos mismos, mientras ZZ y 2ZZ son isomorfos ya que puede, definirseh:ZZ −→2ZZ por medio de h(n) = 2n. Por otro lado
x2 = 2 en (Ql +,·) y h(2) = 2x muestran que (Ql +,·) y (Ql ,+) no son isomorfos entre si. Dado que ninguno de los grupos anteriores es c´ıclico entonces estos no pueden ser isomorfos a (ZZ,+).
13. Sea Gun grupo.
a) Si es un homomorfismo tal queh(0,1) = k, encu´entrese h(m, n). b) Seanl, q ∈Gy seag :ZZ×ZZ −→Gdefinida porg(m, n) = lmqn. D´ese un condici´on necesaria y suficiente para que g un isomorfismo. Pr´uebese la condici´on.
15. Muestre que la condici´on de ser isomorfismo entre grupos, define una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto de todos los grupos.
16. Muestre que los elementos G = {m+n√2|m, n∈ZZ}, es un grupoG
bajo la adici´on. Muestre que S,= {5k3l|l, k ∈ ZZ} es un grupo S con la multiplicaci´on. ¿Es G isomorfo a S?
R: Si son isomorfos.
17. Sea h:G−→G0 un isomorfismo del grupo G en el grupoG0. Muestre que h−1 :G0 −→G, definida por
h−1(x0) = x,
tal que h(x) = x0 para x0 ∈ G0, es una funci´on bien definida la cual resulta ser un isomorfismo.
18. ¿C´uantos isomorfismos de ZZ2 en ZZ2 distintos pueden definirse?. La
misma pregunta con ZZ6, ZZ8, ZZ, ZZ17. R:1, 2, 4, 2, 16
19. Sea (G,·) un grupo. Considere la operaci´on binaria definida sobre el conjunto G por a∗b = b·a para cada a, b∈G. Muestre que (G,∗) es un grupo y que este es isomorfo a (G,·).
R: Considere la funci´onh(g) = g−1.
20. Pruebe que el grupoS3 y el grupo (ZZ6,+) no son isomorfos y que salvo
isomorfismos no existen otros grupos de orden 6 m´as que estos.
21. Sea pn´umero primo, entonces salvo isomorfismo, existe un ´unico grupo de orden p, simplemente el grupo c´ıclico de orden p.
22. Sean los grupos (ZZ10,+) y (ZZ11∗ ,·) c´ıclicos de orden 10. Encuentre un
isomorfismo:
h:ZZ10 −→ZZ11∗
para el cual: (i) h(1) = 2 , (ii) h(1) = 3. Halle tantos isomorfismos como sea posible entre estos grupos.
R: i) Si; h(1) = 2 , h(2) = 4 , h(3) = 8, h(4) = 5 , h(5) = 10 , h(6) = 9 , h(7) = 7 , h(8) = 3 , h(9) = 6 , h(0) = 1.
23. Considere cada uno de los siguientes grupos y en cada caso describa los
caso?: a) (ZZ,+), b) (ZZ7,+),
c) El grupo c´ıclico de ordenp, conp primo, con la operaci´on de multi-plicaci´on y con a a como generador,
d) El grupoS3,
e) El grupo c´ıclico con generador a y de orden n,
f) De dos argumentos para mostrar que el grupo de klein K no es isomorfo aZZ4.
24. Complete cada una de las siguientes lista de proposiciones: a)ZZ3×ZZ4 tiene orden,
b) El elemento (4,2) de ZZ12×ZZ8 tiene orden,
c) El grupoK de Klein es isomorfo a ZZ ×ZZ,
d) El grupoZZ2×ZZ4 tiene elementos de orden finito
25. Comprobar que el n´ucleo del homomorfismo can´onico del grupo de los enteros (ZZ,+) sobre ZZ/2ZZ es 2ZZ.
26. Demostrar que si G es un grupo c´ıclico de orden n, y si p|n, entonces existe un homomorfismo de Gsobre el grupo c´ıclico de orden p. ¿C´ual es el n´ucleo de este homomorfismo?.
27. Demostrar que si h : G −→ K es un homomorfismo y |G| < ∞, entonces|h(G)| divide al orden de G.
28. S´upongase que G y H son dos grupos. S´upongase queG no puede ser generado por dos elementos pero que H s´ı. Demostrar que G y H no pueden ser isomorfos.
29. a) ¿C´uantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay deZZ −→ZZ?, b) ¿C´uantos homomorfismos distintos inyectivos hay de ZZ −→ZZ?, c)¿C´uantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay deZZ −→ZZ8?,
d) ¿C´uantos homomorfismos distintos hay de ZZ −→ZZ8?.
e) ¿C´uantos epimorfismos distintos hay de ZZ12−→ZZ5?,
f) ¿C´uantos homomorfismos distintos hay de ZZ12−→ZZ6?,
g) ¿C´uantos epimorfismos distintos hay de ZZ12−→ZZ6?,
h) ¿C´uantos homomorfismos sobreyectivos hay de ZZ12−→ZZ14?,
30. a) ¿C´uantos homomorfismos existen de ZZ2×ZZ2 en ZZ2?,
b) ¿C´uantos homomorfismos sobreyectivos existen deZZ2×ZZ2 enZZ2?,
c) ¿C´uantos homomorfismos existen de ZZ2×ZZ2 en ZZ6?,
d) ¿C´uantos homomorfismos existen deZZ2×ZZ2 en ZZ2×ZZ2×ZZ2?,
d) ¿C´uantos homomorfismos existen deZZ2×ZZ2 en ZZ2×ZZ2×ZZ4?.
31. Diga si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones: ( ) Cualesquiera dos grupos con el mismo orden son isomorfos ( ) Cualesquier funci´on biyectiva es un isomorfismo
( ) Un grupo de orden 30 puede ser isomorfo a uno de orden 72. ( ) Cada homomorfismo es un isomorfismo
( ) Cada isomorfismo es un homomorfismo
( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo pueda tener 4 elementos
( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo pueda tener 12 elementos
( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno de orden 12
( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno de orden 10
( ) Cualquiera dos grupos de orden tres son isomorfos
( ) Existe solo un grupo c´ıclico de orden finito salvo isomorfismo ( ) La propiedad de ser c´ıclico es una propiedad algebra´ıca.
( ) Es posible tener un homorfismo de un grupo infinito en un grupo finito.
( ) Puede ser que un grupoG c´ıclico no trivial sea isomorfo a uno de sus subgrupos propios.
32. Pruebe que conjunto de automorfismos deZZ es isomorfo a (ZZ2,+), es
decir, A(ZZ) =∼=ZZ2.
33. Si G = hgi y h∈A(G), entoncesG = hh(g)i.
34. Si hxi = hyi = G, entonces la funci´onh(xn) = yn, para cada n∈ ZZ es un automorfismo. Por lo tanto si G es c´ıclico, entonces |A(G)| es igual al n´umero de generadores de G.
